葛志军2：趣味数学折纸的教学应用2017.4
折纸在七年级数学教学中的重要作用
折纸在七年级数学教学中的重要作用折纸在七年级数学教学中的应用能激励每一个学生参与到力所能及的探索活动中，它能引起学生感官效应,培养学生的动手能力、思维能力，使学生能多方向、多角度、多层次的去思考。
把折纸活动引入数学课堂，既可以提高学生的学习数学兴趣，又可以培养学生的动手能力、观察能力，使学生建立起动手操作与动脑思考的联系，从而促进思维能力的发展。
在折纸过程中去体验数学知识，感受数学原理; 折纸趣味浓、探索折纸过程能再现数学概念,学生能观察、尝试、猜测、转移、推理等途径去感受、认识数学知识，能激发学习数学兴趣。
（一）利用折纸创设情境，激发七年级学生学习数学兴趣。
“良好的开端是成功的一半”，每堂课如果有了一段出神入化的导入，使学生投身其中，激发他们的求知欲，这样就能做到事半功倍的效果。
教育家陶行知先生提倡“行是知之始，知是行之成。
”学生的学习并不是靠“听”学会的，特别对于数学学科而言更要靠动手“做”会，折纸能让学生把动手操作和积极思考有机结合起来，才能让学生体会到数学真理。
在轴对称的课堂教学中,导入时教师拿出一张纸,?把它撕成一个任意形状，然后往黑板上一贴,你们能折出其它的形状吗？同学们跃跃欲试。
让学生用纸折出一个图形，再让学生与黑板上的图形对比，学生开始讨论、动脑筋、动手即设计图形、折叠图形、体验对称图形，这样引入了“轴对称图形”虽然他们折出了各种各样的图形，但这是学生亲身参与课堂实践，感受知识的获取过程以及新旧知识的联系和知识的巩固和应用的全过程，使学生投身其中，调动学生的学习积极性及浓厚的学习兴趣，激发他们的求知欲，这样就能起到事半功倍的效果。
在数学教学中，折纸活动不但能活跃课堂氛围、调动学生对数学学习的好奇性，而且能促进学生对数学知识的理解。
通过折纸活动还可以提高学生的动手操作能力，促使智力得到最大限度的开发和锻炼。
在初中数学教学中折纸中主要用到轴对称、全等知识的传授，能培养空间想象能力和立体感知能力。
折纸在数学课堂教学中的实践应用
折纸在数学课堂教学中的实践应用折纸是学生比较熟悉的手工活动，教师要有创新设计意识，结合学生生活认知展开折纸活动组织，对学生折纸操作做具体指导，延伸折纸学习训练，让学生在折纸操作过程中成长数感基础、数学思维、学习习惯，全面提升其学科核心素养。
折纸学习活动有更多助学优势，材料易得，操作简单，特别在图形内容学习时，教师组织学生借助折纸学习数理，能够顺利调动学生学习思维，形成丰富调动效果。
学生进入折纸环节，需要手脑并用，历练其数学思维，促进学生学习认知的顺利内化。
一、创设折纸学习情境，培养生本数感基础教师借助折纸创设学习情境，亲自为学生做示范操作，精选一些操作材料，能够为学生数感成长创造条件。
数感是学生数学能力成长的重要指标，教师组织更多折纸活动，学生在主动参与过程中启动数学思维，促进其数感的建立。
1.示范折纸展示。
数学助学手段众多，教师推出折纸实践活动，学生积极响应，其适合性更高，助学效果更值得期待。
数学学科中有太多图形内容，教师执教这些内容时，将学习内容与折纸活动相结合，能够创设更多学习情境，成功激发学生数学思维。
学生折纸操作经验认知比较贫乏，教师不妨为学生做出示范操作，为学生提供模仿学习的机会，以提升教学效率和品质。
如教学北师大小学数学四年级下册《图形的运动：对称轴》，教师先拿出一张白纸，现场为学生做示范操作，将白纸折叠，然后用针扎出一些图形，打开白纸，纸面上呈现一些对称图形。
这个操作比较简单，学生开始模仿，瞬间制造出许多对称图形，教师要求学生做观察，对其特点做归结和介绍，学生都能够积极响应，详细介绍对称图形的特点：折痕是对称图形的轴，轴的两边图形大小形状都完全相同，其图形的每一个点到轴的距离都相等。
对称图形沿折痕对折，其图形完全重合。
在这个教学案例中，教师示范操作，成功激发学生学习热情，因为折纸操作很简单，学生模仿不存在任何困难，教师要求学生做细致观察，介绍其图形特点，这是比较有效的设计，学生积极响应，辅助作用更为突出。
北师大版五年级下册数学 数学好玩2 有趣的折叠 一等奖创新教案
北师大版五年级下册数学数学好玩2 有趣的折叠一等奖创新教案《有趣的折叠》教学设计教学目标：1、经历想一想、折一折、说一说的过程，体会立体图形和它的平面展开图之间的关系，发展空间观念。
2、能正确判断平面展开图所对应的简单立体图形。
3、在解决实际问题的过程中，使学生感受到数学与生活的紧密联系，培养学生的数学兴趣。
重点难点：重点：能正确判断平面展开图所对应的简单立体图形。
难点：在想一想、折一折、说一说的自主学习过程中，发展空间想象的能力。
教学准备：平面展开图，PPT等教学过程：1、谈话导入，开门见山师：同学们，你们会折纸吗？你们都会折哪些东西呢？师：看来，大家折纸的本领还真不小。
今天，老师给大家带来了一些折纸作品，让咱们一起欣赏欣赏吧！（欣赏完）有什么感受？其实，折纸不仅是一门艺术，而且还包含着不少的数学奥秘呢，大家想研究研究吗？师：那就让咱们一起来学习《有趣的折叠》。
（板书课题：有趣的折叠）2、从形到点，想象入微PPT出示仓库模型的平面展开图：师：观察图形，说一说，你读懂了什么？1. 整体形状的想象为了方便描述想的过程，将平面展开图的各个图形标上号码，长方形从上到下依次为、、、、，左边的五边形为号图形、右边的为号图形。
如图所示：（1）想一想，它的形状像什么？你是怎么判断的？（2）独立尝试沿虚线将其折叠成一个封闭的立体图形。
（3）小组内交流，说一说自己是如何进行折叠的。
（4）全班交流，说一说折叠的立体图形是什么，与自己想象的图形是否一致。
2. 面的想象（1）折叠后，与图形相对的图形是哪个图形？（2）折叠后，与图形相对的图形是哪个图形？（3）折叠后，图形是仓库的哪个部位？图形、图形呢？3. 线的想象（1）将平面展开图的各个顶点用字母标识出来，如图：（2）折叠后，线段IQ与哪条线段重合？线段JL呢？线段GE、HN呢？（3）折叠后，线段NP与哪条线段重合？线段MO、AB呢？（4）折叠后，线段OQ与哪条线段重合？线段BD呢？（5）用学具演示自己的想象过程，并验证想的结果。
趣味数学折纸的教学应用
感谢聆 THANKS FORALL 听
图形排列组合 等差数列 平面镶嵌
平面图形认知 认识四面体 无限翻转
平面图形， 图形分割， 图形建构
初识五面体，
多面体 立体组合
五面体再认知
拓扑学
十二面体
空间镶嵌， 镜像对称， “1”的认知
趣味数学折纸的拓展课程在教学过程中 的运用，就是为能提高学生对学习数学的 兴趣而设置。内容都是以动手制作为主， 特别强调了“趣味”二字，每一件作品都 有一个故事，学生们是在玩的过程中体验 数学，真正实现了“做中学，玩中学”。
折纸的教学现 状
基于教学课改中对于创新型课程的需求， 我们将折纸与数学学科联系到了一起， 我们注意到，传统的折纸只停留在折个 花、鸟、虫等艺术表现形式上，具体的 折纸也只是把它归类到美学这一科。
求， 我们将折纸与数学学科联系到了一起。 折纸的过程与数学学科联系是非常的紧 密。当我们拿到一张纸时，不管是什么 形状，习惯地把它对折、平分，而这一 折它的折痕在数学的表达上就有了意义， 内容已经是非常丰富了。
教学理念
不愤不启， 不悱不发
教学目标
趣味数学折纸拓展课程的设计和实 施，着重提升了孩子在学习方面的 各种能力，培养学习的专注度、情 绪控制、培养孩子的动手能力、创 造力及数学思维能力
教学实施
动手 观察 思考 解决
“数学好玩”
著名数学家陈省声
二维平面 到三维立体， 拓扑学
内容内容内容内容内容内容
基于数学折纸 的STEM课程
趣味数学折纸拓展课程的设立，就是要 让孩子们动手体验、感悟！我们相信孩 子们的学习热情会被积极地调动起来。 通常在现行数学教学过程中，这一动手 环节是很少的，学生们都被抽象的数学 概念所引导，所以孩子们的学习是被动 的、晦涩的、枯燥的。而趣味数学折纸 拓展课程就是实现了让孩子们从动手感 知，建构实像到理论抽象的过程，这个 过程孩子们是快乐的，因为他们是在动 手过程中实现的。
折纸在数学教学中的应用
这就是我们要学的指数函数。
这节课从玩折纸开始，引 出 了 指 数 函 数 ，激发了学生对学
习指数函数的兴趣。 2 .2 在传授新知识时，利用折纸创设情境
在课堂教学中，要重视知识的发生、形 成 和发展，让学生在
课 堂 中 充 分 发 挥 他 们 学 习 的 主 动 性 。通 过 折 纸 可 以 让 学 生 经
历操作、分析 、比较、概 括 等 一 系 列 思 维 活 动 ，参与体验知识形
成的全过程。
例如在讲《轴 对 称 图 形 》课 程 时 ，可以借助折纸实现有效
建模。
老 师 :请 大 家 拿 出 昨 天 制 作 好 的 正 方 形 、圆 形 和 长 方 形 的
纸 片 ，从中随便挑一个图案进行对折（利用公 理 对 折 ），然后展 开。
专题研究
TECHNOLOGY AND MARKET V o l.24,No.6,2017
折纸在数学教学中的应用
段喜妮
( 渭 南 师 范 学 院 数 理 学 院 ，陕 西 渭 南 714099)
摘 要 ：通过将折纸纳入数学教学各个环节的探讨，建立起折纸与数学教学的联系，并以一些实例阐明了折纸在数学教 学中的应用。 关 键 词 ：折 纸 ；数学教学；应用 doi ：10. 3969/j .issn.1006 - 8554. 2017. 06. 181
当不对折即0 次对折时，纸 有 1 层 ；当 进 行 1 次对 折 时 ，纸 变 成 2 层 ;当 进 行 2 次 对 折 时 ，纸 变 成 4 层 ；当 进 行 3 次对折 时 ，纸 变 成 8 层 。然后再来看:1 是 2 ，2 是 2 ，4 是 2 ， 是 2 。
就可以得到一个关系式是y = 2 , 这个函数之前没有见过，
折纸与数学
折纸与数学折纸是一种古老而有趣的手工艺，它通过将一张平面纸折叠成各种形状来创造出各种美丽的艺术品和有趣的玩具。
折纸不仅具有美观和娱乐价值，还涉及到一些数学原理和概念。
折纸涉及到几何形状和空间感知。
在折纸的过程中，我们需要根据折叠点和折叠线来确定纸张的形状和位置。
这涉及到几何中的角度、长宽比、平行线、垂直线等概念。
通过改变折叠点和折叠线，我们可以创造出各种复杂的几何形状，如多面体、立体、对称图案等。
这些几何原理和概念在折纸中起着重要的作用。
折纸还涉及到数学中的计数和排列组合。
在折纸的过程中，我们可以将折叠线和折叠点抽象为点和线，这就引入了图论中的概念。
通过计算纸张的折叠次数和折叠方式，我们可以计算出存在的折叠方式的数量。
我们还可以利用排列组合的知识计算出折纸的不同形态的数量。
这些计数和排列组合的概念使我们可以更好地探索折纸的可能性。
折纸还涉及到对称性和对称图案的研究。
在折纸的过程中，我们经常会遇到对称的形状和图案。
通过折叠的方式，我们可以创造出对称的图案，如蝴蝶、花朵等。
这涉及到数学中的对称概念，如轴对称、中心对称等。
通过研究对称性，我们可以进一步探索折纸的美学和设计。
除了以上几个方面，折纸还涉及到一些数学中的变换和坐标系。
在折纸的过程中，我们可以进行平移、旋转、反射等变换操作，以改变纸张的形状和位置。
这类似于数学中的变换操作，如平移变换、旋转变换、对称变换等。
通过对变换和坐标系的研究，我们可以更好地把握折纸的规律和技巧。
折纸与数学有着密切的联系。
折纸中的几何形状、计数和排列组合、对称性、变换和坐标系等数学概念都在其中得到了应用。
通过折纸，我们可以更好地理解和应用这些数学原理和概念，并创造出各种美丽的折纸作品。
折纸不仅是一种有趣的手工艺，也是一门有趣的数学学科。
让我们一起享受折纸和数学带来的乐趣吧！。
折纸做60°,30°,15°角
∵四边形AEFD与四边形BEFC关于 EF 对称
∴EF垂直平分AB
∴ AN=BN
∵△ABM与△NBM关于BM轴对称
∴△ABM≌ △NBM
∴ AB=NB，∠1=∠2
∴AB=AN=NB
∴∠ABN=60°
∴∠1=∠2=30°
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=90°
∴∠3=90°－60°=30°
教学方式：教师提示辅助线，学生独立思考，上前讲解
折30°的角还有其他的方法
问题5：其中∠MOE=∠OKE=∠EKB=30°你能利用刚学到的结论证明吗？
教学方式：学生独立思考，举手回答。
（设计意图：学生猜想命题，预设学生出现的问题并进行教学，生成新的教学资源。）
（七）变式练习，学以致用
如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E、F分别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF上的A'处(如图(2)),折痕交AE于点G,那么∠ADG等于多少度?你能证明你的结论吗?
（设计意图：折等边三角形是一个思维的跨越，从角到等边三角形的转化，可以使学生在获得知识、技能和方法的同时，让知识在实践中巩固内化，同时也培养了学生大胆探索、善于创造的意识。）
板书设计
归纳：对折可以平分一个角，可以把一个角平均分成2n份，从而得出折叠后角的度数。
（设计意图：从简单的折纸游戏出发，提高学生课堂参与度，经过学生的互相补充得出22.5°,67.5°,112.5°等度数的角。由此引导学生发现上面的结论。此过程也让学生感受折纸可以得到角的倍分关系。）
（三）动手实践，实验探究
数学活动 折纸做60°、30°、15°的角
教学目标:1.能折出60°、30°、15°的角；并பைடு நூலகம்明折出30°角的原理。
折纸活动在初中数学教学中的应用
折纸活动在初中数学教学中的应用摘要：折纸操作是数学教学中常见的一种操作活动。
在涉及一些图形性质的教学中，让学生通过“做数学”的方式主动去探究和发现，做到动手和动脑相结合，从感性体验再到理性掌握，深化对几何概念和性质的理解和把握，是初中生有效感悟数学思想、积累数学活动经验的一种重要方式。
关键词：数学活动；折纸；初中几何一、问题提出折纸活动是发现数学的一种途径，学生在小学阶段就熟悉纸张折叠、裁剪和展开，初步感受图形的对称的重合与对称，也积累了一些简单图形的“边”重合的经验。
二、制定学习目标与处理教学内容设计学习目标就需要设定好教学目标，引导学生了解折纸与数学知识的关系，对折纸几何学理论知识与折纸基本折法进行了解。
处理教学内容。
教学难点：证明折纸几何学公理内容。
因此，第一节有很多内容，教师应尽可能将这节知识内容讲两个课时，一节课中讲太多的知识，学生难以消化。
第一课时讲解有关于折纸历史、折纸与数学知识；第二课时讲解折纸种类、公理、折纸基本方法。
为了可以提高学生的学习热情，在上课之前要求学生上网查找有关折纸的信息，在数学课堂中各个小组互相交流。
在课堂中，数学教师使用的PPT要生动有趣，结合学生实际学习能力，让学生在理解公理的前提下，亲自制作所需折纸种类，主动折纸，并在小组内展开互评，进而提高学生的参与性。
三、制订合理的教学方案认识折纸数理学。
在这个过程中，教师应先讲解有关折纸的起源，并将数学知识与折纸知识相融合，进而彰显出在初中数学教学中折纸教学的意义；同时需要让学生了解折纸与中考的关系，并在初中教材中充分体现折纸数理学；然后进行课堂总结，以小组为主，小组长或者小组成员讲述自身在这节课堂中的感受。
课后作业：在学习完这节课后，在课后找到与折纸有关的资料，尤其我国有关折纸的资料，并提出相应的问题，在下堂课中解决这些问题。
交流和讨论作业问题。
新课教学：折纸几何学公理；折纸的基本方法与性质。
让初中生对折纸的基本方法有效掌握，并对折纸的特征有所了解。
五年级数学下册《折纸》教案、教学设计
2.考虑到学生的认知特点，采用直观、生动的教学手段，如折纸活动，让学生在实践中感受对称美。
3.针对学生在解决问题时可能遇到的困难，设计有针对性的练习题，引导他们逐步掌握对称性质的应用。
4.注重培养学生的动手操作能力和团队协作能力，提高他们的综合素质。
2.轴对称的性质：引导学生通过观察、实践发现轴对称图形的性质，如对折后两边完全重合等。
3.轴对称的应用：讲解轴对称在实际生活中的应用，如设计图案、制作手工等。
（三）学生小组讨论
在此环节，我将组织学生进行小组讨论，共同探讨轴对称的性质和应用。
1.分组讨论：让学生在小组内分享对轴对称性质的理解，互相交流。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，使他们体验到数学的趣味性和实用性。
2.培养学生的审美观念，使他们认识到几何图形的美，激发他们对美的追求。
3.培养学生勇于探索、善于思考的精神，使他们养成良好的学习习惯。
4.培养学生的爱国情怀，让他们了解到我国在几何领域的研究成果，为祖国的数学事业感到自豪。
2.教师巡回指导：在小组讨论过程中，教师关注学生的讨论情况，给予及时的指导和反馈。
3.小组代表发言：每个小组推选代表进行汇报，展示本组对轴对称性质的理解和应用。
（四）课堂练习
课堂练习环节，我将设计具有梯度、针对性的练习题，帮助学生巩固所学知识。
1.基础题：让学生识别和绘制轴对称图形，加深对轴对称概念的理解。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重培养学生的综合素质，使他们在知识、能力、情感、态度和价值观等方面得到全面发展。
折纸与数学
折纸与数学
在折纸中，最基本的操作就是将一张平面纸张折叠成不同的形状。
这涉及到很多几何学上的概念，如平行线、垂直线、角度、对称性等等。
通过折纸，我们可以更好地理解这些概念，并将它们应用到解决实际问题中。
我们可以通过折纸来构建各种平面几何体，如正方体、长方体、三角形等等。
这可以帮助我们更好地理解它们的性质和特点，并可以衍生出很多有趣的数学问题。
我们可以通过折纸来研究正方体的体积和表面积之间的关系，或者研究三角形的内外角之和等等。
除了几何学的概念，折纸还可以帮助我们理解数学中的一些重要概念和定理，如等边三角形、勾股定理、欧拉公式等等。
通过折纸来直观地感受这些概念和定理，可以帮助我们更深刻地理解它们的本质，并且可以激发我们对数学的兴趣和热爱。
在折纸的过程中，我们还可以运用数学的方法来解决一些折纸问题。
折纸的厚度叠加问题，即已知一张纸的长度和折叠次数，我们可以通过数学计算来求解叠加后的厚度。
这涉及到数列和级数的概念，可以锻炼我们的数学思维和计算能力。
除了折纸本身的数学内涵，折纸还可以被广泛用于数学教学中。
通过折纸，可以将数学的抽象概念具象化，使学生更好地理解和记忆数学知识。
折纸还可以激发学生的创造力和想象力，培养他们的空间思维和逻辑思维能力。
折纸与数学密不可分，它结合了几何学的概念和方法，可以帮助我们更好地理解数学的各个方面。
通过折纸，我们可以直观地感受数学的美妙，培养我们的数学思维能力，提高我们的数学水平。
折纸不仅是一种有趣的手工艺术，更是数学学习中的一项重要资源和工具。
折纸与数学
折纸与数学折纸与数学是两种看似完全不同的活动，一种是娱乐游戏，一种是严肃的学科。
这两者却有着深刻的联系。
折纸的过程涉及到几何学和数学中的很多概念和原理，而数学的一些问题也可以通过折纸来形象地展示。
本文将探讨折纸与数学之间的关系，并介绍一些有趣的数学折纸问题。
折纸涉及到很多几何学的概念。
折纸是基于平面的，所以了解平面几何的知识是非常重要的。
在折纸过程中，我们经常会遇到如平行线、垂直线、角度等几何概念。
折纸还涉及到三角形、四边形等不同形状的几何图形。
当我们折纸做出一个正方形时，我们需要确保对角线相等，而这正是几何学中正方形的定义。
折纸还涉及到一些数学原理。
一个经典的数学折纸问题就是所谓的“折纸问答”问题。
在这个问题中，我们在一张长方形纸上进行一系列的折叠操作，然后问我们所做的折叠操作后，某一个点在纸上的位置。
虽然这个问题看起来简单，但实际上却需要运用到数学和几何学的知识。
通过使用射影几何的原理，我们可以确定出该点在纸上的具体位置。
除了以上的几何学和数学原理，折纸还能够帮助我们学习一些数学问题。
折纸可以帮助我们直观地理解平面图形的对称性。
当我们折叠纸张时，如果所得到的图形可以经过折叠与自身重合，那么这个图形就是对称的。
通过折纸实践，我们可以更加深入地理解对称性的概念。
折纸还能够帮助我们解决一些实际问题。
我们可以通过折纸来展示数学中的最优解问题。
假设我们需要穿过两个不同地点的一条河流，但又没有桥或者船可用。
通过折纸，我们可以确定出最短的路径，从而解决问题。
综合实践活动《趣味折纸》教案公开课
综合实践活动《趣味折纸》优秀教案公开课一、活动主题：趣味折纸二、活动目标：1. 让学生了解和掌握基本的折纸技巧。
2. 培养学生的动手能力、观察力和创造力。
3. 提高学生对传统文化的认识和热爱。
三、活动对象：小学四年级学生四、活动时间：40分钟五、活动准备：1. 折纸材料：彩纸、剪刀、胶水等。
2. 教学工具：投影仪、折纸示范视频等。
3. 辅助材料：参考书籍、作品展示板等。
教案内容：一、导入（5分钟）1. 教师简要介绍折纸的起源和发展，展示一些精美的折纸作品，激发学生的兴趣。
2. 学生分享自己对折纸的了解和经验。
二、基本折纸技巧学习（10分钟）1. 教师演示基本的折纸手法，如折、翻、剪等。
2. 学生跟随教师一起动手实践，掌握基本折纸技巧。
三、折纸作品创作（10分钟）1. 教师提出创作要求，如折纸动物、植物等。
2. 学生自由发挥，创作属于自己的折纸作品。
四、作品展示与评价（5分钟）1. 学生将作品展示在展示板上，向大家介绍自己的创作思路和过程。
2. 教师和学生共同评价作品的创意、技巧等方面，给予肯定和建议。
五、总结与反思（5分钟）1. 教师引导学生总结本次活动的收获和感受。
2. 学生分享自己的学习心得和感悟。
3. 教师对本次活动进行小结，强调折纸的重要性和传统文化的价值。
注意事项：1. 在活动过程中，教师要关注学生的动手实践，及时给予指导和鼓励。
2. 鼓励学生发挥创造力，不要过分限制学生的想象和表达。
3. 活动结束后，妥善保管学生的作品，以便后续展示和评价。
六、活动拓展：折纸艺术欣赏（5分钟）1. 教师展示一些国内外著名的折纸艺术作品，让学生欣赏和感受折纸艺术的魅力。
2. 学生分享自己对作品的看法和感受，讨论折纸艺术在生活中的应用。
七、折纸技巧提升（5分钟）1. 教师介绍一些进阶的折纸技巧，如复杂的折纸动物、人物等。
2. 学生跟随教师一起尝试学习新的折纸技巧，提升自己的折纸水平。
八、小组合作创作（5分钟）1. 学生分成小组，每组共同创作一件折纸作品。
折纸与数学
折纸与数学折纸中最基本的操作是将一张平面纸张折叠成各种形状，这就涉及到了平面几何学中的很多基本概念和性质。
折纸过程中的折痕可以看做是一条直线，而折纸完成后的形状可以看做是一个多边形或三角形。
通过折纸的操作，我们可以探究和验证很多几何定理，例如角的平分线、三角形的全等、平行线等。
在折纸中，最常见的形状是正方形和三角形。
正方形的折叠比较简单，可以通过相互交叠的方式来产生不同的形状。
而三角形的折叠则需要利用到一些特殊的技巧和方法。
将一个角平分成两个等角的方法就涉及到三角形相似和比例的概念。
除了几何学，折纸还涉及到了代数学中的一些概念和方法。
将一张纸对折，再对折两次，我们可以得到一个四层的纸片。
这个四层的纸片可以看做是四个单位的纸片，因此我们可以通过对折的操作，得到一个任意单位数量的纸片。
这就涉及到了数列和递归的概念。
在折纸的过程中，我们还可以发现一些有趣的数学现象。
将一张纸对折多次后，我们可以得到一个很厚的纸片。
这个纸片的厚度随着对折次数的增多而指数增加，可以用一个等比数列来表示。
这个数列在数学中被称为幂数列，具有很多有趣的性质和应用。
折纸还可以与平面拓扑学相结合，产生一些非常有趣的结果。
将一个可折叠的多边形沿着折痕进行折叠，最终可以得到一个立体模型。
这个立体模型可以看作是一个平面多边形通过折叠而成的，因此在平面上不可能实现的形状也可以通过折纸来实现。
折纸也可以与计算机科学相结合，形成一个新的研究领域——计算折纸。
通过计算机模拟折纸的过程，可以帮助我们研究和理解折纸的一些特性和规律。
计算折纸还可以应用于计算机图形学、机器人学等领域。
北师大版数学五年级下册《折纸》教学过程
北师大版小学数学五年级上册《折纸》教学过程后港镇江罗小学钱文峰教学过程：、复习导入：1、找出下列各组数的最小公倍数6和8 7和14 11 和92、将下列各级分数通分1/4 和3/8 7/10 和5/63、抢答：1/5+2/5 3/7+2/7 4/9+5/95/8-3/8 11/15 —11/15 7/12 —5/12小结：同分母分数相加减，分母不变，只把分子相加减。
二、探究新知：1、创设情境。
PPT出示：同学们在手工课上折纸。
淘气用一张纸的1/2折一只小船，笑笑用同一张纸的1/4 折一只小鸟。
师：根据这些信息，你能提出什么问题？你会解决这些问题吗？（学生列出算式。
）先估一估它们的和（差）是多少？PPT出示：1/2+1/4 在（）之间。
A、0—1/2 B、1/2 —1 C、1—22、尝试探索，操作验证。
师：大家估计的正确吗？我们可以用折纸的方法进行验证。
出示操作提示：（1）在长方形纸上用自己喜欢的颜色涂出它的1/2；（2）再用不同的颜色涂出它的1 /4 ；（不重复）（3）观察两种颜色一共占这张纸的几分之几。
学生动手操作后，反馈估算结果。
指名说说3/4 是怎么得出的。
3、异分母分数相加，能直接计算吗？同桌交流。
小结：异分母相加，先通分，然后按照同分母分数加法的方法进行计算。
（板书）4、自主尝试：1/2 —1/4 。
全班交流计算结果及异分母分数减法的计算方法。
完成课本“试一试”。
( 3/4+5/8 9/10 —1/6 )独立完成，同桌检查。
6小结：异分母分数加减法如何计算？( PPT出示)三、巩固练习：1、课本“练一练”第1 题。
(让学生巩固异分母分数加法的算理。
)2、课本“练一练”第3 题。
独立完成，全班交流。
3、大家对异分母分数加减法已经掌握得较好了，接下来同学们来当一次小老师，帮小马虎看看他的计算是否正确。
2/3+1/4=2/12+1/12=3/12=1/411/14—5/7=11—5/14—7=6/7(1) 先独立思考。
数学教学中折纸的应用
数学教学中折纸的应用作者：高建平来源：《中学课程辅导·教师教育（上、下）》2017年第07期摘要：折纸虽为一种手工游戏，但如果运用恰当，可以有效的解决数学问题，文章以数量关系、图形变换为实例，探究了折纸在数学中的应用。
关键词：数学教学；折纸；数量关系；应用中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）07-027-2折纸是一种以纸张折成各种不同形状的手工游戏，在提供人们娱乐的同时，还能提高动手能力，开发智力，训练思维能力。
折纸还不仅仅是一种手工游戏，在人们的社会生活中，折纸已发展成为一种艺术活动，极大地丰富了人们的物质生活和精神生活的内容。
折纸是一种手眼脑相协调的思维过程，在动手的过程中，手眼的感觉直接刺激着大脑的感觉中枢，并与思维中枢协同兴奋，从而更为有效地提高学生的学习注意力和逻辑思维能力。
一、折一折，通过空间形式来理解数量关系在苏教版五年级下册第8单元《分数加法和减法》中，开篇就是例1：明桥小学有一块长方形试验田，其中12种黄瓜，14种番茄，种黄瓜和番茄的面积一共占这块田的几分之几？在讲解这道题时，书中明确提出用纸折一折。
由于黄瓜是12，因此我们先将纸片对折，将其一半涂上颜色。
而番茄是14，故将刚刚对折完的纸片再对折一次，将其中空白一块涂色，最后展开（如图）。
通过折纸涂色之后，再询问学生12+14=？学生可以根据图像知道是34。
此时老师再进行一些总结，12+14是等于这张纸1剪去没有涂色的地方，也就是12+14=1-14=34。
在学生理解了这个题目后，可以类推到书后的一道题目12+14+18+116=？这一题看似很难，尤其如果用通分的方法进行计算，对于小学生难度可想而知。
但是，一旦运用例1折纸的思想，就会变得简单易懂。
首先，取一张长方形白纸，首先对折一次，对其中一块涂色，则涂色的占这张纸的12。
接着再对折一次，进行涂色，则涂色的占这张纸的14。
折纸，成就精彩数学课堂
数学2014·3到更快捷、更简单的解决问题的方法。
改组习题后，不同的学生根据自己的经验，采取不同的解决问题的方法，表现出学生对经验的积累层次不一。
这时提出有挑战性的问题，能唤醒学生的已有经验，有利于运用不同层次的经验解决问题，同时回顾、发展、提升了经验，使经验不断地得到生长。
二、有利经验改造美国组织行为学教授库伯提出的经验学习理论认为：“学习是始于经验，然后回归于经验、改造或者转化经验、创造知识的过程。
”小学生的经验生长是从直观、具体、形象逐步走向抽象、方法、建模的过程，一开始多表现为经历活动后在自己的情感、意志世界里留下感性的、直观的、形象的体验，到了高年级后，学生会不断地在已有经验的基础上反思、提升、改造自己的学习经验。
教师应在这个过程中提供真实的、富有挑战性的研究问题，不断地冲击着学生的已有经验，激发学生改造经验的欲望。
笔者在改编这道题之前，进行了学情调研，发现学生对图形中具体的数据十分注重，且运用数据计算发现规律的经验已经形成，但是缺少数据时学生往往没有探究的经验和方法，不知如何入手。
为此，笔者改编这道习题，旨在激发学生的已有经验，并不断引导学生改造经验，使学生获得解决这类问题的研究性经验。
通过尝试，学生从具体的图形和数据到抽象的字母表达再到模式、策略化的研究，使已有的经验得到了改造。
三、获取新的经验“获得基本的活动经验”是一个十分重要的课程目标。
学生在学习过程中获取一定数量的基本活动经验，是实现过程方法目标的基本载体。
学生达到“学会学习”最直接的学习结果，就是让学生积累基本的活动经验，获得学习方法和能力的发展，使某些活动经验积淀为策略性知识、数学学科的基本思想，甚至某些经验还会成为学习的智慧和能力。
通过改编习题，让学生产生挑战问题的欲望，进而寻求合适的方法解决问题，品尝到成功的喜悦。
同时，通过教师的适时点拨，不断地引导学生进行自我反思，使学生获得一些新的经验。
如上述案例，学生经历了独立思考、合作探究、对比冲突、改进提升的过程，从直观到抽象、从特殊到一般、从不完全归纳到完全归纳，对解决问题的方法有了质的飞跃，增长了探究性经验，获取了新的解决问题的经验，今后遇到此类问题时定会从容解决。
奇妙的数学折纸
奇妙的数学折纸
常文武
折纸可作为一种数学探究活动•数学折纸是简便易行的数学探究活动•易于获取的纸
•人人都有的一双手
•不限时间地点
折纸在中国的历史
•1866 年，由清朝徐文惠折疊贈送與法國女士 Burgot 夫人的针线包
•民国时期小学设有：折纸，抟土，木工的动手课
这里有一个魔术表演•剪折纸（kiragami）
组合折纸作品会蕴藏怎样的数学？
•组合几何与平面几何
•数学建模
•问题解决
这里还有一个组合折纸
镶嵌折纸中的数学
•这些规整的图形是怎么产生的？•作品中菱形符合怎样的数学规律？
这样的镶嵌折纸可以非常复杂
折纸与N等分线段
•请思考，如何将正方形的纸片一边三等分？如何证明这个折法正确？
方贺第一定理
在折纸中有灵动的数学思维•例一
•通过折纸可制作精确60°角。
•如何证明？
魔三角的折叠玩具（folding puzzle）。
初中数学折纸的应用
证明：如图，延长OG交DC于H， ∵EF为矩形ABCD的中位线， ∴OG=GH， 又∵∠OGC=∠HGC=90°，CG为公共边， ∴Rt△CGO≌Rt△CGH， ∴∠1=∠2． 又∵∠2=∠3， ∴∠1=∠2=∠3，即CO、CG把∠BCD三等分
“折纸”活动的教学实施流程
1.教师创设问题情境 2.引导学生发现需要解决的问题 3.提出解决问题的方案（猜想） 4.指导学生完成解决问题的过程 5.说明结论
我所讨论的基于“折纸”的初中数学 课，不是单纯的折纸游戏课，也不是在教 学生折纸的技巧，而是以纸作为工具，把 折纸作为一种媒介和手段，通过将纸张折 叠、弯曲、剪贴等方式，研究其蕴涵的数 学知识。
基本折纸活动
活动1 过给定的任意两点P1和P2，可以折出 一条直线.
活动2 已知两点P1和P2，可以折出一条直线 （对称轴）使得P1和P2重合
基于“折纸”研究几何的几点考虑：
一 是材料取得容易，随时随地可以操作； 二 是从做中学，容易上手； 三 是可以让学生体会不一样学习数学的乐趣； 四 是教学难度可深可浅，可以视教学进度和学生程 度进行补充； 五 是可以藉此培养学生完成作品的责任感和成就感。
国内有关折纸的研究现状
将折纸运用到数学教学中的研究已经进行了一个多世纪 了。在香港已经成立了香港折纸协会,并与世界其他国家的折 纸协会经常开展活动。 在国内，上海有“上海折纸俱乐部”；广州也成立了 “纸天堂折纸协会” 。 2006年，在全国高师会数学教育研究会学术年会上，上 海师范大学数理信息学院的陆新生教授发表了一篇很有价值 的论文《从芳贺第一定理看折纸数理学的教育价值》，可以 算是国内研究折纸数理学的先驱。 2009年，在第三届数学史与数学教育国际研讨会上，黄 燕苹发表了论文《用折纸探索勾股定理的古典证法》，再一 次展示了将折纸与数学结合的魅力。
折纸中的数学课程纲要与教案
《折纸中的数学》课程纲要《过点对折》教学方案过点对折一：折一折操作1：在长方形ABCD的边AB上取一点G，过点G将AB自身重合对折，折痕为GH，如图一所示操作2：在长方形ABCD的边BC上取一点F，将AD自身重合对折，且让折痕通过点F，如图二所示如图一如图二设计意图：通过动手操作，让孩子得出直观感受，过直线上一点，可以将该直线自身重合对折，且只有一条折痕。
然后老师通过引导让孩子总结折纸的基本公理：过直线上或外一点可以将该直线j自身重合对折且只有一条折痕。
让孩子体验发现的过程，并体会成功的快乐，为这节课后续过点折垂线做好准备。
二：想一想如图一的折痕GH与AB有怎样的位置关系？如图二的折痕EF与AD有怎样的位置关系？想一想如何过直线上（外）一点做已知直线的垂线？动手试一试。
设计意图：通过观察发现，过直线上一点，通过将该直线与自身重合对折，发现所得折痕与该直线垂直。
让孩子初步感受，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；同时初步让孩子掌握如何过直线外一点折已知直线的垂线。
进而得出垂线的基本性质：过直线上（或外）一点将该直线自身重合对折，所得折痕与该直线垂着三、做一做（1）折锐角三角形的垂心，过三角形三个顶点折对边的垂线，你发现了什么？并总结结论。
（2）折钝角三角形的垂心，过三角形三个顶点折对边的垂线，你发现了什么？并总结结论。
（3）折直角三角形的垂心，过三角形三个顶点折对边的垂线，你发现了什么？并总结结论。
（4）小组合作归纳结论并进行展示。
设计意图：学生在问题的提示下通过动手操作，观察折痕，发现并总结结论：三角形三条高线交于一点，锐角三角形的垂心在三角形内部、钝角三角形垂心在三角形外部、直角三角形在直角顶点处。
通过动手操作，观察总结使得孩子动手操作能力，观察分析问题的能力，和口语表达能力都得到提升。
四、小结复习老师提问：这节课你都有哪些收获？学习了哪些定理和结论，你能一一用折纸来说明吗？设计意图：通过最后总结，让孩子对所学知识进行梳理，培养孩子归纳问题总结问题的能力五、探索作业折三角形的垂心课下进行整理，并把折叠过程和发现的结论讲解并演示给班级中的其他同学。
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我们都知道数学是数理化的基础学科，而整个学习过程又是 非常晦涩难懂的一个阶段，这就要求我们老师寻求到一个好 的方法引导孩子提高对学习数学的兴趣。我们老师都注意到， 西方国家关于小学阶段，孩子们的学习探究课程是非常丰富 的。学科的知识点也都是在活动当中体现，着重培养孩子的 学习兴趣，帮助学生提高自我的学习能力，养成好的学习习 惯。这种培育学生的学习兴趣和提高学生的自我学习能力， 不也正是我们学校和老师在实际的教学过程中所积极倡导的 吗？但在具体实施过程中却是非常的困难。
Hale Waihona Puke 图形排列组合 等差数列 平面镶嵌
平面图形认知 认识四面体 无限翻转
平面图形， 图形分割， 图形建构
初识五面体，
多面体 立体组合
五面体再认知
拓扑学
十二面体
空间镶嵌， 镜像对称， “1”的认知
趣味数学折纸的拓展课程在教学过程中 的运用，就是为能提高学生对学习数学的 兴趣而设置。内容都是以动手制作为主， 特别强调了“趣味”二字，每一件作品都 有一个故事，学生们是在玩的过程中体验 数学，真正实现了“做中学，玩中学”。
趣味数学折纸的教学应用
主讲嘉宾：葛志军
折纸，历久而弥新。
自我们祖先有造纸发明以来，折纸这一 古老的技法就伴随着其历史的岁月而成 长，不断创新。最初人们发现纸除了可 以记录生活、表达艺术之外，还可以用 来剪纸。伴随着剪纸过程中，折纸也应 运而生。而折纸在运用中不仅仅停留在 聚象这一艺术形式的表达上。同时，折 纸在数学当中也开始运用，我国古代数 学家赵爽画的“弦图” ，就可以通过 折纸把它表达出来。
感谢聆 THANKS FOR ALL 听
教学运用
例如在小学阶段，当讲到线的概念时， 可以引导孩子这一折痕是直线、平行线、 垂线等，而当讲到分数时，这一折痕又 是等分的概念，同时又涉及到了图形的 分割。进而延伸到中学阶段，给孩子们 讲到2的N次方的时候，孩子们只要动动 手就不难理解了！正所谓知行合一就是 这个道理！
教学的困顿
我们的学科老师特别是数学老师，往往 在课堂上给学生们讲定理、数学概念时， 我们的学生通常表现出来的是，开始都 是一头雾水，似懂非懂，老师要反复讲 好多次，有些孩子还是不懂，最终导致 的结果是学生痛苦、老师痛苦，家长更 痛苦！随着日积月累，有一些小孩子对 学习数学的态度发生了变化，都会感觉 到数学很难，没意思，因而心理上就产 生了恐惧感！这对于中小学阶段培养孩 子创新型思维、特别是培养数学思维是 不利的。
折纸的教学现 状
基于教学课改中对于创新型课程的需求， 我们将折纸与数学学科联系到了一起， 我们注意到，传统的折纸只停留在折个 花、鸟、虫等艺术表现形式上，具体的 折纸也只是把它归类到美学这一科。
折纸与数学
基于教学课改中对于创新型课程的需求， 我们将折纸与数学学科联系到了一起。 折纸的过程与数学学科联系是非常的紧 密。当我们拿到一张纸时，不管是什么 形状，习惯地把它对折、平分，而这一 折它的折痕在数学的表达上就有了意义， 内容已经是非常丰富了。
基于数学折纸 的STEM课程
趣味数学折纸拓展课程的设立，就是要 让孩子们动手体验、感悟！我们相信孩 子们的学习热情会被积极地调动起来。 通常在现行数学教学过程中，这一动手 环节是很少的，学生们都被抽象的数学 概念所引导，所以孩子们的学习是被动 的、晦涩的、枯燥的。而趣味数学折纸 拓展课程就是实现了让孩子们从动手感 知，建构实像到理论抽象的过程，这个 过程孩子们是快乐的，因为他们是在动 手过程中实现的。
教学理念
不愤不启， 不悱不发
教学目标
趣味数学折纸拓展课程的设计和实 施，着重提升了孩子在学习方面的 各种能力，培养学习的专注度、情 绪控制、培养孩子的动手能力、创 造力及数学思维能力
教学实施
动手 观察 思考 解决
“数学好玩”
著名数学家陈省声
二维平面 到三维立体， 拓扑学
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