样本特征数
第五讲 样本特征值
2、反映平均水平的另外几类 2.1中位数:将样本的观察值按其数值 大小顺序排列起来，处于中间位置 的那个数值。 例：7.1 7.3 7.4 7.6 7.7 7.2 7.3 7.4 7.4 7.6 7.7
2.2众数：是样本观察值在频数分布 表中频数最多的那一组的组中值。
2.3几何平均数：是样本观察值 的连乘积，并以样本的总数为次 数开方求得。
C.V .＝ S / X ×100%
C.V. = 6.23 / 47.87×100% = 13.01 %
往返跑
C.V. = 0.85 / 12.83×100% = 6.63 %
由于往返跑的 C.V 值比握力的 C.V 值小, 因此, 表明往返跑的水平整齐。
第五节 偏斜度与峰度 1、偏斜度：A3＝(Σ（X-X）3/n)/S3 2、峰度:A4=(Σ（X-X）4/n)/S4
第六节 平均数和标准差在体育中的应用 一、均数和标准差选择参赛运动员的应用 二、变异系数在稳定性研究中的应用 三、X±3S法在原始数据逻辑审核中的应 用
实例操作
1、打开“体质数据”文件 2、计算各样本统计量 ３、三线表展示
课堂练习
重四节
变异系数
也是反映样本内个体差异大小的统计量。两 个指标的测量单位相同，但平均数相差较大时,不 能直接比较标准差 S , 当两个指标的测量单位不 同，更不能直接比较标准差S , 这时,要比较变异 系数,变异系数大表示该指标样本内个体差异大。 变异系数的计算公式 例：握力
第三节 X的合成计算与S的合成计算 一、平均数的合成计算 1、样本含量相同的X合计算
x=∑xi/k 2、样本含量不等时的X合计算 例：某年级有四个班，各班的人数与跳高成 绩的X、S等结果如下表所示。
体育统计第三章样本特征数
频数点
Excel函数
某小学二年级3班、4班80名男孩身高数据(单位：cm)：
135
134
129
133
131
131
131
134
140
128
136
127
131
137
115
133
134
124
128
135
133
131
123
131
136
144
143
140
124
144
138
127
131
120
121
125
130
例: 2 6 6 6 6 6 10 = 6
Excel函数
AVERAGE 算术平均数 [统计函数]
适 用：返回一组数据的集中趋势及平均水平
公 式：
x
x
n
预 备：数据区域A2：A6中，分别输入10，7，9，27，2
结果区域A8
函数窗：AVERAGE（A2：A6）等于 11
语 法：AVERAGE（数据区域）等于 平均数
20
频数
15 10
5
0
3班、4班频数分布图 身高上限
频数点
1班、2班与3班、4班身高频数分布表
身高下限 身高上限 1、2班频数3、4班频数
115
117
1
5
118
120
3
7
121
123
8
8
124
126
10
9
127
129
20
11
130
132
19
11
133
135
高考数学复习点拨：关注样本数字中的三个特征数
关注样本数字中的“三个特征数”山东杨道叶一、要点扫描1。
众数是在一批数据中，出现次数最多的数。
若该组数据中有两个或几个数据出现地最多,且出现的次数一样，这些数据都是这组数据的众数；若该组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数。
当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其众数往往更能反映问题.2. 中位数是将一组数据按从小到大的顺序依次排列，当数据有奇数个时，处在最中间的那个数；当数据有偶数个时，处在最中间的两个数的平均数. 中位数可能出现在所给数据中,也可能不在所给数据中。
当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势。
3．众数、中位数和平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量。
4。
三者在频率直方图中的体现：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等（注：这样求出的中位数是近似值)；在频率分布直方图中最高矩形的中点即为该组数据的众数.5.实际问题中求得的平均数、众数和中位数都应带上单位。
二、范例点悟例1 某农科所有芒果树200棵，2005年全部挂果,成熟期一到，随意摘下其中10棵树上的芒果，分别称得质量如下（单位：千克）：10,13，8，12，11，8，9，12，8，9。
(1）求样本平均数；(2)估计该农科所2005年芒果的总产量.分析：应用样本平均数公式计算样本平均数，再估计总体平均数,从而求出该农科所2005年芒果的总产量。
解析：（1）样本平均数1(101381211891289)10x =++++++++++ 1(1010322121221)10=⨯++++－－－－－ =10(千克）。
（2）由样本平均数为10千克,估计总体平均数也是10千克，所以总产量为200102000⨯=（千克)。
评注：用样本平均数估计总体平均数是计算的关键，因此计算平均数一定要准确，同时要理解平均数的含义。
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征
在统计学中，样本是从总体中抽取的部分数据。
样本的数字特征是通过对样本数据的分析和计算得出的描述性统计量，可以用来估计总体的数字特征。
本文将介绍常用的样本数字特征，并讨论如何利用这些特征来估计总体的数字特征。
一、样本的数字特征
1. 平均数：样本的平均数是样本数据的总和除以样本的个数。
平均数是样本数据的中心位置的度量，可以用来估计总体的平均数。
2. 中位数：样本的中位数是将样本数据按照大小排列后，位于中间位置的数字。
中位数是样本数据的中心位置的度量，可以用来估计总体的中位数。
3. 众数：样本的众数是样本数据中出现次数最多的数字。
众数可以表示样本数据的最常见的数值，可以用来估计总体的众数。
4. 方差：样本的方差是样本数据与样本均值之差的平方的平均值。
方差反映了样本数据的离散程度，可以用来估计总体的方差。
5. 标准差：样本的标准差是样本方差的平方根。
标准差也反映了样本数据的离散程度，可以用来估计总体的标准差。
三、注意事项
1. 样本的数字特征只能提供对总体数字特征的估计，估计的准确程度取决于样本的大小和抽样方法的随机性。
样本越大，估计的准确性一般越高。
2. 在利用样本数字特征估计总体数字特征时，需要考虑样本的代表性。
抽样时要保证样本能够代表总体的各个特征和属性。
3. 样本数字特征只能给出对总体数字特征的一种估计，通过使用统计方法和推断技巧，可以给出估计结果的置信区间和可靠程度。
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征
样本的数字特征是描述样本数据分布情况的统计量，可以通过样本的数字特征来估计总体的数字特征。
在统计学中，常用的样本数字特征包括均值、中位数、方差、标准差和偏度等。
这些数字特征可以帮助我们了解数据的集中趋势、离散程度和偏斜程度，从而对总体的情况进行估计。
均值是样本数据的平均值，可以用来估计总体的平均值。
通过样本均值来估计总体均值的过程称为点估计。
如果样本均值是来自一个大样本，并且满足一些假设条件，那么根据中心极限定理，样本均值的抽样分布将服从正态分布，从而可以利用正态分布的性质进行总体均值的估计。
中位数是样本数据的中间值，可以用来估计总体的中位数。
中位数能够较好地反映数据的中间位置，不受极端值的影响。
对于偏斜的数据分布，中位数通常比均值更能够代表数据的中心位置。
方差和标准差是样本数据的离散程度的度量，可以用来估计总体的离散程度。
方差是各数据与均值之差的平方和的平均数，而标准差则是方差的平方根。
通过样本的方差和标准差，我们可以对总体的离散程度进行估计。
偏度是样本数据分布偏斜程度的度量，可以用来估计总体的偏斜程度。
偏度为0表示数据分布不存在偏斜，大于0表示右偏，小于0表示左偏。
通过样本的偏度，我们可以了解数据分布的偏斜情况，从而对总体的偏斜程度进行估计。
样本的数字特征可以帮助我们对总体的数字特征进行估计。
在进行估计时需要注意样本的代表性、样本容量以及样本的分布情况等因素，以确保估计的准确性和可靠性。
在进行估计时还可以利用区间估计的方法，即通过样本数字特征来估计总体数字特征的置信区间，以提高估计的精度和置信度。
样本的数字特征与样本分布的数字特征
样本的数字特征与样本分布的数字特征样本分布是从总体中按一定的分组标志选出来的部分样本容量，是指样本估计量的分布。
样本的数字特征是精确值，而样本分布的数字特征是估计值。
一、求样本的数字特征典型类型1.已知1x n x x ，， 2的平均数为3，标准差为2，求23-23-23-21+++n x x x ，，， 的平均数与方差。
分析：对平均数和方差定义的理解，对公式)()(,)(E 2x D a b ax D b x aE b ax =++=+）（的应用。
2.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”。
过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：总体平均数为3，中位数为4； 乙地：总体平均数为1，总体方差大于0； 丙地：中位数为2，众数为3； 丁地：总体平均数为2，总体方差为3.A. 甲B.乙C.丙D.丁分析：本题的考查学生熟练掌握样本数字特征的意义以及分类讨论思想3.已知样本数据由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12,13.7,18.3,20，且样本的中位数为10.5，若使该样本的方差最小，则a ，b 的值分别为( ) A ．10,11 B ．10.5,9.5 C ．10.4,10.6 D ．10.5,10.5 分析：将求方差的最值转为二次函数的最值。
4.某校年级长为了解本校高三一模考试的数学成绩，随机抽取30名学生的一模数学成绩，如下所示：110 144 125 63 89 121 145 123 74 96 97 142 115 68 83 116 139 124 85 98132 147 128 133 99 117 107 113 96 141则这30名学生的一模成绩的25%分位数为________，50%分位数为________．分析：考查学生对分位数定义的理解5.了解每个工人对某零件的日加工量，统计员分别从两车间抽取了甲、乙两人日加工量的两个样本．抽到甲的一个样本容量为10，样本平均数为5，方差为1；乙的一个样本容量为12，样本平均数为6，方差为2.现将这两组样本合在一起，求合在一起后的样本的平均数与方差．分析：考查分层抽样下的数字特征公式的应用，条件假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，x m，平均数为x，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，y n，平均数为y，方差为t2结论如果记样本均值为a，样本方差为b2，则a＝m x＋n ym＋n，b2＝1m＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ms2＋nt2＋mnm＋nx－y2.令w1＝mm＋n，w2＝nm＋n，则a＝w1x＋w2y，其中w1，w2称为权重二、求样本分布的数字特征典型类型1.如图是一次考试结果的统计图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为________．分析：样本分布—频数分布直方图2. 某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：等待时间[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25] (分钟)频数4852 1用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x＝________.分析：样本分布——列表3.(2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．分析：样本分布——频率分布直方图。
样本数字特征估计总体数字特征
1、众数、中位数、平均数； （1）众数的定义: 在一组数据中，出现次数
最多的数据叫做这一组数据的众数。 众数的特点: (1)众数容易计算;
(2)众数只能表示样本数 据的很少一部分信息;: 将一组数据按大小依次
排列，把处在最中间位置的一个数据（或
两个数据的平均数）叫做这组数据的中位 数。
标准差为0的样本数据都等于样本平均数.
标准差表现为：标准差越大，表明数据的离散程 度就越大；反之，标准差越小，表明各数据的离 散程度就越小。
标准差的作用:
它用来描述样本数据的离散程度。在实际应用中，
标准差常被理解为稳定性。
8
1.农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中 连续6年的年平均产量如下（单位：500g）：
中位数的特点: (1)中位数易计算,能较好地表
现数据信息;
(2)中位数不受少数极端数据 的影响;
(3)中位数常用于数据质量较
差(即存在一些数据错误)时.
2
复习：
（3）平均数的定义:一组数据的和除以数据 的个数所得到的数.
平均数的特点:(1)平均数能反映出更多的关于
样本数据全体的信息;
(2)任何一个样本数据的改变都 会影响到平均数的变化;
(3)平均数受极端值的影响较大;
(4)平均数主要用数据质量较好 的前提下.
3
2.用样本频率分布直方图估计样本的 众数,中位数和平均数
(1)众数规定为频率分直方图中最高矩形上端的 中点.
(2)中位数两边的直方图的面积相等
(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形 的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
4
练习1、某班12名学生体育考试跳高成绩如下 （单位：米）： 1.58 1.59 1.57 1.61 1.58 1.65 1.60 1.64 1.58 1.66 1.64 1.56 求这些学生跳高成绩的中位数、众数、平均数.
出样率计算公式
出样率计算公式一、什么是出样率？出样率是指在统计样本中出现某一特征的频率或比例。
在市场调研、市场营销等领域中，出样率是一种常用的衡量指标，用于了解和评估某种特征在总体中的分布情况。
二、出样率计算公式出样率的计算公式如下：出样率 = (特征样本数 / 总样本数) × 100%其中，“特征样本数”指的是具备某一特征的样本数量，“总样本数”指的是总体样本数量。
三、出样率计算实例为了更好地理解和应用出样率计算公式，我们以市场调研为例进行说明。
假设某公司对某一产品的市场需求进行调研，总共调查了500个消费者。
调查结果显示，其中有200个消费者表示愿意购买该产品。
现在我们来计算该产品的出样率。
根据出样率的计算公式，我们可以得到：出样率= (200 / 500) × 100% = 40%因此，该产品的出样率为40%。
四、出样率的意义和应用出样率在市场调研和市场营销中具有重要的意义和应用价值。
1. 了解市场需求：通过计算出样率，可以了解某一产品或服务在市场中的需求程度。
出样率高表示有较多的消费者愿意购买，反之则需进一步分析原因并进行调整。
2. 制定营销策略：根据不同人群的出样率，可以制定针对性的营销策略。
如果某一特定人群的出样率较高，则可以通过重点营销来提高销售量。
3. 评估市场竞争力：通过计算出样率，可以评估某一产品或服务在市场中的竞争力。
如果出样率较低，说明市场中存在较多的竞争对手，需要进一步提高产品的竞争力。
4. 监测市场变化：通过定期计算出样率，可以监测市场需求的变化趋势。
如果出样率呈现逐渐下降的趋势，说明市场对该产品的需求正在减少，需要及时调整市场策略。
五、注意事项在计算出样率时，需要注意以下几点：1. 样本选择的随机性：样本选择应具有随机性，以保证结果的准确性和代表性。
2. 样本容量的合理性：样本容量应根据实际情况确定，过小的样本容量可能导致结果的偏差。
3. 数据的真实性：样本数据应来源于真实的市场调研或调查，以避免结果的误导性。
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征【知识点的知识】1．样本的数字特征：众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．2、三种数字特征的优缺点：：（1）样本众数通常用来表示分类变量的中心值，比较容易计算，但是它只能表示样本数据中的很少一部分信息．（2）中位数不受少数几个极端值的影响，容易计算，它仅利用了数据排在中间的数据的信息．（3）样本平均数与每个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变．这是中位数，众数都不具有的性质，也正因为这个原因，与众数，中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．（4）如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．（5）使用者根据自己的利益去选择使用中位数或平均数来描述数据的中心，从而产生一些误导作用．3、如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字．（最高矩形的中点）估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等．估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．4、样本平均数、标准差对总体平均数、标准差的估计现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体的平均数与标准差是不知道（或不可求）的．如何求得总体的平均数与标准差呢？通常的做法是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差．这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．如要考查一批灯泡的质量，我们可从中随机抽取一部分作为样本，要分析一批钢筋的强度，可以随机抽取一定数目的钢筋作为样本，只要样本的代表性强就可以用来对总体作出客观的判断．但需要注意的是，同一个总体，抽取的样本可以是不同的．如一个总体包含6个个体，现在要从中抽取3个作为样本，所有可能的样本会有20种不同的结果，若总体与样本容量较大，可能性就更多，而只要其中的个体是不完全相同的，这些相应的样本频率分布与平均数、标准差都会有差异．这就会影响到我们对总体情况的估计．。
高考中的样本特征数问题
(2)设 抽 出 的 7 名 同 学 分 别 用 A,B,C, D,E,F,G 表 示,现 从 中 随 机 抽 取 2 名 同 学 承担敬老院的卫生工作。
①试用所给字母列举出所有可能的抽取 结果。
②设 M 为事件“抽取 的 2 名 同 学 来 自 同 一年级”,求事件 M 发生的概率。
减去一个 与 它 们 的 平 均 数 接 近 的 常 数,则 新
数据的方差等于原数据的方差。 四 、考 查 样 本 特 征 数 与 概 率 的 综 合 问 题
例 4 (2018 年 高 考 天 津 卷 )已 知 某 校 甲,乙,丙三个年级的学生 志 愿 者 人 数 分 别 为
240,160,160。 现 采 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 中 抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动。
21
知识篇·知识结构与拓展 高一使用 2019年12月
高考对方差的考查仍是
以熟练运用 公 式 为 前 提,重 点
考查 公 式 的 具 体 运 用。 方 差 公 式 为 s2 =
n 1i∑=n1(xi -x)2
或s2
1 =n
(x21
+x22
+
…x2)。当一组数 据 较 大 时,将 各 个 数 据 同 时
位 数 是 6, 极 差 是 4, 方 差 是
(-2)2+
(-1)2+02 5
+12
+22
=2;
乙的 平 均 数 是5+5+5 5+6+9=6,中 位
数 是 5, 极 差 是 4, 方 差 是
(-1)2+
用于描述样本特征的指标
用于描述样本特征的指标
样本特征的指标是用于描述样本的特征或属性的量化指标。
以下是一些常用的样本特征指标：
1. 平均值（Mean）：样本中所有观测值的平均数，用于描
述样本的中心位置。
2. 中位数（Median）：将样本观测值按大小排序，取中间
位置的值，用于描述样本的中心位置。
3. 众数（Mode）：在样本中出现次数最多的观测值，用于
描述样本的集中趋势。
4. 方差（Variance）：观测值与平均值之间的差异的平方
的平均数，用于描述样本的离散程度。
5. 标准差（Standard Deviation）：方差的平方根，用于
描述样本的离散程度。
6. 百分位数（Percentile）：将样本观测值按大小排序，
取特定百分比位置的值，用于描述样本的分布。
7. 最小值（Minimum）：样本中观测值的最小值，用于描
述样本的最小值。
8. 最大值（Maximum）：样本中观测值的最大值，用于描
述样本的最大值。
9. 偏度（Skewness）：描述样本分布的不对称程度，正偏表示右侧尾部较长，负偏表示左侧尾部较长。
10. 峰度（Kurtosis）：描述样本分布的尖锐程度，正峰表示分布较尖锐，负峰表示分布较平缓。
11. 相关系数（Correlation Coefficient）：描述两个样本变量之间的线性关系的强度和方向。
12. 协方差（Covariance）：描述两个样本变量之间的总体偏离程度。
这些指标可以帮助我们了解样本的中心趋势、离散程度、分布形状、关联性等特征。
根据具体的研究问题和数据类型，选择适当的指标进行描述和分析。
样本 特征值 计算贡献度
样本特征值计算贡献度
样本是指在统计学和机器学习中用来进行分析和研究的数据集中的个体数据点。
在统计学中，样本通常是从总体中抽取的一部分数据，以便对总体特征进行推断。
在机器学习中，样本是用来训练和测试模型的数据点。
特征值是指在统计学和线性代数中用来描述数据集或矩阵特征的数值。
在统计学中，特征值可以用来描述数据集的变化和分布情况。
在线性代数中，特征值是矩阵的一个重要属性，可以用来描述矩阵的行为和性质。
计算贡献度是指在统计学和数据分析中用来衡量某个变量对整体变量变化的影响程度。
在主成分分析等数据分析方法中，计算贡献度可以帮助我们理解每个特征值对总体变化的贡献程度，从而选择主成分或者特征向量。
综合来看，当我们在进行数据分析时，可以通过计算样本的特征值来评估每个特征对整体数据集的贡献度。
这有助于我们理解数据集的结构和特征之间的关系，从而更好地进行数据建模和分析。
在实际应用中，我们可以利用这些信息来选择合适的特征或者进行降维处理，以便更好地理解和利用数据。
样本的数字特征
样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差.
题型一
计算方差(标准差)
【例题 1】从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,统计如下表,
出更多的关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中极端值的影
响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低.
【做一做 3】10 名工人某天生产同一零件,生产的件数是
15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,则其平均数是
.
1
解析:平均数是10(15+17+14+10+15+17+17+16+14+12)=14.7.
2
答案:3
3.平均数
(1)定义:一组数据的和与这组数据的个数的商.数据 x1,x2,…,xn
+ +…+
的平均数为 = 1 2
.
(2)特征:平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的平均
水平.任何一个数据的改变都会引起平均数的变化,这是众数和中位
数都不具有的性质.所以与众数、中位数比较起来,平均数可以反映
中位数、标准差、方差是不知道的,因此,通常用样本的平均数、众
数、中位数、标准差、方差来估计.这与上一节用样本的频率分布来
近似地代替总体分布是类似的.只要样本的代表性好,这样做就是合
理的,也是可以接受的.
用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类:用样本平
均数估计总体平均数;用样本标准差估计总体标准差.样本容量越大,
数据 x1,x2,…,xn 的平均数 =
1
(x +x +x +…+xn),则就有
5.2 样本的数字特征
的样本有9个 其频率为 其频率为0.818>p; 取Q=3.2，则小于等于 的样本有 个,其频率为 ，则小于等于3.2的样本有 大于等于3.2的样本有 的样本有3个 其频率为 其频率为0.27≥0.2=1-p. 大于等于 的样本有 个,其频率为
为上述样本的0.8分位数 故3.2为上述样本的 分位数 为上述样本的 分位数.
i =1
n 2 n
n
(2)∑ ( X i − X ) = 0
i =1
n
n 2 1 n 2 2 2 (3)∑ ( X i − X ) = ∑ X i − ( ∑ X i ) = ∑ X i − nX n i =1 i =1 i =1 i =1
2
2、样本方差，标准差和变异系数 、样本方差， ）、样本方差 （1）、样本方差 ）、
§5.2. 样本的特征数 1、样本均值 、
1 n X = ∑ Xi n i =1
观测值为
1 n x = ∑ xi n i =1
如果数据是分组整理过的,则有 则有: 如果数据是分组整理过的,则有:
1 k x = ∑ f i x( i ) n i =1
1
可以证明如下结论： 可以证明如下结论：
(1)∑ X i = n X
(1)众数 众数(mode)的观测值为样本观测值中重复 众数 的观测值为样本观测值中重复 出现的频数最大的观测值（或组中值）； 出现的频数最大的观测值（或组中值）；
7
(2)极差 极差(range)的观测值 最大观测值于最小 的观测值=最大观测值于最小 极差 的观测值 观测值之差； 观测值之差； (3)p分位数 分位数(0<p<1)的观测值 为样本观测值 的观测值Q为样本观测值 分位数 的观测值 中的某一个观测值(或组中值 ，不大于Q的观 中的某一个观测值 或组中值)，不大于 的观 或组中值 测值的频率不小于p，不小于 的观测值的频 测值的频率不小于 ，不小于Q的观测值的频 率不小于1-p； 率不小于 ；
样本特征数
解：由于此三个项目的单位不同，要比较其稳定 性，需比较它们之间的变异系数。 跳高：
（四）平均数和标准差在选择参赛运动员中的应用
教练员可以根据比赛对手的情况，再根据自 己运动的情况合理的选择参赛队员运动员的 运动因素本身，主要涉及到三方面因素：
1、运动员的最好成绩 2、运动员的平均成绩 3、运动员成绩的稳定性
（5）标准差：
12 345
平均数=3
离差 ：
-2 -1 0 1 2
离差和 ：
0
离差平方和：
10
方差 ：
2
标准差：
2、标准差的计算
（1）直接法计算标准差：
例：现有10名男运动员立定三级跳的成绩如下： 求其s
解：
a、列表
b、代入公式
a、列表
b、代入公式
（2）加权法：加权法是利用频数分布表来 计算的，主要应用于大样本资料。
e、填写组序差（即缩减值）
f、计算fd;并∑fd，（，并∑） g、求缩减变量的平均数
h、求原始变量的平均数
i、计算标准差
作业：见教材，布置作业（用简捷法计算 平均数和标准差）
（三）变异系数 CV
变异系数——标准差占平均数的百分比
运用：当不同单位的样本，比较其离散程度， 需用没有单位的变异系数，此外，两个样本即使 单位相同，但均数相差太大时，不能用标准差比 较其离散程度，而应用变异系数。
（五）x ±3S法在原始数据逻辑审核中的应用
（六）中位数
定义：中位数指将观测值由小到大按顺序排 列，位置居中的哪位数便是中位数。即有一 半的观测值比中位数大，有一半比它小。
当数据分布不对称时，中位数不受个别极端 数的影响，用中位数反映集中趋势和平均水 平，较平均数更合理，更有效。
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100 % 1 . 25 %
CV 2
S2 x2
100 %
0 . 18 5 .9
100 % 3 . 05 %
说明该运动员100 m成绩较稳定
第三节 百分位数
一、定义：将一组数据从小到大排成有序数列，并将其100 等分，每一 等分处即是一个百分位，第 H等分处，称第H百分位数，即PH。 二、适用条件：百分位数可以描述任何分布数据资料的特征。 三、百分位数的计算：
试比较这两项成绩的离散程度。
解：这两组数据虽然单位相同，但 X相差较大，不能用S作比较，而应计算CV。 跳远：
CV 1
S1 x1
100 %
0 . 12 5 . 69
100 % 2 . 11 %
跳高：
CV 2
S2 x2
100 %
0 . 04 1 . 72
100 % 2 . 33 %
种辅助指标，以便大体了解数据的扩散程度。 【缺点】１、由于极端值的偶然性，会影响它的可靠 性和稳定性。 2、未把观察值都考虑进去，在分析资料中有
很大的局限性。
二、方差
S
2
(x x) n 1
2
x x 离均差（每一个实测值与均数之差）
n 1
自由度（能够独立自由变化的变量个数）
【缺点】方差的单位与原观察值的单位不一致，如身 高原来的单位是 cm ，而方差的单位就成了 cm2 ，为统一单位,方差开方便得到了Ｓ。
以不同的百分位数来描述离散的程度。
复习思考题
1、何谓集中位置量数、离中位置量数？常用的统计量有哪些？
2、什么叫平均数、中位数和众数？它们各适用于描述哪类数据分布？
3、举例说明标准差与变异系数的联系与区别。 4、测得12名男运动员的纵跳成绩为（单位：㎝）72，73，63，73， 64，58，59，56，62，67，69，66，计算其 x , M d 和 S 。
三、标准差
（一）计算
1. 小样本资料Ｓ的计算
S
(x x)
n 1
2
x
2
( x ) n
2
n 1
2. 大样本资料Ｓ的计算
S
fd
2
( fd ) n
2
n 1
i
（二）代表的意义 当两组变量相近时：
Ｓ较大，说明变量值围绕 x 的分布较广，
x 的代表性较差。
Ｓ较小，说明变量值围绕 x的分布较密集，
i 160
17 120
2 159 . 7
练习：某校150名男生60米跑成绩如表，求 x
x
A
n
fd
i 8 . 85
26 150
0 . 3 8 . 80
二、中位数
M
d
（一）定义：将一组数据按大小顺序排列，位置居中的数。 （二）适用条件：适用于在一组变量中，大部分较集中,只有少数 的甚至个别的分散在一侧的资料，它不受极端 数据的影响。 x是描述数据集中趋势较好的指标，但因与资料中的每个 变量值都有关，灵敏性较高，易受极端数据的影响，为避免极端 数据的影响，最好用 Md 表示集中趋势。
n
fd
i
Байду номын сангаас
Ａ— 假定均数，一般选取频数最多的那组的组中值。
d — 组序差（缩减值或简化后的组中值） d
x A i
.由于等距分
组（即 i 相等）， d 值是有规律的，Ａ 所在组d=0, 向上 依次是-1,-2,-3……..向下依次为1,2,3……。
例:120名18岁女孩身高如下表，求平均数.
4.Ｓ和CV的区别 【相同点】 都是反映变量的离散程度。
【不同点】
Ｓ只能对相同性质资料的离散程度进行比较。
CV能比较不同水平、不同性质的资料数据的离散程度。
例: 某运动会少年女子跳远前6名的 少年女子跳高前6名的
x1 5 . 69 m
x 2 1 . 72 m
S 1 0 . 12 m
S 2 0 . 04 m
P5在2.0-组
( 7 2 ) 2 . 05 ( m )
同理：
P15 L i f ( nH 100 0 . 1 140 15 F ) 2 .1 ( 13 ) 2 . 13 ( m ) 24 100
0 . 1 140 50 P50 L ( F ) 2 .3 ( 66 ) 2 . 31 ( m ) f 100 39 100 i
x 的代表性较好。
四、变异系数 CV
100 % 1、定义：标准差与均数的百分比。 x 兼顾了x与Ｓ，描述了一组数据相对于x的变异 程度，是一个无量纲的统计量。 2、适用条件： （1）单位相同但均数差异较大（如标枪、铅球） （2）单位不同（如投掷、百米） 3、代表的意义：CV大，说明变量值的离散程度大。 CV小，说明变量值的离散程度小。 CV S
2 2
S
x
2
0 . 61
∑
返回
例：120名18岁女孩的身高如下表：
S
815
fd
2
( fd ) n
2
n 1 ( 17 )
2
i
5 . 23
120 120 1
2
返回
d
(
n 2
F ) 2 . 35
三、众数
M
o
众数也是集中位置量数的一种。它是一组
数据中出现次数最多的那个数，用 M 表示。
o
众数的计算有理论众数和粗略众数两种方法。
四、x、Md、MO 三者的关系（数据呈正态分布）
第二节 离中位置量数
一、极差（全距）
【优点】是反映离散程度一种简单的方法，可作为一
第三章 样本特征数
主讲教师：王丽艳 徐栋
样本特征数：
集中位置量数：反映数据集中趋势的特征数。 如平均数、中位数和众数等。
离中位置量数：反映数据离散趋势的特征数。
如方差、标准差和变异系数等。
第一节 集中位置量数
一、算术平均数 1.小样本资料平均数的计算
x
n
x
2.大样本资料平均数的计算
x A
5、某市120名12岁健康男孩身高（㎝）资料制成频数分布表，如表所 示，求（1） x , M 和 S 。 （2） p 25 , p 50 , p 75
d
6、将测得的某校某年级100名男生原地纵跳成绩（cm）制成频数分布 表，如表所示。求 p 5 , p 25 , p 50 , p 90
第5题表：
第6题表：
(5)
-6 -20 -32 -33 -28 -15 0 15 22 30 24 20 6
-17
(6)
36 100 128 99 56 15 0 15 44 90 96 100 36
815
(7)
1 5 13 24 38 53 73 88 99 109 115 119 120
-
160
x A
n
fd
PH L i f ( nH 100 F)
PH — 第H百分位数
L — 百分位数所在组的下限
i
H
— 组距
— 百分位
f
F
— 百分位数所在组的频数
— 百分位数所在组前一组的累计频数
例：某年级立定跳远成绩如下表，求P5、 P15、 P50 、P75。
nH/100=5×140/100=7
P5 L i f ( nH 100 F ) 2 .0 0 .1 11
P75 L i f nH 100 0 . 1 140 75 F ) 2 .3 ( 66 ) 2 . 40 ( m ) 39 100
nH
(
四、百分位数代表的意义：
1、 P5 指所有变量值中低于此水平的仅有5%
P5 指所有变量值中高于此水平的有95% 2、 P50就是中位数，以中位数描述样本的集中趋势。
因为跳远的CV小于跳高，所以跳远的离散程度亦即变异程度小于跳高。
例：某男运动员，主项为 100m，兼项为跳远，主兼项20 次测试结果为100m：x1=12s，s1=0.15s；跳远： x2=5.9 m ，s2=0.18 m 比较主兼项成绩的稳定性。
解：
CV 1
S1 x1
100 %
0 . 15 12
(三)计算 1.小样本资料
M
d
的计算
d
（1）n为奇数： M
x n 1
2
（2）n为偶数：为位置居中间的两个数的均值，即有序数
列中第
n 2
和
n 2
1
位所对应的两个数的均值。
d
2.大样本资料
M
d
的计算
M
L
i f
(
n 2
F)
L— 中位数所在组的下限
f — 中位数所在组的频数
F — 中位数所在组前一组的累计频数
例：120名18岁女孩身高如下表，求
M
d
n/2=60
L i f n 2
M
d
在159-组
2 20 120 2 53 ) 159 . 7
M
d
(
F ) 159
(
练习:某年级立定跳远成绩如下表，求 M
d
n/2=80
M L i f
M
d
在2.3-组
0 .1 160 ( 80 61 ) 2 . 35
组限 （1）
147～ 149～ 151～ 153～ 155～ 157～ 159～ 161～ 163～ 165～ 167～ 169～ 171～