一元二次方程根与系数之间的关系

中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间关系

从暑假开始,我们系统学习了一元二次方程解法及一元二次根判别式和一元二次方程根与系数之间关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次,我们将学习几何中第六章解直角三角形.

一、基本内容

1.一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数次数最高是2整式方程叫一元二次方程.

2.一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0)

3.解法:

①直接开平方法:形如x 2=b(b ≥0)和(x+a)2=b(b ≥0)形式可直接开平方.如(3x-1)2=5两边开平方得:

513±=-x 513±=x 3

51,35121-=+=∴x x ②配方法:例:01232=--x x

解:1232=-x x 31322=-

x x 9

13191322+=+-x x 94)31(2=-x 3

231±=-x 3231±=x 3

1,121-==∴x x 此类解法在解一元二次方程时,一般不用.但要掌握,因为很多公式推导用这种方法. ③公式法:)0(2)0(02≥∆∆±-=≠=++a

b x a

c bx ax 的求根公式是 ④因式分解法:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)形式,将一元二次方程转化成ax+b=0,cx+d=0形式,变成两个一元一次方程来解.

4.根判别式:△=b 2-4ac

b 2-4ac>0 方程有两个不相等实根. b 2-4ac=0 方程有两个相等实根.

b 2-4ac<0 方程无实根.

b 2-4a

c ≥0 方程有实根.

有三种应用:

①不解方程确定方程根情况.

②利用方程根条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等)

利用Δ建立不等式求m 或k 取值范围.

③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平方式,叙述不论m(或k)无论取何值,一定有Δ>0或Δ<0来证.

5.根与系数间关系,某x 1,x 2是ax 2+bx+c=0(a ≠0)根,则a

c x x a b x x =⋅-=+2121,. 应用:

①不解方程,求方程中m 或k 值或另一根.

②不解方程,求某些代数式值.

③利用两根关系,求方程中m 或k 取值范围.

④建立一个方程,使它与原方程有某些关系.

⑤一些杂题.

二、本次练习:

(一)填空题:

1.关于x 方程mx mx m x x -=-+2223是一元二次方程,则m=____.

2.将方程4x 2-kx+k=2x-1化成一元二次方程形式是____.其一次项系数是____,常数项是____.

3.代数式(x+2)2+(x-2)2值与8(x 2-2)值相等,则x=____.

4.x x 2

52-+( )=(x- )2 5.方程2x 2+(k-1)x-6=0一个根是2,则k=____.

6.已知方程3x 2-2x-1=0两根是x 1,x 2,则2221x x +=____;2

112x x x x +=____; 3231x x +=____;2

111x x +=____;||21x x -=____. 7.已知2x 2-(2m+1)x+m+1=0两根之比是2:3,则m=____.

8.以3和3

2-为根方程是____. 9.以2

35,235-+为根方程是____. 10.以2x 2-3x-1=0两根平方和及倒数和为根方程是____.

11.以2x 2-5x+1=0两根平方根方程是____.

12.以比3x 2-2x-4=0两根大3数为根方程是____.

13.以2x 2-3x-1=0两根相反数为根方程是____.

14.已知8x 2-(m-1)x+m-7=0两根异号,且正根绝对值大,则m 取值范围是____.若它两根互为相反数,则m=____.若m 互为倒数,则m=____.

15.关于x 一元二次方程x 2+2x+m=0两根差平方是16,则m=____.

16.已知关于x 方程2x 2-(4k+1)x+2k 2=1有两个不相等实根,则k 取值范围是____.

17.关于x 方程(k-2)x 2-(2k-1)x+k=0有两个不相等实根,则k 取值范围是____.

18.已知方程kx 2-2kx+k=x 2-x+3有两个不相等实根,则k 取值范围是____.

19.关于x 方程2x(kx-4)-x 2+6=0无实根,则k 最小整数值是____.

20.已知2x 2+(2m+1)x-m=0两根平方和是4

13,则m=____.

21.设x 1,x 2是关于x 方程x 2+4k+3=0两实根.y 1,y 2是关于y 方程y 2-k 2y+p=0根.若

x 1-y 1=2,x 2-y 2=2则k=____,p=____.

22.已知关于x 方程2x 2+2x+c=0根是x 1,x 2,则3||21=-x x ,那么c 值是____.

(二)解下列方程 1.030222=-+x x

2.0532=--x x

3.)5(2)5(32x x -=-

4.8)12(2

12=-x 5.)(02722用配方法=+-x x

6.0432=+-x x

7.04)(22=--+ab x b a x 8.013482=--x x 9.)1(2322+=x x

10.0)(222=---ab x b a abx

11.0)23(22=-+--n n m x m x

三、本期答案

(一)填空题 1.3≠m 2.-(k+2),k+1 3.2±=x 4.

45,1625 5.0 6.92,34,2,2726,310,910--- 7.12

112-或 8.3x 2-7x-6=0 9.015222=+-x x 10.4x 2-x-39=0 11.4y 2-21y+1=0 12.3y 2-20y+9=0

13.2x 2+3x-1=0 14.1k 17.24

1≠->k k 且 18.112

11≠>k k 且 19.2 20.-3或1 21.k=-2,p=-9 22.-1 (二)解答题 1.225,23- 2.2293±=x 3.513,521==x x 4.2

3,2521-==x x