高考数学大二轮复习 第1部分 专题3 第2讲 三角恒等变换与解三角形练习

第一部分 专题三 第二讲 三角恒等变换与解三角形

A 组

1．若2sin(θ＋π

3)＝3sin(π－θ)，则tan θ等于( B )

A ．－

3

3

B ．

3

2

C ．233

D ．2 3

[解析] 由已知得sin θ＋3cos θ＝3sin θ，即2sin θ＝3cos θ，所以tan θ＝32

，故选B ．

2．(文)如果sin α＝45，那么sin(α＋π4)－2

2cos α等于( A )

A ．22

5

B ．－225

C ．425

D ．－425

[解析] sin(α＋π4)－2

2

cos α

＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝22

5.

(理)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝10

2

，则tan2α＝( C ) A ．4

3 B ．3

4 C ．－34

D ．－43

[解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系． 将sin α＋2cos α＝

10

2

两边平方可得， sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2

α＝52

，

∴4sin αcos α＋3cos 2

α＝32，∴4sin αcos α＋3cos 2

αsin 2α＋cos 2

α＝3

2

. 将左边分子分母同除以cos 2

α得，

3＋4tan α1＋tan 2

α＝32，解得tan α＝3或tan α＝－1

3， ∴tan2α＝

2tan α1－tan 2

α＝－3

4

. 3．若三角形ABC 中，sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2

C ，则此三角形的形状是( B ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形

D ．等腰直角三角形

[解析] ∵sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2

C ，sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴sin(A －B )＝sin(A ＋B )，∴cos A sin B ＝0，

∵sin B ≠0，∴cos A ＝0，∴A 为直角．

4．钝角三角形ABC 的面积是1

2，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( B )

A ．5

B ． 5

C ．2

D ．1

[解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式． ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12·2·1·sin B ＝1

2，

∴sin B ＝

22，∴B ＝π4或3π4

. 当B ＝π

4

时，

经计算△ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去． ∴B ＝3π

4

，根据余弦定理，

b 2＝a 2＋

c 2－2ac cos B ，解得b ＝5，故选B ．

5．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝

3

2

，且b

A ． 3

B ．2

C ．2 2

D ．3

[解析] 由余弦定理得：a 2

＝b 2

＋c 2

－2bc cos A ， 所以22

＝b 2

＋(23)2

－2×b ×23×

32

， 即b 2

－6b ＋8＝0，解得：b ＝2或b ＝4. 因为b

6．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝5

13，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( A )

A ．63

65 B ．3365 C ．1365

D ．6365或3365

[解析] 依题意得sin β＝45，cos β＝35，注意到sin(α＋β)＝5

13

β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2

，0

＋β)

13

，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos

β－cos(α＋β)sin ＝6365

.

7．(2018·淮北二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2

＝3b 2

＋3c 2

－23bc sin A ，则C 等于π

6

.

[解析] 由余弦定理得a 2

＝b 2

＋c 2

－2bc cos A ， 所以b 2

＋c 2

－2bc cos A ＝3b 2

＋3c 2

－23bc sin A ，

3sin A －cos A ＝b 2＋c 2bc ，2sin(A －π6)＝b 2＋c 2bc ≥2，因此b ＝c ，A －π6＝π2⇒A ＝2π

3

，

所以C ＝π－

2π

32＝π

6

.

8．(2018·长沙三模)在锐角△ABC 中，D 为BC 的中点，满足∠BAD ＋∠C ＝90°，则角

B ，

C 的大小关系为B ＝C .(填“B C ”)

[解析] 设∠BAD ＝α，∠CAD ＝β，

因为∠BAD ＋∠C ＝90°，所以α＝90°－C ，β＝90°－B ， 因为D 为BC 的中点， 所以S △ABD ＝S △ACD ，

所以12c ·AD sin α＝1

2

b ·AD sin β，

所以c sin α＝b sin β，所以c cos C ＝b cos B ， 由正弦定理得，sin C cos C ＝sin B cos B ， 即sin2C ＝sin2B ，所以2B ＝2C 或2B ＋2C ＝π， 因为△ABC 为锐角三角形，所以B ＝C ．

9．为了竖起一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB ＝60°，