泰勒定理及其在数值分析中的应用

摘要

因为泰勒公式的形式简单易懂，由此，适用在很多学科。在计算机与物理等各个方面均有着极其广泛的应用，除此之外，也在数值分析、常微分方程、最优化理论这些数学分支中产生着至关重要的作用。可见，泰勒公式的用处很多，所以，更要弄清楚泰勒公式的概念和数学原理。这是数学中非常基础的东西，对学生今后的数学学习将起到非常好的作用。本论文的目的，主要是对泰勒定理在数值分析中的应用做研究，从利用泰勒公式近似计算函数值、利用泰勒公式近似计算导数值、泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用等方面，对泰勒公式在数值分析方面的应用进行研究。泰勒公式在数值分析的各个方面都有着重要的应用，深入探讨泰勒公式的应用,对于我们解决一些复杂问题起到事半功倍的效果.只要在解题中注意分析并注重归纳总结,就能很好地运用泰勒公式.正确的应用泰勒公式使我们的证明和计算题变得简明快捷。

关键词：泰勒公式；数值分析；应用

ABSTRACT

Because of the Taylor formula is very simple, so, can be applied to many subjects. In various physical and computer etc, have a very wide range of applications, in addition, also in the ordinary differential equations, numerical analysis, optimization theory, the branch of mathematics plays an extremely important role. Therefore, a lot of, Taylor formula. So, to clarify concepts and mathematical principle of Taylor formula. This is the very basis of mathematics of mathematics learning things, the students will play a very good role. The purpose of this thesis, mainly to do research on the application of Taylor theorem in numerical analysis, calculating the function value, using the Taylor formula to calculate the value of Taylor formula, the numerical solution of ordinary differential equation application, from using Taylor's formula approximation, the Taylor formula is analyzed in terms of the application in the numerical study. Taylor formula has important applications in the numerical analysis, in-depth study of the application of Taylor formula, for us to solve some complex problems play a multiplier effect. As long as the attention and focus on solving problems of the summary, will be able to use Taylor formula. Using Taylor formula to correct the proof and calculation problems we became fast and simple.

Key words: Taylor formula; numerical analysis; application

目录

1 引言 0

2 泰勒公式概述 (1)

2.1 一元函数的泰勒公式 (1)

2.2 二元函数的泰勒公式 (2)

3．泰勒公式在数值分析中的应用 (4)

3.1利用泰勒公式近似计算函数值 (4)

3.2 利用泰勒公式近似计算导数值 (7)

3.3泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用 (8)

3.4 泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用 (12)

4 结论 (15)

参考文献 (16)

1 引言

因为泰勒公式的形式简单易懂，由此，适用在很多学科。在计算机与物理等各个方面均有着极其广泛的应用，除此之外，也在数值分析、常微分方程、最优化理论这些数学分支中产生着至关重要的作用。可见，泰勒公式的用处很多，所以，更要弄清楚泰勒公式的概念和数学原理。这是数学中非常基础的东西，对学生今后的数学学习将起到非常好的作用。

泰勒公式是由英国数学家泰勒发明的。当人们在解决解学数学问题时，经常会遇到非常复杂的函数，而泰勒公式就具有化繁为简的功能，将那些复杂的函数转化为较为简单的多项式，这样，复杂函数就迎刃而解了。这就给处理问题提供了有效而又方便快速的解决方案。

然而泰勒逼近存在严重的缺陷：它的条件很苛刻，要求)(x f 足够光滑并提

供出它的各阶导数值，

)(0)(x f k 此外。泰勒逼近的整体效果差。它仅能保证在展开点0x 的某个邻域内，即某个局部范围内有效。基于此本文章应用泰勒公式阐述其在计算行列式，求代数精度，常微分方程数值方法等几个方面的应用。进一步完善泰勒公式在数值分析中的应用。

2 泰勒公式概述

2.1 一元函数的泰勒公式

设()f x 在含有0x 的开区间内有直到1n +阶导数，()()00,'f x f x ，…，()()0n f x 为已知，现寻求一个n 次的代数多项式()n P x ，使得

()()()()0000,''n n P x f x P x f x ==，()()()()00n n

n n P x f x =能否用()n P x 近似代替

()f x ？

设()()010n P x a a x x =+-+…()0n

n a x x +-，则有：

()()()

()()()()

1

012002

02300'2''2321n n n n n n P x a a x x na x x P x a a x x n n a x x --=+-+

+-=+⋅-++-

-

由

()()()()()()

()()()

()()0000001000002''''''''',

,2!

!

n n n n n P x f x a f x P x f x a f x f x f x P x f x a a n =⇒==⇒==⇒==

故所求的代数多项式为

()()()()()()()()()2

0000000'''2!

!

n n n f x f x P x f x f x x x x x x x n =+-+-+

+-

此多项式称为函数()f x 在0x 处的n 阶泰勒多项式。

设

()()()

n n R x f x P x =-，称其为误差函数。显然

()()()'''n n n R x R x R x ===

()()0n n R x ==，从而有

()()()()()()

()()

()11

00,1!

n n n n n f f x P x R x P x x x x x n ξξ++=+=+

-+在与之间，

上式称为函数()f x 关于0x 的n 阶泰勒公式，其中余项

()(

)

()()()()1100

,1!

n n n f R x x x x x n ξξ++=

-+在与之间

称为拉格朗日余项。当0n =时，()()()00'R x f x x ξ=-，即