磁场的高斯定理和安培环路定理
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磁场高斯定理 安培环路定理
(1)环路要经过所研究的场点。
B的方向与环路方向 (3)要求环路上各点 B 大小相等， 一致，目的是将: B dl μ0 I 写成 B μ0 I L dl 或 B 的方向与环路方向垂直， B dl , cos θ 0 B dl 0
I
a
b
B
B d l lb c d d a c B d l B d l B d l B d l Bab
a
得长直载流螺线管内的磁场： B μ0 nI 无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外 部磁场为零。
l l
根据安培环路定理：
B dl μ0 NI
l
Amperian loop
μ0 NI B 2πr
磁场不均匀
B
0 NI B 2 r
o
R1
R2
o r
R2
R1
r
若 R1、R2 R2 R1
N n 2 R1
则:
B μ0nI
当 2 R d 时，螺绕环内可视为均匀场 。
0 I B r 2 2 R
多电流情况
I1
I2
I3
B B1 B2 B3 B d l 0 ( I 2 I 3 )
l
l
以上结果对任意形状 的闭合电流（伸向无限远 的电流）均成立.
n B dl 0 Ii i 1
安培环路定理
2. 明确几点 (1) 电流正负规定：电流方向与环路方向满足 右手定则时电流 I取正；反之取负。 (2) B 是指环路上一点的磁感应强度，不是任 意点的，它是空间所有电流共同产生的。
磁场的高斯定理和安培环路定理
L
解:
Bp
发生变化. 发生变化.
I2 I1
∫
L
B dl 不发生变化 P
L
例如: 例如: I1 >0 L I2<0 I1 I2 I3 L I L
I3
∫
L
B dl = o ( I1 I 2 )
∫
L
B dl = o ( I1 + I 3 )
∫ B dl
l
= 4 0 I
二,安培环路定理
∑Ii
i =0
§8-4
稳恒磁场的高斯定理与 安培环路定理
一,稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知, 对任意闭合曲面, 由磁感应线的闭合性可知 , 对任意闭合曲面 , 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同, 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同 , 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零. 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零.
Φ = BS 2 = (6i + 3 j + 1.5k ) (0.15) i = 0.135Wb ( 2) z Φ = ∫∫ B dS = 0
S
O l
x
l
l
一长直导线通有电流I 距其d 例,一长直导线通有电流I,距其d处有 一长为a 宽为b的长方形, 一长为a,宽为b的长方形,求通过这个 长方形的磁通量. 长方形的磁通量.
n
闭合回路所包围的所有电流 的代数和. 的代数和. 所取的闭合路径上各点的磁 感强度值, 感强度值,是由闭合路径内 外所有的电流产生的. 外所有的电流产生的.即是 由空间所有的电流产生的. 由空间所有的电流产生的.
B
二,安培环路定理
定理的物理意义 由安培环路定理可以看出, 由安培环路定理可以看出,由于 磁场中的磁感强度的环流一般不 为零,所以磁场是非保守场 非保守场. 为零,所以磁场是非保守场.
解:
Bp
发生变化. 发生变化.
I2 I1
∫
L
B dl 不发生变化 P
L
例如: 例如: I1 >0 L I2<0 I1 I2 I3 L I L
I3
∫
L
B dl = o ( I1 I 2 )
∫
L
B dl = o ( I1 + I 3 )
∫ B dl
l
= 4 0 I
二,安培环路定理
∑Ii
i =0
§8-4
稳恒磁场的高斯定理与 安培环路定理
一,稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知, 对任意闭合曲面, 由磁感应线的闭合性可知 , 对任意闭合曲面 , 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同, 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同 , 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零. 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零.
Φ = BS 2 = (6i + 3 j + 1.5k ) (0.15) i = 0.135Wb ( 2) z Φ = ∫∫ B dS = 0
S
O l
x
l
l
一长直导线通有电流I 距其d 例,一长直导线通有电流I,距其d处有 一长为a 宽为b的长方形, 一长为a,宽为b的长方形,求通过这个 长方形的磁通量. 长方形的磁通量.
n
闭合回路所包围的所有电流 的代数和. 的代数和. 所取的闭合路径上各点的磁 感强度值, 感强度值,是由闭合路径内 外所有的电流产生的. 外所有的电流产生的.即是 由空间所有的电流产生的. 由空间所有的电流产生的.
B
二,安培环路定理
定理的物理意义 由安培环路定理可以看出, 由安培环路定理可以看出,由于 磁场中的磁感强度的环流一般不 为零,所以磁场是非保守场 非保守场. 为零,所以磁场是非保守场.
12磁场的高斯定理和安培环路定理解读
穿过一面元的磁通量：
d m BdS BdS cos B dS 式中：dS dSn ˆ 称为面元矢量。 ˆ 为法线方向单位矢量。 n
4
2.穿过某一曲面的磁通量
m d m B dS
d m
B
BdS cos
dS
ˆ n
S
3.穿过闭合曲面的磁通量
m d m B dS
规定：取闭合面外法线方向为正向。 磁力线穿出闭合面为正通量， 磁力线穿入闭合面为负通量。
2
B
磁通量单位：韦伯，Wb
2
ˆ n
Байду номын сангаас
B
5
3.磁场中的高斯定理 定理表述：穿过任意闭合面的磁通量等于 0。
dB
dB ' dB' '
dl '
p
d
dl ' '
l
c
B
结果
o j
2
o
方向如图所示。
a
b
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为 均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
15
例5 一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示， 其上均匀绕有N匝线圈，线圈中通有电流I。试求： （1）环内距轴线为r 远处的磁感应强度；（2）通过 螺线管截面的磁通量。 I
解：在管内作环路半径为 r的圆环 ，
环路内电流代数和为： I NI
rR
o R1
2
当 r >> ( R2 – R1) 时N n 为沿轴向线圈密度；
0 NI B 2r 0 NI B 2r
磁场中的高斯定理和安培环路定理
规定：
与L 绕向成右旋关系 与L 绕向成左旋关系
Ii 0 Ii 0
例如：
Ii I1 2I2
(穿 过L )
注意：
L
B dl
0 Ii
(穿 过L)
B:
与空间所有电流有关
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关
穿过 L的电流：对 B 和 B dl 均有贡献 L
2
r1
2
d r1 r2
2.26 106 wb
二、安培环路定理(Ampere’s circulation theorem)
1.导出： 可由毕 — 沙定律出发严格推证
采用： 以无限长直电流的磁场为例验证
推广到任意稳恒电流磁场（从特殊到一般）
1）选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与 平面交点o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其指向 与电流成右旋关系。
B 0I 2r
练习：同 求轴B的的两分筒布状。导线通有等值反向的电流I,
(1) r R2 , B 0
R2
R1
(2)
R1
r
R2 ,
B
0I 2r
I
rI
(3) r R1, B 0
2.长直载流螺线管的磁场分布
已知：I、n(单位长度导线匝数) 分析对称性 管内磁力线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零
dl
0I
2π
2π
0
d
0I
对任意形状的回路
B dl
0I
rd
0I
d
2π r
2π
3 磁场的高斯定理 安培环路定理
在管内作半径为 r 的环路
B dl
L
o
r
Bdl
L
B dl B2r L
0 NI
B2r 0 NI
0 NI B 2r
当 r >> ( R2 – R1) 时
N n 2r
为沿轴向线圈密度；
o R1 rR
2
B 0nI与直螺管的公式一致。
例3：圆柱形载流导体半径为 R ，通有电流为 I ，电流在导 体横载面上均匀分布，求圆柱 体内、外的磁感应强度的分布。 解：圆柱形载流导体内外磁场 的磁力线为以轴线为圆心、圆 周平面与轴线垂直的圆，磁力 线上各点的磁感强度相等。 1.圆柱体内部区域作一半径为r、 以轴线为圆心、圆周平面与轴 线垂直的圆作为环路，有： B dl Bdl B 2r
3 磁场中的高斯定理 安培环路定理
1 磁场的高斯定理
为了形象地描述磁场中磁感应 强度的分布，引入磁力线。 磁力线的特点: 1.闭合曲线 2.与电流相互套连 3.方向与电流的方向服从右手螺旋关系 磁通量: m B d S
s
m B d S
s
磁场中的高斯定理
直线电流的磁力线分布
B
dl
L2 L1
Brd Brd
L1 L2
I
d1 B0 I 来自 d1 d 2 2
0
dl
利用安培环路定理可计算具有高度对称性 的磁场的磁感强度。 环路选取原则 （1）要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向与环 路方向一致；或者让环路方向与 B 的方向垂直。 （2）环路要经过所研究的场点。
I2
I1
I3
例：
B dl
L
o
r
Bdl
L
B dl B2r L
0 NI
B2r 0 NI
0 NI B 2r
当 r >> ( R2 – R1) 时
N n 2r
为沿轴向线圈密度；
o R1 rR
2
B 0nI与直螺管的公式一致。
例3：圆柱形载流导体半径为 R ，通有电流为 I ，电流在导 体横载面上均匀分布，求圆柱 体内、外的磁感应强度的分布。 解：圆柱形载流导体内外磁场 的磁力线为以轴线为圆心、圆 周平面与轴线垂直的圆，磁力 线上各点的磁感强度相等。 1.圆柱体内部区域作一半径为r、 以轴线为圆心、圆周平面与轴 线垂直的圆作为环路，有： B dl Bdl B 2r
3 磁场中的高斯定理 安培环路定理
1 磁场的高斯定理
为了形象地描述磁场中磁感应 强度的分布，引入磁力线。 磁力线的特点: 1.闭合曲线 2.与电流相互套连 3.方向与电流的方向服从右手螺旋关系 磁通量: m B d S
s
m B d S
s
磁场中的高斯定理
直线电流的磁力线分布
B
dl
L2 L1
Brd Brd
L1 L2
I
d1 B0 I 来自 d1 d 2 2
0
dl
利用安培环路定理可计算具有高度对称性 的磁场的磁感强度。 环路选取原则 （1）要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向与环 路方向一致；或者让环路方向与 B 的方向垂直。 （2）环路要经过所研究的场点。
I2
I1
I3
例：
磁场的高斯定理和安培环路定理
. . . . . . . . ..
第4节
. . . .. . .. B . ∮H ·dl = 2rH = NI . . . . . H = NI/2r， r . . . . R 1 . . B = o NI/2r . . R 2 . . .. . 环管截面 r R， . .. . . ... B o NI/2R = o n I 解：1、环管内：
第八章
I
R
r B
R
r
第4节
第八章
直线电流的磁力线
I
I B
第4节
例8-5 求通电螺绕环的磁场分布。设环管 的轴线半径为 R，环上均匀密绕 N 匝线圈， 线圈中通有电流 I，管内磁导率为 o 。
第八章
I
I
. . . . . . ..
. . . .. . .. . . R1 R2
..
. . . ...
第八章
第4节
第八章
通电螺线管的模型
I
第4节
思考题： 如果通电螺线管的磁力线如下所示，图 中环路积分 ∮H ·dl = ？
第八章
I
L
I
二、磁场的安培环路定理 1、真空中 根据闭合电流产生的磁场公式，即安 培 — 拉普拉氏定律，可证明真空中磁场 B 沿闭合回路 L 的积分，即环流为： ∮L B ·dl =μoΣI 此式称为真空中磁场的安培环流定理，式 中ΣI 是闭合回路 L 所包围的所有闭合电流 I 的代数和。 物理意义：磁场 B 是有旋场，非保守场
第八章
I
R
o dS
B
Io
r
第4节
2、r＞R ∮H ·dl =∮H dl = 2rH ΣIo = I H = I /2r ，B = oI /2r 上式表明，从导线外部看， 磁场分布与全部电流 I 集中 在轴线上相同。 μ I B H 2 πR I μ 0I 2 R π 2 πR 0 r 0
133磁场的基本特征 高斯定理和安培环路定理
S 恒定电流磁场是散度为零的场 B = 0
B d S = 0
1
1.磁感线
切线方向—— B 的方向； 疏密程度—— B 的大小.
I I I
2
I S N S I N
3
直线电流的磁感应线
I I B
4
圆电流的磁感应线
I
5
通电螺线管的磁感应线
I
I
6
各种典型的磁感应线的分布：
围绕单根载流导线的任一回路 L
L2
对L每个线元 d l 以过垂直导线平面作参考分解 为分量 dl// 和垂直于该平面的分量 d l d l B 0 B d l B d l B d l //
L
B d l B d l I 证明步骤同上 // 0 L L //
直线电流的磁感线
圆形电流的磁感线
7
直螺线管电流的磁感线
环形螺线管电流的磁感线
8
1.磁力线的特征 无头无尾 与电流套连 与电流成右手螺旋关系 闭合曲线
I
2. 磁通量
B d s 单位：韦伯(Wb) m S
9
2. 磁通量 磁场的高斯定理
S B
ΔN B ΔS
磁场中某点处垂直 B 矢量的单位面积上 通过的磁感线数目等于该点 B 的数值.
讨论
S 0 1）Bd
S
磁场的基本性质方程
2）关于磁单极：
将电场和磁场对比： 由电场的高斯定理
d Sq 0 D
S
可把磁场的高斯定理写成 与电场类似的形式
BdS qm
S
q0 －自由电荷
qm － 磁荷
磁场的高斯定理和安培环路定律
0I
是否成立？？？
设任意回路L在垂直于导线的平面内，与电流
成右手螺旋。
l B dl Bdl cos
0I
2πr
dlc
os
d
B
I
dl
r
0I
2πr
rd
0I
2π
d
l
B dl
l
0I
dl cos rd
闭合回路不环绕电流时
B1
0I
2 π r1
B2
0I
2 π r2
B1
B2
d
I
dl1
r1
dl2
I
I
解：取垂直纸面向里为法
B
线方向，以导线1所在位
置为坐标原点，建立如图 所示的坐标轴。
x
l
取细长条面元，面元内为
均匀磁场
a aa
B
0I 2x
2
0I
3a
x
o
x
窄条形面元的元磁通为
dm B dS BdS Bldx I
通过矩形面积内的磁通量
m
dm
2a
Bldx
a1
2a
a
0I 2x
2
0I
o
B 0I
2π x
B // S
x
方向垂直于纸面向里
dΦ BdS 0I ldx I
2π x
B
Φ
S
B dS
0Il
2π
d2
d1
dx x
l
Φ 0Il ln d2
2π d1
d1 d2
o
x
例2 两平行的无限长直导线通有电流 I , 相距3a，
矩形线框宽为a，高为l与直导线共面，求通过线框的
磁场的高斯定理和安培环路定理.
第二4节 、磁场的安培环路定理
第八章
1、真空中
根据闭合电流产生的磁场公式，即安
培 — 拉普拉氏定律，可证明真空中磁场 B
沿闭合回路 L
∮L B ·dl =μoΣI 此式称为真空中磁场的安培环流定理，式
中ΣI 是闭合回路 L 所包围的所有闭合电流
I 的代数和。
物理意义：磁场 B 是有旋场，非保守场
第4节
第八章
电流正负符号按右手螺旋定则：
电流方向与 L 的绕行方向符合右手螺
旋关系时，此电流为正，否则为负。
举例说明：
+I I
+ I1 + I2
- I3
L
第24、节 有磁介质
第八章
∮L B ·dl =μoΣI = μoΣIo +μoΣI’
式中ΣIo 和ΣI’ 分别是穿过安培环路 L 的自 由电流和束缚电流的总和。
其中 n = N/2R 为螺绕环单位长度的匝数。
2、环管外：ΣIo = 0，H// = 0，B// = 0 此式说明密绕螺绕环外部无磁场。
第特4节 例：当
R
第八章
时，即为无限长螺线管。
因此，长直螺线管内磁感应强度公式为：
B = o n I 此式表明，理想长直螺线管内部的磁感应强
注意：螺绕环和螺线管的外部磁场为零的结 论是在假定它们由许多不相连的圆环密集排 列组成的模型下得出的。实际上圆环以螺旋 线形式相连形成螺绕环和螺线管，沿螺绕环 和螺线管有一电流分量通过，即等效一圆电 流和长直载流导线，因此它们的外部磁场不 为零。但相比内部磁场而言，则相对很小。
2π R
μ 0I
2π R
第八章
I R
r
13-2-磁场的高斯定理-安培环路定理
L1
电流在闭合回路内
n B dl 0 I i L i 1
电流在闭合回路外
——安培环路定理
路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径所穿过 的各电流的代数和.
在真空的恒定磁场中，磁感强度 B 沿任一闭合
二、安培环路定理
说明：
n B dl 0 I i i 1
解方程求出B的大小，指出B的方向。
二、安培环路定理
例2.无限大载流薄平板的磁场
d B1
j
d
dB
P
dB 2
d l1
O
c
d l2
结论：
B
1 2
0 j
a
L
b
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均匀 磁场，大小相等，但方向相反。
二、安培环路定理
例3.载流螺线环内的磁场 一环形载流螺线管，匝数为 N ，内径为 R1 ，外径为 R2 ，通有电流 I ，求管内 磁感应强度。
计2 有两半径分别为 R 和 2 R 的金属球壳同心放置
分析：（1） 内球壳接地，电势为零，但电量未必为零
（方法一：定义式求电势） 设内球壳带电为 q ，由高斯定理得
r
R
2R
q 4 r 2 0 r E q q0 40 r 2
2R R R
R r 2R r 2R
q
q q0 外球壳 (q q0 ) 无穷远
2R
C C1 C2 4 π 0 r 1 R 1 2R 4 π 0 2 R
24 π 0 R
L
（3）若 B d l 0 ，则回路内无电流穿过。
L
二、安培环路定理
磁场中的高斯定理及安培环路定理
P
r B
则 B dN -磁感应线密度
dS
2. 几种典型的磁感应线
I
直线电流
圆电流
载流长螺线管
3. 磁感应线特性
磁感应线是环绕电流的无头尾的闭合曲线，无起点无终点； 磁感应线不相交。
二. 磁通量(magnetic flux)
1. 定义 通过磁场中任一给定面的
磁感线数目称为通过该面的 磁通量，用 表示。 2. 磁通量的计算 ① 磁场不均匀，S 为任意曲面
a
b
B
eeeeeeeeeeeee
Ñ B dl μ0 NI
l
B 0 NI
2 r
Amperian loop
B
o R1 R2 r
若 R1、R2 R2 R1
n N N
2 R1 2 r
则
B
μ 0
nI
B 0 NI 2 r
I
R2
R1
例题3 ：
设在无限大导体薄板中有均匀电流沿平面流动， 在垂直于电流方向的单位长度上流过的电流为i （电流密度）。求此电流产生的磁场。
因而，同静电场中利用高斯定理确定已知电荷分 布的电场分布一样，需要满足一定的对称性。
例题1 ：
已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分布， 求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布
解： 首先分析对称性
电流分布——轴对称
I
磁场分布——轴对称
R
r
dS1
dB
dB2 dB1
O
l
P
dS2
电流及其产生的磁场具有轴对称分布时
B 0I 2 x
方向：
I
a
阴影部分通过的磁通量为:
rr B dS
6-2磁场的高斯定理和安培环路定理
例6-3 如图所示,载流长直导线上的电流强度为 I , 它与边长分别为 a 和 b 矩形共面，边与长直导线平 行,两者之间的距离 d .求载流长直导线的磁场穿过 该平面的磁通量. 0 I 解 B 2π x B C B I
dΦ BdS
0
I
b
A dx D
2π x
bdx
o
x
d
a
0 Ib d a dx Φ 2 π d x 0 Ib d a ln 2π d
I2 I 3
l
B B1 B2 B3 B d l 0 ( I 2 I 3 )
l
L
I1
B d l 0 (I1 I1 I1 I 2 )
L
0 I1 I2） （
第六章 恒定磁场
11
6－2
磁场的高斯定理和安培环路定理
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任
0 乘以该闭合路径
I
电流 I 正负的规定 ：I 与 为正；反之为负.
L 成右螺旋时，
第六章 恒定磁场
9
6－2
磁场的高斯定理和安培环路定理
注意
(1)环路定理中的磁感强度 B
为闭合路径 L 上的 磁感强度,它是由空间所有电流产生的。 (2)磁感强度沿闭合路径的环流,仅与闭合路径所包
6－2
磁场的高斯定理和安培环路定理
一、磁 感 线 规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感 强度 B 的方向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强度 B 的大小.
I I I
第六章 恒定磁场
1
6－2
磁场的高斯定理和安培环路定理
I S S N I
N
磁场的高斯定理和安培环路定理
L
I
dϕ v
dB
v v B ⋅ dl = Brdϕ v v µ0I ∫L B⋅ dl = ∫L rdϕ = µ0I
2 r π
在围绕单根载流导线的 垂直平面内的任一回路。 垂直平面内的任一回路。
v v I B ⋅ dl = Brdϕ v v µ0I ∫L B⋅ dl = ∫L rdϕ = µ0I
2 r π
6
3. 安培环路定理的应用 例1：求无限长载流圆柱体磁场分布。 ：求无限长载流圆柱体磁场分布。 圆柱体轴对称， 解：圆柱体轴对称，以轴上一点为 I 圆心取垂直轴的平面内半径为 r 的 圆为安培环路
v v Q∫ B⋅ dl = 2πrB = µ0 ∑I
L
v dB
dl'
2πr v r Ir 2 ∴ ∫ B ⋅ dl = µ0 2 r R
为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。 为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
o dl ' ' a
b
结果： 结果：在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都
13
ab bc cd da
无垂直于轴的磁场分量，管外部磁场趋于零， 无垂直于轴的磁场分量，管外部磁场趋于零， 因此管内为均匀磁场，任一点的磁感应强度为： 因此管内为均匀磁场，任一点的磁感应强度为：
r r ∫ B ⋅ dl = Bab ⇒ Bab = µ 0nab I
∴B = µ0nI
9
其方向与电流满足右手螺旋法则。 其方向与电流满足右手螺旋法则。
v v 表达式 ∫ B⋅ dl = µ0 ∑Ii
L i
符号规定： 符号规定：穿过回路 L 的电 流方向与 L 的环绕方向服从右 手关系的， 为正，否则为负。 手关系的，I 为正，否则为负。
11-4磁场的高斯定理和安培环路定理
单根导线产生的磁场
所有电流 的总场
L
L
Bn dl 0 I n
B1 dl 0 I1
L Bn1 dl 0 Bnk dl 0
L
任意回路
L
B dl 0 I i
i
穿过回路 的电流
7
在理解这个定理时，应注意以下几个问题 （1） 定理中的B是安培环路L上任意一点的磁感 应强度，它是由空间所有电流共同产生的。定理中 的 Ii则是安培环路L所包围的电流的代数和。 （2）矢量B的环路积分不恒等于零，说明稳恒磁 场不是保守力场，而是有旋场，所以在磁场中不 能引入势能(标量势)的概念。 （3）定理只适用于稳恒电流的磁场。由于稳恒电 流是闭合的，所以对于不闭合的有限长的载流导线， 安培环路定理不适用；
dl ' o dl ' ' 做 PO 垂线，取对称的长直 电流元，其合磁场方向平行于电流平面。无数对 称元在 P点的总磁场方向平行于电流平面。
电流平面无限大，故与电流平面等距离的各点
B 的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。 16
作一安培回路如图： bc和 da两边被电流平面 等分。ab和cd 与电流平
B dl 0
根据安培环路定理，该安培环路一定包围电流。 由此可得结论：磁感应线总是与产生它的电流回 10 路套连在一起的。
3. 安培环路定理的应用 例1：求无限长载流圆柱体磁场分布。 解：圆柱体轴对称，以轴上一点为 I
圆心取垂直轴的平面内半径为 r 的 圆为安培环路
B dl 2πrB 0 I
8
边长为2a的正方形闭合回路 CDEFC，所通电流为I。现仅讨 论CD段，取中心处于其中点且 与其垂直的半径为r的圆为安培 环路，CD段所激发的磁场在圆 上各点的磁感应强度为 0 Ia BCD 2r (a 2 r 2 )1/ 2 BCD的方向与圆周相切，与电流的方向成右螺旋 关系。沿此圆周的环路积分为 0 Ia BCD dl 2 2 1/2 0I
磁场的高斯定理和安培环路定理
磁场是无源场 磁场是 无源场 比较 静电场 稳恒 磁场 磁感应线闭合成环，无头无尾 不存在磁单极。 磁感应线闭合成环，或两端伸向 不存在磁单极（？） 高斯定理 环路定理
内
3. 磁场的高斯定理
1 E dS
S
0
q
有源场 无源场
E dl 0
L
保守场
B dS 0
三.安培环路定理的应用
—— 求解具有某些对称性的磁场分布
LB dl 0 I i
( 穿过L )
适用条件：稳恒电流的磁场 求解条件：电流分布(磁场分布)具有某些对称性，
以便可以找到恰当的安培环路L，使 LB dl 能积
出，从而方便地求解 B 。
[例一] 无限长均匀载流圆柱体 I , R 内外磁场.
无限长直螺线管内为均匀磁场
思考： 如果要计管外磁场（非线密绕）对以上结果有无影响？
I
n
B内 0nI
外
B
I //
0 //
I B 2r
练习： 半径 R 无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转
.R. 求： 内部 B ?
已知：
解：
R
等效于长直螺线管 B 0 nI 单位长度上电流 nI ?
I
i
I1 I 2 I 3
(穿过L )
I
i
注意：
LB dl 0 I i
( 穿过L )
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关 穿过 L 的电流：对 B 和 B dl 均有贡献
L
B : 与空间所有电流有关
不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B有贡献； 对 LB dl 无贡献
内
3. 磁场的高斯定理
1 E dS
S
0
q
有源场 无源场
E dl 0
L
保守场
B dS 0
三.安培环路定理的应用
—— 求解具有某些对称性的磁场分布
LB dl 0 I i
( 穿过L )
适用条件：稳恒电流的磁场 求解条件：电流分布(磁场分布)具有某些对称性，
以便可以找到恰当的安培环路L，使 LB dl 能积
出，从而方便地求解 B 。
[例一] 无限长均匀载流圆柱体 I , R 内外磁场.
无限长直螺线管内为均匀磁场
思考： 如果要计管外磁场（非线密绕）对以上结果有无影响？
I
n
B内 0nI
外
B
I //
0 //
I B 2r
练习： 半径 R 无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转
.R. 求： 内部 B ?
已知：
解：
R
等效于长直螺线管 B 0 nI 单位长度上电流 nI ?
I
i
I1 I 2 I 3
(穿过L )
I
i
注意：
LB dl 0 I i
( 穿过L )
B 的环流：只与穿过环路的电流代数和有关 穿过 L 的电流：对 B 和 B dl 均有贡献
L
B : 与空间所有电流有关
不穿过 L 的电流：对 L 上各点 B有贡献； 对 LB dl 无贡献
06磁场的高斯定理和安培环路定理
∫
∑
(4)安培环路定理说明磁场性质 磁场定理说明磁场性质 磁场是有旋场。
6
特例：以无限长载流直导线为例。 特例：以无限长载流直导线为例。 长直导线周围的磁力 线为一系列的同心圆， 长直导线周围的磁力 线为一系列的同心圆，选 取路径方向与磁感应强度方向相同； 感应强度方向相同 取路径方向与磁感应强度方向相同； 左边= 左边
dB ' '
dl '
o dl ' '
点的总磁场方向平行于电流平面。 无数对称元在 p点的总磁场方向平行于电流平面。 因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的各点 因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的各点B 的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。 的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。
13
. .. . .. . .. . .. . ..
a
b
B
B外 = 0
d
d a c d
c
∫ B ⋅ dl = ∫
b
a
B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl
b
c
∵ B ⊥ d l , cosθ = 0
B 螺线管外： 螺线管外： 外 = 0,
b
∫
c
b
B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl = 0,
∫ dl
B ⊥ dl , cosθ = 0
∫ B⋅ dl = 0
L
8
例1：长直密绕载流螺线管通有电流为 I，线圈密度 ： 线圈密度 为 n，求管内一点的磁感应强度 。 ，求管内一点的磁感应强度 解：理想密绕螺线管，管内的磁 理想密绕螺线管， 场是均匀的， 场是均匀的，管外的磁场为 0 ； 作闭合环路 abcda,环路内的 环路内的 电流代数和为： 电流代数和为：∑ I = nabI
磁场的高斯定理和安培环路定理
§2-4 磁场的高斯定理和安培环路定理
一、磁场的高斯定理(Gauss’ theorem of magnetic field) 垂直于电流元平面内的磁感线是头尾相接的闭合同心 圆，穿入或穿出闭合曲面的磁感应线的净条数必等于 零。即，通过任意闭合曲面的通量都等于零。
由叠加原理，在整个电流回路形成的
磁场中，通过任意闭合曲面的磁通量
L Bn dl 0In ,
L Bnk dl 0
任意回路
¸¸
n
B dl L
0
Ii
i1
穿过回路 的电流
闭合路径包围的电流为电
流 密度沿所包围的曲面的
¸
Ii
j dS
S
i
积分 安培环路定理说明磁场不是保守场，不存在标
量势函数。这是恒磁场不同于静电场的一个十分
重要的性质。
安培环路定理可以用来处理电流分布具有一定 对称性的恒磁场问题。
设 I1 , I 2 , … , I n电流过回路L，In 1 , I n 2 , … , I n k
电流不穿过回路L。令 B1 , B2 , … , Bn k 分别为单根
导线
I1
,
I
2
,
L
…
¸ B1
,
In
dl
பைடு நூலகம்
k产生的磁场，则有
¸
0I1 ,
L Bn1
dl
0
¸ #¸
# 所有电流的总¸ 场 ¸
小结
应用环路定理求解磁感应强度的步骤：
(1)根据通电电流产生的磁场的对称性，选 择合适的闭合曲线L，并规定计算方向；
(2)计算磁感应强度的环流以及通过曲线L 所包围的平面的电流的代数和；
一、磁场的高斯定理(Gauss’ theorem of magnetic field) 垂直于电流元平面内的磁感线是头尾相接的闭合同心 圆，穿入或穿出闭合曲面的磁感应线的净条数必等于 零。即，通过任意闭合曲面的通量都等于零。
由叠加原理，在整个电流回路形成的
磁场中，通过任意闭合曲面的磁通量
L Bn dl 0In ,
L Bnk dl 0
任意回路
¸¸
n
B dl L
0
Ii
i1
穿过回路 的电流
闭合路径包围的电流为电
流 密度沿所包围的曲面的
¸
Ii
j dS
S
i
积分 安培环路定理说明磁场不是保守场，不存在标
量势函数。这是恒磁场不同于静电场的一个十分
重要的性质。
安培环路定理可以用来处理电流分布具有一定 对称性的恒磁场问题。
设 I1 , I 2 , … , I n电流过回路L，In 1 , I n 2 , … , I n k
电流不穿过回路L。令 B1 , B2 , … , Bn k 分别为单根
导线
I1
,
I
2
,
L
…
¸ B1
,
In
dl
பைடு நூலகம்
k产生的磁场，则有
¸
0I1 ,
L Bn1
dl
0
¸ #¸
# 所有电流的总¸ 场 ¸
小结
应用环路定理求解磁感应强度的步骤：
(1)根据通电电流产生的磁场的对称性，选 择合适的闭合曲线L，并规定计算方向；
(2)计算磁感应强度的环流以及通过曲线L 所包围的平面的电流的代数和；
磁场中的高斯定理和安培环路定律
写成
L Bdl cos B dl 0 I
B 0 I
dl
要求环路上各点 B 大小相等，B 的方向
与环路方向一致， B // dl , cos 1 22
或 Bdl , cos 0
环路要经过所研究的场点。
五、解题方法
1.场对称性分析； 2.选取环路； 3.确定环路内电流的代数和 I ； 4.应用环路定理列方程求解。
2.环流
Bdl
只与环路内的电流有关，
而与环路外电流无关。
3. B为环路上一点的磁感应强度，它与环路内外电流
都有关。
若
Bdl 0
并不一定说明环路上各点的 B 都为 0。
若
B dl 0 环路内并不一定无电流。
4.环路定理只适用于闭合电流或无限电流，
16
例2：利用安培环路定律计算载流无限长直导线外一点 的磁感应强度。
由于环路上各点的 B 大小相等； 且 B // dl ；θ=0
B dl
L
0 I 2r
2r
0 I
B
Ir
L
I 向下时为负值。
13
当L B环 d路l 为 任0 意I形左状边时=：右边定理成立I。
LB dl LBdlcos
由于 Bdlcos Brd
2 0I rd
0 2r
0I
d r
L
θ
B
dl
当电流不在环路内时
r
选择如图所示的环路
b c d a
B dl ( )B dl
a
b
c
d
24
其中
c a
B dl B dl 0,
m dm B dS
/2
n
规定闭合面的外法线方向为正
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=μo ( 1 + m ) H = μo μr H
B = μH
介质的磁导率：μ=μoμr =μo ( 1 + m ) 相对磁导率：μr = 1 + m 一般顺磁性和抗磁性物质的 m << 1小
很多，所以μr = 1 + m 1。 顺磁质和抗磁质的磁化率和磁导率都与
H 无关的常数；
第4节 铁磁质的情况很复杂，一般说来 M 和第八章
第八章
电流正负符号按右手螺旋定则：
电流方向与 L 的绕行方向符合右手螺
旋关系时，此电流为正，否则为负。
举例说明：
+I I
+ I1 + I2
- I3
L
第24、节 有磁介质
第八章
∮L B ·dl =μoΣI = μoΣIo +μoΣI’
式中ΣIo 和ΣI’ 分别是穿过安培环路 L 的自 由电流和束缚电流的总和。
第二4节 、磁场的安培环路定理
第八章
1、真空中
根据闭合电流产生的磁场公式，即安
培 — 拉普拉氏定律，可证明真空中磁场 B
沿闭合回路 L
∮L B ·dl =μoΣI 此式称为真空中磁场的安培环流定理，式
中ΣI 是闭合回路 L 所包围的所有闭合电流
I 的代数和。
物理意义：磁场 B 是有旋场，非保守场
第4节
H = Ir/2R2 , B = oIr/2R2
第八章
I
R o dS Io
r B
第24节、r＞R
∮H ·dl =∮H dl = 2rH
ΣIo = I H = I /2r ，B = oI /2r 上式表明，从导线外部看，
磁场分布与全部电流 I 集中
在轴线上相同。
H I
2π R
μI B
2π R
μ 0I
理可知通过任意封闭曲面
r
E B
的磁通量为零。
P
第磁4节场的高斯定理
第八章
∮B ·dS = 0
物理意义：与电场的高斯定理相比，可知磁
场是无源场，即自然界中没有与
电荷相对应的“磁荷” ( 或叫磁
单
极 )的存在。
近代关于基本粒子的理论研究早已预言
有“磁单极”的存在，也曾企图在实验中找
到它，但至今除个别事件可作为例证外，还
第4节
第八章
通电螺线管的模型
I
第思4节 考题：
第八章
如果通电螺线管的磁力线如下所示，图
中环路积分 ∮H ·dl = ？
I
L
I
2π R
第八章
I R
r
B
0
r0
R
r
第4节
第八章
直线电流的磁力线
I I
B
第例4节8-5 求通电螺绕环的磁场分布。设环管第八章 的轴线半径为 R，环上均匀密绕 N 匝线圈， 线圈中通有电流 I，管内磁导率为 o 。
I
I
... . .. .
. .
. .
....
R1 R2
.. . .
. . . . ... . . . . ......
这一关系叫做安培环流定理。
物理意义：磁场 H 是有旋场，非保守场
3、B、H、M 三者之间关系
M = m H 式中 m 称为物质的磁化率，磁化率 m 表示 介质对于外界磁场的反应，并且与介质的原
子和分子的性质有关。
第4节
H = B /μo - M
第八章
M = m H
B = μo ( H + M ) = μo ( H + m H )
因为 消去ΣI’
∮L M ·dl = ΣI’
∮L ( B /μo - M ) ·dl = ΣIo 定义：磁场强度 Magnetizing field
得：
H = B /μo - M ∮L H ·dl = ΣIo
第4节
第八章
∮L H ·dl = ΣIo
此式说明沿任一闭合路径磁场强度的环流等
于该闭合路径所包围的自由电流的代数和，
第4节 §8.4
第八章
磁场的高斯定理和安培环路定理
一、磁场的高斯定理 1、磁通量 Magnetic flux
dS S θB
Φm =∫S B ·dS 它就等于通过该面积的磁力线的总条数。
2、磁场的高斯定理 分析：电流元的磁力线都
I
是同心圆，是闭合曲线，
所以通过任意封闭曲面的 d
磁通量都为零。由迭加原 l
第例4节8-4 求圆截面的无限长载流 直导线的磁场分布。设导线的 半径为 R，电流I均匀通过横截 面，导线的磁导为 o，导线外 介质磁导率为 。
解：根据对称性， H只与 r 有 关， H 的方向沿切线方向。 1、r < R ∮H ·dl =∮H dl = 2rH
ΣIo = r2I/R2 = Ir2/R2 2rH = Ir2/R2
第4节
解：1、环管内： ∮H ·dl = 2rH = NI
H = NI/2r，
B = o NI/2r 环管截面 r R，
B o NI/2R = o n I
第八章
... . ...
.B ..
....
R1 R2
.. . .
.r................
其中 n = N/2R 为螺绕环单位长度的匝数。
2、环管外：ΣIo = 0，H// = 0，B// = 0 此式说明密绕螺绕环外部无磁场。
第特4节 例：当
R
第八章
时，即为无限长螺线管。
因此，长直螺线管内磁感应强度公式为：
B = o n I 此式表明，理想长直螺线管内部的磁感应强
注意：螺绕环和螺线管的外部磁场为零的结 论是在假定它们由许多不相连的圆环密集排 列组成的模型下得出的。实际上圆环以螺旋 线形式相连形成螺绕环和螺线管，沿螺绕环 和螺线管有一电流分量通过，即等效一圆电 流和长直载流导线，因此它们的外部磁场不 为零。但相比内部磁场而言，则相对很小。
H 不成比例，甚至没有单值关系，即 M 的
值不能由 H 的值唯一确定，它还与磁化的
历史有关。 可定义：
磁滞回线
m = M / H = m (H )
B
μ= B / H =μ(H)。
铁磁质的 m ( H ) 和 μ( H ) 一般都很大，其
量级为 102 10属于强磁性介质