1.3.2函数的极大值与极小值同步检测
高中数学3_1_2函数的极值同步精练北师大版
高中数学 3.1.2 函数的极值同步精练北师大版选修2-21.关于函数的极值，下列说法中正确的是( )．A．函数的极大值一定大于它的极小值B．导数为0的点一定是函数的极值点C．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数D．f(x)在其定义域内只有唯一的极大值与极小值2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( )．A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)3．已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间为( )．A．(2,3) B．(3，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，3)4．若函数f(x)＝x3－3bx＋36在(0,1)内有极小值，则( )．A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜1 25．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )．A．1个B．2个C．3个D．4个6．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题有( )．A．1个B．2个C．3个D．4个7．函数y＝x3－6x＋a的极大值为__________，极小值为__________．8．若函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1时有极值10，则a＝__________，b＝__________.9．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.(1)写出函数的递减区间；(2)求函数f(x)在定义域上的极值．参考答案1.答案：B 解析：∵f(x)在(a，b)内有极值，∴在(a，b)某处的左右两边的增减性相反，∴f(x)在(a，b)内不是单调函数．2.答案：D 解析：由图可得函数y＝(1－x)f′(x)的零点为－2,1,2，则当x＜1时，1－x＞0，此时在(－∞，－2)上f(x)＞0，f′(x)＞0，在(－2,1)上f(x)＜0，f′(x)＜0；当x＞1时，1－x＜0，此时在(1,2)上f(x)＞0，f′(x)＜0，在(2，＋∞)上f(x)＜0，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，－2)为增函数，在(－2,2)为减函数，在(2，＋∞)为增函数，因此f(x)有极大值f(－2)，极小值f(2)，故选D.3.答案：B 解析：∵y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，∴当x＝2时，y′＝0，∴6×22＋2a×2＋36＝0，∴a＝－15，∴y＝2x3－15x2＋36x－24，∴y′＝6x2－30x＋36.令y′＝0得6x2－30x＋36＝0，∴x1＝2，x2＝3.∴当y′＞0时，x＜2或x＞3，∴函数的递增区间为(－∞，2)或(3，＋∞)．4.答案：A5.答案：A 解析：由f′(x)的图像可知，函数f(x)在区间(a，b)内先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．6.答案：B 解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＞0，得x＞2或x＜0，令f′(x)＜0，得0＜x＜2，∴f(0)＝0，f(2)＝8－3×4＝－4.7.答案：a＋a－解析：y′＝3x2－6＝3(x x，令y′＞0，得x x＜令y′＜0，得x∴当x＝a＋当x＝a－8.答案：－4 11 解析：f′(x)＝3x2－2ax－b，∴f′(1)＝0，∴3－2a－b＝0.又∵f(1)＝10，∴1－a－b＋a2＝10，∴a＝3或－4，b＝－3或11.当a＝3，b＝－3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥－0，无极值，故只有a＝4，b ＝11符合．9.答案：解：f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)．(2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16，当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16.。
【创新设计】高中数学苏教版选修2-2练习：1.3.2极大值与极小值(含答案解析)
1.3.2 极大值与极小值明目标、知重点 1.了解函数极值的概念，能从几何方面理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及函数在某一点取得极值的条件.3.掌握用导数的方法求函数的极值．1．极值的概念(1)极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b处附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则把f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(2)极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a处附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．2．极大值与导数的关系3.[情境导学]在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题？又如何求出这些值？这就是本节我们要研究的主要内容．探究点一 函数的极值与导数的关系思考1 如图，表示高台跳水运动员的高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10的图象，观察发现，t ＝a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大．那么，函数h(t)在此点的导数是什么？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？答 函数h(t)在点t ＝a 处h′(a)＝0.在t ＝a 的附近，当t<a 时，函数h(t)单调递增，h′(t)>0；当t>a 时，函数h(t)单调递减，h′(t)<0.思考2 如图观察，函数y ＝f(x)在d 、e 、f 、g 、h 、i 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y ＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y ＝f(x)的导数的符号有什么规律？答 以d 、e 两点为例，函数y ＝f(x)在点x ＝d 处的函数值f(d)比它在点x ＝d 附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在x ＝d 的附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y ＝f(x)在点x ＝e 处的函数值f(e)比它在x ＝e 附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在x ＝e 附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.思考3 函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？答 函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个．思考4 若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明．答 不一定．可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点．可导函数f(x)在x 0处取得极值的充要条件是f′(x 0)＝0且在x 0两侧f′(x)的符号不同．例如，函数f(x)＝x 3可导，且在x ＝0处满足f′(0)＝0，但由于当x<0和x>0时均有f′(x)>0，所以x ＝0不是函数f(x)＝x 3的极值点． 例1 求函数f(x)＝13x 3－4x ＋4的极值．解 f′(x)＝x 2－4.解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 由f′(x)>0，得x<－2或x>2； 由f′(x)<0，得－2<x<2.当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知：当x ＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝283；当x ＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－43.反思与感悟 求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．跟踪训练 1 求函数f(x)＝3x ＋3ln x 的极值．解 函数f(x)＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x 2＋3x ＝3(x －1)x 2.令f′(x)＝0，得x ＝1.当x 变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：单调因此，当x ＝1探究点二 已知函数极值求参数的值思考 已知函数的极值，如何求函数解析式中的参数？答 解这类问题，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件． 例 2 已知f(x)＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值． 解 因为f(x)在x ＝－1时有极值0， 且f′(x)＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f′(－1)＝0，f(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f′(x)＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f(x)在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f′(x)＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－3，－1)时，f(x)为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.反思与感悟 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为“导数值等于零”不是“此点取得极值”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．跟踪训练2 设当x ＝1与x ＝2时，函数f(x)＝aln x ＋bx 2＋x 取得极值． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断当x ＝1，x ＝2时函数f(x)取得极大值还是极小值，并说明理由． 解 (1)∵f(x)＝aln x ＋bx 2＋x ， ∴f′(x)＝ax ＋2bx ＋1.由极值点的必要条件可知： f′(1)＝f′(2)＝0，∴a ＋2b ＋1＝0且a2＋4b ＋1＝0，解方程组得，a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)可知f(x)＝－23ln x －16x 2＋x ，且函数f(x)＝－23ln x －16x 2＋x 的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝－23x －1－13x ＋1＝－(x －1)(x －2)3x.当x ∈(0,1)时，f′(x)＜0；当x ∈(1,2)时，f′(x)＞0； 当x ∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0； 所以，x ＝1时函数f(x)取得极小值， x ＝2时函数f(x)取得极大值．探究点三函数极值的综合应用例3设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝ 2.因为当x>2或x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0.所以，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2)．当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42＜a＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根．反思与感悟用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．跟踪训练3若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．解f(x)＝2x3－6x＋k，则f′(x)＝6x2－6，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，可知f(x)在(－1,1)上是单调减函数，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是单调增函数．f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4＋k<0或－4＋k>0(如图所示)或即k<－4或k>4.∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的________条件．答案必要不充分解析对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．2．下列函数存在极值的是________．(填序号)①y＝1x；②y＝x－ex；③y＝x3＋x2＋2x－3；④y＝x3.答案②解析①中f′(x)＝－1x2，令f′(x)＝0无解，∴①中函数无极值．②中f′(x)＝1－e x，令f′(x)＝0可得x＝0.当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0.∴y＝f(x)在x＝0处取极大值，f(0)＝－1.③中f′(x)＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－20<0.∴y＝f(x)无极值．④也无极值．3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为________．答案a<－3或a>6解析f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.4．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________．答案－2<a<2解析f′(x)＝3x2－3.令f′(x)＝0可以得到x＝1或x＝－1，∵f(1)＝－2，f(－1)＝2，∴－2<a<2.[呈重点、现规律]1．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．2．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.一、基础过关1.函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有________个．答案 1解析当满足f′(x)＝0的点，左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．2．下列关于函数的极值的说法正确的是________．(填序号)①导数值为0的点一定是函数的极值点；②函数的极小值一定小于它的极大值；③函数在定义域内有一个极大值和一个极小值；④若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数．答案④解析由极值的概念可知只有④正确．3．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．答案9解析f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴a＋b≥2ab，∴2ab≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，∴ab的最大值为9.4．函数y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)的极大值为________．答案 5解析由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x<－1或x>3时，y′>0.当－1<x<3时，y′<0.故当x ＝－1(－2<x<2)时，函数有极大值5.5．函数f(x)＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a 、b 的值分别为________、________. 答案 1 －3解析 因为f′(x)＝3ax 2＋b ， 所以f′(1)＝3a ＋b ＝0.①又x ＝1时有极值－2，所以a ＋b ＝－2.② 由①②解得a ＝1，b ＝－3.6．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是________． 答案 1<a<4解析 y′＝3x 2－3a ，当a≤0时，y′≥0恒成立， 函数y ＝x 3－3ax ＋a 为单调函数，不合题意，舍去； 当a>0时，y′＝3x 2－3a ＝0⇒x ＝±a ，不难分析，当1<a<2，即1<a<4时，函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值． 7．求下列函数的极值： (1)f(x)＝x 3－22(x －1)2；(2)f(x)＝x 2e －x .解 (1)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． ∵f′(x)＝(x －2)2(x ＋1)2(x －1)3，令f′(x)＝0，得x 1＝－1，x 2＝2.当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：并且极大值为f(－1)＝－38，无极小值．(2)函数的定义域为R ，f′(x)＝2xe －x ＋x 2·⎝⎛⎭⎫1e x ′ ＝2xe －x －x 2e －x＝x(2－x)e －x ，令f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：当x ＝2时，函数有极大值，且为f(2)＝4e －2.二、能力提升8．设函数f(x)的定义域为R ，当x ＝x 0(x 0≠0)时f(x)取得极大值，以下结论一定正确的是________．(填序号) ①∀x ∈R ，f(x)≤f(x 0)；②当x ＝－x 0时f(－x)取得极小值； ③当x ＝－x 0时－f(x)取得极小值； ④当x ＝－x 0时－f(－x)取得极小值． 答案 ④解析 ①错，因为极大值未必是最大值．②错，因为函数y ＝f(x)与函数y ＝f(－x)的图象关于y 轴对称，当x ＝－x 0时f(－x)取得极大值．③错，函数y ＝f(x)与函数y ＝－f(x)的图象关于x 轴对称，当x ＝x 0时－f(x)取得极小值．④对，函数y ＝f(x)与y ＝－f(－x)的图象关于原点对称，当x ＝－x 0时y ＝－f(－x)取得极小值．9.函数f(x)＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 ∵f′(x)＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8＞0，解得a ＞2或a ＜－1.10.如果函数y ＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f(x)在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f(x)在区间⎝⎛⎭⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f(x)在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f(x)有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f(x)有极大值．则上述判断正确的是________．(填序号)答案 ③解析 当x ∈(－∞，－2)时，f′(x)<0， 所以f(x)在(－∞，－2)上为减函数， 同理f(x)在(2,4)上为减函数，在(－2,2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数， 所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x ＝2的左侧递增，右侧递减， 所以当x ＝2时，函数有极大值；而在x ＝－12的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x ＝－12的左右两侧均为增函数，所以x ＝－12时函数无极值．排除④和⑤.11．已知函数f(x)＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m>0)有极大值－52，求m 的值．解 ∵f′(x)＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m)(3x －2m)， 令f′(x)＝0，则x ＝－m 或x ＝23m.当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴f(x)极大值＝f(－m)＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52，∴m ＝1.12.设a 为实数，函数f(x)＝x 3－x 2－x ＋a. (1)求f(x)的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f(x)与x 轴仅有一个交点？ 解 (1)f′(x)＝3x 2－2x －1. 令f′(x)＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴f(x)的极大值是f(－13)＝527＋a ， 极小值是f(1)＝a －1.(2)函数f(x)＝x 3－x 2－x ＋a＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f(x)>0，x 取足够小的负数时，有f(x)<0，∴曲线y ＝f(x)与x 轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f(－13)＝527＋a ， f(x)极小值＝f(1)＝a －1.∵曲线y ＝f(x)与x 轴仅有一个交点，∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，即527＋a<0或a －1>0，∴a<－527或a>1， ∴当a ∈(－∞，－527)∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f(x)与x 轴仅有一个交点． 三、探究与拓展13.已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．(1)设x ＝0时f(x)取得极值，求m ，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)>0.(1)解 f(x)＝e x －ln(x ＋m)⇒f′(x)＝e x －1x ＋m ⇒f′(0)＝e 0－10＋m＝0⇒m ＝1， 定义域为{x|x>－1}，f′(x)＝e x －1x ＋m ＝e x (x ＋1)－1x ＋1， 显然f(x)在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．(2)证明 令g(x)＝e x －ln(x ＋2)，则g′(x)＝e x －1x ＋2(x>－2)． h(x)＝g′(x)＝e x －1x ＋2(x>－2)⇒h′(x)＝e x ＋1(x ＋2)2>0， 所以h(x)是单调递增函数，h(x)＝0至多只有一个实数根，又g′(－12)＝1e －132<0，g′(0)＝1－12>0，所以h(x)＝g′(x)＝0的唯一实根在区间⎝⎛⎭⎫－12，0内， 设g′(x)＝0的根为t ，则有g′(t)＝e t －1t ＋2＝0⎝⎛⎭⎫－12<t<0， 所以，e t ＝1t ＋2⇒t ＋2＝e －t ， 当x ∈(－2，t)时，g′(x)<g′(t)＝0，g(x)单调递减； 当x ∈(t ，＋∞)时，g′(x)>g′(t)＝0，g(x)单调递增；所以g(x)min ＝g(t)＝e t－ln(t ＋2)＝1t ＋2＋t ＝(1＋t)2t ＋2>0， 当m≤2时，有ln(x ＋m)≤ln(x ＋2)，所以f(x)＝e x －ln(x ＋m)≥e x －ln(x ＋2)＝g(x)≥g(x)min >0.。
人教B版高中数学选修22 1.3.2 利用导数研究函数的极值 测试(教师版)
1.3.2 利用导数研究函数的极值（检测教师版）时间:50分钟 总分：80分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．函数f (x )＝x ＋1x 的极值情况是( )A ．当x ＝1时，极小值为2，但无极大值B ．当x ＝－1时，极大值为－2，但无极小值C ．当x ＝－1时，极小值为－2；当x ＝1时，极大值为2D ．当x ＝－1时，极大值为－2；当x ＝1时，极小值为2 【答案】 D【解析】 f ′(x )＝1－1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，函数f (x )在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调增，在(－1,0)和(0,1)上单调减， ∴当x ＝－1时，取极大值－2，当x ＝1时，取极小值2.故选D. 2．下列函数中x ＝0是极值点的函数是( ) A ．f (x )＝－x 3 B ．f (x )＝－cos x C ．f (x )＝sin x －x D ．f (x )＝1x【答案】 B【解析】 A ．y ′＝－3x 2≤0恒成立，所以函数在R 上递减，无极值点．B ．y ′＝sin x ，当－π<x <0时函数单调递增；当0<x <π时函数单调递减且y ′|x ＝0＝0，故B 符合．C ．y ′＝cos x －1≤0恒成立，所以函数在R 上递减，无极值点．D ．y ＝1x 在(－∞，0)与(0，＋∞)上递减，无极值点．3．函数f (x )＝－xe x (a <b <1)，则( )A ．f (a )＝f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )>f (b )D ．f (a )，f (b )的大小关系不能确定 【答案】 C【解析】 f ′(x )＝(－xex )′＝－xx－－xxx2＝x －1e x. 当x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数，∵a <b <1，∴f (a )>f (b )．4．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内极值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】 C【解析】 由f ′(x )的图象可知，函数f (x )在区间(a ，b )内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f (x )在区间(a ，b )内有三个极值点．故选C.5．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．－1<a <2 B ．－3<a <6 C ．a <－1或a >2 D ．a <－3或a >6 【答案】 D【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6.因为f (x )既有极大值又有极小值，所以Δ>0，即4a 2－4×3×(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0，解得a >6或a <－3.故选D.6．已知函数f (x )＝e x (sin x －cos x )，x ∈(0,2015π)，则函数f (x )的极大值之和为( ) A.e 2π－e 2014πe 2π－1B ．e π－e 2014π1－e 2πC.e π－e 1007π1－e 2πD ．e π－e 1007π1－e π【答案】 B【解析】 f ′(x )＝2e x sin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝0，∴x ＝k π，k ∈Z ，当2k π<x <2k π＋π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当(2k －1)π<x <2k π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴当x ＝(2k ＋1)π时，f (x )取到极大值，∵x ∈(0,2015π)，∴0<(2k ＋1)π<2015π，∴0≤k <1007，k ∈Z .∴f (x )的极大值之和为S ＝f (π)＋f (3π)＋f (5π)＋…＋f (2013π)＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e 2013π＝e π[1－2π1007]1－e 2π＝e π－e 2014π1－e 2π，故选B.二、 填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________． 【答案】 y ＝－1e【解析】 y ＝f (x )＝x e x ⇒f ′(x )＝(1＋x )e x ，令f ′(x )＝0⇒x ＝－1，此时f (－1)＝－1e ，函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为y ＝－1e.8．若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________． 【答案】 [－1,1]【解析】 f ′(x )＝1＋a cos x ，由条件知f ′(x )≥0在R 上恒成立，∴1＋a cos x ≥0，a ＝0时显然成立；a >0时，∵－1a ≤cos x 恒成立，∴－1a ≤－1，∴a ≤1，∴0<a ≤1；a <0时，∵－1a ≥cos x 恒成立，∴－1a ≥1，∴a ≥－1，即－1≤a <0，综上知－1≤a ≤1.9．若函数y ＝2x 3－3x 2＋a 的极大值是6，则a ＝________. 【答案】 6【解析】 y ′＝6x 2－6x ＝6x (x －1)，易知函数f (x )在x ＝0处取得极大值6，即f (0)＝6，∴a ＝6.10．已知f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________． 【答案】 (0,1)【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－3b ＝3(x 2－b )．因为函数f (x )在(0,1)内有极小值，故方程3(x 2－b )＝0在(0,1)内有解，所以0<b <1，即0<b <1. 三、解答题（共3小题，每题10分，共30分） 11．求下列函数的极值． (1)y ＝x 2－7x ＋6【解析】 (1)y ′＝(x 2－7x ＋6)′＝2x －7. 令y ′＝0，解得x ＝72.当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表.当x ＝72时，y 有极小值，且y 极小值＝－254.12．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 【解析】 (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x －12)．令f ′(x )＝0得，x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．13．设函数f (x )＝3x 2＋axe x(a ∈R )．(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围． 【解析】 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝x ＋ax－x 2＋axxx2＝－3x 2＋－ax ＋aex ，因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0. 当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e. 从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e (x －1)，化简得3x －e y ＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋－ax ＋ae x，令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366.当x <x 1时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数； 当x 1<x <x 2时，g (x )>0，即f ′(x )>0，故f (x )为增函数； 当x >x 2时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数； 由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92，故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－92，＋∞.。
2019-2020学年高中数学 1.3.2 函数的极值与导数同步练习 新人教A版选修2-2
选修2-2 1.3.2 函数的极值与导数一、选择题1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是( )A．导数为零的点一定是极值点B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值[答案] C[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x ＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.2．函数y＝1＋3x－x3有( )A．极小值－2，极大值2B．极小值－2，极大值3C．极小值－1，极大值1D．极小值－1，极大值3[答案] D[解析] y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1当x<－1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，当－1<x<1时，y′>0，函数y＝1＋3x－x3是增函数，当x>1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，∴当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.3．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是( )A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0[答案] C[解析] 如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在．4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件． 5．对于函数f (x )＝x 3－3x 2，给出命题： ①f (x )是增函数，无极值； ②f (x )是减函数，无极值；③f (x )的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)； ④f (0)＝0是极大值，f (2)＝－4是极小值． 其中正确的命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[答案] B[解析] f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )>0，得x >2或x <0，令f ′(x )<0，得0<x <2，∴①②错误．6．函数f (x )＝x ＋1x的极值情况是( )A ．当x ＝1时，极小值为2，但无极大值B ．当x ＝－1时，极大值为－2，但无极小值C ．当x ＝－1时，极小值为－2；当x ＝1时，极大值为2D ．当x ＝－1时，极大值为－2；当x ＝1时，极小值为2 [答案] D[解析] f ′(x )＝1－1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，函数f (x )在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减， ∴当x ＝－1时，取极大值－2，当x ＝1时，取极小值2.7．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] A[解析] 由f ′(x )的图象可知，函数f (x )在区间(a ，b )内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极小值点．8．已知函数y ＝x －ln(1＋x 2)，则函数y 的极值情况是( ) A ．有极小值 B ．有极大值C ．既有极大值又有极小值D ．无极值 [答案] D [解析] ∵y ′＝1－11＋x2(x 2＋1)′ ＝1－2x x 2＋1＝(x －1)2x 2＋1令y ′＝0得x ＝1，当x >1时，y ′>0， 当x <1时，y ′>0， ∴函数无极值，故应选D.9．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则函数f (x )的极值是( ) A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极大值为0，极小值为－427D ．极大值为－427，极小值为0[答案] A[解析] 由题意得，f (1)＝0，∴p ＋q ＝1①f ′(1)＝0，∴2p ＋q ＝3②由①②得p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1 ＝(3x －1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1，极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427，极小值f (1)＝0.10．下列函数中，x ＝0是极值点的是( ) A ．y ＝－x 3B ．y ＝cos 2xC ．y ＝tan x －xD ．y ＝1x[答案] B[解析] y ＝cos 2x ＝1＋cos2x 2，y ′＝－sin2x ，x ＝0是y ′＝0的根且在x ＝0附近，y ′左正右负，∴x ＝0是函数的极大值点． 二、填空题 11．函数y ＝2xx 2＋1的极大值为______，极小值为______． [答案] 1 －1[解析] y ′＝2(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2， 令y ′>0得－1<x <1，令y ′<0得x >1或x <－1， ∴当x ＝－1时，取极小值－1，当x ＝1时，取极大值1.12．函数y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为____________，极小值为____________． [答案] a ＋4 2 a －4 2[解析] y ′＝3x 2－6＝3(x ＋2)(x －2)， 令y ′>0，得x >2或x <－2， 令y ′<0，得－2<x <2， ∴当x ＝－2时取极大值a ＋42， 当x ＝2时取极小值a －4 2.13．已知函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1处有极大值，在x ＝3处有极小值，则a ＝______，b ＝________.[答案] －3 －9[解析] y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，方程y ′＝0有根－1及3，由韦达定理应有14．已知函数f (x )＝x 3－3x 的图象与直线y ＝a 有相异三个公共点，则a 的取值范围是________．[答案] (－2,2)[解析] 令f ′(x )＝3x 2－3＝0得x ＝±1， 可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，y ＝f (x )的大致图象如图观察图象得－2<a <2时恰有三个不同的公共点． 三、解答题15．已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋11. (1)写出函数f (x )的递减区间；(2)讨论函数f (x )的极大值或极小值，如有试写出极值． [解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.x 变化时，f ′(x )的符号变化情况及f (x )的增减性如下表所示：(1)(2)由表可得，当x ＝－1时，函数有极大值为f (－1)＝16；当x ＝3时，函数有极小值为f (3)＝－16.16．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，在x ＝1和x ＝－1处有极值，且f (1)＝－1，求a 、b 、c 的值，并求出相应的极值．[解析] f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .∵x ＝±1是函数的极值点，∴－1、1是方程f ′(x )＝0的根，即有又f (1)＝－1，则有a ＋b ＋c ＝－1，此时函数的表达式为f (x )＝12x 3－32x .∴f ′(x )＝32x 2－32.令f ′(x )＝0，得x ＝±1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：17．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值． (1)讨论f (1)和f (－1)是函数f (x )的极大值还是极小值； (2)过点A (0,16)作曲线y ＝f (x )的切线，求此切线方程． [解析] (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意，f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即解得a ＝1，b ＝0. ∴f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.若x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f ′(x )＞0，故f (x )在(－∞，－1)上是增函数， f (x )在(1，＋∞)上是增函数．若x ∈(－1,1)，则f ′(x )＜0，故f (x )在(－1,1)上是减函数．∴f (－1)＝2是极大值；f (1)＝－2是极小值． (2)曲线方程为y ＝x 3－3x .点A (0,16)不在曲线上． 设切点为M (x 0，y 0)，则点M 的坐标满足y 0＝x 30－3x 0. ∵f ′(x 0)＝3(x 20－1)，故切线的方程为y －y 0＝3(x 20－1)(x －x 0)．注意到点A (0,16)在切线上，有 16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)． 化简得x 30＝－8，解得x 0＝－2. ∴切点为M (－2，－2)， 切线方程为9x －y ＋16＝0.18．(2010·北京文，18)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.(1)当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围． [解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用． 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c∵f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两根为1,4.(1)当a ＝3时，由(*)式得，解得b ＝－3，c ＝12.又∵曲线y ＝f (x )过原点，∴d ＝0. 故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又∵Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)解得a ∈[1,9]，即a 的取值范围[1,9]．。
2019_2020学年新教材高中数学第三章函数3.1.2.2函数的最大值、最小值课堂检测素养达标新人教B版必修第一册
3.1.2.2 函数的最大值、最小值
课堂检测·素养达标
1.函数f(x)的图像如图，则其最大值、最小值点分别为( )
A.f，-
B.f(0)，f
C.f，f(0)
D.f(0)，
【解析】选D.观察函数图像，f(x)最大值、最小值点分别为f(0)，.
2.已知函数f(x)=x2+2x+a(x∈[0，2])有最小值-2，则f(x)的最大值为
( ) A.4 B.6 C.1 D.2
【解析】选 B.f(x)=x2+2x+a(x∈[0，2])为增函数，所以最小值为f(0)=a=-2，最大值f(2)=8+a=6.
3.函数f(x)=的最小值是 ( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
【解析】选B.当x>-1时，f(x)=x2的最小值为f(0)=0；当x≤-1时，f(x)=-x递减，可得f(x)≥1，综上可得函数f(x)的最小值为0.
4.函数f(x)=在[1，b](b>1)上的最小值是，则b=_______.
【解析】因为f(x)在[1，b]上是减函数，
所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)==，所以b=4.
答案：4
【新情境·新思维】
设函数f(x)=x+(a>0)，当0≤x≤1的最小值为g(a)，则g(a)的最大值为( )
A.a
B.
C.2
D.1
【解析】选D.当0<a<1时，a-<0，f(x)递减，在[0，1]上的最小值为f(1)=a；当a=1时，a-=0，f(x)=1；当a>1时，a->0，f(x)递增，在[0，1]上的最小值为f(0)=(a>1)，因此 g(a)=
可得g(a)的最大值为1.。
人教新课标版(A)高二选修1-1 3.3.2函数的极值同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 3.3.2 函数的极值同步练习题【基础演练】题型一：函数极值的定义与存在性问题一般地，当函数()x f 在点0x 处连续时，若在0x 附近的左侧()0x f >'，右侧()0x f <'，则()0x f 是极大值；若在0x 附近的左侧，()0x f <'，右侧()0x f >'，则()0x f 是极小值，请根据以上知识解决以下1~4题。
1. 已知函数()x f 在点0x 处连续，下列命题中，正确的是A. 导数为零的点一定是极值点B. 如果在点0x 附近的左侧()0x f >'，右侧()0x f <'，那么()0x f 是极小值C. 如果在点0x 附近的左侧()0x f >'，右侧()0x f <'，那么()0x f 是极大值D. 如果在点0x 附近的左侧()0x f <'，右侧()0x f >'，那么()0x f 是极大值 2. 函数()2x 2x 9x 3x y 23<<---=有A. 极大值为5，极小值为-27B. 极大值为5，极小值为-11C. 极大值为5，无极小值D. 极小值为-27，无极大值3. 三次函数当1x =时有极大值为4，当3x =时有极小值为0，且函数过原点，则此函数是A. x 9x 6x y 23++=B. x 9x 6x y 23+-=C. x 9x 6x y 23--=D. x 9x 6x y 23-+=4. 已知函数()x 3bx ax x f 23-+=在1x ±=处取得极值。
（1）讨论()1f 和()1f -是函数()x f 的极大值还是极小值；（2）过点A （0，16）作曲线()x f y =的切线，求此切线方程。
题型二：求函数的极值求可导函数()x f 极值步骤如下：①求()x f '；②求方程()0x f ='的根；③列出x ，()x f '，()x f 的变化表；④写出结论。
人教新课标版数学高二B版选修2-2学业测评 1.3.2 利用导数研究函数的极值
学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1．下列结论中，正确的是()A．导数为零的点一定是极值点B．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值C．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值D．如果在x0点附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值【解析】根据极值的概念，左侧f′(x)>0，单调递增；右侧f′(x)<0，单调递减，f(x0)为极大值．【答案】 B2．设函数f(x)＝2x＋ln x，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点【解析】f′(x)＝1x－2x2，令f′(x)＝0，即1x－2x2＝0，得x＝2，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D.【答案】 D3．(2016·烟台高二检测)已知函数f(x)＝x2－2(－1)k ln x(k∈N＋)存在极值，则k的取值集合是()A．{2,4,6,8，…}B．{0,2,4,6,8，…}C．{1,3,5,7，…} D．N＋【解析】∵f′(x)＝2x－2·(－1)kx且x∈(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x2＝(－1)k，(*)要使f(x)存在极值，则方程(*)在(0，＋∞)上有解．∴(－1)k>0，又k∈N＋，∴k＝2,4,6,8，…，所以k的取值集合是{2,4,6,8，…}．【答案】 A4．已知函数f(x)＝12x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥32B．m>32C．m≤32D．m<32【解析】令f′(x)＝2x3－6x2＝0，得x＝0或x＝3. 经检验，知x＝3是函数的最小值点，所以函数f(x)的最小值为f(3)＝3m－272.因为不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－272≥－9，解得m≥32，故选A.【答案】 A5．(2016·海口高二检测)函数f(x)＝xe x在区间上的最小值为()A．0 B.1 eC.4e4 D.2e2【解析】f′(x)＝e x－x e x(e x)2＝1－xe x，当x∈时，f′(x)<0，即函数f(x)在区间上单调递减，故当x ＝4时，函数f (x )有最小值4e 4.【答案】 C 二、填空题6．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝__________处取得极小值． 【解析】 由f (x )＝x 3－3x 2＋1， 得f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)． 令f ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝2， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(－∞，0)和(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数． 故当x ＝2时，函数f (x )取得极小值． 【答案】 27．(2016·佛山高二检测)设方程x 3－3x ＝k 有3个不等的实根，则实数k 的取值范围是________．【解析】 设f (x )＝x 3－3x －k ，则f ′(x )＝3x 2－3. 令f ′(x )＝0，得x ＝±1，且f (1)＝－2－k ，f (－1)＝2－k ， 又f (x )的图象与x 轴有3个交点， 故⎩⎪⎨⎪⎧2－k >0，－2－k <0， ∴－2<k <2. 【答案】 (－2,2)8．已知函数f (x )＝ax 2＋2ln x ，若当a >0时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是__________．【解析】 由f (x )＝ax 2＋2ln x ，得f ′(x )＝2(x 2－a )x 3，又函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝－a (舍去)或x ＝a .当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0.故x ＝a 是函数f (x )的极小值点，也是最小值点，且f (a )＝ln a ＋1.要使f (x )≥2恒成立，需ln a ＋1≥2恒成立，则a ≥e.【答案】 能力提升hslx3y3h1．(2016·哈尔滨高二检测)已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于(1,0)点，则f (x )( )A ．极大值为427，极小值为0 B ．极大值为0，极小值为427 C ．极大值为0，极小值为－427 D ．极大值为427，极小值为－427 【解析】 f ′(x )＝3x 2－2px －q ，依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－p －q ＝0，3－2p －q ＝0，解得p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝13. ∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，f ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，∴当x ＝13时，函数有极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13＝427， 当x ＝1时，函数有极小值，f (1)＝1－2＋1＝0， 故选A. 【答案】 A2．如图1-3-8是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x21＋x22等于()图1-3-8A.23 B.43C.83 D.123【解析】函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d＝0，b＋c＋1＝0,4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x ＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－43＝8 3.【答案】 C3．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是__________．【解析】由题意，知f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，得x＝±a.因为函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，所以f(a)＝2，f(－a)＝6，即(a)3－3a a＋b＝2，(－a)3＋3a a＋b＝6，解得a＝1，b＝4.所以f′(x)＝3x2－3，令f′(x)<0，解得－1<x<1，所以f(x)的单调递减区间是(－1,1)．【答案】(－1,1)4．设函数f(x)＝e x－e－x，若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求实数a的取值范围．【解】令g(x)＝f(x)－ax，由g′(x)＝f′(x)－a＝e x＋e－x－a，由于e x ＋e －x ＝e x ＋1e x ≥2(当且仅当x ＝0时等号成立，)所以当a ≤2时，g (x )＝e x ＋e －x －a ≥2－a ≥0，故g (x )在(0，＋∞)上为增函数．所以当x ≥0时，g (x )≥g (0)＝0，即f (x )≥ax ， 当a >2时，方程g ′(x )＝0的根为 x 1＝lna －a 2－42<0，x 2＝ln a ＋a 2－42>0， 此时，若x ∈(0，x 2)，则g ′(x )<0，故g (x )在区间(0，x 2)内为减函数，所以x ∈(0，x 2)时，g (x )<g (0)＝0，即f (x )<ax ，与题设f (x )≥ax 相矛盾．综上所述，满足条件的实数a 的取值范围为a ≤2.。
2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：1.3.2函数的极值与导数
1.3.2 函数的极值与导数填一填1.极小值点与极小值函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，且f ′(a )＝0，在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则a 叫做极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．2．极大值点与极大值函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，且f ′(b )＝0，在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则b 叫做极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．3．极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为极值点； (2)极大值与极小值统称为极值． 4．求函数y ＝f (x )的极值的方法解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值.判一判1.2．函数的极大值不一定比极小值大．(√)3．对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件．(×) 4．函数y ＝f (x )一定有极大值和极小值．(×)5．函数的极小值就是函数在定义域上的最小的函数值．(×) 6．导数为零的点都是极值点．(×) 7．极值点的导数一定为0.(×)8．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3与函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6有相同的极值点．(√)想一想1. 函数在点x ＝a 的函数值比它在点x ＝a 附近的其他点的函数值都小．2．在极小值概念中，f ′(a )等于多少？在点x ＝a 附近，函数的导数的符号有什么规律？ f ′(a )＝0，在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0. 3．在极大值概念中，函数在点x ＝b 处的情况呢？函数在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0.4．三次函数有极值的充要条件是什么？三次函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)有极值⇔导函数f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0的判别式Δ＝4b 2－12ac >0.感悟体会练一练1.函数f (x )＝ln x －x A ．－e B ．－1 C ．1－e D ．0解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－1.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，e)时，f ′(x )<0，故f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.故选B.答案：B2．若函数f (x )＝ax －ln x 在x ＝22处取得极值，则实数a 的值为( )A. 2B.22C ．2 D.12解析：f ′(x )＝a －1x ，因为f ′⎝⎛⎭⎫22＝0，即a －122＝0，解得a ＝2，经检验，满足题意．故选A.答案：A3．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．解析：由f (x )＝x 3－3x 2＋1，得f ′(x )＝3x 2－6x ，由f ′(x )>0，得x <0或x >2；由f ′(x )<0，得0<x <2，∴函数f (x )的增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，减区间为(0,2)，∴x ＝2时，函数f (x )取得极小值．答案：24．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的序号是________(填序号)．①当x ＝32时，函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．解析：由导函数f ′(x )的图象知，当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以x ＝1时，函数f (x )取得极大值，x ＝2时，函数取得极小值，故只有①的说法不正确．答案：①知识点一函数极值的概念1.A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C．函数f(x)＝|x|只有一个极小值D．函数y＝f(x)在区间(a，b)上一定存在极值解析：函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，A、B均不正确；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则不存在极值，D不正确，故选C.答案：C2.函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－2)f′(x)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．函数f(x)有极小值f(－2)和极小值f(2)B．函数f(x)有极小值f(－2)和极大值f(1)C．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)D．函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(2)解析：由函数y＝(x－2)f′(x)的图象知：当x<－2时，x－2<0，且(x－2)f′(x)<0，∴f′(x)>0，∴函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增；当－2<x<1时，x－2<0，且(x－2)f′(x)>0，∴f′(x)<0，∴函数y＝f(x)在(－2,1)上单调递减；当1<x<2时，x－2<0且(x－2)f′(x)<0，∴f′(x)>0，∴函数y＝f(x)在(1,2)上单调递增，当x>2时，x－2>0且(x－2)f′(x)>0，∴f′(x)>0，∴函数y＝f(x)在(2，＋∞)上单调递增，∴x＝－2时，函数f(x)取得极大值，x＝1时，函数f(x)取得极小值，故选C.知识点二求函数的极值或极值点3.(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝2xx2＋1－2.解析：(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞) f′(x)＋0－0＋f(x)Z极大值]极小值Z当x ＝2时，函数f (x )取得极小值，且f (2)＝23－12×2＝－16. (2)函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝2(x 2＋1)－2x ·2x (x 2＋1)2＝2(1－x 2)(x 2＋1)2.由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x ) ] 极小值 Z 极大值 ]且f (1)＝－知识点三 与参数相关的极值问题4.函数f (x )＝13x 3－12(2b ＋1)x 2＋b (b ＋1)x 在(0,2)内有极小值，则( )A ．0<b <1B ．0<b <2C ．－1<b <1D ．－1<b <2解析：f ′(x )＝x 2－(2b ＋1)x ＋b (b ＋1)＝(x －b )[x －(b ＋1)]，令f ′(x )＝0，则x ＝b 或x ＝b ＋1，∴x ＝b ＋1是函数的极小值点，∴0<b ＋1<2，解得－1<b <1，故选C.答案：C5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.解析：f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a(x ＋1)2，令f ′(x )＝0，则x 2＋2x －a ＝0，x ≠－1.又f (x )在x ＝1处取得极值，所以x ＝1是x 2＋2x －a ＝0的根，所以a ＝3.验证知a ＝3符合题意．答案：综合知识 函数极值的综合应用6.y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．解析：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)或x ∈(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)． 7．若函数f (x )＝ax 3－bx ＋2，当x ＝1时，函数f (x )取极值0. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．解析：(1)由题意可知f ′(x )＝3ax 2－b .所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故所求的函数解析式为f (x )＝x 3－3x ＋2.(2)由(1)可知f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)． 令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示： x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x ) Z 极大值4 ] 极小值0 Z为(0,4)．基础达标一、选择题1．下面说法正确的是( ) A ．可导函数必有极值B ．函数在极值点一定有定义C ．函数的极小值不会超过极大值D ．以上都不正确解析：一次函数可导，但没有极值，A 不正确；B 显然正确；函数的极大值和极小值没有准确的大小关系，C 不正确；D 不正确，故选B.答案：B2．当函数y ＝x ·e x 取极小值时，x ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1 解析：y ′＝e x ＋x ·e x ＝e x (x ＋1)，当x ∈(－∞，－1)时，y ′<0，∴函数y ＝x e x 单调递减；当x ∈(－1，＋∞)时，y ′>0，∴函数y ＝x e x 单调递增，∴x ＝－1时，函数y ＝x e x 取极小值，故选D.答案：D3．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax (x ∈R )有大于零的极值点，则( ) A ．a <－1 B ．a >－1C ．a <－1eD ．a >－1e解析：y ′＝e x＋a ，令y ′＝0，得e x ＝－a ，∴x ＝ln(－a )， ∵x >0，∴ln(－a )>0，解得a <－1，故选A. 答案：A4．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值 D ．极小值－27，无极大值解析：由y ＝x 3－3x 2－9x ，得y ′＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)，由y ′＝0，得x ＝－1或x ＝3，当x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)时，y ′>0；当x ∈(－1,3)时，y ′<0，∴当x ＝－1时，函数有极大值5；而3∉(－2,2)，∴函数无极小值，故选C.答案：C5．设x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则常数a －b 的值为( ) A ．21 B ．－21 C ．27 D ．－27解析：依题意，x ＝－2与x ＝4是f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根，∴⎩⎨⎧－2＋4＝－2a 3，－2×4＝b3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－24，∴a －b ＝(－3)－(－24)＝21，故选A.答案：A6．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝x ·f ′(x )的图象可能是( )解析：∵函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，∴x <－2时，f ′(x )<0，x >－2时，f ′(x )>0，∴当x <－2时，xf ′(x )>0；当－2<x <0时，xf ′(x )<0；当x >0时，xf ′(x )>0，∴函数y ＝x ·f ′(x )的图象可能是C 选项．答案：C 7．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9解析：∵f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2，∴f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，又∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6，∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时，等号成立，∴ab 的最大值等于9，故选D.答案：D 二、填空题8．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的极大值点为________． 解析：∵f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，令f ′(x )＝0，得x ＝π6，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π6时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2时，f ′(x )<0，∴x ＝π6时，f (x )取极大值． 答案：π69．已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n ，∵函数f (x )在x ＝－1时有极值0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝0，f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋3m －n ＋m 2＝0，3－6m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝9，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，当m ＝1，n ＝3时，f (x )＝x 3＋3x 2＋3x ＋1，∴f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，∴函数f (x )在R 上单调递增，函数无极值，舍去，∴m ＋n ＝2＋9＝11.答案：1110．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则f (－1)＝________. 解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝10，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.经检验，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3，时，f ′(x )≥0，不符合题意，舍去，∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (－1)＝30.答案：3011．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既无极大值又无极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，因为函数f (x )既无极大值又无极小值，所以Δ＝36a 2－36(a ＋2)≤0，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.答案：[－1,2]12．若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x 的极值点，则f (x )的极小值为________．解析：∵f (x )＝(x 2＋ax －1)e x ，∴f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x ＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x ，∵－2是f (x )的极值点，∴f ′(－2)＝0，即[4－2(a ＋2)＋a －1]e －2＝0，解得a ＝－1，∴f (x )＝(x 2－x －1)e x ，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x ，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1，当x ∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2,1)时，f ′(x )<0，∴x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (1)＝－e.答案：－e 三、解答题13．求出下列函数的极值． (1)f (x )＝x 3－3x 2－2；(2)f (x )＝3x＋3ln x .解析：(1)函数定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) Z 极大值 ] 极小值 Z值f (2)＝－6.(2)函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3(x －1)x 2，令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ f (x ) ]极小值 Z 14．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值． (2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由． 解析：(1)由已知，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且f ′(－1)＝f ′(1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0,3a －2b ＋c ＝0. 又f (1)＝－1，所以a ＋b ＋c ＝－1.所以a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ，所以f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数． 所以当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1； 当x ＝1能力提升15.设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，其中a >0.曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y＝1.(1)确定b ，c 的值；(2)若a ＝4，过点(0,2)可作曲线y ＝f (x )的几条不同的切线？解析：(1)由f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c 得f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，又由f ′(0)＝b ，曲线y＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，得f (0)＝1，f ′(0)＝0.故b ＝0，c ＝1.(2)a ＝4时，f (x )＝13x 3－2x 2＋1，f ′(x )＝x 2－4x ，点(0,2)不在f (x )的图象上，设切点为(x 0，y 0)，则切线斜率k ＝x 20－4x 0，所以⎩⎨⎧y 0－2x 0－0＝x 2－4x 0，y 0＝13x 3－2x 20＋1⇒23x 30－2x 20＋1＝0， 上式有几个解，过(0,2)就能作出f (x )的几条切线．令g (x )＝23x 3－2x 2＋1，则g ′(x )＝2x 2－4x ＝2x (x －2)，g (x )，g ′(x )随x 变化的情况如下：x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x ) Z 极大值 ] 极小值 Zg (x )极大值＝g (0)＝1>0，g (x )极小值＝g (2)＝－53<0，所以g (x )有三个零点，即过(0,2)可作出f (x )的3条不同的切线．16．已知函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax ＋32(a ∈R )．若f (x )恰有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)． (1)求a 的取值范围； (2)求证：f (x 2)<f (x 1)<0.解析：(1)∵f ′(x )＝1x ＋x －a ，x >0，f ′(x )＝1x ＋x －a ≥21x·x －a ＝2－a ，当a ≤2时，f ′(x )≥2－a ≥0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (x )无极值，不合题意，舍去．当a >2时，令f ′(x )＝0，得x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42(0<x 1<x 2)，f ′(x )>0⇔0<x <x 1或x >x 2；f ′(x )<0⇔x 1<x <x 2，∴f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增，∴f (x )恰有两个极值点x 1，x 2，符合题意，故a 的取值范围是(2，＋∞)．(2)由(1)知f (x )在(x 1，x 2)上单调递减，∴f (x 2)<f (x 1)，且a ＝1x 1＋x 1，由f ′(x )＝0得x 2－ax ＋1＝0，∴x 1x 2＝1，又x 1<x 2，∴0<x 1<1，∴f (x 1)＝ln x 1＋12x 21－ax 1＋32＝ln x 1＋12x 21－⎝⎛⎭⎫1x 1＋x 1x 1＋32＝ln x 1－12x 21＋12， 方法一：下面证明ln x <x －1(0<x <1)，令g (x )＝ln x －x ＋1(0<x <1)，g ′(x )＝1x －1＝1－x x>0，∴g (x )在(0,1)上单调递增，g (x )<g (1)＝0，即ln x <x －1(0<x <1)，∴f (x 1)<x 1－1－12x 21＋12＝－12x 21＋x 1－12＝－12(x 1－1)2<0，综上f (x 2)<f (x 1)<0，方法二：令g (x )＝ln x －12x 2＋12(0<x <1)，则g ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x>0，∴g (x )在(0,1)上单调递增，∴g (x )<g (1)＝0，即f (x 1)<0， 综上f (x 2)<f (x 1)<0.。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2 1.3.2 函数的极大值与极小值 同步检测
1.3.2《函数的极大值与极小值》同步检测一、基础过关1．函数y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，y ＝f ′(x )的图象如图，则函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内取得极小值的点有________个．2．下列关于函数的极值的说法正确的是________．(填序号) ①导数值为0的点一定是函数的极值点； ②函数的极小值一定小于它的极大值； ③函数在定义域内有一个极大值和一个极小值；④若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数． 3．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)的极大值为________．4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a 、b 的值分别为________、________.5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.6．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________．7．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值；⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断正确的是________．(填序号) 二、能力提升8．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．9．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是________．10．求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 3－12x ；(2)f (x )＝x 3－22(x －1)2.11．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值．12．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，其中a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)当a ≠23时，求函数f (x )的单调区间与极值．答案1．1 2．④ 3．5 4．1 －3 5．3 6．9 7．③ 8．9 9．1<a <410．解 (1)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)． 令f ′ (x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x ↗从表中可以看出，当x ＝－2时，函数f (x )有极大值， 且f (－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16； 当x ＝2时，函数f (x )有极小值， 且f (2)＝23－12×2＝－16.(2)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． ∵f ′(x )＝(x －2)2(x ＋1)2(x －1)3，令f ′(x )＝0， 得x 1＝－1，x 2＝2.↘故当x ＝－1时，函数有极大值，并且极大值为f (－1)＝－38.11．解 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .↗↘↗∴f(x)极大值＝f(－m)＝－m3＋12m3＋2m3－4＝－52，∴m＝1.12．解(1)f′(x)＝3x2－2x－1. 令f′(x)＝0，则x＝－13或x＝1.所以f(x)的极大值是f(－13)＝527＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f(－13)＝527＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，即527＋a<0或a－1>0，∴a<－527或a>1，∴当a∈(－∞，－527)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．13．解(1)当a＝0时，f(x)＝x2e x，f′(x)＝(x2＋2x)e x，故f′(1)＝3e.(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]e x.令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，由a≠23知，－2a≠a－2.以下分两种情况讨论：①若a >23，则－2a <a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，－2a )，(a －2，＋∞)内是增函数，在(－2a ，a －2)内是减函数． 函数f (x )在x ＝－2a 处取得极大值f (－2a )， 且f (－2a )＝3a e －2a .函数f (x )在x ＝a －2处取得极小值f (a －2)， 且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.②若a <23，则－2a >a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，a －2)，(－2a ，＋∞)内是增函数， 在(a －2，－2a )内是减函数．函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)， 且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )， 且f (－2a )＝3a e －2a .。
1.3.2极大值与极小值(高中数学必修5)
↘
例3:函数
x
f ( x ) a sin x
1 3
sin 3 x
在
处具有极值，求a的值
3
分析：f(x)在 x
'(
处有极值，根据一点是极值点的
) 0
必要条件可知， f
解：
f '( x ) ( a sin x
3
3
可求出a的值.
1 3
sin 3 x ) ' a co s x co s 3 x
3
(-2,2)
2 0 极小值
28 3
4 3
(2,+∞)
f (x )
f (x)
+ ↗
－
+
↗
↘
4 3
∴当x=－2时，y有极大值且y极大值=
当x=2时，y有极小值且y极小值=
x
(-∞,-2)
-2 0 极大值 2 8
3
(-2,2)
2 0 极小值
4 3
(2,+∞)
f (x )
f (x)
+ ↗
－
+
2、如果x0 是f′(x)=0的一个根，并 且在x0的左侧附近f′(x)<0，在x0右 侧附近f′(x)>0，那么是f(x0)函数 f(x)的一个极小值。
２－x－２的极值. 例１：求f（x）＝x
解： 函数f(x)定义域为 R
f ( x) 2 x 1, 令f ( x) 0, 解得x
例２：求 y
解： 函数定义域为 R
y' ( 1 3
3
1 3பைடு நூலகம்
x 4 x 4 的极值
高中数学 1.3.2 函数的极值与导数课后知能检测 新人教
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.3.2 函数的极值与导数课后知能检测 新人教A 版选修2-2一、选择题1．(2012·陕西高考)设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点【解析】 f ′(x )＝1x －2x 2，令f ′(x )＝0，即1x －2x2＝0得x ＝2，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 因此x ＝2为f (x )的极小值点，故选D. 【答案】 D2．(2013·威海高二检测)函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( ) A ．0<b <1 B ．b <0 C ．b >0D ．b <12【解析】 f ′(x )＝3x 2－3b ，要使f (x )在(0,1)内有极小值，则有⎩⎪⎨⎪⎧f ′0<0，f ′1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3b <0，3－3b >0，∴0<b <1，故选A.【答案】 A3．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a ＜1D ．a ＞1【解析】 ∵y ′＝e x＋a ，∴由y ′＝0，得e x＝－a ， 设函数的极值点为x 0(x 0＞0)，则－a ＝e x 0＞1， 所以a ＜－1. 【答案】 A4．设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点B ．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点C ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点【解析】 由题意，得f ′(x )＝13－1x ＝x －33x .令f ′(x )>0，得x >3；令f ′(x )<0，得0<x <3；令f ′(x )＝0，得x ＝3，故函数f (x )在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数，在点x ＝3处有极小值1－ln 3<0；又f (1)＝13，f (e)＝e 3－1<0，f (1e )＝13e ＋1>0，故选D.【答案】 D5．如图1－3－6是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )图1－3－6A.23 B.43 C.83D.123【解析】 函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d ＝0，b ＋c ＋1＝0,4b ＋2c ＋8＝0，则b ＝－3，c ＝2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝3x 2－6x ＋2，且x 1，x 2是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的两个极值点，即x 1，x 2是方程3x 2－6x ＋2＝0的实根，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83.【答案】 C 二、填空题6．(2013·佛山高二检测)函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 【解析】 由题意得f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x ·(x －2)． 当x <0时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0； 当x >2时，f ′(x )>0.故当x ＝2时取得极小值． 【答案】 27．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图1－3－7所示，给出下列判断：图1－3－7(1)函数y ＝f (x )在区间(－3，－12)内单调递增；(2)函数y ＝f (x )在区间(－12，3)内单调递减；(3)函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； (4)当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； (5)当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是________． 【解析】 由导函数的图象知：当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 在x ＝－2时，f (x )取极小值； 在x ＝2时，f (x )取极大值； 在x ＝4时，f (x )取极小值． 所以只有(3)正确． 【答案】 (3)8．已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc ，如果函数f (x )在x ＝1处取极值－43，则b ＝________，c ＝________.【解析】 f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝－1＋2b ＋c ＝0，f 1＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3.若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0，此时f (x )没有极值； 若b ＝－1，c ＝3，则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)， 当－3<x <1时，f ′(x )>0， 当x >1时，f ′(x )<0，所以当x ＝1时，f (x )有极大值－43.故b ＝－1，c ＝3即为所求． 【答案】 －1 3 三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3－x 2－x . (1)求f (x )的极值； (2)画出它的大致图象； (3)指出y ＝f (x )零点的个数．【解】 (1)由已知得f ′(x )＝3x 2－2x －1＝0， 解得x 1＝－13，x 2＝1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－13)－13 (－13，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋－＋f (x )极大值极小值所以f (x )的极大值是f (－3)＝27，极小值是f (1)＝－1.(2)令f (x )＝0得x ＝0或x ＝1±52，结合函数的单调性及极值画出f (x )的大致图象如图所示：(3)由(2)可知f (x )图象与x 轴有3个交点，即y ＝f (x )有3个零点． 10．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝0，x ＝4处取得极值，且极小值为－1，求f (x )的表达式； (2)当x ∈[0,1]时，函数f (x )图象上的任意一点的切线斜率为k ，求k ≥－1恒成立时a 的取值范围．【解】 (1)由f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，当f ′(x )＝0时，得x ＝0或x ＝2a 3.∴2a 3＝4.∴a＝6.当x <0或x >4时，f ′(x )<0；当0<x <4时，f ′(x )>0. 故当x ＝0时，f (x )取极小值f (0)＝b ， ∴b ＝－1.∴f (x )＝－x 3＋6x 2－1.(2)当x ∈[0,1]时，k ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax ≥－1恒成立，即令g (x )＝3x 2－2ax －1≤0对一切x ∈[0,1]恒成立．∵g (0)＝－1<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3≥0，f 1≤0，解得a ≥1.11．(2013·重庆高考)设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中x ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．【解】 (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)．由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x＝x －2x －3x.令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.。
(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.3.2 极大值与极小值课后知能检测 苏教版选修2-2
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.3.2 极大值与极小值课后知能检测 苏教版选修2-2一、填空题1．(2013·广州高二检测)函数f(x)＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 【解析】 由题意得f′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)．当x<0时，f ′(x)>0；当0<x<2时，f ′(x)<0；当x>2时，f ′(x)>0.故当x ＝2时取得极小值．【答案】 22．若函数f(x)＝x·2x在x 0处有极值，则x 0＝________． 【解析】 f′(x)＝2x＋x·2xln 2＝2x(1＋xln 2)， 由已知f′(x 0)＝0，∴2x 0(1＋x 0ln 2)＝0， 即1＋x 0ln 2＝0.∴x 0＝－1ln 2.【答案】 －1ln 23．若函数f(x)＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________．【解析】 由f′(x)＝2x （x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）2＝0， ∴x 2＋2x －a ＝0，x ≠－1， 又f(x)在x ＝1处取极值，∴x ＝1是x 2＋2x －a ＝0的根，∴a ＝3. 【答案】 34．(2013·杭州高二检测)设a∈R，若函数y ＝e x－ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为________．【解析】 y′＝e x－a ，令y′＝0得x ＝ln a ， 令ln a ＞0，则a ＞1. 【答案】 (1，＋∞)5．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于________． 【解析】 y′＝－3x 2＋12x ＝－3x(x －4)． 令y′＝0得x 1＝0，x 2＝4. x ，y ′，y 之间的关系如下表x (－∞，0)0 (0，4) 4 (4，＋∞)y′－＋－y极小极大极大∴m ＝－19. 【答案】 －196．(2013·连云港高二检测)已知函数f(x)＝x 3＋(3－5cos α)x 2－3x 在x ＝1处有极值，则cos 2α＝________．【解析】 ∵f′(x)＝3x 2＋2(3－5cos α)x －3， 且f(x)在x ＝1处有极值．∴f ′(1)＝3＋2(3－5cos α)－3＝0，∴cos α＝35，因此cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.【答案】 －7257．已知函数f(x)＝x 3－ax 2＋3ax ＋1在区间(－∞，＋∞)内既有极大值，又有极小值，则实数a 的取值范围是________．【解析】 依题意，f ′(x)＝3x 2－2ax ＋3a ＝0有两个不同实根， ∴Δ＝(－2a)2－4×3×3a＞0， 解得a ＜0或a ＞9.【答案】 (－∞，0)∪(9，＋∞)8．函数f(x)＝aln x ＋bx 2＋3x 的极值点为x 1＝1，x 2＝2，则a ＋b ＝________． 【解析】 f′(x)＝a x ＋2bx ＋3＝2bx 2＋3x ＋ax ，∵函数的极值点为x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＝1，x 2＝2是方程f′(x)＝2bx 2＋3x ＋ax ＝0的两根，即为2bx 2＋3x ＋a ＝0的两根， ∴由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－32b ＝1＋2，a 2b ＝1×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－12.故a ＋b ＝－52.【答案】 －52二、解答题9．设函数f(x)＝kx 3－3x 2＋1(k ＞0)． (1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的极小值大于0，求实数k 的取值范围． 【解】 (1)f′(x)＝3kx 2－6x ＝3kx(x －2k)．∵k ＞0，令f′(x)＞0，得x ＞2k 或x ＜0；令f′(x)＜0，得0＜x ＜2k .∴f(x)的增区间是(－∞，0)与(2k ，＋∞)；减区间是(0，2k )．(2)由(1)知，f(x)的极小值f(2k )＝8k 2－12k 2＋1＝1－4k 2，依题意，1－4k 2＞0，∴k ＞2.故实数k 的取值范围是(2，＋∞)． 10．设函数f(x)＝x 2·ex －1＋ax 3＋bx 2，且x ＝－2和x ＝1为f(x)的极值点．(1)求实数a 和b 的值； (2)讨论f(x)的单调性． 【解】 (1)因为f′(x)＝ex －1(2x ＋x 2)＋3ax 2＋2bx ＝xex －1(x ＋2)＋x(3ax ＋2b)，又x ＝－2和x ＝1为f(x)的极值点， 所以f′(－2)＝f′(1)＝0，因此⎩⎪⎨⎪⎧－6a ＋2b ＝0，3＋3a ＋2b ＝0，解方程组得a ＝－13，b ＝－1.(2)因为a ＝－13，b ＝－1.所以f′(x)＝x(x ＋2)(e x －1－1)．令f′(x)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1.因为当x∈(－∞，－2)∪(0，1)时，f ′(x)＜0； 当x∈(－2，0)∪(1，＋∞)时，f ′(x)＞0.所以f(x)在(－2，0)和(1，＋∞)上是单调递增的；在(－∞，－2)和(0，1)上是单调递减的．11．(2012·重庆高考)设f(x)＝aln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a∈R，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数f(x)的极值．【解】 (1)因为f(x)＝aln x ＋12x ＋32x ＋1，故f′(x)＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f(x)＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x ＞0)， f ′(x)＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝（3x ＋1）（x －1）2x2. 令f′(x)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因为x 2＝－13不在定义域内，舍去)．当x∈(0，1)时，f ′(x)＜0，故f(x)在(0，1)上为减函数； 当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数． 故f(x)在x ＝1处取得极小值f(1)＝3.。
2019-2020学年苏教版数学选修2-2新素养同步练习：1.3 1.3.2 极大值与极小值 应用
姓名，年级：时间：[A 基础达标]1．设函数f（x）＝x e x，则( )A．x＝1为f（x）的极大值点B．x＝1为f(x）的极小值点C．x＝－1为f（x）的极大值点D．x＝－1为f(x）的极小值点解析：选D．求导得f′（x)＝e x＋x e x＝e x（x＋1)，令f′(x)＝0,解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．2．函数f（x）＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为( )A．－e B．－1C．1－e D．0解析：选B．函数f（x）的定义域为(0，＋∞)，f′（x)＝错误!－1。
令f′(x）＝0，得x ＝1.当x∈（0，1）时,f′（x)〉0，当x∈（1，e）时，f′(x)〈0，故f（x）在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6）x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( ）A．－1〈a<2B．－3〈a〈6C．a〈－3或a>6D．a<－1或a>2解析：选C．由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6）＝0有两个不相等的根,所以Δ〉0,解得a>6或a〈－3。
故选C．4．函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示,则x2，1＋x错误!等于（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选C．由图象可得f（x）＝0的根为0,1，2，故d＝0,f(x)＝x（x2＋bx＋c),则1，2为x2＋bx＋c＝0的根,由根与系数的关系得b＝－3,c＝2，故f(x）＝x3－3x2＋2x，则f′(x)＝3x2－6x＋2，由题图可得x1，x2为3x2－6x＋2＝0的根，则x1＋x2＝2，x1x2＝23，故x2，1＋x错误!＝(x1＋x2）2－2x1x2＝错误!。
5．若函数f（x）＝x3＋mx2－m2x＋1（m为常数,且m〉0）有极大值9，则m的值是________．解析：由f′（x)＝3x2＋2mx－m2＝(x＋m)(3x－m）＝0,得x＝－m或x＝错误!m,当x变化时，f′(x）与f（x)的变化情况如下表：x （－∞，－m)－m错误!错误!错误!m错误!错误!f′(x)＋0－0＋f（x）↗极大值↘极小值↗即f(－m)＝－m3＋m3＋m3＋1＝9,所以m＝2.答案：26．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断:①函数y＝f(x)在区间错误!内单调递增；②函数y＝f（x)在区间(－12,3)内单调递减；③函数y＝f（x)在区间（4，5)内单调递增;④当x＝2时，函数y＝f（x）有极小值；⑤当x＝－12时，函数y＝f（x）有极大值．则上述判断中正确的是________(填序号）．解析:从图象知,x∈(－3，－2)时f′(x）<0，当x∈错误!时f′(x）>0,所以函数f（x)在错误!内不单调，同理，函数f(x)在错误!内也不单调，故①②均不正确；当x∈（4，5)时f′(x)〉0,所以函数y＝f(x）在区间(4,5）内单调递增，故③正确;由于f′(2)＝0，并且在x＝2附近的左、右两侧分别有f′（x)>0与f′(x)<0，所以当x＝2时函数取得极大值，而在x＝－错误!附近的左、右两侧均有f′（x)〉0，所以x＝－错误!不是函数的极值点，即④⑤均不正确．故填③。
2012-2013高中数学 3.1.2 函数的极值同步练习 北师大版选修2-2
3.1.2 函数的极值同步练习1．函数323922y x x x x 有（ ）A 、极大值5，极小值－27B 、极大值5，极小值－11C 、极大值5，无极小值D 、极小值－27，无极大值2．f /（x ）是f （x ）的导函数，f /（x ）的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ）(A) （B ） (C) (D)3、求函数()4223f x x x =-++ 的极值。
4、求下列函数的极值：(1) ()2x f x x e -=；(2) ()2221x f x x =-+。
5．曲线方程()214ln 2f x x x =+的切线的斜率的极小值点为 ； 6．函数()11f x x x =++的单调区间,并求极大值和极小值； 7．设1x = 与2x =是函数()2ln f x a x bx x =++的两个极值点。
(1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断1,2x x == 时,函数)(x f 取得极大值还是极小值,并说明理由。
参考答案1、C2、A3、分析：求函数极值可以采用列表法,四次函数的极值点最多三个,依次类推,只要 可通过分解因式求其根,就可以求出其值.解：令0443=+-='x x x f )(得：101321==-=x x x ,,，则：∴)(x f 的极大值为：41=-)(f 和41=)(f ；)(x f 的极小值为：30=)(f 。
4、答案：（1）)(x f 的极大值为：242ef =)(；)(x f 的极小值为：00=)(f 。
（2）)(x f 的极大值为：11-=)(f ；)(x f 的极小值为：31-=-)(f 。
5、2=x ；6、答案：)(x f 的单调递增区间为：),(2--∞和),(+∞0，单调递减区间为：),(12--和),(01-。
)(x f 的极大值为：32-=-)(f ；)(x f 的极小值为：10=)(f 。
7、解：（1）12++='bx x a x f )(，依题意：⎪⎩⎪⎨⎧=++='=++='014220121b a f b a f )()( 解得：6132-=-=b a ,。
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《函数的极大值与极小值》同步检测
一、基础过关
1．函数y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，y ＝f ′(x )的图象如图，则函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内取得极小值的点有________个．
2．下列关于函数的极值的说法正确的是________．(填序号) ①导数值为0的点一定是函数的极值点； ②函数的极小值一定小于它的极大值； ③函数在定义域内有一个极大值和一个极小值；
④若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数． 3．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)的极大值为________．
4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a 、b 的值分别为________、________.
5．若函数f (x )＝x 2＋a
x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.
6．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________．
7．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－1
2内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－1
2，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值；
⑤当x ＝－1
2时，函数y ＝f (x )有极大值．
则上述判断正确的是________．(填序号) 二、能力提升
8．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．
9．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是________． 10．求下列函数的极值：
(1)f (x )＝x 3－12x ；
(2)f (x )＝x 3－2
2(x －1)2
.
11．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－5
2，求m 的值．
12．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .
(1)求f (x )的极值；
(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 三、探究与拓展
13．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，其中a ∈R .
(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)当a ≠2
3
时，求函数f (x )的单调区间与极值．
答案
1．1 2．④ 3．5 4．1 －3 5．3 6．9 7．③ 8．9 9．1<a <4
10．解 (1)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.
当x x (－∞，－2)
－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)
f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )
↗
极大值
↘
极小值
↗
从表中可以看出，当x ＝－2时，函数f (x )有极大值， 且f (－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16； 当x ＝2时，函数f (x )有极小值， 且f (2)＝23－12×2＝－16.
(2)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． ∵f ′(x )＝(x －2)2(x ＋1)
2(x －1)3，
令f ′(x )＝0， 得x 1＝－1，x 2＝2.
x (－∞，－1)
－1 (－1,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞)
f ′(x ) ＋ 0 － ＋ 0 ＋ f (x )
↗
－38
↘
↗
3
↗
故当x ＝－1时，函数有极大值，
并且极大值为f (－1)＝－3
8
.
11．解 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )，
令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝2
3
m .
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (－∞，－m )
－m ⎝
⎛⎭⎫－m ，23m
2
3m ⎝⎛⎭
⎫23m ，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－5
2，
∴m ＝1.
12．解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－1
3
或x ＝1.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (－∞，－13) －1
3 (－1
3，1) 1 (1，＋∞)
f ′(x ) ＋
－ 0 ＋ f (x )
↗
极大值 ↘
极小值
↗
所以f (x )的极大值是f (－13)＝5
27＋a ，
极小值是f (1)＝a －1.
(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时，
有f (x )>0，x 取足够小的负数时，有f (x )<0， 所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．
由(1)知f (x )极大值＝f (－13)＝5
27＋a ，
f (x )极小值＝f (1)＝a －1.
∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，
∴f (x )极大值<0或f (x )极小值>0， 即5
27
＋a <0或a －1>0， ∴a <－5
27
或a >1，
∴当a ∈(－∞，－5
27)∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．
13．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2e x ，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x ， 故f ′(1)＝3e.
(2)f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a 或x ＝a －2，
由a ≠2
3知，－2a ≠a －2.
以下分两种情况讨论：
①若a >2
3
，则－2a <a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (－∞，－2a )
－2a (－2a ，a －2)
a －2 (a －2，＋∞)
f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f (x )在(－∞，－2a )，(a －2，＋∞)内是增函数，在(－2a ，a －2)内是减函数． 函数f (x )在x ＝－2a 处取得极大值f (－2a )， 且f (－2a )＝3a e －2a .
函数f (x )在x ＝a －2处取得极小值f (a －2)， 且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.
②若a <2
3，则－2a >a －2.当x 变化时，f ′(x )，
f (x )的变化情况如下表：
x (－∞，a －2)
a －2 (a －2，－2a )
－2a (－2a ，＋∞)
f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f (x )在(－∞，a －2)，(－2a ，＋∞)内是增函数， 在(a －2，－2a )内是减函数．
函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)， 且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.
函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )， 且f (－2a )＝3a e －2a .。