中考数学 函数重点难点突破解题技巧传播十五

2019-2020年中考数学函数重点难点突破解题技巧传播十五1、如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：（＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求的值．【答案】解：（1）令y=0，则，∵m＜0，∴，解得：，。

∴A（，0）、B（3，0）。

（2）存在。

理由如下：∵设抛物线C1的表达式为（），把C（0，）代入可得，。

∴Ｃ1的表达式为：，即。

设P（p，），∴ S△PBC = S△POC + S△BOP–S△BOC =。

∵<0，∴当时,S△PBC最大值为。

（3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，），∴BD2=，BM2=，DM2=。

∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM2+ DM2= BD2，即＋=，解得：, (舍去)。

当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即＋=，解得：， (舍去) 。

综上所述， 或时，△BDM 为直角三角形。

【解析】（1）在中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标。

（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值。

（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值。

2、一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中图象如图，A 点为（－2，0）。

则下列结论中，正确的是【 】A ．B ．C ．D ．【答案】D 。

【解析】将A （－2，0）代入，得。

∴二次函数()222y ax bx ax 2ax a x 1a =+=+=+-。

∴二次函数的顶点坐标为（－1，－a ）。

当x=－1时，反比例函数。

由图象可知，当x=－1时，反比例函数图象在二次函数图象的上方，且都在x 下方， ∴，即。

故选D 。

（实际上应用排它法，由，也可得ABC 三选项错误）3．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b ＜0；②4a+2b+c ＜0；③a ﹣b+c ＞0；④（a+c ）2＜b 2．其中正确的结论是A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③④【答案】C【解析】试题分析：①图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，能得到：a ＞0，＞0，则b ＜0。

正确。

②∵对称轴为直线x=1，∴x=2与x=0时的函数值相等，∴当x=2时，y=4a+2b+c ＞0。

错误。

③当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＞0。

正确。

④∵a ﹣b+c ＞0，∴a+c ＞b 。

∵当x=1时，y=a+b+c ＜0。

∴a+c ＜﹣b 。

∴b ＜a+c ＜﹣。

∴|a+c|＜|b|。

∴（a+c ）2＜b 2。

正确。

所以正确的结论是①③④。

故选C 。

4、如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象交，那么值为 .【答案】。

【解析】∵A ，B 在反比例函数上，∴。

又∵正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，∴对于有。

∴2121111111(x x )(y y )(x x )(y y )4x y 4624--=----==⨯=。

5、如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，∠BOA=45°，则过A 点的双曲线解析式是 ．【答案】【解析】试题分析：∵∠BOA=45°，∴设A （m ，m ）。

∵⊙O 的半径为1，∴AO=1。

∴m 2+m 2=12，解得：m=，∴A （，），设反比例函数解析式为（k≠0），∵图象经过A 点，∴k=×=。

∴反比例函数解析式为。

6、如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC 在x 轴正半轴上滑动，点C 的坐标为（t ，0），直角边AC=4，经过O ，C 两点做抛物线（a 为常数，a ＞0），该抛物线与斜边AB 交于点E ，直线OA ：y 2=kx （k 为常数，k ＞0）（1）填空：用含t 的代数式表示点A 的坐标及k 的值：A ，k= ；（2）随着三角板的滑动，当a=时：①请你验证：抛物线的顶点在函数的图象上；②当三角板滑至点E 为AB 的中点时，求t 的值；（3）直线OA 与抛物线的另一个交点为点D ，当t≤x≤t+4，|y 2﹣y 1|的值随x 的增大而减小，当x≥t+4时，|y 2﹣y 1|的值随x 的增大而增大，求a 与t 的关系式及t 的取值范围．【答案】解：（1）∵点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，∴点A的坐标是（t，4）。

∵直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0），∴4=kt，则（k＞0）。

（2）①当a=时，，其顶点坐标为。

对于，当x=时，∴点在抛物线上。

∴当a=时，抛物线的顶点在函数的图象上。

②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K，∵AC⊥x轴，∴AC∥EK。

∵点E是线段AB的中点，∴K为BC的中点。

∴EK是△ACB的中位线。

∴EK=AC=2，CK=BC=2。

∴E（t+2，2）。

∵点E在抛物线上，∴，解得t=2。

∴当三角板滑至点E为AB的中点时，t=2。

（3）如图2，由()4y xty ax x t⎧=⎪⎨⎪=-⎩得，解得，或x=0（不合题意，舍去）。

∴点D的横坐标是。

当时，|y2﹣y1|=0，由题意得，即。

又()2222144t2t2 y y x ax x t ax at x a x at t2at2at⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-++=--+++⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴当时，取得最大值。

又当时，取得最小值0，∴当时，的值随x的增大而减小，当时，的值随x的增大而增大。

由题意，得，将代入得，解得。

综上所述，a与t的关系式为，t的取值范围为。

【解析】试题分析：（1）根据题意易得点A的横坐标与点C的相同，点A的纵坐标即是线段AC的长度；把点A的坐标代入直线OA的解析式来求k的值：（2）①求得抛物线y1的顶点坐标，然后把该坐标代入函数，若该点满足函数解析式，即表示该顶点在函数图象上；反之，该顶点不在函数图象上。

②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．则EK是△ACB的中位线，所以根据三角形中位线定理易求点E的坐标，把点E的坐标代入抛物线即可求得t=2。

（3）如图2，根据抛物线与直线相交可以求得点D横坐标是，则，由此可以求得a与t的关系式。

由2221t2t2y y a x a2at2at⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--+++⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦求得取得最大值时的x值，同时由时，取得最小值0，得出当时，的值随x的增大而减小，当时，的值随x的增大而增大。

从而由题意，得，结合，求出t的取值范围。

7、已知：抛物线C1：y＝x2。

如图（1），平移抛物线C1得到抛物线C2，C2经过C1的顶点O 和A（2，0），C2的对称轴分别交C1、C2于点B、D。

（1）求抛物线C2的解析式；（2）探究四边形ODAB的形状并证明你的结论；（3）如图（2），将抛物线C2向下平移m个单位（m＞0）得抛物线C3，C3的顶点为G，与y 轴交于M。

点N是M关于x轴的对称点，点P（）在直线MG上。

问：当m为何值时，在抛物线C3上存在点Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？【答案】解：（1）∵抛物线C2经过点O（0，0），∴设抛物线C2的解析式为。

∵抛物线C2经过点A（2，0），∴，解得。

∴抛物线C2的解析式为。

（2）∵，∴抛物线C2的顶点D的坐标为（1，）。

当x=1时，，∴点B的坐标为（1，1）。

∴根据勾股定理，得OB=AB=OD=AD=。

∴四边形ODAB是菱形。

又∵OA=BD=2，∴四边形ODAB是正方形。

（3）∵抛物线C3由抛物线C2向下平移m个单位（m＞0）得到，∴抛物线C3的解析式为。

在中令x=0，得，∴M。

∵点N是M关于x轴的对称点，∴N。

∴MN=。

当M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时有两种情况：①若MN是平行四边形的一条边，由MN=PQ=和P（）得Q（）。

∵点Q 在抛物线C3上，∴，解得或（舍去）。

②若MN是平行四边形的一条对角线，由平行四边形的中心对称性，得Q（）。

∵点Q 在抛物线C3上，∴，解得或（舍去）。

综上所述，当或时，在抛物线C3上存在点Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形。

【解析】试题分析：（1）根据平移的性质，应用待定系数法即可求得抛物线C2的解析式。

（2）求出各点坐标，应用勾股定理求出各边长和对角线长，根据正方形的判定定理可得结论。

（3）分MN为平行四边形的边和对角线两种情况讨论即可。

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