格林公式及其应用教案

丽水学院

教案

课程名称：高等数学

课程代码：B2

授课专业班级：电信121、122本授课教师：洪涛清

院别：理学院

2013年5月13 日

一、授课题目 §103 格林公式及其应用

二、教学时间安排： 共3课时

三、教学目的、要求

1．了解格林公式的证明过程，理解格林公式的实质及满足的条件。

2．熟练掌握格林公式及其简单的应用。

3．理解并掌握平面曲线积分与路径无关的四个等价条件。

4．会求全微分的原函数。

四、教学重点和难点

重点: 格林公式的应用

难点: 灵活应用格林公式进行简化计算。

五、教学方法及手段

启发式讲授法结合多媒体教学。

六、教学过程设计

准备知识

1．单连通与复连通区域

设D 为平面区域 如果D 内任一闭曲线所围的部分都属于D 则称D 为平面单连通区域 否则称为复连通区域

2．边界曲线的正向：

对平面区域D 的边界曲线L 我们规定L 的正向如下 当观察者沿L 的这个方向行走时 D 内在他近处的那一部分总在他的左边

（一）格林公式

1．定理1设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成 函数P (x y )及Q (x y )在D 上具有一阶连续偏导数 则有

⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y

P x Q )(

其中L 是D 的取正向的边界曲线

2．简要证明分析

先就D 既是X －型的又是Y －型的区域情形进行证明

设D {(x y )|1(x )y 2(x ) axb } 因为y

P ∂∂连续 所以由二重积分的计算法有

dx x x P x x P dx dy y y x P dxdy y P b a x x b a D

)]}(,[)](,[{}),({12)()(21ϕϕϕϕ-=∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 另一方面 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有

⎰⎰⎰⎰⎰+=+=a

b b a L L L dx x x P dx x x P Pdx Pdx Pdx )](,[)](,[2121ϕϕ dx x x P x x P b a )]}(,[)](,[{21ϕϕ-=⎰

因此 ⎰⎰⎰=∂∂-L D

Pdx dxdy y P 设D {(x y )|1(y )x 2(y ) cyd } 类似地可证

⎰⎰⎰=∂∂L D

Qdx dxdy x Q 由于D 既是X －型的又是Y －型的 所以以上两式同时成立 两式合并即得

⎰⎰⎰+=⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q 注意 对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区域D 的全部边界的曲线积分 且边界的方向对区域D 来说都是正向

3．格林公式的简单应用：

（1）化曲线积分为二重积分，如课件例1

例1/ 设L 是任意一条分段光滑的闭曲线 证明

⎰=+L dy x xydx 022

证 令P 2xy Qx 2 则

022=-=∂∂-∂∂x x y P x Q 因此 由格林公式有0022=±=+⎰⎰⎰dxdy dy x xydx D

L (为什么二重积分前有“”号 )

（2）化二重积分为曲线积分

例2 计算⎰⎰-D y dxdy e 2

其中D 是以O (0 0) A (1 1) B (0 1)为顶点的三角形闭区域

分析 要使2y e y

P x Q -=∂∂-∂∂ 只需P 0 2y xe Q -= 解 令P 0 2y xe Q -= 则2y e y

P x Q -=∂∂-∂∂ 因此 由格林公式有

⎰⎰⎰++--=

BO AB OA y D y dy xe dxdy e 22)1(211102

2----===⎰⎰e dx xe dy xe x OA y （3）计算平面区域面积

设区域D 的边界曲线为L 取Py Qx 则由格林公式得

⎰⎰⎰-=L D

ydx xdy dxdy 2 或⎰⎰⎰-==L D ydx xdy dxdy A 21 例3 椭圆xa cos yb sin 所围成图形的面积A

分析 只要1=∂∂-∂∂y P x Q 就有A dxdy dxdy y P x Q D

D ==∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰)( 解 设D 是由椭圆x =a cos y =b sin 所围成的区域 令y P 21-= x Q 2

1= 则12121=+=∂∂-∂∂y P x Q 于是由格林公式

⎰⎰⎰⎰+-=+-==L L D

xdy ydx xdy ydx dxdy A 212121 ⎰+=πθθθ2022)cos sin (21d ab ab ⎰=πθ20

21d ab ab 4．注意格林公式成立的条件：

例4 计算⎰+-L y x ydx xdy 22 其中L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L 的方向为逆时针方向

解 令22y x y P +-= 2

2y x x Q += 则当x 2y 20时 有y P y x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222)( 记L 所围成的闭区域为D 当(0 0)D 时 由格林公式得

0)(22=∂∂-∂∂=+-⎰⎰⎰dxdy y P x Q y x ydx xdy D

L

当(0 0)D 时 在D 内取一圆周l x 2y 2r 2(r >0) 由L 及l 围成了一个复连通区域D 1 应用格林公式得

=⎰+--⎰+-l L y x ydx xdy y x ydx xdy 2

2220)(1

22=∂∂-∂∂=+-⎰⎰⎰+dxdy y P x Q y x ydx xdy D l L 其中l 的方向取逆时针方向 于是