格林公式及其应用教案

丽水学院教案课程名称：高等数学课程代码：B2授课专业班级：电信121、122本授课教师：洪涛清院别：理学院2013年5月13 日一、授课题目 §103 格林公式及其应用二、教学时间安排： 共3课时三、教学目的、要求1．了解格林公式的证明过程，理解格林公式的实质及满足的条件。

2．熟练掌握格林公式及其简单的应用。

3．理解并掌握平面曲线积分与路径无关的四个等价条件。

4．会求全微分的原函数。

四、教学重点和难点重点: 格林公式的应用难点: 灵活应用格林公式进行简化计算。

五、教学方法及手段启发式讲授法结合多媒体教学。

六、教学过程设计准备知识1．单连通与复连通区域设D 为平面区域 如果D 内任一闭曲线所围的部分都属于D 则称D 为平面单连通区域 否则称为复连通区域2．边界曲线的正向：对平面区域D 的边界曲线L 我们规定L 的正向如下 当观察者沿L 的这个方向行走时 D 内在他近处的那一部分总在他的左边（一）格林公式1．定理1设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成 函数P (x y )及Q (x y )在D 上具有一阶连续偏导数 则有⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy yP x Q )(其中L 是D 的取正向的边界曲线2．简要证明分析先就D 既是X －型的又是Y －型的区域情形进行证明设D {(x y )|1(x )y 2(x ) axb } 因为yP ∂∂连续 所以由二重积分的计算法有dx x x P x x P dx dy y y x P dxdy y P b a x x b a D)]}(,[)](,[{}),({12)()(21ϕϕϕϕ-=∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 另一方面 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有⎰⎰⎰⎰⎰+=+=ab b a L L L dx x x P dx x x P Pdx Pdx Pdx )](,[)](,[2121ϕϕ dx x x P x x P b a )]}(,[)](,[{21ϕϕ-=⎰因此 ⎰⎰⎰=∂∂-L DPdx dxdy y P 设D {(x y )|1(y )x 2(y ) cyd } 类似地可证⎰⎰⎰=∂∂L DQdx dxdy x Q 由于D 既是X －型的又是Y －型的 所以以上两式同时成立 两式合并即得⎰⎰⎰+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q 注意 对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区域D 的全部边界的曲线积分 且边界的方向对区域D 来说都是正向3．格林公式的简单应用：（1）化曲线积分为二重积分，如课件例1例1/ 设L 是任意一条分段光滑的闭曲线 证明⎰=+L dy x xydx 022证 令P 2xy Qx 2 则022=-=∂∂-∂∂x x y P x Q 因此 由格林公式有0022=±=+⎰⎰⎰dxdy dy x xydx DL (为什么二重积分前有“”号 )（2）化二重积分为曲线积分例2 计算⎰⎰-D y dxdy e 2其中D 是以O (0 0) A (1 1) B (0 1)为顶点的三角形闭区域分析 要使2y e yP x Q -=∂∂-∂∂ 只需P 0 2y xe Q -= 解 令P 0 2y xe Q -= 则2y e yP x Q -=∂∂-∂∂ 因此 由格林公式有⎰⎰⎰++--=BO AB OA y D y dy xe dxdy e 22)1(2111022----===⎰⎰e dx xe dy xe x OA y （3）计算平面区域面积设区域D 的边界曲线为L 取Py Qx 则由格林公式得⎰⎰⎰-=L Dydx xdy dxdy 2 或⎰⎰⎰-==L D ydx xdy dxdy A 21 例3 椭圆xa cos yb sin 所围成图形的面积A分析 只要1=∂∂-∂∂y P x Q 就有A dxdy dxdy y P x Q DD ==∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰)( 解 设D 是由椭圆x =a cos y =b sin 所围成的区域 令y P 21-= x Q 21= 则12121=+=∂∂-∂∂y P x Q 于是由格林公式⎰⎰⎰⎰+-=+-==L L Dxdy ydx xdy ydx dxdy A 212121 ⎰+=πθθθ2022)cos sin (21d ab ab ⎰=πθ2021d ab ab 4．注意格林公式成立的条件：例4 计算⎰+-L y x ydx xdy 22 其中L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L 的方向为逆时针方向解 令22y x y P +-= 22y x x Q += 则当x 2y 20时 有y P y x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222)( 记L 所围成的闭区域为D 当(0 0)D 时 由格林公式得0)(22=∂∂-∂∂=+-⎰⎰⎰dxdy y P x Q y x ydx xdy DL当(0 0)D 时 在D 内取一圆周l x 2y 2r 2(r >0) 由L 及l 围成了一个复连通区域D 1 应用格林公式得=⎰+--⎰+-l L y x ydx xdy y x ydx xdy 22220)(122=∂∂-∂∂=+-⎰⎰⎰+dxdy y P x Q y x ydx xdy D l L 其中l 的方向取逆时针方向 于是⎰⎰+-=+-l L y x ydx xdy y x ydx xdy 2222 ⎰+=πθθθ2022222sin cos d rr r 2 注：计算结果与L 围成的区域是否包括原点有关！因为P 、Q 的偏导数在原点不连续。

（二）平面上曲线积分与路径无关的条件1．定义：设G 是一个开区域 P (x y )、Q (x y )在区域G 内具有一阶连续偏导数 如果对于G 内任意指定的两个点A 、B 以及G 内从点A 到点B 的任意两条曲线L 1、L 2 等式⎰⎰+=+21L L Qdy Pdx Qdy Pdx 恒成立 就说曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关 否则说与路径有关 设曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关 L1和L 2是G 内任意两条从点A 到点B 的曲线 则有⎰⎰+=+21L L Qdy Pdx Qdy Pdx 于是有⎰⎰+=+21L L Qdy Pdx Qdy Pdx 021=+-+⎰⎰L L Qdy Pdx Qdy Pdx 021=+++⎰⎰-L L Qdy Pdx Qdy Pdx 0)(21=+⎰-+L L Qdy Pdx所以有以下等价的结论曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关相当于沿G 内任意闭曲线C 的曲线积分⎰+L Qdy Pdx 等于零2． 定理2 设开区域G 是一个单连通区域 函数P (x y )及Q (x y )在G 内具有一阶连续偏导数 则曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关（或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是等式x Q y P ∂∂=∂∂ 在G 内恒成立 （证明略） 注意 定理要求 区域G 是单连通区域 且函数P (x y )及Q (x y )在G 内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保证成立如前例4 设L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L 的方向为逆时针方向 问022=+-⎰L y x ydx xdy 是否一定成立提示 这里22y x y P +-=和22y x x Q +=在点(0 0)不连续因为当x 2y 20时 y P y x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222)( 所以如果(0 0)不在L 所围成的区域内 则结论成立 而当(0 0)在L 所围成的区域内时 结论不成立，因而计算结果与积分路径有关破坏函数P 、Q 及y P ∂∂、xQ ∂∂连续性的点称为奇点 3．定理2的应用： 若在某区域内，恒有xQ y P ∂∂=∂∂成立，则 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算（若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线转化为闭曲线）;3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy 在域 D 内的原函数（放第3课时教学）例5 计算⎰+L dy x xydx 22 其中L 为抛物线yx 2上从O (0 0)到B (1 1)的一段弧 解 因为x xQ y P 2=∂∂=∂∂在整个xOy 面内都成立 所以在整个xOy 面内 积分⎰+L dy x xydx 22与路径无关 于是，有 ⎰⎰⎰+++=+AB OA L dy x xydx dy x xydx dy x xydx 22222211102==⎰dy 又如课件中例5 （三）二元函数的全微分求积（第3课时）曲线积分在G 内与路径无关 表明曲线积分的值只与起点从点(x 0 y 0)与终点(x y )有关 如果⎰+L Qdy Pdx 与路径无关 则把它记为⎰+),(),(00y x y x Qdy Pdx即 ⎰⎰+=+),(),(00y x y x L Qdy Pdx Qdy Pdx 若起点(x 0 y 0)为G 内的一定点 终点(x y )为G 内的动点 则u (x y )⎰+=),(),(00y x y x Qdy Pdx 为G 内的的函数二元函数u (x y )的全微分为du (x y )u x (x y )dxu y (x y )dy表达式P (x y )dx +Q (x y )dy 与函数的全微分有相同的结构 但它未必就是某个函数的全微分 那么在什么条件下表达式P (x y )dx +Q (x y )dy 是某个二元函数u (x y )的全微分呢当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢定理3 设开区域G 是一个单连通域 函数P (x y )及Q (x y )在G 内具有一阶连续偏导数 则P (x y )dx Q (x y )dy 在G 内为某一函数u (x y )的全微分的充分必要条件是等式x Q y P ∂∂=∂∂ 在G 内恒成立简要证明必要性 假设存在某一函数u (x y ) 使得 du P (x y )dx Q (x y )dy则有 y x u x u y y P ∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂2)( x y uy ux x Q∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂2)(因为y P y x u ∂∂=∂∂∂2、x Qx y u∂∂=∂∂∂2连续 所以x y uy x u∂∂∂=∂∂∂22 即x Qy P∂∂=∂∂充分性因为在G 内x Qy P ∂∂=∂∂ 所以积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(在G 内与路径无关 在G 内从点(x 0 y 0)到点(x y )的曲线积分可表示为考虑函数u (x y )⎰+=),(),(00),(),(y x y x dy y x Q dx y x P 因为 u (x y )⎰+=),(),(00),(),(y x y x dy y x Q dx y x P⎰⎰+=xx y y dx y x P dy y x Q 00),(),(0 所以 ),(),(),(000y x P dx y x P x dy y x Q x x ux x yy =∂∂+∂∂=∂∂⎰⎰ 类似地有),(y x Q y u=∂∂ 从而du P (x y )dx Q (x y )dy 即P (x y )dxQ (x y )dy是某一函数的全微分 并且有求原函数的计算公式⎰+=),(),(00),(),(),(y x y x dy y x Q dx y x P y x u⎰⎰+=y y x x dy y x Q dx y x P y x u 00),(),(),(0 ⎰⎰+=x x y y dx y x P dy y x Q y x u 00),(),(),(0 例6 验证22y x ydx xdy +-在右半平面(x >0)内是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数 解 这里22y x yP +-= 22y x xQ +=因为P 、Q 在右半平面内具有一阶连续偏导数 且有y P y x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222)( 所以在右半平面内 22yx ydx xdy +-是某个函数的全微分 取积分路线为从A (1 0)到B (x 0)再到C (x y )的折线 则所求函数为⎰+-=),()0 ,1(22),(y x y x ydx xdy y x u ⎰++=y y x xdy 0220x y arctan =问 为什么(x 0 y 0)不取(0 0)例7 验证 在整个xOy 面内 xy 2dx x 2ydy 是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数解 这里P xy 2 Q x 2y因为P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数且有 y Pxy x Q ∂∂==∂∂2所以在整个xOy 面内 xy 2dx x 2ydy 是某个函数的全微分取积分路线为从O (0 0)到A (x 0)再到B (x y )的折线 则所求函数为⎰+=),()0 ,0(22),(y x ydy x dx xy y x u 20220202y x ydy x ydy x y y ==+=⎰⎰ 练习： PT作业： PT。