常用经济函数和应用
函数在经济学中的应用
x
Px
75
x 2
x 75x x2 ， 2
则利润函数为L x R x C x x2 65x 2000
2
L' x x 65
L" x 1 0
故日产65单位商品时，总利润 L 为最大。
例1.3 若药厂计划3个月内分批购进某药材80000kg，每批手续费200元， 假定均匀销售，平均库存为每批进货量之半，库存3个月的费用为0.5元 /kg，求手续费与库存费总和的最小值
8000kg时，y(8000) =4000元为最小值。
1.3 弹性分析
在市场分析中常常需要研究价格的变动对需求量变化的影响程度。但是，
仅仅知道单价 P 有了改变量 ΔP 时，需求量有了改变量 ΔQ，并不足以说
明问题。例如，原来售价分别为1000元和10元的商品，尽管都降价了5元，
但对于需求的影响显然是大不相同的。因此，应当进一步考虑单价的变
P
化幅度对于需求量变化幅度的影响，即单价的相对增量 对于需求量
的相对增量 Q 的影响。
P
Q
在经济学中，将一经济函数 y y x的相对增量与其自变量的相对增量之
比，称为该经济函数的弹性，记为 ， 即 y / x
yx
经济函数 y y x在点 x 处的弹性称为点弹性，也简称为弹性，仍记作 ，
解 设每批进货量为x kg，则手续费与库存费总和为
y 200 80000 1 x x 22
函数定义域为D = (0，80000)， 求导得到 y 16x2 106 1 4
令 y 0 ，解得 D 内唯一驻点x=8000。由实际问题可知，手续费与库存
费总和的最小值一定存在，唯一驻点就是最值点，所以，每批进货量为
经济数学微积分经济学中的常用函数
在时间 T 内的总费用 E 为
1 Q E C1Tq C 2 2 q
1 Q 其中 ， C1Tq 为贮存费，C 2 为进货费用 . 2 q
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹 曲线是指数函数
y ka
bt
在经济预测中，经常使用该曲线.
k
初始期 发展期
饱和期
当 lg a 0 ， 0 b 1 时，图形如上页所示.
由图可见，曲线当t 0 且无限增大时，
其无限与直线 y k 接近 ， 且始终位于该直
线 下方. 在产品销售预测中，当预测销售量充
分接近到 k 值时，表示该产品在商业流通中将
达到市场饱和 .
练习题
1.设需求函数由 P+Q=1 给出，（1）求总收益 函数 P;(2)若售出 1/3 单位，求其总收益。
该点的横坐标称为供需平衡价格 .
供需平衡点 供需平 衡价格
Q0
E
P0
三、生产函数 生产函数刻画了一定时期内各生产
要素的投入量与产品的最大可能产量之
间的关系.一般说来，生产要素包括资金
和劳动力等多种要素 .为方便起见，我
们暂时先考虑只有一个投入变量，而其
他投入皆为常量的情况 .
例 2 设投入 x 与产出 g ( x ) 间的函数关系为
成本是生产一定数量产品所需要的
各种生产要素投入的价格或费用总额，
它由固定成本与可变成本两部分组成.
C总 C固 C可变
支付固定生产 要素的费用 支付可变生产 要素的费用
总 成 本 固 定 成 本 可 变 成 本 平 均 成 本 产量 产量
C ( Q ) C 1 C 2 (Q ) 即C AC Q Q Q
优选常用的经济函数介绍
An A0 (1 R)n
二、需求函数与供给函数
1、需求函数
需求的含义：消费者在某一特定的时期内， 在一定的价格条件下对某种商品具有购买力 的需要．
如果价格是决定需求量的最主要因素， 可以认为 需求量QD 是 价格P的函数。记作
QD QD (P)
4
所以总收益为TR(Q) P Q 100Q 3Q2 , 4
平均收益为 AR(Q) P(Q) 100 3Q . 4
2、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成
本之差。即 (Q) TR(Q) TC(Q)
利润函数的三种情况：
Q TRQ TC Q 0 盈余状态 Q TRQ TC Q 0 亏损状态 Q TRQ TC Q 0 保本状态
所以 (Q) TR(Q) TC(Q)
20 18Q 0.5Q2
(20) 20 18 20 0.5 202
140(万元)
20
(20)
7
令20 18Q 0.5Q2 0
20
解得： Q1 1.15,Q2 34.85
例6 某厂生产一种产品，据调查其需求函数为 Q=-900P+45000，生产该产品的固定成本是 270000元，而单位产品的变动成本为10元，为 获得最大利润，出厂价格应为多少？
(舍去)，
P2 15 Q2 6
三、成本函数与平均成本函数
1、成本函数
成本是生产一定数量产品所需要的各种生
产要素投入的价格或费用总额，它由固定成本 与可变成本两部分组成.
TC(Q) FC VC (Q)
2、平均成本函数
平均成本
总成本 产量
固定成本 可变成本 产量
03第三节常用经济函数
03 第三节常用经济函数常用经济函数是经济学中用来描述经济变量之间关系的数学模型。
这些函数可以用来分析经济发展、预测经济趋势、制定经济政策等。
下面介绍几种常用的经济函数及其含义。
一、消费函数消费函数是指消费者在某一时期内消费的商品或服务的数量与收入之间的函数关系。
通常表示为C=f(Y)，其中C表示消费，Y表示收入。
消费函数曲线是一条向右上方倾斜的曲线，表示随着收入的增加，消费也会增加。
但在达到一定收入后，消费增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
二、投资函数投资函数是指企业在某一时期内进行的投资数量与资本存量之间的函数关系。
通常表示为I=f(K)，其中I表示投资，K表示资本存量。
投资函数曲线是一条向右上方倾斜的曲线，表示随着资本存量的增加，投资也会增加。
但在达到一定资本存量后，投资增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
三、总供给函数总供给函数是指某一时期内，企业愿意且有能力提供的商品和服务的总量与价格水平之间的函数关系。
通常表示为Y=f(P)，其中Y表示总供给，P表示价格水平。
总供给函数曲线是一条向右下方倾斜的曲线，表示随着价格水平的提高，总供给会减少。
但在达到一定价格水平后，总供给增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
四、总需求函数总需求函数是指某一时期内，消费者愿意且有能力购买的商品和服务的总量与价格水平之间的函数关系。
通常表示为Y=f(P)，其中Y表示总需求，P表示价格水平。
总需求函数曲线是一条向右下方倾斜的曲线，表示随着价格水平的提高，总需求会减少。
但在达到一定价格水平后，总需求增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
五、菲利普斯曲线菲利普斯曲线是指通货膨胀率与失业率之间的函数关系。
通常表示为π=f(u)，其中π表示通货膨胀率，u表示失业率。
菲利普斯曲线是一条向右下方倾斜的曲线，表示随着失业率的降低，通货膨胀率会上升。
但在达到一定失业率后，通货膨胀率增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
1.3 常用的经济函数介绍
4、收益函数与利润函数 TR(Q) PQ , AR P , (Q) TR(Q) TC (Q)
QS QS ( P )
称为供给函数.
常见的供给函数： 线性函数： QS aP b , a , b 0 幂函数：
QS kP a , a 0 , k 0
bP Q ae , a0,b0 指数函数： S
在同一个坐标系中作出需求曲线 D和供
给曲线 S ，两条曲线的交点称为供需均衡点， 该点的横坐标称为供需均衡价格 .
将本利和A1再存入, 第2期末的本利和为:
A2 A1 A1r A0 (1 r )2
再把本利和存入银行, 如此反复, 第t期末的本利和为:
At A0 (1 r )t
若按年为期, 年利率为R, 则第n年末的本利和为:
An A0 (1 R)n
二、需求函数与供给函数
1、需求函数
需求的含义：消费者在某一特定的时期内， 在一定的价格条件下对某种商品具有购买力 的需要． 如果价格是决定需求量的最主要因素， 可以认为 需求量QD 是 价格P的函数。记作
QD QD ( P )
称为需求函数.
常见的需求函数：
线性函数： QD aP b 幂函数： QD kP a 指数函数： QD ae bp ( 其中 a,b,k > 0 ) 需求函数QD=QD(P)的反函数，称为价格函 数，记为 P=P(QD）
TR(Q) PQ , AR P
例 4 设某商品的需求关系是 3Q+4P=100, 求总收 益和平均收益．
100 3Q P , 解 价格函数为 4
100Q 3Q 所以总收益为TR(Q ) P Q , 4 平均收益为 AR(Q ) P (Q ) 100 3Q . 4
经济学中常用的函数
例1 某产品销售70元/件, 可买出10000件, 价格每增 某产品销售 元 件 可买出 件 元就少买300件 的函数. 加3元就少买 件, 求需求量 Qd 与价格 p 的函数 元就少买 设价格由70元增加 个 元 解 设价格由 元增加 k个3元, 则
p = 70 + 3k , Qd = 10000 300k
p( x ) =
库存费为 (x/2) c, 故
为批数, 为库存量. 其中 a/x 为批数 x/2 为库存量
ab cx , x ∈ (0, a ]. + x 2
12
某矿厂A要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂 例6 某矿厂 要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂 B冶炼 已知该矿距冶炼厂所在铁路垂直距离为 a 公里 冶炼. 公里, 冶炼 公里. 它的垂足 C 到 B 的距离为 b公里 又知铁路运价为 m 元/ 公里 公里, 公里(m 为节省运费, 吨公里 公路运价是 n元/吨公里 < n), 为节省运费 公里 元 吨 公里 作为转运站, 拟在铁路上另修一小站 M 作为转运站 那么总运费的多 少决定于M的位置 试求出运费与距离 |CM| 的函数关系. 少决定于 的位置. 的函数关系 的位置 解 设 运费 CM＝ x , 运费为 y, 则
1 x + 40, x ∈ (0,1600] 40
10
工厂生产某种产品, 生产准备费1000元, 可变资 例4 工厂生产某种产品 生产准备费 元 本4元, 单位售价 元. 求： 元 单位售价8元 (1) 总成本函数 总成本函数; (3) 销售收入函数 销售收入函数; 解 (2) 单位成本函数 单位成本函数; (4) 利润函数 利润函数.
2
这个函数的几何形态, 这个函数的几何形态 是一条反应需求量与价格关系的 曲线, 我们称之为需求曲线, 如右图. 曲线 我们称之为需求曲线 如右图
高等数学在经济学中应用及习题
P 0Q 供需平衡点Ck初始期发展期饱和期解：2,();29R Q Q R =-=5. 某工厂对棉花的需求函数由4.1PQ =0.11给出,（1）求其总收益函数R;（2）P(12),R(10), R(12),R(15),P(15),P(20)。
解：0.40.11,(15)0.0025,(12)0.0034,(20)0.0017,(10)0.044,R Q P P P R -=====(12)0.041,(15)0.037;R R ==6. 若工厂生产某种商品，固定成本200,000元，每生产一单位产品，成本增加1000元，求总成本函数。
解：()2000001000;C C Q Q ==+专题二连续复利问题注：若有一笔收益流的收入率为f(t) , 假设连续收益流以连续复利率r 计息, 从而总现值y=dte tf rtT-⎰0)(（*）。
2. 一对夫妇准备为孩子存款积攒学费, 目前银行的存款的年利率为5% , 以连续复利计算, 若他们打算10年后攒够5万元, 计算这对夫妇每年应等额地为其孩子存入多少钱?解：设这对夫妇每年应等额地为其孩子存入A元(即存款流为f( t) = A ), 使得10年后存款总额的将来值达到5万元, 由公式（*）得50000)10(02.010=-⎰dte A t，C x（Total Cost Function）1. 总成本函数()在经营活动中的总成本（用字母C表示）与产品的产量（用字母x表示）密切相关，经过抽象简化，可以看成仅是产量的函数，即()C C x =在不考虑产品积压，假设供求平衡的条件下，x 为产品的产量=x 为产品的销售量。
()()01C x C C x =+其中：0C 表示固定成本，如设备维修费、企业管理费等等，()1C x 表示可变成本，如购买原材料、动力费等等。
平均成本：()()()10C x C x C C x x x x==+ 2. 总收入（或称总收益）函数()R x （用字母R 表示）（Total Receipt Function ）()R R x =当产品的单价（price ）为p ，x 为销售量时()()()()R p R p x R , x x x x x=⋅==即平均收益函数3. 总利润函数()L x （用字母L 表示）（Total Gain Function ）()()() L L x R x C x tx ==--t x 为国家征税率， 为产量。
§13 经济学中常用的函数
5. 其它经济函数
9
二. 建立函数关系举例
运用数学来解决实际问题, 首先要把问题中的数量关系 用数学表达式表示出来, 也就是建立数学模型. 为此必须明 确问题中的常量和变量, 变量中的自变量和因变量, 以及 它们之间存在什么关系, 以确定函数关系,根据实际问题 的要求指出定义域. 例3 某型号手机价格为每只1000元时能卖出15只, 当价
少决定于M的位置. 试求出运费与距离 |CM| 的函数关系.
Qd f ( p)
则称此函数为需求函数. 需求函数 Qd f ( p) 一般是 p 的递减函数. 最常见、最 简单的需求函数是如下形式的线性需求函数
Qd f ( p) ap b (a、b均为正常数)
2
这个函数的几何形态, 是一条反应需求量与价格关系的 曲线, 我们称之为需求曲线, 如右图.
§1.3 经济学中常用的函数
一. 常用的几个经济函数 二. 建立函数关系举 例
1
§1.3 经济学中常用的函数
一.常用的几个经济函数
1.需求函数
(1) 需求函数商品的需求量 Qd,受消费者的偏好收入及 商品价格等等因素的影响. 但最主要的是价格因素; 若 不考其它因素, 把需求量 Qd 只看成价格 p 的函数, 即
12
其中 a/x 为批数, x/2 为库存量.
例6 某矿厂A要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂 B冶炼. 已知该矿距冶炼厂所在铁路垂直距离为 a 公里, 它的垂足 C 到 B 的距离为 b公里. 又知铁路运价为 m 元/ 吨· 公里, 公路运价是 n元/吨· 公里(m < n), 为节省运费, 拟在铁路上另修一小站 M 作为转运站, 那么总运费的多
(经济中常用的函数)精讲
R(400) 200 400 80000 元 R(600) 180 600 10000 118000 元
12
2.供给函数
供给函数，记为 S S ( p)． 供给函数为价格 p 的单调增加函数．
线性供给函数为 S c dp (c 0, d 0) ． 使某种商品的市场需求量与供给量相等 的价格 p0，称为均衡价格．
19500(元)
例1 当鸡蛋收购价为每 kg 4.5元时，某 收购站每月能收购5 000 kg ．若收购价每 kg 提高0.1元，则收购量可增加400 kg ，求鸡蛋 的线性供给函数．
解 设鸡蛋的线性供给函数为 S c dp ， 由题意有 5 000 c 4.5d， 5 400 c 4.6d． 解得 d 4 000 ， c 13 000 ，所求供给函数为 S 13 000 4 000 p ．
例8
某产品日产量不超过1000件，已知产
品的固定成本为500(元)，每生产 x 件产品
1 2 的生产成本为 x 100 x ，每件售价为 6 1 400 x ，求利润函数以及销售400件时的 3
利润。
解
由题设成本函数
1 2 C C ( x) x 100 x 500 6
收入函数
10
例6 某产品每台售价200元，当年产量500台 以内时，可以全部售出；当年产量超过500台 时，经广告宣传后又可再多卖200台，这时需 要支付每台20元的广告费。生产再多，本年 就卖不出去了。试建立销售总收入 R 关于产 量 q 的收入函数。并求当产量为400台、600 台时的收入为多少元？
11
R R(Q) PQ QP ．(Q)
9
经济数学-经济学中常用的函数
=0.11 给
出,（1）求其总收益函数 R;（2） P(12),R(10), R(12),R(15),P(15),P(20)。 3.若工厂生产某种商品，固定成本 200,000 元，每生产一单位产品，成本增加 1000 元， 求总成本函数。
4.某厂生产一批元器件，设计能力为日产 100 件，每日的固定成本为 150 元，每件的平均可变 成本为 10 元,(1)试求该厂此元器件的日总成本 函数及平均成本函数;（2）若每件售价 14 元， 试写出总收入函数;（3）试写出利润函数。
练习题答案
1 2 1. R Q Q , R( ) ; 2 9 2. R 0.11Q 0.4 , P (15) 0.0025 , P (12) 0.0034 ,
2
P ( 20) 0.0017, R(10) 0.044, R(12) 0.041, R(15) 0.037; 3.C C (Q ) 200000 1000 Q;
100 3Q P , 解 价格函数为 4
100Q 3Q 2 所以总收益为 R(Q ) P Q , 4
平均收益为
100 3Q AP (Q ) P (Q ) . 4
六、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成
本之差。即
L(Q ) R(Q ) C (Q )
2 例 5 设某种商品的总成本为C (Q) 20 2Q 0.5Q ,
Q G( P )
则 G称为供给函数.
一般地，供给函数可以用以下简单 函数近似代替： 线性函数：Q aP b , 其中 a , b 0 幂函数：
Q kP , 其中 A 0 , k 0
经济学中常用的函数
因此一般地，需求函数是单调减少函数．
常用的需求函数有如下几种类型： 1、线性需求函数：Q a bp (a 0,b 0); 2、二次需求函数：Q a bp cp2 (a 0,b 0,c 0); 3、指数需求函数：Q a eb p (a 0,b 0).
的固定成本C0 ，以及随产量变化而变化的变动 成本C1(Q)，即C(Q) C0 C1(Q) ．
平均成本函数 C
为商品价格，Q 为商品量，R 为总收入，
R 为平均收益，
则总收入函数 R (Q) Q P ．
平均收入
R
R
(Q
)
QP Q
P
利润函数
一些常见代表函数变量的字符
数量—— Q （Quantity） 成本—— C （Cost） 收益（收入）—— R （Revenue ） 利润—— L 价格—— P （Price ） 供给——S （Supply）
需求函数
设P 表示商品价格，Q 表示需求量，将需求量与商
品价格之间的函数关系Q Q P 称为需求函数．
在产量和销量一致时，利润L 是产量（或 销售量）Q 的函数，且利润函数等于收入函数 与成本函数之差，即L L(Q) R (Q) C (Q)
1、L(Q) R (Q) C (Q) 0 ，此时称为有盈余生
产，即生产处于有利润状态；
2、L(Q) R (Q) C (Q) 0 ，此时称为亏损生产，
供求关系
如果市场上某种商品的市场需求量与供给量
相等，则该商品市场处于平衡状态，这时的商 品价格 P0 称为均衡价格
p p0 p p0
经济函数
一、常用的经济函数1、总成本函数、总收入函数、总利润函数总成本函数是指在一定时期内，生产产品时所消耗的生产费用之总和。
常用C 表示，可以看作是产量x 的函数，记作()C C x =总成本包括固定成本和可变成本两部分，其中固定成本F 指在一定时期内不随产量变动而支出的费用，如厂房、设备的固定费用和管理费用等；可变成本V 是指随产品产量变动而变动的支出费用，如税收、原材料、电力燃料等。
固定成本和可变成本是相对于某一过程而言的。
在短期生产中，固定成本是不变的，可变成本是产量x 的函数，所以()()C x F V x =+，在长期生产中，支出都是可变成本，此时0F =。
实际应用中，产量x 为正数，所以总成本函数是产量x 的单调增加函数，常用以下初等函数来表示：（1）线性函数 C a bx =+, 其中0b >为常数.（2）二次函数 2C a bx cx =++,其中0,0c b ><为常数.（3）指数函数 ax C be =, 其中,0a b >为常数.平均成本：每个单位产品的成本，即 ()C x C x=. 总收益函数是指生产者出售一定产品数量（x ）所得到的全部收入，常用R 表示，即 ()R R x =其中x 为销售量. 显然，0(0)0Q R R ===，即未出售商品时，总收益为０.若已知需求函数()Q Q p =，则总收益的为1()()R R Q P Q Q p Q -==⋅=⋅ 平均收益：()R x R x=，若单位产品的销售价格为p ，则R p x =⋅，且R p =. 总利润函数是指生产中获得的纯收入，为总收益与总成本之差，常用L 表示，即 ()()()L x R x C x =-例 某工厂生产某产品，每日最多生产100个单位。
日固定成本为130元，生产每一个单位产品的可变成本为6元，求该厂每日的总成本函数及平均单位成本函数.解 设每日的总成本函数为C 及平均单位成本函数为C ，因为总成本为固定成本与可变成本之和，据题意有()1306(0100)130()6(0100)C C x xx C C x x x ==+≤≤==+<≤例 设某商店以每件a 元的价格出售商品，若顾客一次购买50件以上，则超出部分每件优惠10%，试将一次成交的销售收入R 表示为销售量x 的函数。
函数的应用举例 (经济生活类)
假设国家收购某种农产品的价格是120 例 2 假设国家收购某种农产品的价格是 元征8元 元/担，其中征税标准为每 担 其中征税标准为每100元征 元（叫做 元征 税率为8个百分点 个百分点， ），计划可收购 税率为 个百分点，即8%），计划可收购 ），计划可收购m 万担。为了减轻农民负担，决定税率降低x个 万担。为了减轻农民负担，决定税率降低 个 百分点，预计收购量可增加2x个百分点 个百分点。 百分点，预计收购量可增加 个百分点。 （1）写出税收 （万元）与x的函数关系式； 的函数关系式； ）写出税收y（万元） 的函数关系式 2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划 的范围。 的78%，试确定 的范围。 ，试确定x的范围
3m 2 ( x + 42 x − 400 )( 0 < x ≤ 8 ) 答：税收y= − 125
,
x的范围是（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，2]。
例3 某工厂今年1月、2月、3月生产某产 品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估 计以后每月的产量，以这三个月的产量为依 据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月 份x的关系，模拟函数可选用二次函数或 x y = a ⋅ b + c (a,b,c为常数)，已知四月份 该产品的产量为1.37万件，请问：用以上 哪个函数作模拟函数较好？说明理由。
练习： 我国工农业总产值从 我国工农业总产值从1980年到 年到2000年的 年 年的20年 练习：1.我国工农业总产值从 年到 年的 间 实 现 翻 两 番 的 目 标 ， 设 平 均 每 年 的 增 长 率 为 x， 则 ， （ A ） A（1+x）19=4 B (1+x)20=2 C (1+x)20=3 D (1+x)20=4 （ ） 2.由于电子技术的飞速发展 ， 计算机的成本不断降低 。 由于电子技术的飞速发展， 由于电子技术的飞速发展 计算机的成本不断降低。 1 若每隔5年计算机的价格降低 现在价格为8100元的 若每隔 年计算机的价格降低 ，现在价格为 元的 计算机经过15年的价格可降为 （ 计算机经过 年的价格可降为 3 C ） A 300元 B 900元 C 2400元 D 3600元 元 元 元 元 3.某企业生产总值的月平均增长率为 ，则年平均增长率 某企业生产总值的月平均增长率为P， 某企业生产总值的月平均增长率为 为（ D ） C (1+P)12 D (1+P)12-1 A P B P12 4.某商品零售价 某商品零售价2002年比 年比2001年上涨 年上涨25%， 欲控制 某商品零售价 年比 年上涨 ， 2003年比 年比2001年上年涨 年上年涨10%，则2003年应比 年应比2002年 年比 年上年涨 ， 年应比 年 降价（B ） 降价（ A 15% B 12% C 10% D 5%
第四常用经济函数举例
市场均衡量 q0 供不应求 o
供大于求
qd q( p)
p p0
例1：假设某种商品的供给函数和需求函数分别为
qd 5 p 100
qs 25 p 20
求市场均衡价格和市场均衡量。
解： 由均衡条件：qd qs
5 p 100 25 p 20
30 p 120
市场均衡价格 p0 4 市场均衡量 q0 5 4 100 80
总成本＝固定成本＋变动成本 C(q) C0 C1(q) ——成本函数
常见的成本函数有： （1）线性成本函数
（2）二次成本函数
C(q) C0 aq C(q) C0 aq bq2
C1(q) aq C1(q) aq bq2
一般来讲，成本函数是产量的单调增加函数 。
2 供给函数 在市场中，如果每一种商品均由生产者直接提供，生
产者的供给量是受多种因素影响的，其中该商品的市场销 售价格是影响供给量的一个重要因素。假设供给量仅仅与 市场价格有关，即
qs q( p) 称该函数为供给函数。
由于生产者向市场提供商品是为了赚取利润，一般地， 当商品价格上升时会刺激生产，供给量将增加；反之，当 商品价格下降时会抑制生产，供给量将减少。因此，供给
L(q) R(q) C(q)
单位商品的利润称为平均利润，用 L 表示，即有
L(q) L(q) q
例5：已知 C0 1（0 万元）， C1 0.1q2 4q，需求规律是 q 200 4 p，求总利润和平均利润以及产量为100和110时
的利润。
解：由q 200 4 p得p 50 q
C(q) q
500 20q q
经济学中常用公式的整理与应用
经济学中常用公式的整理与应用在经济学中，公式是不可或缺的工具之一。
它们用于测量、分析和解释经济现象，为决策提供依据。
本文将对经济学中常用的公式进行整理，并探讨它们的应用。
一、需求和供给公式1. 需求曲线公式：需求量 = a - b * 价格需求曲线描述了消费者对商品或服务需求的关系，a代表需求量的截距，b代表价格的斜率。
2. 供给曲线公式：供给量 = a + b * 价格供给曲线描述了生产者愿意出售商品或服务的关系，a代表供给量的截距，b代表价格的斜率。
应用：通过需求和供给曲线，我们可以更好地理解市场的运作机制。
通过分析价格变动对需求和供给的影响，进而预测市场价格的变化。
二、弹性公式1. 价格弹性公式：价格弹性 = （需求量变动百分比）/（价格变动百分比）价格弹性衡量了需求对价格变动的敏感程度。
如果价格弹性大于1，说明该商品为弹性商品，需求对价格变动敏感；如果价格弹性小于1，说明该商品为非弹性商品，需求对价格变动不敏感。
2. 收入弹性公式：收入弹性 = （需求量变动百分比）/（收入变动百分比）收入弹性衡量了需求对收入变动的敏感程度。
如果收入弹性为正数，说明该商品为正常商品，需求随收入增加而增加；如果收入弹性为负数，说明该商品为劣质商品，需求随收入增加而减少。
应用：弹性公式可以帮助我们评估市场的敏感性，为政府制定政策、企业制定定价策略提供参考。
三、生产函数公式1. Cobb-Douglas生产函数：产出 = A *（劳动力^α） * （资本^β）Cobb-Douglas生产函数描述了产出与劳动力和资本的关系，其中A代表全要素生产率，α和β为生产函数的弹性指数。
2. 边际产出公式：边际产出 = 生产函数对劳动力或资本的偏导数边际产出表示每增加一单位劳动力或资本，所增加的产出量。
应用：生产函数公式帮助我们理解生产的要素配置与产出之间的关系，指导企业优化生产资源的利用。
四、成本和利润公式1. 平均成本公式：平均成本 = 总成本 / 产出量平均成本衡量了单位产出的平均成本水平。
经济师函数知识点归纳总结
经济师函数知识点归纳总结经济师函数知识点归纳总结引言：经济学中的函数是研究经济现象和经济关系的重要工具。
函数是一种数学工具，可用来描述两个变量之间的关系。
经济师在研究经济问题时，通常会使用各种各样的函数来描述不同的经济关系。
本文将对经济师常用的函数进行归纳总结，希望能为读者提供一个全面而清晰的概览。
一、线性函数线性函数是最简单和最常用的函数之一，在经济学中被广泛应用。
线性函数的表达式为：y = ax + b。
（其中，a和b为常数）线性函数的特点是在平面坐标系中表示为一条直线。
例如，如果我们用y表示消费支出，x表示收入，那么x和y之间的关系可以用线性函数来描述。
二、二次函数二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c都是常数。
二次函数的图形是一个抛物线，通常有一个最高点或最低点。
在经济学中，二次函数常用于描述边际效应和成本曲线。
例如，当我们研究某种产品的成本与产量之间的关系时，二次函数可以帮助我们更好地理解成本的变化情况。
三、指数函数指数函数是形如y = a^x的函数，其中a是一个常数。
指数函数的特点是随着x的增加，y值会以指数形式增长或下降。
指数函数在经济学中常用于描述增长率和复利的概念。
例如，当我们研究人口增长、经济增长或利息计算时，指数函数可以提供更准确的结果和预测。
四、对数函数对数函数是指形如y = loga x的函数，其中a是一个常数。
对数函数与指数函数是互逆的关系，即对数函数和指数函数互为反函数。
对数函数在经济学中也是常用的函数之一。
例如，当我们研究货币的时间价值、价格弹性或投资回报率时，对数函数可以为我们提供更多的信息和洞察。
五、多项式函数多项式函数是指形如y = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n 的函数，其中a0、a1、a2...a和n都是常数。
多项式函数在经济学中常用于描述复杂的经济关系和现象。
例如，当我们研究经济增长模型、生产函数或收益递减时，多项式函数可以提供更加灵活的表达和分析工具。
Sec26经济函数导数应用资料
函数的弹性
前面所引入的边际函数的概念 实际上是研究函数
的绝对改变量与绝对变化率, 经济学中常需研究一
个变量对另一个变量的相对变化情况, 为此引入下
面定义.
定义 设函数 y f ( x) 可导,函数的相对改变量
y
y
f ( x x)
Q(P)
P
1600
1 4
P
1600
1 4
P
P
1600
1 4
P
ln
1600
1 4
P
1 4
P
ln
1 4
(2
ln
2)P
1.39
P
.
例 设某种商品的需求量 Q与价格 P 的关系为
Q(
P
)
1600
1 4
P
.
(1) 求需求弹性 (P);
经济学中, 解释边际函数值的具体意义时, 通常略 去“近似”二字.
边际函数
f ( x0 1) f ( x0 ) f ( x0 ), 它表明: 当自变量在 x0 处产生一个单位的改变时, 函数 f ( x)的改变量可近似地用 f ( x0 ) 来表示. 在
经济学中, 解释边际函数值的具体意义时, 通常略 去“近似”二字.
称为函数
f ( x) 从 x 到 x x 两点间的弹性(或相对变化率).
而极限
lim
x0
y x
/ /
y x
称为函数
f ( x) 在点 x
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函数
例3 某批发商每次以150元 / 件的价格将500件衣服批发给零
售商, 在这个基础上零售商每次多进100件衣服, 则批发价相应 降低2元, 批发商最大批发量为每次1000件, 试将衣服批发价格 表示为批发量的函数, 并求零售商每次进900件衣服时的批发
价格.
解： 由题意知定义域为500,1000，于是所求函数
保本点) .
函数
例4 某产品总成本C（万元）为年产量x(吨）的函数
C C x a bx2，其中a, b为待定常数.已知固定成本为
400万元，且当年产量x 100吨时，总成本C 500万元， 试将平均单位成本C 表示为年产量x的函数.
解：由题意知固定成本为C 0 a 400，故a 400 再由C 100 400 b 1002 500，解得b 1
p
p
x
46
1 3
x
1 试将平均单位成本表示为日产量x的函数；
2 试将每日产品全部销售后获得的总利润L表
示为日产量x的函数.
函数
解：（1）平均单位成本为C x C x 1 x 6 100 (x 0)
x9
x
（2）总收入函数R
x
xp
x
x
46
1 3
x
1 3
Байду номын сангаас
x2
46x
总成本函数为C x 1 x2 6x 100
第n年末本利和为sn p(1 nr)
函数
2．复利计算公式
设初始本金为p(元), 银行年利率为r.则
第一年末本利和为s1 p rp p1 r
第二年末本利和为s2 p(1 r) rp(1 r) p(1 r)2 ……
第n年末本利和为sn p(1 r)n.
函数
例1.现有初始本金1000元, 若银行年储蓄利率为5%,问:
成本函数是单调增加函数.
设成本函数为C C(x) ，则称 C C(x) (x 0) x
为平均单位成本函数 或平均成本函数.
函数
2. 收入函数与利润函数 设销售某种商品的收入是R，产品的价格是P，
销售量是x，则称R P x为 收入函数. 收入R减去成本C，即L R C 为利润函数. 当L R C 0时，生产者盈利; 当L R C 0时，生产者亏损; 当L R C=0时，生产者盈亏平衡， 使L(x) 0的点x0 称为盈亏平衡点(又称为
为P 150
2
x (x 500) 160
100
50
当x 900时，P 160 900 142（元 / 件） 50
即零售商每次进900件衣服时的批发价格为
142元/件.
函数
§1.5.3 成本函数、收入函数与利润函数
1. 成本函数 产品成本可分为固定成本和变动成本两部分,
成本函数记作C C(x) (x 0)，x是产量，当x 0时 函数值C(0)就是产品的固定成本值.
解：由题意知总收入为R R Q pQ 30Q
总成本函数为
C
Q
QC
Q
Q
Q
6
20 Q
Q2
6Q
20
故总利润为
L L Q R Q C Q Q2 24Q 20（, Q 0）
函数
例6 某产品总成本C（元）为日产量x(kg)的函数
C C x 1 x2 6x 100
9
产品销售价格P元/ 千克，它与产量x的关系为
p0,Q0 称为市场均衡点.
函数
例2 设某商品的需求函数和供给函数分别为
Qd 170 4P,Qs 16P 10，求该商品的市场
均衡价格和市场均衡数量.
解：
由均衡条件 Qd Qs 得 170 4P 16P 10，
则市场均衡价格为 P0 9，
市场均衡数量为
Q0 16P0 10=134.
100
于是总成本函数表达式为C C x 400 x2
100 故平均单位成本为
C C x C x 400 x ，（x 0）
x x 100
函数
例5 某厂每年生产Q台某商品的平均单位成本为
C
C
Q
Q
6
20 Q
万元
/
台, 商品销售价格p
30万元
/
台，
试将每年商品全部销售后获得的总利润L表示为年产量Q的台数.
格的单调增加函数.
3. 市场均衡 如果需求量等于供给量, 则这种商品就达到
了市场均衡.
这时的价格称为该商品的市场均衡价格，
记为p0 .
.
函数
当市场价格高于均衡价格时, 将出现供过于 求的现象 ;
而当市场价格低于均衡价格时,将出现供不 应求的现象.
当市场均衡时有Qd Qs Q0 , 称Q0为市场 均衡数量.
函数
§1.5 常用经济函数及其应用
§1.5.1 单利与复利 §1.5.2 需求函数、供给函数与市场均衡 §1.5.3 成本函数、收入函数与利润函数
函数
§1.5.1 单利与复利 1．单利计算公式
设初始本金为p(元), 银行年利率为r.则
第一年末本利和为s1 p rp p1 r
第二年末本利和为s2 p(1 r) rp p(1 2r) ……
函数
（3）若n年后的本利和超过初始本金的一倍，
即要
sn p(1 r)n 2 p
因r 0.05, 则n ln1.05 ln 2，n ln 2 14.2
ln1.05
即：需15年本利和可超过初始本金一倍 。
函数
§1.5.2 需求函数、供给函数与市场均衡 1. 需求函数
Qd fd ( p)其中, Qd 表示需求量, p表示价格.
(1) 按单利计算, 3年末的本利和为多少? (2) 按复利计算, 3年末的本利和为多少? (3) 按复利计算,需多少年能使本利和超过初始本金 的一倍 ? 解：（1）已知p 1000, r 0.05,由单利计算公式得
s3 p(1 3r) 1000 (1 3 0.05) 1150（元）
（2）由复利计算公式得 s3 p(1 r)3 1000 (1 0.05)3 1157.6（元）
一般的，当商品提价时，需求量会减少；当商品降 价时，需求量就会增加，因此需求函数为单调减少 函数.
在理想情况下，产量等于销售量，也等于需求量， 都用记号Qd表示.
函数
2. 供给函数
Qs fs ( p)，其中Qs表示供给量，p表示价格. 一般说来，当商品的价格提高时，商品的
供给量将会相应增加；因此供给函数是关于价
9
故总利润为Lx Rx C x
1 3
x2
46 x
1 9
x2
6x
100
4 x2 40x 100 9
总利润函数的定义域为0 x 138.