自动控制原理课件__第二章
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自动控制原理第二章.ppt
i 特征式中，将与第i条前向通路相接触的回
路各项全部去除后剩下的余子式。
例2－27 已知两级RC网络的结构图如图所示，
试用梅逊公式法求取传递函数。
解（1）独立回路L，3个 （2）写出互不接触回路乘积，L1,L2不接触，
（3）写出梅逊公式特征式 （4）写出前向通路 pi，仅一个 （5）写出各项余子式 i ，仅一个
2、化简原则： 保证化简前后的代数等价关系不变
（1）化简前后，前向通路传递函数的乘积 不变。
（2）化简前后，回路传递函数的乘积不变。
等效变换法则
（1）环节串联 减少方块
（2）环节并联 减少支路
（3）反馈回路化简
减少回路
证明 如果是正反馈：
G(s)
Y(s)
X (s)
1 G(s) H(s)
得到输出信号的拉氏变换
定义控制系统的传递函数为
二、传递函数的性质
只适用于线性定常系统。 基于线性常系数微分方程。
是在零初始条件之下定义的。 可以有量纲的。 只表示系统的端口关系。
输入————输出关系 是描述线性定常系统的参数模型。 传递函数的信息关系
多项式表示
参数为ai,i=1,2,…n，bj,j=1,2,…,m， m≤n
§2.6 一般反馈控制系统
一、一般系统
1、单位反馈系统 今后除了个别 情况之外，只 考虑单位化后 的系统结构。
2、开环传递函数 3、闭环传递函数 4、系统的输出 5、误差信号
6、误差传递函数
则误差传递函数为 闭环传递函数
二、一般控制作用 串联控制方式：
G0(s)——固有对象 Gc(s)——控制作用
n
i pi
P i1
pi从输入到输出的第i条前向通路总增益； 梅逊公式特征式；
自动控制原理第二章 胡寿松ppt课件
—线性定常二阶微分方程式
4、消去中间变量i(t),整理后得整：理版课件
22
第二章 控制系统数学模型
例2、 设一弹簧、质量块、阻
尼器组成的系统如图所示，
当外力F(t)作用于系统时，系 F(t) 统将产生运动。试写出外力
F(t)与质量块的位移y(t)之间
m
的微分方程。
解：
f
1、确立入-出，入-F(t),出—y(t)； 2、根据牛顿定律，∑F=ma；
limsF(s)存在 f(0)lifm (t)lism (F s)
s
t 0
s
（6）终值定理
若: L[f(t)]F(s)
f( )lifm (t)lism (F s)
t
s 0
整理版课件
7
第二章 控制系统数学模型
例2、求下列函数的拉氏变换。
（1）f(t)2(1cot)（s2）f(t)sin5(t（) 3）f (t)tnet
L[
d
2
dt
f (t) 2
]
s
2
F
(s)
L [ d n f ( t ) ] s n F ( s )整理版课件
5
dt n
第二章 控制系统数学模型
（2）积分性质
若: L[f(t)]F(s)
L [ f(t)d] t1 sF (s)1 s f(t)dt t0
当初始条件为0，则有：
L[
f
(t )dt ]
1 - 311 1 14 s 2s 1s 2 s 1s 2
f(t) L 1 [f(t) ](t) e t 4 e 2 t
整理版课件
16
第二章 控制系统数学模型
例 6 求F(s)s(s2ss11)的拉氏反变换
4、消去中间变量i(t),整理后得整：理版课件
22
第二章 控制系统数学模型
例2、 设一弹簧、质量块、阻
尼器组成的系统如图所示，
当外力F(t)作用于系统时，系 F(t) 统将产生运动。试写出外力
F(t)与质量块的位移y(t)之间
m
的微分方程。
解：
f
1、确立入-出，入-F(t),出—y(t)； 2、根据牛顿定律，∑F=ma；
limsF(s)存在 f(0)lifm (t)lism (F s)
s
t 0
s
（6）终值定理
若: L[f(t)]F(s)
f( )lifm (t)lism (F s)
t
s 0
整理版课件
7
第二章 控制系统数学模型
例2、求下列函数的拉氏变换。
（1）f(t)2(1cot)（s2）f(t)sin5(t（) 3）f (t)tnet
L[
d
2
dt
f (t) 2
]
s
2
F
(s)
L [ d n f ( t ) ] s n F ( s )整理版课件
5
dt n
第二章 控制系统数学模型
（2）积分性质
若: L[f(t)]F(s)
L [ f(t)d] t1 sF (s)1 s f(t)dt t0
当初始条件为0，则有：
L[
f
(t )dt ]
1 - 311 1 14 s 2s 1s 2 s 1s 2
f(t) L 1 [f(t) ](t) e t 4 e 2 t
整理版课件
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第二章 控制系统数学模型
例 6 求F(s)s(s2ss11)的拉氏反变换
自动控制原理课件2
Tm
GD 2 R 375 cecm
uf Kfn
K f 反馈电压和转速之间的 比例系数
（3）消去中间变量得直流调速系统的动态微分方程
1 T d T K m kd d 2 n 2t 1 T m K kd d n tn ( 1 K K r k )C eU g
其中 Kr K1K 为s正向通道电压放大系数
R(S)
E(S)
G(S)
-
B(S)
H(S)
Y(S)
2.结构图的组成： （1）信号线：带箭头的直线，箭头表示信号传递方向。 （2）引出点（分离点）：表示信号引出或测量的位置。 （3）比较点（相加点）：对两个以上信号加减运算。 （4）方框：方框图内输入环节的传递函数。
3 .动态结构图的绘制步骤： （1）确定系统输入量与输出量。 （2）将复杂系统划分为若干个典型环节。 （3）求出各典型环节对应的传递函数。 （4）作出相应的结构图。 （5）按系统各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来。
二、结构图的简化法则 常用的结构图变换方法可归纳为两类：一类是环节的合并，另一类是信号的分支点或相
加点的移动。 结构图的变换必须遵循的原则是：变换前后的数学关系保持不变，因而也称为结构图的
等效变换。
（一）环节的合并 法则一 环节串联，传递函数相乘。
法则二 环节并联，传递函数相加。
法则三 反馈连接的等效传递函数。
（6）延迟环节 （时滞环节、滞后环节） 特点：输出信号经过一段延迟时间τ 后，可完全复现输入信号。
y(t)/r(t)
0τ
r(t) y(t)
t
G(s) es R(s) e s Y(s)
2.4 系统动态结构图
一、概念 1.动态结构图：是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形，它 表示了系统的输入输出之间的关系。
自动控制原理第二章PPT课件
(2)实验法
.
4
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的
物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并 实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号
（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根 据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识
出系统的数学模型。
.
5
总结： 解析方法适用于简单、典型、
常见的系统，而实验方法适用于复杂、 非常见的系统。实际上常常是把这两 种方法结合起来建立数学模型更为有 效
Mc转(t)矩-电（动N机·m和/ra负d载/s）折合到电动机轴上的等效负载
.
18
将式①-④联立求解：
T lT m d 2 d t ( t) T m d d t ( t) ( t) K u U r ( t) K m [ T ld M d c t( t) M c ( t) ]⑤
Tl
L R
——电动机电磁时间常数（s）
m
F2阻尼器的阻力
整 理 得 到 ： m d 2x(t)fd x(t) k x(t)F (t)
d t2
d t
.
11
d2x(t) dx(t) mdt2 f dt ky(t)F(t)
式中：x——m的位移（m）； f——阻尼系数（N·s/m); k ——弹簧刚度（N/m)。
将上式的微分方程标准化
m kdd 2x t2 (t)kf dx d(tt)x(t)k 1F(t)
F(t) f
.
k M x(t)
10
输入F(t)，输出x(t)理论依据:牛顿第二定律, 物体所受的合外力等于物体质量与加速度的
乘积. Fma
F1kx(t),F2
f
dx(t) dt
自动控制原理第二章梅森公式-信号流图课件
ABCD
然后，通过分析梅森公式 的各项系数，确定系统的 极点和零点。
最后，将梅森公式的分析 结果转换为信号流图，进 一步明确系统各变量之间 的传递关系。
梅森公式在信号流图中的应用实例
假设一个控制系统的传递函数为 (G(s) = frac{s^2 + 2s + 5}{s^2 + 3s + 2})
在信号流图中，将极点和零点表示为相 应的节点，并根据梅森公式的各项系数 确定各节点之间的传递关系。
02
信号流图基础
信号流图定义与构成
信号流图定义
信号流图是一种用于描述线性动 态系统数学模型的图形表示方法 ，通过节点和支路表示系统中的 信号传递和转换过程。
信号流图构成
信号流图由节点和支路组成，节 点表示系统的动态方程，支路表 示输入输出之间的关系。
信号流图的绘制方法
确定系统动态方程
根据系统描述，列出系统的动态方程。
2
梅森公式与信号流图在描述和分析线性时不变系 统时具有互补性，二者可以相互转换。
3
信号流图能够直观地表示系统各变量之间的传递 关系，而梅森公式则提供了对系统频率特性的分 析手段。
如何使用梅森公式进行信号流图分析
首先，将系统的传递函数 转换为梅森公式的形式。
根据极点和零点的位置， 判断系统的稳定性、频率 响应特性等。
在未来研究中的可能发展方向
随着科技的不断进步和应用需求的不断变化，控制系统面临着越来越多的 挑战和机遇。
在未来研究中，可以利用梅森公式和信号流图进一步探索复杂系统的分析 和设计方法，提高系统的性能和稳定性。
同时，随着人工智能和大数据技术的应用，可以结合这些技术对控制系统 进行智能化分析和优化设计，提高系统的自适应和学习能力。
自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型
c(t ) e
dt Leabharlann t
c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0
0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
自动控制原理第2章PPT课件
经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。
27
第27页/共122页
注意:
(1)小偏差法只适用于不太严重的非线性系统。 (2)实际运行情况是在某个平衡点附近，变量只能 在小范围内变化。 (3)线性化方程中的系数k与工作点有关。 (4)严重的非线性不能用小偏差法，用第7章的方法。
28
第28页/共122页
d mr(t)
d m1r(t)
dr(t)
bm dtm bm1 dtm1 b1 dt b0r(t)
21
第21页/共122页
2.1.3 线性系统的基本特性
叠加原理=叠加性+均匀性（或叫齐次性）。 1、叠加性：两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独 作用时分别产生的输出之和；
2、均匀性：若外作用的数值增大若干倍，其输出亦相应增大同样的倍数。
量关系的微分方程。
标准化微分方程，惯例把与输入量有关各项写在方
程右边,把输出量有关各项写在方程左边,方程两边
各导数项均按降幂排列。
8
第8页/共122页
2.1.2 线性系统微分方程的建立实例
例1. 列写如图所示RLC网络的微分方程。
9
第9页/共122页
解:
A 确定输入输出量:
ur(t) ----输入量, uc(t) ----输出量 B 分析电路
零初始条件：输入r(t)和输出c(t)及其各阶系数在t=0时的值 均为零，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)＝ L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方程为
30
第30页/共122页
传递函数的描述方法
[a0sn a1sn1 an1s an ]C(s) [b0sm b1sm1 bm1s am ]R(s)
27
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注意:
(1)小偏差法只适用于不太严重的非线性系统。 (2)实际运行情况是在某个平衡点附近，变量只能 在小范围内变化。 (3)线性化方程中的系数k与工作点有关。 (4)严重的非线性不能用小偏差法，用第7章的方法。
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d mr(t)
d m1r(t)
dr(t)
bm dtm bm1 dtm1 b1 dt b0r(t)
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2.1.3 线性系统的基本特性
叠加原理=叠加性+均匀性（或叫齐次性）。 1、叠加性：两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独 作用时分别产生的输出之和；
2、均匀性：若外作用的数值增大若干倍，其输出亦相应增大同样的倍数。
量关系的微分方程。
标准化微分方程，惯例把与输入量有关各项写在方
程右边,把输出量有关各项写在方程左边,方程两边
各导数项均按降幂排列。
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2.1.2 线性系统微分方程的建立实例
例1. 列写如图所示RLC网络的微分方程。
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解:
A 确定输入输出量:
ur(t) ----输入量, uc(t) ----输出量 B 分析电路
零初始条件：输入r(t)和输出c(t)及其各阶系数在t=0时的值 均为零，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)＝ L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方程为
30
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传递函数的描述方法
[a0sn a1sn1 an1s an ]C(s) [b0sm b1sm1 bm1s am ]R(s)
《自动控制原理》PPT课件_OK
例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对 微分方程求解，就可以得出输出量的时域表达式。 据此可对系统进行分析。所以建立控制系统的数学 模型是对系统进行分析的第一步也是最重要的一步。
控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线 性和非线性系统，定常系统和时变系统。
2021/7/21
2
自动控制原理
[线性系统]：如果系统满足叠加原理，则称其为线性系 统。叠加原理说明，两个不同的作用函数同时作用于 系统的响应，等于两个作用函数单独作用的响应之和。
[解]速度控制系统微分方程为：
a2 a1 a0 b1ug b0ug 对上式各项进行拉氏变换，得：
(s)(a2s2 a1s a0) Ug (s)(b1s b0)
即：
(s)
(b1s (a2s2
b0 ) a1s
a0 )
U
g
(s)
当输入已知时，求上式的拉氏反变换，即可求得输出
的时域解。
2021/7/21
2021/7/21
20
自动控制原理
[关于传递函数的几点说明]
❖ 传递函数的概念适用于线性定常系统，与线性常系 数微分方程一一对应。与系统的动态特性一一对应。
❖ 传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性 质。物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有 完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论 可适用于具有这种传递函数的各种系统。
将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）
(ansn an1sn1 a1s a0)Y(s) (bmsm bm1sm1 b1s b0)X (s)
G(s)
Y (s) X (s)
bm s m an s n
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线 性和非线性系统，定常系统和时变系统。
2021/7/21
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自动控制原理
[线性系统]：如果系统满足叠加原理，则称其为线性系 统。叠加原理说明，两个不同的作用函数同时作用于 系统的响应，等于两个作用函数单独作用的响应之和。
[解]速度控制系统微分方程为：
a2 a1 a0 b1ug b0ug 对上式各项进行拉氏变换，得：
(s)(a2s2 a1s a0) Ug (s)(b1s b0)
即：
(s)
(b1s (a2s2
b0 ) a1s
a0 )
U
g
(s)
当输入已知时，求上式的拉氏反变换，即可求得输出
的时域解。
2021/7/21
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自动控制原理
[关于传递函数的几点说明]
❖ 传递函数的概念适用于线性定常系统，与线性常系 数微分方程一一对应。与系统的动态特性一一对应。
❖ 传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性 质。物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有 完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论 可适用于具有这种传递函数的各种系统。
将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）
(ansn an1sn1 a1s a0)Y(s) (bmsm bm1sm1 b1s b0)X (s)
G(s)
Y (s) X (s)
bm s m an s n
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
自动控制原理课件：第二章 控制系统动态性能分析
一阶系统的稳定的条件： a0 > 0
例： 考虑系统的响应 C1 Vi(t) ± 应用电路理论: i(t) C2 V0(t)
1 t 1 vi = idt + iR + ∫ c1 − ∞ c2 1 t v0 = iR + idt ∫ c2 − ∞
∫
t
−∞
idt
dv0 dvi 1 c1 + c2 + + v0 = vi dt Rc1c2 dt Rc2
如果系统的特征根相等，系统的响应：
k1 k2 Ynat ( s ) = Yzero − state ( s ) = + s − s1 ( s − s1 ) 2
ynat (t ) = y zero − state (t ) = k1e + k 2te
s1t
s1t
欠阻尼响应 如果系统的特征根是复数根，s1 , s2
二阶系统的响应
dr d 2r dy d2y b b a a y + + = + + b0 r 1 0 2 1 2 2 dt dt dt dt
上式的拉氏变换：
s 2 y ( s) − sy (0 − ) − y ' (0 − ) + a1sy ( s) − a1 y (0 − ) + a0 y ( s) = b2 s R( s) − b2 sr (0 ) − b2 r ' (0 ) + b1sR( s) − b1r (0 ) + b0 R( s)
s1 , s2 = − a1 ±
2 a1 − 4 a0 2
现考虑如下的二阶系统
dr dy d2y + a1 + a0 y = b1 + b0 r 2 dt dt dt
例： 考虑系统的响应 C1 Vi(t) ± 应用电路理论: i(t) C2 V0(t)
1 t 1 vi = idt + iR + ∫ c1 − ∞ c2 1 t v0 = iR + idt ∫ c2 − ∞
∫
t
−∞
idt
dv0 dvi 1 c1 + c2 + + v0 = vi dt Rc1c2 dt Rc2
如果系统的特征根相等，系统的响应：
k1 k2 Ynat ( s ) = Yzero − state ( s ) = + s − s1 ( s − s1 ) 2
ynat (t ) = y zero − state (t ) = k1e + k 2te
s1t
s1t
欠阻尼响应 如果系统的特征根是复数根，s1 , s2
二阶系统的响应
dr d 2r dy d2y b b a a y + + = + + b0 r 1 0 2 1 2 2 dt dt dt dt
上式的拉氏变换：
s 2 y ( s) − sy (0 − ) − y ' (0 − ) + a1sy ( s) − a1 y (0 − ) + a0 y ( s) = b2 s R( s) − b2 sr (0 ) − b2 r ' (0 ) + b1sR( s) − b1r (0 ) + b0 R( s)
s1 , s2 = − a1 ±
2 a1 − 4 a0 2
现考虑如下的二阶系统
dr dy d2y + a1 + a0 y = b1 + b0 r 2 dt dt dt
自动控制原理第六版课件-第二章
讲解：XX
4
Automatic Control Theory
§2.控制系统的数学模型
⑶ 消去中间变量i1，i2后，化为标准形式： R1R2C1C2u2〞+( R1C1+ R1C2+ R2C2) u2′+ u2= u1
2．3 非线性数学模型线性化 1 ．线性系统的特性：
1）能够用线性微分方程来描述。 2）不同类型的元件或系统可以具有相同形式的数学模型。这 样的系统称为相似系统。 3）可应用叠加原理，即具有可叠加性和均匀性（齐次性）。
3 . 无源网络的传递函数求取------复阻抗法
无源网络通常由电阻、电容和电感组成。
无源网络的传递函数求取,一般有两种方法：
⑴ 传递函数定义法: 微分方程
拉氏变换
⑵ 复阻抗法: 依据电路理论复阻抗概念有
电阻R的复阻抗为: ZR=R 电容C的复阻抗为: ZC=1/Cs 电感L的复阻抗为: ZL=Ls
例题1：右图所示的RC电路，当开关 K突然接通后，试求出电容电压uc(t)的 变化规律。
2021/3/10
讲解：XX
6
Automatic Control Theory
§2.控制系统的数学模型
解: 设输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，
写出电路微分方程
T
du C
u
u
ur
dt C r
0 t 0
其中：T=RC,
d 2 t
dt c
r
对上式两边求拉氏变换：
LC[s2Uc（s）-suc（0）-u c′（0）] +RC[sUc（s）-uc（0）]+ Uc（s） = Ur（s）
2021/3/10
讲解：XX
自动控制原理_胡寿松_第二章ppt
实验法：对系统或元件输入一定形式的信 号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号 等），根据系统或元件的输出响应，经过数 据处理而辨识出系统的数学模型。
第二章 自动控制系统的数学模型
第一节控制系统的时域数学模型
第一节控制系统的时域数学模型
一、建立系统微分方程的一般步骤
系统通常由一些环节连接而成，将系统中 （3 ）消除中间变量，将式子标准化 的每个环节的微分方程求出来，便可求出整个系 将与输入量有关的项写在方程式等号右 统的微分方程。 边，与输出量有关的项写在等号的左边。 列写系统微分方程的一般步骤： （1） 确定系统的输入变量和输出变量 下面举例说明常用环节和系统的微分方 （2） 建立初始微分方程组 程的建立
第二节控制系统的复数域数学模型
一、 传递函数的定义和性质
输入
输入拉氏 变换
设一控制系统 c(t) r(t) 系统 G(S)
R(S)
输出 输出拉氏 变换
C(S)
传递函数的定义：
零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系 统输入量拉氏变换之比。
C(s) 将微分方程拉氏变换便 表示为： G(s) = R(s) 可求得传递函数。
-at 单位斜坡函数 t
f(t) f(t) f(型
3．拉氏变换的定理
(2)线性定理 微分定理 (1) df(t)] L1 [(t)+bf = sF(s)-f(0) L[af (t) ] = aF1(s)+bF2(s) 2 dt 例 求正弦函数 f(t)=Sin ω t 的拉氏变换． d2f(t) = 2 '(0) s F(s)-sf(0)-f L[ 2 ] dt -jωt jωt e -e 例 求阶跃函数 f(t)=I(t) 的拉氏变换． 解： Sinωt = 2j d[ t] 1 1 1 1 解： =I(t) - L[t]=] s2 [ L[已知 Sinωt]= dt 2j s-jω s+jω d[t]ω 1 1 L[I(t)]=L(= dt2 ) =s = s +ω2 s2 -0 s
《自动控制原理》-胡寿松-002-自动控制原理-第二章ppt
3
2-0 预备知识—牢记一些典型时域数学模型
1.电容 2 .电感 3弹簧弹性力 4 阻尼器 5 牛顿定律 6 电机 7 二阶方程的通解
4
§2.1 傅里叶变换与拉普拉斯变换
▪ 傅里叶 变换 自学
5
拉氏变换及其性质
1.定义 X (s) x(t )est dt 0 记 X(s) = L[x(t)]
24
2.2 时域模型 - 微分方程
2.2.1. 建立系统或元件微分方程的步骤
I. 确定元件输入量和输出量
II. 根据物理或化学定律，列出元件的原始方 程
III. 在可能条件下，对各元件的原始方程进行 适当简化，略去一些次要因素或进行线性 化处理
IV. 消去中间变量，得到描述元件输入和输出 关系的微分方程
t
0
t
0
t0
0
t
A
解： x(t) = x1(t) + x2(t) =A1(t) A1(t t0 )
X (s) A A et0s A (1 et0s )
ss
s
13
例2-7 求e at 的拉氏变换。
解:
X (s) eat est dt
1
e(as)t
1
0
as
0 sa
X (s) L 1(t )eat 1 sa 例2-8 求e 0.2 t 的拉氏变换。 解：
论： （1） D(s) = 0无重根。
16
X (s) c1 c2
cn
n
ci
(s p1 ) (s p2 )
(s pn ) i1 (s pi )
式中ci 是待定常数，称为X(s)在极点si 处的留数。
ci
lim(s
2-0 预备知识—牢记一些典型时域数学模型
1.电容 2 .电感 3弹簧弹性力 4 阻尼器 5 牛顿定律 6 电机 7 二阶方程的通解
4
§2.1 傅里叶变换与拉普拉斯变换
▪ 傅里叶 变换 自学
5
拉氏变换及其性质
1.定义 X (s) x(t )est dt 0 记 X(s) = L[x(t)]
24
2.2 时域模型 - 微分方程
2.2.1. 建立系统或元件微分方程的步骤
I. 确定元件输入量和输出量
II. 根据物理或化学定律，列出元件的原始方 程
III. 在可能条件下，对各元件的原始方程进行 适当简化，略去一些次要因素或进行线性 化处理
IV. 消去中间变量，得到描述元件输入和输出 关系的微分方程
t
0
t
0
t0
0
t
A
解： x(t) = x1(t) + x2(t) =A1(t) A1(t t0 )
X (s) A A et0s A (1 et0s )
ss
s
13
例2-7 求e at 的拉氏变换。
解:
X (s) eat est dt
1
e(as)t
1
0
as
0 sa
X (s) L 1(t )eat 1 sa 例2-8 求e 0.2 t 的拉氏变换。 解：
论： （1） D(s) = 0无重根。
16
X (s) c1 c2
cn
n
ci
(s p1 ) (s p2 )
(s pn ) i1 (s pi )
式中ci 是待定常数，称为X(s)在极点si 处的留数。
ci
lim(s
自动控制原理课件第二章
延滞环节
传递函数：
G(s) X c (s) es Xr (s)
运动方程式：
xc (t) xr (t )
—环节的时间常数
近似处理
es 1s 2s2 3s3 .... 1s
2! 3!
es
1 es
1
s
2
s
1
2
3s3
1
.... 1s
2! 3!
第28页/共97页
水箱进水管的延滞
第29页/共97页
j 1
k 1
传递函数： G(s) X c (s) K ( 2s2 2 s 1)
X r (s)
运动方程式：xc (t) K[ 2
d
2 xr (t dt 2
)
2
dxr (t) dt
xr
(t)]
1 两个串联的一阶微分环节
K ——环节的放大系数 T ——环节的时间常数 ——环节的阻尼比
第27页/共97页
j 1
k 1
纯微分环节
s
es
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
第13页/共97页
放大环节/比例环节
b
c
K
(is 1)
(
2 l
s
2
2
l
l
s
1)
G(s)
i 1 d
l 1 e
sv (Tjs 1) (Tk2s2 2 kTk s 1)
j 1
k 1
传递函数： G(s) X c (s) K X r (s)
运动方程式： xc (t) Kxr (t)
K ——环节的放大系数
第14页/共97页
齿轮传动
第15页/共97页
自动控制原理第二章
2
?
t2 t dt
2 11
L t22 Ltdts s2
1t2 s2
1 s3
t0
2-1 控制系统的时域数学模型
〔4〕实位移定理 L f ( t 0 ) e τ 0 s F ( s )
证明：左 0 f(t0)etsdt
令 t0
f()es(0)d
e0s
f()esd
右
0
0
0 t0
例6 求 L (t)?
解. t1 t
L δ t L 1 ts1δ0 101 s
例7 求 L co t)s ? (
解. cots 1snit
L c
o ts 1L sn it 1ss2 2
s2
s
2
2-1 控制系统的时域数学模型
〔3〕积分定理 L ftd 1 t sF s 1 sf-1 0
零初始条件下有： Lftd t1 sF s
2-1 控制系统的时域数学模型
非线性函数的线性化:将非线性函数在工作点附近展 开成泰勒级数，忽略二次以上高阶无穷小量及余项， 得到近似的线性化方程。
例5：某元件的输出与输入之间的关系的曲线如下图， 元件的工作点为(x0，y0)。
y
y0
x
0
x0
2-1 控制系统的时域数学模型
y
将非线性函数y=f(x)在工作点(x0，y0)附近
那么系统的微分方程为
Jd2f
d2t
ddtMi
2-1 控制系统的时域数学模型
例４ 电枢控制直流电动机如图，电枢电压 u为a 输入
量，电动机转速 m为输出量， R是a 电枢电路的电
阻, 为M负L 载转矩。
2-1 控制系统的时域数学模型
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m－K－f系统的动态关系，它是一个二阶线性定常
微分方程。
例2-4．他励直流电动机电枢控制的微分方程
解: (1) 确定输入输出量:
输入量: 给定输入----电枢电压ua 扰动输入----负载转矩Mc
输出量: 电动机转速n
(2) 列写原始方程
电枢回路电压方程
La
dia dt
Raia
ea
ua
(2 8)
例2-1 列写如图所示RC网络的微分方程。
R
i
ur
C
uc
解：由基尔霍夫定律得：
ur Riuc
i C duc dt
(2 1)
式中, i为流经电阻R和电容C的电流，消去中间 变量i，可得：
RCduc dt
uc
ur
(2 2)
令 RC T（时间常数），则微分方程为：
T
duc dt
uc
ur
(2 3)
F(t) f
k M y(t)
解：分析质量块m受力，有
外力F,
弹簧恢复力 Ky（t）
阻尼力 fdy(t)/ dt
F(t)
惯性力 md2 y / dt2
由于m受力平衡，所以
Fi 0
f
将各力代入上等式，则得
k M y(t)
md2y(t)fdy(t)Ky(t)F(t)
dt2
dt
式中：y——m的位移（m）； f——阻尼系数（N·s/m); K ——弹簧刚度（N/m)。
d 2n dt2
Tm
dnn dt
Kuua
Km(Ta
dMc dt
Mc)
式中：电磁时间常数Ta
La Ra
;
机电时间常数
Tm
Ra J CeCm
传递系数
Ku
1 Ce
Km
Tm J
(2 11)
可见，数学模型是由系统结构，元件参数以及基 本运动规律所决定的。
2．控制系统微分方程的建立
用解析法建立运动方程的步骤是：
6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方 法。
7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用 梅森公式求传递函数的方法。
8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数， 对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误 差传递函数的概念。
•自动控制系统的组成可以是电气的，机械的， 液压的，气动的等等，然而描述这些系统的 数学模型却可以是相同的。因此，通过数学 模型来研究自动控制系统，就摆脱了各种类 型系统的外部关系而抓住这些系统的共同运 动规律，控制系统的数学模型是通过物理学， 化学，生物学等定律来描述的，如机械系统 的牛顿定律，电气系统的基尔霍夫定律等都 是用来描述系统模型的基本定律。
(2 4)
将式(2-4)的微分方程标准化
md2y(t) f dy(t K
令 T m/ K ，2Tf /K 即 f /2 mK
k1/K，则式 ( 2 4 ) 可写成
T2d2 dy t2 (t)2Tdy d(tt)y(t)kF(t) (2 5)
T 称为时间常数， 为阻尼比。显然，上式描述了
例2-2 求RLC电路的微分方程
解:(1)确定输入: ui(t) 输出:
u0((t2)) 列原始方程
LR
di LdtR(ti)u0(t)ui(t)
i(t)Cdu0 代入上式 dt
ui (t) i(t) C u0(t)
(3)消去中间变量 i(t )并标准化
LC dd2u 2t0RC dd0utu0ui 令: T1 = L/R, T2 = RC 则
如果描述系统的数学模型是线性的微分方 程，则该系统为线性系统，若方程中的系数 是常数，则称其为线性定常系统。数学模型 可以是标量方程和向量的状态方程。
本章主要讨论的是线性定常系统。我们可 以对描述的线性定常微分方程进行积分变换， 得出传递函数，方框图，信号流图，频率特 性等数学描述。
线性系统实际上是忽略了系统中某些次要 因素，对数学模型进行近似而得到的。以后 各章所讨论的系统，除第八章外，均指线性 化的系统。
式中：电枢反电势 ea Cen
Ce— — 电 势 常 数
电 磁 转 矩 方 程M (t)C m ia(t) (29) C m — 转 矩 常 数 。
电机轴上的 程转 Jd d矩 n tM 平 Mc衡(2 方 1)0 J— 转动惯量。
(3)从式(2-7) ～(2-10)中消去中间变量并标准化
TaTm
自动控制系统的数学模型
2-1傅里叶变换与拉普拉斯变换 2-2控制系统的时域数学模型 2-3控制系统的复数域数学模型 2-4控制系统的结构图与信号流图
基本要求： 1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。 2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉
氏变换形式。 3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。 4.掌握传递函数的概念及性质。 5.掌握典型环节的传递函数形式。
1）分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确 定出待研究元件或系统的输入量和输出量；
2）从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手）， 依据各元件所遵循的物理，化学，生物等规律，列 写各自方程式，但要注意负载效应。所谓负载效应， 就是考虑后一级对前一级的影响。
3）将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输 出的标准方程。
分析和设计任何一个控制系统，首要 任务是建立系统的数学模型。
系统的数学模型是描述系统输入、输 出变量以及内部各变量之间关系的数 学表达式。
建立数学模型的方法分为解析法和实 验法
解析法：依据系统及元件各变量之 间所遵循的物理、化学定律列写出变 量间的数学表达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式 的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正 弦信号等），根据系统或元件的输出响 应，经过数据处理而辨识出系统的数学 模型。
总结： 解析方法适用于简单、典型、常见 的系统，而实验方法适用于复杂、非常见 的系统。实际上常常是把这两种方法结合 起来建立数学模型更为有效。
返回目录
2-2控制系统的时域数学模型
基本步骤： 分析各元件的工作原理，明确输入、输出
量 建立输入、输出量的动态联系 消去中间变量 标准化微分方程
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列写微分方程的一般方法
T 1T 2d d 2u 20 tT 2d d0u tu0(t)ui(t)
例2-3设有一弹簧 质量 阻尼动力系
统如图所示，当外力 F(t)作用于系统时， 系统将产生运动，试 写出外力F(t)与质量 块的位移y(t)之间的 动态方程。其中弹簧 的弹性系数为k，阻 尼器的阻尼系数为f， 质量块的质量为m。
微分方程。
例2-4．他励直流电动机电枢控制的微分方程
解: (1) 确定输入输出量:
输入量: 给定输入----电枢电压ua 扰动输入----负载转矩Mc
输出量: 电动机转速n
(2) 列写原始方程
电枢回路电压方程
La
dia dt
Raia
ea
ua
(2 8)
例2-1 列写如图所示RC网络的微分方程。
R
i
ur
C
uc
解：由基尔霍夫定律得：
ur Riuc
i C duc dt
(2 1)
式中, i为流经电阻R和电容C的电流，消去中间 变量i，可得：
RCduc dt
uc
ur
(2 2)
令 RC T（时间常数），则微分方程为：
T
duc dt
uc
ur
(2 3)
F(t) f
k M y(t)
解：分析质量块m受力，有
外力F,
弹簧恢复力 Ky（t）
阻尼力 fdy(t)/ dt
F(t)
惯性力 md2 y / dt2
由于m受力平衡，所以
Fi 0
f
将各力代入上等式，则得
k M y(t)
md2y(t)fdy(t)Ky(t)F(t)
dt2
dt
式中：y——m的位移（m）； f——阻尼系数（N·s/m); K ——弹簧刚度（N/m)。
d 2n dt2
Tm
dnn dt
Kuua
Km(Ta
dMc dt
Mc)
式中：电磁时间常数Ta
La Ra
;
机电时间常数
Tm
Ra J CeCm
传递系数
Ku
1 Ce
Km
Tm J
(2 11)
可见，数学模型是由系统结构，元件参数以及基 本运动规律所决定的。
2．控制系统微分方程的建立
用解析法建立运动方程的步骤是：
6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方 法。
7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用 梅森公式求传递函数的方法。
8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数， 对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误 差传递函数的概念。
•自动控制系统的组成可以是电气的，机械的， 液压的，气动的等等，然而描述这些系统的 数学模型却可以是相同的。因此，通过数学 模型来研究自动控制系统，就摆脱了各种类 型系统的外部关系而抓住这些系统的共同运 动规律，控制系统的数学模型是通过物理学， 化学，生物学等定律来描述的，如机械系统 的牛顿定律，电气系统的基尔霍夫定律等都 是用来描述系统模型的基本定律。
(2 4)
将式(2-4)的微分方程标准化
md2y(t) f dy(t K
令 T m/ K ，2Tf /K 即 f /2 mK
k1/K，则式 ( 2 4 ) 可写成
T2d2 dy t2 (t)2Tdy d(tt)y(t)kF(t) (2 5)
T 称为时间常数， 为阻尼比。显然，上式描述了
例2-2 求RLC电路的微分方程
解:(1)确定输入: ui(t) 输出:
u0((t2)) 列原始方程
LR
di LdtR(ti)u0(t)ui(t)
i(t)Cdu0 代入上式 dt
ui (t) i(t) C u0(t)
(3)消去中间变量 i(t )并标准化
LC dd2u 2t0RC dd0utu0ui 令: T1 = L/R, T2 = RC 则
如果描述系统的数学模型是线性的微分方 程，则该系统为线性系统，若方程中的系数 是常数，则称其为线性定常系统。数学模型 可以是标量方程和向量的状态方程。
本章主要讨论的是线性定常系统。我们可 以对描述的线性定常微分方程进行积分变换， 得出传递函数，方框图，信号流图，频率特 性等数学描述。
线性系统实际上是忽略了系统中某些次要 因素，对数学模型进行近似而得到的。以后 各章所讨论的系统，除第八章外，均指线性 化的系统。
式中：电枢反电势 ea Cen
Ce— — 电 势 常 数
电 磁 转 矩 方 程M (t)C m ia(t) (29) C m — 转 矩 常 数 。
电机轴上的 程转 Jd d矩 n tM 平 Mc衡(2 方 1)0 J— 转动惯量。
(3)从式(2-7) ～(2-10)中消去中间变量并标准化
TaTm
自动控制系统的数学模型
2-1傅里叶变换与拉普拉斯变换 2-2控制系统的时域数学模型 2-3控制系统的复数域数学模型 2-4控制系统的结构图与信号流图
基本要求： 1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。 2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉
氏变换形式。 3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。 4.掌握传递函数的概念及性质。 5.掌握典型环节的传递函数形式。
1）分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确 定出待研究元件或系统的输入量和输出量；
2）从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手）， 依据各元件所遵循的物理，化学，生物等规律，列 写各自方程式，但要注意负载效应。所谓负载效应， 就是考虑后一级对前一级的影响。
3）将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输 出的标准方程。
分析和设计任何一个控制系统，首要 任务是建立系统的数学模型。
系统的数学模型是描述系统输入、输 出变量以及内部各变量之间关系的数 学表达式。
建立数学模型的方法分为解析法和实 验法
解析法：依据系统及元件各变量之 间所遵循的物理、化学定律列写出变 量间的数学表达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式 的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正 弦信号等），根据系统或元件的输出响 应，经过数据处理而辨识出系统的数学 模型。
总结： 解析方法适用于简单、典型、常见 的系统，而实验方法适用于复杂、非常见 的系统。实际上常常是把这两种方法结合 起来建立数学模型更为有效。
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2-2控制系统的时域数学模型
基本步骤： 分析各元件的工作原理，明确输入、输出
量 建立输入、输出量的动态联系 消去中间变量 标准化微分方程
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列写微分方程的一般方法
T 1T 2d d 2u 20 tT 2d d0u tu0(t)ui(t)
例2-3设有一弹簧 质量 阻尼动力系
统如图所示，当外力 F(t)作用于系统时， 系统将产生运动，试 写出外力F(t)与质量 块的位移y(t)之间的 动态方程。其中弹簧 的弹性系数为k，阻 尼器的阻尼系数为f， 质量块的质量为m。