自动控制原理课件__第二章

T 1T 2d d 2u 20 tT 2d d0u tu0(t)ui(t)
例2-3设有一弹簧 质量 阻尼动力系
统如图所示，当外力 F(t)作用于系统时， 系统将产生运动，试 写出外力F(t)与质量 块的位移y(t)之间的 动态方程。其中弹簧 的弹性系数为k，阻 尼器的阻尼系数为f， 质量块的质量为m。
例2-2 求RLC电路的微分方程
解:(1)确定输入: ui(t) 输出:
u0((t2)) 列原始方程
LR
di LdtR(ti)u0(t)ui(t)
i(t)Cdu0 代入上式 dt
ui (t) i(t) C u0(t)
(3)消去中间变量 i(t )并标准化
LC dd2u 2t0RC dd0utu0ui 令: T1 = L/R, T2 = RC 则
d 2n dt2
Tm
dnn dt
Kuua
Km(Ta
dMc dt
Mc)
式中：电磁时间常数Ta
La Ra
;
机电时间常数
Tm
Ra J CeCm
传递系数
Ku
1 Ce
Km
Tm J
(2 11)
可见，数学模型是由系统结构，元件参数以及基 本运动规律所决定的。
2．控制系统微分方程的建立
用解析法建立运动方程的步骤是：
总结： 解析方法适用于简单、典型、常见 的系统，而实验方法适用于复杂、非常见 的系统。实际上常常是把这两种方法结合 起来建立数学模型更为有效。
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2-2控制系统的时域数学模型
基本步骤： 分析各元件的工作原理，明确输入、输出
量 建立输入、输出量的动态联系 消去中间变量 标准化微分方程
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列写微分方程的一般方法
分析和设计任何一个控制系统，首要 任务是建立系统的数学模型。
系统的数学模型是描述系统输入、输 出变量以及内部各变量之间关系的数 学表达式。
建立数学模型的方法分为解析法和实 验法
解析法：依据系统及元件各变量之 间所遵循的物理、化学定律列写出变 量间的数学表达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式 的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正 弦信号等），根据系统或元件的输出响 应，经过数据处理而辨识出系统的数学 模型。
自动控制系统的数学模型
2-1傅里叶变换与拉普拉斯变换 2-2控制系统的时域数学模型 2-3控制系统的复数域数学模型 2-4控制系统的结构图与信号流图
基本要求： 1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。 2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉
氏变换形式。 3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。 4.掌握传递函数的概念及性质。 5.掌握典型环节的传递函数形式。
1）分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确 定出待研究元件或系统的输入量和输出量；
2）从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手）， 依据各元件所遵循的物理，化学，生物等规律，列 写各自方程式，但要注意负载效应。所谓负载效应， 就是考虑后一级对前一级的影响。
3）将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输 出的标准方程。
(2 4)
将式(2-4)的微分方程标准化
md2y(t) f dy(t)
1
Kdt2
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Kdt
y(t) F(t) K
令 T m/ K ，2Tf /K 即 f /2 mK
k1/K，则式 ( 2 4 ) 可写成
T2d2 dy t2 (t)2Tdy d(tt)y(t)kF(t) (2 5)
T 称为时间常数， 为阻尼比。显然，上式描述了
F(t) f
k M y(t)
解：分析质量块m受力，有
外力F,
弹簧恢复力 Ky（t）
阻尼力 fdy(t)/ dt
F(t)
惯性力 md2 y / dt2
由于m受力平衡，所以
Fi 0
f
将各力代入上等式，则得
k M y(t)
md2y(t)fdy(t)Ky(t)F(t)
dt2
dt
式中：y——m的位移（m）； f——阻尼系数（N·s/m); K ——弹簧刚度（N/m)。
式中：电枢反电势 ea Cen
Ce— — 电 势 常 数
电 磁 转 矩 方 程M (t)C m ia(t) (29) C m — 转 矩 常 数 。
电机轴上的 程转 Jd d矩 n tM 平 Mc衡(2 方 1)0 J— 转动惯量。
(3)从式(2-7) ～(2-10)中消去中间变量并标准化
TaTm
6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方 法。
7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用 梅森公式求传递函数的方法。
8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数， 对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误 差传递函数的概念。
•自动控制系统的组成可以是电气的，机械的， 液压的，气动的等等，然而描述这些系统的 数学模型却可以是相同的。因此，通过数学 模型来研究自动控制系统，就摆脱了各种类 型系统的外部关系而抓住这些系统的共同运 动规律，控制系统的数学模型是通过物理学， 化学，生物学等定律来描述的，如机械系统 的牛顿定律，电气系统的基尔霍夫定律等都 是用来描述系统模型的基本定律。
如果描述系统的数学模型是线性的微分方 程，则该系统为线性系统，若方程中的系数 是常数，则称其为线性定常系统。数学模型 可以是标量方程和向量的状态方程。
本章主要讨论的是线性定常系统。我们可 以对描述的线性定常微分方程进行积分变换， 得出传递函数，方框图，信号流图，频率特 性等数学描述。
线性系统实际上是忽略了系统中某些次要 因素，对数学模型进行近似而得到的。以后 各章所讨论的系统，除第八章外，均指线性 化的系统。
例2-1 列写如图所示RC网络的微分方程。
R
i
ur
C
uc
解：由基尔霍夫定律得：
ur Riuc
i C duc dt
(2 1)
式中, i为流经电阻R和电容C的电流，消去中间 变量i，可得：
RCduc dt
uc
ur
(2 2)
令 RC T（时间常数），则微分方程为：
T
duc dt
uc
ur
(2 3)
m－K－f系统的动态关系，它是一个二阶线性定常
微分方程。
例2-4．他励直流电动机电枢控制的微分方程
解: (1) 确定输入输出量:
输入量: 给定输入----电枢电压ua 扰动输入----负载转矩Mc
输出量: 电动机转速n
(2) 列写原始方程
电枢回路电压方程
La
dia dt
Raia
ea
ua
(2 8)