空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
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空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
2．向量可以平移，向量p在坐标系中的坐标惟一 吗？
提示：惟一．在空间直角坐标系中，向量平移后， 其正交分解不变，故其坐标也不变．
典例精析
类型一 基底的概念
[例1] 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b， c}是空间的一组基底，给出下列向量组：①{a，b，x}， ②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中 可以作为空间一组基底的向量组有( )
类型三 求向量的坐标 [例 3] 如图 5 所示，已知点 P 为正方形 ABCD
所在平面外一点，且 PA⊥平面 ABCD，M、N 分别 是 AB、PC 的中点，且 PA＝AD，求向量M→N的坐标．
图5
[分析] 空间向量的坐标源于向量的正交分解，如 果把向量a写成xi＋yj＋zk，则a的坐标为(x，y，z)；还 可利用表示向量的有向线段的起点与终点坐标写出向 量的坐标．
图4
[解] 选取{C→B，C→D，C→C1} 作为空间向量的一个基底， 设C→B ＝ a，C→D＝ b，C→C1＝ c，则 C→M＝C→C1＋C→1M＝C→C1＋12(C→1B1＋C→1D1) ＝12(C→B ＋C→D)＋C→C1 ＝12a＋12b＋ c， C→N＝C→C1＋C→1D1＋D→1N
＝C→C1＋C→D＋12(D→1D＋D→1A1)
空间向量的正交分解及其坐标表示
新知视界
1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向 量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底的概念
如果三个向量a、b、c不共面，那么空间所有向量 组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R}这个 集合可以看作是由向量a、b、c生成的，我们把{a，b， c}叫做空间的一个基底．a、b、c叫做基向量．空间任 何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
( 人教A版)空间向量的正交分解及其坐标表示课件 (共31张PPT)
答案：D
探究二 用基底表示向量 [典例 2] 空间四边形 OABC 中，M，N 是△ABC，△OBC 的重心，设O→A＝a，O→B ＝b，O→C＝c，用向量 a，b，c 表示向量O→M，O→N，M→N. [解析] 如图，取 BC 中点 P，则 A，M，P，O，N，分别共线，连接 AP，OP. O→M＝O→A＋A→M＝a＋23A→P＝a＋23×12(A→B＋A→C) ＝a＋31(O→B－O→A)＋13(O→C－O→A) ＝a＋31b－13a＋31c－31a＝13a＋31b＋13c.
＝ xe1＋ye2＋ze3 .把 x，y，z 称作向量 p 的单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标， 记作 p＝(x，y，z) ．
[双基自测]
1．已知 A(3,2，－3)，则点 A 关于 y 轴的对称点的坐标是( )
A．(－3，－2,3)
B．(－3,2，－3)
C．(－3,2,3)
D．(－3，－2，－3)
3．已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点， 并且 PA＝AD＝1，试建立适当的坐标系并写出向量M→N，D→C的坐标．
解析：如图所示，因为 PA＝AD＝AB＝1，且 PA⊥平面 ABCD， AD⊥AB，所以可设D→A＝e1，A→B＝e2，A→P＝e3，以{e1，e2，e3} 为基底建立空间直角坐标系 A-xyz. 因为D→C＝A→B＝e2，
B.34，34，34 D.23，23，23
解析：如图，由已知O→G＝34O→G1 ＝34(O→A＋A→G1) ＝34[O→A＋13(A→B＋A→C)] ＝34O→A＋14[(O→B－O→A)＋(O→C－O→A)] ＝14O→A＋14O→B＋14O→C， 从而 x＝y＝z＝14. 答案：A
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
1.空间向量基本定理的证明
剖析:(1)存在性:分四步,如图所示.
①平移:设 a,b,c 不共面,过点 O作 =a, =b, =c, =p;
②平行投影:过点 P 作直线 PP'∥OC,交平面 OAB 于点 P',在平
面 OAB 内过点 P'作 P'A'∥OB,P'B'∥OA,分别与直线 OA,OB 交于点
垂直,且长都为1个单位,那么这个基底叫做单位正交基底,用{i,j,k}
或{e1,e2,e3}表示.
(2)空间直角坐标系.在空间选定一点O和一个单位正交基底
{i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向画三条数轴:x轴、
y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,则建立了一个空间直角坐标系Oxyz,
点O叫原点,向量i,j,k都叫做坐标向量.
构成空间的一个基底.
其中真命题的个数是(
)
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:①②正确,③中,由平面向量的基本定理可知向量a,b,c共面,
故③为假命题.
答案:C
【做一做3】 设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,a=3i+2jk,b=-2i+4j+2k,则向量a,b的坐标分别是
.
答案:(3,2,-1),(-2,4,2)
三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.
4.设e1,e2,e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称
它们为单位正交基底),以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3
的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么,
对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O
空间向量的正交分解及其坐标表示、运算优秀课件
1 1 2 2 3 3
a b ; ( ab , a b , a b ) 1 1 2 2 3 3
a ; ( a ,a , a ) , ( R )
1 2 3
a b a b a b a b 11 2 2 3 3
ab / / ; a b , a b , a b ( R ) 1 12 23 3 ab /1 ab /2 ab /2 . 1 2 2
2 2 2 d ( 1 3 ) ( 0 3 ) ( 5 1 ) 2 9 . A , B
A
M
（2）到 A 、 B 两点距离相等的点 P(x , y , z) 的 坐标 x , y , z 满足的条件。
O
B
解：点 P(x , y , z) 到 A 、 B 的距离相等，则
2 2 2 2 2 2 ( x 3 )( y 3 )(1 z ) (1 x )( y 0 )(5 z ) ,
点O叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
二、向量的直角坐标表示
给定一个空间坐标系和向 量a ,且设i、j、k为坐标向量， 由空间向量基本定理，存在唯 一的有序实数组( x ,y ,z )使 =x i+ y j+ z k a 有序数组(x ,y ,z )叫做 a 在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.
x, y, z ，使得 p xa yb zc ，而这种表示式是唯一的.
把 a , b, c 叫做空间的一个基底, a, b, c 叫做基向量.
这样空间的有关问题就转化为了三个基向量的运算问 题,这将会使问题更容易处理,而且方向性强.
a b ; ( ab , a b , a b ) 1 1 2 2 3 3
a ; ( a ,a , a ) , ( R )
1 2 3
a b a b a b a b 11 2 2 3 3
ab / / ; a b , a b , a b ( R ) 1 12 23 3 ab /1 ab /2 ab /2 . 1 2 2
2 2 2 d ( 1 3 ) ( 0 3 ) ( 5 1 ) 2 9 . A , B
A
M
（2）到 A 、 B 两点距离相等的点 P(x , y , z) 的 坐标 x , y , z 满足的条件。
O
B
解：点 P(x , y , z) 到 A 、 B 的距离相等，则
2 2 2 2 2 2 ( x 3 )( y 3 )(1 z ) (1 x )( y 0 )(5 z ) ,
点O叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
二、向量的直角坐标表示
给定一个空间坐标系和向 量a ,且设i、j、k为坐标向量， 由空间向量基本定理，存在唯 一的有序实数组( x ,y ,z )使 =x i+ y j+ z k a 有序数组(x ,y ,z )叫做 a 在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.
x, y, z ，使得 p xa yb zc ，而这种表示式是唯一的.
把 a , b, c 叫做空间的一个基底, a, b, c 叫做基向量.
这样空间的有关问题就转化为了三个基向量的运算问 题,这将会使问题更容易处理,而且方向性强.
空间向量的正交分解及其坐标表示 .ppt
用基底表示向量
N向在量BaC，上b，，且c表空B示间N＝四2面NC体，，O设AA→BNC. 中M＝，→NaMO→，在A OA＝上bO，→，BOM＝＝Oc3→，MCA用，
解析：A→N＝－a＋13b＋23c， M→N＝－34a＋13b＋23c.
跟踪训练
＝b，O2→．P四＝棱c，锥EP、—FO分A别BC是的P底C和面P为B一的矩中形点，，设用aO→，Ab＝，ac，表O→示C
(1)(2)式为直线的向量表达式．
7．共面向量
(1)空间任意两个向量______；
(2)若向量a，b不共线，则a，b，c共面 ⇔______________，________________；
(3)若三个向量中有两个向量共线，则三个向量 ______．
7．(1)共面 (2)存在唯一实数对x、y
使c＝xa＋yb (3)共面
2．课本及我们研究所建坐标系均为右手系．
3．空间中任意一点P的坐标的确定方法：过P分别作三 个坐标平面的平行平面分别交坐标轴于A、B、C三点，x＝ OA，y＝OB，z＝OC，当OA与i方向相同时x＞0，反之x＜0， 同理可确定y、z.
祝
您
空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
1．掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任 意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而 且这种表示是唯一的．
2．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一 空间向量．
3．空间向量的基本定理及其推论．
基础梳理
C．a＋2b
D．a＋2c
基底的判断
设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c} 是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，② {x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以 作为空间的基底的向量组有( )
( 人教A版)空间向量的正交分解及其坐标表示课件 (共31张PPT)
解析：结合空间直角坐标系知选 C. 答案：C
2．O，A，B，C 为空间四点，且向量O→A，O→B，O→C不能构成空间的一个基底，
则( )
A.O→A，O→B，O→C共线
B.O→A， O→B共线
C.O→B，O→C共线
D．O，A，B，C 四点共面
解析：由O→A，O→B，O→C不能构成基底知O→A，O→B，O→C三向量共面，所以，O，A，
2．空间直角坐标系 以 e1，e2，e3 的公共起点 O 为 原点 ，分别 以 e1，e2，e3 的方向为 x 轴，y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系 O-xyz. 3．空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量 p，一定可以把它 平移 ，使它的起点与原点 O 重合，得
到向量O→P＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p
即 e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∴－x＋3xy＝＋2y＝，1， 2x－y＝－1.
此方程组无解．
∴O→A，O→B，O→C不共面，
∴{O→A，O→B，O→C}可作为空间的一个基底．
判断一组向量能否作为空间的基底的方法 (1)关键是要判断它们是否共面，如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果 存在一个向量可以用另外的向量线性表示，也不能构成基底； (2)如果从正面难以入手，常用反证法或是借助一些常见的几何图形帮助我们进行 判断； (3)用反证法证明时，要结合空间向量共面定理．
答案：D
探究二 用基底表示向量 [典例 2] 空间四边形 OABC 中，M，N 是△ABC，△OBC 的重心，设O→A＝a，O→B ＝b，O→C＝c，用向量 a，b，c 表示向量O→M，O→N，M→N. [解析] 如图，取 BC 中点 P，则 A，M，P，O，N，分别共线，连接 AP，OP. O→M＝O→A＋A→M＝a＋23A→P＝a＋23×12(A→B＋A→C) ＝a＋31(O→B－O→A)＋13(O→C－O→A) ＝a＋31b－13a＋31c－31a＝13a＋31b＋13c.
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件
3.1.4空间向量的正交分 解及其坐标表示
复习：平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1
e1＋2
e
。
2
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
类比：空间向量基本定理【P93】
如果e1, e 2, e 3 是空间三个不共面的向量，那么对于空间
内的任意一个向量 a ，有且只有一组实数x,y,z，使
a x e1 y e 2 z e 3 （ e1, e 2, e 3 叫做空间的一组基底）
D
A
例题：
已知空间四边形OABC，M、N，分别 是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段 MN三等分点，用向量OA，OB，OC表示 向量OQ和OP
O
M
Q
A
P
C
N
B
复习：平面向x2, y1 y2 ) z
x
a
类比：空间向量的坐标
y
x
a (x1 x2, y1 y2, z1 z2 )
例题：在棱长为2的正方体中，E和F为棱的
二等分点和四等分点
z
D1
F
C1
求：DF, BE 的坐标 A1
B1
E
D
A x
Cy B
复习：平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1
e1＋2
e
。
2
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
类比：空间向量基本定理【P93】
如果e1, e 2, e 3 是空间三个不共面的向量，那么对于空间
内的任意一个向量 a ，有且只有一组实数x,y,z，使
a x e1 y e 2 z e 3 （ e1, e 2, e 3 叫做空间的一组基底）
D
A
例题：
已知空间四边形OABC，M、N，分别 是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段 MN三等分点，用向量OA，OB，OC表示 向量OQ和OP
O
M
Q
A
P
C
N
B
复习：平面向x2, y1 y2 ) z
x
a
类比：空间向量的坐标
y
x
a (x1 x2, y1 y2, z1 z2 )
例题：在棱长为2的正方体中，E和F为棱的
二等分点和四等分点
z
D1
F
C1
求：DF, BE 的坐标 A1
B1
E
D
A x
Cy B
空间向量的正交分解及其坐标表示(共23张PPT)
新知探求 素养养成
知识点一 空间向量基本定理 如图(1)所示,已知 AB =a, AD =b, AA1 =c, AC1 =p.
问题 1:向量 p 如何用向量 a,b,c 表示? 答案:p= AB + AD + AA1 =a+b+c.
梳理 如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
课标要求
素养达成
1.理解空间向量基本定理,并能用 基本定理解决一些几何问题. 2.理解基底、基向量及向量的线性 组合的概念. 3.掌握空间向量的坐标表示,能在 适当的坐标系中写出向量的坐标.
通过对空间向量正交分解及其坐 标表示的学习,培养学生的思维能 力,提高学生的直观想象、空间思 维能力.
(3)用基底表示向量.
知识点二 空间向量的正交分解及其坐标表示
如图(2)所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,在AB,AD,AA1上分别取单位向量 e1,e2,e3.
问题 2:向量 AC1 如何用向量 e1,e2,e3 表示?
答案: AC1 = AB + BC + CC1 = AB + AD + AA1 =4e1+4e2+4e3.
解:能.假设 OA , OB , OC 共面, 根据向量共面的充要条件有 OA =x OB +y OC , 即 e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3) =(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3.
3x y 1,
所以
x
y
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
z
以 i, j, k 为单位正交基底
z
建立空间直角坐标系O—xyz
p P(x, y, z)
i, j,k 为基底 ( x, y, z)
p xi y j zk
k
O
i
j
x
y y 记 p (x, y, z)
x
OP ( x, y, z) P( x, y, z)
若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
反过来,如果已知 OP xOA yOB ,且 x y 1 , 那么 A 、B 、P 三点共线吗?
学习共面
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A
a
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
使 AP xa yb .
O
∴点 P 在平面 上 ∴ 唯一有序实数对(x, y), 使 AP xa yb ①
⑵∵已知点 B 、C 在平面 内且 AB a , AC b
∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对(x, y), 使 AP xAB yAC ②
⑶∵已知点 B 、C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ∴点 P 在平面 上
3.中点坐标公式
x1 x2 y1 y2 z1z2 x12 y12 z12 x22 y22 z22
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
《3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示》教学课件
(2)平行投影：过点P作直线PP′平行于OC，交平面OAB于点 P′；在平面OAB内，过点P′作直线P′A′∥OB，P′B′∥OA， 分别与直线OA，OB相交于点A′，B′.
(3)表示：存在三个实数x，y，z，使 OA xOA xa，
OB yOB yb， PP zOC zc.
答案:两两垂直
(3)根据已建立的空间直角坐标系知A(0,0,0),C1(2,2,1),
D1(0,2,1),则 AD1 的坐标为(0,2,1), AC1 的坐标为(2,2,1).
答案:(0,2,1) (2,2,1)
【要点探究】 知识点1 空间向量基本定理
空间向量基本定理的三个关注点: (1)空间任意向量:用空间三个不共面的向量a,b,c可以线性表 示出空间中任意一个向量,而且表示的结果是惟一的. (2)基底的选取:空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向 量的一个基底.
)
①三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面;
②若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个
基底,则a,b共线;
③若a,b是两个不共线的向量,而c=λ a+μ}构成空间的一个基底.
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基 底.( ) )
(2)向量 AP 的坐标与点P的坐标一致.(
(3)对于三个不共面向量a1,a2,a3,不存在实数组{λ 1,λ 2,λ 3} 使0=λ 1a1+λ 2a2+λ 3a3.( )
【微思考】
(1)空间向量的基底与基向量是同一概念吗?
提示:不是.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的
空间向量的正交分解及坐标表示PPT课件
3x y 1,
所以
x
y
2,
此方程组无解.
2x y 1.
所以 OA , OB , OC 不共面. 所以 OA , OB , OC 可构成空间的一个基底.
第16页/共42页
四、学后反思
1、知识点：
2、问题探究过程的思路剖析： [课下探究] 空间向量基本定理与课本95页“思考“栏目中 的第二问题有什么联系？你有何体会？
记作 p =(x,y,z)
PP k
i Oj
y
空间向量 p
i, j, k 为基底
P′
一一对应
x 有序实数组 (x, y, z)
p xi y j zk
第11页/共42页
练习. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以A为坐标原点，以 AB,AD,AA1为x轴、y 轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，设向量 ， ，为x轴、y轴、z轴正方向的单位向
23
2
1 OA 1 1 (OB OC ) 3 32
第14页/共42页
练习 .空间四边形OABC
中,OA=a,OB=b,OC=c
点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的
M
O中点,则 MN=(
).
(A)
1 2
a
－
2 3
b
+
1 2
c
(B)－
2 3
a
+
1 2
b+
1 2
c
A
C N
(C)
1 2
a
+
12b －
解：设正方体的棱长为1，如图建
D1
F1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
《空间向量的正交分解及其坐标表示》课件
e2
二、空间向量的直角坐标系
x
y
z
O
e1
e2
e3
给定一个空间坐标系和向量 ,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3
分析:能否作为空间的基底,即是判断给出的向量组中的三个向量是否共面,由于 是不共面的向量,所以可以构造一个平行六面体直观判断
A1
A
D1
C1
B1
D
C
B
设 ,易判断出答案
C
二、空间直角坐标系
单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用 e1 , e2 , e3 表示
A
B
C
D
A1
B1
D1
C1
M
N
A
B
C
D
A1
B1
D1
C1
M
N
解:
连AN,
则 MN=MA+AN
MA=－ AC =－ (a+b)
1
3
1
3
AN=AD+
= (－a + b + c )
1
3
∴MN= MA+AN
例1
平行六面体中,若MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.
探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的结 论吗？
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
一、空间向量基本定理：
如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}，使
314空间向量的正交分解及其坐标表示精品PPT课件
使得. OQ xi+yj
从而OP OQ zk=xi+yj+zk.
k O
j
P
y
i
x
Q
如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空 间任一个向量p，存在一个有序实数组使得 p=xi+yj+zk.我们称xi,yj,zk为向量p在i,j,k 上的分向量。
z
k O
j
P
y
i
x
Q
一、空间向量基本定理:
如果三个向量 a 、b 、c 不共面,那么对于空间任一向
d AB | AB | ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
4.设 A (x1 , y1 , z1 ), B (x2 , y2 , z2 )
则 AB ＝
，AB
．
AB的中点M的坐标为
．
例1.设 a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．
(1)若(k a ＋ b )∥( a－3 b)，求 k；
则 E(1 , 1 , 1 ) ， F (1 , 1 , 1)
2
22
所以 EF ( 1 , 1 , 1 ) ， 2 22
又 A1(1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ，
所以 所以
DA1 EF
(1 , 0 DA1
, 1) ( 12ຫໍສະໝຸດ ,1 2,
1 2
)
(1
,
0
,
1)
0
，
因此 EF DA1 ，即 EF DA1
练习1: 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,M , N 分 别是 AB, PC 的中点,并且 PA AD ,求证:MN 平面PDC
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件(共20张ppt)
一对实数λ 1，λ 2，使a＝λ 1e1＋λ 2e2.
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底）
平面向量的正交分解及坐标表示
y
a
a xi y j
i (1, 0), j (0,1), 0 (0, 0).
j
oi
x
1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决 一些几何问题.（重点）
A．(14，14，14) B．(34，34，34)
111
222
C．(3，3，3) D．(3，3，3)
2. 设x = a + b,y = b + c,z = c + a,且a,b,c
是空间的一个基底,给出下列向量组
①a,b,x; ②x,y,z; ③b,c,z; ④x,y,a + b + c.Βιβλιοθήκη 其中可以作为空间的基底的向量组
每一个成功者都有一个开始.勇于开始， 才能找到成功的路.
4．已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，
且OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示向量MN为 ( C )
A.1 a + 1 b + 1 c 222
C．- 1 a + 1 b + 1 c 222
B.1 a - 1 b + 1 c 222
D.- 1 a + 1 b - 1 c 222
2.用基底表示已知向量.(难点) 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 4.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系
中写出向量的坐标.
探究点1 空间向量基本定理
如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，
且有公共起点O.对于空间任意一个向量p = OP,
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
(2)空间向量的坐标表示
以e1，e2，e3的 公共起点O 为原点，分别以e1，e2，
e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系
Oxyz. 对于空间任意一个向量p，一定可以把它 平移 ，使
它的 起点 与原点O重合，得到向量 OP ＝p.由空间向量基
本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝
[一点通] 用坐标表示空间向量的方法与步骤:
xe1＋ye2＋ze3 .把 x，y，z 称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐源自，记作p＝(x，y，．z)
1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量 的一个基底．
2. 0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向 量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.
3.一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底 中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
EF ＝12CB＝12OA＝12a.
[一点通] 用基底表示空间向量一般要用到向量的加 法、减法、数乘的运算，包括平行四边形法则及三角形法 则．
[例 3] 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M,N 分别是 AB,PC 的中 点，并且 PA＝AD＝1.在如图所示的空 间直角坐标系中，求向量 MN 的坐标．
[思路点拨] 把 MN 写成 xe1＋ye2＋ze3 的形式即可得向量 的坐标．
[精解详析] 因为 PA＝AD＝AB＝1， 所以可设 AB＝e1， AD＝e2， AP ＝e3. 因为 MN ＝ MA＋ AP＋ PN ＝ MA＋ AP＋12 PC ＝ MA＋ AP＋12( PA＋ AD＋ DC )＝－12 AB＋ AP＋12 (－ AP＋ AD＋ AB)＝12 AP＋12 AD＝12e3＋12e2, ∴ MN ＝(0，12，12)．
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
设平面 AEF 的法向量为 n＝(x，y，z)，
n·A→E＝ 3x＝0， 则n·A→F＝ 23x＋12y＋z＝0，
不妨取 n＝(0,2，－1)．
因为点 M 在线段 A1D 上，AA11MD＝λ，所以A→1M＝λA→1D， 得C→M＝C→A1＋λA→1D＝(－ 3，－1,2)＋λ(0,2，－2)＝(－ 3，2λ－1,2－2λ)． 因为 CM∥平面 AEF，所以C→M⊥n，从而C→M·n＝0，即 2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，
＝49＋
12454＋14＝112454，所以|G→E|＝5125.
空间中的平行与垂直关系 (南京、盐城二模)如图，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面四边形 ABCD 为菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝π3，E，F 分别是 BC，A1C 的中点． (1) 求异面直线 EF，AD 所成角的余弦值；
课堂导学 空间向量的基本运算 已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，SA⊥底面 ABCD，SA＝2，设 G 是△ABC 的重心，E 是 SD 上的一点，且 SE＝3ED. (1) 试用基底{A→B，A→D，A→S}表示向量G→E； 【解答】 连接 AG 并延长，交 BC 于 F，则 F 是 BC 的中点， 则G→E＝A→E－A→G＝(A→S＋S→E)－23A→F＝A→S＋34S→D－13(A→B＋A→C)＝A→S ＋34(A→D－A→S)－13(A→B＋A→B＋A→D)＝－23A→B＋152A→D＋14A→S.
解得 λ＝23.
用向量方法解决综合问题 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PC⊥平面 ABCD， AB∥DC，DC⊥AC，PC＝AC＝AB＝2，CD＝12AB. (1) 求证：DC⊥平面 PAC. 【分析】(1) 要证 DC⊥平面 PAC，只要证明D→C与平面 PAC 的法向量平行即可； (2) 要证明平面 PAB⊥平面 PAC，只要证明两个平面的法向量垂直即可；(3) 若能证 明P→A与平面 CEF 的法向量垂直，则问题解决．
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b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底． 解析：假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ
使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底，∴a、b、c不共面，
1＝μ ∴1＝λ
0＝λ＋μ
此方程组无解．
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面， ∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
ABCD，AD⊥AB，所以可设
→ DA
＝e1，A→B
＝e2，A→P
＝e3.
以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系 Axyz. 因为M→N＝M→A＋A→P＋P→N＝M→A＋A→P＋12P→C ＝M→A＋A→P＋12(P→A＋A→D＋D→C) ＝－12e2＋e3＋12(－e3－e1＋e2) ＝－12e1＋12e3，
所以M→N＝－12，0，21，D→C＝(0,1,0)．
3．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(2,3，－1)， 求p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标．
答案：(－1,4，－1)
1．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个 基底．
2．课本及我们研究所建坐标系均为右手系．
3．空间中任意一点P的坐标的确定方法：过P分别作三 个坐标平面的平行平面分别交坐标轴于A、B、C三点，x＝ OA，y＝OB，z＝OC，当OA与i方向相同时x＞0，反之x＜0， 同理可确定y、z.
(1)(2)式为直线的向量表达式．
7．共面向量
(1)空间任意两个向量______；
(2)若向量a，b不共线，则a，b，c共面 ⇔______________，________________；
(3)若三个向量中有两个向量共线，则三个向量 ______．
7．(1)共面 (2)存在唯一实数对x、y
使c＝xa＋yb (3)共面
5．推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间
任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使
O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C.
6．三点共线：对空间任一点O，若点P在直线AB上 (或P、A、B三点共线)，则：
(1)O→P＝O→A＋λA→B，λ∈R； (2)O→P＝O→A＋ta，t∈R，a 为直线 AB 的方向向量； (3)O→P＝xO→A＋yO→B(其中 x＋y＝1)．
用基底表示向量
N向在量BaC，上b，，且c表空B示间N＝四2面NC体，，O设AA→BNC. 中M＝，→NaMO→，在A OA＝上bO，→，BOM＝＝Oc3→，MCA用，
解析：A→N＝－a＋13b＋23c， M→N＝－34a＋13b＋23c.
＝b，O2→．P四＝棱c，锥EP、—FO分A别BC是的P底C和面P为B一的矩中形点，，设用aO→，Ab＝，ac，表O→示C
B→F、B→E、A→E、E→F.
答案：B→F＝－12a－12b＋12c； B→E＝－a－12b＋12c； A→E＝－a＋12b＋12c； E→F＝12a.
用坐标表示空间向量
已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N
分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1，求向量
→ MN
、D→C
的坐标．
解析：如图所示，因为PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面
解析：如图所示，设 a＝A→B，b＝A→A1，c＝A→D， 则 x＝AB1，y＝A→D1，z＝A→C，a＋b＋c＝A→C1，由 A、 B1、D1、C 四点不共面，可知向量 x、y、z 也不共面． 同理可知 b、c、z 和 x、y、a＋b＋c 也不共面．
答案：C
1．若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，
②空间中的任何一个向量都可用基向量a，b，c表示
③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表 示
④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表 示
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
2．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以 与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( D )
A．a
B．b
方向建立空间直角坐标系Oxyz.对于空间任意一个向量p，一
定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量
→ OP
＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，
使得___p_＝__xe_1_＋__y_e_2＋__z_e_3__，把x，y，z称作向量p在单位正交
基底e1、e2、e3下的坐标，记作p＝(_x_，__y_，__z_) .
C．a＋2b
D．a＋2c
基底的判断
设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c} 是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，② {x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以 作为空间的基底的向量组有( )来自A．1个B．2个
C．3个
D．4个
分析：能否作为空间的基底，即判断给出的向量组中 的三个向量是否共面．由于a、b、c是不共面向量，所以 可以构造图形，利用平行六面体中从某一点出发的三条棱 所对应的向量与相应面上的对角线所对应的向量的关系直 观判断．
3．如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么 这个基底叫做________．
1．p＝xa＋yb＋zc
2．{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R} 基底 基向量
3．正交基底
4．设e1、e2、e3为有公共起点O的三个两两互相垂直的
单位向量，称这个基底为单位正交基底，以e1、e2、e3的公共
起点O为原点，分别以e1、e2、e3的方向为x轴、y轴、z轴的正
空间向量的正交分解及其坐标表示
1．空间向量的基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p， 存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}，使得__________．
2．若三向量a，b，c不共面，那么空间的任一向量都可 由a，b，c线性表示，所有空间向量组成的集合就是 ______________________，把{a，b，c}叫做空间的一个 __________，a，b，c叫做________．
8．四点共面：对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C， 若 P、A、B、C 四点共面， 则：
(1)A→P＝xA→B＋yA→C，(x，y∈R) (2)O→P＝O→A＋xA→B＋yA→C(x，y∈R)； (3)O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C(其中 x＋y＋z＝1)．
1．下列命题中真命题的个数是( C ) ①空间中的任何一个向量都可用a，b，c表示
使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底，∴a、b、c不共面，
1＝μ ∴1＝λ
0＝λ＋μ
此方程组无解．
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面， ∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
ABCD，AD⊥AB，所以可设
→ DA
＝e1，A→B
＝e2，A→P
＝e3.
以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系 Axyz. 因为M→N＝M→A＋A→P＋P→N＝M→A＋A→P＋12P→C ＝M→A＋A→P＋12(P→A＋A→D＋D→C) ＝－12e2＋e3＋12(－e3－e1＋e2) ＝－12e1＋12e3，
所以M→N＝－12，0，21，D→C＝(0,1,0)．
3．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(2,3，－1)， 求p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标．
答案：(－1,4，－1)
1．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个 基底．
2．课本及我们研究所建坐标系均为右手系．
3．空间中任意一点P的坐标的确定方法：过P分别作三 个坐标平面的平行平面分别交坐标轴于A、B、C三点，x＝ OA，y＝OB，z＝OC，当OA与i方向相同时x＞0，反之x＜0， 同理可确定y、z.
(1)(2)式为直线的向量表达式．
7．共面向量
(1)空间任意两个向量______；
(2)若向量a，b不共线，则a，b，c共面 ⇔______________，________________；
(3)若三个向量中有两个向量共线，则三个向量 ______．
7．(1)共面 (2)存在唯一实数对x、y
使c＝xa＋yb (3)共面
5．推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间
任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使
O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C.
6．三点共线：对空间任一点O，若点P在直线AB上 (或P、A、B三点共线)，则：
(1)O→P＝O→A＋λA→B，λ∈R； (2)O→P＝O→A＋ta，t∈R，a 为直线 AB 的方向向量； (3)O→P＝xO→A＋yO→B(其中 x＋y＝1)．
用基底表示向量
N向在量BaC，上b，，且c表空B示间N＝四2面NC体，，O设AA→BNC. 中M＝，→NaMO→，在A OA＝上bO，→，BOM＝＝Oc3→，MCA用，
解析：A→N＝－a＋13b＋23c， M→N＝－34a＋13b＋23c.
＝b，O2→．P四＝棱c，锥EP、—FO分A别BC是的P底C和面P为B一的矩中形点，，设用aO→，Ab＝，ac，表O→示C
B→F、B→E、A→E、E→F.
答案：B→F＝－12a－12b＋12c； B→E＝－a－12b＋12c； A→E＝－a＋12b＋12c； E→F＝12a.
用坐标表示空间向量
已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N
分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1，求向量
→ MN
、D→C
的坐标．
解析：如图所示，因为PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面
解析：如图所示，设 a＝A→B，b＝A→A1，c＝A→D， 则 x＝AB1，y＝A→D1，z＝A→C，a＋b＋c＝A→C1，由 A、 B1、D1、C 四点不共面，可知向量 x、y、z 也不共面． 同理可知 b、c、z 和 x、y、a＋b＋c 也不共面．
答案：C
1．若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，
②空间中的任何一个向量都可用基向量a，b，c表示
③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表 示
④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表 示
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
2．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以 与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( D )
A．a
B．b
方向建立空间直角坐标系Oxyz.对于空间任意一个向量p，一
定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量
→ OP
＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，
使得___p_＝__xe_1_＋__y_e_2＋__z_e_3__，把x，y，z称作向量p在单位正交
基底e1、e2、e3下的坐标，记作p＝(_x_，__y_，__z_) .
C．a＋2b
D．a＋2c
基底的判断
设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c} 是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，② {x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以 作为空间的基底的向量组有( )来自A．1个B．2个
C．3个
D．4个
分析：能否作为空间的基底，即判断给出的向量组中 的三个向量是否共面．由于a、b、c是不共面向量，所以 可以构造图形，利用平行六面体中从某一点出发的三条棱 所对应的向量与相应面上的对角线所对应的向量的关系直 观判断．
3．如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么 这个基底叫做________．
1．p＝xa＋yb＋zc
2．{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R} 基底 基向量
3．正交基底
4．设e1、e2、e3为有公共起点O的三个两两互相垂直的
单位向量，称这个基底为单位正交基底，以e1、e2、e3的公共
起点O为原点，分别以e1、e2、e3的方向为x轴、y轴、z轴的正
空间向量的正交分解及其坐标表示
1．空间向量的基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p， 存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}，使得__________．
2．若三向量a，b，c不共面，那么空间的任一向量都可 由a，b，c线性表示，所有空间向量组成的集合就是 ______________________，把{a，b，c}叫做空间的一个 __________，a，b，c叫做________．
8．四点共面：对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C， 若 P、A、B、C 四点共面， 则：
(1)A→P＝xA→B＋yA→C，(x，y∈R) (2)O→P＝O→A＋xA→B＋yA→C(x，y∈R)； (3)O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C(其中 x＋y＋z＝1)．
1．下列命题中真命题的个数是( C ) ①空间中的任何一个向量都可用a，b，c表示