图论1-3藏习题解答

设 G1 是 G 的边划分中的一个圈。若 G 仅由此圈组成，则 G 显然是回路。否则，由于 G 连通， 所以，必然存源自文库圈 C2,它和 C1 有公共顶点。于是，C1∪C2 是一条含有 C1 与 C2 的边的欧拉回路，如此 拼接下去，得到包含 G 的所有边的一条回路. 算法能否用来求：
赋权连通图中的最大权值的树 赋权图中的最小权的最大森林如果可以，怎样实现 解：（1）不能，Kruskal 算法得到的任何生成树一定是最小生成树。
证明：若 e 为 G 的割边，则(G e) (G) 1 ，若 e 为 G 的非割边，则(G e) (G)，所以，
若 e E(G) ，则有(G) (G e) (G) 1.
习题 2 1.证明：每棵恰有两个 1 度顶点的树均是路。
证明：设树 T 为任意一个恰有两个 1 度顶点的树，则 T 是连通的，且无圈，令 V1、V2 为度为 1 的顶点，由于其他的顶点度数均为 0 或者 2，且 T 中无圈，则从 V1 到 V2 有且只有一条连通路。所 以，每棵恰有两个 1 度顶点的树均是路。得证。 9.证明：顶点度数为偶数的连通图本身可构成一个包含所有边的回路。
的路上，则与已知矛盾， 是块。
7.证明：若 v 是简单图 G 的一个割点，则 v 不是补图 的割点。
证明： 是单图 的割点，则
有两个连通分支。现任取
, 如果 不
在
的同一分支中，令 是与 处于不同分支的点，那么， 与 在
m=1 ：
m=2：
m=3：
m=4：
m=5：
m=6：
因为四个顶点的简单图最多就是具有 6 条边，上面所列出的情形是在不同边的条件下的不同构 的情形，则从上面穷举出的情况可以看出四个顶点的非同构简单图有 11 个。 11.证明：序列（7,6,5,4,3,3,2）和（6,6,5,4,3,3,1）不是图序列。
1.证明： 是连通图 G 的割边当且仅当 V(G)可划分为两个子集 V1 和 V2，使对任意
及
,
G 中的路
必含 .
证明：充分性: 是 的割边，故
至少含有两个连通分支，设 是其中一个连通分支的
顶点集， 是其余分支的顶点集，对 u V1,v V2 ，因为 中的
所以 在每一条
路上， 中的
必含 。
不连通，而在 中 与 连通，
（2）可以，步骤如下：
步骤一：选择边 e1，是的(e1) 尽可能小；
步骤二：若已选定边 e1, e2 ,..., ei ，则从 E \ {e1, e2 ,...ei} 选取 ei1 ，使
G[{e1, e2 ,...ei1}] 为无圈图
(ei1) 是满足 a 的尽可能小的权；
步骤三：当步骤二不能继续执行时停止； 习题 3
证明：证明：由于 G 是连通非平凡的且每个顶点度数为偶数，所以 G 中至少存在圈 C1,从 G 中 去掉 C1 中的边，得到 G 的生成子图 G1,若 G1 没有边，则 G 的边集合能划分为圈。否则，G1 的每个非 平凡分支是度数为偶数的连通图，于是又可以抽取一个圈。E(G)反复这样抽取，最终划分为若干圈。
证明 只就连通图证明即可。设 V(G)=｛v1,v2,…,vn｝,对于 G 中的路 v1v2…vk,若 vk 与 v1 邻接，则构成一个圈。若 vi1vi2…vin 是一条路，由于?? 2，因此，对 vin，存在点 vik 与之邻接， 则 vik?vinvik 构成一个圈 。
17.证明：若 G 不连通，则 G 连通。
不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如 不在 上，由定理， 的两点在同一个闭路上，在 边
插入一个点 v，由此得到新图 ，显然 的是阶数大于 3 的块，则两条边的三个不同点在同一条路 上。
(3)→ (1)：
连通，若 不是块，则 中存在着割点 ，划分为不同的子集块 , , , 无环，
x v1, y v2 ，点 在每一条
学号：0441 姓名：张倩 习题 1 4．证明图 1-28 中的两图是同构的
证明：将图 1-28 的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图
v1
u1
v2
v6
v10 v5
v7
v8 v9
v3
v4 (a)
u6 u5
u2
u8
u10
u3
u7
u9
u4
(b)
作映射 f : f(vi)?ui (1? i ? 10) 容易证明，对?vivj?E((a)),有 f(vivj)?uiuj?E((b)) (1? i ? 10, 1?j? 10 ) 由图的同构定义知，图 1-27 的两个图是同构的。 5.证明：四个顶点的非同构简单图有 11 个。 证明：设四个顶点中边的个数为 m，则有： m=0:
必要性：取 u V1, v V2 ，由假设 中所有 与到 的路，这表明 不连通，所以 e 是割边。
路均含有边 ，从而在
中不存在从
3.设 G 是阶大于 2 的连通图，证明下列命题等价： (1)G 是块 (2)G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上； (3)G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。
证明：由于 7 个顶点的简单图的最大度不会超过 6，因此序列（7,6,5,4,3,3,2）不是图序列； （6,6,5,4,3,3,1）是图序列
1= d2 1, d3 1, , dd11 1, dd12, , dn 是图序列
（5,4,3,2,2,0）是图序列，然而（5,4,3,2,2,0）不是图序列，所以（6,6,5,4,3,3,1）不是 图序列。 12.证明：若 δ≥2，则 G 包含圈。
(1)→ (2)： 是块，任取 的一点 ，一边 ，在 边插入一点 ，使得 成为两条边，由此得到新图 ，显
然 的是阶数大于 3 的块，由定理， 中的 u,v 位于同一个圈上，于是 中 u 与边 都位于同一个 圈上。
(2)→ (3)：
无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取 的点 u，边 e，若 在 上，则三个
_
_
证明 对 u,v V (G) ,若 u 与 v 属于 G 的不同连通分支，显然 u 与 v 在 G 中连通；若 u 与 v 属
_
于 g 的同一连通分支，设 w 为 G 的另一个连通分支中的一个顶点，则 u 与 w，v 与 w 分别在 G 中连
_
通，因此，u 与 v 在 G 中连通。
18.证明：若 e E(G) ,则(G) (G e) (G) 1.