杆的纵向受迫振动
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振动力学
连续系统振动
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连续系统振动
1 2 3 4 5 6 7 杆的纵向振动 杆的纵向受迫振动 梁的横向自由振动 梁的横向受迫振动 转动惯量、剪切变形对梁振动的影响 轴向力作用对梁的横向振动的影响 梁横向振动的近似解法
目录
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连续系统振动
1 杆的纵向振动
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1 杆的纵向振动
1.1等直杆的纵向振动 1.2固有频率和主振型 1.3主振型的正交性
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1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
2 2u 2 u a 2 t x2
解可以用x的函数U(x)与t的谐函数的乘积表示，即
u( x, t ) U ( x)( A cos pt B sin pt )
即为杆的主振动的一般形式。
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1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
物理本质上及振动的基本概念、分析方法上与有限多个自由度
是相似的。
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1 杆的纵向振动
1.1等直杆的纵向振动
均质等截面细直杆，长为l，单位长度的质量为 ，横截 面积为A，材料的弹性模量为E,如图所示。 设杆在纵向分布力q(x,t)的作用下作纵向振动时，其横截 面保持为平面，并且不计横向变形。 以杆的纵向作为x轴，在杆上x处取微元段dx
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1 杆的纵向振动
1.1等直杆的纵向振动
以杆的纵向作为x轴，在杆上x处取微元段dx，其左端纵向位 移为u(x)，而右端即杆上x+dx处的纵向位移为 u u d x
x
dx段的变形为
u dx x
u 应变为 x
应力为
u N E E A x
u N EA x
2 2u u 2 a 2 t x2
振型函数
代入
振动规律
u( x, t ) U ( x)( A cos pt B sin pt )
d 2 U ( x) p 2 2 U ( x) 0 2 dx a
杆有无穷多个自由度系统，振型 不再是折线而变成一条连续曲线。
当U(x)具有非零解，而且符合杆端边界条件的情况下， 求解值 p2及振型函数U(x)称为杆作纵向振动的特征值问题。 p2为特征值，U(x)又称为特征函数或主振型；而p是固有频 率。
U i ( x) Di sin
iπ x l
(i 1,2, )
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1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
pi
ia π l
(i 1,2, )
U i ( x) Di sin
iπ x l
(i 1,2, )
分别令i =1,2,3，可得系统的前三阶 固有频率和相应的主振型为
aπ π , U 1 ( x) D1 sin x ; l l 2a π 2π p2 , U 2 ( x) D2 sin x; l l 3a π 3π p3 , U 3 ( x) D3 sin x. l l p1
1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
2u E 2u 1 ( ) 2 q( x, t ) 2 x A t
q( x, t ) 0
得到杆的纵向自由振动微分方程为
2 2u 2 u a 2 t x2
系统是无阻尼的，因此可象解有限多个自由度系统那样 ，假设一个主振动模态即设系统按某一主振型振动时，其 上所有质点都做简谐运动。 可见杆上所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极 限位置。
杆的前三阶主振型表示如图所示。
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1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
2. 杆的左端固定，右端自由的情况 边界条件为
U ( x) C cos
px px D sin a a
dFra Baidu bibliotek U ( 0) 0 , dx
x l
0
C 0,
p p D cos x 0 a a
p cos l 0 a
2u u A 2 ( EA ) q( x, t ) t x x
2u E 2u 1 ( ) 2 q( x, t ) EA是常数，可写成 2 x A t
这是杆作纵向受迫振动方程， 常称为波动方程。
E 表示弹性波 a 沿杆的纵向 传播的速度
2
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1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
d 2 U ( x) p 2 2 U ( x) 0 2 dx a
解可表示为
px px U ( x) C cos D sin a a
由杆的边界条件，可以确定p2值及振型函数U(x)。
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1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
现在来确定各种简单边界条件下杆的固有频率和主振型
U ( x) C cos px px D sin a a
1. 杆两端固定的情况 边界条件为
U (0) 0 , U (l ) 0
sin
C0 , D sin p l0 a
p l0 a
即两端固定杆的频率方程。由此解出固有频率为
ia π pi l (i 1,2, )
相应的主振型为
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1 杆的纵向振动
1.1等直杆的纵向振动
实际的振动系统，都具有连续分布的质量与弹性，因此， 称之为弹性体系统。 同时符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性服从 虎克定律。 由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因 此弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间 和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但是在
即为一端固定，一端自由杆的频率方程。 解出固有频率为 2i 1 π
pi 2l a
i 1,2,
相应的主振型为
U i ( x) Di sin
2i 1 π x
2l
i 1,2,
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1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
3. 杆的两端都是自由的情况 边界条件为
N是x处轴的内力
N u ( EA ) x x x
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1 杆的纵向振动
1.1等直杆的纵向振动
微元段dx受力如图。根据牛顿 第二定律得到
2u N A d x 2 ( N d x) N q( x, t ) d x x t N u 2 ( EA ) u N x x x A 2 q( x, t ) x t
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1 2 3 4 5 6 7 杆的纵向振动 杆的纵向受迫振动 梁的横向自由振动 梁的横向受迫振动 转动惯量、剪切变形对梁振动的影响 轴向力作用对梁的横向振动的影响 梁横向振动的近似解法
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1.2固有频率和主振型
2 2u 2 u a 2 t x2
解可以用x的函数U(x)与t的谐函数的乘积表示，即
u( x, t ) U ( x)( A cos pt B sin pt )
即为杆的主振动的一般形式。
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1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
物理本质上及振动的基本概念、分析方法上与有限多个自由度
是相似的。
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1.1等直杆的纵向振动
均质等截面细直杆，长为l，单位长度的质量为 ，横截 面积为A，材料的弹性模量为E,如图所示。 设杆在纵向分布力q(x,t)的作用下作纵向振动时，其横截 面保持为平面，并且不计横向变形。 以杆的纵向作为x轴，在杆上x处取微元段dx
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1.1等直杆的纵向振动
以杆的纵向作为x轴，在杆上x处取微元段dx，其左端纵向位 移为u(x)，而右端即杆上x+dx处的纵向位移为 u u d x
x
dx段的变形为
u dx x
u 应变为 x
应力为
u N E E A x
u N EA x
2 2u u 2 a 2 t x2
振型函数
代入
振动规律
u( x, t ) U ( x)( A cos pt B sin pt )
d 2 U ( x) p 2 2 U ( x) 0 2 dx a
杆有无穷多个自由度系统，振型 不再是折线而变成一条连续曲线。
当U(x)具有非零解，而且符合杆端边界条件的情况下， 求解值 p2及振型函数U(x)称为杆作纵向振动的特征值问题。 p2为特征值，U(x)又称为特征函数或主振型；而p是固有频 率。
U i ( x) Di sin
iπ x l
(i 1,2, )
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1.2固有频率和主振型
pi
ia π l
(i 1,2, )
U i ( x) Di sin
iπ x l
(i 1,2, )
分别令i =1,2,3，可得系统的前三阶 固有频率和相应的主振型为
aπ π , U 1 ( x) D1 sin x ; l l 2a π 2π p2 , U 2 ( x) D2 sin x; l l 3a π 3π p3 , U 3 ( x) D3 sin x. l l p1
1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
2u E 2u 1 ( ) 2 q( x, t ) 2 x A t
q( x, t ) 0
得到杆的纵向自由振动微分方程为
2 2u 2 u a 2 t x2
系统是无阻尼的，因此可象解有限多个自由度系统那样 ，假设一个主振动模态即设系统按某一主振型振动时，其 上所有质点都做简谐运动。 可见杆上所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极 限位置。
杆的前三阶主振型表示如图所示。
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1.2固有频率和主振型
2. 杆的左端固定，右端自由的情况 边界条件为
U ( x) C cos
px px D sin a a
dFra Baidu bibliotek U ( 0) 0 , dx
x l
0
C 0,
p p D cos x 0 a a
p cos l 0 a
2u u A 2 ( EA ) q( x, t ) t x x
2u E 2u 1 ( ) 2 q( x, t ) EA是常数，可写成 2 x A t
这是杆作纵向受迫振动方程， 常称为波动方程。
E 表示弹性波 a 沿杆的纵向 传播的速度
2
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1.2固有频率和主振型
d 2 U ( x) p 2 2 U ( x) 0 2 dx a
解可表示为
px px U ( x) C cos D sin a a
由杆的边界条件，可以确定p2值及振型函数U(x)。
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现在来确定各种简单边界条件下杆的固有频率和主振型
U ( x) C cos px px D sin a a
1. 杆两端固定的情况 边界条件为
U (0) 0 , U (l ) 0
sin
C0 , D sin p l0 a
p l0 a
即两端固定杆的频率方程。由此解出固有频率为
ia π pi l (i 1,2, )
相应的主振型为
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1.1等直杆的纵向振动
实际的振动系统，都具有连续分布的质量与弹性，因此， 称之为弹性体系统。 同时符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性服从 虎克定律。 由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因 此弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间 和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但是在
即为一端固定，一端自由杆的频率方程。 解出固有频率为 2i 1 π
pi 2l a
i 1,2,
相应的主振型为
U i ( x) Di sin
2i 1 π x
2l
i 1,2,
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1.2固有频率和主振型
3. 杆的两端都是自由的情况 边界条件为
N是x处轴的内力
N u ( EA ) x x x
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1.1等直杆的纵向振动
微元段dx受力如图。根据牛顿 第二定律得到
2u N A d x 2 ( N d x) N q( x, t ) d x x t N u 2 ( EA ) u N x x x A 2 q( x, t ) x t