排列组合环形排列问题专题讲解
小学数学排列组合题目解析与解题技巧
小学数学排列组合题目解析与解题技巧排列组合是数学中一个重要的概念，也是小学数学中的一个重要知识点。
掌握排列组合的解题技巧，可以帮助我们更好地解决相关题目。
本文将为大家详细解析小学数学排列组合题目，并提供解题技巧。
一、排列组合题目解析在小学数学中，排列组合题目大多是基于以下两个概念进行考察的：1. 排列：指的是从一组元素中选取若干个元素进行排列的方式。
当需要考虑元素的顺序时，就需要使用排列。
2. 组合：指的是从一组元素中选取若干个元素进行组合的方式。
当不需要考虑元素的顺序时，就可以使用组合。
接下来，我们通过一些具体的例题来解析排列组合的相关概念和解题技巧。
例题一：从1、2、3、4、5五个数字中任选两个数字，能够组成多少个不重复的两位数？解析：这是一个排列问题，我们要求的是选取两个数字进行排列，不同的排列方式构成了不同的两位数。
解题技巧：使用排列的计算公式n!/(n-r)!，其中n为总体样本数，r为选取的个数；"!"表示阶乘。
根据题目可知，n=5（因为有1、2、3、4、5五个数字），r=2（因为选取两个数字组成两位数）。
将这些值代入计算公式，得到结果：5! / (5-2)! = 5! / 3! = 5*4 = 20所以，能够组成20个不重复的两位数。
例题二：从1、2、3、4、5五个数字中任选三个数字，能够组成多少个和为偶数的组合？解析：这是一个组合问题，我们要求的是选取三个数字进行组合，使得组合的数字之和为偶数。
解题技巧：使用组合的计算公式n!/(r!(n-r)!)，其中n为总体样本数，r为选取的个数。
根据题目可知，n=5（因为有1、2、3、4、5五个数字），r=3（因为选取三个数字进行组合）。
将这些值代入计算公式，得到结果：5! / (3!(5-3)!) = 5! / (3!2!) = 5*4*3*2 / (3*2) = 10所以，能够组成10个和为偶数的组合。
二、解题技巧总结在解决小学数学排列组合题目时，我们可以总结以下解题技巧：1. 判断问题类型：首先要判断题目是排列问题还是组合问题。
排列组合问题解法总结
排列组合问题解法总结(总5页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除排列组合问题的常见解法一.元素相同问题隔板策略例1.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排．相邻名额之间形成９个空隙．在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法． 注：这和投信问题是不同的，投信问题的关键是信不同，邮筒也不同，而这里的问题是邮筒不同，但信是相同的．即班级不同，但名额都是一样的． 练习题：1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个有多少装法 49C2.100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 3103C二.环排问题直排策略如果在圆周上m 个不同的位置编上不同的号码，那么从n 个不同的元素的中选取m 个不同的元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从n 个不同的元素的中选取m 个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题．一个m 个元素的环形排列，相当于一个有m 个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个m 个元素的环形排列对应着m 个直线排列，设从n 个元素中取出m 个元素组成的环形排列数为N 个，则对应的直线排列数为mN 个，又因为从n 个元素中取出m 个元素的排成一排的排列数为mn A 个，所以m n mN A =，所以m n A N m=．即从n 个元素中取出m 个元素组成的环形排列数为m nA N m=．n 个元素的环形排列数为!(1)!n n A n N n n n===-例2. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(81)!7!-=种排法，即7!7654321840=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种A B C D E AE H G F练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 三.多排问题直排策略 例3.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,一班二班三班四班七班可以把椅子排成一排.先排前４个位置，２个特殊元素有24A 种排法,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A 种,则共有215445A A A 种排法．（排好后，按前４个为前排，后４人为后排分成两排即可）练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346解：由于甲乙二人不能相邻，所以前排第1,4,8,11四个位置和后排第１，１２位置是排甲乙中的一个时，与它相邻的位置只能排除一个，而其它位置要排除３个，所以共有排列11116181417108238346C C C C +=+= 四.排列组合混合问题先选后排策略例4.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种五.小集团问题先整体后局部策略例5.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数在1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？（注：两个偶数２，４在两个奇数１，５之间，这是题意，说这个结构不能被打破，故３只能排这个结构的外围，也就是说要把这个结构看成一个整体与３进行排列）． 解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法. 练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254254A A A2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A 种六.正难则反总体淘汰策略例6.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法．这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有35C ,只含有1个偶数的取法有1255C C ,和为偶数的取法共有123555C C C +．再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有1235559C C C +- 练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?七.平均分组问题除法策略例7. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解: 分三步取书得222642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF ，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则222642C C C 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有22264233C C C A 种分法．练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法（ 544138422C C C A ） 2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法 （1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______（2224262290C C A A =） 八. 合理分类与分步策略例8.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员．选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有2233C C 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员112534C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有2255C C 种，由分类计数原理共有 22112223353455C C C C C C C ++种．解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。
排列组合训练 知识点归纳、例题讲解、相应习题
一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一1.公式： 1.2. (1)(2)； (3)三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1.公式：①；②；③；④若四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
2．解排列、组合题的基本策略（1）两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。
这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
（2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。
注意：分类不重复不遗漏。
即：每两类的交集为空集，所有各（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。
在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。
其原则是先分类，后分步。
.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---=……规定：0!1=!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!!10=n C 规定：组合数性质：.2nn n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++= 注：12m m 1212m =m m +m n nn C C ==则或排列组合训练【知识点归纳】（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。
排列组合专题复习及经典例题详解
排列组合专题复习及经典例题详解1. 学习目标掌握排列、组合问题的解题策略2.重点（1）特殊元素优先安排的策略：（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略．3.难点综合运用解题策略解决问题．4.学习过程:(1)知识梳理1．分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类型办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法．2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……，做第n 步有n m 种不同的方法；那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯=...21种不同的方法．特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性； 分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏．3．排列：从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，n m <时叫做选排列，n m =时叫做全排列.4．排列数：从n 个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n P 表示.5．排列数公式：）、（+∈≤-=+---=N m n n m m n n m n n n n P m n ,)!(!)1)...(2)(1( 排列数具有的性质：11-++=m n m n m n mP P P 特别提醒：规定0!=16．组合：从n 个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同元素，组成一组，叫做从n 个不同元素中取m 个不同元素的一个组合.7．组合数：从n 个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数，用符号m n C 表示.8．组合数公式：)!(!!!)1)...(2)(1(m n m n m m n n n n P P C m m m n m n-=+---== 组合数的两个性质：①m n n m n C C -= ；②11-++=m nm n m n C C C 特别提醒：排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.(2)典型例题考点一:排列问题例1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.【解析】：(1)方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有14P 种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有55P 种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：)(4805514种=P P方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有25P 种站法，然后中间4人有44P 种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：（种）4804425=P P 方法三：若对甲没有限制条件共有66P 种站法，甲在两端共有552P 种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：)(48025566种=-P P （2）方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有55P 种站法，再把甲、乙进行全排列，有22P 种站法，根据分步乘法计数原理，共有)(2402255种=P P 方法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有44P 种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有15P 种方法，最后让甲、乙全排列，有22P 种方法，共有)(240221544种=P P P（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有44P 种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有25P 种站法，故共有站法为（种）4802544=P P 此外，也可用“间接法”，6个人全排列有66P 种站法，由（2）知甲、乙相邻有2402255=P P 种站法，所以不相邻的站法有)(480240720225566种=-=-P P P .（4）方法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有44P 种，然后将甲、乙按条件插入站队，有223P 种，故共有（种））（14432244=⨯P P 站法. 方法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有24P 种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有33P 种方法，最后对甲、乙进行排列，有22P 种方法，故共有（种）144223324=P P P 站法. （5）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有22P 种，再让其他4人在中间位置作全排列，有44P 种，根据分步乘法计数原理，共有（种）484422=P P 站法. 方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有22P 种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有44P 种站法，由分步乘法计数原理共有（种）484422=P P 站法. （6）方法一：甲在左端的站法有55P 种，乙在右端的站法有55P 种，甲在左端而且乙在右端的站法有44P 种，故甲不站左端、乙不站右端共有66P -255P +44P =504（种）站法.方法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有55P 种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙又不在右端有441414P P P 种，故共有55P +441414P P P =504（种）站法.考点二:组合问题 例2. 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.【解析】：（1）选法为（种）1202436=C C .（2）方法一：至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类计数原理可得总选法数为（种）2461644263436244614=+++C C C C C C C C . 方法二：因“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，故可用间接法求解.从10人中任选5人有510C 种选法，其中全是男运动员的选法有56C 种.所以“至少有1名女运动员”的选法（种）24656510=-C C . （3）方法一：可分类求解：“只有男队长”的选法为48C ；“只有女队长”的选法为48C ；“男、女队长都入选”的选法为38C ；所以共有248C +38C =196（种）选法.方法二：间接法：从10人中任选5人有510C 种选法.其中不选队长的方法有58C 种.所以“至少1名队长”的选法为510C -58C =196种.（4）当有女队长时，其他人任意选，共有49C 种选法；不选女队长时，必选男队长，共有48C 种选法，而且其中不含女运动员的选法有45C 种，所以不选女队长时的选法共有4548C C -种选法. 所以既有队长又有女运动员的选法共有191)(454849=-+C C C 种.考点三:综合问题例3.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？【解析】：（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有种14422132414=P C C C ；（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也就是说另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有24C 种方法；4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类： 第一类有序不均匀分组有8221134=P C C 种方法；第二类有序均匀分组有622222224=⨯P P C C 种方法. 故共有842222222422113424=⨯+）（P P C C P C C C 种. 当堂测试1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （ ）A.70 种B.80种C.100 种D.140 种【解析】：分为2男1女，和1男2女两大类，共有7024151425=+C C C C 种．解题策略：合理分类与准确分步的策略．2.2020年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事司机、导游、翻译、礼仪四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）A.48 种B.12种C.18种D.36种【解析】：合理分类，通过分析分为（1）小张和小赵恰有1人入选，先从两人中选1人，然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有24331212=P C C 种选法．（2）小张和小赵都入选，首先安排这两个人做前两项工作有222=P 种方法，然后在剩余的3人中选2人做后两项工作，有633=P 种方法．故共有363322331212=+P P P C C 种选法．解题策略：①.特殊元素优先安排的策略．②.合理分类与准确分步的策略．③.排列、组合混合问题先选后排的策略．3.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）A.48B.12C.180D.162【解析】：分为两大类：（1）含有0，分步：①从另外两个偶数中选一个，有12C 种方法，②.从3个奇数中选两个，有23C 种方法；③.给0安排一个位置，只能在个、十、百位上选，有13C 种方法；④.其他的3个数字进行全排列，有33P 种排法，根据乘法原理共有10833132312=P C C C 种方法．（2）不含0，分步：①偶数必然是2和4 ；②奇数有23C 种不同的选法，③然后把4个元素全排列，共44P 种排法，不含0 的排法有724423=P C 种．根据加法原理把两部分加一块得108+72=180个4.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A.150种B.180种C.300种D.345种【解析】：4人中恰有1名女同学的情况分为两种，即这1名女同学或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的选法共有345121625261315=+C C C C C C 种选法．解题策略：合理分类与准确分步的策略．5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ）A.6B.12C.30D.36【解析】：法一：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：⑴．甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有62224=C C 种．⑵．甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：①从4门中先任选一门作为相同的课程，有414=C 种选法，②甲从剩余的3门中任选1门，乙从最后剩余的2门中任选1门，有61213=C C 种选法，由分步计数原理此时共有24121314=C C C 种．最后由分类计数原理，甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种． 故选C ．法二：可以先让甲、乙任意选择两门，有362424=C C 种方法，然后再把两个人全相同的情况去掉，两个人全相同，可以将甲与乙看成为同一个人，从4门中任选两门有624=C 种选法，所以至少有一门不相同的选法为30242424=-C C C 种不同的选法． 解题策略：正难则反，等价转化的策略．6.用0 到9 这10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）A.324B.328C.360 D .648【解析】：第一类个位是0，共29P 种不同的排法；第二类个位不是0，共181814C C C 种不同的解法．故共有29P +181814C C C =328（个）．解题策略：合理分类与准确分步的策略.7.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的总数为（ ）A.85B.56C.49D.28【解析】：合理分类，甲、乙全被选中，有1722C C 种选法，甲、乙有一个被选中，有2712C C 种不同的选法，共1722C C +2712C C =49种不同的选法．解题策略：（1）特殊元素优先安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略.8.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（ ）A.4B.18C.24D.30【解析】：将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有24C 种不同的分法，然后三组进行全排列共33P 种不同的方法；最后再把甲、乙分到同一个班的情况排除掉，共33P 种不同的排法．所以总的排法为24C 33P -33P =30种．注意:这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题．解题策略：⑴.正难则反、等价转化的策略⑵.相邻问题捆绑处理的策略⑶.排列、组合混合问题先选后排的策略；解排列组合的应用题要注意以下几点：仔细审题，判断是排列还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步．深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑．对限制条件较复杂的排列组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决．由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用不同的方法求解．看看结果是否相同，在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏和重复．初夏早上六点，清亮透明的月儿还躲藏在云朵里，不忍离去，校园内行人稀少，我骑着单车，晃晃悠悠的耷拉着星松的睡眼。
数学高中排列组合讲解
数学高中排列组合讲解一、教学任务及对象1、教学任务本次教学任务是基于高中数学课程，针对排列组合的知识点进行深入讲解。
排列组合是组合数学的基础，对于培养学生的逻辑思维、抽象思维和问题解决能力具有重要意义。
通过本节课的学习，学生将掌握排列组合的基本原理，学会运用排列组合知识解决实际问题，为后续学习概率论打下坚实基础。
2、教学对象本次教学的对象为高中一年级学生，他们在之前的学习中已经掌握了基本的数学知识，如数学运算、方程、不等式等，具备一定的逻辑思维和抽象思维能力。
然而，排列组合作为一门新的知识点，对学生来说可能存在一定的难度。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，因材施教，使学生在轻松愉快的氛围中掌握排列组合知识。
同时，引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学素养和应用能力。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解排列组合的概念，掌握排列、组合的计算公式。
（2）能够运用排列组合知识解决实际问题，如计数问题、概率问题等。
（3）培养运用数学符号和术语进行表达、推理的能力。
（4）提高数学思维能力，尤其是逻辑思维和抽象思维能力。
2、过程与方法（1）通过实例引入排列组合的概念，引导学生发现规律，总结计算方法。
（2）采用问题驱动的教学方法，让学生在解决实际问题的过程中，掌握排列组合知识。
（3）运用小组讨论、合作探究等方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
（4）设计不同难度的练习题，使学生在梯度训练中提高解题技巧和思维能力。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养良好的学习态度。
（2）引导学生认识到数学知识在实际生活中的应用价值，提高学生的数学素养。
（3）培养学生勇于探索、善于思考的品质，增强克服困难的信心和勇气。
（4）通过小组合作，培养学生的团队精神，学会尊重他人、倾听他人意见。
（5）培养学生严谨、踏实的学术态度，树立正确的价值观，认识到知识的力量。
在教学过程中，教师应关注学生的全面发展，将知识与技能、过程与方法、情感，态度与价值观三者有机结合，以提高学生的数学素养和综合能力。
(完整版)排列组合题型分类解析(教师版)
排列组合题型分类解析一. 知识梳理：1、 两个计数原理：___________________________(分类)____________________________(分步)2、 排列：（1）排列的定义：_______________________（2）排列数公式：__________________________3、 组合：（1）组合的定义：_______________________（2）组合数公式：__________________________（3）组合数性质：①______________②_______________二.排列组合题常见解法.1. 分类法.例1：50件产品中有4件是次品从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共多少种．解析：分两类，有4件次品抽法14644C C ⋅；有三件次品的抽法24634C C ⋅，所以共有14644C C ⋅ +24634C C ⋅＝4186种不同的抽法．练习1. 假设在100件产品中有3件次品，从中任意抽取5件. ①至少有两件是次品的抽法共多少种? ②至多有两件是次品的抽法共有多少种?2. 捆绑法例2： 6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有___种 ( C )(A)720种 (B)360种 (C)240种 (D)120种解析 将甲、乙两人视为一人，则有55A 种，再将甲、Z 两人互换位置，则共有5522A A ⋅=240种.练习2. 7个人按如下各种方式排队照相, 甲乙两人要站在一起的排法共有多少种?练习3. 6人站成一排，其中甲乙丙不全相邻的排法共有_________种3. 对称法例3. A 、B 、C 、D 、E 五人并排站在一排，若B 必须站在A 的右边(A 、B 可以不相邻)．则不同排法共有( )。
A. 24种B. 60种C. 90种D. 120种解析：考虑对称性，B 在A 右和A 在B 右机会均等．应得排法5521A =60种． 说明 本题还可以推广到更为一般的情况，m 个人并排站成一排，其中n(m>n)个人的相对顺序一定，共有n n m m A A 种．如例3中，若A 、B 、C 顺序一定，共有3355A A =20种。
经典排列组合问题题配超详细解析
1．n N ∈且55n <,则乘积(55)(56)(69)n n n ---L 等于A ．5569nn A -- B ．1555n A - C ．1569n A - D ．1469n A -【答案】C【解析】根据排列数的定义可知，(55)(56)(69)n n n ---L 中最大的数为69-n,最小的数为55-n ，那么可知下标的值为69-n,共有69-n-（55-n ）+1=15个数，因此选择C2．某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（ ）A. 24种B. 36种C. 38种D. 108种 【答案】B【解析】因为平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，那么特殊元素优先考虑，分步来完成可知所有的分配方案有36种，选B3．n ∈N *，则（20-n ）(21-n)……(100-n)等于（ ）A ．80100n A - B ．nn A --20100 C ．81100n A -D ．8120n A -【答案】C【解析】因为根据排列数公式可知n ∈N *，则（20-n ）(21-n)……(100-n)等于81100n A -，选C4．从0,4,6中选两个数字,从3.5.7中选两个数字,组成无重复数字的四位数.其中偶数的个数为 ( )A.56B. 96C. 36D.360 【答案】B【解析】因为首先确定末尾数为偶数，那么要分为两种情况来解，第一种，末尾是0，那么其余的有A 35=60，第二种情况是末尾是4，或者6，首位从4个人选一个，其余的再选2个排列即可 433⨯⨯，共有96种5．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有 （ ） A. 280种 B. 240种 C. 180种 D. 96种 【答案】B【解析】根据题意，由排列可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，有46360A =种不同的情况，其中包含甲从事翻译工作有3560A =种，乙从事翻译工作的有3560A =种，若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有360-60-60=240种．6．如图，在∠AOB 的两边上分别有A 1、A 2、A 3、A 4和B 1、B 2、B 3、B 4、B 5共9个点，连结线段A i B j （1≤i ≤4,1≤j ≤5），如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则图中共有（ ）对“和睦线”.A ．60B ．62C ．72 D.124 【答案】A【解析】在∠AOB 的两边上分别取,(),i j A A i j <和,()p q B B p q <，可得四边形i j p q A A B B 中，恰有一对“和睦线”(i p A B 和)j q A B ，而在OA 上取两点有25C 种方法，在OB 上取两点有24C 种方法，共有10660⨯=对“和睦线”.7．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 （ ）A ．10B ．11C ．12D ．15 【答案】B【解析】由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C 42=6（个）第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同的有C 41=4个， 第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的有C 40=1，由分类计数原理知与信息0110至多有两个对应位置数字相同的共有6+4+1=11个8．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 （ ）A ． 6种B ． 12种C ． 30种D ． 36种 【答案】C【解析】分有一门不相同和二门不相同两种情况，所以共有2112422430C C C C += 9．从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为1/5，已知袋中红球有3个，则袋中共有球的个数为( )．A ．5个B ．8个C ．10个D ．15个 【答案】D【解析】由于从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为1/5，并且袋中红球有3个，设袋中共有球的个数为n,则31,5n =所以15n =.10．从编号为1,2,3,4的四个不同小球中取三个不同的小球放入编号为1,2,3的三个不同盒子，每个盒子放一球，则1号球不放1号盒子且3号球不放3号盒子的放法总数为 A ． 10 B ． 12 C ． 14 D ． 16 【答案】C【解析】解：由题意知元素的限制条件比较多，要分类解决， 当选出的三个球是1、2、3或1、3、4时，以前一组为例， 1号球在2号盒子里，2号和3号只有一种方法， 1号球在3号盒子里，2号和3号各有两种结果， 选1、2、3时共有3种结果， 选1、3、4时也有3种结果，当选到1、2、4或2、3、4时，各有C 21A 22=4种结果， 由分类和分步计数原理得到共有3+3+4+4=14种结果，故选C．11．．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（）A．34种B．48种C．96种 D．144种【答案】C【解析】解：本题是一个分步计数问题，∵由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果∵程序B和C实施时必须相邻，∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果.根据分步计数原理知共有2×48=96种结果，故选C．12．由两个1、两个2、一个3、一个4这六个数字组成6位数，要求相同数字不能相邻，则这样的6位数有A. 12个B. 48个C. 84个D. 96个【答案】C【解析】解：因为先排雷1，2，3,4然后将其与的元素插入进去，则根据相同数字不能相邻的原则得到满足题意的6位数有84个。
数学排列组合知识点精要讲解
数学排列组合知识点精要讲解在我们的数学世界中，排列组合是一个既有趣又充满挑战的领域。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们解决各种各样的计数问题，从简单的挑选物品到复杂的任务安排，都离不开它的身影。
接下来，让我们一起深入探索排列组合的奥秘。
一、排列排列，简单来说，就是从给定的元素中选取一些，并按照一定的顺序进行排列。
例如，从 A、B、C 三个字母中选取两个进行排列，有多少种不同的排列方式呢？我们可以依次考虑每个位置的选择。
第一个位置有 3 种选择（A、B 或 C），当第一个位置确定后，第二个位置就只剩下 2 种选择了。
所以总的排列数就是 3×2 ＝ 6 种，分别是 AB、AC、BA、BC、CA、CB。
一般地，如果从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的排列数，记为 A(n, m) ，那么它的计算公式就是：A(n, m) ＝ n×（n 1)×（n 2)××（n m ＋ 1) 。
比如，从 5 个不同的元素中选取 3 个进行排列，那么排列数 A(5, 3) ＝ 5×4×3 ＝ 60 种。
在解决排列问题时，要特别注意“顺序”这个关键因素。
只要顺序不同，就算元素相同，也是不同的排列。
二、组合组合则是从给定的元素中选取一些，不考虑顺序。
还是以 A、B、C 三个字母为例，从中选取两个字母的组合，有多少种呢？这里 AB 和 BA 因为不考虑顺序，所以算是同一种组合。
所以组合数就是 3 种，分别是 AB、AC、BC。
如果从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的组合数，记为 C(n, m) ，其计算公式为：C(n, m) ＝ n! ／ m!（n m)！，其中“！”表示阶乘，例如 5! ＝ 5×4×3×2×1 。
比如，从 6 个不同元素中选取 4 个的组合数 C(6, 4) ＝ 6! ／（4!×2!）＝ 15 种。
排列组合专题复习及经典例题详解
排列组合专题复习及经典例题详解研究目标：掌握排列、组合问题的解题策略。
重点：1.特殊元素优先安排的策略；2.合理分类与准确分步的策略；3.排列、组合混合问题先选后排的策略；4.正难则反、等价转化的策略；5.相邻问题捆绑处理的策略；6.不相邻问题插空处理的策略。
难点：综合运用解题策略解决问题。
研究过程：1.知识梳理1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类型办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+。
+mn种不同的方法。
2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有N=m1×m2×。
×mn种不同的方法。
特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。
3.排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，m<n时叫做选排列，m=n时叫做全排列。
4.排列数：从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Pn表示。
5.排列数公式：Pn=n(n-1)(n-2)。
(n-m+1)=m!/(n-m)。
其中m≤n，n、m∈N+。
特别提醒：规定0!=1.6.组合：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合。
7.组合数：从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号Cn表示。
解排列组合问题常用方法(二十种)
解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。
末位和首位有特殊要求。
先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。
由分步计数原理得113344288C C A =。
变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。
由分步计数原理得25451440A A =。
二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。
先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理得522522480A A A =。
变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。
分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。
三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。
分两步。
第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。
变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。
排列组合问题经典题型解析含答案(最新整理)
排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，则不同的排法有（ ）,,,,A B C D E ,A B B A A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法有B A ,A B （ ）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）A 、种B 、种C 、种D 、种4441284C C C 44412843C C C 4431283C C A 444128433C C C A 6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。
【数资】排列组合-隔板法、错位重排与环形排列 (讲义+笔记)
【数资】排列组合-隔板法、错位重排与环形排列（讲义）【例 1】（2014 四川）将 7 个大小相同的桔子分给 4 个小朋友，要求每个小朋友至少得到 1 个桔子，一共有几种分配方法（ ）？A.14B.18C.20D.22【例 2】（2019 湖北武汉事业单位）小明要将 30 个一模一样的玩具球放入 3 个不同颜色的桶里面，每个桶至少放 9 个玩具球，问一共有多少种不同的放法？ （ ）A.12B.11C.10D.9【例 3】（2013 年陕西）某领导要把 20 项任务分配给三个下属，每个下属至少要分得 3 项任务，则共有（ ）种不同的分配方式。
A.28B.36C.54D.78【例 4】（2014 广州）某办公室接到 15 份公文的处理任务，分配给甲、乙、 丙三名工作人员处理。
假如每名工作人员处理的公文份数不得少于 3 份，也不得多于 10 份，则共有多少种分配方式（ ）？A.15B.18C.21D.28【例 5】（2015 黑龙江）某单位共有 10 个进修的名额分到下属科室，每个科 室至少一个名额，若有 36 种不同分配方案，问该单位最多有多少个科室？A.7B.8C.9D.10【例 6】（2011 浙江）四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。
现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜。
问共有几种不同的尝法（）？A.6 种B.9 种C.12 种D.15 种【例 7】（2014 北京）相邻的 4 个车位中停放了 4 辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这 4 个车位，要求所有车都不得停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式（）A.9B.12C.14D.16【例 8】（2015 山东）某单位从下属的 5 个科室各抽调了一名工作人员，交流到其他科室，如每个科室只能接收一个人的话，有多少种不同的人员安排方式？A.120B.78C.44D.24【例 9】（2017 年国考）某集团企业 5 个分公司分别派出 1 人去集团总部参加培训，培训后再将 5 人随机分配到这 5 个分公司，每个分公司只分配 1 人。
例析排列组合问题类型及解题常用方法
例析排列组合问题类型及解题常用方法排列组合问题一般可分为相异元素不许重复的排列组合问题，相异元素允许重复的排列组合问题和不尽相异元素的排列组合问题.对于复杂的排列组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本排列组合的题型对学好本节内容是很有必要的.一、相异元素不许重复的排列组合问题1. 若对元素无特殊要求，这类问题比较简单，直接运用排列数、组合数定义就可以解决，只需分清是组合问题还是排列问题即可.例1 有北京、上海、广州三个车站，需准备几种车票？有几种票价？解析车票与起点、终点顺序有关，故是排列问题；而票价与顺序无关，故是组合问题. 因此有[A23=6]种车票，有[C23=3]种票价.2. 相异元素有限制条件的排列问题，常用方法有：特殊元素优先法、相邻问题捆绑法、相邻问题插入法等.例2 6人站成一排，其中甲既不站在最左端也不站在最右端，有多少种不同的站法？解析因为甲不能站在左、右两端，故第一步考虑甲，除去两端位置甲有4种站法；第二步让其余的5人站在其他5个位置上，有[A55=120]种站法.故满足题目条件的站法共有[4×A55=480]种.例3 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？解析将3个女生看成一个元素，与5个男生进行排列，共有[A66=720]种排法；然后女生内部再进行排列，有[A33=6]种排法.故共有[A66A33=4320]种排法.点拨对于某些元素要求排在一起的问题，可用“捆绑法”将这些元素看作一个整体、看作一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素间内部再进行排列.例4 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解析先将其余4人排成一排，有[A44=24]种排法，再将甲、乙、丙3人插入其余4人之间和两端的5个缝隙中，有[A35=60]种排法，故共有[A44A35=1440]种排法.点拨对于某些元素要求间隔排列的问题一般运用插入法. 在插入时，要先排无限制条件的元素，再将不相邻的元素插入已排好元素位置间的缝隙中.例5 有9本不同的书，分成3堆.（1）每堆3本有多少种不同的分法；（2）一堆5本，其他两堆各2本，有多少种不同的分法；（3）若一堆4本，一堆3本，一堆2本有多少种不同的分法.解析（1）此分堆属于平均分组问题，并且不计每堆顺序，所以分堆方法共有[C39C36C33A33=560]种.（2）分堆中，有两堆是均匀的，故有[C59C24C22A22=378]种.（3）非均匀分堆，由于不知3堆中哪一堆4本，哪一堆3本，哪一堆2本，故有[C49C35C22]=1260种.点拨对于分组、分堆问题，要注意是“均匀分”还是“非均匀分”，均匀分组要除以分组数的全排列数（堆与堆之间没有顺序），而不均匀分组则不用除以分组数的全排列数.二、相异元素允许重复的排列组合问题不能直接用[Amn]解决，因元素可重复出现，往往需分步考虑，运用计数乘法原理来解决.例6 有3封信和4个邮筒，则将信投入邮筒的所有不同投法种数有（）A. [A34]B. [43]C.[34]D.[C34]解析 [Amn]，[Cmn]只能表示没有重复的排列组合问题，而本题中明显可以将多封信投入到一个邮筒中，是一个可重复问题，应考虑运用分步原理来做. 每封信都有4种可能的投法，故有[4×4×4=64]种不同的投法.答案 B例7 用5种不同的颜色给图中4个区域涂色，若每一区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，共有多少种涂色方法.[1][2][3][4]解析这是一道染色排列组合问题，很容易错误地认为就是[A45=120]，但仔细分析可知，1，3区域可以同色，故应分步考虑. 先涂区域2有5种方法，再涂区域4有4种方法，剩下三种颜色涂区域1，3各有3种方法，故共有[5×4×3×3=180]种涂法.点拨对于这类染色问题，一般采取分步或分类计数的方法进行解决.三、不尽相异的元素的排列组合问题这类排列组合问题，直接考虑很难解决，分类讨论又十分麻烦. 有些排列组合问题，从表面上看是不尽相异的元素排列组合，但若交换元素与位置关系，运用转化思想，变换角度来考虑，问题就可能转化为相异元素的排列组合问题.例8 有2个a，3个b，4个c，共9个字母排列成一排，有多少种排法？解析将9个字母看作元素，1～9位置作为位子，这是一个不尽相异元素的全排列.若转换角度，将1～9号位置作元素，字母作位置，那么问题就转化为一个相异元素不许重复的组合问题，故有[C29C37C44=1260]种不同的排法.例10 3面红旗、2面黄旗，全部都升上旗杆作信号，共能表示多少种不同的信号？解析由于同色旗间没有顺序，因此只用考虑红旗或黄旗中的一种在5个空处的位置即可，故有[C35=C25=10]种信号.例11 从5个班中选10人组成校篮球队，每班至少1人，有多少种选法？解析这是一道选人问题，只要把人选出来就可以了，不用考虑顺序，因此可以将10个人看成10个相同的小球，放入5个不同的盒子中，每个盒子至少1球，可先把10个球排成一排，再在其中9个间隙中选4个位置插入4块“挡板”，将总体分成5个部分对应着5个盒子，故有[C49=126]种选法，这种计数方法叫做隔板法，可专门用来解决同种元素的分配问题.以上是对一些常见排列组合问题的分类和小结，它们对应着不同的题型，在解题过程中需灵活多变，其实在解决大多数计数问题时，往往要交叉用到排列、组合，不能拘泥于某种分类，但必须要清楚排列和组合间的区别.。
与排列组合有关的常见题型及其解法
与与与与与与与与与与与与与与与与排列组合是数学中常见的一种概念，在计算机科学、统计学、概率论等领域也有广泛的应用。
常见的题型包括：
1.组合问题：求出从总共 n 个物品中选取 m
个物品的所有方案数。
解法：C(n,m)=n!/m!(n-m)!
2.排列问题：求出从总共 n 个物品中选取 m
个物品的所有排列数。
解法：A(n,m)=n!/(n-m)!
3.组合排列问题：求出从总共 n 个物品中选取 m
个物品，且有序排列的所有方案数。
解法：H(n,m)=n!/(n-
m)!m!
4.组合数反推：已知组合数 C(n,m)，求出 n 和 m
的值。
解法：通过枚举法进行求解。
5.组合问题中的变化：求出从总共 n 个物品中选取 m
个物品的所有方案数，其中有 k
个物品是必选的。
解法：C(n-k,m-k)
6.排列问题中的变化：求出从总共 n 个物品中选取 m
个物品的所有排列数，其中有 k
个物品是必选的。
解法：A(n-k,m-k)
7.带有限制条件的组合问题：求出从总共 n 个物品中。
排列组合问题之圆形分布
排列组合问题之圆形分布1、问题1.1 团团坐有⼀张圆桌，坐了A,B,C,D四个⼈，已知，D在A的右边，C在D的对⾯，请问A,B,C,D,的坐次？解答：这个问题相对简单，我们纸上画⼀画，就能画出他们的可能的位置了但是，可能还有⼀种解，⽐如我们把A,B,C,D依次右转⼀个位，也是满⾜条件的，⽽且只要保持他们的相对位置不变，依次右转n个位都是问题的解，⽽且还有个有趣的事情，当他们转了⼀圈（即右转4个位）后，他们右回到原位了2、圆形分布上⾯这个问题就是⼀种圆形分布，那么他和直线分布的区别在哪⾥呢？⼜有什么联系呢？上⾯⽂章中讲过，当有4个球时，可能的排列共有4! = 24种，那么我们把A,B,C,D四个⼈的坐位分别标为{0, 1, 2, 3}的号，那么A,B,C,D四个⼈可能坐的位置就是⼀个线型排列。
假设我们⽤计算机来解析这个问题，给出⼀种可能的分布⽅式。
我们的思路是：1> 列出所有可能的分布2> 然后解析每种组合是否满⾜题⽬的要求当然，我们也可以每找到⼀种组合，就判断⼀次是否满⾜题⽬的要求，这样找到⼀种后就可以退出了，可以减少时间复杂度。
如果我们按线型排列处理，我们⼀共需要找出24种排列出来，根据前⾯的解析可知，某⼀种排列还有3种排列都可以满⾜题⽬的解得，我们只需要求出⼀种解即可，找出24种⽐较费时间，⽽且当问题复杂化后，⽐如是⼀个16边形的桌⼦，给出上述类似的问题，那么最坏情况下共需要列出16!=20922789888000种可能，如果我们能够去掉其中重复的，就可以减少计算。
如我们这⾥实际只需要列出24 / 4 = 6种分布即可3、如何找出线型分布中不⼀样的分布我们再来看看问题的解答：A,B,C,D四个⼈的坐次 = {0, 2, 3, 1}假设A固定不动，那么B, C, D可能的坐次仍是⼀个线型分布，即共有3!=6种，因为A不动，所有B,C,D不可能发⽣转动了，所以不会有上⾯多个解的问题这时我们每右转⼀次A，那么上⾯的6种分布⼜可以得到新的6种线型分布，但他们和转动前的分布都是问题的解（因为他们的相对位置不变，⽽问题给出的条件是相对位置），所以对于圆形分布，即是把线型分布的⾸位连接成⼀个圆，圆转动后他们的位置仍然会保持相对不变，那么我们只需要求出A=0,{B,C,D}的线型分布组合起来的解，就可以⽤来判定题⽬给出的条件4、圆形分布算法为了减少篇幅，创建线型分布的函数 SetBallNum() 见为了处理⽅便，重复利⽤代码，⽣成圆形分布时，我们是固定最后⼀位不动的，即D的位置不动bool CPermutation::CreateCirclePermutaion(int nNum, std::vector<std::vector<int>>& vectorPermutation){//先创建nNum - 1个位的的直线排布std::vector<int> vectorBallSet(nNum - 1, 0);std::vector<int> vectorBall(nNum - 1, 0);SetBallNum(0, vectorBall, vectorBallSet, vectorPermutation);//然后将nNum - 1的位添加到最后for (int i = 0; i < vectorPermutation.size(); i++){vectorPermutation[i].push_back(nNum - 1);}return true;}说明:为了减少代码，处理⽅便，算法中⽤到了STL的vector容器，需要少许STL容器使⽤的相关知识，当然⽤数组也是可以实现的，代码会略⿇烦5、如何表达A,B,C,D的相对位置5.1 什么是x在y的右边？我们来换⼀张相对好看⼀点的图：图中B在A的右边，他们的位置是(0, 1)，C在B的右边他们的位置是(1, 2)....A, B B, C C, D D, A(0, 1)(1, 2)(2, 3)(3, 0)相对位置通过C之前的位置我们可以总结出，所谓x在y的右边就是f(x)+1 = f(y)，这⾥f(x)是指x的位置号。
环形排列的公式
环形排列的公式
环形排列（也称圆桌排列或圆形排列）的公式并不像线性排列那样直接，因为它涉及到首尾相接的情况。
在数学上，n个不同元素在圆周上排列的方案数通常表示为(n-1)!，即除去一个固定点后剩下元素的排列数。
如果考虑的是带旋转和翻转的相同情况，则环形排列的方案数是(n-1)!/2，因为对于任何一种排列，你都可以通过旋转得到n种不同的排列方式，但它们本质上是一样的；同时，如果圆桌是对称的，还可以通过镜面对称得到另一种排列，因此需要除以2来消除重复。
总结一下：
1.不考虑旋转和翻转：总排列数=(n-1)!
2.考虑旋转和翻转：总排列数=(n-1)!/2。
排列组合专题汇总 (包罗万象彻底搞定所有排列组合问题!!!)
排列组合专题排列组合专题零排列组合入门................................................................................................. - 2 - 排列组合专题一定序法........................................................................................................... - 11 - 排列组合专题二捆绑法........................................................................................................... - 21 - 排列组合专题三插空法........................................................................................................... - 30 - 排列组合专题四位置分析法................................................................................................... - 39 - 排列组合专题五隔板法........................................................................................................... - 46 - 排列组合专题六选分排........................................................................................................... - 52 - 排列组合专题七数字型排列组合........................................................................................... - 71 - 排列组合专题八染色问题....................................................................................................... - 77 - 排列组合专题九几何问题专杀............................................................................................... - 86 - 排列组合专题十二项定理重点............................................................................................... - 92 - 排列组合专题十一二项式定理逆用与整除....................................................................... - 108 -排列组合专题零排列组合入门一、分步与分类........................................................................................................................... - 4 -（一）分步：互不影响相乘............................................................................................... - 4 - （二）分类：对后续有影响............................................................................................... - 4 - （三）分步加法................................................................................................................... - 4 - 二、排列....................................................................................................................................... - 5 -（一）排列引入介绍........................................................................................................... - 5 - （二）排列公式................................................................................................................... - 6 - 三、组合....................................................................................................................................... - 6 -（一）组合引入介绍........................................................................................................... - 6 - （二）组合公式及其性质................................................................................................... - 7 -1.组合公式.................................................................................................................... - 7 -2.性质1......................................................................................................................... - 8 -2.性质2......................................................................................................................... - 8 -（三）比赛握手问题........................................................................................................... - 9 - （四）握手问题升级......................................................................................................... - 10 - （五）疑惑诠释：不可多次选取..................................................................................... - 10 -一、分步与分类（一）分步：互不影响相乘【例1】现有上衣5件，裤子3件，一共有多少种搭配方法？【答案】15（二）分类：对后续有影响【例1】比516大的三位渐升数有多少个？【答案】10（三）分步加法【例1】12名战士，每人一个储物箱，对应有12把钥匙混在一起，现要打开所有箱子，最多要试多少次？【答案】78二、排列（一）排列引入介绍【例1】有4名同学排一排，有多少种排法？A【答案】44【例2】有10名同学，从中选4名同学排一排，有多少种排法？A【答案】410【例3】从n个元素中选m个元素排成一排，有多少种排法？A【答案】mn（二）排列公式【例1】?8161718=⨯⨯⨯⨯【答案】1118A【例2】以下不等于!n 的是（ ）n n A A . 1111.+++n n A n B n n A C 1.+ 11.--n n nA D【答案】C 三、组合（一）组合引入介绍【例1】5个人中选出3个人组成一组，有多少种选法？【答案】35C【练习1】d c b a ,,,中选3个，有多少种选法？【答案】34C【练习2】6个人中选3个人参加运动会，有多少种选法？【答案】36C （二）组合公式及其性质1.组合公式()!!!!m m n n m A C m n mn-== 【例1】?,10711765==-m C C C m m m【答案】22.性质1m n n m n C C -=【例1】e d c b a ,,,,中选3个，有多少种选法？【答案】35C 或25C 2.性质2112111111;;++++-+---=+++++=+=r n r n r r r r r r m n m n m n m n m n m n C C C C C C C C C C C 【例1】从n 个元素中选出m 个元素，有多少种选法？【答案】m n m n m n C C C 111---+或【例2】310353433=++++C C C C【答案】411C【例1】10个人比赛，每2个人比一局，共要比多少局？【答案】210C【例2】6人人聚会，每2人握手一次，共要握手多少次？【答案】26C【例3】n 边形有多少条对角线？【答案】n C n 2【例4】圆上有10个点，每三个点内接一个三角形，一共可以连成多少个三角形？【答案】310C【例1】火车往返与甲乙俩地之间，中途停5次，一共要设计多少种车票？【答案】42（五）疑惑诠释：不可多次选取【例1】10个人中选3个人组成一组，有多少种选法?C【答案】310排列组合专题一定序法一、基本模型............................................................................................................................. - 13 -（一）顺序确定................................................................................................................. - 13 - （二）元素相同................................................................................................................. - 13 - 二、基本变形............................................................................................................................. - 15 -（一）变形：空位问题..................................................................................................... - 15 - （二）变形：插入问题..................................................................................................... - 15 - （三）变形：位置定序问题............................................................................................. - 16 - 三、应用：路径问题................................................................................................................. - 17 -（一）二维路径问题......................................................................................................... - 17 - （二）三维路径问题......................................................................................................... - 18 - （三）路径问题推广：步骤数固定，步骤不固定......................................................... - 18 - 四、应用：条件触发终止型问题............................................................................................. - 19 -（一）连中射击问题......................................................................................................... - 19 - （二）对局比赛问题......................................................................................................... - 20 - 五、疑惑诠释：同色摸球的思考............................................................................................. - 20 -一、基本模型（一）顺序确定【例1】5个不同的玩偶排成一列，要求A 在B 前面，有多少种排法？【答案】2255A A【例2】5个不同的玩偶排成一列，要求A 在C 前面，C 在B 前面，有多少种排法？【答案】3355A A （二）元素相同【例1】5个不同的玩偶排成一列，要求A 在B 前面，有多少种排法？【答案】2255A A【练习1】3本相同的数学书与其余6本不同的书排成一排，有多少种排法？【答案】3399A A【练习2】5名男生，6名女生进行排列，男生顺序一定，女生顺序也一定，有多少种排法？【答案】66551111A A A【练习3】2个红球，3个黄球，4个白球排成一排，有多少种排法？【答案】44332299A A A A二、基本变形（一）变形：空位问题【例1】3个人去坐5个座位，有多少种坐法？【答案】2255A A （二）变形：插入问题【例1】4个人站成一排，找2个人插入队列中，要求原来4个人的相对位置不变，有多少种排法？【答案】4466A A【例2】在4枚整齐排列的白球中插入一枚红球和一枚黄球，有多少种方法？【答案】4466A A（三）变形：位置定序问题【例1】6个西瓜排成一列，前3个位置按照由重到轻的顺序排列，有多少种排法？【答案】3366A A【例2】7名同学站一排，个子最高的站中间，其余6个按照从高到底、从中间到左右两边进行排列，有多少种排法？【答案】333366A A A三、应用：路径问题（一）二维路径问题【例1】如图所示：求A 到B 的最短走法有多少种？【答案】334477A A A【例2】小明哥小红去活动中心，现两人位置如下，小明先和小红回合然后俩人一到达活动中心，问小明的最短路径有多少种？【答案】18（二）三维路径问题【例1】三维直角坐标系中，从点()0,0,0到点()3,3,3，每次只能走一个单位，则最短路径有多少种？【答案】33333399A A A A【例2】元宵节灯会中如图挂了9盏灯，每次取下一盏，有多少种取法？【答案】3639C C （三）路径问题推广：步骤数固定，步骤不固定【例1】已知1532=+yx ，y x ,均为正整数，有多少种解？【答案】2【例2】有15根火柴，若规定每次取2根或3根，取完这堆火柴有多少种取法？【答案】28【例3】10阶台阶，一次上一阶或两阶，有多少种走法？【答案】89四、应用：条件触发终止型问题（一）连中射击问题【例1】射击游戏中，击中3次则获胜，恰好射击5次获胜有多少种情况？【答案】10（二）对局比赛问题【例1】两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则可能出现的情形（个人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）10.A 种 15.B 种 20.C 种 30.D 种【答案】C【例2】口袋中有大小相同，颜色不同的小球各一个，每次从中取一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止，则恰好取了5次停止的种数为（ ）【答案】42五、疑惑诠释：同色摸球的思考【例1】有一个箱子里有3个实心球，2个空心球，从中摸出一个球，有多少种摸法？【答案】12C【例2】箱子里有2个黄球，2个白球，3个红球，4个绿球，从中摸出一个球，有多少种结果？【答案】13C排列组合专题二捆绑法一、捆绑法介绍......................................................................................................................... - 22 -二、捆绑法的两种类型............................................................................................................. - 23 -（一）大小夹杂型捆绑法............................................................................................. - 23 - （二）小团体型捆绑法................................................................................................. - 24 - 三、捆绑的“包裹”................................................................................................................. - 25 -（一）包裹内的定序......................................................................................................... - 25 - （二）包裹内元素按照实况排列..................................................................................... - 27 - （三）包裹与外部元素的关系......................................................................................... - 27 - （四）捆绑法的缺陷......................................................................................................... - 28 -四、选取+捆绑+排列................................................................................................................. - 28 -五、取反策略转化为捆绑......................................................................................................... - 29 -一、捆绑法介绍【例1】5个人站成一排，要求甲乙排在一起，有多少种排法？【答案】4422A A【例2】现有3本数学书，2本外语书，3本其他课本进行排列，要求外语课本排在一起，数学课本放在一起，有多少种排法？【答案】552233A A A【例3】5个人站成一排，要求甲乙排在一起，且甲排在乙的前面，有多少种排法？【答案】44A【例4】现有3本相同的数学书，2本相同的外语书，3本其他不同课本进行排列，要求外语课本排在一起，数学课本放在一起，有多少种排法？【答案】55A【例5】12个停车位，8辆车要停，要求空位连在一起，有多少种排法？【答案】99A 二、捆绑法的两种类型（一）大小夹杂型 捆绑法【例1】5个人站成一排，要求甲乙排在一起，有多少种排法？【答案】4422A A【例2】排课表时，有语数英3门文化课和3门艺术课，要求文化课间没有艺术课，有多少种排法？【答案】4433A A （二）小团体型 捆绑法【例1】7名同学中有4名男生，3名女生站成一排，现要求男生站一起，女生站一起，问有多少种排法？【答案】223344A A A【例2】7名同学中有4名男生，3名女生站成两列，现要求男生站一列，女生站一列，问有多少种排法？【答案】223344A A A【例3】3个三口之家共9人坐一起吃饭，要求每家人坐一起，，有多少种排法？【答案】33333333A A A A【例4】2部小说各分一、二、三、四卷，每卷一本，共八本，排成一排，要求左边4本属于同一部小说，有多少种排法？【答案】224444A A A 三、捆绑的“包裹”（一）包裹内的定序【例1】名7同学中有4名男生，3名女生站成一排，现要求男生站一起，女生站一起，且男生按从高到低的顺序排列，问有多少种排法？【答案】2233A A【例2】名7同学中有4名男生，3名女生站成两列，现要求男生站一列，女生站一列，且按从低到高的顺序排列，问有多少种排法？【答案】2【例3】5辆车8个停车位，有多少种停法？【答案】5538A A【例4】5辆车8个停车位，要求空位连在一起，有多少种停法？【答案】66A【例5】love " "math 由8个字母组成，现将字母重新排列，要求math 连在一起，且顺序不变，有多少种排法？【答案】55A（二）包裹内元素按照实况排列【例1】5名同学排成一排，要求甲与乙相邻，乙与丙相邻，有多少种排法？【答案】12【例2】10名同学排一排，男生站一起，女生站一起，小红不站外面，有多少种排法？【答案】22331266A A A A （三）包裹与外部元素的关系【例1】5名志愿者，2名老师参加完活动要站成一排合影，要求2个老师站一起且不站两端，有多少种排法？【答案】551422A C A（四）捆绑法的缺陷1.元素个数视为1无影响【例1】4男，2女站一排，甲站中间，女生排一起.2.与外部元素无关【例1】6人，ABC 站一起，B 不与E 相邻，A 与F 差一个元素.四、选取+捆绑+排列【例1】20个学生有10男10女，现从中选10名同学，要求刚好选出5男5女，然后将选出的学生排成一排，男生站一起，女生站一起，有多少种排法？【答案】22510510A A A【例2】从字母""equation 中选4个字母含qu （顺序不变）排成一排，有多少种排法？【答案】3326A C 五、取反策略转化为捆绑【例1】5人排一排，要求甲乙不相邻，有多少种排法？【答案】442255A A A【例2】5件产品排一排，要求甲乙相邻，乙丙不相邻，有多少种排法？【答案】36排列组合专题三插空法一、标准的插空法..................................................................................................................... - 32 -（一）插空法引入介绍..................................................................................................... - 32 - （二）插空法模型训练..................................................................................................... - 32 -二、插空中的定序..................................................................................................................... - 34 -三、插空中的转化：相邻至少与插空..................................................................................... - 34 -四、插空中的分类..................................................................................................................... - 35 -（一）三类元素各自不邻问题......................................................................................... - 35 - （二）相邻至多与插空..................................................................................................... - 36 - （三）部分同种元素相邻问题......................................................................................... - 36 - 五、疑惑诠释：插空法与分步法............................................................................................. - 37 -（一）分步插空法介绍..................................................................................................... - 37 - （二）分步插空法示例..................................................................................................... - 38 - （三）分步插空与插空法的区别..................................................................................... - 38 -一、标准的插空法（一）插空法引入介绍【例1】5个人站一排，甲乙不相邻，有多少种排法？【答案】443A【例2】8个人站一排，甲乙丙都不相邻，有多少种排法？【答案】3655A A【方法】①找出被插对象并排列②将不相邻者放入空中并排列（二）插空法模型训练【例1】5名妈妈和5个儿童进行排列，要求5个儿童不相邻，有多少种排法？【答案】5655A A【例2】对四门文化课，三门艺术课进行排列，要求艺术课不能在一起，有多少种排法？【答案】3544A A【例3】对四门文化课，三门艺术课进行排列，要求艺术课不能在一起，且不能排在第一节和最后一节，有多少种排法？【答案】4433A A【例4】8名同学和2名老师合影，要求老师不相邻且不排在两端，有多少种排法？【答案】2788A A【例5】把5名同学排到6个座位中，且B A ,不相邻，有多少种排法？【答案】2544A A【例1】文艺演出舞台上有15只相同的彩灯，每次闪灯恰有6只是关着的，且相邻的灯不能同时关，两端的灯必须一直亮，有多少种排法？【答案】28【例2】显示屏一排有7个小孔，可以显示0或1两种信号，每次显示3个小孔，但相邻孔不能同时显示，则显示屏能显示的信号种数是多少？【答案】80三、插空中的转化：相邻至少与插空【例1】6节课进行排列，有3门文化课，3门艺术课，要求相邻两节文化课之间至少有一节艺术课，有多少种排法？【答案】3433A A（一）三类元素各自不邻问题【引理】两人分类的相邻与不邻A,都不与C相邻，共有多少种排法？【例1】5人排成一排，B【答案】36【破解方法】1.从最多开始2.相邻与不邻的讨论【例1】5本不同的书，其中语文2本，数学2本，物理1本，对其进行排列，要求同一科目不相邻，有多少种排法？【答案】48【例2】文艺演出中有三类节目，3个歌舞类节目，2个小品类，1个相声类，对其排列，要求同类节目不相邻，有多少种排法？【答案】120（二）相邻至多与插空【破解方法】讨论相邻个数【例1】6节课进行排列，有3门文化课，3门艺术课，要求相邻两节文化课之间至多有一节艺术课，有多少种排法？【答案】22222333A A C A （三）部分同种元素相邻问题【破解方法】打包+不邻【例1】将4个白球，1红1蓝1黄1绿进行排列，要求只有2个白球相邻，有多少种排法？【答案】441524A C C【例2】将4名男生，2名女生排成一排，男生只有两个相邻，则不同的排法有多少种？【答案】144【例3】某名学生默写英文单词()”会计“bookkeeper ，他记得这个单词是由3个""e ，2个""o ，2个""k ，r p b ,,各一个组成，2个""o 相邻，3个""e 恰有两个相邻，e o ,都不在首位，他按此条件写出的结果有多少个？【答案】9000五、疑惑诠释：插空法与分步法（一）分步插空法介绍 1.可以用分步法理解2.用分步法涉及从一堆元素中多次选取时会重复（二）分步插空法示例【例1】5名同学排成一排，甲不站排头或排尾，有多少种排法？【答案】1344C A【例2】12名同学合影，前排站4人，后排站8人，摄影师从后排找2人站在前排，剩下的同学相对顺序固定，有多少种排法？【答案】2830C【小结】向一群元素中插入多个元素，不涉及相邻时，可采用多次插入的方法. （三）分步插空与插空法的区别【例1】6个人站一排，甲乙不相邻，共有多少种排法？【答案】141544C C A【小结】避开相邻的特殊空也可以插入排列组合专题四位置分析法一、位置分析法......................................................................................................................... - 40 -（一）位置法：间隔数问题............................................................................................. - 40 - （二）位置法：移动型讨论............................................................................................. - 40 - （三）位置法：特殊元素................................................................................................. - 41 -1.优先级策略.............................................................................................................. - 41 -2.讨论的起点：对后续结果造成影响...................................................................... - 42 -3.讨论的技巧：对称的妙用...................................................................................... - 42 -二、位置法处理其他问题......................................................................................................... - 43 -（一）位置法与捆绑法..................................................................................................... - 43 -1.位置法解决捆绑问题.............................................................................................. - 43 -2.位置分析补充捆绑法的短处.................................................................................. - 43 -（二）位置法处理三类元素不相邻问题......................................................................... - 44 - （三）位置法处理至多问题............................................................................................. - 44 -（四）创新型问题：位置法+枚举排列+排除 .......................................................... - 45 -一、位置分析法（一）位置法：间隔数问题【例1】有10陇地，选2陇种植B A ,两种作物，要求AB 间隔不小于6陇，有多少种选法?【答案】12【例2】有4名男生，3名女同学进行排列，要求甲乙之间恰有3名学生，有多少种排法？【答案】55223A A（二）位置法：移动型讨论【例1】甲乙丙3名志愿者周一到周五参加活动，每人参加一天，且每人至多一天，要求甲排在乙丙前，有多少种排法？【答案】20法一： 法二：（三）位置法：特殊元素1.优先级策略【例1】6个人站一排，甲不站最左或最右端，有多少种排法？【答案】480【例2】5个人参加了比赛，已知甲乙都不是冠军，乙不是最差的，从以上信息中可以得出多少种结果？【答案】54【练习1】6个人站一排，甲乙站两端，有多少种排法？【答案】4422A A2.讨论的起点：对后续结果造成影响【例1】6个人站一排，甲不站左端，乙不站右边，有多少种排法？【答案】5043.讨论的技巧：对称的妙用【例1】7人站一排，甲在最中间，乙丙相邻，丁不在两端，有多少种排法？【答案】120【例2】7人站一排，甲在最中间，乙丙不相邻，丁不在两端，有多少种排法？【答案】480【例3】7个人排列，要求甲乙相邻，丙不在排头，丁不在排尾，有多少种排法？【答案】1008二、位置法处理其他问题（一）位置法与捆绑法1.位置法解决捆绑问题【例1】e d c b a ,,,,五个元素排列，以下情况中各有多少种结果：()a 1在e 的左边，且e a ,相邻；()2e a ,相邻；()3e a ,不相邻；【答案】()3341A ；()44222A A ；()723 2.位置分析补充捆绑法的短处【例1】5个男生2个女生排列，要求2名女生排在一起，男生甲站中间，有多少种排法？【答案】192（二）位置法处理三类元素不相邻问题【例1】对3个歌舞类节目，2个小品类，2个相声类进行排列，要求同类节目不相邻，有多少种排法？【答案】120【例2】现有5本不同的课本，语文2本，数学2本，物理1本，随机将书放在同一层书架上，同一科目不相邻的可能结果有多少种？【答案】48（三）位置法处理至多问题【例1】一天共6节课，其中文化课有语、数、外3节，其他艺术课各1门，要求相邻文化课间至多有一节艺术课，有多少种排法？【答案】432（四）创新型问题：位置法+枚举排列+排除【例1】将6,5,4,3,2,1六个数排一列，记第i 个数为i a (),63,2,1 =i 531531,5,3,1a a a a a a ≠≠≠，问有多少种排法？【答案】30排列组合专题五隔板法一、相同元素不同去处 ............................................................................................................. - 47 -（一）隔板法 ..................................................................................................................... - 47 -1.相同元素不同去处 （非空） .............................................................................. - 47 -2.相同元素不同去处 （可空） .............................................................................. - 48 -3.隔板法应用：()nc b a ++项数 ............................................................................. - 48 - 4.隔板法中的分类 ...................................................................................................... - 49 -（二）不定方程模型 ......................................................................................................... - 50 -1.不定方程整数解问题 .............................................................................................. - 50 -2.不定方程模型应用 .................................................................................................. - 50 -二、相同元素相同去处 ............................................................................................................. - 51 -一、相同元素不同去处（一）隔板法1.相同元素不同去处（非空）【例1】将10个颜色相同的小球放入六个不同的盒子中，每个盒子至少一个，那么有多少种放法？C【答案】59【总结】将n个相同元素分到m个不同的去处，每个去处至少一个元素，则共有11--m n C种放法.【练习1】四个人分五张相同的足球票，每人至少一张，则共有多少种分法？C【答案】342.相同元素不同去处（可空）【例1】将10个颜色相同的小球放入三个不同的盒子中，一共有多少种放法？C【答案】212【练习1】将5个相同的信封分别放入3个邮箱中，一共有多少种放法？C【答案】27【总结】n个元素+放入m个不同去处+去处可空，共有11--+m m n C种放法【方法】借球法3.隔板法应用：()n c+项数ba+a+一共有多少项？【例1】()11b【答案】12【例2】5)(c b a ++的项数为多少？【答案】214.隔板法中的分类【例1】小红有10块糖，每天至少吃一块，问一共有多少种放法把糖吃完？【答案】512（二）不定方程模型1.不定方程整数解问题【例1】()6~1,106321=∈=++++i N x x x x x i ，问该方程有多少组解？【答案】515C【例2】()6~12,166321=≥=++++i x x x x x i ，问该方程有多少组解？【答案】59C 2.不定方程模型应用【例1】现有10本相同的书要分给①②③3阅览室，要求每个阅览室分得的书的数量不能小于其编号数，则一共有多少种不同的分法？【答案】15。
排列组合环形排列问题专题讲解
一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑,再分段研究. 前排 后排
回目录
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排 12个座位，现安排2人就座规定前排 中间的3个座位不能坐，并且这2人 不左右相邻，那么不同排法的种数 346 是______
(2 A C C A ) A C C A 346
回目录
练习题 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？ 120
多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在 前排,丁在后排,共有多少排法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以 把椅子排成一排.2 先在前4个位置排甲乙两 A4 个特殊元素有____种,再排后4个位置上的 1 特殊元素有_____种,其余的5人在5个位置 A4 2 1 5 5 A4 A4 A5 上任意排列有____种,则共有_________种. A5
2 3 1 4 1 4 2 2 2 11 1 8 1 12 2 2
回目录
环排问题线排策略
例6. 5人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 A44 此位置把圆形展成直线其余4人共有____ 种排法即 （5-1)！
一般地,n个不同元素作圆形排 B A B C D E 列,共有(n-1)!种排法.如果A C A 从n个不同元素中取出m个元素 m 1 D An E 作圆形排列共有 m
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例6. 5人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 A44 此位置把圆形展成直线其余4人共有____ 种排法即 （5-1)！
一般地,n个不同元素作圆形排 B A B C D E 列,共有(n-1)!种排法.如果A C A 从n个不同元素中取出m个元素 m 1 D An E 作圆形排列共有 m
回目录
练习题 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？ 120
多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在 前排,丁在后排,共有多少排法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以 把椅子排成一排.2 先在前4个位置排甲乙两 A4 个特殊元素有____种,再排后4个位置上的 1 特殊元素有_____种,其余的5人在5个位置 A4 2 1 5 5 A4 A4 A5 上任意排列有____种,则共有_________种. A5
一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑,再分段
有两排座位，前排11个座位，后排 12个座位，现安排2人就座规定前排 中间的3个座位不能坐，并且这2人 不左右相邻，那么不同排法的种数 346 是______
(2 A C C A ) A C C A 346
2 3 1 4 1 4 2 2 2 11 1 8 1 12 2 2
回目录