交错级数敛散性判定20110414

判别下列级数是否收敛?如果是收敛的, 一、判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收 敛还是条件收敛? 敛还是条件收敛? ∞ n −1 n 1、 ∑ ( −1) ； n −1 3 n =1 1 1 1 1 2、 − + − + L； ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ∞ ( −1) n 3、 ∑ . n = 2 n − ln n 存在,证明: 二、若 lim n un 存在,证明:级数 ∑ un 收敛 .
又 Q ∑ un = ∑ ( 2v n − un ),
n =1 n =1
∞
∞
∴ ∑ un 收敛 收敛.
n =1
n =1 ∞
定理的作用： 定理的作用： 任意项级数 正项级数
定义: 收敛, 绝对收敛; 定义:若 ∑ un 收敛, 则称 ∑ un 为绝对收敛;
n =1
n =1
∞
∞
发散, 收敛, 条件收敛. 若 ∑ un 发散,而 ∑ un 收敛, 则称 ∑ un 为条件收敛.
rn = un+1 − un+ 2 + L,
满足收敛的两个条件, 满足收敛的两个条件, ∴ rn ≤ un+1 . 定理证毕. 定理证毕
( −1) n 的收敛性. 例 1 判别级数 ∑ 的收敛性. n−1 n= 2
n
∞
解
x − (1 + x ) )′ = Q( < 0 ( x ≥ 2) 2 x −1 2 x ( x − 1)
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
注 :若
∑
∞
n =1
u n 发散 , 则
∑
∞
n =1
u n 未必发散
。
例2
sin n 的收敛性. 判别级数 ∑ 2 的收敛性. n =1 n
∞ sin n 1 1 Q 2 ≤ 2 , 而 ∑ 2 收敛 , n=1 n n n
∞
解
sin n ∴ ∑ 2 收敛 , n n=1
任意项级数及其审敛法
一、交错级数及其审敛法
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数. 负项相间的级数称为交错级数. 交错级数
∞ ∞
∑ ( −1) n =1
n −1
un或∑ ( −1) un (其中un > 0)
n n =1
如果交错级数满足条件: 莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
);(ⅱ (ⅰ) un ≥ un+1 (n = 1,2,3,L ;(ⅱ) limun = 0,
x 故函数 单调递减 , ∴ un > un+1 , x −1 n 又 lim un = lim = 0. 原级数收敛. 原级数收敛 n→ ∞ n→ ∞ n − 1
EX
(-1)n ( 2) ∑ s (s > 0) n =1 n ( −1)n 特别 : ∑ n n =1
( 3) (-1)n ( n 2 − 1) ∑
故由定理知原级数绝对收敛. 故由定理知原级数绝对收敛
∞
例3
1 ( − 1) 判别级数 ∑ np n =1
n
∞
( p > 0)
的敛散性， 的敛散性，
如果收敛，判断是绝对收敛还是条件收敛？ 如果收敛，判断是绝对收敛还是条件收敛？
解
∞ 1 1 n ∑ (−1) n p = ∑ n p n =1 n =1 ∞
n =1
∞
lim
n →∞
u n +1 =l un
则当 l < 1时 ， 级数绝对收敛 l > 1时 ， 级数发散
；
。
n! 例4 判别级数∑ (-1) n的敛散性 n n =1
n
∞
例5 判别级数 ∑
n=0
∞
xn 的敛散性 n!
n! 可得结论:lim n =0, n →∞ n
xn lim =0 n →∞ n !
2 n → +∞ n =1 ∞
b 3n 证明: = 0. 三、证明: lim n n → ∞ n! a
练习题答案
一、 绝对收敛； 1、绝对收敛； 条件收敛； 2、条件收敛； 条件收敛. 3、条件收敛.
n→∞
则级数收敛, 则级数收敛,且其和 s ≤ u1,其余项 rn的绝对值
rn ≤ un+1.
证明
Q s2 n
Q un−1 − un ≥ 0, = ( u1 − u2 ) + ( u3 − u4 ) + L + ( u2 n−1 − u2 n )
数列 s2n是单调增加的, 又 s2 n = u1 − ( u2 − u3 ) − L − ( u2 n− 2 − u2 n−1 ) − u2 n
三、小结
正 项 级 数
1. 若 Sn → S ,则级数收敛; 则级数收敛
任意项级数
审 敛 法
2. 当 n → ∞ , un → 0, 则级数发散; 3.按基本性质 按基本性质; 按基本性质 4.充要条件 充要条件 5.比较审敛法 6.比值法 比值法 7.根值法 根值法 4.绝对收敛 绝对收敛 5.交错级数 交错级数 (莱布尼茨定理 莱布尼茨定理) 莱布尼茨定理
n =1 ∞
∞
∞
二、绝对收敛与条件收敛
定义: 定义: 正项和负项任意出现的级数称为 任意项级数.
定理 1 若
பைடு நூலகம்
∑u
n=1
∞
n
收敛, 收敛,则
收敛. ∑u 收敛.
n=1 n
∞
定理 1
若
∑u
n=1
∞
n
收敛, 收敛,则
收敛. ∑u 收敛.
n=1 n
∞
1 证明 令 v n = ( un + un ) ( n = 1,2,L), 2 ∞ 显然 v n ≥ 0, 且 v n ≤ un , ∴ ∑ v n收敛 ,
∞ n =1 ∞
∞
n -1
(-1)n ( n + 1 − n ) ∑
1 (4) ∑ sin(nπ + ) lnn n=2
注 : 若∑ un 发散 , 则 ∑ un 未必发散
n =1 n =1
∞
∞
但若用比值判别法判定 ∑ un 发散时 , 则∑ un 发散
n =1 n =1
∞
∞
定理
如果任意项级数 ∑ u n ,满足条件
≤ u1
n→ ∞
数列s2n是有界的,
Q lim u2 n+1 = 0,
n→ ∞
∴ lim s2 n = s ≤ u1 .
n→ ∞ n→ ∞
∴ lim s2 n+1 = lim ( s2 n + u2 n+1 ) = s ,
∴ 级数收敛于和 s, 且s ≤ u1 .
余项 rn = ± ( un+1 − un+ 2 + L),
( p > 0)
p > 1时， 绝对收敛； 0 < p ≤ 1时， 发散， 但级数是交错级数， 由莱布尼兹定理知级数条件收敛；
EX:判断下列级数的敛散性 判断下列级数的敛散性
(-a)n (1) ∑ s n =1 n (2) ( 3)
∞
(a > 0, s > 0) 1 n − ln n
∑ (-1) n =1