工具变量估计与两阶段最小二乘法
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i 1 n n
z z x x
i 1 i i
1 动机：简单回归模型中的遗漏变量
用IV估计量做统计推断： 在工具外生、工具相关、同方差性假定下， IV估计量的渐进方差：
2 u ˆ = Var ; 1 2 2 n x x , z
ˆ se 1
低劣工具变量条件下IV的性质
• 当z与x弱相关时，IV估计值的标准误可能很大。
2 u ˆ = Var 1 2 2 n x x, z
• 当z与u只是适度相关，IV估计量的渐进偏误可 能很大。 corr z , u
ˆ p lim 1, IV 1 ˆ p lim
例2 估计对男性的教育回报
educ 14.14 0.228sibs
0.11 0.030 n 935, R log wage 5.13 0.122educ 0.36 0.026 n 935
2
0.057
IV估计的两个例子
• 以出生的季节作为educ的IV： --年初出生的学生往往入学较晚，他们到达 义务教育年龄（16岁）时，所受的教育略 少于入学较早的学生。 • 以征兵抽签号作为是否参加越战的IV： --征兵抽签号是随机发放的，因此与u无关。
遗漏变量偏误 yi 0 1educi 2 abilityi ei yi 0 1educi ui
i 1 2 * 1
1 动机：简单回归模型中的遗漏变量
工具变量的两个要件：
1 Cov z, u 0 z与u无关，即z对y无偏效应：工具外生性； 2 Cov z, x 0 z与x相关：工具相关性；
2 多元回归模型的IV估计
y1 0 1 y2 2 z1 u1
内生变量 外生变量
结构方程
寻找外部工具变量z2 , 并满足如下假定：
E u1 0; Cov z1 , u1 0和Cov z2 , u1 0
n i 1 n i1
y
i 1 n i1
例4 用临近大学作为教育的IV
educ 16.64 0.320nearc 4 0.413exp er
0.24 0.088
解释变量 Educ Exper Exper2 OLS 0.075 （0.003） 0.085 （0.007） -0.0023 （0.0003）
0.034
ˆ ˆ y ˆ z 0 1 i 2 2 i1 0
i1
z y
i 1 i2
ˆ ˆ y ˆ z 0 1 i 2 2 i1 0 ˆ ˆ y ˆ z 0 1 i 2 2 i1 0
z y
i1
2 多元回归模型的IV估计
工具变量相关性假定检验： Cov z2 , x 0, 从偏相关角度理解 y2 0 1 z1 2 z2 v2 约简型方程 （用外生变量表述内生变量） E v2 0, Cov z1 , v2 0和Cov z2 , v2 0 关键的识别条件是： 2 0
IV 0.132 （0.055） 0.108 （0.024） -0.0023 （0.0003）
Biblioteka Baidu
Black
Smsa South 观测数 R2
-0.199 （0.018）
0.136 （0.02） -0.148 （0.026） 3010 0.300
-0.147 （0.054）
ˆ u2 SSTx Rx2, z
ˆ 的方差越小； n，或 ，或 越大， 1
2 x 2 x,z
在高斯-马尔科夫假定下，OLS估计量的方差：
ˆ Var 1 SSTx
2
例1 估计已婚女性的教育回报
log wage 0.185 0.109educ
0.185 0.28 0.029
检验的策略： y 0 1 z 2 X ei H 0 : 1 0 x 0 1z v H0 : 1 0 参数的识别： Cov z , y 1Cov z , x Cov z , u Cov z , y 1 ; Cov z , x ˆ z z y y i 1 i
1,OLS
corr z , x x
u
corr z , x 0, corr z , x 0, Corr z , u 0; OLS 估计量：向上偏误； IV估计量：向下偏误。
u 1 corr z , x x
IV估计后计算R2
Y=0+ 1*x+u 当x与u相关时，y的方差无法分解成下式： 12Var(x)+Var(u)，因此对R2没有合理的解 释。 R2=1-SSR/SST SSR是IV残差的平方和；x*=0+ 1*z+v y= 0+ 1x*+u= 0 + 0 1 + 1z+v+u SST是y的总平方和。
2 0.014 n 428, R 0.118
edu 10.24 0.269 fatheduc n 428, R 2 0.173 n 428, R 2 0.093 log wage 0.441 0.059educ
0.446 0.035
工具变量估计与两阶段最小二乘法
OUTLINE
动机：简单回归模型中的遗漏变量 多元回归模型的IV估计 两阶段最小二乘法 变量误差问题的IV解决办法 内生性检验与检验过度识别约束 异方差条件下的2SLS 2SLS应用于时间序列方程 2SLS应用于混合截面和面板数据
1 动机：简单回归模型中的遗漏变量
z z x x
i 1 i i
1 动机：简单回归模型中的遗漏变量
用IV估计量做统计推断： 在工具外生、工具相关、同方差性假定下， IV估计量的渐进方差：
2 u ˆ = Var ; 1 2 2 n x x , z
ˆ se 1
低劣工具变量条件下IV的性质
• 当z与x弱相关时，IV估计值的标准误可能很大。
2 u ˆ = Var 1 2 2 n x x, z
• 当z与u只是适度相关，IV估计量的渐进偏误可 能很大。 corr z , u
ˆ p lim 1, IV 1 ˆ p lim
例2 估计对男性的教育回报
educ 14.14 0.228sibs
0.11 0.030 n 935, R log wage 5.13 0.122educ 0.36 0.026 n 935
2
0.057
IV估计的两个例子
• 以出生的季节作为educ的IV： --年初出生的学生往往入学较晚，他们到达 义务教育年龄（16岁）时，所受的教育略 少于入学较早的学生。 • 以征兵抽签号作为是否参加越战的IV： --征兵抽签号是随机发放的，因此与u无关。
遗漏变量偏误 yi 0 1educi 2 abilityi ei yi 0 1educi ui
i 1 2 * 1
1 动机：简单回归模型中的遗漏变量
工具变量的两个要件：
1 Cov z, u 0 z与u无关，即z对y无偏效应：工具外生性； 2 Cov z, x 0 z与x相关：工具相关性；
2 多元回归模型的IV估计
y1 0 1 y2 2 z1 u1
内生变量 外生变量
结构方程
寻找外部工具变量z2 , 并满足如下假定：
E u1 0; Cov z1 , u1 0和Cov z2 , u1 0
n i 1 n i1
y
i 1 n i1
例4 用临近大学作为教育的IV
educ 16.64 0.320nearc 4 0.413exp er
0.24 0.088
解释变量 Educ Exper Exper2 OLS 0.075 （0.003） 0.085 （0.007） -0.0023 （0.0003）
0.034
ˆ ˆ y ˆ z 0 1 i 2 2 i1 0
i1
z y
i 1 i2
ˆ ˆ y ˆ z 0 1 i 2 2 i1 0 ˆ ˆ y ˆ z 0 1 i 2 2 i1 0
z y
i1
2 多元回归模型的IV估计
工具变量相关性假定检验： Cov z2 , x 0, 从偏相关角度理解 y2 0 1 z1 2 z2 v2 约简型方程 （用外生变量表述内生变量） E v2 0, Cov z1 , v2 0和Cov z2 , v2 0 关键的识别条件是： 2 0
IV 0.132 （0.055） 0.108 （0.024） -0.0023 （0.0003）
Biblioteka Baidu
Black
Smsa South 观测数 R2
-0.199 （0.018）
0.136 （0.02） -0.148 （0.026） 3010 0.300
-0.147 （0.054）
ˆ u2 SSTx Rx2, z
ˆ 的方差越小； n，或 ，或 越大， 1
2 x 2 x,z
在高斯-马尔科夫假定下，OLS估计量的方差：
ˆ Var 1 SSTx
2
例1 估计已婚女性的教育回报
log wage 0.185 0.109educ
0.185 0.28 0.029
检验的策略： y 0 1 z 2 X ei H 0 : 1 0 x 0 1z v H0 : 1 0 参数的识别： Cov z , y 1Cov z , x Cov z , u Cov z , y 1 ; Cov z , x ˆ z z y y i 1 i
1,OLS
corr z , x x
u
corr z , x 0, corr z , x 0, Corr z , u 0; OLS 估计量：向上偏误； IV估计量：向下偏误。
u 1 corr z , x x
IV估计后计算R2
Y=0+ 1*x+u 当x与u相关时，y的方差无法分解成下式： 12Var(x)+Var(u)，因此对R2没有合理的解 释。 R2=1-SSR/SST SSR是IV残差的平方和；x*=0+ 1*z+v y= 0+ 1x*+u= 0 + 0 1 + 1z+v+u SST是y的总平方和。
2 0.014 n 428, R 0.118
edu 10.24 0.269 fatheduc n 428, R 2 0.173 n 428, R 2 0.093 log wage 0.441 0.059educ
0.446 0.035
工具变量估计与两阶段最小二乘法
OUTLINE
动机：简单回归模型中的遗漏变量 多元回归模型的IV估计 两阶段最小二乘法 变量误差问题的IV解决办法 内生性检验与检验过度识别约束 异方差条件下的2SLS 2SLS应用于时间序列方程 2SLS应用于混合截面和面板数据
1 动机：简单回归模型中的遗漏变量