工具变量估计与两阶段最小二乘法
第15章 工具变量估计与两阶段最小二乘法
15.2 多元回归模型中的IV估计
简单回归模型IV估计很容易延伸到多元回归
y1 0 1 y2 2 z1 L k zk1 u1
借用联立方程模型的形式和术语，此方程称 为结构方程（structural equation）。 z1, z2 ,L , zk1是外生变量，y2 被怀疑是内生的， 即可能与u相关。需要找到其工具变量
具体的IV估计量可从k+1个矩条件对应的样本 方程求出：
Eu 0, Ez1u 0,L , E zk1u 0, E zku 0
15.3 两阶段最小二乘法
如果一个内生解释变量有多个工具变量，如 何有效运用多个工具变量？以下面结构模 型为例： y1 0 1y2 2z1 u1
如果内生解释变量 y2有两个被排斥的外生变 量 z2 , z3，且都与 y2相关，则不仅其中任何 一个可作为IV，而且它们的任何线性组合也 是有效的IV。为了找到最好的IV，需选择与 y2
最高度相关的线性组合，这要求估计约简型 方程： y2 0 1z1 2 z2 3z3 v2
有效的工具变量 zk 需满足：（1）是未包含的 外生变量，即它不在结构方程中且与u不相 关。
15.2 多元回归模型中的IV估计
（2）zk 与 y2 存在某种偏相关，即约简型方程
y2 0 1z1 L k1zk1 k zk v
的系数满足： k 0
同样要求（1）不能检验，只能寄希望于经济 逻辑和反思。要求（2）可对约简型方程估 计后直接检验。
15.1 动机：简单回归模型中的遗漏变量
要求（2）容易检验，只需x对z简单回归，检 验斜率系数的显著性。
内生解释变量和工具变量也可以是二值变量
工具变量法二阶段回归模型
工具变量法二阶段回归模型是一种用于处理内生性问题的统计方法，主要通过两个阶段的最小二乘法（Two Stage Least Square，2SLS或TSLS）来实现。
在第一阶段，该方法使用工具变量（iv）去做解释变量（x）的回归。
然后在第二阶段，它用工具变量对解释变量的估计值（x'）去对被解释变量（y）做回归。
此方法的逻辑是将内生解释变量分解为两部分，一部分是由工具变量造成的外生部分，另一部分是与扰动项相关的内生部分。
这样的分解能够“治疗”内生性问题，从而得到更加准确的估计结果。
在实际应用中，工具变量的回归操作可以通过多种统计软件实现，例如Stata，其基本操作代码有：ivregress, ivreg2, ivreghdfe, xtivreg, xtivreg2等。
这些工具和方法使得工具变量法二阶段回归模型在处理内生性问题时具有广泛的应用价值。
第15章-工具变量讲解
这样一来 , 我们便把 abil 放人误差项中，而 只留下简单回归模型： Log（wage） =β 0+β 1educ+u （15.1 ） 其中，u 包含 abil。当然，如果用 OLS 估计 方程 (15.1) ，若 educ 与 abil 相关，则得到 的结果将是 1 的有偏而又不一致估计量。
第15章 工具变量估计与两阶段最小二乘法
在本章中，我们进一步研究多元回归模型中的 内生解释变量 (endogenous explanatory Variables） 问题。在第 3 章中，我们推导出遗漏一个重要变 量时 OLS 估计量的偏误，在第 5 章中，我们说明 了在遗漏变量(omitted variables)的情况下，OLS 通 常是不一致的。
举例来说，考虑成年劳动者的工资方程中存 在无法观测之能力因素的问题。一个简单的 模型为： log（wage）=β 0+β 1educ+β 2abil+e 其中，e 是误差项。
在第 9 章中，我们证明了在某些假定下，如 何用诸如 IQ 的代理变量代替能力，从而通过 以下回归可得到一致估计量 log(wage)对 educ，IQ 回归 然而假定不能得到适当的代理变量（或它不 具备足以获取 1 一致估计量所需的性质）。
我们一开始先说明，在存在遗漏变量的情况 下，如何用 IV 法获得一致估计量。此外， IV 至少能在某些假定下用于解决变量误差 (errors-in-variables)问题。下一章将证明运 用 IV 法如何估计联立方程模型。
我们对工具变量估计的论述严格遵照我们在 第 1 篇中对普通最小二乘的推导，其中假定 我们有一个来自潜在总体的随机样本。这个 起点很合人意，因为除了简化符号之外，它 还强调用潜在总体来表述对 IV 估计所做的重 要假定 (正如用 OLS 时一样)。
计量学-联立方程组模型的参数估计
因此第一个结构式方程参数的间接最小二乘估
计，与简约式参数的最小二乘估计的关系为：
βˆ1 Πˆ Γˆ 1
也就是
ˆ11 ˆ12
ˆ1K1
0
0
XX
1
XY
1
ˆ12
ˆ1g1
0
0
9
分别由分块矩阵 和
Y Y1 Y11 Y12
Yi XΠi ui , i 2,, g1
对它们分别作最小二乘估计，得：
Πˆ i XX1XYi , i 2,, g1
因此这些内生变量的估计量为：
Yˆi XΠˆ i XXX1XYi , i 2,, g1
29
它们可以合并为：
Yˆ10 Yˆ 2 Yˆ 3 Yˆ g1
XXX1 X Y2 Y3 Yg1
以简约式的第l个方程为例：
Ylt l1 X1t l 2 X 2t lK X Kt ult
该方程的系数构成行向量 Πl l1,,lK
，它的最小二乘估计量为：
Πˆ l XX1XYl
6
这些参数估计向量可以合并成下列简约式 模型参数的估计量矩阵：
Πˆ
Πˆ 1Πˆ 2 Πˆ g
ˆˆ 1211
X X11 X12
表示 Y 和X 。
X11
X12 X11
ˆ11
X12
ห้องสมุดไป่ตู้
ˆ1K1
0
X11
0
X12 Y1
Y11
1
ˆ12
Y12
ˆ1g1
0
0
10
X11X11
X12X11
ˆ11
X11X12
ˆ1K1
X11Y1
X12X12
工具变量两阶段最小二乘
两阶段最小二乘法：TSLS
点击选择按钮（Op>ons）对参数估计协方差矩 阵的估计方法进行选择，本例采用的是横截面数据， 因此采用怀特异方差一致的协方差矩阵估计。
6.2 工具变量估计方法
6.2.2 两阶段最小二乘法：TSLS
两阶段最小二乘法：TSLS
一个内生自变量
Y = β0 + β1X1 + β2 X 2 + β3 X3 + u X1 为内生变量， X2 和X 3 为外生变量，Z1 、Z2 X为1 的工具变量。 两阶段最小二乘步骤：
原假设： H0 : α1 = α2 = 0
• 用第五章构造的Tr 统计量进行F检验，若 Tr值够大， 通常大于10则认为相关性足够，可做工具变量。
• 若接受原假设，则表明工具变量与内生变量相关 性太弱，其不适宜做工具
两阶段最小二乘法：TSLS
一个内生自变量
EViews实现两阶段最小二乘： 例子6.2 已婚女性小时工资（续）
• 不相干变量引入不会影响参数估计的无偏性和一 致性，但是会影响参数估计的有效性。
6.2 工具变量估计方法
6.2.1 工具变量估计法 6.2.2 两阶段最小二乘法：TSLS
6.2 工具变量估计方法
6.2.1 工具变量估计法
工具变量估计法
一元线性回归模型
Y = β0 + β1X + u
Ø 定义1：如果存在变量Z
工具变量法IV两阶段最小二乘法TSLS
YY12
b12Y2 b23Y3
c11 X1 c12 X 2 c23 X 3 u2
u1
Y3 b31Y1 b32Y2 c33 X 3 u3
其中：Y1,Y2 ,Y3 为内生变量， X1, X 2 , X 3为外生变量。
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2）方程组系统估计法 包括：三阶段最小二乘法（3SLS）、完全信息最
大似然估计法（FIML）等。这些方法是对模型中所有 结构方程的参数同时进行估计，从而获得模型全部参 数的估计值。它利用了模型的全部方程信息，称为完 全信息方法。
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/ ˆ23 bˆ12ˆ21
cˆ12 ˆ12 bˆ12ˆ22
若已知πij，即可解出惟一的cij，第一个结构方程得以 估计。这样，结构方程的参数估计值用传统的OLS就 得到了。
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ILS的步骤
一、先对模型作识别判断，找出恰好识别的方程； 二、利用简约式和结构式参数的关系式 B
Y1 11 X1 12 X 2 13 X 3 v1 Y2 21 X1 22 X 2 23 X 3 v2 Y3 31 X1 32 X 2 33 X 3 v3
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第一阶段是对结构方程右端所包含的所有内生变量（作为解 释变量）所对应的简化式方程进行OLS估计,得到内生变量的估计 （回归)值；
heckmann两步法和二阶段最小二乘法
heckmann两步法和二阶段最小二乘法
Heckman 两步法和二阶段最小二乘法都是统计学中常用的方法。
其中，Heckman 两步法是一种用于解决选择性样本偏误问题的统计方法，也被称为 Heckman 校正模型。
而两阶段最小二乘法是指一种计量经济学方法，简称2SLS或者TSLS，是用于解决内生性问题的一种方法。
Heckman 两步法可以通过建立一个选择模型和一个结果模型的联合模型，来解决选择性样本偏误问题。
该方法的核心思想是通过选择模型对样本进行校正，从而得到更加准确的结果模型估计值。
二阶段最小二乘法的原理是将模型分为两个阶段进行估计：第一阶段是利用工具变量法估计出所有解释变量（包括内生解释变量和外生解释变量）对因变量的影响；第二阶段则是将第一阶段估计出的内生解释变量的值代入原方程，再次进行回归估计。
需要注意的是，这两种方法的使用都需要注意样本的有效性和数据的可靠性，同时需要进行模型的验证和检验，以确保模型的准确性和可靠性。
2sls工具变量法
2sls工具变量法2SLS工具变量法是一种常用的计量经济学方法，用于解决内生性问题。
本文将介绍2SLS工具变量法的基本原理、应用场景以及优缺点。
一、2SLS工具变量法的基本原理2SLS全称为Two-Stage Least Squares，即两阶段最小二乘法。
它主要应用于当存在内生性问题时，通过引入工具变量来解决内生性问题。
内生性问题指的是自变量与误差项之间存在相关性，导致OLS估计结果偏误。
2SLS工具变量法的基本原理是通过两个阶段的回归来解决内生性问题。
第一阶段，使用工具变量对内生变量进行回归得到预测值；第二阶段，将预测值作为自变量，与因变量进行回归得到最终估计结果。
二、2SLS工具变量法的应用场景2SLS工具变量法适用于存在内生性问题的经济学研究。
常见的应用场景有以下几种：1. 自变量的测量误差：当自变量存在测量误差时，可以使用与自变量高度相关但与误差项不相关的工具变量进行修正。
2. 隐藏变量：当存在未观测到但影响自变量的隐藏变量时，可以使用与隐藏变量相关但与误差项不相关的工具变量进行估计。
3. 同时方程系统：当存在同时方程系统时，通过引入工具变量来解决内生性问题。
三、2SLS工具变量法的优缺点2SLS工具变量法的优点在于可以通过引入工具变量来解决内生性问题，得到无偏的估计结果。
同时，由于2SLS方法是基于回归的，因此可以利用回归分析的相关性、显著性等统计检验方法来评估模型的拟合程度和推断。
然而，2SLS工具变量法也存在一些缺点。
首先，工具变量的选择是关键，如果选择不当可能会引入其他问题，如工具变量无效性等。
其次，2SLS方法可能会损失一部分样本，导致样本量减小。
此外，2SLS方法要求模型的误差项符合一定的假设条件，如无异方差性、正态分布等，否则估计结果可能失效。
四、总结2SLS工具变量法是一种解决内生性问题的常用方法。
通过引入与内生变量相关但与误差项不相关的工具变量，可以得到无偏的估计结果。
工具变量 两阶段最小二乘
n−2
∑
n
i =1 i n
ˆ Z ,X = ρ
∑
i =1
( X i − X )(Z i − Z )
2 ( Z − Z ) ∑i=1 i n
2 ( X − X ) ∑i=1 i
ˆ −β ˆ X ˆi = Yi − β u 0 IV 1IV i
工具变量估计法
一元线性回归模型
Y = β0 + β1 X + u
内生性影响图示：
X
Y
u
dY / dX = β + du / dX
ˆ 是对 β + du / dX 的估计。 β
6.1 内生性
6.1.2 内生性产生的原因
模型设定错误、测量误差和联立性
• 模型设定错误是导致内生性最常见的原因，模型 设定错误往往表现为相关变量的缺失，缺失变量 成为错误设定模型误差项的一部分，当缺失变量 和模型中其他变量相关时，就会导致这些变量的 内生性。（工资与教育、能力）、 • 不相干变量引入不会影响参数估计的无偏性和一 致性，但是会影响参数估计的有效性。
??模型设定错误是导致内生性最常见的原因模型设定错误往往表现为相关变量的缺失缺失变量成为错误设定模型误差项的一部分当缺失变量和模型中其他变量相关时就会导致这些变量的内生性
第6章
内生性和工具变量估计方法
内生性和工具变量估计方法
6.1 内生性
6.1.1 OLS估计的不一致性 6.1.2 内生性产生的原因
fathedu 作工具变量：
ln(wage) = − 0.441+ 0.059 educ
( 0.989 ) (1.686 )
工具变量估计法
多元线性回归模型
两阶段最小二乘法 尔斯比率
两阶段最小二乘法尔斯比率
两阶段最小二乘法（Two-Stage Least Squares，简称2SLS）是一种用于处理内生性（endogeneity）问题的统计方法。
在经济学和其他社会科学中，内生性是一个常见问题，它可能导致OLS（普通最小二乘法）估计量有偏且不一致。
当解释变量与误差项相关时，就会出现内生性问题。
两阶段最小二乘法通常用于估计一个模型，其中一个或多个解释变量是内生的。
这种方法的基本思想是通过找到一个或多个工具变量（instrumental variables）来“净化”或“转换”这些内生解释变量，从而消除它们与误差项之间的相关性。
两阶段最小二乘法的过程如下：
第一阶段：使用工具变量对内生解释变量进行回归。
这个回归的目的是得到内生解释变量的预测值（或称为“拟合值”）。
第二阶段：使用第一阶段得到的预测值作为解释变量，对原模型进行OLS回归。
关于“尔斯比率”（我猜测你可能是指“F-statistic”或“F值”），在统计和回归分析中，
F-statistic用于检验模型的一个或多个解释变量是否对被解释变量有显著影响。
在两阶段最小二乘法中，F-statistic也可以用于检验工具变量的有效性。
如果F-statistic的值很大，那么我们可以拒绝工具变量与误差项不相关的原假设，从而认为工具变量是有效的。
需要注意的是，两阶段最小二乘法并不总是解决内生性问题的最佳方法。
在某些情况下，其他方法（如广义方法矩估计GMM、极大似然估计MLE等）可能更为合适。
此外，工具变量的选择也是至关重要的，因为不恰当的工具变量可能导致估计结果仍然有偏。
工具变量法（IV）的Stata操作
⼯具变量法（IV）的Stata操作Stata操作⼯具变量法的难点在于找到⼀个合适的⼯具变量并说明其合理性，Stata操作其实相当简单，只需⼀⾏命令就可以搞定，我们通常使⽤的⼯具变量法的Stata命令主要就是ivregress命令和ivreg2命令。
ivregress命令ivregress命令是Stata⾃带的命令，⽀持两阶段最⼩⼆乘（2SLS）、⼴义矩估计（GMM）和有限信息最⼤似然估计（LIML）三种⼯具变量估计⽅法，我们最常使⽤的是两阶段最⼩⼆乘法（2SLS），因为2SLS最能体现⼯具变量的实质，并且在球形扰动项的情况下，2SLS是最有效率的⼯具变量法。
顾名思义，两阶段最⼩⼆乘法（2SLS）需要做两个回归：（1）第⼀阶段回归：⽤内⽣解释变量对⼯具变量和控制变量回归，得到拟合值。
（2）第⼆阶段回归：⽤被解释变量对第⼀阶段回归的拟合值和控制变量进⾏回归。
如果要使⽤2SLS⽅法，我们只需在ivregress后⾯加上2sls即可，然后将内⽣解释变量lnjinshipop和⼯具变量bprvdist放在⼀个⼩括号中，⽤=号连接。
选项first表⽰报告第⼀阶段回归结果，选项cluster()表⽰使⽤聚类稳健的标准误。
ivregress 2sls lneduyear (lnjinshipop=bprvdist) lnnightlight lncoastdist tri suitability lnpopdensity urbanrates i.provid , first cluster(provid)第⼀阶段回归结果First-stage regressions-----------------------Number of obs = 274No. of clusters = 28F( 7, 239) = 85.27Prob > F = 0.0000R-squared = 0.6487Adj R-squared = 0.5988Root MSE = 0.4442------------------------------------------------------------------------------| Robustlnjinshipop | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]-------------+----------------------------------------------------------------lnnightlight | .183385 .0682506 2.690.008 .0489354 .3178346lncoastdist | .0350333 .0771580.450.650 -.1169634 .1870299tri | 1.06676 .5637082 1.890.060 -.0437105 2.177231suitability | -.0769726 .0549697 -1.400.163 -.1852596 .0313144lnpopdensity | .196144 .0843727 2.320.021 .0299349 .3623532urbanrates | 3.352916 1.687109 1.990.048 .029414 6.676419|provid |12 | .2051006 .0551604 3.720.000 .096438 .313763213 | -1.890425 .0951146 -19.880.000 -2.077795 -1.703055......64 | -1.301895 .1581021 -8.230.000 -1.613346 -.9904433|bprvdist | -.0846917 .0107859 -7.850.000 -.1059393 -.0634441_cons | 2.126233 .9791046 2.170.031 .1974567 4.05501------------------------------------------------------------------------------从表中可以看出，⼯具变量bprvdist的系数为-0.085，标准误为0.011，在1%的⽔平上显著。
工具变量法与最小二乘法的联系
工具变量法与最小二乘法的联系引言在经济学研究中，经常会遇到因果关系的分析问题。
然而，由于一些内生性问题，经济变量之间的因果关系不容易准确确定。
在这种情况下，研究者常常会使用工具变量法来解决内生性问题。
而在回归分析中，最小二乘法是最常用的估计方法之一。
本文将讨论工具变量法与最小二乘法的联系，并探讨它们在经济研究中的应用。
第一节：最小二乘法的基本原理最小二乘法是回归分析中最常用的估计方法之一。
其基本思想是通过最小化实际观测值与拟合值之间的残差平方和，来估计模型参数。
最小二乘法在非内生性问题下具有较好的性质和可解释性，因此被广泛应用于经济学研究。
第二节：工具变量法的基本原理工具变量法是一种解决内生性问题的方法。
当存在内生性问题时，直接使用最小二乘法估计结果可能是无偏且一致的，但标准误差可能会被低估，导致统计显著性的判断错误。
工具变量法通过引入一个或多个与内生变量相关但与误差项不相关的工具变量，将内生变量的影响通过工具变量间接传递给被解释变量，从而实现对内生性问题的处理。
第三节：虽然最小二乘法和工具变量法在解决经济研究中的问题时采用不同的方法，但它们之间存在联系。
首先，最小二乘法可以视为工具变量法的一种特殊情况，在非内生时可以直接使用。
其次，最小二乘法可以通过工具变量法来解决内生性问题，从而得到更准确的估计结果。
工具变量法通过引入工具变量来处理内生性问题，而这些工具变量的选择和使用通常需要基于最小二乘法的思想。
例如，研究者可以利用工具变量与内生变量相关的结构特点，通过最小二乘法来选择合适的工具变量。
这种联系使得最小二乘法和工具变量法之间相辅相成，共同构建了解决内生性问题的分析框架。
第四节：工具变量法与最小二乘法的应用工具变量法和最小二乘法在实际应用中都非常重要。
最小二乘法常被用于线性回归分析，估计参数的一致性和渐进正态性。
而工具变量法则广泛应用于处理内生性问题，如评估教育对收入的影响、估计负债对企业投资决策的影响等。
计量经济学-名词解释
什么是计量经济学：计量经济学是经济学的一个分支学科，是以揭示经济活动中客观存在的数量关系为内容的分支学科，是由经济学、统计学和数学三者结合而成的交叉学科。
数理经济学：主要关心的是用数学公式或数学模型来描述经济理论，而不考虑对经济理论的度量和经验解释。
而经济计量学主要是对经济理论的经验确认。
计量经济学方法与一般经济数学方法有什么区别：计量经济学方法揭示经济活动中各个因素之间的定量关系，用随机性的数学方程加以描述；一般经济数学方法揭示经济活动中各个因素之间的理论关系，用确定性的数学方程加以描述计量经济学的研究的对象和内容是什么：计量经济学的研究对象是经济现象，是研究经济现象中的具体数量规律（或者说，计量经济学是利用数学方法，根据统计测定的经济数据，对反映经济现象本质的经济数量关系进行研究）。
计量经济模型包括一个或一个以上的随机方程式，它简洁有效地描述、概括某个真实经济系统的数量特征，更深刻地揭示出该经济系统的数量变化规律。
是由系统或方程组成，方程由变量和系数组成。
其中，系统也是由方程组成。
计量经济模型揭示经济活动中各个因素之间的定量关系，用随机性的数学方程加以描述。
广义地说，一切包括经济、数学、统计三者的模型；狭义地说，仅只用参数估计和假设检验的数理统计方法研究经验数据的模型。
简述建立计量经济学模型的步骤：第一步：设计理论模型，包括确定模型所包含的变量、确定模型的数学形式、拟定模型中的待估参数的符号和大小的理论期望值。
第二步：收集数据样本，要考虑数据的完整性、准确性、可比性和一致性； 第三步：估计模型参数；第四步：模型检验，包括经济意义检验、统计检验、计量经济学检验和模型预测检验。
几种常用的样本数据有哪些：(1) 时间序列数据；(2) 横截面数据；(3) 虚拟变量数据（1）时间序列数据：在不同时间点上收集到的数据，这类数据反映了某一事物、现象等随时间的变化状态或程度。
（2）横截面数据：横截面数据是在同一时间，不同统计单位相同统计指标组成的数据列。
工具变量法IV两阶段最小二乘法TSLS
原解释变量 X y2, y3,L , ym1, xk1,L , xk
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三者之间的关系
ILS是TSLS的一种特殊形式，而ILS和TSLS都 是工具变量法。即有：
系数矩阵为：
1 b12 0 c11 c12 0
,
0
1 b23 0
0
c23
b31 b32 1 0
0 c33
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计算出1，得到简化式参数 1，从而 得到模型简化式：
2）大样本下的TSLS估计量是一致的；
3）方程恰好识别时，ILS与TSLS估计一致；
4）模型可识别时，每一个结构方程都可用TSLS估计参数。
TSLS是最常用的方法——先建立理论联立结构方程组模型，再 进行单个方程的TSLS估计。
四、工具变量法IV
ILS和TSLS都属于工具变量法。工具变量法，
即对模型方程中出现随机解释变量X时，选择一个
模型可写成矩阵形式：
Y1 b12Y2 0Y3 c11 X1 c12 X 2 0 X 3 u1 0Y1 Y2 b23Y3 0 X1 0 X 2 c23 X 3 u2 b31Y1 b32Y2 Y3 0 X1 0 X 2 c33 X 3 u3
• 二、对简约式模型逐个方程求OLS，得到简约式 模型中所有的参数估计值；
• 三、将简约式参数估计值代入关系式，求结构方 程参数的估计值。
二阶段最小二乘法的阶条件
二阶段最小二乘法的阶条件二阶段最小二乘法（Two-stage least squares method, 2SLS）是一种用于解决内生性问题的回归方法。
内生性问题指的是模型中的某些解释变量与误差项存在相关性，这会导致最小二乘估计量存在偏误和无效性。
2SLS方法通过两个阶段的回归来解决内生性问题。
在第一阶段，使用外生性变量预测内生性变量，得到预测值。
在第二阶段，使用这些预测值作为替代变量进行回归分析，从而得到有内生性变量的最小二乘估计量。
2SLS方法的有效性和一致性要求满足一些条件。
这些条件包括：第一、外生性的条件：2SLS方法要求至少有一个外生变量可以与内生变量相关，但与误差项不相关。
否则，无法使用该外生变量来解决内生性问题。
第二、无完全共线性的条件：如果外生变量之间存在完全共线性（即线性相关），则无法计算回归系数的标准误差，导致结果不可靠和无效。
因此，外生变量之间应该是线性独立的。
第三、弱工具的条件：弱工具指的是外生变量对内生变量的影响相对较弱。
如果外生变量对内生变量的影响太强，可能会导致2SLS方法的估计量偏误和无效性。
第四、合理的工具的条件：工具变量是用于预测内生变量的外生变量。
合理的工具应该满足两个条件：1）工具变量与内生变量相关；2）工具变量与误差项不相关。
第五、有效的工具的条件：工具变量的预测性能越好，2SLS方法的效果越好。
因此，工具变量应该具有良好的预测性能。
以上是2SLS方法的阶条件，这些条件在使用2SLS方法时需要满足，以确保估计结果的可靠性和有效性。
然而，在实际应用中，满足所有条件是很困难的，所以研究者需要根据具体问题的特点选择合适的方法来解决内生性问题。
两阶段最小二乘法
(0.0367)34
(12.9.12)
在EViews软件中，二阶段最小二乘法，选择工具变 量Y、W可以直接应用TSLS来实现，对模型(12.9.8) 应用TSLS结果如图12.9.4和图12.9.5所示：
图12.9.4
同样方法可以估计第二个方程：
图12.9.5
图12.9.4和图12.9.5的结果与图12.9.2和图12.9.3结 果除了方差计算外，参数估计基本一样。
将(12.9.10)中的 Pˆ t 代替模型(12.9.8)中的变量Pt：
Qt 01P ˆt 2Yt u1t Qt 01P ˆt 2Wt u2t
(12.9.11)
其中 Pˆ t 的数值由第一阶段的OLS估计式(12.9.10)算
出(见表12.9.1)。
再用OLS法分别对模型(12.9.11)中每个方程进行估计， 得出模型(12.9.11)的2SLS估计式，如图12.9.2和图12.9.3
结构参数的估计值，便是二阶段最小二乘估计量。
在计算时需要用到的估计值 yˆ 1t 和 yˆ 2 t ，应通过
(12.9.3)算出。由于这个方法是在二个阶段分别应用
最小二乘法，故叫做二阶段最小二乘法。
在实际应用二阶段最小二乘法时，第一阶段对约简型
方程应用OLS法只需求出我们所需要的 yˆ it，并不需
图12.9.2
图12.9.3
图12.9.2和图12.9.3中P1即为模型中的 Pˆ t 。
QˆtD18.276874.3779Pˆ3t730.462Y0t7
(0.5900)71
(4.4297)56
QˆtS 2.7267609.2149Pˆ5t 20.2526W1t0
(0.0653)21
伍德里奇《计量经济学导论》(第6版)复习笔记和课后习题详解-工具变量估计与两阶段最小二乘法
第15章工具变量估计与两阶段最小二乘法15.1复习笔记考点一：工具变量法★★★★★1．简单模型的工具变量法简单回归模型为y＝β0＋β1x＋u，其中x与u相关：Cov（x，u）≠0。
（1）为了在x和u相关时得到β0和β1的一致估计量，需要有一个可观测到的变量z，z满足两个假定：①工具外生性条件，z与u不相关，即Cov（z，u）＝0，意味着z应当对y无偏效应（一旦x和u中的遗漏变量被控制），也不应当与其他影响y的无法观测因素相关；②工具相关性条件，z与x相关，即Cov（z，x）≠0，意味着z必然与内生解释变量x 有着或正或负的关系。
满足这两个条件，则z称为x的工具变量，简称为x的工具。
（2）工具变量的两个要求之间的差别①Cov（z，u）是z与无法观测误差u的协方差，通常无法对它进行检验：在绝大多数情形中，必须借助于经济行为或反思来维持这一假定。
②给定一个来自总体的随机样本，z与x（在总体中）相关的条件则可加以检验。
最容易的方法是估计一个x与z之间的简单回归。
在总体中，有x＝π0＋π1z＋v，从而，由于π1＝Cov（z，x）/Var（z）所以式Cov（z，x）≠0中的假定当且仅当π1≠0时成立。
因而就能够在充分小的显著水平上，相对双侧对立假设H 1：π1≠0而拒绝虚拟假设H 0：π1＝0。
就能相当有把握地肯定工具z 与x 是相关的。
2．工具变量估计量（1）参数的工具变量（IV）估计量参数的识别意味着可以根据总体矩写出β1，而总体矩可用样本数据进行估计。
为了根据总体协方差写出β1，利用简单回归方程可得z 与y 之间的协方差为：Cov（z，y）＝β1Cov（z，x）＋Cov（z，u）在Cov（z，u）＝0与Cov（z，x）≠0的假定下，可以解出β1为：β1＝Cov（z，y）/Cov（z，x）β1是z 和y 之间的总体协方差除以z 和x 之间的总体协方差，说明β1被识别了。
给定一个随机样本，用对应样本量来估计总体量。
两阶段最小二乘法python
两阶段最小二乘法python
两阶段最小二乘法（Two-Stage Least Squares，2SLS）是一种用于处理内生性问题的工具变量方法。
在Python中，可以使用`statsmodels`库中的`OLS`类和`IV2SLS`类来实现两阶段最小二乘法。
下面是一个使用两阶段最小二乘法的示例代码：
```python
import numpy as np
import as sm
生成样本数据
(0)
n_samples = 100
X = (n_samples)
Z = (n_samples)
Y = X + (X) + (n_samples)
第一阶段回归
X = _constant(X) 添加常数项
Z = _constant(Z) 添加常数项
XZ = _constant(_stack((X, Z))) 添加常数项和交互项
model1 = (Y, XZ)
results1 = ()
X_hat = (XZ) 预测内生解释变量的值
第二阶段回归
endog = Y - (X) + (Z) 计算外生解释变量的值
exog = X_hat 使用预测值作为工具变量
model2 = (endog, exog)
results2 = ()
print(())
```
在上面的代码中，我们首先生成了样本数据，其中`X`是内生解释变量，`Z`是工具变量，`Y`是因变量。
然后，我们使用第一阶段回归来预测内生解释变量的值，并将预测值作为工具变量。
在第二阶段回归中，我们使用外生解释变量的值作为因变量，并将工具变量的预测值作为解释变量。
最后，我们打印出第二阶段回归的结果。
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2 0.014 n 428, R 0.118
edu 10.24 0.269 fatheduc n 428, R 2 0.173 n 428, R 2 0.093 log wage 0.441 0.059educ
0.446 0.035
ˆ u2 SSTx Rx2, z
ˆ 的方差越小； n，或 ，或 越大， 1
2 x 2 x,z
在高斯-马尔科夫假定下，OLS估计量的方差：
ˆ Var 1 SSTx
2
例1 估计已婚女性的教育回报
log wage 0.185 0.109educ
0.185 0.28 0.029
IV 0.132 （0.055） 0.108 （0.024） -0.0023 （0.0003）
Black
Smsa South 观测数 R2
-0.199 （0.018）
0.136 （0.02） -0.148 （0.026） 3010 0.300
-0.147 （0.054）
ˆ ˆ y ˆ z 0 1 i 2 2 i1 0
i1
z y
i 1 i2
ˆ ˆ y ˆ z 0 1 i 2 2 i1 0 ˆ ˆ y ˆ z 0 1 i 2 2 i1 0
z y
i1
2 多元回归模型的IV估计
工具变量相关性假定检验： Cov z2 , x 0, 从偏相关角度理解 y2 0 1 z1 2 z2 v2 约简型方程 （用外生变量表述内生变量） E v2 0, Cov z1 , v2 0和Cov z2 , v2 0 关键的识别条件是： 2 0
i 1 n n
z z x x
i 1 i i
1 动机：简单回归模型中的遗漏变量
用IV估计量做统计推断： 在工具外生、工具相关、同方差性假定下， IV估计量的渐进方差：
2 u ˆ = Var ; 1 2 2 n x x , z
ˆ se 1
例2 估计对男性的教育回报
educ 14.14 0.228sibs
0.11 0.030 n 935, R log wage 5.13 0.122educ 0.36 0.026 n 935
2
0.057
IV估计的两个例子
• 以出生的季节作为educ的IV： --年初出生的学生往往入学较晚，他们到达 义务教育年龄（16岁）时，所受的教育略 少于入学较早的学生。 • 以征兵抽签号作为是否参加越战的IV： --征兵抽签号是随机发放的，因此与u无关。
例4 用临近大学作为教育的IV
educ 16.64 0.320nearc 4 0.413exp er
0.24 0.088
解释变量 Educ Exper Exper2 OLS 0.075 （0.003） 0.085 （0.007） -0.0023 （0.0003）
0.034
1,OLS
corr z , x x
u
corr z , x 0, corr z , x 0, Corr z , u 0; OLS 估计量：向上偏误； IV估计量：向下偏误。
u 1 corr z , x x
IV估计后计算R2
Y=0+ 1*x+u 当x与u相关时，y的方差无法分解成下式： 12Var(x)+Var(u)，因此对R2没有合理的解 释。 R2=1-SSR/SST SSR是IV残差的平方和；x*=0+ 1*z+v y= 0+ 1x*+u= 0 + 0 1 + 1z+v+u SST是y的总平方和。
低劣工具变量条件下IV的性质
• 当z与x弱相关时，IV估计值的标准误可能很大。
2 u ˆ = Var 1 2 2 n x x, z
• 当z与u只是适度相关，IV估计量的渐进偏误可 能很大。 corr z , u
ˆ p lim 1, IV 1 ˆ p lim
工具变量估计与两阶段最小二乘法
OUTLINE
动机：简单回归模型中的遗漏变量 多元回归模型的IV估计 两阶段最小二乘法 变量误差问题的IV解决办法 内生性检验与检验过度识别约束 异方差条件下的2SLS 2SLS应用于时间序列方程 2SLS应用于混合截面和面板数据
1 动机：简单回归模型中的遗漏变量
Hale Waihona Puke 2 多元回归模型的IV估计
y1 0 1 y2 2 z1 u1
内生变量 外生变量
结构方程
寻找外部工具变量z2 , 并满足如下假定：
E u1 0; Cov z1 , u1 0和Cov z2 , u1 0
n i 1 n i1
y
i 1 n i1
遗漏变量偏误 yi 0 1educi 2 abilityi ei yi 0 1educi ui
i 1 2 * 1
1 动机：简单回归模型中的遗漏变量
工具变量的两个要件：
1 Cov z, u 0 z与u无关，即z对y无偏效应：工具外生性； 2 Cov z, x 0 z与x相关：工具相关性；