材料力学(扭转)
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例4-1 NA=19kW,NB=44kW, NC=25kW, n=150rpm 求：作图示传动轴的扭矩图 解：1. 求外力偶
TA TA TB n Mn1 n TC
第三章
扭转
1-1
2-2
2.截面法求内力( 设正法) Mn1-TA=0 Mn1 = 1210 Nm Mn2- TA+ TB=0 Mn2 = -1590 Nm 3.作内力图
o o o o
σα = −τ sin 2α τα =τ cos 2α
σα dA+τdAcosα sin α +τdAsin α cosα = 0 ταdA−τdAcosα cosα +τdAsin α sin α = 0
σ45 = −τ
α = −45o σ−45 =σmax =τ τ−45 = 0 α = 45o σ45 =σmin = −τ τ45 = 0
19 TA= 9549150 =1210Nm 同样 TB=2800Nm, TC=1590Nm TAMn
Mn2 TB
1210
x
-1590
Mn
x
讨论：交换AB轮的位置扭矩将如何变化？ 讨论：交换AB轮的位置扭矩将如何变化？ AB轮的位置扭矩将如何变化
-1590 -2800
§3-4 圆柱扭转时的应力和强度计算
∫
ρ dϕ τρdA dA⋅ ρ = ∫ Gρ A dx dϕ =G ρ2dA dx ∫A Mn dϕ dϕ = Mn = G Ip dx GIp dx
∫A
τρdA⋅ ρ
dx
Mn τρ = ρ Ip
Mn 极惯性矩I τρ = ρ 极惯性矩 p: I p = ρ2dA Ip A
∫
实心圆轴: 实心圆轴 空心圆轴: 空心圆轴
外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图 外力偶矩的计算、
功率、转速和外力偶矩之间的关系 功率、
ω = 2π n /60 ，1 kW = 1000 N•m/s
功率： 角速度： 转速： 外力偶矩： 功率：P 角速度：ω 转速：n 外力偶矩：T 功率、转速和外力偶矩之间的关系： 功率、转速和外力偶矩之间的关系：
P P T= = ω 2πn
扭转切应力公式推导 γ —切应变 变形几何关系： 变形几何关系： 表面 γdx = dϕR 内部 γρdx = ρdϕ
Mn
γρ
ρdϕ ϕ γρ = dx
dx
Mn Mn
dϕ
ρ
物理条件： 物理条件： τρ = Gγρ = Gρ dϕ 平衡条件： dMn = τρdA⋅ ρ 平衡条件：
Mn = dMn =
1590 N.m
一、按强度条件： 按强度条件：
τmax
πD Mn Mn ≥ = ≤ [τ ] Wp = 16 [τ ] Wp
3
Mn
1210
x
= 58.7mm π[τ ] M n 180o 刚度条件： 二、刚度条件： Φ = G I × π ≤ [Φ] p 32 Mn×180o πD4 Mn×180o D≥ 4 × = 61.7mm Ip = ≥ π Gπ[Φ] Gπ[Φ] 32
若功率P的单位为千瓦，转速n的单位为转 分： 若功率 的单位为千瓦，转速 的单位为转/分 的单位为千瓦 的单位为转
P ( N ⋅m) T =9549 n
若功率的单位为马力，转速 的单位为转 的单位为转/分 若功率的单位为马力，转速n的单位为转 分：
P T =7024 ( N ⋅m) n
外力偶矩、 §3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
内力偶矩（扭矩Mn） ● 内力偶矩（来自百度文库矩 ）的计算
T T T （ +） Mn n T 扭矩的符号规则 : 按右手螺旋法则， 按右手螺旋法则， 其矢量方向与横截面外 法线方向一致时为正。 反之,则为负。 反之,则为负。 Mn -） （ n （ -） Mn n T Mn +） （ n T
第三章
扭转
外力偶矩、 §3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
τ τ′τ dy τ′ dz
z
x
dx
τ =τ '
单元体
切应力互等定理、 §3-６ 切应力互等定理、圆轴扭转破坏分析
y
第三章
扭转
τ
3、斜截面上的 应力分析
∑F = 0 n ∑F = 0 t
z
α
x z
x
τ
τ
τ
τ
τ
σα
t
n
α τ α
α
α = 0o τ0 =τmax =τ σ0 = 0, 讨论： 讨论： α = 90o τ90 =τmin = −τ , σ90 = 0
(
)
强度条件： 强度条件：
M n τm = ≤ [τ] ax Wp
§3-4 圆柱扭转时的应力和强度计算
例4-2 汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm， τmax [τ ] = 60M , T = 1.5 kNm。 校核轴的强度。 Pa Mn 解： = T = 1.5 kNm , α = d D = 0.944 T
第三章
扭转
今日作业
4-11、4-12、4-13
D≥3
16M n
-1590
所以 D=61.7mm或62mm
切应力互等定理、 §3-６ 切应力互等定理、圆轴扭转破坏分析
1、扭转破坏实验断口: 低碳钢： 灰铸铁： 竹、木材： 2、切应力互等定理：
y x z y
第三章
扭转
沿横截面 沿45°斜截面 沿纤维、木纹方向
(τdzdy)dx = (τ ' dxdy)dz
§3-5 圆柱扭转时的变形和刚度计算
dϕ M n = dx GI p
第三章
扭转
M n ϕ = ∫ dϕ = ∫ dx GI p l
单位：(弧度) GI p : 抗扭刚度
对于两端作用力偶的等直轴:
ϕ=
M nl GI p
dϕ M n 180o o = × ( ) 单位长度扭转角： Φ = m dx G I p π dϕ M n 180o 刚度条件： Φ = = × ≤ [Φ] dx GIp π
第三章
扭转
l
l
（1） 实验观察: A. 各纵向线倾斜角度相同； X B. 各圆周线的形状、大小和 间距不变，只是绕轴线作相 对转动； T C. 正方形网格,加外力偶后变 X 成同样大小的平行四边形。 圆杆的横截面变形 （2）假设： （3）推理： 后仍保持为平面 由现象A、 C →横截面上有切应力；
由现象B→横截面上无正应力；
许用单位长度扭转角 [Φ]：
0.25～ .5 o/ m 精密轴 0 0.50～ .0 o/ m 一般轴 1 1.0 ～ .0 o/ m 粗糙轴 3
§3-5 圆柱扭转时的变形和刚度计算
第三章
扭转
例４-3： ] = 40MPa, G = 80GPa, 1210 N.m 2800 N.m [τ [Φ] = 0.8o / m 确定圆轴的直径 解： |Mn|max=1590（N.m)
第三章
扭转
Mn = ≤ [τ ] Wp
T
(1−α ) = 29×10 m 16 [ τmax = Mn Wp = 51.7MPa＜τ ]
Wp =
4 −6
πD3
3
强度满足。
讨论： （1）改用实心轴，最大应力不变时确定轴直径； 由 Wp = πD′3 16 = M τm ′ n ax 得D′ = 53mm （2）比较实心轴和空心轴的重量。 η′ = Q′ Q = A′ A = D′2 (D2 − d 2 ) = 3.2 空心轴优于实心轴！
M n = ρ IP
强度条件 τmax 刚度条件
M n = ≤ [τ ] Wp
M nl ϕ= GI p
dϕ M n 180o Φ= = × ≤ [Φ] dx GIp π
第三章的基本要求
1．掌握根据轴的传递功率和转速计算外力偶矩； 掌握根据轴的传递功率和转速计算外力偶矩； 2．掌握扭转时内力（即扭矩）的计算以及扭矩图的画 掌握扭转时内力（即扭矩） 法； 3．掌握扭转切应力的计算方法； 掌握扭转切应力的计算方法； 4．掌握圆轴扭转时扭转角的计算方法； 掌握圆轴扭转时扭转角的计算方法； 5．熟练掌握圆轴扭转时强度条件和刚度条件的建立， 熟练掌握圆轴扭转时强度条件和刚度条件的建立， 并利用强度条件和刚度条件进行安全校核和设计。 并利用强度条件和刚度条件进行安全校核和设计。 6．了解不同材料圆轴扭转的破坏分析，明确纯剪切应 了解不同材料圆轴扭转的破坏分析， 力状态的概念，掌握切应力互等定理； 力状态的概念，掌握切应力互等定理；
o o
o o
σ−45 =τ
切应力互等定理、 §3-６ 切应力互等定理、圆轴扭转破坏分析
4、破坏分析 低碳钢：抗拉强度=抗压强度＞抗剪强度
第三章
扭转
灰铸铁：抗压强度＞ 抗剪强度＞抗拉强度
τ
τ
σ45 = −τ
横向抗剪强度＞纵向抗剪强度 竹、木材：
σ−45 = τ
第三章 扭转 基本解题思路
截面法 外力（转矩） 外力（转矩） 内力（扭矩Mn） 内力（扭矩 ） 应力 τ ρ 变形
§3-1 概述
T
第三章
扭转
● 扭转的概念：受扭转杆件的力学模型为: 扭转的概念：受扭转杆件的力学模型为:
ϕ
T
圆截面等直杆； 模型的特征： 构件多为圆截面等直杆 模型的特征： 1) 构件多为圆截面等直杆； 2) 外力偶的矢量方向与杆轴线平行； 外力偶的矢量方向与杆轴线平行； 3) 横截面之间绕杆轴线产生相对角位移。 横截面之间绕杆轴线产生相对角位移。 具有上述特征的变形称为扭转变形 扭转变形。 ● 具有上述特征的变形称为扭转变形。 工程上，把承受扭转变形的杆件称为“ 工程上，把承受扭转变形的杆件称为“轴”。 横截面之间的相对角位移，称为扭转角 扭转角。 ● 横截面之间的相对角位移，称为扭转角。
πD4 Ip = 32
Mn
π πD4 4 d4 Ip = D − 1 − α4 = 32 32 α=d D
(
)
(
)
Mn
3.3.2 圆轴扭转的强度条件
Mn Mn R= τmax = Ip Wp
Wp =
Ip R
抗扭截面系数W 抗扭截面系数Wp :
πD3 Wp = 16 πD3 Wp = 1 − α4 16
TA TA TB n Mn1 n TC
第三章
扭转
1-1
2-2
2.截面法求内力( 设正法) Mn1-TA=0 Mn1 = 1210 Nm Mn2- TA+ TB=0 Mn2 = -1590 Nm 3.作内力图
o o o o
σα = −τ sin 2α τα =τ cos 2α
σα dA+τdAcosα sin α +τdAsin α cosα = 0 ταdA−τdAcosα cosα +τdAsin α sin α = 0
σ45 = −τ
α = −45o σ−45 =σmax =τ τ−45 = 0 α = 45o σ45 =σmin = −τ τ45 = 0
19 TA= 9549150 =1210Nm 同样 TB=2800Nm, TC=1590Nm TAMn
Mn2 TB
1210
x
-1590
Mn
x
讨论：交换AB轮的位置扭矩将如何变化？ 讨论：交换AB轮的位置扭矩将如何变化？ AB轮的位置扭矩将如何变化
-1590 -2800
§3-4 圆柱扭转时的应力和强度计算
∫
ρ dϕ τρdA dA⋅ ρ = ∫ Gρ A dx dϕ =G ρ2dA dx ∫A Mn dϕ dϕ = Mn = G Ip dx GIp dx
∫A
τρdA⋅ ρ
dx
Mn τρ = ρ Ip
Mn 极惯性矩I τρ = ρ 极惯性矩 p: I p = ρ2dA Ip A
∫
实心圆轴: 实心圆轴 空心圆轴: 空心圆轴
外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图 外力偶矩的计算、
功率、转速和外力偶矩之间的关系 功率、
ω = 2π n /60 ，1 kW = 1000 N•m/s
功率： 角速度： 转速： 外力偶矩： 功率：P 角速度：ω 转速：n 外力偶矩：T 功率、转速和外力偶矩之间的关系： 功率、转速和外力偶矩之间的关系：
P P T= = ω 2πn
扭转切应力公式推导 γ —切应变 变形几何关系： 变形几何关系： 表面 γdx = dϕR 内部 γρdx = ρdϕ
Mn
γρ
ρdϕ ϕ γρ = dx
dx
Mn Mn
dϕ
ρ
物理条件： 物理条件： τρ = Gγρ = Gρ dϕ 平衡条件： dMn = τρdA⋅ ρ 平衡条件：
Mn = dMn =
1590 N.m
一、按强度条件： 按强度条件：
τmax
πD Mn Mn ≥ = ≤ [τ ] Wp = 16 [τ ] Wp
3
Mn
1210
x
= 58.7mm π[τ ] M n 180o 刚度条件： 二、刚度条件： Φ = G I × π ≤ [Φ] p 32 Mn×180o πD4 Mn×180o D≥ 4 × = 61.7mm Ip = ≥ π Gπ[Φ] Gπ[Φ] 32
若功率P的单位为千瓦，转速n的单位为转 分： 若功率 的单位为千瓦，转速 的单位为转/分 的单位为千瓦 的单位为转
P ( N ⋅m) T =9549 n
若功率的单位为马力，转速 的单位为转 的单位为转/分 若功率的单位为马力，转速n的单位为转 分：
P T =7024 ( N ⋅m) n
外力偶矩、 §3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
内力偶矩（扭矩Mn） ● 内力偶矩（来自百度文库矩 ）的计算
T T T （ +） Mn n T 扭矩的符号规则 : 按右手螺旋法则， 按右手螺旋法则， 其矢量方向与横截面外 法线方向一致时为正。 反之,则为负。 反之,则为负。 Mn -） （ n （ -） Mn n T Mn +） （ n T
第三章
扭转
外力偶矩、 §3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
τ τ′τ dy τ′ dz
z
x
dx
τ =τ '
单元体
切应力互等定理、 §3-６ 切应力互等定理、圆轴扭转破坏分析
y
第三章
扭转
τ
3、斜截面上的 应力分析
∑F = 0 n ∑F = 0 t
z
α
x z
x
τ
τ
τ
τ
τ
σα
t
n
α τ α
α
α = 0o τ0 =τmax =τ σ0 = 0, 讨论： 讨论： α = 90o τ90 =τmin = −τ , σ90 = 0
(
)
强度条件： 强度条件：
M n τm = ≤ [τ] ax Wp
§3-4 圆柱扭转时的应力和强度计算
例4-2 汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm， τmax [τ ] = 60M , T = 1.5 kNm。 校核轴的强度。 Pa Mn 解： = T = 1.5 kNm , α = d D = 0.944 T
第三章
扭转
今日作业
4-11、4-12、4-13
D≥3
16M n
-1590
所以 D=61.7mm或62mm
切应力互等定理、 §3-６ 切应力互等定理、圆轴扭转破坏分析
1、扭转破坏实验断口: 低碳钢： 灰铸铁： 竹、木材： 2、切应力互等定理：
y x z y
第三章
扭转
沿横截面 沿45°斜截面 沿纤维、木纹方向
(τdzdy)dx = (τ ' dxdy)dz
§3-5 圆柱扭转时的变形和刚度计算
dϕ M n = dx GI p
第三章
扭转
M n ϕ = ∫ dϕ = ∫ dx GI p l
单位：(弧度) GI p : 抗扭刚度
对于两端作用力偶的等直轴:
ϕ=
M nl GI p
dϕ M n 180o o = × ( ) 单位长度扭转角： Φ = m dx G I p π dϕ M n 180o 刚度条件： Φ = = × ≤ [Φ] dx GIp π
第三章
扭转
l
l
（1） 实验观察: A. 各纵向线倾斜角度相同； X B. 各圆周线的形状、大小和 间距不变，只是绕轴线作相 对转动； T C. 正方形网格,加外力偶后变 X 成同样大小的平行四边形。 圆杆的横截面变形 （2）假设： （3）推理： 后仍保持为平面 由现象A、 C →横截面上有切应力；
由现象B→横截面上无正应力；
许用单位长度扭转角 [Φ]：
0.25～ .5 o/ m 精密轴 0 0.50～ .0 o/ m 一般轴 1 1.0 ～ .0 o/ m 粗糙轴 3
§3-5 圆柱扭转时的变形和刚度计算
第三章
扭转
例４-3： ] = 40MPa, G = 80GPa, 1210 N.m 2800 N.m [τ [Φ] = 0.8o / m 确定圆轴的直径 解： |Mn|max=1590（N.m)
第三章
扭转
Mn = ≤ [τ ] Wp
T
(1−α ) = 29×10 m 16 [ τmax = Mn Wp = 51.7MPa＜τ ]
Wp =
4 −6
πD3
3
强度满足。
讨论： （1）改用实心轴，最大应力不变时确定轴直径； 由 Wp = πD′3 16 = M τm ′ n ax 得D′ = 53mm （2）比较实心轴和空心轴的重量。 η′ = Q′ Q = A′ A = D′2 (D2 − d 2 ) = 3.2 空心轴优于实心轴！
M n = ρ IP
强度条件 τmax 刚度条件
M n = ≤ [τ ] Wp
M nl ϕ= GI p
dϕ M n 180o Φ= = × ≤ [Φ] dx GIp π
第三章的基本要求
1．掌握根据轴的传递功率和转速计算外力偶矩； 掌握根据轴的传递功率和转速计算外力偶矩； 2．掌握扭转时内力（即扭矩）的计算以及扭矩图的画 掌握扭转时内力（即扭矩） 法； 3．掌握扭转切应力的计算方法； 掌握扭转切应力的计算方法； 4．掌握圆轴扭转时扭转角的计算方法； 掌握圆轴扭转时扭转角的计算方法； 5．熟练掌握圆轴扭转时强度条件和刚度条件的建立， 熟练掌握圆轴扭转时强度条件和刚度条件的建立， 并利用强度条件和刚度条件进行安全校核和设计。 并利用强度条件和刚度条件进行安全校核和设计。 6．了解不同材料圆轴扭转的破坏分析，明确纯剪切应 了解不同材料圆轴扭转的破坏分析， 力状态的概念，掌握切应力互等定理； 力状态的概念，掌握切应力互等定理；
o o
o o
σ−45 =τ
切应力互等定理、 §3-６ 切应力互等定理、圆轴扭转破坏分析
4、破坏分析 低碳钢：抗拉强度=抗压强度＞抗剪强度
第三章
扭转
灰铸铁：抗压强度＞ 抗剪强度＞抗拉强度
τ
τ
σ45 = −τ
横向抗剪强度＞纵向抗剪强度 竹、木材：
σ−45 = τ
第三章 扭转 基本解题思路
截面法 外力（转矩） 外力（转矩） 内力（扭矩Mn） 内力（扭矩 ） 应力 τ ρ 变形
§3-1 概述
T
第三章
扭转
● 扭转的概念：受扭转杆件的力学模型为: 扭转的概念：受扭转杆件的力学模型为:
ϕ
T
圆截面等直杆； 模型的特征： 构件多为圆截面等直杆 模型的特征： 1) 构件多为圆截面等直杆； 2) 外力偶的矢量方向与杆轴线平行； 外力偶的矢量方向与杆轴线平行； 3) 横截面之间绕杆轴线产生相对角位移。 横截面之间绕杆轴线产生相对角位移。 具有上述特征的变形称为扭转变形 扭转变形。 ● 具有上述特征的变形称为扭转变形。 工程上，把承受扭转变形的杆件称为“ 工程上，把承受扭转变形的杆件称为“轴”。 横截面之间的相对角位移，称为扭转角 扭转角。 ● 横截面之间的相对角位移，称为扭转角。
πD4 Ip = 32
Mn
π πD4 4 d4 Ip = D − 1 − α4 = 32 32 α=d D
(
)
(
)
Mn
3.3.2 圆轴扭转的强度条件
Mn Mn R= τmax = Ip Wp
Wp =
Ip R
抗扭截面系数W 抗扭截面系数Wp :
πD3 Wp = 16 πD3 Wp = 1 − α4 16