2011年考研数学试题及参考答案(数学一)

2011年考研数学试题（数学一）

一、选择题

1、 曲线()()()()4

3

2

4321----=x x x x y 的拐点是（ ）

（A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0）

【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。

【解析】由()()()()4

3

2

4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是

()()()()234

12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的

关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''===

(2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。

2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞

→n n a ，()∑===

n

k k n n a S 1

2,1 无界，则幂级数

()1

1n

n n a x ∞

=-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）

(0，2]

【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑===

n k k n n a S 12,1 无界，说明幂级数()1

1n

n n a x ∞

=-∑的收敛半径1R ≤；

{}n a 单调减少，0lim

=∞

→n n a ，说明级数()1

1n

n n a ∞

=-∑收敛，可知幂级数()1

1n

n n a x ∞

=-∑的收敛

半径1R ≥。 因此，幂级数

()1

1n

n n a x ∞

=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数

收敛，2x =时幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。

3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z =

在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）

（A ） 0)0(1

)0(>''>f f ， (B) 0)0(1)0(<''>f f ， (C) 0)0(1

)0(>''

【解析】由)(ln )(y f x f z =知()()ln (),()()x y f x z f x f y z f y f y ''''==

，()

()()

xy f x z f y f y ''''= ()ln ()xx z f x f y ''''=，2

2()()(())

()()

yy f y f y f y z f x f y '''-''=

所以00

(0)

(0)0(0)

xy x y f z f f =='''

'=

=，00

(0)ln (0)xx x y z f f ==''''=，

2

200

(0)(0)((0))(0)(0)(0)

yy x y f f f z f f f =='''-''

''==

要使得函数)(ln )(y f x f z =在点(0,0)处取得极小值，仅需

(0)ln (0)0f f ''>，(0)ln (0)(0)0f f f ''''⋅> 所以有0)0(1

)0(>''>f f ， 4、设44

40

ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx π

ππ=

==⎰

⎰⎰，则,,I J K 的大小关系是( )

（A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I << 【答案】B

【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。 【解析】(0,

)4

x π

∈

时，0sin cos cot 2

x x x <<

<<，因此ln sin ln cos ln cot x x x << 4

4

4

lnsin ln cos ln cot xdx xdx xdx π

π

π

<

<

⎰

⎰

⎰

，故选（B ）

5. 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单

位矩阵.记1100110001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2100001010P ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

,则A =( )

（A ）12PP （B ）112P P - （C ）21P P （D ）1

21P P -

【答案】D 【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。

【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知1AP B =，2P B E =，所以

111112121A BP P P P P ----===，故选（D ）

6、设()4321,,,ααααA =是4阶矩阵，*

A 为A 的伴随矩阵，若()T

0,1,0,1是方程组0

=x A 的一个基础解系，则0=*

x A 基础解系可为（ ）

(A) 31αα， (B) 21αα， (C) 321ααα，， (D) 432ααα，，

【答案】D 【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定的灵活性。

【解析】由0=x A 的基础解系只有一个知()3r A =，所以()1r A *=，又由0

A A A E *

==知，1234,,,αααα都是0=*

x A 的解，且0=*

x A 的极大线生无关组就是其基础解系，又

()1234131100

,,,01100A αααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，所以13,αα线性相关，故124ααα，，或432ααα，，为极大无关组，故应选（D ）

7、设()()12,F x F x 为两个分布函数，其相应的概率密度()()12,f x f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )

（A ）()()12f x f x （B ）()()212f x F x

（C ）()()12f x F x （D ）()()()()1221f x F x f x F x + 【答案】D 【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。 【解析】检验概率密度的性质：()()()()12210f x F x f x F x +≥；