物理必修2《万有引力》典型例题

【1】天体的质量与密度的估算 下列哪一组数据能够估算出地球的质量A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离B.地球表面的重力加速度与地球的半径C.绕地球运行卫星的周期与线速度D.地球表面卫星的周期与地球的密度 解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。

月球也是地球的一颗卫星。

设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r根据万有引力定律：r T4m r Mm G 222π=……①得：232G T r 4M π=……②可见A 正确而T r2vπ=……由②③知C 正确 对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④ 由于3R 4M 3π=ρ……⑤结合②④⑤得：G3T 2π=ρ 可见D 错误 球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力 由2R MmG mg =得：G g R M 2=可见B 正确【2】普通卫星的运动问题我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。

“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h ，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是赤道平面,周期为24 h 。

问：哪颗卫星的向心加速度大？哪颗卫星的线速度大？若某天上午8点，“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号”下次通过该岛上空的时间应该是多少？解析：由开普勒第三定律T 2∝r 3知：“风云二号”卫星的轨道半径较大又根据牛顿万有引力定律r v mma rMm G 22==得：2r MGa =，可见“风云一号”卫星的向心加速度大， rGM v =，可见“风云一号”卫星的线速度大，“风云一号”下次通过该岛上空，地球正好自转一周，故需要时间24h ，即第二天上午8点钟。

【探讨评价】由万有引力定律得：2Ma G r=，v =ω=2T π=【3】同步卫星的运动下列关于地球同步卫星的说法中正确的是：A 、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上B 、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24hC 、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上D 、不同通讯卫星运行的线速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的。

解析：同步卫星运动的周期与地球自转周期相同，T=24h ，角速度ω一定根据万有引力定律r T 4mr mM G 222π=得知通讯卫星的运行轨道是一定的，离开地面的高度也是一定的。

地球对卫星的引力提供了卫星做圆周运动的向心力，因此同步卫星只能以地心为为圆心做圆周运动，它只能与赤道同平面且定点在赤道平面的正上方。

故B 正确，C 错误。

不同通讯卫星因轨道半径相同，速度大小相等，故无相对运动，不会相撞，A 错误。

由r v mm a rMm G 22==知：通讯卫星运行的线速度、向心加速度大小一定。

故正确答案是：B 、D 【4】“双星”问题天文学中把两颗距离比较近，又与其它星体距离比较远的星体叫做双星，双星的间距是一定的。

设双星的质量分别是m 1、m 2，星球球心间距为L 。

问：⑴两星体各做什么运动？⑵两星的轨道半径各多大？⑶两星的速度各多大？ 解析：本题主要考察双星的特点及其运动规律⑴由于双星之间只存在相互作用的引力，质量不变，距离一定，则引力大小一定，根据牛顿第二定律知道，每个星体的加速度大小不变。

因此它们只能做匀速圆周运动。

⑵由牛顿定律222121221r m r m L m m Gω=ω=……① 得：1221m m r r = 又L r r 21=+……②解得：L m m m r L m m m r 21122121+=+=……③⑶由①得：)m m (L Gm L r Gm r v 21221211+==ω=)m m (L G m L r Gm r v 21122122+==ω=【5】“两星”问题如图是在同一平面不同轨道上运行的两颗人造地球卫星。

设它们运行的周期分别是T 1、T 2，(T 1＜T 2)，且某时刻两卫星相距最近。

问： ⑴两卫星再次相距最近的时间是多少？ ⑵两卫星相距最远的时间是多少？解析：本题考察同一平面不同轨道上运行的两颗人造地球卫星的位置特点及其卫星的运动规律 ⑴依题意，T 1＜T 2，周期大的轨道半径大，故外层轨道运动的卫星运行一周的时间长。

设经过△t 两星再次相距最近 则它们运行的角度之差πφ2=∆……①π=π-π2t T 2t T 2:21即 ……② 解得：1221T T T T t -=2⑵两卫星相距最远时，它们运行的角度之差()πφ12+=∆k ……③()π+=π-π1k 2t T 2t T 2:21即……④ k=0.1.2…… 解得：1221T T T T 21k 2t -⋅+=……⑤ k=0.1.2……【6】同步卫星的发射问题发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆形轨道1运行，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆形轨道3运行。

设轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，则卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，⑴比较卫星经过轨道1、2上的Q 点的加速度的大小；以及卫星经过轨道2、3上的P 点的加速度的大小⑵设卫星在轨道1、3上的速度大小为v 1、v 3 ，在椭圆轨道上Q 、P 点的速度大小分别是v 2、v 2/，比较四个速度的大小解析：⑴根据牛顿第二定律，卫星的加速度是由于地球吸引卫星的引力产生的。

即：ma rMmG2=可见 卫星在轨道2、3上经过P 点的加速度大小相等；卫星在轨道1、2上经过Q 点的加速度大小也相等；但P 点的加速度小于Q 点的加速度。

⑵1、3轨道为卫星运行的圆轨道，卫星只受地球引力做匀速圆周运动由r v mrMm G 22=得：rGMv =可见：v 1＞v 3由开普勒第二定律知，卫星在椭圆轨道上的运动速度大小不同，近地点Q 速度大，远地点速度小，即：v 2＞v 2/卫星由近地轨道向椭圆轨道运动以及由椭圆轨道向同步轨道运动的过程中，引力小于向心力，r v mrMm G 22=，卫星做离心运动，因此随着轨道半径r 增大，卫星运动速度增大，它做加速运动，可见：v 2＞v 1，v 3＞v 2/ 因此：v 2＞v 1＞v 3＞v 2/【7】 “连续群”与“卫星群”土星的外层有一个环，为了判断它是土星的一部分，即土星的“连续群”，还是土星的“卫星群”，可以通过测量环中各层的线速度v 与该层到土星中心的距离R 之间的关系来判断：A 若v ∝R ，则该层是土星的连续群B 若v 2∝R ，则该层是土星的卫星群C 若v 2∝R ，则该层是土星的卫星群D 若R1v ∝，则该层是土星的连续群解析:⑴该环若是土星的连续群，则它与土星有共同的自转角速度，R v ω=，因此v ∝R⑵该环若是土星的卫星群，由万有引力定律R v m RMm G 22=得：R1v 2∝故A 、D 正确 【8】宇宙空间站上的“完全失重”问题假定宇宙空间站绕地球做匀速圆周运动，则在空间站上，下列实验不能做成的是： A 、天平称物体的质量 B 、用弹簧秤测物体的重量C 、用测力计测力D 、用水银气压计测飞船上密闭仓内的气体压强E 、用单摆测定重力加速度F 、用打点计时器验证机械能守恒定律解析：宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动时，地球对飞船的引力提供了向心加速ma r MmG2=，可见2r MGa =……① 对于飞船上的物体，设F 为“视重”，根据牛顿第二定律得：a m F rMm G /2/=-……② 解得：F=0，这就是完全失重在完全失重状态下，引力方向上物体受的弹力等于零，物体的重力等于引力，因此只有C 、F 实验可以进行。

其它的实验都不能进行。

【9】黑洞问题“黑洞”问题是爱因斯坦广义相对论中预言的一种特殊的天体。

它的密度很大，对周围的物质（包括光子）有极强的吸引力。

根据爱因斯坦理论，光子是有质量的，光子到达黑洞表面时，也将被吸入，最多恰能绕黑洞表面做圆周运动。

根据天文观察，银河系中心可能有一个黑洞，距离可能黑洞为6.0×1012m 远的星体正以2.0×106m/s 的速度绕它旋转，据此估算该可能黑洞的最大半径是多少？（保留一位有效数字）解析：设光子的质量为m ，黑洞的质量为M ，黑洞的最大可能半径为R ，光子的速度为c根据牛顿定律Rc m R Mm G 22=……①得：对银河系中的星体,设它的质量为m /,它也在绕黑洞旋转 因此r v mr Mm G 22=……② 由①②解得：m 103r c v R 822⨯≈= 【10】宇宙膨胀问题在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫做“宇宙膨胀说”，这种学说认为万有引力常量G 在缓慢地减小，根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比较，⑴公转半径如何变化？⑵公转周期如何变化？⑶公转线速度如何变化？要求写出必要的推理依据和推理过程。

解析：设M 为太阳的质量，m 为地球的质量，r 为地球公转的半径，T 为地球公转的周期，v 为地球公转的速率。

⑴根据r v m r Mm G 22=得：G ↓→2r Mm G F =引↓→r v m rMm G 22= →地球做离心运动→轨道半径r ↑→星球间距增大→宇宙膨胀→很久以前地球公转半径比现在要小。

⑵根据r T 4mr mM G 222π=得：GMr 4T 32π= G ↓、r ↑→T ↑→很久以前地球公转周期比现在要小⑶根据：r v m rMm G 22=知：rGMv = G ↓、r ↑→v ↓→很久以前地球公转的速率比现在要大【11】月球开发问题科学探测表明，月球上至少存在氧、硅、铝、铁等丰富的矿产资源。

设想人类开发月球，不断地月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采以后，月球和地球仍看做均匀球体，月球仍然在开采前的轨道运动，请问：⑴地球与月球的引力怎么变化？⑵月球绕地球运动的周期怎么变化？⑶月球绕地球运动的速率怎么变化？ 解析：⑴由万有引力定律2r MmGF=结合数学知识得：Mm 2m M ≥+ 2mM Mm +≤，当m=M 时，积Mm 最大。

可见M 、m 相差越大，积越小，而r 一定，故F 就越小 ⑵由r T 4mr mM G 222π=得：GMr 4T 32π= G 、r 一定，M 增大，T 减小⑶由r v m rMm G 22=知：rGMv = G 、r 一定，M 增大，v 增大【12】“宇宙飞船”及能量问题宇宙飞船要与正在轨道上运行的空间站对接。

⑴飞船为了追上轨道空间站，应采取什么措施？⑵飞船脱离原来的轨道返回大气层的过程中，重力势能如何变化？动能如何变化？机械能又如何变化？解析：⑴根据r v m rMm G 22=知：在同一运行轨道上，宇宙飞船与轨道空间站的运行速率是相同的，它不可能追上轨道空间站。