人教版数学中考复习： 直角三角形(共34张PPT)

与直角三角形的性质相结合，求线段的长度
变式：（2019东营模拟）在△ABC中，AB=10,AD= 2 10，BC边上的高
AD=6,则另一条边BC等于（ C）.
A.10
B.8
C.6或10
D.8或10
利用勾股定理解决折叠旋转问题
例4：(2019·吉林模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AC=5 ,BC=12,将△ABC绕点B顺时针旋转60∘,得到△BDE,连结DC交AB于点F,则
径是( A )
A.13cm
B.2 61cm C. 61cm
D.2 34cm
变式：在容器外壁离容器底部3cm处有一点BC
5
12
6 5
勾股定理逆定理
例8：四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12， AD=13，求四边形ABCD的面积。
C
B
A
D
变式： 如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米， BC=12米，这块地的面积为（ 24 ）m².
径是( A )
A.13cm
B.2 61cm C. 61cm
D.2 34cm
利用勾股定理求最短路径问题
例5：(2019·资阳模拟)如图,透明的圆柱形容器(厚度不计)的高为12cm,
底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm处有一点B,此时一只蚂蚁正
好在容器外壁,且离容器顶部3cm的点A处,则蚂蚁从点A爬到点B的最短路
利用勾股定理解决折叠旋转问题
例5：(2019·吉林模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AC=5 ,BC=12,将△ABC绕点B顺时针旋转60∘,得到△BDE,连结DC交AB于点F,则
△ACF与△BDF的周长之和为___4__2____。
例6.折叠矩形ABCD的一边AD，点D落在BC边上的点F处，已知
2、3，则最大正方形E的面积是（ C ）
A、13
B、26
C、47
D、94
B A
C D
E
勾股定理的应用方程思想 例2：在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个
问题的意思是：有一个水池，水截面是一个边长为10尺的正方形.在水 池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉 向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦 苇的长度各为多少？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了 4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
解：在Rt△AO2B5中2 ，72
AB=25，OB=7，
OA=
=24．
答：梯子的顶端距地面24米.
（2）在Rt△A′OB′中，A′O=24-4=20（米），
OB′= 252 202 =15（米），
BB′=15-7=8（米）．
（2）三边分别是110， ，3的三角形是直角三角形
（3）一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
（4）三角形三角之比为3:4:5的三角形是直角三角形。（ C ）
A．1个
B． 2个 C． 3个 D． 4个
勾股定理的应用面积问题
例1：如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，
其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm，B的边长为 5cm，C的边长为5cm，则正方形D的边长为（ A ）
(4)勾股定理：___________
自我检测二：
4.已知直角三角形中，30°角所对的直角边长5，则斜边的长为（B ）
A．5
B．10 C．12
D．13
5.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2㎝，则AB的长（18 ）
A．2㎝
B．4㎝ C． 8㎝ D． 16㎝
6.已知直角三角形的一个锐角为60°，斜边长为1，那么这个直角三角形
直角三角形的性质与判定
例9：(2018·黄冈中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90C°，CD为AB边
上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝(
)
A．2
B．3
C．4
D．2 3
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，∴AE
＝CE＝5. ∵AD＝2，∴DE＝3. ∵CD为AB边上的高，
△ACF与△BDF的周长之和为___4__2____。
利用勾股定理解决折叠旋转问题
变式：把一副三角板如图甲放置,其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°， ∠D=30°，斜边AB=6,DC=7,把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到
△D1CE1(如图乙)，此时AB与CD1相交于点O，则线段AD1 =__5_______。
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，
AD=2，CE=5，则CD=（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 2 3
7．(2018·泸州中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理
，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直
角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角
D C1 5 B
x
x+1
A
x 2 5 2 x 12
x 12
变式： 小亮想了解旗杆的高度，于是将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子
末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆6m处，发现此 时绳子末端距离地面1m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计） 为（ 18.5 ）m.
与直角三角形的性质相结合，求线段的长度
）
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A-∠B=∠C
C. ∠A:∠B:∠C=1:2:3
D. ∠A=∠B=3∠C
3.如图，字母A所表示的正方形的面积为（
）
A.4
B.8 C.16 D.64
4. 三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于______．
5.已知两条线段的长分别为15和8，当第三条线段为_____时，这三条线段 能够围成一个直角三角形。
AB=8cm，BC=10cm，EC=___3_____.
利用勾股定理求最短路径问题
例7：(2019·资阳模拟)如图,透明的圆柱形容器(厚度不计)的高为12cm,
底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm处有一点B,此时一只蚂蚁正
好在容器外壁,且离容器顶部3cm的点A处,则蚂蚁从点A爬到点B的最短路
答案：
1.A
2.D
3.D
4.2.5
5.17或 161
6.C
7.D
8.
n
2
9.（1）24 （2）8
选做1:60
选做2
解：（1）二次函数表达式为y
1 4
x2
3 2
x
4
（令2）y=△0，a则bc是41直x角2 三32角x 形 4. 0
解得x1=来自百度文库，x2=-2，
∴点b的坐标为（-2，0）.
在rt△abo中ab2=22+42=20，
B．3组 C．2组
D．1组
18 2.在Rt△ABC中，斜边AB=3，则AB2+BC2+CA2=__________.
3.直角三角形三边长分别为2,3,m.则m= ___5_或___1_3__.
知识点二：直角三角形的性质
(1)直角三角形的两个锐角互余
(2)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于___斜__边__的__一__半 性质 (3)直角三角形斜边上的中线等于_____斜__边__的__一_ 半
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
选做1：
(2018南州)如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F， 且∠BAC＝45°，BD＝6，CD＝4，则△ABC的面积为___． 60
选做2：
如图①，二次函数y=ax2+
3 2
x+c（a≠0）的图像与y轴交于点A（0，4）
，与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC.
在rt△aoc中ac2=42+82=80.
又∵bc=ob+oc=2+8=10，
∴在△abc中20+80=10²即ab2+ac2=bc2，
∴△abc是直角三角形.
拓展：
如图①，二次函数y=ax2+
3 2
x+c（a≠0）的图像与y轴交于点A（0，4）
，与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC.
（1）请直接写出二次函数y=ax2+
3 2
x+c的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
解：（1）二次函数表达式为 y
1 4
x2
3 2
x
4
（2）△ABC是直角三角形.
CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的
长为( B ) A.2a B. 2 2a
C.3a
D.4 2 a 3
达标：
1.（2018·南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（
）
A.3，4，5 B.2，3，4 C.4，6，7
D.5，11，12
2.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（
∴在Rt△CDE中，CD＝ CE2 DE2 ＝ 52 32 ＝4.故选C.
变式1：(2018·淄博中考)如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交
AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN
＝1，则BC的长为( B )
A．4
B．6
C．4 3
D．8
变式2：(2017·大连中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，
3 3 的周长是_____2_____.
知识点二：直角三角形的判定
判定
(1)如果一个三角形的两个角
互余 ，那么这个三角形
是直角三角形
(2)一边上的中线等于 这边的一半
的三角形是直
角三角形
(3)勾股定理逆定理 a 2 b 2 c 2 直角三角形
自我检测三：
7.下列说法正确的有
（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
边长为a，较短直角边长为b.若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方
形的边长为( )
A．9
B．6
C．4
D．3
8.（2017·徐州）如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以
OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OAn的长度
为
．
9.一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面墙上： （1）若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？
A、14 cm
B、4cm
C、 15 cm
D、3cm
B
A
C
D
D
C
Bb
c
10
a
A
规律小结：以直角三角形的三边向外作正方形、半圆、正三角形等,两 直角边向外所作的图形面积和等于斜边向外所作的图形面积。
变式：如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所
有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、
令y=0，则
1 4
x2
3 2
x
4
0
解得x1=8，x2=-2， ∴点B的坐标为（-2，0）. 在Rt△ABO中AB2=22+42=20， 在Rt△AOC中AC2=42+82=80. 又∵BC=OB+OC=2+8=10， ∴在△ABC中20+80=10²即AB2+AC2=BC2， ∴△ABC是直角三角形.
中考复习 直角三角形
【复习目标】 1、掌握勾股定理及其逆定理的相关知识； 2、掌握直角三角形的性质； 3、掌握直角三角形的判定。
知识点一：勾股定理及其逆定理
自我检测一：
1.下列各组数（1）3,4,5；（2）4,5,6；（3）2.5,6,6.5；（4）8,15,17.
C 其中是勾股数的有（ ）
A．4组
例3：(2018·襄阳中考)已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD ＝ 3 ，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为 ．
分两种情况： ①当△ABC是锐角三角形时，如图， ∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°. ∵CD＝ 3 ，AD＝1，∴AC＝2. ∵AB＝2AC，∴AB＝4，∴BD＝4－1＝3， ∴BC＝ ②当△ABC是钝角三角形时，如图， 同理得AC＝2，AB＝4， ∴BC＝ 综上所述，BC的长为2 3 或2 7. 故答案为2 3 或2 7 .
（1）请直接写出二次函数y=ax2+3 x+c的表达式；
2
（2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）若点N在x轴上运动，当以A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时 ，请写出此时点N的坐标； （4）如图②，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作 NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标.