大学物理各章练习题：第十四章 电磁场理论的基本概念

第十四章 电磁场理论的基本概念

14-1 平板电容器由半径为R 的两块圆形极板构成，用长直电流给其充电， 使极板间电场强度增加率为d E/d t ，L 为两极板间以r 为半径，圆心在电容器对称轴上，圆平面与极板平行的圆．以L 为边界，作曲面S 使圆平面与S 形成闭合曲面以包围电容器的一个极板，如图14-1所示，求通过曲面S 的全电流，(1) r R 时．

边界的曲面S 的全电流，当回路L 一定时，积分值是一定的，与所取曲面形状无关．因此以r 为半径的圆作为回路，通过圆平面的全电流应等于通过曲面S 的全电流．由于本题中通过S 的传导电流是未知的，可以计算通过圆平面的全电流获得所需结果．

解 (1) r

t

E r t I D d d d d 02D επψ== 所以穿过S 面的全电流等于穿过圆平面的全电流，为

t

E r I I d d 02D επ=+ (2) r>R 时, 因为忽略边缘效应，平板电容器的电场局限在极板内，极板面积为2R S π=，穿过以L 为边界的圆平面的传导电流为零，电位移通量为E R SD D 02επψ==，位移电流为

t

E R t I D D d d d d 02επψ== 所以穿过S 面的全电流等于穿过圆平面的全电流，为

t

E R I I D d d 02επ=+ 14-2 平板电容器的圆形极板半径为R =0.04m ，放在真空中．今将电容器充电，使两极板间的电场变化率为2.5×1012V/(m .s)．求：(1)两极板间位移电流的

大小；(2)r =0.02m 处及r=0.06m 处的磁感强度．

分析 通常假定平板电容器极板间距很小，可以忽略边缘效应，认为电场局限在两极板间．

解 (1) 电容器的极板面积为2R S π=，穿

过以L 为边界的圆平面的电位移通量为E R SD D 02επψ==，位移电流为 t E R t I D D d d d d 02επψ== A

111.0A 105.21085.804.014.312122=⨯⨯⨯⨯⨯=-- (2)在两极板间取半径为r 的磁场线为安培回路L ，当r =0.02m

t

E r t I D d d d d 02D επψ== 由于磁场的对称性，H 的方向在圆周回路L 的切线方向，大小处处相等，根据全电流定理，得

D I I r H +=⋅=⋅⎰π2d L l H

则

T 1078.2d d 2270000-⨯====t

E r I r H B D μεπμμ 当r =0.06m>R 时，因为电场局限在两极板间，求电位移通量时，只应计入极板的面积2R π，E R SD D 02επψ==，位移电流为

t

E R t I D D d d d d 02επψ== 得

T 1071.3d d 22720000-⨯====t

E r R I r H B D μεπμμ 14-3 给极板面积S =3cm 2的平板电容器充电，分别就下面两种情形求极板间的电场变化率d E/d t ：(1) 充电电流I =0.01A ；(2)充电电流I =0.5A ．

分析 极板内的位移电流与极板外的传导电流在大小和方向上相同，给出传导电流的大小相当于给出位移电流的大小，再根据位移电流的定义便可求出d E/d t ．

解 极板间位移电流为 I t

E S DS t t I D D ====d d d d d d 0εψ (1) 当充电电流I =0.01A 时，得

s)V /(m 1077.3d d 120⋅⨯==S

I t E ε (2)当充电电流I =0.5A 时，得

s)V /(m 1088.1d d 140⋅⨯==S

I t E ε 14-4 平板电容器的正方形极板边长为0.3m ，当放电电流为1.0A 时，忽略边缘效应，求(1)两极板上电荷面密度随时间的变化率；(2)通过极板中如图14-4所示的正方形回路abcd 间的位移电流的大小；(3)环绕此正方形回路的⎰⋅L d l B 的大小．

分析 若极板上电荷面密度σ，则对于平板电容

器有D=σ．

解 (1) 极板上电荷S q σ=，根据传导电流的定义，有t S t q I d d d d σ==，得 s)C/(m 1.11s)C/(m 3.00.1d d 2222⋅=⋅===d I S I t σ （2）正方形回路abcd 间的位移电流为

A 0.111A 1.111.0d d d d d d 2D =⨯====t

S DS t t I abcda abcda D σψ （3）正方形回路abcd 的磁感强度环流为

==⋅⎰D abcda

I 0d μl B 1.39×10-7 Wb/m 14-5 证明对任意形状电容器, 当电容量C 不变化时, 位移电流为t

V C I D d d =, 其中C 为电容器电容, V 为两极板电势差． 证 对任意形状的电容器, t 时刻极板带电量 q =CV ，当C 不变时

==t

V C t q d d d d I t

V C I I D d d == 14-6 极板面积为S 的一平板电容器与一电动势为E 的电源相连接, 若电容器两极板间的距离d 随时间变化, 且两极板相互离开的速度的大小为v . 在不考虑电源内阻及线路内阻的情况下, 忽略边缘效应, 求两极板间的位移电流.

分析 两极板以速度v 相互离开时, 电容器始终与电源相连, 不考虑电源内