高中数学专题练习---数列求和

合集下载

高考数学专题复习练习题12---数列求通项、求和(理)含答案解析

高考数学专题复习练习题12---数列求通项、求和（理）1．已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则数列2{}n a 的前10项和为（）A ．1041-B ．102(21)-C ．101(41)3-D ．101(21)3-2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a =-，则{}n a 的通项公式为n a =（） A ．21n -B ．12n -C ．21n-D ．21n +3．数列{}n a 满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项和为（）A ．100-B ．100C ．110-D ．1104．已知数列{}n a 的通项公式为100n a n n=+，则122399100||||||a a a a a a -+-++-=L （） A ．150B ．162C ．180D ．2105．数列{}n a 中，10a =，1n n a a +-=，若9n a =，则n =（）A ．97B ．98C ．99D ．1006．在数列{}n a 中，12a =-，111n na a +=-，则2019a 的值为（） A ．2-B ．13 C ．12D ．327．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且13n n n S S a +=++，4523a a +=，则8S =（） A ．72B ．88C ．92D ．988．在数列{}n a 中，12a =，已知112(2)2n n n a a n a --=≥+，则n a 等于（）A ．21n + B ．2n C ．31n + D ．3n9．已知数列21()n a n n =-∈*N ，n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和，求使不等式20194039n T ≥成立的最小正整数（）一、选择题A ．2017B ．2018C ．2019D ．202010．已知直线20x y ++=与直线0x dy -+=互相平行且距离为m ，等差数列{}n a 的公差为d ，7835a a ⋅=，4100a a +<，令123||||||||n n S a a a a =++++L ，则m S 的值为（）A ．60B ．52C ．44D ．3611．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足3()()2f x f x -=，(2)3f -=-，数列{}n a 是等差数列，若23a =，713a =，则1232020()()()()f a f a f a f a ++++=L （） A ．2-B ．3-C ．2D ．312．已知数列满足12323(21)3nn a a a na n ++++=-⋅L ，设4n nnb a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和．若n S λ<（常数），n ∈*N ，则λ的最小值为（）A ．32B ．94C ．3112D ．311813．已知数列{}n a 的通项公式为12n n a n -=⋅，其前n 项和为n S ，则n S = ．14．设数列{}n a 满足1(1)()2n n n na n a n n +-+=∈+*N ，112a =，n a = ． 15．已知数列{}n a 满足1(1)(2)nn n a a n n ---=≥，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则40S = ．16．等差数列{}n a 中，3412a a +=，749S =，若[]x 表示不超过x 的最大整数，（如[0.9]0=，[2.6]2=，）．令[lg ]()n n b a n =∈*N ，则数列{}n b 的前2000项和为．1．【答案】C答案与解析二、填空题一、选择题【解析】∵21n n S =-，∴1121n n S ++=-，∴111(21)(21)2n n nn n n a S S +++=-=---=，又11211a S ==-=，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，∴2121(2)4n n n a --==，∴所求值为1010141(41)143-=--． 2．【答案】B【解析】当1n =时，11121S a a =-=，∴11a =；当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，∴12n n a a -=，因此12n n a -=．3．【答案】A【解析】121a a +=-，343a a +=-，565a a +=-，787a a +=-，…，由上述可知，1219201191(13519)1101002a a a a +++++=-⨯++++=-⨯⨯=-L L ． 4．【答案】B【解析】由对勾函数的性质知：当10n ≤时，数列{}n a 为递减；当10n ≥时，数列{}n a 为递增，故12239910012239101110||||||()()()()a a a a a a a a a a a a a a -+-++-=-+-++-+-L L12111009911010010()()1100(1010)(1001)a a a a a a a a +-++-=-+-=+-+++-L (1010)162+=．5．【答案】D【解析】由1n n a a +-==，利用累加法可得，∴11)n a a -=+++L 1=，∵10a =，∴19n a ==10=，100n =． 6．【答案】B【解析】由题意得，12a =-，111n n a a +=-，∴213122a =+=，321133a =-=，4132a =-=-，…， ∴{}n a 的周期为3，∴20193673313a a a ⨯===． 7．【答案】C【解析】∵13n n n S S a +=++，∴113n n n n S S a a ++-=+=， ∴13n n a a +-=，∴{}n a 是公差为3d =的等差数列，又4523a a +=，可得12723a d +=，解得11a =，∴81878922S a d ⨯=+=． 8．【答案】B 【解析】将等式1122n n n a a a --=+两边取倒数，得到11112n n a a -=+，11112n n a a --=， 1{}n a 是公差为12的等差数列，1112a =，根据等差数列的通项公式的求法得到111(1)222n n n a =+-⨯=，故2n a n=． 9．【答案】C【解析】已知数列21()n a n n =-∈*N ，∵111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+， ∴11111111(1)()()(1)2335212122121n n T n n n n ⎡⎤=-+-++-=-=⎢⎥-+++⎣⎦L ，不等式20194039n T ≥，即2019214039n n ≥+，解得2019n ≥， ∴使得不等式成立的最小正整数n 的值为2019． 10．【答案】B【解析】由两直线平行得2d =-，由两直线平行间距离公式得10m ==，∵77(2)35a a ⋅-=，得75a =-或77a =， ∵410720a a a +=<，∴75a =-，29n a n =-+，∴12310|||||||||7||5||5||7||9||11|52m S a a a a =++++=+++-+-+-+-=L L ． 11．【答案】B【解析】由函数()f x 是奇函数且3()()2f x f x -=，得(3)()f x f x +=，由数列{}n a 是等差数列，若23a =，713a =，可得到21n a n =-，可得123456()()()()()()0f a f a f a f a f a f a ++=++=，则其周期为3，12320201()()()()()3f a f a f a f a f a ++++==-L ．12．【答案】C【解析】∵12323(21)3nn a a a na n ++++=-⋅L ①，当2n ≥时，类比写出12323a a a ++++L 11(1)(23)3n n n a n ---=-⋅②，由①-②得143n n na n -=⋅，即143n n a -=⋅．当1n =时，134a =≠，∴13,143,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，14,13,23n n n b n n -⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩， 214233333n n n S -=++++=L 021*********n n-+++++L ③， 2311112313933333n n n n nS --=++++++L ④， ③-④得，0231112211111231393333339313n n n n n n n S --=++++++-=+--L ，∴316931124312n n n S +=-<⋅，∵n S λ<（常数），n ∈*N ，∴λ的最小值是3112．13．【答案】(1)21nn -+【解析】由题意得01221122232(1)22n n n S n n --=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ①，∴1221222n S =⨯+⨯3132(1)22n n n n -+⨯++-⋅+⋅L ②，①-②得231121222222(1)2112nn nn n n S n n n ---=+++++-⋅=-⋅=-⋅--L ，∴(1)21nn S n =-+．14．【答案】21n n +【解析】∵1(1)()2n n n na n a n n +-+=∈+*N ，∴11111(2)(1)12n n a a n n n n n n +-==-+++++，∴11111n n a a n n n n --=--+，…，21112123a a -=-，累加可得11121n a a n n -=-+，二、填空题∵112a =，∴1111n a nn n n =-=++，∴21n n a n =+． 15．【答案】440【解析】由1(1)(2)nn n a a n n ---=≥可得：当2n k =时，2212k k a a k --=①；当21n k =-时，212221k k a a k --+=-②；当21n k =+时，21221k k a a k ++=+③；①+②有：22241k k a a k -+=-，③-①得有：21211k k a a +-+=，则40135739()S a a a a a =+++++L24640109()110(71523)1071084402a a a a ⨯+++++=⨯++++=+⨯+⨯=L L ． 16．【答案】5445【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵3412a a +=，749S =，∴12512a d +=，1767492a d ⨯+=，解得11a =，2d =， ∴12(1)21n a n n =+-=-，[lg ][lg(21)]n n b a n ==-，1,2,3,4,5n =时，0n b =；650n ≤≤时，1n b =； 51500n ≤≤时，2n b =； 5012000n ≤≤时，3n b =，∴数列{}n b 的前2000项和454502150035445=+⨯+⨯=．。

高考数学专题—数列求前n项和的5种常用方法总结

高考数学专题——数列（求S n ）求s n 的四种方法总结常考题型：共5种大题型（包含倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法、并项求和法。

1、倒序相加法：实质为等差数列求和。

例1、【2019·全国2·文T18】已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.【解析】(1)设{a n }的公比为q,由题设得2q 2=4q+16,即q 2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4. 因此{a n }的通项公式为a n =2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得b n =(2n-1)log 22=2n-1,因此数列{b n }的前n 项和为1+3+…+2n-1=n 2. 2、错位相减法：实质为等差×等比求和。

错位相减法的万能公式及推导过程：公式：数列c n =(an +b )q n−1，(an +b )为等差数列，q n−1为等比数列。

前n 项和S n =(An +B )q n +C A =a q −1，B =b −Aq −1，C =−B S n =(a +b )+(2a +b )q +(3a +b )q 2+⋯[(n −1)a +b ]q n−2+(an +b )q n−1 ① qS n =(a +b )q +(2a +b )q 2+(3a +b )q 3+⋯[(n −1)a +b ]q n−1+(an +b )q n ② ②-①得：(q −1)s n =−(a +b )−a (q +q 2+⋯q n−1)+(an +b )q n=−(a +b )−a ⋅q(1−q n−1)1−q+(an +b )q n=(an +b −aq−1)q n −(b −aq−1)S n =(aq −1⋅n +b −a q −1q −1)⋅q n −b −aq −1q −1例2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1232,a a a =+ 即21112a a q a q =+.所以220,q q +-= 解得1q =（舍去），2q =-. 故{}n a 的公比为2-.（2）设n S 为{}n na 的前n 项和.由（1）及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)=(2).3n n n ---⨯-所以1(31)(2)99nn n S +-=-. 例3、【2020年高考全国III 卷理数】设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【解析】（1）235,7,a a == 猜想21,n a n =+ 由已知可得 1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+， 1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--，……2153(3)a a -=-.因为13a =，所以2 1.n a n =+（2）由（1）得2(21)2n n n a n =+，所以23325272(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯. ①从而23412325272(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯.②-①② 得23132222222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯，所以1(21)2 2.n n S n +=-+例4、【2020届辽宁省大连市高三双基测试数学】已知数列{}n a 满足：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列.（I ）求12,a a 的值；（Ⅱ）试求数列{}n a 的前n 项和n S .【解析】（Ⅰ）方法一：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列 21221a a ∴=⨯ 214a a ∴=又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列 2121122a a ∴-=,解得1228a a =⎧⎨=⎩方法二：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列,1112,n n a n a n+∴=1(1)2n n n a a n ++∴=.①又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列, 11122n nn na a ++∴-=② 由①②解得：2nn a n =⋅1228a a =⎧⎨=⎩ （Ⅱ）1122,1n n n a a n -=⋅= 2n n a n ∴=⋅123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+1231222322n n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ 234121222322n n S n +∴=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅两式作差可得：23122222n n n S n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅()1212212n n n n S +-=-⋅--1(1)22n n n S +=⋅---, 1(1)22n n S n +∴=-⋅+.例5、【2020届江西省吉安市高三上学期期末数学】数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，121n n a S +-=．（I ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若3log n n b a =，数列2221n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：12nT <．【解析】（I ）当1n =时，由11a =，2121a a -=得23a =；当2n ≥时，121n n a S --=，两式相减得()1120n n n n a a S S +----=，即13n n a a +=(2)n ≥，又2133a a ==，故13n n a a +=恒成立，则数列{}n a 是公比为3的等比数列，可得13-=n n a ．（Ⅱ）由（I ）得313log log 31n n n b a n -===-，则22211111(21)(21)22121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，则111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭． 1021n >+ 11112212n ⎛⎫∴-< ⎪+⎝⎭ 故12n T <例6、【2017·天津·理T18】已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和(n ∈N *).【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q.由已知b 2+b 3=12,得b 1(q+q 2)=12,而b 1=2,所以q 2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2. 所以,b n =2n.由b 3=a 4-2a 1,可得3d-a 1=8.①由S 11=11b 4,可得a 1+5d=16,②联立①②,解得a 1=1,d=3,由此可得a n =3n-2.所以,数列{a n }的通项公式为a n =3n-2,数列{b n }的通项公式为b n =2n.(2)设数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为T n ,由a 2n =6n-2,b 2n-1=2×4n-1,有a 2n b 2n-1=(3n-1)×4n, 故T n =2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4T n =2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述两式相减,得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1=12×(1-4n )1-4-4-(3n-1)×4n+1=-(3n-2)×4n+1-8.得T n =3n -23×4n+1+83. 所以,数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为3n -23×4n+1+83. 例7、【2020·石家庄模拟】设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由2S n ＝3a n －1，① 得2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)，② ①－②，得2a n ＝3a n －3a n －1，所以a n a n －1＝3(n ≥2)，又2S 1＝3a 1－1，2S 2＝3a 2－1，所以a 1＝1，a 2＝3，a 2a 1＝3，所以{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1.(2)由(1)得，b n ＝n3n －1，所以T n ＝130＋231＋332＋…＋n3n －1，③13T n ＝131＋232＋…＋n －13n －1＋n 3n ，④ ③－④得，23T n ＝130＋131＋132＋…＋13n －1－n 3n ＝1－13n1－13－n 3n ＝32－2n ＋32×3n ，所以T n ＝94－6n ＋94×3n . 3、裂项相消法：实质为a n =b n (n+a )形式的求和。

高中数学数列_错位相减法求和专题训练含答案

错位相减法求和专题训练1．已知数列{}n a 满足22,{ 2,n n n a n a a n ++=为奇数为偶数，且*12,1,2n N a a ∈==.(1)求 {}n a 的通项公式；(2)设*1,n n n b a a n N +=⋅∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ；(3)设()2121nn n n c a a -=⋅+-，证明：123111154n c c c c ++++< 2．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =， 21691n n a S n +=++， *n N ∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若正项等比数列{}n b 满足1132,b a b a ==，且n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T . ①求n T ；②若对任意2n ≥， *n N ∈，均有()2563135n T m n n -≥-+恒成立，求实数m 的取值范围.3．已知*n N ∈，设n S 是单调递减的等比数列{}n a 的前n 项和， 112a =且224433,,S a S a S a +++成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n na 的前n 项和为n T ，求证：对于任意正整数n ， 122n T ≤<. 4．递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26S =， 430S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b a a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求1250n n T n ++⋅>成立的正整数n 的最小值.5．已知数列{}n a 及()212n n n f x a x a x a x =+++，且()()11?nn f n -=-, 1,2,3,n =.（1）求123a a a ，，的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求证:11133n f ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭. 6．已知数列{}n a 是以2为首项的等差数列，且1311,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和()*n S n N ∈；（Ⅱ）若()1232n a n b -=，求数列{}1n n a b +的前n 项之和()*n T n N ∈.7．在数列{}n a 中， 14a =，前n 项和n S 满足1n n S a n +=+.（1）求证：当2n ≥时，数列{}1n a -为等比数列，并求通项公式n a ；（2）令11•213nn n n na b -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和为n T .8．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且252,15a S ==，数列{}n b 满足11,2b =1n b += 12n n b n+．（1）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式；（2）记n T 为数列{}n b 的前n 项和， ()()222n n S T f n n -=+，试问()f n 是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．9．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令()*211n n b n N a =∈-，求数列{}n a 的前n 项和n T ． 10．已知单调递增的等比数列{}n a 满足： 2420a a +=， 38a = （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n n b a a =⋅，数列{}n b 的前n 项和为n S , 1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值.参考答案1．解析：（1）当n 为奇数时， 22n n a a +-=，此时数列{}*21k a k N -∈（）成等差数列． 2d = 当n 当为偶数时， 22n n a a +=，此时数列{}*2k a k N ∈（）成等比数列 2q = ()()2{2nn n n a n ∴=为奇数为偶数（2）()()21221222121222142kkk k k k k k k b b a a a a k k k --++=+=-⋅++=⋅()()()21234212n n n S b b b b b b -=++++++23241222322n n S n ⎡⎤∴=⋅+⋅+⋅+⋅⎣⎦()2312241222122n n n S n n +⎡⎤=⋅+⋅++-+⋅⎣⎦12242222n n n S n +⎡⎤∴-=+++-⋅⎣⎦(3) ()()3121nnn C n =-+- ()()()()2121{ 2121nn nn n C n n -⋅-∴=-⋅+为奇为偶 ()()1111321212n n n n C n +=<≥-- n 为奇 ()()1111221212n n n n C +=<≥-+ n 为偶2．解析：(1) 2n 1n a 6S 9n 1+=++，()()2n n 1a 6S 9n 11n 2-=+-+≥，∴()22n 1n n a a 6a 9n 2+-=+≥，∴()22n 1n a a 3+=+ 且各项为正，∴()n 1n a a 3n 2+=+≥又3a 7=，所以2a 4=，再由221a 6S 91=++得1a 1=，所以21a a 3-=∴{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列，∴n a 3n 2=-(2) 13b 1,b 4==∴n 1n b 2-=， ()n 1n n n c a b 3n 22-=⋅=-⋅①()01n 1n T 12423n 22-=⋅+⋅++-⋅，②()12n n 2T 12423n 22=⋅+⋅++-⋅∴()12n 1n T 13222--=++++ ()n 3n 22--⋅， ()n n T 3n 525=-⋅+()n 3n 52m -⋅⋅≥ ()2*6n 31n 35n 2,n N -+≥∈恒成立∴()2n 6n 31n 35m 3n 52-+≥-⋅ ()()()n n3n 52n 72n 73n 522---==-⋅，即n 2n 7m 2-≥恒成立. 设n n 2n 7k 2-=， n 1nn 1n n 12n 52n 792nk k 222+++----=-= 当n 4≤时， n 1n k k +>； n 5≥时， n 1n k k +< ∴()n 55max 33k k 232===，∴3m 32≥. 点睛：本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到等差数列的通项公式的求解，数列的乘公比错位相减法求和，数列的恒成立的求解等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中准确运算和合理转化恒成立问题是解答的关键. 3．解：（1）设数列{}n a 的公比q ，由()4422332S a S a S a +=+++，得()()42434232S S S S a a a -+-+=+，即424a a =，∴214q =． {}n a 是单调递减数列，∴12q =， ∴12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）由（1）知2n n nna =，所以234112*********n n n n nT --=++++++，①232123412122222n n n n nT ---=++++++，②②-①得： 211112222n n n n nT -=++++-，1122212212nn n n n n T ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--，由()111112n n n n n T T n a ++++-=+=，得123n T T T T <<<<，故112n T T ≥=又2222n n n T +=-<，因此对于任意正整数n ， 122n T ≤<点睛：本题主要考查了数列的综合应用和不等式关系证明问题，其中解答涉及到等比数列的基本量的运算，数列的乘公比错位相减法求和，以及放缩法证明不等式，突出考查了方程思想和错位相减法求和及放缩法的应用，试题综合性强，属于难题. 4．解析：（1）设等比数列{}n a 的公比为q由已知， 42302S S =≠.则1q ≠，则()()212414161{1301a q S q a q S q-==--==-，，两式相除得2q =±，∵数列{}n a 为递增数列，∴2q =，则12a =，所以2n n a =.（2）122log 22n n n n b n ==-⋅，()1231222322n n T n =-⋅+⋅+⋅++⋅ 设1231222322n n H n =⋅+⋅+⋅++⋅，① 23412222322n n H n +=+⋅+⋅++⋅，②①-②得：()1231121222222212n n n n n H n n ++--=++++-⋅=-⋅-，11222n n n n T +-=-⋅+-=，1250n n T n ++⋅>，即111222250n n n n n +++-⋅+-+⋅>，1252n +>，∴正整数n 的最小值是5.点睛：本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的应用，错位相减求和方法的应用，及指数不等式的求解．5．解析：（1）由已知()1111f a -=-=-，所以11a =.()21212f a a -=-+=，所以23a =. ()312313f a a a -=-+-=-，所以35a =.（2）令1x =-，则()()()()2121111nn n f a a a -=-+-++-，①()()()()()21112111111nn n n n f a a a a +++-=-++-++-+-，②两式相减，得()()()1111?11n n n n a f f +++-=---= ()()()11?11?n nn n +-+--，所以()11n a n n +=++,即121n a n +=+，又11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为()211,2,3,n a n n =-=.（3）()233521n n f x x x x n x =++++-，所以()2311111352133333nn f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，③()2341111111·3521333333n n f n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，④①-②得()2312111111222213333333nn n f n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11133n nn f +⎛⎫=-⎪⎝⎭. 又1,2,3,n =，∴103n n +>，故113n f ⎛⎫< ⎪⎝⎭.又1111210333n n n n f f +++⎛⎫⎛⎫--=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13n f ⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭是递增数列，故1111333n f f ⎛⎫⎛⎫≥=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以11133n f ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查数列的前3项及通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．6．解析：(Ⅰ) 设数列{}n a 的公差为d ，由条件可得23111a a a =，即()()2222210d d +=+，解得3d =或0d =（舍去），则数列{}n a 的通项公式为()23131n a n n =+-=-，()()23113122n n n S n n +-==+. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()121322n a n n b --==，则()1231223341225282312n n n n T a b a b a b a b n +=++++=⨯+⨯+⨯++-⨯，①()23412225282312n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⨯，②将①-②得()123122323232312n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()211132324312834212n n n n n +++⨯-⨯=+--⨯=---⨯-，则()18342n n T n +=+-⨯.【易错点晴】本题主要考等差数列的通项公式、等比数列的求和公式、以及“错位相减法”求数列的和，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.7．解析：（1）11,4n a == 当2n ≥时， 1,n n n a s s -=-得()1121n n a a +-=-，1121n n a a +-=-112,n n a --=得 121n n a -=- n a = 14,1{21,2n n n -=+≥(2)当1n =时， 123b = 当2n ≥时， 13nn b n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭当1n =时， 123T =当2n ≥时， 232111233333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令2311123333nM n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3411111233333n M n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴ 23M = 122111191833n n n +-⎡⎤⎛⎫+--⋅ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 2111111312323nn M n -⎡⎤⎛⎫∴=+--⋅ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭132311243n nn T +⎛⎫∴=-⋅ ⎪⎝⎭ 经检验1n =时， 1T 也适合上式． 132311243n n n T +∴=-⋅ ()*n N ∈ ．点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误． 8．解析：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则11121{{,.510151n a d a a n a d d +==⇒∴=+==由题意得1111122n n b b b n n +=⋅=+，，∴数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，且首项和公比都是12， 2n nn b ∴=. （2）由（1）得231232222n n n T =+++⋅⋅⋅+， 2341112322222n n n T +=+++⋅⋅⋅+，两式相减得： 23111111=222222n n n n T ++++⋅⋅⋅+-， 222n n n T +∴=-；()()()2122222n n n nn n S T n nS f n n +-+=∴==+； ()()()()()221111121222n n n n n n n n n f n f n ++++++-+∴+-=-= 当3n ≥时， ()()10f n f n +-<；当3n <时， ()()10f n f n +-≥；()()()3311,2,322f f f === ∴()f n 存在最大值为32.点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误． 9．解析：（1）当1n =时， 11==3a S ；当2n ≥时， ()()221=212121n n n a S S n n n n n --=+----=+， 1=3a 也符合， ∴数列{}n a 的通项公式为=21n a n +.（2）2211111=14441n n b a n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭， ∴()111111111...1422314141n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 点睛：本题考查了等差数列的定义，求数列的前n 项和问题，属于中档题.解决数列的通项公式问题时，一般要紧扣等差等比的定义，利用方程思想求解，数列求和时，一般根据通项的特点选择合适的求和方法，其中裂项相消和错位相减法考查的比较多，主要是对通项的变形转化处理即可.10．解析：（1）设等比例列16.λ∴的最大值为的首项为1a ，公比为q依题意，有3112120{8a q a q a q +==，解之得12{ 2a q ==或132{ 12a q ==，又数列{}n a 单调递增， 12{ 2.2n a a n q =∴∴==，（2）依题意， 12.log2.2,.2bn n n n n ==- 12222323.........2,Sn n n ∴-=⨯+⨯+⨯++①2122223324........21Sn n n -=⨯+⨯+⨯+++②由①—②得： 2222324......2.21Sn n n n =+++++-+()212.2112n n n -=-+-21.212n n n =+-+- ， 1250n n S n +∴=⋅>，即12250,226n n +->∴>，当4n ≤时， 2241626n <=<；当5n ≥时，5223226n <=<， ∴使1250n n S n ++⋅>，成立的正整数n 的最小值为5.【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的的前n 项和，属于中档题.一般地，如果数列{}n a 是等差数列， {}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式.。

高中数学-数列经典例题(裂项相消法)(1)

数列裂项相消求和的典型题型1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1{1+n n a a 的前100项和为()A ．100101B ．99101C ．99100D ．1011002．数列,)1(1+=n n a n 其前n 项之和为,109则在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为()A ．－10B ．－9C ．10D ．93．等比数列}{n a 的各项均为正数，且6223219,132a a a a a ==+．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{n b 的前n 项和．4．正项数列}{n a 满足02)12(2=---n a n a n n ．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ；(Ⅱ)令,)1(1nn a n b +=求数列}{n b 的前n 项和n T ．5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12,4224+==n n a a S S ．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)设数列}{n b 满足,,211*2211N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ．6．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ．(Ⅰ)求n a 及n S ；(Ⅱ)令),(11*2N n a b n n ∈-=求数列}{n b 的前n 项和n T ．7．在数列}{n a 中n n a n a a 211)11(2,1,+==+．(Ⅰ)求}{n a 的通项公式；(Ⅱ)令,211n n n a a b -=+求数列}{n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n T ．8．已知等差数列}{n a 的前3项和为6，前8项和为﹣4．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)设),,0()4(*1N n q q a b n n n ∈≠-=-求数列}{n b 的前n 项和n S ．9．已知数列}{n a 满足,2,021==a a 且对*,N n m ∈∀都有211212)(22n m a a a n m n m -+=+-+--．(Ⅰ)求53,a a ；(Ⅱ)设),(*1212N n a a b n n n ∈-=-+证明：}{n b 是等差数列；（Ⅲ）设),,0()(*11N n q q a a c n n n n ∈≠-=-+求数列}{n c 的前n 项和n S ．10．已知数列}{n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足16,557263=+=a a a a ．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)数列}{n a 和数列}{n b 满足等式),(2222*33221N n b b b b a n n n ∈++++= 求数列}{n b 的前n 项和n S ．11．已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且421,,S S S 成等比数列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)令,4)1(112+--=n n n a a n b 求数列}{n b 的前n 项和n T .12．正项数列}{n a 的前n 项和n S 满足：0)()1(222=+--+-n n S n n S n n .(1)求数列}{n a 的通项公式n a ；(2)令,)2(122nn a n n b ++=数列}{n b 的前n 项和为n T ，证明：对于,*N n ∈∀都有645<n T .答案：1．A ；2．B3．解：(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ，由a 32=9a 2a 6有a 32=9a 42，∴q 2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a 1+3a 2=1有2a 1+3a 1q=1，∴a 1=．故数列{a n }的通项式为a n =．（Ⅱ）b n =++…+=﹣（1+2+…+n ）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，∴数列{}的前n项和为﹣．4．解：(Ⅰ)由正项数列{a n}满足：﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0，可有（a n﹣2n）（a n+1）=0∴a n=2n．(Ⅱ)∵a n=2n，b n=，∴b n===，T n===．数列{b n}的前n项和T n为．5．解：(Ⅰ)设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1有：，解有a1=1，d=2．∴a n=2n﹣1，n∈N*．(Ⅱ)由已知++…+=1﹣，n∈N*，有：当n=1时，=，当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，∴，n=1时符合．∴=，n∈N*由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*．∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+，∴T n=++…++，两式相减有：T n=+（++…+）﹣=﹣﹣∴T n=3﹣．6．解：(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴有，解有a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n==n2+2n；(Ⅱ)由(Ⅰ)知a n=2n+1，∴b n====，∴T n===，即数列{b n}的前n项和T n=．7．解：(Ⅰ)由条件有，又n=1时，，故数列构成首项为1，公式为的等比数列．∴，即．(Ⅱ)由有，，两式相减，有：，∴．（Ⅲ）由有．∴T n=2S n+2a1﹣2a n+1=．8．解：(Ⅰ)设{a n}的公差为d，由已知有解有a1=3，d=﹣1故a n =3+（n ﹣1）（﹣1）=4﹣n ；(Ⅱ)由(Ⅰ)的解答有，b n =n •q n ﹣1，于是S n =1•q 0+2•q 1+3•q 2+…+n •q n ﹣1．若q ≠1，将上式两边同乘以q ，有qS n =1•q 1+2•q 2+3•q 3+…+n •q n ．上面两式相减，有（q ﹣1）S n =nq n ﹣（1+q+q 2+…+q n ﹣1）=nq n ﹣于是S n =若q=1，则S n =1+2+3+…+n=∴，S n =．9．解：(Ⅰ)由题意，令m=2，n=1，可有a 3=2a 2﹣a 1+2=6再令m=3，n=1，可有a 5=2a 3﹣a 1+8=20(Ⅱ)当n ∈N *时，由已知（以n+2代替m ）可有a 2n+3+a 2n ﹣1=2a 2n+1+8于是[a 2（n+1）+1﹣a 2（n+1）﹣1]﹣（a 2n+1﹣a 2n ﹣1）=8即b n+1﹣b n =8∴{b n }是公差为8的等差数列（Ⅲ）由(Ⅰ)(Ⅱ)解答可知{b n }是首项为b 1=a 3﹣a 1=6，公差为8的等差数列则b n =8n ﹣2，即a 2n+1﹣a 2n ﹣1=8n ﹣2另由已知（令m=1）可有a n =﹣（n ﹣1）2．∴a n+1﹣a n =﹣2n+1=﹣2n+1=2n 于是c n =2nq n ﹣1．当q=1时，S n =2+4+6++2n=n （n+1）当q ≠1时，S n =2•q 0+4•q 1+6•q 2+…+2n •q n ﹣1．两边同乘以q ，可有qS n =2•q 1+4•q 2+6•q 3+…+2n •q n ．上述两式相减，有（1﹣q ）S n =2（1+q+q 2+…+q n ﹣1）﹣2nq n =2•﹣2nq n =2•∴S n =2•综上所述，S n =．10．解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意可知d ＞0由a 2+a 7=16，有，2a 1+7d=16①由a 3a 6=55，有（a 1+2d ）（a 1+5d ）=55②由①②联立方程求，有d=2，a 1=1/d=﹣2，a 1=（排除）∴a n =1+（n ﹣1）•2=2n ﹣1(Ⅱ)令c n =，则有a n =c 1+c 2+…+c n a n+1=c 1+c 2+…+c n+1两式相减，有a n+1﹣a n =c n+1，由（1）有a 1=1，a n+1﹣a n =2∴c n+1=2，即c n =2（n ≥2），即当n ≥2时，b n =2n+1，又当n=1时，b 1=2a 1=2∴b n =于是S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6，n ≥2，．11．解(1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1(12n －1＋12n ＋1)．当n 为偶数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…＋(12n －3＋12n －1)－(12n －1＋12n ＋1)＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.当n 为奇数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…－(12n －3＋12n －1)＋(12n －1＋12n ＋1)＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1.所以T nn 为奇数，n 为偶数.(或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋1)12．(1)解由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0，由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0.所以S n ＝n 2＋n (n ∈N *)．n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式．∴a n ＝2n (n ∈N *)．(2)证明由a n ＝2n (n ∈N *)得b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n ＝n ＋14n 2(n ＋2)2＝1161n 2－1(n ＋2)2T n…＝1161＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<＝564(n ∈N *)．即对于任意的n ∈N *，都有T n <564.。

高中数学数列求和的五种方法

⾼中数学数列求和的五种⽅法⼀、公式法求和例题1、设 {an} 是由正数组成的等⽐数列,Sn为其前 n 项和，已知 a2 · a4=1 , S3=7，则 S5 等于(　B　)(A) 15/2 (B) 31/4 (C) 33/4 (D) 17/2解析：∵ {an} 是由正数组成的等⽐数列 , 且 a2 · a4 = 1, q > 0 ,例题1图注：等⽐数列求和公式图例题2、已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn = an^2+bn (a、b∈R), 且 S25=100 , 则a12+a14等于(　B )(A) 16 (B) 8 (C) 4 (D) 不确定解析：由数列 {an} 的前 n 项和 Sn = an^2 + bn (a、b∈R), 可知数列 {an} 是等差数列,由S25= 1/2 ×（a1 + a25）× 25 = 100 ，解得 a1+a25 = 8,所以 a1+a25 = a12+a14 = 8。

注：等差数列求和公式图⼆、分组转化法求和例题3、在数列 {an} 中, a1= 3/2 ，例题3图（1）解析：例题3图（2）故例题3图（3）∵ an>1，∴ S < 2="">∴有 1 < s=""><>∴ S 的整数部分为 1。

例题4、数列例题4图（1）例题4图（2）解析：例题4图（3）三、并项法求和例题5、已知函数 f(x) 对任意 x∈R,都有 f(x)=1-f(1-x), 则 f(-2) + f(-1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) 的值是多少？解析:由条件可知：f(x)+f(1-x)=1，⽽x+(1-x)=1，∴f(-2)+f(3)=1，f(-1)+f(2)=1，f(0)+f(1)=1，∴ f(-2) + f(-1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 3。

高中数学专题强化练习《数列求和》含答案解析

1 × (1 - 2) n
=2 -1,
1-2
=
∴Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)
2 × (1 - 2)
-n=2n+1-n-2.故选
1-2
=
D.
2.B 由题意可得,当 n 为奇数时,an=f(n)+f(n+1)=n2-(n+1)2=-2n-1;
当 n 为偶数时,an=f(n)+f(n+1)=-n2+(n+1)2=2n+1.
公差不为 0,其前 n 项和为 Sn.若 a2,a4,a7 成等比数列,S3=12.
(1)求 an 及 Sn;
1
1
1
(2)已知数列{bn}满足+1-=an,n∈N*,b1=3,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,
求 Tn 的取值范围.
答案全解全析
一、选择题
1.D ∵an=1+2+22+…+2n-1
又 a14=b4,所以 1+13d=1×33,解得 d=2,

( - 1)
1 - 3
2+3 - 1.
·2+
=n
2
1-3
2
所以数列{an+bn}的前 n 项和为 n+
8.答案 6
6
解析设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,由 a4=24,a6=96,得 q2=4
=4,所以 q=2 或 q=-2,
(n ≤ 6,n ∈ N*),
2
∴Tn= n2 - 11n + 60
(n ≥ 7,n ∈ N*).
2
=15+

高中数学数列求和列项相消专题练习

列项相消专题练习
1、已知数列是递增的等比数列,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设为数列的前项和,,求数列的前项和.
2、已知数列的前项和为,且.
(1)求的通项公式;
(2)设,,数列的前项和为,证明:.
3、已知等差数列的前项和为,.
(1)求等差数列的通项公式;
(2)求.
4、若数列是递增的等差数列，它的前项和为，其中，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若对任意，恒成立，求的取值范围.
5、已知数列满足,.
(1)证明:数列为等差数列,并求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
6、已知等比数列中,公比,前项和为,且.
(1)求的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
列项相消专题练习答案
1、(1)由题设知,又,可解得或(舍去),
由得公比,故,.
(2),又,
所以
.
2、(1)有,得,因为,(),
所以,化简得,
即数列是以为首项,为公比的等比数列,所以.
(2)证明:因为,所以,则,
因为,所以当时,取得最小值,当接近无限大时,趋于,故.
3、(1)由题可知,从而有,.
(2)由(1)知,,从而
.
4、（1）∵，∴又∵成等比数列，∴，
∴`∴.
（2）∴，
∴，
对任意的,恒成立
只需的最大值小于或等于，而∴，∴或.
5、(1)因为,所以,所以是以为首项,为公差的等差数列,从而
,所以.
(2)由(1)得,∴
.
6.(1)∵,∴,∴.
(2)∵,∴,
∴,
∴.。

【高中数学】习题课二求数列的和

习题课二求数列的和题型一分组分解求和【例1】已知正项等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝6，a 3＋a 4＝24. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，求数列{a n ＋b n }的前n 项和. 解 (1)设数列{a n }的公比为q (q >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1·q ＝6，a 1·q 2＋a 1·q 3＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2， ∴a n ＝a 1·q n －1＝2×2n －1＝2n .(2)b n ＝log 22n ＝n ，设{a n ＋b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝(a 1＋b 1)＋(a 2＋b 2)＋…＋(a n ＋b n ) ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋…＋b n ) ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n ) ＝2×（2n －1）2－1＋n （1＋n ）2＝2n ＋1－2＋12n 2＋12n .规律方法 1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{c n }的前n 项和.【训练1】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＋S 4＝S 5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －1a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＋S 4＝S 5可得a 1＋a 2＋a 3＝a 5，即3a 2＝a 5，∴3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2， ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)由(1)可得b n ＝(－1)n －1×(2n －1)，∴T 2n ＝(1－3)＋(5－7)＋…＋[(4n －3)－(4n －1)] ＝(－2)·n ＝－2n .题型二裂项相消法求和【例2】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 2＝2，S 4＝16，{a n ＋1}是等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a n >0，设b n ＝log 2(3a n ＋3)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和.解 (1)设等比数列{a n ＋1}的公比为q ，其前n 项和为T n ，因为S 2＝2，S 4＝16，所以T 2＝4，T 4＝20，易知q ≠1，所以T 2＝（a 1＋1）（1－q 2）1－q ＝4①，T 4＝（a 1＋1）（1－q 4）1－q ＝20②，由②①得1＋q 2＝5，解得q ＝±2. 当q ＝2时，a 1＝13，所以a n ＋1＝43×2n －1＝2n ＋13；当q ＝－2时，a 1＝－5，所以a n ＋1＝(－4)×(－2)n －1＝－(－2)n ＋1. 所以a n ＝2n ＋13－1或a n ＝－(－2)n ＋1－1.(2)因为a n >0，所以a n ＝2n ＋13－1，所以b n ＝log 2(3a n ＋3)＝n ＋1，所以1b n b n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2＝n 2（n ＋2）. 规律方法 (1)把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的.常见的拆项公式： (ⅰ)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1；(ⅱ)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(ⅲ)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(2)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止. (3)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 【训练2】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3. (1)求a n ；(2)设b n ＝1S n ，求数列{b n }的前n 项和为T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝a 1＋6d ，（a 1＋7d ）－2（a 1＋2d ）＝3，解得a 1＝3，d ＝2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.(2)由(1)得S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (n ＋2)，∴b n ＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝12[⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2]＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2.题型三错位相减法求和【例3】已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .解 (1)设{a n }的公比为q ，由题意知：a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，解得：a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n .(2)由题意知：S 2n ＋1＝（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b na n ，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1 ＝32＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－2n ＋12n ＋1 ＝52－2n ＋52n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .规律方法 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式.【训练3】已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列. (1)求数列{a n b n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .解 (1)∵a n ＝3n －1，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9.∵在等差数列{b n }中，b 1＋b 2＋b 3＝15，∴3b 2＝15，则b 2＝5. 设等差数列{b n }的公差为d ，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列， ∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2. ∵b n >0，∴d ＝－10应舍去，∴d ＝2， ∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1. 故a n b n ＝(2n ＋1)·3n －1，n ∈N *.(2)由(1)知T n ＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n －1)3n －2＋(2n ＋1)3n －1，① 3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)3n －1＋(2n ＋1)3n ，②①－②，得－2T n ＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－(2n ＋1)3n ＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n －1)－(2n ＋1)3n ＝3＋2×3－3n1－3－(2n ＋1)3n＝3n －(2n ＋1)3n ＝－2n ·3n . ∴T n ＝n ·3n ，n ∈N *.一、素养落地1.通过学习数列求和的方法，提升数学运算和逻辑推理素养.2.求数列的前n 项和，一般有下列几种方法. (1)错位相减适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. (2)分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列. (3)裂项相消有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. (4)奇偶并项当数列通项中出现(－1)n 或(－1) n ＋1时，常常需要对n 取值的奇偶性进行分类讨论.(5)倒序相加例如，等差数列前n 项和公式的推导方法. 二、素养训练1.数列214，418，6116，…的前n 项和S n 为( )A.n 2＋1＋12n ＋1B.n 2＋2－12n ＋1C.n (n ＋1)＋12－12n ＋1D.n (n ＋1)＋12n ＋1解析 S n ＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋⎝⎛⎭⎫14＋18＋…＋12n ＋1＝12n (2＋2n )＋14⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12 ＝n (n ＋1)＋12－12n ＋1.答案 C2.等比数列{a n }中，a 5＝2，a 6＝5，则数列{lg a n }的前10项和等于( ) A.6 B.5 C.4D.3解析 ∵数列{a n }是等比数列，a 5＝2，a 6＝5， ∴a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝a 5a 6＝10， ∴lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 10＝lg(a 1·a 2·…·a 10) ＝lg(a 5a 6)5＝5lg 10＝5. 故选B. 答案 B3.数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n （n ＋1）的前2 020项和为________.解析因为2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以S 2 020＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋12 020－12 021 ＝2⎝⎛⎭⎫1－12 021＝4 0402 021. 答案4 0402 0214.已知数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1，n 为奇数，n ，n 为偶数，则S 100＝________.解析由题意得S 100＝a 1＋a 2＋…＋a 99＋a 100 ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100) ＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100) ＝5 000. 答案 5 0005.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，n ∈N *. (1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }是等差数列；(2)在(1)的条件下求数列{a n }的前n 项和S n . (1)证明由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1＝b n ＋1.∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)解由(1)知，b n ＝n ，a n2n －1＝b n ＝n .∴a n ＝n ·2n －1.∴S n ＝1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，两边同时乘以2得2S n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，两式相减得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1， ∴S n ＝(n －1)×2n ＋1. 三、审题答题示范(一) 数列求和问题【典型示例】 (12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＝4，2S n ＝na n ＋n ①，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若取出数列{a n }中的部分项a 2，a 6，a 22，…依次组成一个等比数列{c n }，若数列{b n }满足a n ＝b n ·c n ，求证：数列{b n }的前n 项和T n <23.②联想解题看到①，想到a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，利用S n 与a n 的关系结合定义法或等差中项法证明数列{a n }为等差数列并求通项公式.看到②，想到利用错位相减法求数列{b n }的前n 项和T n ，从而得到T n 的取值范围，即可证明T n <23. 满分示范(1)解数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝na n ＋n ，n ∈N *，当n ＝1时，2a 1＝a 1＋1，则a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1①， a n ＋1＝S n ＋1－S n ②.2分由②－①得，S n ＋1－2S n ＋S n －1＝a n ＋1－a n ，所以（n ＋1）（a n ＋1＋1）2－n (a n ＋1)＋（n －1）（a n －1＋1）2＝a n ＋1－a n ，所以（n －1）a n ＋1＋（n －1）a n －12＝(n －1)a n ，即a n ＋1＋a n －12＝a n ，所以数列{a n }为等差数列.5分又a 1＝1，且a 2＝4，整理得a n ＝3n －2.6分 (2)证明由a 2＝4，a 6＝16，解得c n ＝4n ，所以b n ＝(3n －2)×14n .8分则T n ＝1×14＋4×142＋…＋(3n －2)×14n ③，14T n ＝1×142＋4×143＋…＋(3n －2)×14n ＋1④，9分由③－④得，34T n ＝14＋3⎝⎛⎭⎫142＋…＋14n －(3n －2)×14n ＋1＝12－3n ＋24n ＋1，解得T n ＝23－3n ＋23×4n <23.12分满分心得(1)利用数列的递推公式求通项公式主要应用构造法，即构造出等差、等比数列，或可应用累加、累乘求解的形式.(2)利用错位相减法求数列的和最容易出现运算错误，运算时要注意作差后所得各项的符号，所得等比数列的项数.(3)与数列的和有关的不等式证明问题，一般是先求和及其范围，再证明不等式.基础达标一、选择题1.已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，n ∈N *，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n 所确定的数列{b n }的前n 项的和是( ) A.n (n ＋2) B.12n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.12n (n ＋7) 解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝n2(2n ＋4)＝n 2＋2n .∴b n ＝n ＋2，∴{b n }的前n 项和S n ＝n （n ＋5）2.答案 C2.数列12×5，15×8，18×11，…，1（3n －1）×（3n ＋2），…的前n 项和为( )A.n 3n ＋2B.n 6n ＋4C.3n 6n ＋4D.n ＋1n ＋2 解析由数列通项公式1（3n －1）（3n ＋2）＝13⎝⎛⎭⎫13n －1－13n ＋2，得前n 项和S n ＝13(12－15＋15－18＋18－111＋…＋13n －1－13n ＋2)＝13⎝⎛⎭⎫12－13n ＋2＝n6n ＋4. 答案 B3.1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋1210的值为( ) A.18＋129B.20＋1210C.22＋1211D.18＋1210解析设a n ＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n， ∴原式＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫121＋2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫122＋…＋2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1211＝2⎣⎡⎦⎤11－⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋1211 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－12⎝⎛⎭⎫1－12111－12＝2⎣⎡⎦⎤11－⎝⎛⎭⎫1－1211 ＝2⎝⎛⎭⎫11－1＋1211＝20＋1210. 答案 B4.已知函数f (x )＝21＋x 2(x ∈R )，若等比数列{a n }满足a 1a 2 021＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 021)＝( ) A.2 021 B.2 0212C.2D.12解析 ∵函数f (x )＝21＋x 2(x ∈R )，∴f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝21＋x 2＋21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝21＋x 2＋2x 2x 2＋1＝2.∵数列{a n }为等比数列，且a 1·a 2 021＝1， ∴a 1a 2 021＝a 2a 2 020＝a 3a 2 019＝…＝a 2 021a 1＝1.∴f (a 1)＋f (a 2 021)＝f (a 2)＋f (a 2 020)＝f (a 3)＋f (a 2 019)＝…＝f (a 2 021)＋f (a 1)＝2，∴f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 021)＝2 021.故选A. 答案 A5.定义np 1＋p 2＋…＋p n 为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”.若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为13n ＋1，又b n ＝a n ＋26，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 9b 10＝( )A.111 B.1011 C.910D.1112解析由题意得n a 1＋a 2＋…＋a n ＝13n ＋1，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (3n ＋1)＝3n 2＋n ，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝3n 2＋n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝4；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2＋n －[3·(n －1)2＋(n －1)]＝6n －2.经检验a 1＝4也符合此式，所以a n ＝6n －2，n ∈N *，则b n ＝a n ＋26＝n ，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 9b 10＝11×2＋12×3＋…＋19×10＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫19－110＝1－110＝910.故选C. 答案 C 二、填空题 6.设a n ＝1n ＋1＋n，数列{a n }的前n 项和S n ＝9，则n ＝________.解析 a n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，故S n ＝2－1＋3－2＋…＋n ＋1－n ＝n ＋1－1＝9. 解得n ＝99. 答案 997.在数列{a n }中，已知S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，n ∈N *，则S 15＋S 22－S 31的值是________.解析 S 15＝－4×7＋a 15＝－28＋57＝29， S 22＝－4×11＝－44，S 31＝－4×15＋a 31＝－60＋121＝61， S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76. 答案－768.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则数列{na n }的前n 项和T n 为________.解析 ∵S n ＝2a n －1(n ∈N *)，∴n ＝1时，a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －1－(2a n －1－1)，化为a n ＝2a n －1，∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n －1. ∴na n ＝n ·2n －1.则数列{na n }的前n 项和T n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ·2n －1. ∴2T n ＝2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ·2n ，∴－T n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1－2n1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1， ∴T n ＝(n －1)2n ＋1. 答案 (n －1)2n ＋1 三、解答题9.已知函数f (x )＝2x －3x －1，点(n ，a n )在f (x )的图象上，数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n . 解由题意得a n ＝2n －3n －1，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2＋22＋…＋2n )－3(1＋2＋3＋…＋n )－n ＝2（1－2n ）1－2－3·n （n ＋1）2－n＝2n ＋1－n （3n ＋5）2－2.10.已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和.解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)b n ＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，所以T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.能力提升11.已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2 020项和为( )A.1 009B.1 010C.2 019D.2 020解析设数列{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋6d ＝a 1＋3d ＋7，a 1＋9d ＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. 设b n ＝a n cos n π，∴b 1＋b 2＝a 1cos π＋a 2cos 2π＝2，b 3＋b 4＝a 3cos 3π＋a 4cos 4π＝2，…， ∴数列{a n cos n π}的前2 020项和S 2 020＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2 019＋b 2 020)＝2×2 0202＝2 020.故选D. 答案 D12.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋λ(λ为常数). (1)试探究数列{a n ＋λ}是不是等比数列，并求a n ； (2)当λ＝1时，求数列{n (a n ＋λ)}的前n 项和T n . 解 (1)因为a n ＋1＝2a n ＋λ，所以a n ＋1＋λ＝2(a n ＋λ). 又a 1＝1，所以当λ＝－1时，a 1＋λ＝0，数列{a n ＋λ}不是等比数列，此时a n ＋λ＝a n －1＝0，即a n ＝1；当λ≠－1时，a 1＋λ≠0，所以a n ＋λ≠0，所以数列{a n ＋λ}是以1＋λ为首项，2为公比的等比数列，此时a n ＋λ＝(1＋λ)2n －1，即a n ＝(1＋λ)2n －1－λ. (2)由(1)知a n ＝2n －1，所以n (a n ＋1)＝n ·2n ， T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，① 2T n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1，② ①－②得：－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2（1－2n ）1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2.所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.创新猜想13.(多空题)设等差数列{a n }满足a 2＝5，a 6＋a 8＝30，则a n ＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n－1的前n 项和为________.解析设等差数列{a n }的公差为d .∵{a n }是等差数列，∴a 6＋a 8＝30＝2a 7，解得a 7＝15，∴a 7－a 2＝5d .又a 2＝5，则d ＝2.∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n ＋1. ∴1a 2n －1＝14n （n ＋1）＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n－1的前n 项和为14⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n4（n ＋1）. 答案 2n ＋1n4（n ＋1）14.(多空题)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n ＝⎝⎛⎭⎫1－13n a n ＋1，b n ＝(－1)n ·(log 3a n )2，则a n ＝________，数列{b n }的前2n 项和为________.解析根据题意，数列{a n }满足2S n ＝⎝⎛⎭⎫1－13n a n ＋1①，则当n ≥2时，有2S n －1＝⎝⎛⎭⎫1－13n －1a n ②，由①－②可得⎝⎛⎭⎫1－13n (a n ＋1－3a n )＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0，即a n ＋1＝3a n (n ≥2).由2S n ＝⎝⎛⎭⎫1－13n a n ＋1，可求得a 2＝3，a 2＝3a 1，则数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1，b n ＝(－1)n ·(log 3a n )2＝(－1)n ·(log 33n －1)2＝(－1)n (n －1)2，则b 2n －1＋b 2n ＝－(2n －2)2＋(2n －1)2＝4n －3.所以数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝1＋5＋9＋…＋(4n －3)＝n （1＋4n －3）2＝2n 2－n .答案 3n －12n 2－n高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

高中数学《数列》复习专题

检验：当n 1时, a1 1 12 2 满足已知条件.
1 n 1 练1.若an an 1 1 ( ) , a1 0, 求通项公式. 2 解：
专题2：求通项公式 1.累加型 an an1 f ( n) 2.累乘型 an an1 f ( n)
n 1个 an 1 q an 2 an q a
例3.数列 {an }满足an 3an1 1, a1 1, 求 {an }的通项公式 .
解：设为待定系数， an 3an 1 1
1 1 n 1 那么an =(a1 )3 2 2 an 3an1 1 1 1 n 1 即an = 3 1 2 2 an 3(an 1 ) n 1 3 3 +1 也即an = 1 1 2 则令， 2 3 1 1 即an 3(an 1 ) 2 2 1 1 {an }是以a1 为首项， 2 2 3为公差的等比数列.
练1.an
1 4n 1
2
, 求S n .
1 1 练 2.an 2 , 证明Sn . 4n 4n 3 3
1 1 1 例2.求和： 2+ 3 3+ 4 4+ 5
1 99+ 100
1 1 1 练3.求和： + 1+ 3 2+ 4 3+ 5
1 n + n+2
2 an an1 an1
专题2：求通项公式 1.累加型 an an1 f ( n) 回顾：求等差数列的通项公式：— —累加法
由递推公式 an an1 d (n 2)可知， a2 a1 d 当n 2时， a3 a2 d a4 a3 d n 1个 a n 1 a n 2 d a n a n 1 d

(完整版)高中数学数列求和专题复习_知识点,习题

数列求和例题精讲1．公式法求和（1）等差数列前n 项和公式 d n n na a a n a a n S k n k n n 2)1(2)(2)(111-+=+=+=-+ （2）等比数列前n 项和公式 1=q 时 1na S n =1≠q 时 qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11（3）前n 个正整数的和 2)1(321+=++++n n n Λ 前n 个正整数的平方和 6)12)(1(3212222++=++++n n n n Λ前n 个正整数的立方和 23333]2)1([321+=++++n n n Λ公式法求和注意事项（1）弄准求和项数n 的值；（2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。

例1．求数列13741+n ，，，，Λ的所有项的和例2．求和221-++++n x x x Λ(0,2≠≥x n )2．分组法求和例3．求数列1，21+，321++，…，n ++++Λ321的所有项的和。

例4．已知数列{}n a 中，⎪⎩⎪⎨⎧+=)()2()(15为偶数为奇数n n n a nn ，求m S 2。

3．并项法求和例5．数列{}n a 中， 21)1(n a n n +-=，求100S 。

例6．数列{}n a 中，，n a n n 4)1(-=，求20S 及35S 。

4．错位相减法求和{}{}{}若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项a b a b n n n n n{}和，可由求，其中为的公比。

S qS S q b n n n n -例7．求和12321-++++n nx x x Λ（0≠x ）。

5．裂项法求和:把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

例8．求和)12)(12(1751531311+-++⨯+⨯+⨯n n Λ。

例9．求和nn +++++++++11321231121Λ。

［练习］求和：…………111211231123+++++++++++n （…………，）a S n n n ===-+2116 . 倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

高中数学《数列求和与综合问题》专项练习题(含答案解析)

高中数学《数列求和与综合问题》专项练习题（含答案解析）一、选择题1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．44D ．44＋1A [因为a n ＋1＝3S n ，所以a n ＝3S n －1(n ≥2)，两式相减得，a n ＋1－a n ＝3a n ，即a n ＋1a n＝4(n ≥2)，所以数列a 2，a 3，a 4，…构成以a 2＝3S 1＝3a 1＝3为首项，公比为4的等比数列，所以a 6＝a 2·44＝3×44.]2．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝15，且3S 1S 3＋15S 3S 5＋5S 5S 1＝35，则a 2等于( ) A ．2B ．12C ．3D ．13C [∵在等差数列中，S 2n －1＝(2n －1)a n ，∴S 1＝a 1，S 3＝3a 2，S 5＝5a 3，∴35＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 1a 3，∵a 1a 2a 3＝15，∴35＝a 315＋a 115＋a 215＝a 25，即a 2＝3.]3．已知数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝4，b n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2n π2b n ＋cos 2n π2，则该数列的前23项的和为( )A ．4 194B ．4 195C ．2 046D ．2 047A [当n 为偶数时，b n ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin 2n π2b n ＋cos 2n π2＝b n ＋1，有b n ＋2－b n ＝1，即偶数项成等差数列，所以b 2＋b 4＋…＋b 22＝11b 2＋11×102×1＝99.当n 为奇数时，b n ＋2＝2b n ，即奇数项成等比数列，所以b 1＋b 3＋…＋b 23＝b 11－2121－2＝212－1＝4 095.所以该数列的前23项的和为99＋4 095＝4 194，故选A ．]4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，则S 2 0192 019＝( )A ．1 010B ．1 009C ．2 020D ．2 019A [S 2 019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 018＋a 2 019)，＝(2×0＋1)＋(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2 018＋1)，＝1＋2×2 018＋11 0102＝2 019×1 010，∴S 2 0192 019＝1 010，故选A ．]5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2＋λa n ，且a 1＝1，则S 5＝( ) A ．27 B ．5327C ．3116D ．31C [∵S n ＝2＋λa n ，且a 1＝1，∴S 1＝2＋λa 1，即λ＝－1，∴S n ＝2－a n ，当n ≥2时，S n ＝2－(S n －S n －1)，∴2S n ＝2＋S n －1，即S n ＝12S n －1＋1，∴S n －2＝12(S n －1－2)，∴S n －2＝(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.当n ＝1时也满足．∴S 5＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝3116.故选C ．]6．设曲线y ＝2 018x n ＋1(n ∈N *)在点(1,2 018)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝log 2 018x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 2 017的值为( )A ．2 018B ．2 017C ．1D ．－1D [因为y ′＝2 018(n ＋1)x n ，所以切线方程是y －2 018＝2 018(n ＋1)(x －1)，所以x n ＝nn ＋1，所以a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝log 2 018(x 1·x 2·…·x 2 017)＝log 2 018⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×…×2 0172 018＝log 2 01812 018＝－1.]7．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前87项和S 87＝140，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87等于( )A ．1403B ．60C ．80D ．160C [法一：a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87＝a 3(1＋q 3＋q 6＋…＋q 84)＝a1q 2×1q 3291－q 3＝q 21＋q ＋q 2×a 11－q 871－q ＝47×140＝80.故选C ．法二：设b 1＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 85，b 2＝a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 86，b 3＝a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 87，因为b 1q ＝b 2，b 2q ＝b 3，且b 1＋b 2＋b 3＝140，所以b 1(1＋q ＋q 2)＝140，而1＋q ＋q 2＝7，所以b 1＝20，b 3＝q 2b 1＝4×20＝80.故选C ．]8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1前n 项和的最大值为( )A ．49B ．1C ．4181D ．151315A [a 1＝9，a 2为整数，可知：等差数列{a n }的公差d 为整数，由S n ≤S 5，∴a 5≥0，a 6≤0，则9＋4d ≥0,9＋5d ≤0，解得－94≤d ≤－95，d 为整数，d ＝－2.∴a n ＝9－2(n －1)＝11－2n . 1a n ·a n ＋1＝111－2n9－2n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫19－2n －111－2n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1前n 项和为 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19－2n －111－2n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫19－2n －19，令b n ＝19－2n ，由于函数f (x )＝19－2x 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0对称及其单调性，可知：0＜b 1＜b 2＜b 3＜b 4，b 5＜b 6＜b 7＜…＜0，∴b n ≤b 4＝1.∴最大值为49.故选A ．]二、填空题 9．已知a n ＝2n ，b n ＝3n －1，c n ＝b n a n，则数列{c n }的前n 项和S n 为________．5－3n ＋52n [由题设知，c n ＝3n －12n ，所以S n ＝221＋522＋823＋…＋3n －12n ， ①2S n ＝2＋521＋822＋…＋3n －12n －1，②由②－①得，S n ＝2＋321＋322＋…＋32n －1－3n －12n .故所求S n ＝2＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－3n －12n ＝5－3n ＋52n .]10．已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，a n ＋1a n＝n ＋1n，b n a n＝sin 2n π3－cos 2n π3，n ∈N *，则数列{b n }的前47项和等于________．1 120 [依题意得a n ＋1n ＋1＝a nn ，故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 是常数列，于是有a n n ＝1，a n ＝n 2，b n ＝－n 2cos 2n π3，b 3k －2＋b 3k －1＋b 3k ＝3k －223k －122－(3k )2＝－9k ＋52(k ∈N *)，因此数列{b n }的前47项和为S 47＝S 48－b 48＝－9×161＋162＋52×16＋482＝1 120.]11．设某数列的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称该数列为“和谐数列”．若一个首项为1，公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }为“和谐数列”，则该等差数列的公差d ＝________.2 [由S nS 2n ＝k (k 为常数)，且a 1＝1，得n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n 2n －1d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得，(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0，∵对任意正整数n ，上式恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧d 4k －10，2k －12－d0，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，k ＝14.∴数列{a n }的公差为2.]12．记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 4－2S 2＝3，则S 6－S 4的最小值为________．12 [由题可知数列{a n }的公比q ＞0，a n ＞0，则3＝(a 4－a 2)＋(a 3－a 1)＝a 1(q ＋1)·(q 2－1)，则有q ＞1，所以3S 6－S 4＝3a 6＋a 5＝3a 1q ＋1q 4＝a 1q ＋1q 2－1a 1q ＋1q 4＝1q 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1q 22＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫1q 2－122≤14(当且仅当q ＝2时，取等号)，所以S 6－S 4≥12，即S 6－S 4的最小值为12.]三、解答题13．(2018·黔东南州二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝43(a n －1)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝log 2a n ，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n －1b n ＋1的前n 项和为T n ，证明：T n ＜12.[解] (1)当n ＝1时，有a 1＝S 1＝43(a 1－1)，解得a 1＝4.当n ≥2时，有S n －1＝43(a n －1－1)，则a n ＝S n －S n －1＝43(a n －1)－43(a n －1－1)，整理得：a na n －1＝4，∴数列{a n }是以q ＝4为公比，以a 1＝4为首项的等比数列．∴a n ＝4×4n －1＝4n (n ∈N *)即数列{a n }的通项公式为：a n ＝4n (n ∈N *)． (2)由(1)有b n ＝log 2a n ＝log 2 4n ＝2n ，则1b n ＋1b n －1＝12n ＋12n －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1. 易知数列{T n }为递增数列， ∴T 1≤T n ＜12，即13≤T n ＜12.14．(2018·邯郸市一模)已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，b n －a n ＝2n ＋1，且S n ＋T n ＝2n ＋1＋n 2－2.(1)求T n －S n ； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 的前n 项和R n .[解] (1)依题意可得b 1－a 1＝3，b 2－a 2＝5，…，b n －a n ＝2n ＋1， ∴T n －S n ＝(b 1＋b 2＋…＋b n )－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝n ＋(2＋22＋…＋2n )＝2n ＋1＋n －2. (2)∵2S n ＝S n ＋T n －(T n －S n )＝n 2－n ， ∴S n ＝n 2－n2，∴a n ＝n －1. 又b n －a n ＝2n ＋1， ∴b n ＝2n ＋n .∴b n2n ＝1＋n2n ， ∴R n ＝n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋222＋…＋n 2n ，则12R n ＝12n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋223＋…＋n 2n ＋1，∴12R n ＝12n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －n2n ＋1，故R n ＝n ＋2×12－12n ＋11－12－n 2n ＝n ＋2－n ＋22n .。

高中数学数列定义等差数列等比数列数列求和求通项公式练习题

第一部分数列基本定义第一节：数列及其通项公式一．数列的概念1．数列的定义：；2．表示法：；3．数列的分类：；4．通项公式：；5．递推公式的概念：；二．数列通项公式的求法题型一1．已知数列{a n}的前几项，写出数列的一个通项公式（1）1，4，9，16，……；a n=;（2）2468,,,,392781……；a n=;（3）313131,,,,,,,23456a n=;（4）9，99，999，9999，……；a n=;（5）7，77，777，7777，……；a n=;（6）7，-77，777，-7777，……；a n=;（7）0.5,0.55,0.555,0.5555,……；a n=;（8）1．-1，1，-1，……；a n=;（9）1，0，1，0，……；a n=;（10）11，101，1001，10001，……；a n=;（11）12341,2,3,4,2345……；a n=;（12）1375,,,,24816；a n=;（13）210172637,1,,,,3791113---，……；a n=;2．数列1，3，2，6，5，15，14，x,y,z，122，……，中x,y,z的值依次是（）A42，41，123B13，39，123C24，23，123D28，27，123 3．数列1，1，2，3，5，8，……；的第7项是.4．数列}a {n 中，11(2)(n n n a nn n -⎧⎪=⎨⎪-⎩为奇数）（为偶数），则}a {n 的前5项分别是.5.已知函数xx x f 1-)(=，设*))((N n n f a n ∈=(1)求证：1<n a ；（2）{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？题型二．已知数列的前n 项和求数列的通项公式用数列的前n 项和n S 求通项n a 的公式是：；例1.已知数列{a n }的前n 项和为221n S n n =++，求数列{a n }的通项公式；例2.已知数列{a n }的前n 项和为22n S n n =+，求数列{a n }的通项公式.练习：1.已知数列{a n }的前n 项和为1(1)n n S n +=-,则通项a n =;2.已知数列{a n }的前n 项和为32nn S =+,则通项a n =;3.已知数列{a n }的前n 项和为110log (1)n S n =+,则通项a n =;4.已知数列{a n }的前n 项和为12111222n n n nS +=+++,则通项a n =;题型三.用递推公式求数列的通项公式1.数列{}n a 中，1112,(2,3,4,1n n n a a a n a --===- ），则它的前5项是.2.数列{}n a 中，12211,2,,n n n a a a a a ++===+则7a =.3.数列{}n a 中，满足112,2n n a a a +==+，求数列{a n }的通项公式；4.数列{}n a 中，满足112,n n a a a n +==+，求数列{a n }的通项公式；5.数列{}n a 中，满足112,2n n a a a +==，求数列{a n }的通项公式；6.数列{}n a 中，满足112,1n n na a a n +==+，求数列{a n }的通项公式；第二节：等差数列一.1.定义：_______________________________________________________________.2.通项公式：____________________或____________________3.等差中项：________________________________________推广1________________________________________推广2________________________________________4.证明一个数列是等差数列的方法：方法1________________________________________方法2________________________________________方法3________________________________________5.等差数列的性质：（1）__________，n a 单增；__________，n a 单减；____________，是常数列.（2）等差数列中任意连续的三项也成____________________数列，反之亦然.二.等差数列的前n 项和：公式1____________________证明：公式2____________________证明：题型一基本练习与应用：1．在等差数列{a n }中，a 5=10,a 12=31,求首项a 1与公差d.2.在等差数列{a n }中，a 2=-5,a 6=a 4+6,那么a 1=.3.在等差数列{a n }中，a 15=8,a 20=20,则a 25=.4.在等差数列{a n }中，a 2+a 5+a 8=9,a 3a 5a 7=-21,求通项a n .5.在等差数列{a n }中，a 15=8,a 60=20,则a 75=.6.在等差数列{a n }中，S 10=310，S 20=1220，求S n 与通项a n .6．在等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450,则a 2+a 8=.7.a 3,a 15是方程x 2-6x-1=0的两个根，求a 7+a 8+a 9+a 10+a 11=.8．在等差数列}{n a 中，23=a ，则该数列的前5项和为（）（A ）10（B ）16（C ）20（D ）329.在等差数列}{n a 中，n S 表示前n 项和，且58218a a a -=+，则9S 的值为_______10.等差数列{a n }，)9(,30,240,1849>===-n a S S n n ，则项数n 为____________11．在等差数列{a n }中，前4项的和为21，后4项的和为67，前n 项的和为286，则项数n=.12.等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，且71427n n S n T n +=+,求1111a b .13.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若9535=a a ，则59S S的值为________14．在等差数列{a n }中，a m =n,a n =m,且m ≠n,则a m+n =.15.已知等差数列}{n a ，n S 是其前n 项和，对于不相等的正整数m,n ，有n S m S m n ==,，则n m S +的值为.题型二其奇数项和、偶数项和1、若等差数列共有偶数项n 2项（奇数项、偶数项各n 项）：即奇S 12531 -+⋅⋅⋅+++=n a a a a ，偶S n a a a a 2642 +⋅⋅⋅+++=则偶S ___S -=奇，偶S ___S +=奇______S S =偶奇（中间一对）2、若等差数列共有奇数项12+n 项（奇数项比偶数项多1项）：即奇S 1212531 +-++⋅⋅⋅+++=n n a a a a a 偶S na a a a 2642 +⋅⋅⋅+++=则____S S -=奇偶（1+n a 为中间项），偶S ____S +=奇，______S S =偶奇（项数之比）1..等差数列{a n }共有2n-1项，所有奇数项的和为132，所有偶数项的和为120，则n=.2如果等差数列{a n }共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为.3．如果等差数列{a n }的项数是奇数，11=a ，{a n }的奇数项的和是175，偶数项的和是150，求这个等差数列的公差d.题型三n S 的最值问题1.在等差数列}{n a 中，n S 表示前n 项和，且0,01312<>S S ，当n S 取得最大值时的n 值为（）（A ）6（B ）7（C ）12（D ）不能确定2.若}{n a 是等差数列，首项01>a ，02423>+a a ，02423<⋅a a ，则使前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 是（）（A ）48（B ）47（C ）46（D ）453.等差数列{a n }中，a n =2n-10,则n S 的最小值时n=.4.等差数列{a n }中，a n =2n-11,则n S 的最小值时n=.5．在等差数列{a n }中,,S S ,a 83125=-=则前n 项和n S 的最小值为（）A ：-80B ：-76C ：-75D ：-746.已知等差数列}{n a ，n S 是其前n 项和，且877665,,S S S S S S >=<，则下列结论错误的是（）（A ）d <0（B ）07=a （C ）59S S >（D ）6S 与7S 均为n S 的最大值.题型四裂项相消法求数列的前n 项和适用题型__________________________________________________________例1求数列1(1)n a n n =+的前n 项和练习1：求数列1(2)n a n n =+的前n 项和练习2求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.例2、求和S n =1)1)(2n -2()2(534312222+++•+•n n ；练习、求数列 ,1414,1313,1212222222-+-+-+…前n 项的和n S .第三节：等比数列一.等比数列及其性质1.定义：______________________________________（有既是等差又是等比的数列吗？）2.通项公式：____________________或____________________3.等比中项：________________________________________推广1________________________________________推广2________________________________________4.证明一个数列是等比数列的方法：方法1________________________________________方法2________________________________________方法3________________________________________题型一基本练习与应用：1.数列{}n a 是等比数列，则在①1{}n n a a +；②1{}n n a a ++；③1{}n n a a +-；④3{}n a ；⑤{}n na ；⑥{lg }n a 这6个数列中仍成等比数列的是.2.数列{}n a 是等比数列，37416,33a a ==，求公比q.3.等差数列a,b,c 三项的和为12，且a,b,c+2成等比数列，求a 的值.4.数列{}n a 是等比数列，1357932a a a a a =，求5a 5.数列{}n a 是等比数列，198a =，13n a =，23q =，则这个数列的项数为（）A 3B 4C 5D 66.等比数列{a n }中,a n >0,a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,则a 3+a 5=()A:5B:10C:15D:207.等比数列{a n },==-=1185,8,16a a a （）A ：-4B ：±4C ：-2D ：±28.等比数列{a n }，512,1247483-==+a a a a ，公比q 为整数，则=10a .9.等比数列{a n }中，,a a ,a a 60304321=+=+则=+65a a __________10.等比数列{a n }中，,b a a ),a (,a a a =+≠=+20191090则=+10099a a （）A ：89a b B ：9)a b (C ：910ab D ：10)ab (11.{a n }是各项为正数的等比数列，965=a a ，则1032313a log a log a log +++ =（）A ：12B ：10C ：8D ：523log +12．已知{a n }是各项都为正数的等比数列，设n n a log b 2=，求证数列{b n }是等差数列.13.已知等比数列}{n a 的163=a ，且6510212=a a a ，求}{n a 的通项公式.14.各项均为正数的等比数列}{n a 中，若1074=⋅a a ，则=+++1021lg lg lg a a a ；15．}{n a 为等比数列，（1）77,299==S q ，求9963a a a +++ （2）前n 项的和为,48=n S 前n 2项之和602=n S ，求nS 3二.等比数列的前n 项和：公式___________________（注意__________）证明：1．等比数列{a n }中，64216a a -=，318a a -=，40n S =，求q 和n.2．等比数列{a n }中，334,12a S ==，求1a 和q.3．等比数列{a n }中，49n S =，2112n S =，则3n S =.4．等比数列{a n }中，11,512,341,n n a a S ==-=-求q.5．求数列11,3,9,27,,3,n - 的前n 项和.6．求222211,1,(1),,(1),n a a a -+++ 的前n 项和7．求2422222,,,,nn y y y，求前2k 项的和.8．求211,,,,,n a a a- 的前n 项和.9．等比数列{a n },前n 项和为48,前2n 项和为60,前3n 项的和为()A:183B:108C:75D:6310．{a n }成等差数列，1351a ,a ,a 成等比数列，则该等比数列的公比为（）A ：21B ：2C ：41D ：3111．{a n }成等差数列，{b n }成等比数列，)n ,,,i (b ,q i 2101=>≠，若11b a =，1111b a =，则（）A ：66b a =B ：66b a >C ：66b a <D ：66b a >或66b a <12．y ,a ,a ,x 21成等差数列，y ,b ,b ,x 21成等比数列，则21221b b )a a (+的取值范围是（）A ：),[+∞4B ：（0，4）C ：),[],(+∞-∞40 D ：),[),(+∞-∞40 13．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（）A ．12B ．10C ．8D ．6第四节数列的综合应用--数列求和（一）．公式法1．求1，4，7，10，…，（3n-2）,…的前n 项和.2．求数列2422222,,,,n n y y y，求前2k 项的和.3．求21nS a a a=++++ （二）．分组求和1．求和（1+2）+（3+4）+…+（2n-1+2n ）2．(x-2)+(x 2-2)+…+（x n -2）3.2(1)(2)()na a a n -+-++- 4.求和22111()()()n n x x x y y y++++++ 5.122334(1)n n ⨯+⨯+⨯+++ 6.1325(21)n n ⨯+⨯+++ （三）．裂项相消1.求和1111223(1)n S n n =+++⨯⨯+ 2.1111335(21)(21)n n +++⨯⨯-+ 3..数列{a n }成等比数列,各项都为正数，且q ≠1,求证1223111111lg lg lg lg lg lg lg lg n n nn a a a a a a a a --+++=4.)1(1431321+++⨯+⨯n n 5.)32)(12(1751531++++⨯+⨯n n 6．)13)(23(1741411+-++⨯+⨯n n 7.)2(1531421311+++⨯+⨯+⨯n n 8.)3(1631521411+++⨯+⨯+⨯n n 9．求n++++++++++21132112111（四）．错位相减1．23135212222nn -++++ 2.nn 223222132⨯++⨯+⨯+⨯ 3.nn 21225232++++ 4．求和2335(21)nx x x n x ++++- 5．1+2×3+3×7+…+n(2n -1)6.已知数列{a n +1}是等比数列，11=a ，2=q ，求nna a a a ++++ 32132（五）放缩及其他1．222222123499100-+-++- 2．求数列141413131212222222－＋，－＋，－＋，……的前n 项和.3.求和n S =++4.求121213511311-++++++++=n n S 5.求值设244(+=x x x f ），求19991998()19992()19991(f f f +++ :6.求证：2221111223n ++++<7.21(1)(1)22n n n ++<+ 8．nnn 2131211)11(2<++++<-+第五节数列的综合应用--数列求通项1.直接定义法：例1.等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S 。

高二数学复习考点知识精讲与练习14 数列求和常考方法归纳

高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A 版选择性必修第二册)第四章：数列专题强化训练二：数列求和常考方法归纳【考点梳理】数列求和的几种常用方法1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． (1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.2．分组求和法与并项求和法(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)形如a n ＝(－1)n ·f (n )类型，常采用两项合并求解．3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2.③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .⑤log a ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n (n >0)．4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．【题型精练】题型一、公式法求和1．（2022·全国·高二课时练习）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并求S n 的最小值.2．（2022·四川成都·高三月考（文））已知数列{}n a 满足：11a =，且121n n a a n +-=-，其中n *∈N ；（1）证明数列{}n a n +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．3．（2022·河南·郑州市第一〇六高级中学高二月考）已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.（1）求{a n }的通项公式；（2）求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.题型二、分组转化法求和4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 是等差数列，且81a =，1624S =．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若数列{}n b 是递增的等比数列，且149b b +=，238b b =，求1133552121()()()()n n a b a b a b a b --++++++⋯++．5．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三月考（理））已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，等比数列{b n }的公比为q (q >1)，且b 3＋b 4＋b 5＝28，b 4＋2是b 3和b 5的等差中项．（1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）令c n ＝b n ＋211n a -，{c n }的前n 项和记为T n ，若2T n ≥m 对一切n ∈N *成立，求实数m 的最大值． 6．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 满足132(2)n n a a n -=+≥，且12a =，3log (1)n n b a =+. （1）求2a ，3a 的值；（2）已知数列{}n a 的通项公式是：31nn a =-，3n n a =，32n a n =+中的一个，判断{}n a 的通项公式，并求数列{}n n a b +的前n 项和n S .题型三、倒序相加法求和7．（2020·河南大学附属中学高二月考）已知函数()21x f x x =+，设数列{}n a 满足1()n n a f a +=，且112a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若记((21))(1i n b f i a i =--⨯=，2，3，⋯，)n ，求数列{}i b 的前n 项和n T .8．（2020·江苏·高三专题练习）已知数列{}n a 满足121,3a a ==,且对任意*n N ∈,都有()01211231212n n n n n n n n a C a C a C a C a -+++++⋯+=-⋅成立.（1）求3a 的值;（2）证明:数列{}n a 是等差数列.9．（2019·四川·成都外国语学校高一期中（文））数列{}n a 的前n 项和为n S （1）若{}n a 为等差数列，求证：1()2n n n a a S +=；（2）若1()2n n n a a S +=，求证：{}n a 为等差数列.题型四、裂项相消法求和10．（2022·浙江绍兴·高二期末）已知等差数列{}n a 满足11a =，2435a a a +=+，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，*12()n n n n b a b a n N ++⋅=⋅∈，求数列{}n b 的前n 项和.11．（2022·广东·金山中学高二期中）已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =，1n n n b b a n +=+-．（1）证明数列{}n a n -为等比数列并求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n c 满足1(1)(1)n n n n a n c b b +-=++，设数列{}n c 的前n 项和n T ，证明：13n T <．12．（2022·广东·广州市番禺区象贤中学高二期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*2()n n a S n n N =+∈. （1）求证：数列{1}n a +是等比数列；（2）记2221log (1)log (1)n n n c a a +=+⋅+，求数列{}n c 的前n 项和n T .题型五、错位相减法求和13．（2022·西藏·拉萨中学高二月考）已知数列{}n a 中，11a =，*1(N )3nn n a a n a +=∈+．（1）求证：数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求出{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足(31)2nn n n nb a =-⋅⋅，设n T 为数列{}n b 的前n 项和，求使n k T >恒成立的最小的整数k ．14．（2022·全国·高二专题练习）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=5，nS n +1-（n +1）S n =n 2+n . （1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）令b n =2n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .15．（2022·河南洛阳·高二期中（文））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，211n n n S S a +++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：12122222nna a a a a a +++<．专题强化训练一、单选题16．（2022·河南·高二期中（文））已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为（）A ．1168B ．1134C ．198199D ．9919917．（2022·河南·高二期中（理））已知数列{}n a 中，11a =，12123n n a a n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，则数列{}1n n a a +的前99项和为（） A ．9967B ．29767C ．3367D ．1986718．（2022·江西·九江一中高二期中）已知数列{}n a 满足112a =，213a =，()1223111n n n a a a a a a n a a n N ++++++=⋅⋅∈，记数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2021S =（）A ．202120212⋅B ．202220212⋅C ．202120222⋅D ．202220222⋅19．（2022·河南南阳·高二期中）已知数列{}n a 满足11a =，221(1)nn n a a -=+-，()*2123n n n a a n +=+∈N ，则数列{}n a 的前2022项的和为（）A ．101132022-B ．101032022-C ．101132020-D ．101032020-20．（2022·西藏·拉萨中学高二月考）数列{}n a 满足()()121nn a n =--，则它的前20项和20S 等于（）A ．-10B ．-20C ．10D ．2021．（2022·河北省唐县第一中学高二期中）若数列{}n a 满足1222a a ==，且21n n n a a a ++=-，则{}n a 的前100项和为（）A ．67B ．68C ．134D ．16722．（2022·全国·高二课时练习）已知函数()()221f x x R x=∈+，若等比数列{}n a 满足120201a a =，则()()()()1232020f a f a f a f a ++++=（）．A ．2020B ．20202C ．2D ．1223．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 满足12a =，()1221n n n a a n ++=+，则20001232019a a a a a =+++⋅⋅⋅+（） A ．20212019B ．20202019C ．20192018D ．2021201824．（2022·全国·高二单元测试）已知数列{}n a 满足13a =，()111n n a a n n +=++，则n a =（） A ．14n+B ．14n -C ．12n +D ．12n -25．（2022·全国·高二单元测试）某公园免费开放一天，假设早晨6时30分有2人进公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去并出来1人，第二个30分钟内进去8人并出来2人，第三个30分钟内进去16人并出来3人，第四个30分钟内进去32人并出来4人，……，按照这种规律进行下去，那么到上午11时30分公园内的人数是（） A ．11247-B ．12257-C ．13268-D ．14280-二、多选题26．（2022·全国·高二单元测试）已知数列{}n a 满足2212352222nn n na a a +++⋅⋅⋅+=，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（）A ．1a 的值为2B ．数列{}n a 的通项公式为()312nn a n =+⨯C ．数列{}n a 为递减数列D ．3772n nn S +=-27．（2022·江苏·高二单元测试）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，11S =，12n n n S S n++=，且212n n n n a b a a ++=，则下列结论正确的是（）A ．20212021a =B ．()12n n n S +=C ．()112n b n n =-+D ．1334n T n ≤-<28．（2022·全国·高二单元测试）已知数列{}n a 满足11a =，()*1N 23nn na a n a +=∈+，则下列结论正确的是（） A ．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列B ．{}n a 的通项公式为1123n n a -=-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2234n n T n +=--29．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12{}nn n a a +⋅的前n 项和为*,n T n N ∈，则下列选项正确的为（）A ．数列{1}n a +是等差数列B ．数列{1}n a +是等比数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T <三、填空题30．（2022·上海市行知中学高二期中）已知数列{}n b 的前n 项和22n S n n =-，设数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n K ，则20K 的值为 ___．31．（2022·上海市复兴高级中学高二期中）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21log 1n a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则满足10n S >的n 最小值为___________32．（2022·河南南阳·高二月考（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为34,3,10n S a S ==，则12111nS S S ++⋯+=___________. 33．（2022·河南郑州·高二期中（文））数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，n *∈N .设()1nn n n b a a =+-，则数列{}n b 的前2n项和2n T =___________.34．（2022·河南郑州·高二月考（理））已知数列{}n a 满足11n n a a ++=，且246a a +=，当12020n ≤≤，*n ∈N 时，记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，则1220S S S ++⋅⋅⋅+=________.（备用公式()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=）四、解答题35．（2020·全国·高二课时练习）已知等差数列{}n a 满足36a =，前7项和为749.S =（Ⅰ）求{}n a 的通项公式（Ⅱ）设数列{}n b 满足(3)3nn n b a =-⋅，求{}n b 的前n 项和n T .36．（2022·全国·高二专题练习）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=．{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令211n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T ．37．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ．（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式．38．（2022·全国·高二专题练习）正项数列{}n a 的前n 项和Sn 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn ＜564.39．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +==（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．40．（2022·江苏省苏州实验中学高二月考）已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满足()()1126n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()111n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .41．（2022·河南·高二期中（理））等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .42．（2022·吉林·延边二中高二期中（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n n =+,*n N ∈,数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，*n N ∈.(1)求n a 和n b 的通项公式； (2)求数列{n n a b ⋅}的前n 项和n T .43．（2019·全国全国·高二课时练习）已知数列{}n a 满足212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且233445,,a a a a a a 成等差数列.（Ⅰ）求q 的值和{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设*2221log ,nn n a b n a -=∈N ，求数列{}n b 的前n 项和. 44．（2019·江西上饶·高二月考）已知数列{}n a 满足1220n n a a +-+=，且18a =. （1）证明：数列{2}n a -为等比数列；（2）设1(1)(21)(21)n nn n n a b +-=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的*n N ∈，n m T ≥恒成立，求m 的取值范围.45．（2020·广东广雅中学高二月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*n S n n N =∈，数列{}n b 为等比数列，且21a +，41a +分别为数列{}n b 第二项和第三项. （1）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；（2）若数列11n n n n n c a b a a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .10 / 38参考答案1．（1）a n ＝2n －9；（2）S n ＝ (n －4)2－16；－16. （1）设数列{a n }的公差为d ，由题意得a 1＝－7，3S =3a 1＋3d ＝－15. 所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. （2）由（1）得()1722n n n S n -=-+⨯=n 2－8n ＝(n －4)2－16. 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16. 2．（1）证明见解析，2nn a n =-（2）n S 1(1)222n n n ++=--【分析】（1）由121n n a a n +-=-，化简得到1(1)2()n n a a n n ++++=，结合等比数列的定义和通项公式，即可求解；（2）由（1）知：2nn a n =-，结合等差数列、等比数列的求和公式，即可求解.（1）解：由题意，数列{}n a 满足：11a =，且121n n a a n +-=-，可得1(1)2()n n a a n n ++++=，且112a +=，所以{}n a n +是首项、公比均为2的等比数列，所以2nn a n +=，即2n n a n =-.（2）解：由（1）知：2nn a n =-，则12n n S a a a =++⋅⋅⋅+12(21)(22)(2)n n =-+-+⋅⋅⋅+-12(222)(12)nn =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+2(12)(1)122n n n⋅-+=--1(1)222n n n ++=--. 3．（1）a n =2n -1. （2）312n -【分析】（1）直接利用基本量代换，列方程组即可求出通项公式；（2）先求出公比q ，即可利用等比数列前n 项和公式直接求和. （1）设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1＝1，a 2＋a 4＝10，即1+d +1+3d =10，解得：d =2，所以a n = a 1+（n -1）d=2n -1. （2）设等比数列{b n }的公比为q ，因为b 1＝1，，b 2b 4＝a 5=9，所以q 4=9，解得：q 2=3. 所以b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1 211131313n -=+++++1113313n --⨯=- 312n -=. 4．（1）7n a n =-；（2）24173n n n --+. 【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件列关于1a 和d 的方程组，解方程可得1a 和d 的值，即可得{}n a 的通项公式n a ；（2）由等比数列的性质求得1b 和4b 的值，进而可得数列{}n b 的公比和通项公式，再由分组求和即可求解. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知：1171161516242a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得161a d =-⎧⎨=⎩，所以6(1)7n a n n =-+-=-，（2）因为数列{}n b 是递增的等比数列，由已知可得14142398b b b b b b +=⎧⎨==⎩，解得：1418b b =⎧⎨=⎩，所以3418b q b ==，可得：2q 所以11122n n n b --=⋅=，所以1133552121()()()()n n a b a b a b a b --++++++⋯++，1352113521()()n n a a a a b b b b --=+++⋯+++++⋯+，(628)14214nn n -+--=+-， 24173n n n -=-+． 5．（1）a n ＝2n (n ∈N *)，b n ＝2n －1，n ∈N *；（2）83.【分析】（1）根据n a 与n S 的关系即可求得数列{}n a 的通项，根据已知条件求出等比数列{b n }的首项和公比，即可求得数列{}n b 的通项；（2）求出数列{c n }的通项，再利用分组求和及裂项相消求和法求出T n ，从而可求得T n 的最小值，从而可得答案. 【详解】解：（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝2.当n ≥2时a n ＝S n －S n －1＝2n ，a 1＝2也符合上式， ∴a n ＝2n (n ∈N *)．又b 3＋b 4＋b 5＝28，2(b 4＋2)＝b 3＋b 5，得b 4＝8，q ＝2或q ＝12. ∵q >1，∴q ＝2， ∴b n ＝2n －1，n ∈N *.（2）∵c n ＝b n ＋211n a -＝2n －1＋2141n -＝2n －1＋11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭， ∴T n ＝1212n--＋111111123352121n n ⎛⎫-+-++- ⎪-+⎝⎭＝2n －1＋111221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭＝2n －11422n -+，易知T n 随着n 的增大而增大，∴2T n ≥2T 1＝83，故m 的最大值为83.6．（1）28a =，326a =；（2）31n n a =-，121(33)2n n S n n +=+--.【分析】（1）由递推公式得1(3(1)1)n n a a -++=，结合已知{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，写出n a 的通项公式，进而求2a ，3a 的值；（2）由（1）得31n n c n =+-，再应用分组求和及等差、等比前n 项和公式求n S . 【详解】（1）∵132(2)n n a a n -=+≥，即1(3(1)1)n n a a -++=且12a =， ∴{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，即13n n a +=， ∴31n n a =-，则22318a =-=，333126a =-=.（2）设n n n c a b =+，由（1）知31nn a =-，又3log (1)n n b a n =+=.∴31n n c n =+-，2(33...3)(12...1)nn S n =+++++++-3(13)(1)(11)132n n n --+-=+-121(33)2n n n +=+--. 7．（1）12n a n=；（2）2n nT =.【分析】（1）由1()n n a f a +=得到121n n n a a a +=+，然后变形为1112n n a a +-=，利用等差数列的定义求解. （2）由（1）得到121221i i b n i -+=⨯-+，由112112211221221i n i i n i b b n i n i -+-+-++=⨯+⨯=-+-+，利用倒序相加法求解. 【详解】（1）因为()21xf x x =+，所以由1()n n a f a +=得121n n n a a a +=+，所以121112n n n na a a a ++==+，∴1112n n a a +-=，所以1{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，所以12(1)22n n n a =+-⨯=，所以12n a n=. （2）由（1）知21()(1,2,3,,)2i i b f i n n-=-=⋯，则21(21)1212212[(21)]22212()12i i i i n b i i n n i -----+===⨯-⨯--+-+⨯-+，{}12(1)1[2(1)1]22(1)12[2(1)1]22[]12n i n i n i n b n i n i n n-+-+----+-==-+-⨯--+-+⨯-+，12(1)112212[2(1)1]221n i n i n i n n i -+--+=⨯=⨯-+---+，所以112112211(1,2,3,,)221221i n i i n i b b i n n i n i -+-+-++=⨯+⨯==⋯-+-+，123n n T b b b b =+++⋯+， 121n n n n T b b b b --=+++⋯+，两式相加，得：121321112()()()()()nn n n n n i n i i T b b b b b b b b b b n ---+==++++++⋯++=+=∑，所以2n n T =. 【点睛】本题主要考查数列的递推关系，等差数列的定义及通项公式以及倒序相加求和，话考查了运算求解的能力，属于中等题.8．（1）5（2）答案见解析【分析】（1）根据()01211231212n n n n n n n n a C a C a C a C a -+++++⋯+=-⋅,令1n =时,即可求出35a =;（2）假设123n a a a a ⋯，，，，是公差为2的等差数列,则21n a n =-,利用数学归纳法证明,即可求得答案. 【详解】（1）()01211231212nn n n n n n n a C a C a C a C a -+++++⋯+=-⋅令1n =,则01112131a C a C a +=-由121,3a a ==,则31311a +⨯=- 解得:35a =（2）若123,,,,k a a a a ⋯是等差数列,则公差为2,即21k a k =- ①当3n =时,由（1）知1231,3,5a a a ===,此时结论成立．②假设当(3)n k k =≥时,结论成立,即123,,,,k a a a a ⋯是等差数列,则公差为2.由()0121211213111 12,3k k k k k k k k a C a C a C a C a k ------++++⋯+=-⋅≥ 对该式倒序相加,得()()12112212k k k k a a a --++=-⋅∴1112k k a a a +-=+=,即1212(1)1k a k k +=+=+- ∴当1n k =+时,结论成立．根据①②,可知数列{}n a 是等差数列．【点睛】本题考查了求数列中的项和证明数列是等差数列,解题关键是掌握数学归纳法的证明方法和等差数列的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 9．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用倒序相加法即可证明.（2）利用n a 与n S 的关系分别求出n a 与1n a +，然后作差1n n a a +-，化简即可证明其满足112n n n a a a -+=+，即可证明{}n a 为等差数列. 【详解】（1）证明：已知数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，有()11n a a n d +-= 则123n n S a a a a =++++于是()()()111121n S a a d a d a n d ⎡⎤=+++++++-⎣⎦……① 又()()()21n n n n n S a a d a d a n d ⎡⎤=+-+-++--⎣⎦……②由①②相加有()12n n S n a a =+即()12n n n a a S += （2）证明：由()12n n n a a S +=，有当2n ≥时，()()11112n n n a a S ---+=，所以()()()1111122n n n n n n a a n a a a S S --+-+=-=-， ③()()()1111122n n n n a a n a a a +++++=-， ④④－③并整理，得()112n n n n a a a a n +--=-≥，即112n n n a a a -+=+ 所以数列{}n a 是等差数列．【点睛】主要考查了倒序相加法，以及等差数列的证明，属于中档题.等差数列的证明常常运用以下两种方法：（1）定义法，通过证明1n n a a d --=（d 为常数，2n ≥）即可；（2）等差中项法：通过证明其满足112n n n a a a -+=+即可. 10．（1）21n a n =-；（2）321nn +. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程即可解出d ，从而得到数列{}n a 的通项公式；（2）根据题意可得12n nn n b a b a ++=，再根据累乘法求得3(21)(21)n b n n =-+，然后根据裂项相消法即可求出数列{}n b 的前n 项和．【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a d =+，312a d =+，413a d =+.因为2435a a a +=+，所以24125d d +=++，解得2d =.所以数列{}n a 的通项公式为1(1)21n a a n d n =+-=-. （2）因为12n n n n b a b a ++⋅=⋅，所以12n n n n b ab a ++=. 所以，当2n ≥时，312121121341n n n n n bb aba ab b b b b a a a --+=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⨯，即1213(2)(21)(21)n n n a a b n a a n n +⋅==≥⋅-+.又11b =适合上式，所以3(21)(21)n b n n =-+.因为3311()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+，数列{}n b 的前n 项和为123111113[(1)()()]2335212121n n nS b b b n n n =+++=-+-+⋅⋅⋅+-=-++.11．【详解】解：（1）证明：当*n N ∈时，1(1)(21)(1)2n n n n a n a n n a n a n+-+-+-+==--，又112a -=，∴数列{}n a n -是首项为2，公比为2的等比数列，∴11(1)22n n n a n a --=-⋅=，∴*2()n n a n n N =+∈；（2）证明：122n n n n n n n b b a n b n n b +=+-=++-=+，∴12n n n b b +-=，当1n =时12b =，当2n 时112n n n b b ---=，∴111121121()()22222221n n n n n n b b b b b b ----=-++-+=+++=⨯+=-，当1n =时符合，∴2nn b =，∴111211(1)(1)(21)(21)2121n n n n n n n n n a n c b b +++-===-++++++，1212231111111111111()()()()2121212121212121321n n n n n n n n T c c c c --++∴=++++=-+-++-+-=-+++++++++．又11021n +>+，∴13n T <．12．【详解】（1）证明：由*2()n n a S n n N =+∈，可得111211a S a =+=+，解得11a =，2n 时，11221n n n n n a S S a n a n --=-=--+-，可得121n n a a -=+，则112(1)n n a a -+=+，所以数列{1}n a +是首项和公比均为2的等比数列；（2）由（1）可得12nn a +=，则222222111111()log (1)log (1)2log 2(2)22log n n n n n c a a n n n n ++====-+⋅+⋅++，所以1111111111(1...)232435112n T n n n n =-+-+-++-+--++ 1111323(1)221242(1)(2)n n n n n +=+--=-++++. 13．【详解】（1）由*1(N )3nn n a a n a +=∈+，得13131n n n na a a a ++==+，令1113n n a a λλ+⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以21λ=，解得12λ=，所以11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由等比数列的定义可知：数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以3为公比，以111322a +=为首项的等比数列，所以1113322n na -+=⨯，即231n n a =-，（2）由题意得1(31)2(31)21223nnn n n n n n n n n b a -=-=-⋅⋅=-⋅⋅， 0122111111123(1)22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯， 121111112(1)22222n n n T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，两式相减得：0121111111122212222222212n n n n n nT n n n --+=+++⋅⋅⋅+-⨯=-=--，所以12442n n n T -+=-<，所以4k ≥，所以使n k T >恒成立的最小的整数k 为4． 14．【详解】（1）证明：由nS n +1-（n +1）S n =n 2+n 得111n n S S n n +-=+，又11S=5，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为5，公差为1的等差数列.（2）由（1）可知n Sn=5+（n -1）=n +4，所以S n =n 2+4n .当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n 2+4n -（n -1）2-4（n -1）=2n +3. 又a 1=5也符合上式，所以a n =2n +3（n ∈N *），所以b n =（2n +3）2n ，所以T n =5×2+7×22+9×23+…+（2n +3）2n ，① 2T n =5×22+7×23+9×24+…+（2n +1）2n +（2n +3）·2n +1，② 所以②-①得T n =（2n +3）2n +1-10-（23+24+…+2n +1） =（2n +3）2n +1-10-()3121212n ---=（2n +3）2n +1-10-（2n +2-8） =（2n +1）2n +1-2. 15．解：因为正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，211n n n S S a +++=，所以当1n =时，2212S S a +=，即22122a a a +=，即2222a a +=，解得22a =或21a =-（舍去）当2n ≥时，21n n n S S a -+=，两式相减可得()22111n n n n n n S S S S a a +-++-+=-，即()()111n n n n n n a a a a a a ++++=+-，所以11n n a a +-=，又211a a -=，所以{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n a n = （2）解：由（1）可得22n n n a a n =，令1212222nn na a a a a a T =+++，所以231232222n nn T ①，所以2341112322222n n n T +=++++②；①-②得，23111111222222n nn nT +=++++- 1111221212n n n +⎛⎫-⎪⎝⎭=--1212n n ++=-，所以2222nn n T +=-<，所以12122222nna a a a a a +++< 16．D解：因为数列{}n a 的前n 项和2n S n =，2121n S n n -=-+，两式作差得到21(2)n a n n =-≥，又当1n =时，21111a S ===，符合上式，所以21n a n =-，111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以12233411111n n a a a a a a a a +++++=111111111111233557212122121n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以12233499100111199992991199a a a a a a a a ++++==⨯+. 故选：D. 17．A 【详解】因为12123n n a a n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，即1(21)23n n n a a n ++=+，1[2(1)1](21)n n n a n a +++=+，所以数列{}(21)n n a +是常数列，所以1(21)33n n a a +=⋅=，所以321n a n =+，19911(21)(23)22123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以122334*********1235577921239113232323n n a a a a a a a a n n nn n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭于是1223349910039999299367a a a a a a a a ⨯++++==⨯+，故选：A 18．B 【分析】降标相减可得()()()111122n n n n a a na n a n ++=--≥，从而可得()1122n n n n n a a+-=-≥，再降标相减得出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，再利用错位相减法即可求解. 【详解】降标相减可得()()()111122n n n n a a na n a n ++=--≥ 即()()11212n n n n a a na n a n ++=--≥ 变形得：()1122n n n n n a a +-=-≥，降标相减可得()112113n n n n a a a -+=+≥可算得112a =，213a =，314a =即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，可得()12112nn n n n n a a =+⇒=+，所以()12223212n n S n =⋅+⋅++⋅，所以()2312223212n n S n +=⋅+⋅++⋅错位相减可得12n n S n +=⋅.所以2022202120212S =⋅.故选：B 19．A 【分析】利用累加法得到()12113122n nn a ---=+-，带入得到231(1122)n nn a =-+-，再利用分组求和法计算得到答案.【详解】212213(1)3n n n n n n a a a +-+-==++，即2121(1)3n n n n a a +---+=.()()()2121232325131n n n n n a a a a a a a a -----=-+-+⋅⋅⋅+-+[]()1121211331(31)3(11221)3n n n n n n --------⎡⎤⎡⎤=++⋅⋅⋅+-++=-+⎣⎦⎣⎦-+-+()()11311311222n n n n --+--=-=+-.()12211331112(1)(1)(12)22nnn n n n n n a a ---==+---+-+=+-.故()()2021132021242020S a a a a a a =++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅()()()0110101210111113331111222222⎛⎫---=++-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪⎝⎭2101021010(1)(1)(3131311112222221)⎛⎫++-++-+⋅⋅--⋅++- ⎪⎝⎭-1010101110111331132021*********-=++--=--.故选：A. 20．D 【分析】根据()()121nn a n =--，利用并项求和法即可得出答案. 【详解】解：因为()()121nn a n =--，所以2012341920S a a a a a a =+++++()()()13573739=-++-+++-+ ()()()13573739=-++-+++-+21020=⨯=.故选：D. 21．B 【分析】由题意得122,1a a ==，根据21n n n a a a ++=-，列举数列的项，得到数列从第2项起，3项一个循环求解. 【详解】因为1222a a ==，所以122,1a a ==，因为21n n n a a a ++=-，所以数列的项依次为2，1，1，0，1，1，0，…，所以从第2项起，3项一个循环，所以{}n a 的前100项的和为233(110)68+⨯++=，故选：B ．【分析】由函数解析式可知，()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而根据等比数列的性质120202201932018202011a a a a a a a a ===== 恰好满足两两互为倒数.因此可以利用函数特征代入，利用倒序求和解决求和问题【详解】∵()()221f x x R x =∈+，∴()2222212222211111x f x f x x x x x ⎛⎫+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭． ∵数列{}n a 为等比数列，且120201a a ⋅=，∴120202201932018202011a a a a a a a a =====．∴()()()()()()()()120202201932018202012f a f a f a f a f a f a f a f a +=+=+==+=，∴由倒序求和可得()()()()12320202020f a f a f a f a ++++=．故选：A ． 23．A解：由()1221n n n a a n ++=+，得1221n n a an n +=++，所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以1111a =+为首项，2为公比的等比数列，所以121n n a n -=+，所以()112n n a n -=+⋅．设{}n a 的前n 项和为n S ，则()012122324212n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅，两边同乘2，得()12122232212n nn S n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅++⋅，两式相减得()()()()101212122222212212212n n nn n n S n n n ----=⨯+++⋅⋅⋅+-+⋅=+-+⋅=-⋅-，所以2nn S n =⋅，所以2019202020191232019202122021201922019a a a a a ⨯==+++⋅⋅⋅+⨯．故选：A. 24．B 【分析】由1111n n a a n n +-=-+，利用累加法得出n a .由题意可得()111111n n a a n n n n +-==-++，所以21112a a -=-，321123a a -=-，…，1111n n a a n n--=--，上式累加可得()()()121321--=-+-++-n n n a a a a a a a a111111112231=-+-++-=--n n n，又13a =，所以14=-n a n.故选：B . 25．B 【详解】由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内，进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n 个30分钟内进入公园的人数为n a ，出来的人数为n b ，则142n n a -=⨯，n b n =，则上午11时30分公园内的人数为()()1012412101102257122S -+=+-=--.故选：B. 26．ACD 【分析】对于A ，令1n =直接求解1a ，对于B ，当2n ≥时，()()22112131512222n n n n a a a ---+-++⋅⋅⋅+=，然后与已知的式子相减可求出n a ，对于C ，利用1n n a a +-进行判断，对于D ，利用错位相减法求解即可【详解】当1n =时，124a =，∴12a =，∴A 正确；当2n ≥时，()()22112131512222n n n n a a a ---+-++⋅⋅⋅+=，∴()()2231513523122n n n n n n a n -+-+=-=+，∴312n nn a +=，∵上式对1n =也成立，∴312n n n a +=（N n *∈），∴B 错误； ∵1111343134623202222n n n n n n n n n n n a a +++++++---+-=-==<， ∴数列{}n a 为递减数列，∴C 正确；∵234710312222n n n S +=+++⋅⋅⋅+，∴2341147103122222n n n S ++=+++⋅⋅⋅+，两式相减得， ∴23111111131113173123232222222222n n n n n n n n n S ++++++⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴3772n nn S +=-．∴D 正确．故选：ACD ． 27．ABD 【分析】对于AB ，通过累乘法求出{}n S 的通项公式，进而求出{}n a 的通项公式，即可求解；对于CD ，通过{}n a 的通项公式求出{}n b 的通项公式，再通过裂项相消求n T ，进而求解. 【详解】由题意，得12n n S n S n++=， ∴当2n ≥时，()12112111311212n n n n n n n S S S n n S S S S S n n ---++=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=--，又当1n =时11S =也符合上式， ∴()12n n n S +=，易得n a n =，∴20212021a =，故A ，B 正确；()()()221211111112222n n n n n a b a a n n n n n n +++⎛⎫===+=+- ⎪+++⎝⎭，∴11111111111111112324351122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-=++-- ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭3111342124n n n n ⎛⎫=+-+<+ ⎪++⎝⎭，易知{}n T n -单调递增， ∴1113n T n T -≥-=，∴1334n T n ≤-<，故C 错误，D 正确.故选:ABD ． 28．AD因为123nn n a a a +=+，所以112323n nn n a a a a ++==+，所以111323n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且11340a +=≠，所以13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2为公比的等比数列，即11342n na -+=⨯，所以1231n n a +=-，可得1123n n a +=-，故选项A 正确，选项B 不正确；因为1231n n a +=-单调递增，所以1123n n a +=-单调递减，即{}n a 为递减数列，故选项C 不正确；1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()()()()2312132323232223n n n T n ++=-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+- 22122323412nn n n +-=⨯-=---．故选项D 正确；故选：AD ． 29．BCD 【分析】根据n a 与n S 的关系及121n n n S S a +=++，可得112(1)n n a a ++=+，再根据等比数列和等差数列的定义即可判断AB ；从而可求的数列{}n a 的通项公式，即可判断C ；利用裂项相消求和法求得数列12{}nn n a a +⋅的前n 项和为n T ，即可判断D. 【详解】解：由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+，可化为112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，可得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，故A 错误，B 正确；则12n n a +=，即21nn a =-，故C 正确；又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，可得22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------，故D 正确.故选：BCD ． 30．2081当1n =时，11b =，当2n ≥时，1n n n b S S -=-可得{}n b 的通项公式，再利用裂项求和即可求解. 【详解】当1n =时，2112111b S ==⨯-=，当2n ≥时，()221221143n n n b S S n n n n n -=-=---+-=-，因为11b =满足上式，所以43n b n =-，所以()()111111434144341n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以20111111111120114559913778148181K ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：2081.31．1024 【分析】先求得n S ()2=log 1n +，由10n S >，可得()2log 110n +>，由此即可求解【详解】因为2211log 1=log n n a n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以22222341=log log log log 123n n nS +++++ ()222331=log =log 1122n n n +⎛⎫⨯⨯⨯⨯+ ⎪⎝⎭，由10n S >，可得()2log 110n +>，解得1023n >，所以满足10n S >的n 最小值为1024，故答案为：1024 32．21nn + 【详解】解：设公差为d ，因为343,10a S ==，所以11234610a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以n a n =，所以()12n n n S +=，所以()1211211n n n n S n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以121111111121222231n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111122121223111n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 故答案为：21n n + 33．4(41)3n -【分析】项和转换可得12n n a ，故**2,2,0,21,n n n k k N b n k k N ⎧=∈=⎨=-∈⎩，按照奇数项、偶数项分组求和，即得解【详解】由题意，1111,22,22,11,1n n n n n S S n n a S n n ----≥⎧⎧≥===⎨⎨==⎩⎩()****2,2,2,2,10,21,0,21,n nn n n n a n k k N n k k N b a a n k k N n k k N ⎧⎧=∈=∈∴=+-==⎨⎨=-∈=-∈⎩⎩21321242(...)(...)n n n T b b b b b b -∴=+++++++24224(14)4(41)22...244 (4143)n n nn--=+++=+++==- 故答案为：4(41)3n - 34．1540 【分析】由数列{}n a 满足11n n a a ++=，得数列{}n a 是以1为公差的等差数列，再根据246a a +=，可得11a =，从而求得n a n =，再利用等差数列前n 项和的公式求得n S ，再结合()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=即可得出答案.【详解】解：数列{}n a 满足11n n a a ++=，所以数列{}n a 是以1为公差的等差数列，又246a a +=，则313,1a a ==，所以n a n =，所以()1212n n n n S a a a +=++⋅⋅⋅+=，所以22212201232012202S S S +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=由()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=，可得222202141122028706⨯⨯++⋅⋅⋅==，()20120123202102++++⋅⋅⋅+==，所以12201540S S S ++⋅⋅⋅+=. 故答案为：1540. 35．(1) 3.n a n =+ (2) 1(21)334n n n T +-⨯+=.【详解】试题分析：（1）根据等差数列的求和公式可得()17747=7=492a a S a ⨯+=，得4=7a ，然后由已知36a =可得公差，进而求出通项；（2）先明确()33n n n b a =-⋅= 3n n ⋅，为等差乘等比型通项故只需用错位相减法即可求得结论.解析：（Ⅰ）由()17747=7=492a a S a ⨯+=，得4=7a因为36a =所以1d = 14,3n a a n ==+所以（Ⅱ）()33=3n n n n b a n =-⋅⋅()12313233331n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯所以 ()234+1313233332n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯()()123+1+13312233333=313n nn n n T n n +---=++++-⨯-⨯-由得： ()+121334n nn T -⨯+=所以 36．（Ⅰ）21,(2)n n a n S n n =+=+; （Ⅱ）4(1)nn +．【详解】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知3577,26a a a =+=可得1127{21026a d a d +=+= 解得1,a d ，则n a 及n S 可求；（2）由（1）可得111()41n b n n =-+，裂项求和即可试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有1127{21026a d a d +=+=，解得13,2a d==，所以32(1)21n a n n =+-=+，2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+. （2）由（1）知，21n a n =+，所以22111111()1(21)14(1)41n n b a n n n n n ====--+-++，所以11111111(1)(1)42231414(1)n nT n n n n =-+-++-=-=+++，即数列{}n b 的前n 项和4(1)n nT n =+.考点：等差数列的通项公式，前n 项和公式．裂项求和 37．（Ⅰ）2q ；（Ⅱ）2115(43)()2n n b n -=-+⋅.【分析】分析:（Ⅰ）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比；（Ⅱ）先根据数列1{()}n n n b b a +-前n 项和求通项，解得1n n b b +-，再通过叠加法以及错位相减法求n b . 【详解】详解：（Ⅰ）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+，所以34543428a a a a ++=+=，解得48a =.由3520a a +=得1820q q ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为1q >，所以2q.（Ⅱ）设()1n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S .由11,1,, 2.n nn S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-.由（Ⅰ）可知12n na ，所以()111412n n n b b n -+⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，故()21145,22n n n b b n n --⎛⎫-=-⋅≥ ⎪⎝⎭，()()()()11123221n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-()()23111454973222n n n n --⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅++⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.设()22111371145,2222n n T n n -⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++-⋅≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2211111137494522222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

高中数学第一章数列 1.3 等比数列 1.3.2 第2课时数列求和习题课达标练习5

—————————— 新学期新成绩新目标新方向 ——————————1.3.2 第2课时数列求和习题[A 基础达标]1．数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项和为( ) A.14 B ．512 C.34D ．712解析：选B.依题意b n ＝1a n＝1n 2＋3n ＋2＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，所以{b n }的前10项和为S 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫111－112＝12－112＝512，故选B.2．若数列{a n }的通项公式a n ＝2n＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n 为( ) A ．2n＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n＋n 2－2解析：选 C.S n ＝(2＋22＋23＋ (2))＋[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＝2（1－2n）1－2＋n （1＋2n －1）2＝2n ＋1－2＋n 2.3．数列{a n }中，a n ＝1n （n ＋1），其前n 项和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10D ．9解析：选B.数列{a n }的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910，所以n ＝9，于是直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0即为10x ＋y ＋9＝0.所以其在y 轴上的截距为－9.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n 等于( ) A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n >3 D ．⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ，n >3 解析：选C.因为由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2.所以a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，n ≤3时，a n <0，n >3时，a n >0，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n >3.5．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项和为S n ，则S n ＝( )A ．2nB ．2n－n C ．2n ＋1－nD ．2n ＋1－n －2解析：选D.因为a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1，所以S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2（1－2n）1－2－n ＝2n ＋1－n －2.6．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n－12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于________．解析：a n ＝2n－12n ＝1－12n ，所以S n ＝n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n －1＋12n ＝32164＝5＋164，所以n ＝6. 答案：67．已知ln x ＋ln x 2＋…＋ln x 10＝110，则ln x ＋ln 2x ＋ln 3x ＋…＋ln 10x ＝________．解析：由ln x ＋ln x 2＋…＋ln x 10＝110. 得(1＋2＋3＋…＋10)ln x ＝110，所以ln x ＝2. 从而ln x ＋ln 2x ＋…＋ln 10x ＝2＋22＋23＋…＋210＝2（1－210）1－2＝211－2＝2 046.答案：2 0468．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，n 为奇数，－n 2，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于________．解析：由题意，a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100. 答案：1009．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N ＋.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)na n ，求数列{b n }的前2n 项和．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，a n ＝n ，故b n ＝2n＋(－1)nn . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋ (22)，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n）1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.10．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n （a n ＋1）2，n ∈N ＋；(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .解：(1)证明：因为S n ＝a n （a n ＋1）2，n ∈N ＋，所以当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1（a 1＋1）2，所以a 1＝1.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a 2n ＋a n ，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1，得2a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －1. 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，因为a n ＋a n －1＞0，所以a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列． (2)由(1)可得a n ＝n ，S n ＝n （n ＋1）2，b n ＝12S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.[B 能力提升]11．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1的结果是( )A ．2n ＋1＋n －2 B ．2n ＋1－n ＋2 C ．2n －n －2D ．2n ＋1－n －2解析：选D.因为S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1，所以2S n ＝n ×2＋(n－1)×22＋(n －2)×23＋…＋2×2n －1＋2n ，有2S n －S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －1＋2n－n ，得S n ＝2n ＋1－2－n .12．已知数列{a n }中，a n ＝4×(－1)n －1－n (n ∈N ＋)，则数列{a n }的前2n 项和S 2n ＝________．解析：S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝[4(－1)0－1]＋[4(－1)1－2]＋[4(－1)2－3]＋…＋ [4(－1)2n －1－2n ]＝4[(－1)0＋(－1)1＋(－1)2＋…＋(－1)2n －1]－(1＋2＋3＋…＋2n )＝－2n （2n ＋1）2＝－n (2n ＋1)．答案：－n (2n ＋1)13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数.设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，由b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1.(2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1得S n ＝n (n ＋2)，则n 为奇数时，c n ＝2S n ＝1n －1n ＋2.n 为偶数时，c n ＝2n －1，所以T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )＝⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1) ＝1－12n ＋1＋2（1－4n）1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n －1)．14．(选做题)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2. (1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n ＋1(x n ＋1, n ＋1)得到折线P 1 P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .解：(1)设数列{x n }的公比为q ，由已知q ＞0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2.所以3q 2－5q －2＝0. 因为q ＞0，所以q ＝2，x 1＝1，因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1. 由(1)得x n ＋1－x n ＝2n－2n －1＝2n －1，记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意得b n ＝（n ＋n ＋1）2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2.①又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1.②①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2（1－2n －1）1－2－(2n ＋1)×2n －1.所以T n ＝（2n －1）×2n＋12.。

高中数列求和方法大全(配练习及答案)

数列的求和1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn （切记：公比含字母时一定要讨论）3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式：111)1(1+-=+n n n n ；1111()(2)22n n n n =-++ )121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=⋅5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+- 的和。

7．倒序相加法：8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等（二）主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用；（三）例题分析：例1．求和：①个n n S 111111111++++= ②22222)1()1()1(n n n xx x x x x S ++++++= ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。

解：①)110(9110101011112-=++++==kkk k a个])101010[(91)]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-= 8110910]9)110(10[911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++=nnn x x x x x x S n xx x x x x n n 2)111()(242242++++++++=（1）当1±≠x 时，n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2)1()1)(1(21)1(1)1(22222222222+-+-=+--+--=+--- （2）当n S x n 4,1=±=时 ③kk k k k k k k k k a k 23252)]23()12[()]1()12[()12(2)12(2-=-+-=-+-+++++-=2)1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221+-++⋅=+++-+++=+++=n n n n n n n a a a S n n)25)(1(61-+=n n n 总结：运用等比数列前n 项和公式时，要注意公比11≠=q q 或讨论。

高中数学-数列求前n项和方法汇总及练习(含答案)

高中数学-数列求和方法汇总及经典练习（含答案）一、公式法:利用以下公式求数列的和 1.d n n na a a n Snn 2)1(2)(11-+=+=({}n a 为等差数列)2.qqa a q q a Sn n n --=--=11)1(11 (1≠q )或)1(1==q na Sn ({}n a 为等比数列) 3.6)12)(1(3212222++=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n n n n4.23333]2)1([321+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n n n 等公式例已知数列{}n a ，其中()12111,3,22n n n a a a a a n +-===+≥，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}ln n S 的前n 项和为n U ，求n U 。

解：由题意，{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列前n 项和()211212n n S n n ++-=⋅=，2ln ln 2ln n S n n ==()()2ln1ln 2ln 2ln !n U n n =+++=L二、分组求和法对于数列{}n a ，若⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=n n n C b a 且数列{}n b 、{}n c ……都能求出其前n 项的和，则在求{}n a 前n 项和时，可采用该法例如：求和：321999.09999.0999.099.09.0个n Sn ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++= 解：设n n na --=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=10199.0943421个 n a a a a a Sn +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++=∴4321)101()101()101()101()101(4321n------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-+-=)1010101010()111(43211n n -----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=4434421相加个 )101(91n n ---= 三、倒序相加法（或倒序相乘法）将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +，S n 表示从第一项依次到第n 项的和，然后又将S n 表示成第n 项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到S n 的一种求和方法。

高中数学复习：数列求和及综合问题

高中数学复习：数列求和及综合问题1.数列{a n }满足a n ＋2＋(－1)na n ＝3n －1，前16项和为540，则a 1＝________. 解析法一因为a n ＋2＋(－1)na n ＝3n －1，所以当n 为偶数时，a n ＋2＋a n ＝3n －1，所以a 4＋a 2＝5，a 8＋a 6＝17，a 12＋a 10＝29，a 16＋a 14＝41，所以a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＋a 14＋a 16＝92. 因为数列{a n }的前16项和为540，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝540－92＝448.① 因为当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝3n －1，所以a 3－a 1＝2，a 7－a 5＝14，a 11－a 9＝26，a 15－a 13＝38，所以(a 3＋a 7＋a 11＋a 15)－(a 1＋a 5＋a 9＋a 13)＝80.② 由①②得a 1＋a 5＋a 9＋a 13＝184.又a 3＝a 1＋2，a 5＝a 3＋8＝a 1＋10，a 7＝a 5＋14＝a 1＋24，a 9＝a 7＋20＝a 1＋44，a 11＝a 9＋26＝a 1＋70，a 13＝a 11＋32＝a 1＋102，所以a 1＋a 1＋10＋a 1＋44＋a 1＋102＝184，所以a 1＝7. 法二同法一得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝448. 当n 为奇数时，有a n ＋2－a n ＝3n －1，由累加法得a n ＋2－a 1＝3(1＋3＋5＋…＋n )－n ＋12＝32(1＋n )·n ＋12－n ＋12＝34n 2＋n ＋14，所以a n ＋2＝34n 2＋n ＋14＋a 1.所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34×12＋1＋14＋a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34×32＋3＋14＋a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34×52＋5＋14＋a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34×72＋7＋14＋a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34×92＋9＋14＋a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34×112＋11＋14＋a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34×132＋13＋14＋a 1＝8a 1＋392＝448，解得a 1＝7. 答案 72.记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________.解析法一因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1.所以S 6＝－1×（1－26）1－2＝－63.法二由S n ＝2a n ＋1，得S 1＝2S 1＋1，所以S 1＝－1，当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即S n ＝2S n －1－1，∴S n －1＝2(S n －1－1)，又S 1－1＝－2，∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n －1＝－2×2n －1＝－2n ，所以S n ＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.答案－633.已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100. 解 (1)设{}a n 的公比为q (q ＞1). 由题设得a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8. 解得q ＝12(舍去)，q ＝2.由题设得a 1＝2.所以{}a n 的通项公式为a n ＝2n.(2)由题设及(1)知b 1＝0，且当2n ≤m ＜2n ＋1时，b m ＝n .所以S 100＝b 1＋(b 2＋b 3)＋(b 4＋b 5＋b 6＋b 7)＋…＋(b 32＋b 33＋…＋b 63)＋(b 64＋b 65＋…＋b 100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480. 4.设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项. (1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和.解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得2a 1＝a 2＋a 3，即2a 1＝a 1q ＋a 1q 2.所以q 2＋q －2＝0，解得q ＝1(舍去)或q ＝－2. 故{a n }的公比为－2.(2)记S n 为{na n }的前n 项和.由(1)及题设可得a n ＝(－2)n －1，所以S n ＝1＋2×(－2)＋…＋n ·(－2)n －1，－2S n ＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n －1)·(－2)n －1＋n ·(－2)n.所以3S n ＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n －1－n ·(－2)n＝1－(－2)n3－n ·(－2)n .所以S n ＝19－(3n ＋1)(－2)n9.考点1.常用公式：12＋22＋32＋42＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6.2.(1)数列通项a n 与前n 项和S n 的关系为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.(2)应用a n 与S n 的关系式f (a n ，S n )＝0时，应特别注意n ＝1时的情况，防止产生错误. 3.数列求和(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.(2)错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列.(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎨⎧⎭⎬⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.温馨提醒裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误. 4.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查不等关系或恒成立问题.热点一 a n 与S n 的关系问题【例1】设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，b n ＝－1－log 2|a n |，数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝b n ＋1T n T n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{c n }的前n 项和A n ，并求出A n 的最值. 解 (1)因为a n ＝5S n ＋1，n ∈N *，所以a n ＋1＝5S n ＋1＋1，两式相减，得a n ＋1＝－14a n ，又当n ＝1时，a 1＝5a 1＋1，知a 1＝－14，所以数列{a n }是公比、首项均为－14的等比数列.所以数列{a n }的通项公式a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14n. (2)由(1)知b n ＝－1－log 2|a n |＝2n －1，数列{b n }的前n 项和T n ＝n 2，c n ＝b n ＋1T n T n ＋1＝2n ＋1n 2（n ＋1）2＝1n 2－1（n ＋1）2，所以A n ＝1－1（n ＋1）2.因此{A n }是单调递增数列，∴当n ＝1时，A n 有最小值A 1＝1－14＝34；A n 没有最大值.探究提高 1.给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .2.由S n 求a n 时，一定注意分n ＝1和n ≥2两种情况，最后验证两者是否能合为一个式子，若不能，则用分段形式来表示.【训练1】已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)，a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(1－a n )2－a (1－a n )，若{b n }是递增数列，求实数a 的取值范围. 解 (1)a 2n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)，a 2n －1＝S n －1＋S n －2(n ≥3).相减可得a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，∵a n ＞0，a n －1＞0，∴a n －a n －1＝1(n ≥3). 当n ＝2时，a 22＝a 1＋a 2＋a 1， ∴a 22＝2＋a 2，a 2＞0，∴a 2＝2.因此n ＝2时，a n －a n －1＝1成立. ∴数列{a n }是等差数列，公差为1. ∴a n ＝1＋n －1＝n .(2)b n ＝(1－a n )2－a (1－a n )＝(n －1)2＋a (n －1)， ∵{b n }是递增数列，∴b n ＋1－b n ＝n 2＋an －(n －1)2－a (n －1) ＝2n ＋a －1＞0，即a ＞1－2n 恒成立，∴a ＞－1. ∴实数a 的取值范围是(－1，＋∞). 热点二数列求和方法1 分组转化求和【例2】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为(1，2).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n ＋2a n －1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为(1，2)，所以S 2a 1＝1＋2＝3，得a 1＝d ，又易知2a 1＝2，所以a 1＝1，d ＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)可得，a 2n ＝2n ，2a n ＝2n.因为b n ＝a 2n ＋2a n －1，所以b n ＝2n －1＋2n，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(2＋22＋23＋ (2)) ＝n （1＋2n －1）2＋2（1－2n ）1－2＝n 2＋2n ＋1－2.探究提高 1.求解本题要过四关：(1)“转化”关，把不等式的解转化为方程根的问题；(2)“方程”关，利用方程思想求出基本量a 1及d ；(3)“分组求和”关，观察数列的通项公式，把数列分成几个可直接求和的数列；(4)“公式”关，会利用等差、等比数列的前n 项和公式求和.2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.本题易忽视数列通项的下标如错得a 2n ＝n ，应注意“＝”左右两边保持一致.【训练2】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S 4＝40.数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n －2b n ＋3＝0，n ∈N *. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和P n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝8，4a 1＋6d ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝4，所以a n ＝4n ，因为T n －2b n ＋3＝0，所以当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，T n －1－2b n －1＋3＝0，两式相减，得b n ＝2b n －1(n ≥2)，则数列{b n }为首项为3，公比为2的等比数列，所以b n ＝3·2n －1.(2)c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ，n 为奇数，3·2n －1，n 为偶数，当n 为偶数时，P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n ) ＝（4＋4n －4）·n 22＋6（1－4n2）1－4＝2n ＋1＋n 2－2.当n 为奇数时，法一 n －1(n ≥3)为偶数，P n ＝P n －1＋c n ＝2(n －1)＋1＋(n －1)2－2＋4n ＝2n ＋n 2＋2n －1，n ＝1时符合上式.法二 P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －2＋a n )＋(b 2＋b 4＋…＋b n －1) ＝（4＋4n ）·n ＋122＋6（1－4n －12）1－4＝2n ＋n 2＋2n －1.所以P n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1＋n 2－2，n 为偶数，2n ＋n 2＋2n －1，n 为奇数. 方法2 裂项相消求和【例3】设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2.(1)证明：{a n }为等比数列； (2)记b n ＝log 2a n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫λb n b n ＋1的前n 项和为T n ，若T n ≥10恒成立，求λ的取值范围. (1)证明由已知，得a 1＝S 1＝2，a 2＝S 1＋2＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －1＋2，所以a n ＋1－a n ＝(S n ＋2)－(S n －1＋2)＝a n ，所以a n ＋1＝2a n (n ≥2). 又a 2＝2a 1，所以a n ＋1a n＝2(n ∈N *)，所以{a n }是首项为2，公比为2的等比数列. (2)解由(1)可得a n ＝2n，所以b n ＝n . 则λb n b n ＋1＝λn （n ＋1）＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， T n ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，因为T n ≥10，所以λn n ＋1≥10，从而λ≥10（n ＋1）n，因为10（n ＋1）n＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ≤20，所以λ的取值范围为[20，＋∞).探究提高 1.裂项相消求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 【训练3】设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和. 解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，①故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，② ①－②得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－12n ＋1，则S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.方法3 错位相减法求和【例4】在①a 3＝5，a 2＋a 5＝6b 2，②b 2＝2，a 3＋a 4＝3b 3，③S 3＝9，a 4＋a 5＝8b 2这三个条件中任选一个，补充至横线上，并解答问题.已知等差数列{a n }的公差为d (d >1)，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，且a 1＝b 1，d ＝q ，________.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解选条件①.(1)∵a 3＝5，a 2＋a 5＝6b 2，a 1＝b 1，d ＝q ，d >1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，2a 1＋5d ＝6a 1d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝256，d ＝512(舍去).∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝b 1q n －1＝2n －1. (2)∵c n ＝a n b n ，∴c n ＝2n －12n －1＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴T n ＝1＋3×12＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，12T n ＝12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.上面两式相减，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝1＋2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝3－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. ∴T n ＝6－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.选条件②.(1)∵b 2＝2，a 3＋a 4＝3b 3，a 1＝b 1，d ＝q ，d >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1d ＝2，2a 1＋5d ＝3a 1d 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1d ＝2，2a 1＋5d ＝6d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝－2(舍去).∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝b 1qn －1＝2n －1.(2)∵c n ＝a n b n ，∴c n ＝2n －12n －1＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴T n ＝1＋3×12＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，12T n ＝12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.上面两式相减，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝1＋2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝3－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. ∴T n ＝6－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.选条件③.(1)∵S 3＝9，a 4＋a 5＝8b 2，a 1＝b 1，d ＝q ，d >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，2a 1＋7d ＝8a 1d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝218，d ＝38(舍去)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝b 1qn －1＝2n －1.(2)∵c n ＝a n b n ，∴c n ＝2n －12n －1＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴T n ＝1＋3×12＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，12T n ＝12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.上面两式相减，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝1＋2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝3－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. ∴T n ＝6－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.探究提高 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解. 2.在写“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式.【训练4】在①b 2n ＝2b n ＋1，②a 2＝b 1＋b 2，③b 1，b 2，b 4成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n .公差不等于0的等差数列{b n }满足________，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和S n .(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解因为a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，所以{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＝3n －1.选①②时，设数列{b n }的公差为d 1. 因为a 2＝3，所以b 1＋b 2＝3(ⅰ).因为b 2n ＝2b n ＋1，所以当n ＝1时，b 2＝2b 1＋1(ⅱ). 由(ⅰ)(ⅱ)解得b 1＝23，b 2＝73，所以d 1＝53，所以b n ＝5n －33.所以b n a n ＝5n －33n .所以S n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝231＋732＋1233＋…＋5n －33n ，所以13S n ＝232＋733＋1234＋…＋5n －83n ＋5n －33n ＋1.上面两式相减，得23S n ＝23＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋133＋…＋13n －5n －33n ＋1＝23＋56－152×3n ＋1－5n －33n ＋1＝32－10n ＋92×3n ＋1. 所以S n ＝94－10n ＋94×3n .选②③时，设数列{b n }的公差为d 2. 因为a 2＝3，所以b 1＋b 2＝3，即2b 1＋d 2＝3.因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即(b 1＋d 2)2＝b 1(b 1＋3d 2)，化简得d 22＝b 1d 2. 因为d 2≠0，所以b 1＝d 2，从而d 2＝b 1＝1，所以b n ＝n . 所以b n a n ＝n3n －1.所以S n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝130＋231＋332＋…＋n3n －1，所以13S n ＝131＋232＋333＋…＋n －13n －1＋n3n .上面两式相减，得23S n ＝1＋131＋132＋133＋…＋13n －1－n 3n ＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－13n －n 3n ＝32－2n ＋32×3n .所以S n ＝94－2n ＋34×3n －1.选①③时，设数列{b n }的公差为d 3.因为b 2n ＝2b n ＋1，所以b 2＝2b 1＋1，所以d 3＝b 1＋1.又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即(b 1＋d 3)2＝b 1(b 1＋3d 3)，化简得d 23＝b 1d 3.因为d 3≠0，所以b 1＝d 3，无解，所以等差数列{b n }不存在.故不合题意. 热点三与数列相关的综合问题【例5】设f (x )＝12x 2＋2x ，f ′(x )是y ＝f (x )的导函数，若数列{a n }满足a n ＋1＝f ′(a n )，且首项a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值. 解 (1)由f (x )＝12x 2＋2x ，得f ′(x )＝x ＋2.∵a n ＋1＝f ′(a n )，且a 1＝1. ∴a n ＋1＝a n ＋2，则a n ＋1－a n ＝2，因此数列{a n }是公差为2，首项为1的等差数列. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2，等比数列{b n }中，设公比为q ，∵b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， ∴q ＝3.∴b n ＝3n －1，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n1－3＝3n－12.T n ≤S n 可化为3n－12≤n 2.又n ∈N *，∴n ＝1，或n ＝2.故适合条件T n ≤S n 的所有n 的值为1和2.探究提高 1.求解数列与函数交汇问题要注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别注意； (2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.【训练5】已知数列{a n }与{b n }满足：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2b n (n ∈N *)，若{a n }是各项为正数的等比数列，且a 1＝2，b 3＝b 2＋4. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝a nb n b n ＋1(n ∈N *)，T n 为数列{c n }的前n 项和，证明：T n ＜1. (1)解由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2b n ，① 当n ≥2时，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝2b n －1，② ①－②可得a n ＝2(b n －b n －1) ⇒a 3＝2(b 3－b 2)＝2×4＝8， ∵a 1＝2，a n ＞0，设{a n }的公比为q ， ∴a 1q 2＝8⇒q ＝2，∴a n ＝2×2n －1＝2n (n ∈N *).∴2b n ＝21＋22＋23＋ (2)＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2，∴b n ＝2n －1(n ∈N *).(2)证明由已知c n ＝a n b n ·b n ＋1＝2n（2n －1）（2n ＋1－1）＝12n－1－12n ＋1－1， ∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝121－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1，当n ∈N *时，2n ＋1＞1，∴12n ＋1－1＞0，∴1－12n ＋1－1＜1，故T n ＜1.巩固提升一、选择题1.已知T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n＋12n 的前n 项和，若m >T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小值为( )A.1 026B.1 025C.1 024D.1 023解析因为2n＋12n ＝1＋12n ，所以T n ＝n ＋1－12n ，则T 10＋1 013＝11－1210＋1 013＝1 024－1210，又m >T 10＋1 013，所以整数m 的最小值为1 024. 答案 C2.在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2 020项的和为( ) A.1 009B.1 010C.2 019D.2 020解析设{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋6d ＝a 1＋3d ＋7，a 1＋9d ＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1，设b n ＝a n cos n π，则b 1＋b 2＝a 1cos π＋a 2cos 2π＝2，b 3＋b 4＝a 3cos 3π＋a 4cos 4π＝2，…，∴数列{a n cos n π}的前2 020项的和S 2 020＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2 019＋b 2 020)＝2×1 010＝2 020. 答案 D3.数列{a n }满足a 1＝1，对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝( )A.9998B.2C.9950 D.99100解析对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝1＋a n ＋n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1，则a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋...＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋ (1)n （n ＋1）2，则1a n＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝2[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫199－1100]＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1100＝9950.答案 C4.(多选题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝S n ＋2a n ＋1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n a n ＋1的前n 项和为T n ，n ∈N *，则下列选项正确的为( ) A.数列{a n ＋1}是等差数列 B.数列{a n ＋1}是等比数列 C.数列{a n }的通项公式为a n ＝2n－1 D.T n <1解析由S n ＋1＝S n ＋2a n ＋1，得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1，可化为a n ＋1＋1＝2(a n ＋1).由a 1＝1，得a 1＋1＝2，则数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列.则a n ＋1＝2n，即a n ＝2n－1.由2n a n a n ＋1＝2n（2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1，得T n ＝1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1<1.所以A 错误，B ，C ，D 正确.故选BCD.答案 BCD5.(多选题)(2020·烟台模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝n ·(－1)n （n ＋1）2，其前n 项和为S n ，且m ＋S 2 019＝－1 009，则下列说法正确的是( ) A.m 为定值B.m ＋a 1为定值C.S 2 019－a 1为定值D.ma 1有最大值解析当n ＝2k (k ∈N *)时，由已知条件得a 2k ＋a 2k ＋1＝2k ·(－1)k (2k ＋1)，所以S 2 019＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 018＋a 2 019)＝a 1－2＋4－6＋8－10＋…－2 018＝a 1＋1 008－2 018＝a 1－1 010，所以S 2 019－a 1＝－1 010.m ＋S 2 019＝m ＋a 1－1 010＝－1 009，所以m ＋a 1＝1，所以ma 1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋a 122＝14，当且仅当m ＝a 1＝12时等号成立，此时ma 1取得最大值14.故选BCD. 答案 BCD 二、填空题6.对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，数列{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析因为a n ＋1－a n ＝2n ，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n ，所以S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案 2n ＋1－27.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n ＋1，则a 1＝________，a n ＝________. 解析令n ＝1，则2S 1＝3a 1＋1，又S 1＝a 1，所以a 1＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12(3a n －3a n －1)，整理得a n ＝3a n －1，即a na n －1＝3(n ≥2).因此，{a n }是首项为－1，公比为3的等比数列. 故a n ＝－3n －1.答案－1 －3n －18.已知数列{na n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2n，则使得S n －na n ＋1＋50<0的最小正整数n 的值为________.解析 S n ＝1×21＋2×22＋…＋n ×2n，则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋n ×2n ＋1，两式相减得－S n ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2（1－2n）1－2－n ·2n ＋1，故S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1.又a n ＝2n，∴S n －na n ＋1＋50＝2＋(n －1)·2n ＋1－n ·2n ＋1＋50＝52－2n ＋1，依题意52－2n ＋1<0，故最小正整数n 的值为5.答案 5 三、解答题9.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 10＝4，S 15＝30. (1)求数列{a n }的通项公式以及前n 项和S n ；(2)记数列{2a n ＋4＋a n }的前n 项和为T n ，求满足T n ＞0的最小正整数n 的值. 解 (1)记数列{a n }的公差为d ，S 15＝30⇒15a 8＝30⇒a 8＝2，故d ＝a 10－a 810－8＝1，故a n ＝a 10＋(n －10)d ＝4＋n －10＝n －6，S n ＝na 1＋n （n －1）d2＝－5n ＋n （n －1）2＝n 22－11n2. (2)依题意，2a n ＋4＋a n ＝n －6＋2n －2T n ＝(－5－4＋…＋n －6)＋(2－1＋20＋…＋2n －2)＝n （n －11）2＋2n －12，当n ＝1时，T 1＝－1×10＋21－12＜0；当n ＝2时，T 2＝－2×9＋22－12＜0；当n ＝3时，T 3＝－3×8＋23－12＜0；当n ＝4时，T 4＝－4×7＋24－12＜0；当n ≥5时，n （n －11）2≥－15，2n－12≥312，所以T n ＞0.故满足T n ＞0的最小正整数n 的值为5.10.甲、乙两同学在复习数列时发现曾经做过的一道有关数列的题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知________. (1)判断S 1，S 2，S 3的关系；(2)若a 1－a 3＝3，设b n ＝n 12|a n |，记{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <43.甲同学记得缺少的条件是首项a 1的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第(1)问的答案是S 1，S 3，S 2成等差数列.如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题. (1)解由S 1，S 3，S 2成等差数列，得 2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝2a 1＋a 1q ，解得q ＝－12或q ＝0(舍去).若乙同学记得的缺少的条件是正确的，则公比q ＝－12.所以S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝a 1－12a 1＝12a 1，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1－12a 1＋14a 1＝34a 1，可得S 1＋S 2＝2S 3，即S 1，S 3，S 2成等差数列.(2)证明由a 1－a 3＝3，可得a 1－14a 1＝3，解得a 1＝4，所以a n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.所以b n ＝n 12|a n |＝n 12⎪⎪⎪⎪⎪⎪4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝23n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.所以T n ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1×12＋2×14＋3×18＋…＋n ×12n ，12T n ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1×14＋2×18＋3×116＋…＋n ×12n ＋1，两式相减，得12T n ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋18＋116＋…＋12n －n ·12n ＋1＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n1－12－n ·12n ＋1，化简可得T n ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n ＋22n ＋1.由1－n ＋22n ＋1<1，得T n <43.能力突破11.设数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，对于任意的n ∈N *，a n ，S n ，a 2n 成等差数列，设数列{b n }的前n 项和为T n ，且b n ＝（ln x ）na 2n，若对任意的实数x ∈(1，e](e 为自然对数的底数)和任意正整数n ，总有T n <r (r ∈N *)，则r 的最小值为________. 解析由题意得，2S n ＝a n ＋a 2n ，当n ≥2时，2S n －1＝a n －1＋a 2n －1， ∴2S n －2S n －1＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1， ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，∵a n >0，∴a n －a n －1＝1，即数列{a n }是公差为1的等差数列，又2a 1＝2S 1＝a 1＋a 21，a 1＝1，∴a n ＝n (n ∈N *). 又x ∈(1，e]，∴0<ln x ≤1，∴T n ≤1＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n <2，∴r ≥2，即r 的最小值为2.答案 212.等差数列{a n }的公差为2，a 2，a 4，a 8分别等于等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c 1a 1＋c 2a 2＋…＋c n a n＝b n ＋1，求数列{c n }的前2 020项的和. 解 (1)依题意得b 23＝b 2b 4，所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋14)，所以a 21＋12a 1＋36＝a 21＋16a 1＋28，解得a 1＝2. ∴a n ＝2n .设等比数列{b n }的公比为q ，所以q ＝b 3b 2＝a 4a 2＝84＝2，又b 2＝a 2＝4，∴b n ＝4×2n －2＝2n.(2)由(1)知，a n ＝2n ，b n ＝2n. 因为c 1a 1＋c 2a 2＋…＋c n －1a n －1＋c n a n＝2n ＋1① 当n ≥2时，c 1a 1＋c 2a 2＋…＋c n －1a n －1＝2n② 由①－②得，c n a n＝2n，即c n ＝n ·2n ＋1，又当n ＝1时，c 1＝a 1b 2＝23不满足上式，∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧8，n ＝1，n ·2n ＋1，n ≥2. 故S 2 020＝8＋2×23＋3×24＋…＋2 020×22 021＝4＋1×22＋2×23＋3×24＋…＋2 020×22 021设T 2 020＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋2 019×22 020＋2 020×22 021③，则2T 2 020＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋2 019×22 021＋2 020×22 022④，由③－④得：－T 2 020＝22＋23＋24＋…＋22 021－2 020×22 022＝22（1－22 020）1－2－2 020×22 022＝－4－2 019×22 022，所以T 2 020＝2 019×22 022＋4，所以S 2 020＝T 2 020＋4＝2 019×22 022＋8.。

高中数学数列错位相减法求和专题训练含答案

高中数学数列错位相减法求和专题训练含答案1.已知数列$\{a_n\}$满足$a_{n+2}=\frac{2a_n}{n+2}$，其中$a_{n+2}$为奇数，$2a_n$为偶数，且$a_1=1,a_2=2$。

1) 求$\{a_n\}$的通项公式；2) 设$b_n=a_na_{n+1}$，$n\in\mathbb{N}$，求数列$\{b_n\}$的前$2n$项和$S_{2n}$；3) 设$c_n=a_{2n-1}a_{2n}+(-1)^n$，证明：$c_1+c_2+\cdots+c_n<\frac{4}{3}c_n$。

2.已知正项数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且满足$a_3=7$，$a_{n+1}=6S_n+9n+1$，$n\in\mathbb{N}^*$。

1) 求$\{a_n\}$的通项公式；2) 若正项等比数列$\{b_n\}$满足$b_1=a_1$，$b_3=a_2$，且$c_n=a_nb_n$，数列$\{c_n\}$的前$n$项和为$T_n$，求$T_n$；若对任意$n\geq 2$，$n\in\mathbb{N}^*$，均有$(T_n-5)m\geq 6n-3n+35$恒成立，求实数$m$的取值范围。

3.已知$n\in\mathbb{N}^*$，设$S_n$是单调递减的等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和，$a_1=1$且$2S_2+a_2,S_4+a_4,S_3+a_3$成等差数列。

1) 求$\{a_n\}$的通项公式；2) 记数列$\{na_n\}$的前$n$项和为$T_n$，求证：对于任意正整数$n$，$T_n<\frac{4}{3}S_n$。

4.递增的等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_2=6$，$S_4=30$。

1) 求$\{a_n\}$的通项公式；2) 若$b_n=a_n\log_{1/a_n}n$，数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$T_n$，求满足$T_n+n^2>50$的正整数$n$的最小值。

高中数学数列求和(一)

方法(二) 分组转化法求和
2. (2016·北京高考)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且 b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式； (2)设 cn＝an＋bn，求数列{cn}的前 n 项和．
[解] (1)设等比数列{bn}的公比为 q，则 q＝bb32＝39＝3，所以 b1＝bq2＝1，b4＝b3q＝27，所以 bn＝3n－1(n＝1,2,3，…)．设等差数列{an}的公差为 d. 因为 a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以 1＋13d＝27，即 d＝2. 所以 an＝2n－1(n＝1,2,3，…)．
练习：设数列{an}满足 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列2na＋n 1的前 n 项和． [解] (1)因为 a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当 n≥2 时， a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，两式相减得(2n－1)an＝2，所以 an＝2n2－1(n≥2)．又由题设可得 a1＝2，满足上式，所以{an}的通项公式为 an＝2n2－1.
方法(三) 裂项相消法求和
角度(一) 形如 an＝nn1＋k型
1、数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝nn1＋1，则 S5 等于(
)
A．1
B．56
C．16
D．310
∵an＝nn1＋1＝n1－n＋1 1，
∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－21＋21－31＋…－16＝56.
角度(二)
形如 an＝
些项可以相互抵消，从而求得前 n 项和．
Hale Waihona Puke ②2＋4＋6＋…＋2n＝ n(n＋1) ； ③1＋3＋5＋…＋2n－1＝__n_2_.