5.1锐角三角函数的概念(2016年)
锐角三角函数(第一课)
如果∠α是任意锐角, 这些比值会随着点P在终边的位置改变 而改变吗?__不_变___
PM OP
叫做角α的正弦,记做sinа。Sinα=
PM OP
OM OP
叫做角α的余弦,记做cosа。cosα=
OM OP
PM 叫做角α的正切,记做tanа。tanα= PM
OM
OM
OM 叫做角α的余切，记做cotа。cotα=
1 )角α的正弦sinα，余弦cosα，正切tanα， 余切cotα统称锐角α的三角函数。
2) Rt△ABC中, 锐角α的三角函数的规律:
α的对边 Sinα= 斜边
α的对边 tanα=
α的邻边
Cosα=
α的邻边 斜边
α的邻边 Cotα= α的对边
斜边 Cotα= α的邻边
α的对边
例1:已知Rt△ABC中,∠C=Rt∠. 求证:①cosA=sinB
②tanA=cotB.
互余的两个锐角间三角函数有什么样的关系?
互余两角的三角函数的关系
α α Sin(900__ )= cos α α tan(900__ )= cot
α cos(900▪__ ) = sinα α α cot(900__ )= tan
如图:锐角α的顶点在坐标原点,始边在x轴的正半轴
上,终边上有一点P(2,Y) 如 果 sinα=
y
α
o
5 求y.
5
p (2,y)
x
锐角α终边上一点P(x,y)的横坐标,纵坐标和原点到P的 距离r有什么关系:
r= x2 y2
y tanα=
x
Sinα=
y
x Cosα=
r
r
x Cotα=
锐角三角函数讲义
锐角三角函数讲义【知识点拨】知识点一：锐角三角函数的概念：锐角三角函数包括正弦函数，余弦函数，和正切函数，如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b ，c ． ∠A 的正弦=A asin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注意：我们说锐角三角函数都是在直角三角形中讨论的！若没有直角，要想方设法构造直角。
课堂练习：1. 把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ＇B ＇C ＇，那么锐角A.A ＇的余弦值的关系为（ ）．A.cosA ＝cosA ＇B.cosA ＝3cosA ＇C.3cosA ＝cosA ＇D.不能确定 2. 已知中，AC =4，BC =3，AB =5，则（ ）A ．B ．C ．D ．3. 三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sin α的值是（ ）Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45α图14.在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin B＝（）A． B． C． D．5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cos A＝，sin B＝，tan B＝，6.⑴如图1－1－7①、②锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律；⑵根据你探索到的规律，试比较18○、34○、50○、61○、88○这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．知识点二：特殊角三角函数值的计算知识点三：运用三角函数的关系化简或求值 1．互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin A tan （900－A ）＝ctan A ； ctan （900－A ）＝tan A2．同角的三角函数关系． ①平方关系：sin 2A+cos 2A=l ② 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==sin cos a a += ③倒数关系： tgα·ctgα=1．课堂练习：1. 如α∠是等腰直角三角形的一个锐角，那么cos α的值等于（ ）Ａ．12Ｄ．12. 45cos 45sin +的值等于（ ） A. 1B. 2C. 3D.213+ 3. 下列计算错误的是（ ）A ．sin 60sin 30sin 30︒-︒=︒B ．22sin 45cos 451︒+︒=C ．sin 60cos 60cos 60︒︒=︒D ．cos30cos30sin 30︒︒=︒4. 已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于（ ）A 20°B 30°C 40°D 50°5. 若tan(a+10°)=3，则锐角a 的度数是 ( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50°6. (兰州市)如果sin 2α＋sin 230°＝１那么锐角α的度数是（ ）Ａ．１５° Ｂ．３０° Ｃ．４５° Ｄ．６０° 7. 已知α为锐角，且sin α－cos α=12 ，则sin α·cos α=___________8. cos 2α+sin 242○ =1，则锐角α=______.9. tan30°sin60°＋cos 230°－sin 245°tan45°10. 22sin30cos60tan 60tan30cos 45+-⋅+︒．11. 22sin 45cos30tan 45+-知识点四：锐角三角函数的增减性三角函数的单调性1． 正弦和正切是增函数，三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小．2． 余弦是减函数，三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。
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锐角三角函数知识点一：锐角三角函数1、锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。
2、锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin 。
3、锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos 。
4、锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan 。
sin α，cos α，tan α都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中α前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。
考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosB=54，则AC ：BC ：AB=（ ）A 、3：4：5B 、5：3：4C 、4：3：5D 、3：5：42、已知锐角α，cosα=35，sinα=_______，tanα=_______。
3、在△ABC 中，∠C=90°，若4a=3c ，则cosB=______.tanA = ______。
4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC 等于_______。
5、在△ABC 中，∠C=90°，若把AB 、BC 都扩大n 倍，则cosB 的值为（ ）A 、ncosBB 、1n cosB C 、cos nBD 、不变考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形例1、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。
（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。
6、如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC 面积（结果可保留根号）。
7、如图（1），∠α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一个点P （3，4），则sin α=______ 8、如图（2）所示，在正方形网格中，sin ∠AOB 等于（ ） A 5B 25C 、12D 、2注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
锐角三角函数的定义
锐角三角函数是三角函数的一种，它们通过弧度制或角度制来定义，其中角度制是最常用的，用θ表示角度。
锐角三角函数是指在锐角和限制条件下的三角函数。
锐角三角函数的定义可以表示为：
sinθ=y/r，cosθ=x/r，tanθ=y/x，
其中，θ表示的是锐角的角度，r表示半径，x和y分别表示锐角的横轴和纵轴的长度。
锐角三角函数的定义是以弧度制和角度制为基础，用正弦、余弦和正切函数来表示，即sinθ、cosθ和tanθ，它们用来描述在锐角和限制条件下的三角函数。
在数学中，这些函数可以用来计算三角形的边长、角度等，是广泛应用的三角函数。
中考复习： 锐角三角函数
中考复习：锐角三角函数知识梳理一、锐角三角函数（正弦、余弦、正切）1、定义：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sinc ）， 记作sin A ，即sin A aA c∠==的对边斜边。
把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine ），记作cos A ，即；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent ），记作tan A ，即。
锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数（trigonometric function of acute angle ）。
当锐角A 的大小确定时，∠A 的对边与斜边的比（正弦）、∠A 的邻边与斜边的比（余弦）、∠A 的对边与邻边的比（正切）分别是确定的。
2、增减性：在0°到90°之间，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦随着角度的增大而减小。
3、取值范围：当∠A 为锐角时，三角函数的取值范围是：0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0。
4、互余两角的函数关系：如果两角互余，则其中一有的正弦等于另一角的余弦，即：若α是一个锐角，则sin α=cos （90°-α），cos α=sin （90°-α）。
5、正、余弦的平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。
二、300、450、600的正弦值、余弦值和正切值如下表：三、解直角三角形bcos c A A ∠==的邻边斜边atan bA A A ∠=∠的对边＝的邻边C ∠A 的邻边b∠A 的对边a在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。
1、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，设三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c （以下字母同），则解直角三角形的主要依据是：（1）边角之间的关系： sinA ＝cosB ＝a c ， cosA ＝sinB ＝bc，tanA ＝cotB ＝a b ，cotA ＝tanB ＝b a。
初中数学：锐角三角函数定义大全
初中数学：锐角三角函数定义大全锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。
正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a正割（sec)等于斜边比邻边；secA=c/b余割(csc)等于斜边比对边。
cscA=c/a互余角的三角函数间的关系sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)积的关系：sinα=tanα·cosαcosα=cotα·sinαtanα=sinα·secαcotα=cosα·cscαsecα=tanα·cscαcscα=secα·cotα倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1特殊的三角函数值0°30°45°60°90°01/2√2/2√3/21←sinA 1√3/2√2/21/20←cosA 0√3/31√3None←tanA None√31√3/30←cotA 诱导公式sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotαsin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cotαsin（3π/2+α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotαsin（2kπ+α）=sinαcos（2kπ+α）=cosαtan（2kπ+α）=tanαcot（2kπ+α）=cotα(其中k∈Z)二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α=2sinαcosαcos2α=（cosα）^2－(sinα)^2=2(cosα)^2－1=1－2(sinα)^2 2tanαtan2α=—————1－tanα三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3α=3sinα－4sinαcos3α=4cosα－3cosα3tanα－tanαtan3α=——————1－3tanα。
锐角三角函数(余弦、正切)
振动与波动
余弦函数在振动和波动的研究中有广泛 应用。例如，简谐振动的位移、速度和 加速度都可以表示为余弦函数的形式。
03
正切函数
正切函数的定义与性质
正切函数的定义
正切函数是锐角三角函数的一种，定义为直角三角形中锐角的对边与邻边的比 值，记作tan(α)，其中α为锐角。
正切函数的性质
正切函数具有连续性、周期性、奇偶性等性质。在区间(0,π/2)和(π/2,π)内，正 切函数是单调递增的，而在区间(-π/2,0)和(π/2,3π/2)内，正切函数是单调递减 的。
01
余弦函数和正切函数的定义
余弦函数和正切函数是锐角三角函数的重要组成部分，它们分别描述了
直角三角形中锐角对应的邻边和斜边的比值，以及锐角对应的对边和邻
边的比值。
02
基本性质和应用
余弦函数和正切函数具有周期性、奇偶性等基本性质，这些性质在解决
几何、物理和工程问题中有着广泛的应用。例如，在计算角度、长度、
工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械工程中，锐 角三角函数用于设计各种 结构，如桥梁、建筑和机 器部件。
控制系统
在控制工程中，锐角三角 函数用于设计和分析控制 系统，以确保系统的稳定 性和性能。
信号处理
在电子和通信工程中，锐 角三角函数用于信号处理， 如滤波、调制和解调等。
06
总结与展望
锐角三角函数的总结
正切函数的图像与周期性
正切函数的图像
正切函数的图像是一条周期函数，其周期为π，且在每一个周期 内，图像呈现出先增后减的趋势。
正切函数的周期性
由于正切函数的周期为π，因此对于任意整数k，tan(x+kπ) = tan(x)，即正切函数在每个周期内具有相同的形状，但位置会随 着k的变化而变化。
锐角三角函数知识点总结
锐角三角形必背知识点1 定义直角三角形中角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的三角函数。
正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以求锐角的三角函数值，要通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。
2 特殊角的三角函数值角度30°45°60°正弦(sin) 1/2 √2/2 √3/2余弦(cos) √3/2 √2/2 1/2正切(tan) √3/3 1 √3（注θ是锐角：0<sinθ<1 0<cosθ<1 tanθ>0）3锐角三角函数值的符号及其变化规律1）锐角三角函数值都是正值。
2）当角度在0°~90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；4同角三角函数基本关系式a a a tan cos sin ⋅=5互为余角的三角函数间的关系a a cos )90sin(=-a a sin )90cos(=-6 解直角三角形的基础知识在Rt ABC ∆中， 90=∠C ，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为a ，b ，c（1） 三边之间的关系：222c b a =+（2） 锐角之间的关系：A ∠+B ∠=C ∠= 90（3） 边角之间的关系：c a A =sin ；c b A =cos ；ba A =tan ； c a B =cos ；c b B =sin ；ab B =tan （4） 面积公式：ch ab S 2121==∆（h 为斜边上的高） 7 解直角三角形的基本类型及其解法如下表：解直角三角形的思路可概括为“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切），宁乘勿除，取原避中”。
完整版)锐角三角函数超经典讲义
完整版)锐角三角函数超经典讲义锐角三角函数锐角三角函数是三角函数的一种，包括正弦、余弦和正切。
在一个锐角三角形中，锐角的对边、邻边和斜边之间的比例就是锐角三角函数。
具体来说，对于锐角A，其正弦、余弦和正切分别表示为sinA、cosA和XXX。
其中，XXX表示A的对边与斜边的比，cosA表示A的邻边与斜边的比，XXX表示A的对边与邻边的比。
这些符号都是完整的，单独的“sin”没有意义。
在用大写字母表示角度时，一般省略“∠”符号。
在求解锐角三角函数时，关键在于构造以此锐角所在的直角三角形。
例如，在一个直角三角形ABC中，如果已知∠C=90°，cosB=4/5，则AC：BC：AB=3：4：5.另外，需要注意的是，正弦、余弦和正切是实数，没有单位，它们的大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
例1：在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE。
证明△ABE≌△DFA，并求sin∠EDF的值。
解：首先，连接AC，易得△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°。
又因为AE=BC，所以△ABE和△ACD相似，即∠ABE=∠ACD，∠XXX∠ADC。
又因为∠ADC=90°，所以∠AEB=90°。
因此，△ABE和△DFA是全等三角形。
接下来，求sin∠EDF的值。
由于∠BAC=45°，所以∠AED=45°。
由于△ABE和△DFA全等，所以∠XXX∠BAE=45°。
因此，sin∠EDF=sin45°=1/√2.例2：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC面积（结果可保留根号）。
解：由于∠A=60°，∠B=45°，所以∠C=75°。
根据三角函数的定义，可以得到：sin75°=cos15°=(sin60°cos45°+cos60°sin45°)/2=√6+√2/4cos75°=sin15°=(sin60°cos45°-cos60°sin45°)/2=√6-√2/4因此，△ABC面积为S=(1/2)AB·BC·sin75°=4(√6+√2)。
§5.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式(试题部分)
专题五三角函数与解三角形【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、三角函数的概念1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.4.理解同角三角函数的基本关系式.5.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α、π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.1.本专题考查的核心素养以数学运算、逻辑推理为主,同时兼顾考查直观想象.2.从近5年高考情况来看,本专题内容为高考必考内容,以中档题为主.几种题型均有可能出现.1.在备考复习中,注意基础知识的积累,基础概念、定义要弄清楚.2.切实掌握三角函数的图象、性质以及基本变换思想.3.三角函数与解三角形的综合问题,要灵活运用正弦定理或余弦定理.注意方程思想与函数思想的应用.二、三角恒等变换1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的恒等变换.三、三角函数的图象、性质及应用1.理解正弦、余弦、正切函数的性质及图象.2.能画y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A、ω、φ对函数图象变换的影响.3.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.四、解三角形及综合应用1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的解三角形问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题.【真题探秘】§5.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式基础篇固本夯基【基础集训】考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为()A.10πB.9πC.910π D.109π答案D2.cos 330°=()A.12B.-12C.√32D.-√32答案C3.若sin θ·cos θ<0,tanθsinθ>0,则角θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案D4.若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-√3x上,则角α的取值集合是()A.{α|α=2kπ-π3,k∈Z} B.{α|α=2kπ+2π3,k∈Z}C.{α|α=kπ-2π3,k∈Z} D.{α|α=kπ-π3,k∈Z}答案D5.已知扇形的周长为20 cm,当这个扇形的面积最大时,半径R的值为()A.4 cmB.5 cmC.6 cmD.7 cm答案B6.已知sin(π2+θ)+3cos(π-θ)=sin(-θ),则sin θcosθ+cos2θ=()A.15B.25C.35D.√55答案 C综合篇知能转换【综合集训】考法一 利用三角函数定义解题1.(2018河南天一大联考,2)在平面直角坐标系xOy 中,角α的终边经过点P(3,4),则sin (α-2 017π2)=( )A.-45B.-35C.35D.45答案 B2.(2018广东深圳四校期中联考,5)已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过点(1,4),则cos 2θ-sin 2θ的值为( )A.35B.-35C.717D.-717答案 D3.(2020届四川绵阳南山中学月考,4)已知角α的终边过点(-8m,-6sin 30°),且cos α=-45,则m 的值为( ) A.±12B.-12C.12D.√32答案 C考法二 同角三角函数的基本关系式的应用技巧4.(2018福建福州八校联考,8)已知sinα+3cosα2cosα-sinα=2,则cos 2α+sin αcos α=( )A.65B.35C.25D.-35答案 A5.(2019河北邯郸重点中学3月联考,5)已知3sin (33π14+α)=-5cos (5π14+α),则tan (5π14+α)=( )A.-53B.-35C.35D.53答案 A6.(2018湖北武汉调研,13)若tan α=cos α,则1sinα+cos 4α= .答案 2考法三 利用诱导公式化简求值的思路和要求7.(2020届广东珠海摸底测试,3)若角θ的终边过点(4,-3),则cos(π-θ)=( ) A.45 B.-45 C.35 D.-35答案 B8.(2018河北衡水中学2月调研,3)若cos (π2-α)=√23,则cos(π-2α)=( )A.29 B.59 C.-29 D.-59答案 D9.(2018浙江名校协作体考试,13)已知sin (-π2-α)cos (-7π2+α)=1225,且0<α<π4,则sin α= ,cos α= .答案35;45考法四同角三角函数的基本关系和诱导公式的综合应用10.(2019江西赣州五校协作体期中,15)已知角α终边上有一点P(1,2),则sin(2π-α)-sin(π2-α)cos(3π2+α)+cos(π-α)=. 答案-3【五年高考】考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2016课标Ⅲ,5,5分)若tan α=34,则cos2α+2sin2α=()A.6425B.4825C.1D.1625答案A2.(2018课标Ⅱ,15,5分)已知sin α+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.答案-123.(2017北京,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=13,则cos(α-β)=.答案-794.(2018浙江,18,14分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(-35,-45 ).(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cos β的值.解析(1)由角α的终边过点P(-35,-45)得sin α=-45,所以sin(α+π)=-sin α=45.(2)由角α的终边过点P(-35,-45)得cos α=-35,由sin(α+β)=513得cos(α+β)=±1213.由β=(α+β)-α得cos β=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,所以cos β=-5665或cos β=1665.思路分析(1)由三角函数的定义得sin α的值,由诱导公式得sin(α+π)的值.(2)由三角函数的定义得cos α的值,由同角三角函数的基本关系式得cos(α+β)的值,由两角差的余弦公式得cos β的值.教师专用题组考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2014大纲全国,3,5分)设a=sin 33°,b=cos55°,c=tan35°,则()A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b答案 C2.(2011课标,5,5分)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y=2x 上,则cos 2θ=( ) A.-45B.-35C.35D.45答案 B【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共50分)1.(2020届吉林白城通榆一中月考,3)已知角α的终边过点(12,-5),则sin α+12cos α等于( ) A.-113 B.113 C.112 D.-112答案 B2.(2020届四川邻水实验学校月考,4)已知tan(π-θ)=3,则sin (π2+θ)-cos(π-θ)sin (π2-θ)-sin(π-θ)=( )A.-1B.-12C.1D.12答案 D3.(2020届吉林白城通榆一中月考,2)已知扇形OAB 的圆心角为2 rad,其面积是8 cm 2,则该扇形的周长是( ) A.8 cm B.4 cm C.8√2 cm D.4√2 cm 答案 C4.(2020届宁夏银川一中月考,2)已知tan α=-3,α是第二象限角,则sin (π2+α)=( ) A.-√1010B.-3√1010C.√105D.2√55答案 A5.(2020届湖南长沙一中月考,8)如图,点A 为单位圆上一点,∠xOA=π3,点A 沿单位圆按逆时针方向旋转角α到点B (-√22,√22),则sin α=( )A.-√2+√64B.√2-√64C.√2+√64D.-√2+√64答案 C6.(2019湖南衡阳一中月考,5)已知α是第三象限角,且|cos α3|=-cos α3,则α3是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案 C7.(2018湖北襄阳四校3月联考,8)△ABC 为锐角三角形,若角θ的终边过点P(sin A-cos B,cos A-sin C),则sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|+tanθ|tanθ|的值为( )A.1B.-1C.3D.-3 答案 B8.(2019广东珠海四校联考,3)设a=sin 5π7,b=cos 2π7,c=tan 2π7,则( ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c 答案 D9.(2019北京师范大学附中期中,6)在平面直角坐标系中,角α的顶点在原点,始边在x 轴的正半轴上,角α的终边经过点M (-cos π8,sin π8),且0<α<2π,则α=( ) A.π8 B.3π8 C.5π8 D.7π8答案 D10.(2018江西南昌一模,3)已知角α的终边经过点P(sin 47°,cos 47°),则sin(α-13°)=( ) A.12B.√32C.-12D.-√32答案 A二、多项选择题(每题5分,共10分)11.(改编题)已知α是三角形的内角,且sin α+cos α=15,则有( ) A.sin α=45,cos α=-35B.sin α=-35,cos α=-45 C.tan α=-43D.tan α=43答案 AC12.(改编题)已知α为锐角且有2tan(π-α)-3cos (π2+β)+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则有( ) A.tan α=3 B.sin β=13C.sin α=3√1010D.tan β=√24答案 ABC三、填空题(每题5分,共15分)13.(2019豫北六校精英对抗赛,13)若f(x)=cos (π2x +α)+1,且f(8)=2,则f(2 018)= . 答案 014.(2018广东佛山教学质量检测(二),14)若sin (α-π4)=7√210,α∈(0,π),则tan α= .答案 -43或-3415.(2019江西金太阳联考卷(六),15)已知sin α和cos α是方程4x 2+2√6x+m=0的两个实数根,则sin 3α-cos 3α= .答案 ±5√28四、解答题(共15分)16.(2019山东夏津一中月考,19)已知tan (π4+α)=2. (1)求tan α的值; (2)求2sin 2α+sin2α1+tanα的值.解析 (1)∵tan (π4+α)=tan π4+tanα1−tan π4·tanα=1+tanα1−tanα=2,∴tan α=13. (2)2sin 2α+sin2α1+tanα=2sin 2α+2sinαcosα1+tanα=2sin 2α+2sinαcosα(1+tanα)(sin 2α+cos 2α)=2tan 2α+2tanα(1+tanα)(tan 2α+1),由(1)知tan α=13,∴原式=2×(13)2+2×13(1+13)×[(13)2+1]=35.。
锐角三角函数—知识讲解
锐角三角函数—知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成 “tanAEF ”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA ＞0．要点二、特殊角的三角函数值Ca b c利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45° 160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求∠A ，∠B 的正弦、余弦、正切值．【答案与解析】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． ∵ AB ＝13，BC ＝5． ∴ 222213512AC AB BC =-=-=．∴ 5sin 13BC A AB ==，12cos 13AC A AB ==，5tan 12BC A AC ==； 12sin 13AC B AB ==，5cos 13BC B AB ==，12tan 5AC B BC ==． 【总结升华】先运用勾股定理求出另一条直角边，再运用锐角三角函数的定义求值．举一反三：【变式】在Rt ΔABC 中，∠C =90°，若a =3，b =4，则c = ，sinA = ， cosA = ，sinB = ， cosB = ．【答案】c = 5 ，sinA = 35 ， cosA =45，sinB =45， cosB =35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值：(1)（2015•茂名校级一模） 6tan 230°﹣sin60°﹣2sin45°； (2)（2015•乐陵市模拟） sin60°﹣4cos 230°+sin45°•tan60°； (3)（2015•宝山区一模） +tan60°﹣．【答案与解析】Ca bc解：（1）原式==122-．(2)原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+=63-；(3)原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=322+．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若∠A=45°，则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°，sinA=22，cosA=22，sinB=22，cosB=22．类型三、锐角三角函数之间的关系3．（2015•河北模拟）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA ）2+|sinB ﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC 是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ， 若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACP ＝90°， 又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB ，∴PC CDPA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC ，由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PC APC PA ∠=，PC 、PA 均为未知，而已知CD ＝6，AB ＝10，可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ， ∴ 22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=，∴ 10sadA 5BD AD ==． 【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA ＝1；(2)在图①中设想AB ＝AC的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。
锐角三角函数
锐角三角函数定义锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。
正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a 正割（sec)等于斜边比邻边；secA=c/b余割(csc)等于斜边比对边。
cscA=c/a初中学习的锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。
到了高中三角函数值的求法是通过坐标定义法来完成的，这个时候角也扩充到了任意角。
所谓锐角三角函数是指：我们初中研究的都是锐角的三角函数。
初中研究的锐角的三角函数为：正弦（sin），余弦（cos），正切（tan）。
函数值特殊角特殊角的三角函数值如下：注：非特殊角的三角函数值，请查三角函数表。
变化情况1.锐角三角函数值都是正值2.当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
3.当角度在0°≤A≤90°间变化时，0≤sinA≤1, 1≥cosA≥0；当角度在0°<A0, cotA>0。
关系式同角三角函数基本关系式tanαcotα=1sinαcscα=1cosαsecα=1sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα(sinα)^2+(cosα)^2=11+tanα=secα1+cotα=cscα诱导公式sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotαsin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cotαcot（3π/2－α）=tanαsin（3π/2+α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotαsin（2kπ+α）=sinαcos（2kπ+α）=cosαtan（2kπ+α）=tanαcot（2kπ+α）=cotα(其中k∈Z)二倍角、三倍角的正弦、余弦和正切公式Sin(2α)=2sinαcosαCos(2α)=（cosα）^2－(sinα)^2=2(cosα)^2－1=1－2(sinα)^2Tan(2α)=2tanα/(1-tanα)sin(3α)=3sinα-4sin^3α=4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α)=4cos^3α-3cosα=4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α)=(3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α)=tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α) 和差化积、积化和差公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] sinαcosβ=-[sin（α+β）+sin（α－β）]sinαsinβ=-[1][cos（α+β）-cos（α-β）]/2 cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2。
2024年新高考版数学专题1_5.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
综合篇
考法一 三角函数定义的应用 1.已知角α终边上一点P的坐标,求三角函数值:先求出点P到原点的距离r, 然后利用三角函数的定义求解;若含参数,则需对参数进行讨论. 2.已知角α的终边所在直线的方程(角α的终边为射线,此处给的是直线方 程),求三角函数值:一般地,由于不确定终边所在象限,故在终边上任取一 个异于原点的点时应分两种情况,然后利用三角函数的定义求解;若直线 的倾斜角为特殊角,则可直接写出角α的三角函数值.
r
r
x
2)三角函数值在各象限内的符号
记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 二、同角三角函数的基本关系 1.平方关系:sin2α+cos2α=1.
2.商数关系:tan
α=
sin α cos α
α
2
k
,
k
Z
.
三、三角函数的诱导公式
公式
角
正弦
Hale Waihona Puke 一2kπ+α
sin α
(k∈Z)
二
π+α
-sin α
三
-α
-sin α
四
π-α
sin α
五
-α
cos α
2
六
2 +α
cos α
七
3
2 π+α
-cos α
八
3
2 π-α
-cos α
余弦 cos α
-cos α cos α -cos α sin α -sin α sin α -sin α
正切 tan α
tan α -tan α -tan α
口诀 函数名不变,符 号看象限
高考 数学
锐角三角函数锐角三角函数
03
证明方法
利用正弦定理和余弦定理，将边的关 系转化为角的关系，再利用三角函数 的性质推导得出。
05
锐角三角函数的作图及演 示
利用计算器或计算机软件绘制锐角三角函数图像
总结词
通过使用计算器或计算机软件，我们可以 轻松地绘制出锐角三角函数的图像。
详细描述
首先，我们需要输入锐角的角度值，然后 在计算器或计算机软件中选择对应的三角 函数（正弦、余弦或正切）。这样，我们 就可以得到一个关于角度的函数值。将这 些值在坐标系中表示，就可以形成锐角三 角函数的图像。
证明方法
通过正弦定理将角的关系转化为 边的关系，再利用勾股定理推导 得出。
正切定理的公式及证明
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总结词
详细描述
正切定理是指在一个三角形中，任意 两边长度的比值等于这两边所夹角的 正切值与第三边所对应角的正切值的 比值。
正切定理的公式为 tan(A)/tan(B) = c/b。其中，A、B、C 分别代表与三 边相对应的角度，a、b、c 分别代表 三角形的三边长。
求边长
已知直角三角形的一个锐角和对应的边长，可以应用锐角三 角函数来求解另一条边长。例如，在直角三角形ABC中，已 知角A为30度，对应边a为10单位长度，那么对应边b的长度 可以通过应用三角函数求解。
在实际问题中求解角度或边长
地球定位
在地球上定位一个点，需要知道该点与北极的夹角和该点到北极的距离。这些信息可以通过应用锐角 三角函数来求解。
余弦定理
对于任意三角形ABC，有cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)，其中a、b、c分别是三角形的三边长度。这表明一个 角的余弦值等于由该角两边长度和它们夹角所确定的三角形的另一边的平方与两邻边平方和的差与两邻边的积 之比。
三角函数概念、公式
三角函数三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。
在物理学中，三角函数也是常用的工具。
定义如右图，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。
对于AB与AC的夹角∠BAC而言：Rt△ABC对边（opposite）a=BC斜边（hypotenuse）h=AB邻边（adjacent）b=AC基本函数英文缩写表达式语言描述正弦函数Sine sin a/h∠A的对边比斜边余弦函数Cosine cos b/h∠A的邻边比斜边正切函数Tangent tan a/b∠A的对边比邻边余切函数Cotangent cot b/a∠A的邻边比对边正割函数Secant sec h/b∠A的斜边比邻边余割函数Cosecant csc h/a∠A的斜边比对边注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。
罕见三角函数除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数：versin函数名与常见函数转化关系正矢函数versinθ=1-cosθvercosinθ=1+cosθ余矢函数coversinθ=1-sinθcovercosinθ=1+sinθ半正矢函数haversinθ=(1-cosθ)/2havercosinθ=(1+cosθ)/2半余矢函数hacoversinθ=(1-sinθ)/2hacovercosinθ=(1+sinθ)/2外正割函数exsecθ=secθ-1外余割函数excscθ=cscθ-1单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。
初三数学锐角三角函数
初三数学锐角三角函数锐角三角函数是初三数学中的重要内容，主要涉及正弦函数、余弦函数和正切函数等。
下面将分别介绍它们的定义、性质及应用。
一、正弦函数正弦函数是以角度为自变量的函数，记作sin(x)，其中x是角度，它的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
正弦函数的周期是360度或2π弧度。
正弦函数在三角形中有广泛的应用，可以用来求解角度、边长等问题。
正弦函数的性质如下：1. 正弦函数是一个奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。
2. 正弦函数在第一象限和第二象限是单调递增的，在第三象限和第四象限是单调递减的。
3. 正弦函数在x=0度或x=0弧度处取得最小值0，在x=90度或x=π/2弧度处取得最大值1，在x=270度或x=3π/2弧度处再次取得最小值0。
二、余弦函数余弦函数是以角度为自变量的函数，记作cos(x)，其中x是角度，它的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
余弦函数的周期是360度或2π弧度。
余弦函数在三角形中也有广泛的应用，可以用来求解角度、边长等问题。
余弦函数的性质如下：1. 余弦函数是一个偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
2. 余弦函数在第一象限和第四象限是单调递减的，在第二象限和第三象限是单调递增的。
3. 余弦函数在x=0度或x=0弧度处取得最大值1，在x=90度或x=π/2弧度处取得最小值0，在x=180度或x=π弧度处再次取得最大值1。
三、正切函数正切函数是以角度为自变量的函数，记作tan(x)，其中x是角度，它的定义域是实数集，值域是(-∞, +∞)。
正切函数的周期是180度或π弧度。
正切函数在三角形中也有广泛的应用，可以用来求解角度、边长等问题。
正切函数的性质如下：1. 正切函数是一个奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
2. 正切函数在第一象限和第三象限是单调递增的，在第二象限和第四象限是单调递减的。
3. 正切函数在x=45度或x=π/4弧度处取得最小值1，在x=135度或x=3π/4弧度处取得最大值-1，在x=225度或x=5π/4弧度处再次取得最小值1，在x=315度或x=7π/4弧度处再次取得最大值-1。
锐角三角函数知识点总结
\ 1 /
锐角三角函数知识点总结
一、锐角三角函数的定义：
二、特殊角的三角函数的值：
三、锐角三角函数的性质
\ 2 / 四、解直角三角形
五、解直角三角形中的常见图形:
六、实际应用中的概念：
⑴ 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．
⑵ 坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为i=h l ，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则i=h l =tan α．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵ ⑶ 方位角：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．。
5-1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导-2024
专题五三角函数与解三角形5.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式基础篇考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式考向一三角函数的定义及相关概念1.(2023届安徽江淮名校质量检测,4)设角θ是第一象限角,且满足|cos θ2|=−cos θ2,则θ2的终边所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案C2.(2023届江苏南京、镇江学情调查,2)已知点P(cos 23π,1)是角α终边上一点,则cos α=( )A.√55B.−√55C.2√55D.−√32答案B3.(2022石家庄一模,2)已知角α的终边上一点P的坐标为(-2,1),则cos α的值为()A.√55B.−√55C.2√55D.−2√55答案D4.(2022长沙一中月考八,1)若角α的终边过点P(8m,-3),且tan α=34,则m的值为()A.-12B.12C.−√32D.√32答案A5.(2020课标Ⅱ理,2,5分)若α为第四象限角,则( )A.cos 2α>0B.cos 2α<0C.sin 2α>0D.sin 2α<0答案D6.(多选)(2023届山东潍坊临朐实验中学月考,9)下列结论正确的是( )A.-7π6是第三象限角B.若tan α=2,则sinα+cosαsinα−cosα=3C.若圆心角为π3的扇形的弧长为π,则该扇形的面积为3π2 D.终边经过点(m ,m )(m >0)的角的集合是{α|α=π4+2kπ,k ∈Z} 答案 BCD7.(多选)(2023届重庆南开中学月考,9)已知角α的终边落在第二象限,则下列不等式一定成立的是( )A.sin α2<0 B.tan α2>0C.sin α2>cos α2D.|sin α2|>|cos α2| 答案 BD8. (2022全国甲理,8,5分)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,AB是以O 为圆心,OA 为半径的圆弧,C 是AB 的中点,D 在AB上,CD ⊥AB.“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式:s =AB +CD 2OA.当OA =2,∠AOB =60°时,s = ( )A.11−3√32B.11−4√32C.9−3√32 D.9−4√32答案 B考向二 同角三角函数的基本关系1.(2022山东省实验中学二诊,3)已知sin (α+3π)=-14,且α为第二象限角,则cos α等于 ( )A.-√154B.−√24C.−2√23D.2√23答案 A2.(2022广东江门陈经纶中学月考,13)若tan α=4,则sin(α+π)−2cos(π2+α)−sin(−α)+cos(π+α)= .答案 433.(2023届重庆南开中学质检,14) 若θ∈(0,π2),且tan θ=2√2,则2sin (θ+π4)−√1+cos2θ= . 答案 43考向三 三角函数的诱导公式1.(2019课标Ⅰ文,7,5分)tan 255°=( )A.-2-√3B.−2+√3C.2−√3D.2+√3 答案 D2.(2014大纲全国,3,5分)设a =sin 33°,b =cos 55°,c =tan 35°,则( ) A.a >b >c B.b >c >a C.c >b >a D.c >a >b 答案 C3.(2022广东江门陈经纶中学月考,4)已知sin (α−π3)=13,则cos (α+π6)的值是 ( ) A.-13 B.13 C.2√23D.−2√23答案 A4.(2022河北六校联考,5)化简:sin(2π+α)cos(π+α)sin(π2+α)cos(−α)cos(−π+α)tan(−α−π)= ( )A.sin αB.-1cosα C.-1sinα D.-cos α 答案 D5.(2021北京,14,5分)若点A (cos θ,sin θ)关于y 轴的对称点为B cos (θ+π6),sin (θ+π6),则θ的一个取值为 .答案5π12(答案不唯一)综合篇考法一三角函数定义的应用考向一已知终边上一点的坐标求三角函数值1.(2023届哈尔滨师大附中月考,2)已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边过点P(1,-3),则sin 2α的值为( )A.-45B.45C.−35D.35答案C2.(2021河北唐山三模,5)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(-1,-2),则sin2α+sin 2α=( )A.58B.85C.√55D.2√55答案B3.(2022山东滕州一中开学考,4)已知角α的终边上一点P的坐标为(sin 5π6,cos 5π6),则角α的最小正值为( )A.π6B.2π3C.7π6D.5π3答案D4.(2018课标Ⅰ文,11,5分)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=23,则|a-b|=( )A.15B.√55C.2√55D.1答案B5.(2022山东日照开学校际联考,6)已知α∈[0,2π],点P(1,tan 2)是角α终边上一点,则α=( ) A.2 B.2+π C.π-2 D.2-π答案B考向二三角函数定义、诱导公式、同角三角函数基本关系的综合应用1.(2022辽东南协作体期中,3)已知角θ的终边经过点P(1,2),则sin(π−θ)sinθ+cosθ=( )A.-13B.13C.−23D.23答案D2.(2022广东茂名一模,4)已知角α的顶点在原点,始边与x 轴非负半轴重合,终边与直线2x +y +3=0平行,则sinα−cosαsinα+cosα的值为( )A.-2B.-14 C.2 D.3 答案 D3.(2022重庆云阳江口中学期末,4)已知sin (3π2−α)+cos (π-α)=sin α,则2sin 2α-sin αcos α= ( )A.2110B.32C.√32D.2答案 D4.(2022重庆八中高考适应性月考五,8)在平面直角坐标系xOy 中,角α的始边为x 轴的非负半轴,终边与单位圆O 的交点P (x 0,y 0)在第一象限内,若sin (α+π3)=34,则x 0= ( )A.3+√218B.3√3±√78C.3√3−√78D.3√3+√78答案 C考法二 同角三角函数基本关系式的应用考向一 利用三角函数基本关系式化简求值1.(2022福建三明二中月考三,4)已知sin θ+cos θ=43,θ∈(π4,π2),则sin θ-cos θ= ( )A.√23 B.−√23C.13D.−13答案 A2.(2022福建龙岩一中月考,3)已知sin (π-α)+sin (π2−α)=15,且α∈(0,π),则tan (α+π4)=( )A.-17B.17C.7D.-7 答案 A3.(2022海南三亚华侨学校月考,15)若sin α-cos α=3√25,则sin 2α= .答案7254.(2023届安徽十校联考,13)若角α的终边在第四象限,且cos α=45,则tan (5π4−α)= . 答案 75.(2023届沈阳四中月考,14)已知α是三角形一内角,且sin (α+π4)=35,则cos α= . 答案 -√2106.(2022广东湛江一中、深圳实验学校联考,17)已知π4<α<π2, f (α)=2cos(π2+α)·√1−sin2αtan(α+π)·√2+2cos2α. (1)化简f (α);(2)若f (α)=-15,求tan 2α的值. 解析 (1)f (α)=−2sinα·√sin 2α−2sinα·cosα+cos 2αtanα·√2·2cos 2α=-sinα·|sinα−cosα|sinαcosα·|cosα|,∵π4<α<π2,∴f (α)=-sinα·(sinα−cosα)sinαcosα·cosα=cos α-sin α.(2)∵π4<α<π2,∴sin α>cos α>0. 由{cosα−sinα=−15,sin 2α+cos 2α=1,可得{sinα=45,cosα=35, ∴tan α=sinαcosα=43,∴tan 2α=2tanα1−tan 2α=2×431−169=−247. 考向二 应用齐次式进行化简求值1.(2022湖北重点高中联考,5)已知tan θ=-2,则sinθsinθ+cosθ=( )A.2B.-12 C.12 D.-2 答案 A2.(2022武汉部分学校质量检测,2)若tan α=2,则cos2α1−sin2α= ( )A.-13 B.13 C.-3 D.3 答案 C3.(2023届湖北摸底联考,6)在平面直角坐标系xOy 中,角θ的大小如图所示,则9sin 2θ+sin 2θ=( )A.1B.23 C.4813 D.52答案C4.(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tan θ=-2,则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=( )A.-65B.−25C.25D.65答案C5.(2021沈阳市郊联体一模,3)已知2sin(π-α)=3sin(π2+α),则sin2α-12sin 2α-cos2α=( )A.513B.−113C.-513D.113答案B。
锐角函数知识点
锐角函数知识点锐角函数是数学中的一种特殊函数，广泛应用于数学分析、物理学、工程学等领域。
本文将从定义、性质、图像、应用等角度入手，介绍锐角函数的知识点。
一、定义锐角函数是一类周期为π的函数，其中包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)、余切函数cot(x)、正割函数sec(x)和余割函数csc(x)。
这些函数的定义如下：正弦函数sin(x)：表示角x的正弦值。
即在单位圆上，对应角x 的纵坐标。
余弦函数cos(x)：表示角x的余弦值。
即在单位圆上，对应角x的横坐标。
正切函数tan(x)：表示角x的正切值。
即在单位圆上，对应角x 的纵坐标除以横坐标。
余切函数cot(x)：表示角x的余切值。
即在单位圆上，对应角x 的横坐标除以纵坐标。
正割函数sec(x)：表示角x的正割值。
即在单位圆上，对应角x的斜率的倒数。
余割函数csc(x)：表示角x的余割值。
即在单位圆上，对应角x的斜率。
二、性质1. 周期锐角函数的周期为π，即f(x + π) = f(x)。
2. 奇偶性正弦函数和正切函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)；余弦函数、余切函数、正割函数和余割函数是偶函数，即f(-x) = f(x)。
3. 值域正弦函数和余弦函数的值域为[-1,1]；正切函数、余切函数、正割函数和余割函数的值域为实数集合。
4. 对称性正弦函数具有轴对称性，即sin(x + π) = -sin(x)；余弦函数具有中心对称性，即cos(x + π) = -cos(x)。
5. 导数正弦函数的导数为cos(x)，余弦函数的导数为-sin(x)，正切函数的导数为sec^2(x)，余切函数的导数为-csc^2(x)，正割函数的导数为sec(x)tan(x)，余割函数的导数为-csc(x)cot(x)。
三、图像锐角函数在坐标系中的图像具有对称性和周期性。
以正弦函数和余弦函数为例，它们在xy平面上的图像如下图所示：从图中可以看出，正弦函数和余弦函数的图像均以原点为中心对称，且在x轴和y轴上分别有一个零点。
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A B C D 图3 1. (2016 福建省龙岩市)
】．如图，若点A 的坐标为，则sin ∠1= ．
答案：
】．考点锐角三角函数的定义；坐标与图形性质． 分析根据勾股定理，可得OA 的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案．
解答解：如图，，
由勾股定理，得
OA=
=2． sin ∠1=
=， 故答案为：
．
20160927091226406001 5.1 锐角三角函数的概念 填空题 基础知识 2016/9/27
2. (2016 四川省乐山市) 】．如图3，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，则下列结论不正确．．．
的是 ()A sin AD B AB
=
()B sin AC B BC = ()C sin AD B AC = ()D sin CD B AC =
答案：】．答案：C
考点：考查正弦函数的概念。
解析：由正弦函数的定义，知：A、B正确，又∠CAD＝∠B，
所以，sin sin CD
B CAD
AC
=∠=，D也正确，故不正确的是C。
20160925143801781255 5.1 锐角三角函数的概念选择题双基简单应用2016/9/25
3. (2016 湖北省襄阳市) 】．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）
A． B． C． D．
答案：】．
考点勾股定理；锐角三角函数的定义．
分析直接根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理得出DC，AC的长，再利用锐角三角函数关系求出答案．
解答解：如图所示：连接DC，
由网格可得出∠CDA=90°，
则DC=，AC=，
故sinA===．
故选：B．
点评此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系，正确构造直角三角形是解题关键．
20160924142909437717 5.1 锐角三角函数的概念选择题基础知识2016/9/24。