概率统计常见题型及方法总结

常见大题：1. 全概率公式和贝叶斯公式问题 B 看做“结果”，有多个“原因或者条件iA ”可以导致B 这个“结果”发生，考虑结果B 发生的概率，或者求在B 发生的条件下，源于某个原因iA 的概率问题 全概率公式：()()()1B |ni i i P B P A P A ==∑贝叶斯公式：1(|)()()()()ni i i jjj P A B P A P B A P A P BA ==∑｜｜一（12分）今有四个口袋，它们是甲、乙、丙、丁，每个口袋中都装有a 只红球和b 只白球。

先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后从丁口袋中任取一球，问取到红球的概率为多少？ 解i B 表示从第i 个口袋放入第1+i 个口袋红球，4,3,2,1=ii A 表示从第i 个口袋中任取一个球为红球，2分则b a aB P +=)(1，2分 111++++++++=b a a b a b b a a b a a b a a+=2分 依次类推2分二（10分）袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都出现国徽，问这只硬币是次品的概率为多少？、解记B ={取到次品}，B ={取到正品}，A ={将硬币投掷r 次每次都出现国徽} 则()(),n m P B P B m n m n==++，()1P A B =，()12r P A B =―—５分 三、（10分）一批产品共100件，其中有4件次品，其余皆为正品。

现在每次从中任取一件产品进行检验，检验后放回，连续检验3次，如果发现有次品，则认为这批产品不合格。

在检验时，一件正品被误判为次品的概率为0.05，而一件次品被误判为正品的概率为0.01。

（1）求任取一件产品被检验为正品的概率；（2）求这批产品被检验为合格品的概率。

解设A 表示“任取一件产品被检验为正品”，B 表示“任取一件产品是正品”，则()96100P B =，()4100P B =，()|0.95P A B =，()|0.01P A B =（1）由全概率公式得（2）这批产品被检验为合格品的概率为四、在电报通讯中不断发出信号‘0’和‘1’，统计资料表明，发出‘0’和‘1’的概率分别为0.6和0.4，由于存在干扰，发出‘0’时，分别以概率0.7和0.1接收到‘0’和‘1’，以0.2的概率收为模糊信号‘x ’；发出‘1’时，分别以概率0.85和0.05收到‘1’和‘0’，以概率0.1收到模糊信号‘x ’。

（1）求收到模糊信号‘x ’的概率；（2）当收到模糊信号‘x ’时，以译成哪个信号为好？为什么？解设i A =“发出信号i ”)1,0(=i ，i B =“收到信号i ”),1,0(x i =。

由题意知6.0)(0=A P ，4.0)(1=A P ，2.0)|(0=A B P x ，1.0)|(1=A B P x 。

（1）由全概率公式得)()|()()|()(1100A P A B P A P A B P B P x x x +=4分16.04.01.06.02.0=⨯+⨯=。

2分（2）由贝叶斯公式得75.016.06.02.0)()()|()|(000=⨯==x x x B P A P A B P B A P ，3分25.075.01)|(1)|(01=-=-=x x B A P B A P 3分二、随机变量函数的分布及其边缘密度及其独立性的判断 记住如下知识点： 常见分布律和概率密度：一般正态分布的计算转化为标准正态分布去做：连续随机变量X:二维随机变量的分布函数： 联合密度：掌握如下解决随机变量函数分布的解题方法：对于二维随机变量函数的概率密度，注意：除了求随机变量Z=X+Y 的密度函数用公式： 注意：先写出联合密度:(,y)f x ，根据联合密度写出(,)f x z x -或者(,)f z y y -，在平面x0z 或者y0z 上画出被积函数(,)f x z x -不为零的区域，然后穿线通过区域确定x 的上下限。

他的函数Z=g(X,Y)的概率密度，只能使用分布函数法 其步骤如下： 第一步求联合密度:(,y)f x ，根据联合密度写出(,)f x z x -或者(,)f z y y -第二步求z 的分布函数：难点是画出二重积分的积分区域，然后把二重积分化为二次积分定上下限，画图：先画出被积函数也就是联合密度非零的区域，再确定区域(,)g x y z≤与密度非零区域的重合区域就是二重积分的积分区域，穿线定积分限：然后左右穿或者上下穿个积分区域定内限，求出分布函数第三步求密度函数：()()Z Z f z F z '= 分析：一、设总体X 服从(0,1)上的均匀分布，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，最大顺序统计量),,,max (21)(n n X X X X =，1．求随机变量)(n X 的概率密度；解：⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(~x x f X ，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,0,0)(x x x x x F而),,,max (21)(n n X X X X =的分布函数为()()z F z f n n XX )()('=()[]()z f z F n n 1-=1-=n nz ，)10(<<z 二、（10分）设二维随机变量(),X Y 的概率密度为 （1）求常数A 的值；（2）求X 与Y 的协方差(),Cov X Y 。

解（1）由()01,yy f x y dxdy dy Ae dx A ∞∞∞--∞-∞===⎰⎰⎰⎰，得1A =（2）()()201,12y yyE X xf x y dxdy dy xe dx y e dy +∞+∞∞∞---∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰三（16分）设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 （1） 求边缘密度函数)(x f X ，)(y f Y ； （2） 求边缘分布函数)(x F X ，)(y F Y ； （3） 判断X 与Y 是否相互独立； （4） 求)1(>+Y X P 。

(1)()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰，当x ≤0时，(,)f x y =0,于是()X f x =0当x ＞0时，()X f x =y x x e dy e +∞--=⎰，所以X 的边缘概率密度为()X f x =⎩⎨⎧≤>-0,00,x x e xY 的边缘概率密度()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰ 当y ≤0时，()Y f y =0当y ＞0时()Y f y =⎩⎨⎧≤>-0,00,y y e y 4分（2）⎩⎨⎧<-=-其他,00,1)(ye y F y⎩⎨⎧<-=-其他,00,1)(xe x F x 4分（3）独立4分 （3）12(X 1)(,)x y P Y f x y dxdy e+>+>==⎰⎰4分四（１０分）设随机变量),(Y X 的概率密度为 求随机变量Y X Z 2+=的分布函数。

当0≤z 时，0)(=z F Z 当0>z 时，z z zx z y x Z ze e dy e dx z F ---+---==⎰⎰12)(020)2(所以Y X Z 2+=的分布函数为3.中心极限定理的问题：用正态分布近似计算共两类：一类是二项分布的近似计算问题~(,)X b n p (,(1))N np np p -近似~(0,1)(1)N np p -,这个公式给出了n 较大时二项分布的概率计算方法。

另一类是除二项分布之外的其他分布的独立变量连加和的计算问题，设12,,,,n X X X 独立同分布，()()201,2,,.k k E X D X k n μσ==>= 近似有连加和服从正态分布：一、(14分)设粮仓内老鼠的数目是一个服从泊松分布的随机变量，且仓内无鼠的概率为2-e 。

（1）写出随机变量的分布律；（2）试用中心极限定理计算，在200个同类粮仓内老鼠总数超过350只的概率。

解（1）)2(~πX ；5分（2）X 表示任意老鼠个数，由中心极限定理 3分⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯->⨯⨯-=>2200220035022002200)350(X P X P 3分⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯-Φ-≈2200220035013分二、（１０分）某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的数。

（1）写出X 的概率分布；（2）求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值。

[解]（1）)2.0,100(~b X ，k k kC k X P -==1001008.02.0}{，100,,2,1,0 =k（2）202.0100)(=⨯=X E ，16)2.01(2.0100)(=-⨯⨯=X D 根据棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理三（10分）某银行的柜台替每一位顾客的服务时间（单位：分钟）服从参数12λ=的指数分布，且各位顾客的服务时间是相互独立的，试用中心极限定理计算，对100位顾客的总服务时间不超过240分钟的概率。

解设1100,,X X 分别表示每一位顾客的服务时间，则它们相互独立相同分布，且()2,()4i i E X D X ==-------------------------------5分点估计的问题：矩估计和似然估计似然函数的构造： 例题分析：一、设总体X 的概率密度为θ是未知参数,n X X X ,,,21 是来自X 的样本，1．求θ的矩估计量1θ∧； 矩估计法:()1x EXxe dx θθθ∞--==-⎰，令X EX =-=1θ,=>1ˆ1+=X θ2．求θ的最大似然估计量2θ∧； 3．判断1θ∧，2θ∧是否为无偏估计解：最大似然估计法：设n x x x ,,21 为样本的观察值，则 似然函数为∑===---=∏ni ii x n x n i ee L 1)(1)(θθθ，θθ≥=≥≤≤i ni i x n i x 1min ,,1,即按似然估计的思想，当似然函数关于θ是增函数，故ix min ˆ2=θ。

θ的最大似然估计量为iX min ˆ2＝θ。

二（10分）设n X X X ,,,21 为样本，总体X 的概率密度为求参数μ的最大似然估计量；问它是否为μ的无偏估计量 解设n x x x ,,,21 是n X X X ,,,21 相应的样本值，则似然函数为)21()(12)(ln 2∏=--=ni x ii ex L μπμ=∏=----∑=n i x i n ni i ex 12)(ln 1212)()2(μπ令⇒=0ln μd L d ∑==n i i x n 1ln 1ˆμμπμμ⎰∑∞+∞---====dy ey x E n E y ni i 2)(122ln 1)ˆ(为无偏估计量三、设n X X X ,,,21 是总体X 的样本,X 的概率密度为 其中0>θ.求θ和μ的最大似然估计量。