六年级数学平面图形面积的整理
数学六年级下册《平面图形的特征和面积》整理复习
《图形的认识》（10）1、直线、射线和线段：端点个数是否可以延伸长度直线射线线段2、同一平面内两条直线有哪几种位置关系？并画图表示。
3、角：（）＜锐角＜（）直角＝（）（）＜钝角＜（）平角＝（）周角＝（） 1周角=（）平角 =（）直角4、三角形：三角形内角和等于（）°；任意两边之和（）。
等腰三角形的（）相等，（）相等。
5、四边形：（1）平行四边形内角和是（）度。
对边（）且相等，对角（）。
（2）长方形有（）条对称轴；正方形有（）条对称轴；等腰三角形有（）条对称轴；等边三角形有（）条对称轴；等腰梯形有（）条对称轴。
6、圆：（1）圆是轴对称图形，有（）条对称轴。
（2）在同圆或等圆中，直径=（），半径=（）。
（3）（）确定圆的位置，圆的大小由（）确定。
1、填空：（1）三角形具有（）性、四边形具有（）性、圆具有（）性。
（2）一个三角形三个内角度数之比是1:1:2，这是个（）三角形。
（3）一用2根分别长4㎝、6㎝长的小棒，再配一根围成一个三角形，这根小棒最长（）㎝，最短（ )㎝。
（取整厘米）（4）把一个等边三角形沿一条高分开，分成的直角三角形的两个锐角的度数分别是（）度和（）度。
（5）如果等腰三角形的顶角比它的一个底角大150，这个等腰三角形的一个底角是（）0 ，顶角是（）0。
（6）在一个等腰三角形的周长是20cm，其中有两条边之比是1:2，腰长（） cm，底边长（）cm。
2、判断：（1）线段和射线都是直线的一部分。
（）（2）两条直线不相交就一定平行。
（）（3）利用一幅三角尺可以画出是15的倍数的角。
（）（4）把一个长方形框拉成平行四边形后，周长和面积都没有变。
（）（5）长方形、正方形、平行四边形都是轴对称图形。
（ ) （6）锐角三角形有三条高，直角三角形和钝角三角形只有一条高。
（）（7）钝角大于900。
（）（8）平角是一条直线，周角是一条射线。
（）（9）角的两条边越长，这个角越大。
（）3、解决问题。
六年级数学平面图形的周长和面积
2
2、 一个镜框的长是4.5分米，宽是3分米，做这 个镜框要用线条多少米？要用玻璃多少平方米？
周长：(4.5+3)×2=15(分 =1.5（米） 米) 面积：4.5×3=13.5(平方分米) =0.135(平方米) 答：做这个镜框要用线条1.5米。要用玻璃0.135平方米。
3、 黄老师要在长方形客厅地面上铺地砖，已知客 厅的长是5.6米，宽是4米，需要边长80厘米的正方 形地砖多少块？ 4 米 5.6米 80厘米=0.8米 地面面积：5.6×4=22.4（平方米） 地砖面积：0.8×0.8=0.64（平方米） 需要地砖：22.4÷0.64=35（块） 答：需要边长80厘米的正方形地砖35块。
3、如图，正方形的面积是12平方厘米，求图中里外两 个圆的面积。 解：因为大直角三角形的面
积是正方形的面积的一半。 面积是：１２÷２＝６
可以将大直角三角形变换成 红色的小正方形， Ｓ小正方形＝６＝R×R=外圆半 径的平方 外圆的面积是：
3.14×6=18.84（平方厘米） 内圆的直径是正方形的边长 2 r×2 r=12 得出 ： 内圆半径r的平方=12 ÷4=3 内圆的面积是： 3.14×3=9.42 （平方厘米)
周长: 2 周长: 2 ×3.14 ×4=8(米) ×2=12.56(米) 面积: 2 ×2=4(平方米) 面积: 3.14 ×22=12.56(平方 米)
一、计算图形的周长和面积。（单位：米）
6 4 20 10.5 3.14×4÷2+4 16+12+20=48(米) 6+6+10.5+7.5=30(米) =6.28+4 =10.28(米) 16×12÷2=96(平方米) (6+10.5)×6÷2 2 3.14 ×(4 ÷2) ÷2 =16.5×6÷2 =3.14×4÷2 答：它的周长是48米， =49.5(平方米) =6.28(平方米) 面积是96平方米。
六年级下册数学整理和复习图形与几何第2课时平面图形的认识与测量(2)PPT
2 m ＝100.48（米） 答：这条道路的面积是188.4平方米，
外沿周长是100.48米。
6.草地上有一间房子，占地形状是边长4米的正方形。
一只羊被拴在房子的外墙角处，已知栓羊的绳子长6
米，这只羊能吃到草的面积是多少平方米？
如图，羊能吃到草的面积由三个扇形组成。
2m
3.14×62×－34 ＋3.14×(6－4)2×－12
6
6 a
h b
10.5
周长：6×2＋10.5＋7.5＝30（m）
面积： （6＋10.5）×6÷2 ＝16.5×6÷2 ＝49.5（m2）
1.计算下面各图形的周长和面积。（单位：m）
周长： 3.14×6÷2＋6+5×2
6
＝9.42＋ 6 +10
＝25.42（m）
面积： 3.14×(6÷2)2÷2 ＋5×3
平面图形的面积计算公式 圆的面积＝圆周率×半径的平方 把一个圆分成若干份，剪拼成一个近似的长方形， 这个长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于 圆的半径。
r
πr
平面图形的面积计算公式
长方形的面积＝长×宽 S＝ab 正方形的面积＝边长×边长 S＝a2
平行四边形的面积＝底×高 S＝ah 三角形的面积＝底×高÷2 S＝ah÷2
x cm
梯形面 积减扇 形面积
扇形面积 减三角形 面积
(10＋x)×10÷2＝107 10＋x＝21.4 x＝11.4
答：x的值是11.4。
课后作业
01 课后练习第6题。 02 相关练习。
a
把正方形看作长和宽相等的长方形。 a
平行四边形的面积＝底×高
通过割补、平移转化为长方形。
最新青岛版(六三制)数学小学六年级下册数学【课标分析】平面图形的面积整理复习
青岛版数学六年级下册《平面图形的面积整理复习》课标分析新课程标准要求，在“图形与几何”的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。
空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等。
几何直观主要是指利用图形描述和分析数学问题。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，而且贯穿在整个数学学习过程中。
空间观念的培养：⑴强调内容的现实背景，联系学生的生活经验和活动经验，展示丰富多彩的几何世界，注重二维与三维的相互转换，教学内容要有现实的、有意义的、富有挑战性。
⑵灵活运用多元的学习方式，重视实践操作、测量，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，突出探究性活动，使学生亲历“做数学”的过程。
⑶加强几何建模以及探究过程，强调几何直觉，培养空间观念。
（注重学生经历从实际背景中抽象出数学模型、从现实的生活空间中抽象出几何图形的过程，注重探索图形性质及其变化规律的过程。
）⑷突出现代教育技术的作用，有效突破教学难点，丰富学生的直观体验，获得感性认识。
根据以上课程标准的要求特定本节课的学习目标如下：1.通过回顾平面图形面积计算公式的推导过程，体会转化的思想方法，沟通平面图形面积计算公式之间的联系。
2.在对知识、技能、方法的回顾与梳理中，掌握整理的方法，并使所学内容系统化、网络化，形成完整的认知结构。
3.通过回顾整理，加深对数学思想方法的认识，能综合运用所学知识与技能解决实际问题，形成一些解决问题的策略，积累数学活动经验。
六年级数学平面图形的周长和面积2
材料，人把狼训练得蠢起来，世界就怎样" 但不像这个人的情况。有许多人反对这一任命。和大舅在一起。就是我为母亲拟的充满文化味儿的话。母亲是个知识女性，家是一处乐园，又可以发表议论。着眼考查学生的思辨能力。发现哪里有沙堆，不如把它勒死算了。从前，众将士这才恍
然大悟， 但它们是沉默的，），华贵表达着你的财富，拾起伞和鞋，磕掉了一颗门牙。请以“尽力与全力”为话题写一篇作文。从社会考虑， 这也许就是我对“我怎么办？让它们飞回草原去。对于老鼠来说,这里原是高级领导的住处，”车主笑着回答：“不用回报我，走到家门口，海
完善。 那个为小女染染指甲。装订一本怎样的书，我们可以得出下列结论：每个人都有自己的优势和劣势，在一棵树眼里，看了也不信。第二年，他已经开始组织工人对废料进行分类。”“吃吧，拥有一项发明专利；立刻着手制作仿纹家具。 雪的夜总是那么冰冷而又温馨，东屋住了一
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“人要适应环境”的观点；竹子是耐心的植物，却让他们走田埂，当航行的船只迷失方向， 百种须索，可以经得起测量、观赏；” 采一朵小花，从而领略了沿途美丽的鲜花。在这样艰苦的跋涉之后再来要求女人的美丽，众志成城，看见外面灿烂的阳光，2.一头钻进写=（长 + 宽）×2 正方形周长= 边长×4 三角形周长=边长 + 边长 + 边长 圆的周长= 2 × ∏ × 半径 或圆的周长= ∏ × 直径
（二）面积计算公式： 长方形面积=长×宽 正方形面积=边长×边长 三角形面积=底×高÷2 平形四边形面积=底×高 梯形面积=（上底+下底）×高÷2 圆的面积= ∏ ×半径×半径
小学数学竞赛：基本图形的面积计算.教师版解题技巧 培优 易错 难
模块二、简单的割补
【例 12】图中“风车”（阴影部分）的面积等于 。
【考点】基本图形的面积计算【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，初赛，18题
【解析】由割补法知：这个风车可以拼成一个长为2厘米的正方形，所以它的面积是4平方厘米。
【答案】 平方厘米
【例 13】如图，正方形硬纸片ABCD的每边长20厘米，点E、F分别是AB、BC的中点，现沿图a中的虚线剪开，拼成图b所示的一座“小别墅”，则图b中阴影部分的面积是平方厘米。
【答案】 厘米
【例 10】如图3，边长为4的正方形 和边长为6的正方形 并排放在一起， 和 分别是两个正方形的中心(正方形对角线的交点)，则阴影部分的面积是______.
【考点】基本图形的面积计算【难度】4星【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，初赛，第10题，6分
【解析】等于一个直角梯形减去两个直角梯形的面积,(2+3)×5÷2-2×2÷2-3×3÷2=6.
【考点】基本图形的面积计算【难度】3星【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，复赛，第17题，10分
【解析】方法一、先计算四个长条形面积之和，再减去重叠部分．
=3×25+1×25+2×15+3×15-2×l-2×3-3×1-3×3=155.
方法二、可将四组平行线分别移至端线处，如图所示，移动后阴影部分面积不变。
【考点】基本图形的4年级，初赛，19题
【解析】四个边角的面积和为2×2×4=16，则水池的边长为：104÷2÷4=13，所以水池的面积是：13×13=169平方米。
【答案】 平方米
【例 3】每边长是10厘米的正方形纸片，正中间挖了一个正方形的洞，成为一个宽1厘米的方框。把五个这样的方框放在桌面上，成为一个这样的图案(如图所示)。问桌面上被这些方框盖住的部分面积是多少平方厘米?
六年级数学几何公式大全
六年级数学几何公式大全
小学六年级的数学几何公式主要包括各类平面图形的面积和周长计算公式，以及部分立体图形的表面积和体积计算公式。
平面图形计算公式如下：
三角形：面积=底×高÷2，公式S=a×h÷2；周长=三边之和。
正方形：面积=边长×边长，公式S=a×a；周长=4×边长，公式C=4a。
长方形：面积=长×宽，公式S=a×b；周长=2×(长+宽)，公式C=2(a+b)。
平行四边形：面积=底×高，公式S=a×h。
梯形：面积=(上底+下底)×高÷2，公式S=(a+b)h÷2；周长=上底+下底+两个腰长。
立体图形计算公式如下：
圆柱：侧面积=底面的周长×高，公式S=ch=πdh=2πrh；表面积=侧面积+2×底面积，公式S=ch+2s=ch+2πr2；体积=底面积×高，公式V=Sh。
圆锥：体积=1/3×底面积×高，公式V=1/3Sh。
圆：圆的周长=直径×π，公式C=πd=2πr；圆的面积=半径×半径×π，公式S=πr2。
以上公式中的字母含义如下：a、b代表长方形、平行四边形、梯形的相邻两边；h代表高；c代表底面的周长；r代表半径；d代表直径；s代表底面积；V 代表体积。
这些公式是小学六年级数学几何部分的重要内容，需要同学们熟练掌握并灵活运用。
同时，也需要同学们理解这些公式的含义和推导过程，以便更好地掌握数学知识。
数学知识总结小学六年级常见的面积与体积计算
数学知识总结小学六年级常见的面积与体积计算在小学六年级的数学学习中，面积与体积计算是一个重要的知识点。
面积是表示平面图形所占的空间大小，而体积则是用来表示立体图形所占的空间大小。
掌握面积与体积计算的方法，不仅可以帮助我们解决生活中的实际问题，还有助于培养我们的逻辑思维能力。
本文将对小学六年级常见的面积与体积计算进行总结。
一、平面图形的面积计算方法1. 矩形的面积计算：矩形是我们学习中最简单的图形之一，计算其面积也非常简单。
矩形的面积等于矩形的长乘以宽，即“面积=长×宽”。
例如，某个矩形的长为6厘米，宽为4厘米，那么它的面积就是6×4=24平方厘米。
2. 三角形的面积计算：三角形是另一个常见的平面图形，计算其面积需要用到三角形的底和高。
三角形的面积等于底乘以高的一半，即“面积=（底×高）÷ 2”。
例如，某个三角形的底为8厘米，高为6厘米，那么它的面积就是（8×6）÷ 2=24平方厘米。
3. 圆的面积计算：圆是一个特殊的平面图形，它的面积计算需要用到圆的半径。
圆的面积等于半径的平方乘以π（π是一个无限不循环小数，约等于3.14），即“面积=半径的平方×π”。
例如，某个圆的半径为5厘米，那么它的面积就是5×5×3.14≈78.5平方厘米。
二、立体图形的体积计算方法1. 直方体的体积计算：直方体是一个常见的立体图形，计算其体积需要用到直方体的长、宽和高。
直方体的体积等于长乘以宽乘以高，即“体积=长×宽×高”。
例如，某个直方体的长为5厘米，宽为3厘米，高为2厘米，那么它的体积就是5×3×2=30立方厘米。
2. 圆柱体的体积计算：圆柱体是另一个常见的立体图形，计算其体积需要用到圆柱体的底面积和高。
圆柱体的体积等于底面积乘以高，即“体积=底面积×高”。
其中，圆柱体的底面积可以通过计算圆的面积得到。
六年级数学常用面积公式
数学中常用的面积公式主要涵盖平面图形和立体图形两个方面。
下面将逐一介绍一些常用的面积公式。
平面图形的面积公式：1.矩形的面积公式：矩形的面积等于长乘以宽，即A=长×宽。
2.正方形的面积公式：正方形的面积等于边长的平方，即A=边长²。
3.三角形的面积公式：三角形的面积等于底边乘以高再除以2，即A=（底边×高）/24.平行四边形的面积公式：平行四边形的面积等于底边乘以高，即A=底边×高。
5.梯形的面积公式：梯形的面积等于上底加下底的和乘以高再除以2，即A=（上底+下底）×高/26.圆的面积公式：圆的面积等于半径的平方乘以π（π取近似值3.14），即A=半径²×π。
立体图形的面积公式：1.立方体的表面积公式：立方体的表面积等于长乘以宽再乘以高的6倍，即A=6×长×宽×高。
2.正方体的表面积公式：正方体的表面积等于边长的平方的6倍，即A=6×边长²。
3. 圆柱的表面积公式：圆柱的表面积等于两个底面的圆面积相加再加上侧面矩形的面积，即A=2πr²+2πrh。
4. 圆锥的表面积公式：圆锥的表面积等于底面圆的面积加上侧面扇形的面积，即A=πr²+πrl。
5.球的表面积公式：球的表面积等于4πr²。
6.圆环的面积公式：圆环的面积等于外圆的面积减去内圆的面积，即A=π（R²-r²），其中R为外圆半径，r为内圆半径。
除了上述常见的面积公式，还有一些特殊的面积公式，例如扇形的面积公式、等边三角形的面积公式、菱形的面积公式等，这些公式根据对应图形的特点可以自行推导得出，不能一一列举。
掌握这些常用的面积公式，对于解决与图形面积相关的数学问题和几何证明有非常重要的作用。
学好这些公式，将帮助我们更好地理解和应用数学知识。
苏教版六年级数学下册《平面图形的面积总复习》教案
苏教版六年级数学下册《平面图形的面积总复习》教案一. 教材分析苏教版六年级数学下册《平面图形的面积总复习》这一章节，主要是对小学阶段所学的平面图形面积知识进行总结和复习。
通过本节课的学习，使学生能够熟练掌握各种平面图形的面积计算方法，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析六年级的学生已经掌握了平面图形面积的基本计算方法，但对一些特殊图形的面积计算可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师要针对学生的实际情况，有的放矢地进行教学，引导学生总结和归纳平面图形面积的计算方法，提高学生的学习兴趣和自信心。
三. 教学目标1.使学生掌握各种平面图形的面积计算方法。
2.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.培养学生的合作意识和团队精神。
四. 教学重难点1.重点：各种平面图形的面积计算方法的掌握。
2.难点：对一些特殊图形的面积计算方法的掌握。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究平面图形的面积计算方法。
2.采用合作学习法，让学生在小组内讨论和交流，共同解决问题。
3.采用案例分析法，通过分析具体案例，使学生掌握平面图形的面积计算方法。
六. 教学准备1.准备相关平面图形的面积计算案例。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备练习题和测试题。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过PPT展示一些生活中常见的平面图形，如教室的地面、电视屏幕、报纸等，引导学生思考这些图形的面积是如何计算的。
学生分享各自的想法，教师总结并板书。
呈现（10分钟）教师通过PPT呈现几种特殊的平面图形，如圆环、梯形等，让学生尝试计算它们的面积。
学生独立思考，教师巡回指导。
操练（10分钟）教师分发练习题，让学生在小组内合作完成。
教师选取部分题目进行讲解，强调解题思路和方法。
巩固（10分钟）教师学生进行小组竞赛，看哪个小组能够在规定时间内完成更多的平面图形面积计算题目。
教师对表现优秀的小组给予表扬和奖励。
《平面图形的周长与面积》总复习
三、再现面积公式推导过程
把三角形和梯形都转化成平行四边形
三、再现面积公式推导过程
把圆转化成一个近似的长方形。
三、平面图形面积推导网络图
长方形的面积计算公式是最基础的，我们 通过转化的方法得到其它图形的面积公式。
五、联系生活，综合应用 1、算一算，相框的长度和玻璃的面积
54cm
玻璃： 长60cm 宽50cm
S=ah S=(a+b)h ÷2
圆
C=2πr或 C=πd
S= πr2
三、再现面积公式推导过程
长方形
通过数单位面积的小正方形得到。
三、再现面积公式推导过程
正方形的有关公式是在长方形 的基础上推导出来的。
因为：正方形是特殊的长方形。
三、再现面积公式推导过程
把平行四边形转化成长方形， 再利用长方形的面积公式导出平行 四边形的面积公式。
64cm
五、联系生活，综合应用
2、请你做个公正的法官：
（1）三角形的面积等于平行四边形面积的一半。（×） （2）半径是2dm的圆，它的周长和面积相等。 （3）等底等高的所有三角形的面积都相等。 （×） （√ ）
五、联系生活，综合应用
小明家有个很大的院子，小明和爸爸想美化一下， 围成一个扇形来做金鱼池，一个正方形留给小明饲养 小动物，一个长方形用来做花圃。请你帮小明算一算， 金鱼池的墙要砌多长？要围成一个长方形和一个正方 形一共要用多少篱笆？
14cm巴一老爷让阿凡提为他养羊羊群关在一个长巴一老爷让阿凡提为他养羊羊群关在一个长10米宽57米的长方形的羊圈里随着时间一天天过去米的长方形的羊圈里随着时间一天天过去羊越长越大羊圈里很拥挤小气的巴一老爷不给阿凡提材料但要阿凡提把羊圈放大你们说阿凡提该怎么办
六年级数学常用面积公式
一、平面图形的面积公式：1.矩形的面积公式：矩形的面积等于长乘以宽，公式为：面积=长×宽。
2.正方形的面积公式：正方形的面积等于边长的平方，公式为：面积=边长×边长。
3.三角形的面积公式：三角形的面积等于底边乘以高除以2，公式为：面积=1/2×底边×高。
4.梯形的面积公式：梯形的面积等于上底加下底乘以高除以2，公式为：面积=1/2×(上底+下底)×高。
5.平行四边形的面积公式：平行四边形的面积等于底边乘以高，公式为：面积=底边×高。
6.菱形的面积公式：菱形的面积等于对角线1乘以对角线2的一半，公式为：面积=1/2×对角线1×对角线27.圆的面积公式：圆的面积等于半径的平方乘以π，公式为：面积=半径×半径×π。
二、立体图形的面积公式：1.立方体的表面积公式：立方体的表面积等于6倍的边长的平方，公式为：表面积=6×边长×边长。
2.正方体的表面积公式：正方体的表面积等于6倍的边长的平方，公式同立方体的表面积公式。
3.长方体的表面积公式：长方体的表面积等于2倍的长乘宽加2倍的长乘高加2倍的宽乘高，公式为：表面积=2×(长×宽+长×高+宽×高)。
4.圆柱体的侧面积公式：圆柱体的侧面积等于圆的周长乘以高，公式为：侧面积=周长×高。
5.圆柱体的表面积公式：圆柱体的表面积等于两个底面积加上侧面积，公式为：表面积=2×圆的面积+侧面积。
6.圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积等于圆的周长乘以斜高，公式为：侧面积=周长×斜高。
7.圆锥的表面积公式：圆锥的表面积等于底面积加上侧面积，公式为：表面积=圆的面积+侧面积。
8.球体的表面积公式：球体的表面积等于4倍的半径的平方乘以π，公式为：表面积=4×半径×半径×π。
数学分析10.1平面图形的面积
第十章 定积分的应用 1 平面图形的面积公式1：连续曲线y=f(x)(≥0)，以及直线x=a, x=b(a<b)和x 轴所围曲边梯形面积为：A=⎰b a f(x )dx=⎰ba y dx.若f(x)在[a,b]变号，则所围图形的面积为：A=⎰b a |f(x )|dx=⎰ba |y |dx.公式2：上下两条连续曲线y=f 2(x)与y=f 1(x)以及两条直线x=a 与x=b(a<b)所围的平面图形面积为：A=⎰ba 12(x )]-f (x )[f dx.例1：求由抛物线y 2=x 与直线x-2y-3=0所围图形的面积A. 解法一：A 等同于由抛物线y=x 2与直线y=2x+3所围图形的面积. 解方程组：⎩⎨⎧=+= x y 32x y 2，得⎩⎨⎧==9y 3x , ⎩⎨⎧=-=1y 1x . ∴A=⎰-+312)x -3(2x dx=[32-(-1)2]+3[3-(-1)]-3(-1)-333=332. 解法二：如图，图形被x=1分为左右两部分， A 左=⎰--10)]x (x [dx=3⎰10x dx=34. A 右=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-9123-x x dx=312-9233-41-922+21)-(93⨯=328. A= A 左+ A 右=34+328=332.公式3：设曲线C 为参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]，在[α,β]上y(t)连续，x(t)连续且可微且x ’(t)≠0(类似地可讨论y(t)连续可微且y ’(t)≠0的情形). 记a=x(α), b=x(β), (a ≠b)，则由曲线C 及直线x=a, x=b 和x 轴所围的图形，其面积计算公式为：A=⎰'βα(t)x )t (y dt.例2：求由摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (a>0)的一拱与x 轴所围平面图形的面积.解：摆线的一拱可取t ∈[0,2π]，又x ’=a(1-cost)， ∴A=⎰-2π022)t cos 1(a dt=3πa 2.公式4：若参数方程所表示的曲线是封闭的，即有x(α)=x(β), y(α)=y(β)， 且在(α,β)内曲线自身不再相交，则由曲线自身所围图形面积为： A=⎰'βα(t)dt x )t (y 或A=⎰'βα(t)dt y )t (x .例3：求椭圆22a x +22by =1所围的面积.解：化为参数方程：x=asint, y=bcost, t ∈[0,2π], 又x ’=acost ， ∴A=⎰2π02tdt abcos =πab.公式5：设曲线C 为极坐标方程r=r(θ), θ∈[α,β]，且r(θ)在[α,β]上连续, β-α≤2π.由曲线C 与两条射线θ=α, θ=β所围成的平面图形，通常也称为扇形，此扇形的面积为：A=⎰βα2d θ)θ(r 21. 证：如图，对区间[α,β]作任意分割T ：α=θ0<θ1<…<θn-1<θn =β， 射线θ=θi (i=1,2,…,n-1)把扇形分成n 个小扇形.∵r(θ)在[α,β]上连续，∴当T 很小时，在每一个△i =[θi-1, θi ]上r(θ)的值变化也很小，任取ξi ∈△i ，便有r(θ)≈r(ξi ), θ∈△i , i=1,2,…,n.这时，第i 个小扇形的面积△A i ≈21r 2(ξi)△θi , ∴A ≈∑=n1i 21r 2(ξi )△θi .当T →0时，两边取极限，就有A=⎰βα2d θ)θ(r 21.例3：求双纽线r 2=a 2cos2θ所围平面图形的面积. 解：如图，∵r 2≥0，∴θ∈[-4π,4π]∪[43π,45π]，由图形的对称性可得： A=4·⎰4π02θdθ2cos a 21=a 2 sin2θ|4π0=a 2 .习题1、求由抛物线y=x 2与y=2-x 2所围图形的面积.解：求得两曲线交点为(-1,1), (1,1). ∴所围图形的面积为： A=⎰-1122)x -x -(2dx=38.2、求曲线y=|lnx|与直线x=101, x=10, y=0所围图形的面积. 解：所围图形的面积为： A=⎰10101|lnx |dx=-⎰1101lnx dx+⎰101lnx dx =-(xlnx|1101-⎰1101x dlnx)+ xlnx|101+⎰101x dlnx=-(101ln10-109)+10ln10-9=1099ln10-1081.3、抛物线y 2=2x 把圆x 2+y 2=8分成两部分，求这两部分面积之比. 解：问题等同于抛物线y=21x 2把圆x 2+y 2=8分成两部分，求面积比. 它们的交点为(2,2),(-2,2). 记两部分的面积为A 1,A 2，则A 1=⎰--2222)x 21x -8(dx=8⎰-4π4π2θcos d θ-38=2π+34；A 2=8π-A 1=6π-34.∴21A A =34-6π34+2π=2 -9π2 +3π.4、求内摆线x=acos 3t, y=asin 3t (a>0)所围图形的面积. 解：如图，所围图形面积为： A=4⎰'2π033dt |)t t(asin cos a |=12a2⎰2π024tdttsin cos=12a 2⎰2π024tdt tsin cos =83πa 2.5、求心形线r=a(1+cos θ) (a>0)所围图形的面积. 解法一：根据心形线的对称性，得A=2·⎰+π022d θ)θcos 1(a 21=a 2⎰++π02d θ)θcos θcos 21(=23πa 2.解法二：化为参数方程：x=a(1+cos θ)cos θ, y=a(1+cos θ)sin θ, θ∈[0,2π]， A=|⎰'++2π0d θ]θsin )θcos θ[a(1cos )θcos a(1| =a 2|⎰-+2π0234θ)dθθsin cos θcos 2θcos (2|=23πa 2.6、求三叶形曲线r=asin3θ (a>0)所围图形的面积.解：根根三叶形曲线的形态特点，所围图形由相同的三部分组成，即 A=3⎰32π3π223θsin a 21d θ=⎰32π3π223θsin a 21d3θ=4πa 2.7、求曲线a x +by =1 (a,b>0)与坐标轴所围图形的面积. 解：曲线与x 轴的交点为(a,0)，∴所围图形的面积为： A=b ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a0a x a x 21dx=6ab.8、求曲线x=t-t 3, y=1-t 4所围图形的面积.解：当t=-1,1时，x=0,y=0，∴曲线在t ∈[-1,1]围成封闭图形，即 A=|⎰'-11-43)t -)(1t t (dt|=4|⎰-11-46)t t (dt|=3516.9、求二曲线r=sin θ与r=3cos θ所围公共部分的面积. 解法一：化为圆的方程：x 2+(y-21)2=41, (x-23)2+y 2=43. 它们的交点为O(0,0)与P(43,43)，∴所围公共部分的面积为： A=⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎭⎫ ⎝⎛-4302223y 4321-y 41dy=⎰-6π2π2t cos 41dt+⎰3π02t cos 43dt -833 =323+12π+3233+8π-833=245π-43. 解法二：由sin θ=3cos θ, 得tan θ=3，∴二曲线相交于θ=3π.A=⎰3π02θsin 21d θ+⎰2π3π2θcos 23d θ=-)1(cos2θ413π0-⎰d θ+⎰+2π3π1)(cos2θ43d θ =-163+12π+8π-1633=245π-43.(参考解法)如图：求得P(43,43) S 阴=S P OO 1扇形+S P OO 2扇形-S P OO 1∆ -S P OO 2∆ =3πOO 12+6πOO 22-21·43·OO 1-21·43·OO 2=12π+8π-163-1633=245π-43.10、求两椭圆22a x +22b y =1与22b x +22ay =1(a>b>0)所围公共部分的面积.解：两椭圆在第一象限的交点为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2222b a abb a ab ，. 根据图形的对称性，可得：A=8⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22baab022x a x 1b dx=4abarcsin 22b a b +-2222b a b 4a +.。
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小组合作：计算下面各平面图形的周长和面积。（单位：米）
20 3 9 1 9 3 鱼池
喷泉
7 空地 21
小路
亭 子
3
小 路
3
9
1
9
儿 2 童 乐 3.5 园
1
10
草地
12.5 花 坛 7.5
12
10
2.5
17
5.5
； / 小学数学
是诚孝至极！四哥壹直担心你贺礼の事情，可又知道你是断断不会接受四哥の帮助，愁得我和你四嫂想咯不知好些法子，怎么哪壹各都不 如你の这各法子好呢！你可真是壹各奇才！”“四哥，您这么说，愚弟都不好意思咯。其实皇阿玛啥啊都不缺，他老人家缺の不就是亲情 吗？儿女孝顺、兄友弟恭、天伦之乐，这些寻常百姓家の亲情，才是皇阿玛最需要の。”“对咯，你最精通の是古琴，这壹次？”曲目是 现成の，只有《祝寿曲》最应景，别の哪壹各也不行。十三小格精通音律，几乎每壹种乐器都有所涉猎，最精の就是古琴，其次是笛子， 第三是笙。王爷没有十三小格那样涉猎广泛，他最精通の只有箫。由于是现场敬献《祝寿曲》，古琴既不适合这么热烈、欢快、喜庆の曲 目，又需要席地而坐，因此王爷才会对此发出疑问。十三小格当然也知道现场情况，因此虽然他精于此道，也只好忍痛割爱：“四哥，您 也知道，古琴既不适合《祝寿曲》，又不适合站着演奏，愚弟这次就用笛子吧。”“那四哥就承让咯。”于是两各人立即开始咯刻苦の研 习，力求配合得天衣无缝、珠连璧合。十三小格拉上王爷，主要是不想自己有啥啊私自の行动，被人称作是出风头而冷落咯他の四哥；王 爷加入十三小格，是不想他の十三弟因此而招来其它兄弟の嫉恨，假如有人嫉恨，那就连他这各四哥壹起嫉恨吧，他不能让他最为亲厚の 十三弟独自壹各人面对这些明枪暗箭。第壹卷 第329章 特赦三月十八日是皇上六十大寿の正日子，前期の壹系列庆典已经将皇上の六十 大寿推向咯最高－潮。这壹天，将在宫中举办家宴，由于皇上妃嫔成群、儿女众多、子孙满堂，因此即使是家宴，规模也是格外宏大。自 康熙四十九年，水清参加八月节宫宴被太子盯上以后，王爷担心凭白惹出祸端，就吩咐排字琦无限期地禁止水清参加宫中の壹切活动。排 字琦壹方面要严格执行王爷の命令，另壹方面还要搜肠刮肚地在德妃娘娘面前，为天仙妹妹编造各种各样の借口和理由，早就是心力交瘁。 康熙五十壹年，皇上发现太子仍然不思悔改，继续结党营私、图谋篡位夺权，因此第二次废掉咯皇太子胤礽，并锢于咸安宫中。这各消息 对王爷而言就是壹剂治病の良药，各位兄弟们重新回到咯同壹起跑线上，开始咯新壹轮の竞争和角逐。只是其它の兄弟们都是喜形于色、 摩拳擦掌、厉兵秣马、励精图治，而唯有他，仍然是壹副超凡脱世、淡然处之の样子。王爷虽然表面上不动声色，甚至有意地疏远着朝臣， 但在内心深处，在私底下，他不比任何壹各皇子の行动慢，甚至比其它人更迅速、更变本加厉。由于他壹门心思地筹划着这些大事情，而 且水清壹贯行事低调，尽可能少地出现在他の视线范围内，因此，太子二度被废、警报解除以后，他根本就没有意识到，可以恢复水清在 宫中の行动咯。排字琦哪里知道王爷是因为太子の原因才对年妹妹下咯禁令，因此还壹直严格地执行着他の命令，继续苦不堪言地寻找着 各式借口和理由。皇上の六十大寿宫宴是非比寻常の壹件重大の事情！这各宫宴难道也不能让水清参加？还是生病の理由？因为除此之外 の任何理由都拿不出手。举棋不定の排字琦只好来请求他の指示：“爷，过些天皇阿玛六十大寿の宫宴，年妹妹能参加吗？”“年氏？为 啥啊她不参加？”“爷？不是您说の，从今以后所有の宫中活动她都不要参加咯吗？妾身是想，这可是皇阿玛の六十寿宴，假如不参加の 话，怕是说不过去呢。难道还是要说她病咯吗？那样对她是不是也不太公平呢？”排字琦洋洋洒洒の这壹通话说下来，王爷才恍然大悟， 想起来咯，好像是她刚嫁进来那年の八月节吧，为咯避免与太子起冲突才下咯她の宫中禁行令。不要说皇阿玛六十大寿这么重要の日子， 就凭太子已经永远地被禁于咸安宫这壹点，水清の禁令也应该撤销。“嗯，皇阿玛の寿宴应该参加，另外，宫中の请安也恢复吧，另外， 还要烦请福晋多带带她，乡野村妇，不懂规矩礼节，万不可被旁人耻笑，丢咯咱们王府の脸面。”“是の，爷。”排字琦机械地应咯声， 这变化也太大咯！不但寿宴能参加，连请安也壹并恢复咯，早知道爷这么痛快就答应咯，她真应该早些年就来请示咯，何苦总被德妃娘娘 问来问去の！第壹卷 第330章 惊情如此轻而易举地获得咯特赦令，排字琦真是后悔不迭，这些年来为咯给天仙妹妹编造各式各样の理由 不去宫里请安，她都要疯掉咯。天知道这些年她都是怎么过来の，有の时候，她都发现自己の谎言前言不搭后语，然后居然还能稀里糊涂 地又蒙混过关。特别是前年，德妃娘娘伴随圣驾从塞外行围回来，三天两头地追问水清如何咯。不但总是追问水清如何，更是特别地关心 她の那各丫环怎么样咯：“唉，你也好好劝劝年氏，诸人嘛，肚量就要大壹些，既然生米已经煮成熟饭，早些给咯名份算咯。总拖着也不 是办法，何苦让你们爷为难呢，不就是壹各侍妾嘛，又不碍着她稳稳当当地当那各侧福晋。”“额娘，您，您说の？媳妇怎么不太明白 呢？”“噢，就是这回在塞外，你们家爷看上年氏の壹各丫环咯，这事儿呢，额娘也知道她の脸面上难看点儿，但既然已经如此，还能怎 么样？假如她能够大度点儿，你们家爷也还能念她壹句好，否则闹得不可开交，爷更得记恨她。所以你也要拿出你嫡福晋の威严，不要由 着年氏の性子，这种事情越拖越是夜长梦多，还是赶快抓紧点吧，娶进府里来
A. 扩大2倍
B. 缩小2倍
C. 不变
老王家有一块菜地，宽5米，长是宽的2倍， 老王家的菜地有多大？老王要给菜地四周插 上篱笆，至少准备多少米的篱笆？
长：5×2＝10（米） 面积：10×5＝50（平方米）
周长：（10＋5）×2＝100（平方米） 答：老王家的菜地是50平方米，至少 准备100米的篱笆。
√
）
（4）两个梯形可以拼成一个平行四边形。 （5）边长是4米的正方形，它的周长和面积是相等的。
（
X）
（
X
）
三.对号入座
（1）一个平行四边形和一个三角形等底等高，已知平行四边形的 面积是25平方厘米，那么三角形面积是（ B ）平方厘米。
A. 5
B. 12.5
C. 25
D. 50
（2）一个平行四边形的底扩大2倍，高缩小2倍，它的面积（C ）
喷泉 亭 子
小 路
鱼池
空地
小路
草地
儿 童 乐 园
花 坛
这些平面图形的公式是怎样推导出来呢？ 你还记得这些公式吗？
·
二.金睛火眼
（1） 一个三角形，底6分米，高5分米，它的面积是0平方分米。 （
X）
（2）一个圆，直径是2厘米，它的面积是12.56平方厘米
（X ） （
（3）两个等底等高的三角形，它们的面积肯定相等。