子空间的基本内容

线性子空间的研究

数学与应用数学专业学生：罗柏平

指导老师：周绍杰

摘要:线性子空间理论是线性代数的核心内容之一，在数学及其它领域中有着广泛的应用.本文讨论了线性子空间及其交、和、直和的定义，并阐述了线性子空间、子空间直和的几个等价性定义，并做了一定的的推广；在此基础上，给出了求两个子空间交的基的一般方法.且对其作了进一步讨论，得到了一些有用的结果.

关键词：线性空间，线性子空间，子空间的交，维数

Abstract: Linear space and subspaces are one of linear algebra，and they have been applied to mathematics or other fields extensively.This paper discussed the linear subspace and pay, and and, and subspace straight.And we discussed the linear subspace, subspace straight and few equivalence definition，and did some promotion; Based upon these, draw subspace of mixed operation is for and included relation and its two subspaces, and further discussion was gived and several important conclusions were given.

Keyword: linear space; linear subspace ; intersection of subspaces; dimensions

0引言

线性子空间理论是高等代数中的重要内容，线性子空间是线性空间的子集，线性子空间中的元素满足对原线性空间的加法与数量乘法封闭.要懂得利用定义及其线性子空间的相关定理来判定线性子空间.

线性子空间包括线性子空间的定义，子空间的交与和，直和等等. 它把具体、直观的平面与集合空间推广到抽象的线性空间.线性子空间是线性空间的子集，线性子空间中的元素满足对原线性空间的加法与数量乘法封闭.线性子空间的应用领域越来越广，在数学、物理、通信、化学、甚至医学等各方面有广泛应用.线性空间的概念是n维向量空间概念的抽象和提高，子空间的理论不仅是高等代数的核心，而且广泛渗透到各自然科学、工程技术、经济管理科学中.因而线性子空间在一定意义上值得广泛推广.为了

对线性子空问作进一步的研究，先讨论有关线性子空间的一些基本问题，对线性空间有关的概念和部分结论作一回顾，然后再在应用中对线性子空间做更多的探讨.

1子空间的基本内容

1.1基本概念

定义1(子空间) 数域P 上线性空间V 的一个非空子集合W 称为V 的一个线性子空间或简称子空间，如果W 对于V 的两种运算加法和数乘也构成线性空间.

定义2(生成子空间) 设12,,,r V ααα∈…，则子空间

1122{+,1,2,,}r r i W k k k k P i r ααα=++∈=……

即这组向量所有的线性组合构成的子空间,称为由12,,,r ααα…生成的子空间，记作

12(,,,)r L ααα…. 12,,,r ααα…称为它的一组生成元.

定义3(和与交、直和)

i 设1V 、2V 是线性空间V 的两个子空间，满足121122{}V V αααα+∈∈，的称为1V 与

2V 的和，记作1V +2V ;满足{}12V V ααα∈∈且的称为1V 与2V 的交，记作12V V I .

ii 若12,V V 是线性空间V 的两个子空间，如果12V V +中每一个向量α的分解式

121122(,)V V ααααα=+∈∈是唯一的，则12V V +就称为直和.记为12V V ⊕.

iii 线性子空间的直和可以推广到多个子空间的情形.设12,,,s V V V L 是线性空间V 的子间，如果和12s V V V +++L 中每个向量α的分解式12s αααα=+++L ,

,1,2,,i i V i s α∈=L 是唯一的，则该和称为直和，记为.21V V V ⊕⊕⊕Λ

1.2基本结论

命题1 (子空间的判别) 线性空间V 的一个非空子集W 是V 的子空间的充分必要条件是，W 对于V 中规定的加法和数乘运算封闭.

命题2(维数公式)如果12,V V 是有限维线性空间V 的两个子空间，那么

dim （1V ）+dim （2V ）=dim （12V V +）+dim （12V V I ）.

命题3(直和的等价条件) 若12,,,s V V V L 是线性空间V 的子空间，则以下条件等价. （1）12s W V V V =⊕⊕⊕L 是直和； （2）零向量的表示法唯一； （3）{}0(1,2,,)i j j i

V V i s ≠==∑I

L ；

（4）dim （W ）= 1

dim()s i i V =∑.

命题4 设V 是P 上的有限维线性空间，

1,,s V ∂∂∈….则向量组的极大线性无关组就是生成子空间1(,,)n L ∂∂…的基，且秩(1,,s ∂∂…)=dim(L).向量组1,,s ∂∂…与1,,t ββ…等价的充要条件是1(,,)s L ∂∂…=1(,,)t L ββ….

2子空间的几个性质

性质1 设12,,,n ααα…是n 维线性空间V 的一组基，A 是一个n ×s 矩阵，且

1212(,,,)(,,,)s n A βββααα=……，则12(,,,)s L βββ…的维数等于A 的秩.

证明：要证明12(,,,)s L βββ…的维数等于A 的秩,只需证12,,,s βββ…的极大线性无关组所含向量的个数等于A 的秩.

设

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=ns nr n s r

a a a

a a a A ..............

.......

......11111，

且≤=r r A rank ,)(min(,)n s .不失一般性，可设A 的前r 列是极大线性无关组，由条件得

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n

ns s s s n nr r r r n

n a a a a a a a a a αααβαααβαααβ.....................................................................................................2211221112211111，