子空间的基本内容
近世代数高代选讲大纲
沈阳师范大学教学日历数学与应用数学专业课程名称:近世代数《近世代数》课程教学大纲第一部分大纲说明一、总则1.本课程的目的和要求:近世代数不仅在数学中占有及其重要的地位,而且在学科中也有广泛的应用,如理论物理、计算机学科等。
其研究的方法和观点,对其他学科产生了越来越大的影响。
群、环、域、模是本课程的基本内容,要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法,并对模的概念有所理解。
2.本课程的主要内容:本课程讲授代数中典型的代数系统:群、环、域。
要求学生能了解群的各种定义,循环群,n阶对称群,变换群,陪集,不变子群的定义及其性质,了解环、域、理想、唯一分解环的定义。
能够计算群的元素阶,环中可逆元,零因子、素元,掌握Lagrange定理,群、环同态和同构基本定理,掌握判别唯一分解环的方法。
3.教学重点与难点:重点:群、正规子群、环、理想、同态基本原理.难点:商群、商环。
4.本课程的知识范围及与相关课程的关系集合论初步与高等代数(线性代数)是学习本课程的准备知识。
本课程学习以后可以继续研读:群论、环论、模论、李群、李代数、计算机科学等。
二、课程说明1.课程基本情况(中文)近世代数(英文)Abstract Algebra专业必修课2.适用专业:数学与应用数学适用对象:本科3.首选教材:《近世代数基础》,张禾瑞,人民教育出版社,1978年修订本。
二选教材:《近世代数》,吴品三,高等教育出版社,1978年修订本。
4.考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生出勤情况,达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定,平时成绩占20%,期末考试成绩占80%。
三、教学安排《近世代数》课程的讲授为一个学期,共72学时,内容包括第1章到第4章的内容。
学时分配四、教学环节该课程是理论性较强的学科,由于教学时数所限,本课程的理论推证较少,因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握,熟悉各种公式的运用,从而达到消化、掌握所学知识的目的。
点集拓扑教学大纲
重点:拓扑空间
难点:基与子基、邻域基
第一节:度量空间与连续映射
内容1度量空间的俄概念、n维欧氏空间Rn、Hilbert空间H、离散度量空间;
内容2邻域、开集;
内容3度量空间映射的连续性。
第二节:拓扑空间与连续映射
内容1拓扑空间定义
内容2平庸空间、离散空间、有限补空间、可数补空间;
分
配
教学内容:
第一章:集合论初步4(学时数)
掌握内容:集合的基本运算,映射及其性质。
理解内容:关系;可数集、不可数集、基数。
了解内容:选择公理。
重点:集合的基本运算,映射及其性质;
难点:基数;选择公理。
第一节:集合及其运算
内容1集合、集合之间的关系;
内容2集合的运算
第二节:映射
内容1关系、等价关系;
第二节:(有限)积空间
内容1积拓扑、拓扑积空间的概念;
内容2积空间的基、子基
内容3开映射;积空间到分空间投射的性质、积拓扑的性质。
第三节:商空间
内容1商拓扑及其性质;
内容2商映射及其性质;
内容3商空间。
第四章:连通性6(学时数)
掌握内容:连通空间;
理解内容:局部连通、道路连通;
了解内容:连通空间、局部连通、道路连通的关系;
内容3分离性公理的有限可积性。
第六节:可度量化空间
内容1、Urysohn嵌入定理;
内容2、Hilbert空间的可分性;
。
内容3、可分的度量化空间的等价空间第七章:紧致性 Nhomakorabea(学时数)
掌握内容:紧致空间和紧致空间的等价条件;紧致性与分离性的关系;
了解内容:可数紧致、列紧、序列紧,局部紧致空间,仿紧致空间及其之间的关系
子空间的直和
设 V1 + V2 ,它有两个分解式
1 , 1 V1 , 2 , 2 V2. = 1 + 2 = 1 + 2 ,
于是
( 1 - 1 ) + ( 2 - 2 ) = 0 ,
其中1 - 1 V1 , 2 - 2 V2 . 由定理的条件,有
1 - 1 = 0 , 2 - 2 = 0 , 即 1 = 1 , 2 = 2 .
1) W Vi 是直和; 2) 零向量的表法唯一;
3) Vi
V
j i ;
4) 维( W ) = 维( Vi ) .
证明略.
本节内容已结束 !! 本节内容已结束 本节内容已结束 ! 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 !! ! 本节内容已结束 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 本节内容已结束 本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , , ,, 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 若想结束本堂课 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 若想结束本堂课 , , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 请单击返回按钮 . . 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 请单击返回按钮 . . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 请单击返回按钮 . . ,!, 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 . 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 .. 若想结束本堂课 , 请单击返回按钮 请单击返回按钮 .. 请单击返回按钮 请单击返回按钮.
线性代数各章节内容重点难点(大一第一学期)
线性代数各章节内容重点难点(大一第一
学期)
教学难点:向量空间、子空间、基、维数等概念的理解和应用,向量的内积和正交矩阵的性质的证明。
第一章:行列式
本章主要介绍了行列式的定义、性质和运算,以及克莱姆法则的应用。
学生需要了解行列式的基本概念和性质,掌握二、三、四阶行列式的计算方法,以及简单的n阶行列式的计算方法。
此外,学生还需要理解克莱姆法则的结论,并会应用于实际问题中。
本章教学难点在于行列式性质的证明。
第二章:矩阵
本章主要介绍了矩阵的概念和各种运算及其规律,包括单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵等的性质,矩阵的线性运算、乘法、转置等,以及逆矩阵、伴随矩阵、初等变换、矩阵等价、矩阵秩等概念和方法。
学生需要掌握这些概念和方法,并能够灵活运用于实际问题中。
本章教学难点在于矩阵可
逆的充分必要条件的证明,初等矩阵及其性质,以及分块矩阵及其运算。
第三章:向量
本章主要介绍了向量的概念和相关性质,包括向量组的线性相关与线性无关的概念和性质,向量组的极大线性无关组的概念,向量组的等价和向量组的秩的概念,向量组的秩与矩阵的秩之间的关系,以及向量空间、子空间、基、维数等概念和向量的内积、正交矩阵等性质。
学生需要掌握这些概念和方法,并能够灵活运用于实际问题中。
本章教学难点在于向量空间、子空间、基、维数等概念的理解和应用,以及向量的内积和正交矩阵的性质的证明。
《高等代数》考试大纲
《高等代数》考试大纲(适用专业:数学与应用数学、应用统计学)第一章基本概念一.主要内容1、集合子集集的相等集合的交与并及其运算律笛卡儿积2、映射映射满射单射双射映射的相等映射的合成可逆映射映射可逆的充要条件3、数学归纳法自然数的最小数原理第一数学归纳法第二数学归纳法4、整数的一些整除性质5、数环和数域二. 考试要求(一)掌握1、集合的交与并及其运算律2、映射满射单射双射映射的相等映射的合成3、数环和数域的定义及性质4、数学归纳法的运用(二)理解1、集合的交与并及其运算律2、可逆映射映射可逆的充要条件3、数环和数域的判别(三)了解自然数的最小数原理第一数学归纳法、第二数学归纳法的证明整数的一些整除性质第二章多项式一. 主要内容1、一元多项式的定义和运算2、多项式的整除性整除的基本性质带余除法定理3、多项式的最大公因式最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质4、多项式的唯一因式分解定理不可约多项式概念唯一因式分解定理典型分解式5、多项式的重因式多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、多项式函数与多项式的根多项式函数的概念余式定理综合除法多项式的根的概念根与一次因式的关系多项式根的个数7、复数域和实数域上多项式的因式分解(代数基本定理不证明)8、有理数域上多项式的可约性及有理根本原多项式的定义Gauss引理整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法有理数域上多顶式的有理根9、多元多项式多元多项式的概念字典排列法多元多项式的和与积的次数10、对称多项式对称多项式的概念初等对称多项式对称多项式基本定理二. 考试要求(一)掌握1、一元多项式的定义和运算2、整除的基本性质带余除法定理3、最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质4、唯一因式分解定理典型分解式5、多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、余式定理综合除法多项式的根的概念7、复数域和实数域上多项式的因式分解有理数域上多顶式的有理根(二)理解1、不可约多项式概念2、多项式的重因式概念3、多项式函数与多项式的根4、多项式函数的概念5、本原多项式的定义 Gauss引理6、整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法(三)了解1、对称多项式的概念2、多元多项式的概念3、多元多项式的概念字典排列法初等对称多项式对称多项式基本定理三. 说明本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和有理系数多项式有理根的求法,简单介绍了多元多项式及对称多项式。
第六章向量空间
第六章 向量空间一 综述向量空间是高等代数最基本的概念之一,它用公理化方法首次引进了一个代数系,而这种公理化方法在高等代数以后各章以及在近世代数中将屡次遇到,它是近代数学研究的一个重要方法.本书以后各章如线性变换、欧几里德空间等概念都是直接建立在向量空间定义的基础上的.因此本章内容又是以后各章学习的基础. 二 教学目的使学生在集合、映射概念的基础上,理解并掌握向量空间的定义、性质和构造,并培养学生用公理化方法研究代数系的能力. 三 重点、难点教材重点:向量空间的定义、性质 教学难点:向量空间的定义6.1 定义和例子一 教学思考向量空间的定义是本章的重点和难点,是学生首次接触的一个用公理化方法引进的代数系.这一节的教学目的,不仅使学生正确理解和掌握向量空间的概念,而且应该使学生初步了解以集合论为基础运用公理化方法从具体的代数系抽象出一般的代数系的方法和意义,对此要心中有数,以便在教学中把传授知识与培养能力结合起来. 二 内容和要求1.内容:定义、例子及简单性质2.要求:掌握向量空间的概念及其简单性质,初步了解公理化的思想方法. 三 教学过程1. 引例 三维几何空间的实质及更多的类似结构的代数对象(略). 2. 定义及例子定义 1 令F 是一个数域,F 中的元素用小写拉丁字母 ,,b a 表示;令V 是一个非空集合,V 中元素用小写希腊字母 ,,,γβα表示.我们把V 中的元素叫做向量,F 中的元素叫做纯量.若下列条件满足,就称V 是F 上的一个向量空间.1)在V 中定义了一个叫加法,对V 中任意两个向量βα,都有V 中唯一确定的向量与它们对应,这个向量叫做α与β的和,记为βα+.2)有一个纯量乘法,对于F 中的每一个数a 和V 中每一个向量α,有V 中唯一确定的向量与它们对应,这个向量叫做a 与α的积,记为αa .3)向量的加法和纯量乘法满足下列算律:F b a V ∈∈∀,;,,γβα有 (1)αββα+=+; (2))()(γβαγβα++=++;(3)在V 中存在一个向量叫零向量,积作ο;它满足对V ∈∀α 有ααο=+; (4)对V ∈∀α,V ∈'∃α使得οαα=+';这样的α'叫做α的负向量;(负向量的定义) (5)βαβαa a a +=+)(; (6)αααb a b a +=+)(; (7))()(ααb a ab =; (8)αα=1. 3. 向量空间的简单性质1)由于向量的加法满足结合律,所以任意n 个向量相加有唯一确定的含义且可写为不加括号的和的形式;再者由于加法满足结合律和交换律,所以在求任意n 个向量的和时可以任意交换被加项的次序.2)命题6.1.1(零向量、负向量的唯一性)在一个向量空间V 中,零向量是唯一的;对V ∈∀α,α的负向量是由α唯一确定的.(同一法,略) 3)命题6.1.2 对V ∈∀α,F a ∈∀有οα=0,οο=a ; αααa a a -=-=-)()(; 0=⇒=a a οα或οα=.4. 介绍一种写法-——(向量矩阵的记法)设V n ∈ααα,,,21 ,把它们排成一行写成一个以向量为元素的n ⨯1矩阵(n ααα,,,21 ),设)()(F M a A m n m n ij ⨯⨯∈=;定义(n ααα,,,21 )),,,(21m A βββ =,其中)1(,1m j a ni i ij j ≤≤=∑=αβ.即按照数域F 上矩阵的乘法定义(n ααα,,,21 )右乘以A (这里约定对V ∈∀α,F a ∈∀有a a αα=).并且设)(F M A m n ⨯∈,)(F M B P m ⨯∈,由向量与纯量乘法所满足的算律有:(n ααα,,,21 )B A AB n )),,,(()(21ααα = ,即结合律成立.6.2 子空间一 教学思考1.向量空间一章主要讨论向量空间的运算、性质和结构,一般是通过向量空间自身(基、维数等)或其子结构(子空间)来讨论的,这正是代数学的基本方法.因而本节的概念(子空间)和结论在理论上与方法上是重要的.2.由于本章与以后内容的(抽象)特点,需重点培养学生逻辑论证能力,除了在教学中经常结合问题讲解分析解决问题的一般思想方法外,还需对以后教学有重要影响的几类具体问题的论证思路作出明确的交代.本章主要是“子空间的判定”.3.内容作如下调整,即先定义子空间,再介绍为何称为子空间,然后介绍子空间的判定和运算. 二 内容要求1.内容:子空间的定义、子空间的交与和.2.要求:理解和掌握向量空间的子空间的概念和判定方法、子空间的交与和的概念.三 教学过程1.子空间的概念及判定 (1)定义定义1 设V 是数域F 上的向量空间,W 是V 的非空子集,若对V ∈∀βα,都有W ∈+βα,则称W 对V 的加法封闭.若对F a V ∈∀∈∀,α都有W a ∈α,则称W 对纯量乘法封闭.定义2 令W 是数域F 上的向量空间V 的一个非空子集,若W 对V 的加法和纯量乘法封闭,则称W 是V 的一个子空间.TH6.2.1设W 是数域F 上的向量空间V 的一个非空子集,若W 对V 的加法和纯量乘法封闭,则W 本身也作成F 上一个向量空间.(2)子空间的判定TH6.2.2向量空间V 的一个非空子集W 是V 的一个子空间的充要条件是对W F b a ∈∀∈∀βα,,,都有W b a ∈+βα.2.子空间的交与和定义3 设21,W W 都是V 的子空间,则21W W 称为两个子空间的交. 命题 21W W 也是V 的子空间.定义 4 设21,W W 都是V 的子空间,由所有能表示为),(221121W W ∈∈+αααα的向量组成的集合成为1W 与2W 的和,记为21W W +;即21W W +={}221121,|W W ∈∈+αααα. 命题 21W W +也是V 的子空间.6.3 向量的线性相关性一 教学思考1.向量的线性相关性在研究向量空间的结构时极为重要,并且学生在学习时感到困难的多是由于逻辑思维混乱以及推理不严谨造成的.2.本节重要的在于讲清诸概念,理清它们之间的关系,介绍一般方法和特殊方法,补充一些容易混淆的问题及一些错误做法或判断. 二 内容要求内容:向量的线性相关性定义、性质;替换定理;极大无关组.要求:正确理解和掌握向量组的线性相关性的概念及性质,掌握判断向量组线性关系的一般方法和特殊方法. 三.教学过程1.线性相关与线性无关(1)线性组合、线性表示及其性质定义 1 设r ααα,,,21 是向量空间V 的r 个向量,r a a a ,,,21 是数域F 中任意r 个数,我们把和r r a a a ααα ++2211叫做向量r ααα,,,21 的一个线性组合.定义 2 若V 中向量α可以表示成r ααα,,,21 的线性组合,即∃F a a a r ∈,,,21 使得r r a a a αααα ++=2211,则称α可以由r ααα,,,21 线性表示.(例略)性质 命题6.3.1向量组r ααα,,,21 中每一向量都可以由这一组向量线性表示.命题6.3.2若向量γ可以由r βββ,,,21 线性表示,而每个i β可由s ααα,,,21 线性表示,则γ可以由s ααα,,,21 线性表示.(2)线性相关、线性无关及有关性质定义3 设r ααα,,,21 是向量空间V 的r 个向量,若存在数域F 中r 个不全为0的数ra a a ,,,21 使得οααα=++r r a a a 2211,则称r ααα,,,21 线性相关,否则称r ααα,,,21 线性无关. 例1 若r ααα,,,21 中有一个零向量,则r ααα,,,21 一定线性相关. 例2 判断3F 中向量)9,7,1(),0,1,2(),3,2,1(321-==-=ααα是否线性相关 例3 在][x F 中对任意非负整数n ,证明nx x x ,,,,12线性无关.(解略)性质命题 6.3.3 若向量组{r ααα,,,21 }线性无关,则它的任一部分向量组也线性无关;等价地:若{r ααα,,,21 }有一部分组线性相关,则整个向量组{r ααα,,,21 }也线性相关.(证略)命题 6.3.4 设{r ααα,,,21 }线性无关,而{βααα,,,,21r }线性相关,则β一定可以由r ααα,,,21 线性表示,且表示法唯一.命题6.3.5 向量r ααα,,,21 (2≥r )线性相关的充要条件是其中某个向量是其余向量的线性组合.(证略)2.向量组的等价、替换定理定义 4 设{}r ααα,,,21 和{}s βββ,,,21 是V 中的两个向量组,若每个),2,1(r i i =α都可以由s βββ,,,21 线性表示,而每个),2,1(s j j =β也可以由r ααα,,,21 线性表示,则称这两个向量组等价.定理6.3.6(替换定理)设向量组{}r ααα,,,21 (1)线性无关,且每个),2,1(r i i =α都可以由{}s βββ,,,21 (2)线性表示.则A )s r ≤;B )必要时对(2)中向量重新编号,使得用r ααα,,,21 替换r βββ,,,21 后得向量组{}s r r ββααα,,,,,,121 +(3)与(2)等价.推论6.3.7两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量. 3.极大无关组(讨论一个非零向量组的一种部分组)定义 5 向量组{r i i i ααα,,,21 }是向量组{}n ααα,,,21 的一个部分组(n r ≤),若满足:1)ri i i ααα,,,21线性无关;2)每个),,1(n j j =α都可由ri i i ααα,,,21线性表示.则称rii i ααα,,,21是向量组{}n ααα,,,21 的一个极大线性无关部分组(简称极大无关组). 极大无关组的求法:1)一般方法——设给定{}n ααα,,,21 ,求其一个极大无关组.先从1α考虑,若οα≠1,保留;考虑21,αα看其是否线性无关.无关,保留;相关舍去2α,考虑31,αα看其是否线性无关.依次类推直至n α,便得.(由于考虑次序不同可得不同的极大无关组)例4 求向量组{}32,2,,12+++x x x x 的一个极大无关组.(解略)2)特殊方法——对n F 中向量组{}n ααα,,,21 ,求极大无关组. 首先:可以证明“命题”:“设)(F M m n ⨯的矩阵A 经过行的初等变换得到)(F M m n ⨯的矩阵B ,则A 与B 的列向量有相同的线性关系.”(证略)这样可得:A )求nm F ∈ααα,,,21 的线性关系,可以以m ααα,,,21 列作矩阵A ,通过对A 作行初等变换化为标准形B ,由B 的列向量的线性关系可得A 的列向量的线性关系.进而B )用上述方法可求n F 中向量组{}n ααα,,,21 的极大无关组. 例5 求3R 中向量组)6,1,5(),4,0,3(),3,1,2(),1,2,1(4321====αααα的一个极大无关组. 解:以4321,,,αααα为列作矩阵B A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210010101001643110125321.设B 的列向量为4321,,,ββββ,这样4321,,,αααα与4321,,,ββββ有相同的线性关系.容易看出321,,βββ线性无关,且=4β3212βββ+-;因此321,,ααα线性无关且=4α3212ααα+-.于是321,,ααα是4321,,,αααα的一个极大无关组.6.4 基与维数一 教学思考1.向量空间的结构中基起着重要作用,那么基概念的引入及作用为重点.2.从内容上本节在于给出了基与维数的概念后,解决基的存在性、个数及求法,要注意方法的总结归纳,特别是生成子空间.3.从定义上维数依赖于基,即要求一个向量空间的维数须求一个基;但反过来从结果上看,若已知维数n 求基的话,即求一组n 个线性无关的向量.4.本节及以后主要讨论有限维向量空间,有所谓的维数公式,其反映有限维向量空间的两个子空间与它们的和与交空间的维数之间的关系.在证明中,从“最小”的子空间的基出发逐步扩充为所出现的子空间的基的方法是重要的.5.基的存在性、个数、求法(生成子空间的基的求法)、余子空间等方法,注意总结归纳. 二 内容要求内容:向量空间的基与维数,有限维向量空间的维数公式,余子空间要求:正确理解和掌握向量空间的基与维数的概念,余子空间的定义,了解基在向量空间的结构中的重要作用,掌握求基、余子空间的一般方法和特殊方法. 三 教学过程1.引言我们知道当{}ο≠V 时,V 有无穷多向量,那么它们之间的结构如何?具体地,我们能否用V 中有限个向量表示所有向量.下面讨论这个问题.2.一类特殊子空间——由一组向量生成的子空间定义1设V r ∈ααα,,,21 ,那么由r ααα,,,21 的线性组合组成的集合{}F a a a a W i r r ∈+++=|2211ααα 称为由这一组向量r ααα,,,21 生成的子空间.记为L (r ααα,,,21 ),其中r ααα,,,21 叫做生成元.例1 n F 中)1,,0,0(,),0,,,0,1(1 ==n εε,则nn F L =),,(1εε . 例2 ][x F 中n n x x ===+121,,,1ααα ,则][),,,1(x F x x L n n= .关于生成子空间有:定理 6.4.1设V n ∈ααα,,,21 ,且不全为零向量,r i i i ααα,,,21 为其一个极大无关组,则L (n ααα,,,21 )=L (r i i i ααα,,,21 ).3.基与维数1)定义2 设V n ∈ααα,,,21 ,若1)n ααα,,,21 线性无关;2)V ∈∀α都可由n ααα,,,21 线性表示.则称n ααα,,,21 为V 的一个基.定义 3 一个向量空间V 的一个基所含向量的个数叫做V 的维数;记为V dim .规定零空间的维数为0.2)定理定理6.4.2(基的作用)设n ααα,,,21 为V 的一个基,则V ∈∀α都可唯一地由n ααα,,,21 线性表示.定理6.4.3n 维向量空间V 任意多于n 个向量的向量组一定线性相关.定理 6.4.4设n V =dim ,V r ∈ααα,,,21 线性无关(易知n r ≤),则总可以添加r n -个向量n r r ααα,,,21 ++,使得n ααα,,,21 作为V 的一个基.特别V 的任意n 个线性无关向量都可以取作基.例3 将)1,2,3,1(),1,0,2,1(21-==αα扩充为4R 的一个基.解:(法一)思想方法:由定理的证明过程,取4R 的一个基(如标准基4321,,,εεεε),然后用21,αα代替其中某两个如21,εε,使得21,αα,43,εε线性无关;而代替哪两个,可用逐步添加法使添在21,αα上后线性无关.(法二)思想方法:可以从21,αα出发,利用21,αα为列再添上两个作成一个4阶方阵A ,使得0≠A ,如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1011012000320011,取)1,0,0,0(),0,1,0,0(23==αα,则4321,,,αααα为4R 的一个基. 定理6.4.5设21,W W 是F 上向量空间V 的两个有限维子空间,则21W W +也是V 的一个有限维子空间,且:)dim (dim dim )dim (212121W W W W W W ⋂-+=+.推论 对n 维向量空间V 的子空间21,W W 有:}{dim dim dim 2121ο=⋂⇔=+W W V W W .4.余子空间(1) 定义:设W 是V 的子空间,若存在V 的子空间W '满足:1)V W W ='+,2)){ο='⋂W W ;则称W '是W 的一个余子空间,且称V 是W 与W '的直和,记为W W V '⊕=. (2)定理定理 6.4.6设W W V '⊕=,则对V ∈∀α有α可以唯一地表示成ββα'+=,其中W W '∈'∈ββ,.定理 6.4.7n 维向量空间V 的任一子空间W 都有余子空间.若W '是W 的一个余子空间,则V W W dim dim dim ='+.(3)上述概念及结论可扩充至有限设t W W W ,,,21 是V 的子空间,若1)t W W V ++= 1;2){}),,2,1(,)(111t i W W W W W t i i i ==+++++⋂+-ο,则称V 是t W W W ,,,21 的直和,记为t W W V ⊕⊕= 1.且有类似于定理6、7的结论.6.5 坐标一 教学思考1.对n 维向量空间V 取定基后,任意向量引入了坐标的概念后,可将抽象的对象用具体的形式(nF中的向量)表示出来,为我们研究抽象的向量空间提供了方便,如由此可建立n V 与nF 的同构,所以本节概念及结论在空间的讨论中有重要的作用.2.注意坐标的概念依赖于基的选择,坐标变换依赖于相应的基变换;注意过渡矩阵的概念与性质以及结论,其是下节建立n V 与nF 的同构的基础.3.具体方法有:1)坐标的求法(定义法、坐标变换法);2)过渡矩阵的求法;3)过渡矩阵的性质及由此反映的矩阵的运算的意义. 二 内容要求1. 内容:坐标、基变换、坐标变换、过渡矩阵;2. 要求:掌握坐标的概念及其意义,基变换与坐标变换公式,过渡矩阵的概念和性质. 三 教学过程(一) 坐标的概念1.定义 设{}n n V αα,,,dim 1 =是V 的一个基,对V ∈∀ξ有n n a a ααξ++= 11,则称n 元有序数组),,(1n a a 为向量ξ关于基{}n αα,,1 的坐标;其中i a 叫做向量ξ关于基{}n αα,,1 的第i 个坐标.2.定理6.5.1设{}n n V αα,,,dim 1 =是V 的一个基,V ∈ηξ,关于此基的坐标分别为),,(1n x x 和),,(1n y y ,则ξηξk ,+关于此基的坐标分别为: ),,(11n n y x y x ++ ,),,(1n ax ax .(二)坐标变换 1.基变换设,dim n V ={}n αα,,1 和{}n ββ,,1 是V 的两个基,则每个j β),,2,1(n j =可由{}n αα,,1 线性表示,设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=nn n n nn nn a a a a a a ααβααβααβ1112112211111 (1),以j β关于基{}n αα,,1 的坐标为列构成的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a T212222111211称为由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵. (1)式可以写成矩阵等式),,(1n ββ =T n ),,(1αα (2);称(1)或(2)为(由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的)基变换. 设V ∈ξ关于基{}n αα,,1 的坐标为),,(1n x x ,关于基{}n ββ,,1 的坐标为),,(1n y y ,则一方面=ξ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x 11),,(αα (3);另一方面=ξ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n y y 11),,(ββ (4);(2)代入(4)得=ξ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y T 11)),,((αα=))(,,(11⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n y y T αα (5),比较(3)和(5)由坐标的唯一性得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x 1=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n y y T 1 (6);于是得 定理 6.5.2设,dim n V =T 由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵,则V ∈ξ关于基{}n αα,,1 的坐标与关于基{}n ββ,,1 的坐标为),,(1n y y 由等式(6)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x 1=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n y y T 1联系着.3.过渡矩阵的性质 (1)基变换的传递性设,dim n V ={}n αα,,1 、{}n ββ,,1 、{}n γγ,,1 都是V 的基,且由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵为A ,基{}n ββ,,1 到基{}n γγ,,1 的过渡矩阵为B ,即),,(1n ββ =A n ),,(1αα 、),,(1n γγ =),,(1n ββ B ,则),,(1n γγ =A n ),,(1αα B ,即由基{}n αα,,1 到基{}n γγ,,1 的过渡矩阵为AB .(2)定理6.5.3设,dim n V =由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵为A ,那么A 是一个可逆矩阵.反过来,任意一个n 阶可逆矩阵A 都可以作为n 维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵.且若由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵为A ,则由基{}n ββ,,1 到基{}n αα,,1 的过渡矩阵为1-A .6.6 向量空间的同构一 教学思考1.向量空间的本质是一个带有加法和数乘的代数系,我们研究向量空间着眼点主要在于运算,至于元素是什么无关紧要.把具有某种关系的向量空间作为本质上没有区别的加以研究,从而取出其代表加以研究讨论以达到目的,本节正是解决这样一个问题.2.“同构”是这种关系的体现,在此关系下,同构的向量空间可以不加区别,因而维数就成了数域F 上有限维向量空间的唯一本质特征.3.注意“同构”映射的概念,向量空间同构的概念及各自的性质,以及有限维向量空间同构的判定. 二 内容要求1、内容:同构映射、向量空间同构的概念及各自的性质,有限维向量空间同构的判定.2、要求:理解向量空间同构的概念及性质,有限维向量空间同构的判定. 三 教学过程1.同构的概念和性质 (1)概念1)同构映射 设V 和W 是数域F 上两个向量空间,V 到W 的一个映射f 叫做一个同构映射; 若A )f 是V 到W 的一个双射;B )对)()()(,ηξηξηξf f f V +=+⇒∈∀;C )对)()(,,ξξξaf a f V F a =∈∀∈∀.(2)定理6.6.1数域F 上任一n 维向量空间V 都与nF 同构. (3)性质 1)同构映射的性质定理6.6.2设V 和W 是数域F 上两个向量空间, f 是V 到W 的一个同构映射,则: A);)(οο=f B)对ααα-=-∈∀)(,f V ;C))()()(1111n n n n f a f a a a f αααα++=++ ,其中V F a i i ∈∈α,; D))(,,1V n ∈αα 线性相关))((,),(1W f f n ∈⇔αα 线性相关; E) f 的逆映射1-f是W 到V 的一个同构映射.2)同构关系的性质(等价关系)A ) 反身性:V V ≅;B ) B )对称性:若W V ≅,则V W ≅;C) 传递性:若W V ≅,U W ≅,则U V ≅.(由双射性质及定义易证) 2.有限维向量空间同构的充要条件定理6.6.3数域F 上两个有限维维向量空间V 和W 有:W V ≅W V dim dim =⇔.6.7 矩阵的秩,齐次线性方程组的解空间一 教学思考1.矩阵的秩与线性方程组解的理论在前面已经有过讨论,本节运用向量空间的有关理论重新认识矩阵的秩的几何意义,讨论线性方程组解的结构.2.注意:齐次线性方程组(含n 个未知量)的解的集合构成nF 的子空间,而非齐次线性方程组的解的集合非也.3.注意具体方法:1)证矩阵的行空间与列空间的维数相等;2)求齐次线性方程组的基础解系. 二 内容要求1、内容:矩阵的秩的几何意义,齐次线性方程组的解空间.2、要求:理解掌握矩阵的秩的几何意义,齐次线性方程组的基础解系的求法. 三 教学过程1.矩阵的秩的几何意义几个术语:设)(F M A n m ⨯∈,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m n a a a a A 1111,A 的每一行看作nF 的一个元素,叫做A 的行向量,用),2,1(m i i =α表示;由),2,1(m i i =α生成的nF 的子空间),,(1m L αα 叫做矩阵A 的行空间.类似地,A 的每一列看作mF 的一个元素,叫做A 的列向量;由A 的n 个列向量生成的mF 的子空间叫做矩阵A 的列空间.引理6.7.1设)(F M A n m ⨯∈,1)若PA B =,P 是一个m 阶可逆矩阵,则B 与A 有相同的行空间;2)若AQ C =,Q 是一个n 阶可逆矩阵,则C 与A 有相同的列空间.定理6.7.2矩阵)(F M A n m ⨯∈的行空间的维数等于列空间的维数,等于这个矩阵的秩.定义 矩阵A 的行(列)向量组的极大无关组所含(行(列)空间的维数)向量的个数,叫做矩阵A 的秩.2.线性方程组的解的结构1)再证线性方程组有解的判定定理:“数域F 上线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相同.”2)齐次线性方程组的解空间设⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00111111n mn m n n x a x a x a x a(3)是数域F 上一个齐次线性方程组,令A 为其系数矩阵,则(3)可写为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 n x x A (4)或ο=AX ;(3)的每一个解都可以看作n F 的一个向量,叫做(3)的一个解向量.令S 表示(3)的全体解向量构成的集合;首先:因S ∈ο,所以Φ≠S ;其次:F b a S ∈∀∈∀,,,ηξ,有οηξηξ=+=+bA aA b a A )(,即S b a ∈+ηξ.因此S 作成nF 的一个子空间,这个子空间叫做齐次线性方程组(3)的解空间.重新回顾解线性方程组的过程:设(3)的系数矩阵A 的秩为)(n r <,则A 可经过一系列(行)初等变换化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----r n r m r r m r n r r C I ,,,οο,与此相应的齐次线性方程组为:(5)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++=+++++++0000001111111 n rn r rr r n n r r y c y c y y c y c y ,这里n y y ,,1 是n x x ,,1 的重新编号.(5)有r n -个自由未知量n r y y ,,1 +,依次让它们取)1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1( ,可得(5)的r n -个解向量:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++++++100,,010,001122121111 rn n n rr r r rr r r c c c c c c ηηη.下面证其是(5)的解空间的一个基. 首先:n r ηη,,1 +线性无关.事实上设οηη=++++n n r r k k 11,由下面r n -个分量易得01===+n r k k .其次:设),,,(21n k k k 是(5)的任一解,代入(5)得:n rn r rr r nn r r nn r r k c k c k k c k c k k c k c k ---=---=---=++++++112112211111又有恒等式:nn r r k k k k ==++ 11此n 个等式即为n n r r n k k k k ηη++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 111,即(5)的每个解向量都可以由n r ηη,,1 +线性表示,故{n r ηη,,1 +}为(5)的解空间的一个基.注意到(5)与(4)在未知量重新编号后同解,所以重新编排n r ηη,,1 +的次序可得(4)的解空间的一个基,从而解决了齐次线性方程组的解的构造问题.并且上述讨论也给出了求解空间的具体方法:即通过解方程组的允许变换得到等价组,在等价组中自由未知量是清楚的,给其一组线性无关值,便得等价组的一组解向量,其构成等价组的解空间的一个基,再调整解向量的次序便得.上述讨论得:定理 6.7.3数域F 上一个n 元齐次线性方程组的一切解作成nF 的一个子空间,称之为这个线性方程组的解空间.若所给方程组的系数矩阵的秩为r ,则解空间的维数为r n -.定义 一个齐次线性方程组的解空间的一个基,叫做这个方程组的一个基础解系.3)非齐次线性方程组的解的结构 设))((,11F M A b b x x A n m m n ⨯∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ (6)是数域F 上一个n 元线性方程组.问题当(6)有无穷解时,解的结构如何?为此先引入:把(6)的常数项都换成0,便得一个齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 n x x A (7),齐次线性方程组(7)叫做方程组(6)的导出齐次线性方程组.定理6.7.4若(6)有解,则(6)的任一解都可以表示为(6)的一个固定解与(7)的一个解的和.。
高等代数课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲一.课程教学目的与任务本课程是我院数学系数学教育专业的一门重要基础课程。
其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等方面的系统知识。
它一方面为后继课程(如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析)提供一些所需的基础理论和知识;另一方面还对提高学生的抽象思维、辑推理及运算能力,开发学生智能,加强“三基”(基础知识、基本理论、基本理论)和培养学生创造性能力等起到重要作用。
二.与各课程的联系本课程是数学专业的后继课程:如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析等的先导课程和基础课程。
三.教学时数及分配总学时198,其中课堂讲授 151学时,习题课(包括复习课)47学时。
各学期教学时数安排情况:第二学期:108学时,自第一章至第五章,周学时6第三学期:90学时,自第五章至第九章,周学时5四.讲授内容与要求:第一章基本概念(12学时)一.教学目的和要求:1. 正确理解集合的概念,明确集合的相等、子集、空集、交集、卡氏集等概念及他们之间的关系。
2.掌握映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射的概念和映射可逆的充要条件。
3.理解和掌握数学归纳法原理,能熟练运用数学归纳法。
4.理解和掌握整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质。
5.掌握数环,数域的概念,能够判别一些数集是否为数环、数域,懂得任意数域都包含有理数域。
二.教学内容:1.1 集合(2学时)1.2 映射(3学时)1.3 数学归纳法(2学时)1.4 整数的一些整除性质(3学时)1.5 数环,数域(2学时)第二章多项式(37学时)一.教学目的和要求:1.掌握数域上一元多项式的概念、运算以及多项式的和与积的次数。
2.正确理解多项式的整除概念和性质。
理解和掌握带余除法。
3.掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素的概念和性质4.理解不可约多项式的概念,掌握多项式唯一因式分解定理。
820高等代数考试大纲
黑龙江大学硕士研究生入学考试大纲考试科目名称:高等代数考试科目代码:[820]一、考试内容及要求一、行列式1.内容:行列式概念及性质,行列式按行(列)展开。
2.要求:①理解数域的概念,控制常见的数域和最小数域。
②理解n阶行列式的定义,控制行列式性质。
③能用行列式定义、性质(包括按行(列)展开的性质)递推及归纳法等计算行列式。
二、矩阵1.内容:矩阵的概念,矩阵运算,逆矩阵和克莱姆法则,分块矩阵,初等变换和初等阵,矩阵的等价分解,矩阵的秩,初等块矩阵及等价分解的应用。
2.要求:①理解矩阵概念及相关运算法则,能熟练地举行矩阵的相关运算,控制行列式乘法定理。
②理解逆矩阵的概念,控制陪同矩阵求逆主意,控制矩阵可逆充要条件并用于判别,理解克莱姆法则并用于求解线性方程组。
③了解分块矩阵的运算法则,确切用于计算。
④理解三种初等变换及相应的初等阵,了解初等阵是可逆阵的乘法生成元。
⑤理解矩阵的等价分解,理解矩阵秩的定义,能用初等变换求矩阵秩及逆矩阵。
⑥能利用等价分解、分块矩阵、初等矩阵及归纳法等解决一些矩阵分解,求秩相关的计算和证实问题。
三、n维向量与线性方程组1.内容:n维向量,向量的线性相关性,向量组的秩,消去法解线性方程组,线性方程组解的判定,线性方程组解的结构。
2.要求:①控制n维向量线性表出,线性相关,线性无关的概念,能举行判别及相关的证实。
②理解向量组的秩,矩阵的三秩相等定理,控制向量组的秩以及极大无关组的概念,会求极大无关组以及向量组的秩。
③能用消去法解线性方程组,异常能对带参数的方程组举行解的情况的研究。
④控制齐次方程组基础解系定理,普通线性方程组解的结构定理,并能用于解决有关问题。
四、特征值与特征向量1.内容:特征值与特征向量,相似矩阵,R n空间内积,正交阵,实对称阵的正交对角化。
2.要求:①控制特征值与特征向量的概念及求法。
②理解矩阵相似的概念,理解矩阵相似于对角阵的充要条件及充足条件,会举行相关的计算和证实。
《线性代数》教学大纲
《线性代数》教学大纲教学目的和要求:线性代数是数学学科中的一门重要基础课程,也是高等院校大部分专业的主要基础理论课,对于培养面向21世纪人才起着重耍的作用。
目前也是华东师范大学各专业的重要基础课之一本课程主要学习线性代数中行列式,矩阵,n维向量和线性方程组,向量空间,矩阵的特征值和特征向量,二次型,线性变换的基本概念,基本计算及有关的计算方法。
为适应培养面向21世纪人才的需要,要求学生比校系统理解线性代数的基本概念,基本理论,掌握线性代数的基本计算方法。
要求较好地理解线性代数这门课的抽象理论,具有严谨逻辑推理能力,空间想象能力,运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
教学基本内容和学时分配:第一章:行列式教学内容:行列式的定义,行列式的基本性质,行列式按行(列)展开定理,行列式的计算,克莱姆法则。
教学要求:理解行列式的概念,掌握行列式的性质,会用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式,会用克莱姆法则解线性方程组。
第二章:矩阵教学内容:矩阵的概念,矩阵的线性运算,矩阵的乘法,方阵的幂,方阵乘积的行列式,矩阵的转置,逆矩阵的概念和性质,矩阵可逆的充要条件,伴随矩阵,矩阵的初等变换,初等矩阵,矩阵的等价,矩阵的秩,初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法,分块矩阵及其运算。
教学要求:理解矩阵的概念,了解单位矩阵,对角矩阵,数量矩阵,三角矩阵,对称矩阵,正交矩阵,掌握矩阵的加法,数乘,乘法,转置及它们的运算法则,了解方阵的方幂和方阵乘积的行列式。
理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件,会用伴随矩阵求逆矩阵,了解矩阵的初等变换和初等矩阵的概念,理解矩阵秩的概念。
掌握矩阵的初等变换,会用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵,了解分块矩阵掌握分块矩阵的运算法则。
第三章:n维向量与线性方程组教学内容:向量的概念、向量的线性组合和线性表示、向量的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩、向量组的秩和矩阵的秩之间的关系、齐次线性方程组有非零解的充要条件、非齐次线性方程组有解的充要条件、线性方程组解的性质和解的结构、齐次线性方程组及基础解系和通解,非齐次线性方程组的通解,行初等变换求线性方程组的方法。
《线性代数与解析几何》课程教学大纲
《线性代数与解析几何》课程教学大纲课程编号:20811824总学时数:64(理论64)总学分数:4课程性质:学科基础课程适用专业:工程力学一、课程的任务和基本要求:本课程的主要任务是介绍行列式和矩阵的基础概念、基本性质及其运算,并以行列式和矩阵为工具,介绍齐次线性方程组有非零解的充要条件和非齐次线性方程组有解的充要条件及如何求解线性方程;介绍矩阵的特征值和特征向量的概念、性质及求矩阵的特征值与特征向量的方法,并利用矩阵特征值与特征向量研究二次型的性质和如何将二次型化为标准形,简单介绍线性空间与线性变换的基本概念。
为其它课程打下一定的代数基础。
空间解析几何是一门理工科学生必须掌握的基础理论课程,本课程主要以向量为工具,讨论空间的平面、直线、曲面与曲线的特性,介绍并求平面、直线、曲面与曲线的方程。
二、基本内容和要求:(一)行列式基本内容:1、行列式的定义与性质2、行列式的计算3、Cramer法则基本要求:理解n阶行列式的基本概念,熟悉n阶行列式基本性质,掌握行列式的基本计算方法,会计算简单的n阶行列式。
掌握Cramer法则及其应用。
(二)矩阵基本内容:1、矩阵的定义与运算、逆矩阵的概念与计算、分块矩阵2、矩阵的初等变换与初等矩阵、矩阵的秩基本要求:了解矩阵的概念,掌握矩阵的加法、数乘矩阵及矩阵的乘法运算。
并掌握矩阵运算与实数运算的区别。
理解逆矩阵的概念并会用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵。
理解分块矩阵的概念,会分块矩阵的运算。
理解矩阵的初等变换的概念,掌握矩阵的初等变换,并会用矩阵的初等变换求矩阵的逆矩阵。
理解矩阵秩的概念,并会用矩阵的初等变换求矩阵的秩。
(三)向量空间基本内容:1、n维向量的概念,n维向量的概念的线性相关与线性无关的概念2、向量组的极大线性无关组与向量组的秩3、n维向量的空间及向量空间的基、维数、向量的坐标基本要求:理解n维向量的概念,理解向量组的线性相关与线性无关及向量组的极大线性无关组的概念,会用矩阵的初等变换求向量组的秩和向量组的极大线性无关组并将其余向量用该极大线性无关组表示。
大学高等代数课程设计
大学高等代数课程设计一、课程目标知识目标:1. 理解和掌握高等代数的基本概念、基本理论和基本方法,如线性空间、线性变换、特征值与特征向量等;2. 掌握线性方程组、矩阵理论及其应用,能够解决实际问题;3. 掌握多项式理论、二次型理论及其应用,能够进行相关计算和分析。
技能目标:1. 能够运用线性代数的知识解决实际问题,培养数学建模和数学思维能力;2. 能够熟练运用矩阵运算、行列式运算等工具,提高计算速度和准确性;3. 能够运用所学知识进行二次型、特征值等问题的求解,提高解决问题的能力。
情感态度价值观目标:1. 培养学生对高等代数学科的兴趣,激发学生的学习热情和求知欲;2. 培养学生严谨、细致、刻苦的学术态度,树立良好的学术道德观念;3. 通过团队合作解决问题,培养学生的团队协作能力和沟通能力,增强集体荣誉感。
本课程针对大学年级学生,结合高等代数课程性质、学生特点和教学要求,将课程目标分解为具体的学习成果。
在教学过程中,注重理论与实践相结合,培养学生的数学素养和实际操作能力,为后续课程学习打下坚实基础。
同时,关注学生情感态度价值观的培养,全面提高学生的综合素质。
二、教学内容本课程教学内容主要包括以下几部分:1. 线性空间与线性变换:涵盖线性空间的基本概念、子空间、线性变换、特征值与特征向量等内容。
参考教材相关章节,安排约6个学时。
2. 矩阵理论及其应用:包括矩阵的运算、行列式、逆矩阵、矩阵的秩、线性方程组等内容。
根据教材章节,安排约8个学时。
3. 多项式理论:涉及多项式的运算、因式分解、重因式、多项式函数等内容。
根据教材章节,安排约4个学时。
4. 二次型与二次空间:包括二次型的定义、标准形、正定二次型、二次空间等内容。
参考教材相关章节,安排约6个学时。
5. 实践与应用:结合实际问题,运用所学知识解决线性方程组、矩阵运算、特征值求解等实际问题。
安排约6个学时。
教学内容根据课程目标和学生的实际情况进行科学组织和合理安排,确保教学大纲的系统性和完整性。
向量空间
解
( a1, a2 ,a3 ) = ( e1, e2 ,e3 ) A, ( e1, e2 ,e3 ) = ( a1, a2 ,a3 ) A−1. ( b1,b2 , b3 ) = ( e1, e2 ,e3 ) B = ( a1, a2 ,a3 ) A−1 B. 即基变换公式为 ( b1,b2 , b3 ) = ( a1, a2 ,a3 ) P,
§5
例
向量空间
设A = ( a1,a2 ,a3 ) , B = ( b1,b2 , b3 ) .求用a1 , a2 ,a3 表示b1,b2 , b3的表达式(基变换公式),
在R3中取定一个基a1 , a2 ,a3 , 再取一个新基b1,b2 , b3 ,
并求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式). .
§5
例
向量空间
S={x| Ax=b}
非齐次线性方程组的解集
不是一个向量空间. 证明 x1∈S,即Ax1=b; x2∈S,即Ax2=b, 有A(x1+x2) =2b≠b, 解集S对于加法不封闭,因此S不是一个向量空间.
§5
向量空间
L = { x = λ a + µ b λ , µ ∈ R}
例 设a, b为两个已知的n维向量,集合
解
先 证 a 1, a 2 , a 3 线 性 无 关 , 即 A ∼ E 。 −1 2 0 2 1 r A = 2 −1 2 ∼ 0 1 −1 2 2 0 0 因 此 a 1, a 2 , a 3 是 R 3 的 一 个 基 0 0 , 1 。
§5
向量空间
x12 x12 , x13 B = AX , X = A−1 B,
x11 ( b1,b2 ) = ( a1,a2,a3 ) x21 x 31
线性方程组的解空间
第六章 向量空间6.1 定义和例子6.2 子空间6.3 向量的线性相关性6.4 基和维数6.5 坐标6.6 向量空间的同构6.7 矩阵的秩齐次线性方程组的解空间返回教案总目录6.7矩阵的秩,齐次线性方程组的解空间一、教学思考1、矩阵的秩与线性方程组解的理论在前面已经有过讨论,本节运用向量空间的有关理论重新认识矩阵的秩的几何意义,讨论线性方程组解的结构。
2、注意:齐次线性方程组(含n 个未知量)的解的集合构成n F 的子空间,而非齐次线性方程组的解的集合非也。
3、注意具体方法:1)证矩阵的行空间与列空间的维数相等;2)求齐次线性方程组的基础解系。
二、内容要求1、内容:矩阵的秩的几何意义,齐次线性方程组的解空间。
2、要求:理解掌握矩阵的秩的几何意义,齐次线性方程组的基础解系的求法。
三、教学过程1、矩阵的秩的几何意义几个术语:设)(F M A n m ⨯∈,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m n a a a a A 1111,A 的每一行看作n F 的一个元素,叫做A 的行向量,用),2,1(m i i =α表示;由),2,1(m i i =α生成的n F 的子空间),,(1m L αα 叫做矩阵A 的行空间。
类似地,A 的每一列看作m F 的一个元素,叫做A 的列向量;由A 的n 个列向量生成的m F 的子空间叫做矩阵A 的列空间。
注:)(F M A n m ⨯∈的行空间与列空间一般不同,分别是n F 与m F 的子空间;下证其维数相同。
引理6.7.1设)(F M A n m ⨯∈,1)若PA B =,P 是一个m 阶可逆矩阵,则B 与A 有相同的行空间;2)若AQ C =,Q 是一个n 阶可逆矩阵,则C 与A 有相同的列空间。
分析:设()()()m m ij n m ij n m ij p P b B a A ⨯⨯⨯===,,,),2,1(m i i =α是A 的行向量,),2,1(m j j =β是B 的行向量;只需证这两组向量等价。
《拓扑学》课程大纲
《拓扑学》课程大纲一、课程简介课程名称:拓扑学学时/学分:3先修课程:数学分析, 抽象代数面向对象:理科班教学目标:介绍拓扑学的基础概念和基础理论。
希望通过这门课程的学习,培养学生抽象概括能力,空间想象能力,逻辑推理能力等,并为进一步学习现代数学打下必要的基础。
主要内容:拓扑空间及其几个重要性质, 同胚, 同伦, Euler数, 同伦群, 单纯同调, 奇异同调, 等等.二、教学内容第一章拓扑空间主要内容:拓扑空间, 子空间拓扑, 拓扑基第二章拓扑性质主要内容:连通性, 紧致性, Hausdorff性质第三章拓扑空间的构造主要内容:同胚, 乘积空间, 商空间第四章同伦主要内容:同伦, 同伦等价, Brouwer不动点定理, 向量场第五章Euler数主要内容:单纯复形, Euler数, Euler数及曲面第六章同伦群主要内容:同伦群, 诱导同态, 基本群, 道路连通性, Van Kampen定理第七章单纯同调主要内容:Mod2系数单纯同调, 整系数单纯同调第八章奇异同调主要内容:奇异同调, 同调以及连续映射, 同伦不变性, 重心重分, Mayer-Vietoris序列第九章拓扑空间的更多构造主要内容:向量丛, 纤维丛三、教学进度安排四、课程考核及说明20%为平时成绩(大作业等)80%为考试成绩五、教材与参考书教材:Crossley, Martin D.Essential topology. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer-Verlag London, Ltd., London,2005.参考书:1.Armstrong著,孙以丰译,基础拓扑学,北京大学出版社,1983年。
2.Munkres, J. R., Topology: a first course, Prentice-Hall, Inc., 1975. 3.Terry, Lawson, Topology: a geometric approach,Oxford University Press, 2003.。
子空间线代
子空间线代
子空间是在线性代数中出现的概念,指的是一个向量空间中的一部分空间,这部分空间中的向量进行线性组合后,结果仍然在这个空间中。
以二维空间为例,一象限就是一个子空间,因为其中的向量进行线性组合后不会逃逸出一象限;而穿过原点的直线也构成子空间,因为它无论如何组合都是0向量。
在三维空间中,穿过原点的直线或面可以构成子空间,而由矩阵中每一列向量组成的空间也被称为列空间,它可能是一条直线或一个面,也可能是整个三维空间。
子空间在线性代数中具有重要的地位,它是向量空间的一种基本结构,对于理解线性变换和矩阵的秩等概念具有重要意义。
特征子空间范文范文
特征子空间范文范文特征子空间的概念在矩阵的特征值与特征向量的理论中起着重要的作用。
在线性代数中,给定一个线性变换A,如果存在一个非零向量v使得Av=λv,其中λ为一个实数,则称v为A的特征向量,λ为A的特征值。
根据特征值与特征向量的定义,我们可以定义特征向量空间,也就是特征子空间。
1.特征子空间是向量空间:特征子空间是由特征向量所张成的,因此满足向量空间的所有性质,包括封闭性、线性组合和加法封闭性等。
2.特征子空间的维数:特征子空间的维数等于其上的特征向量的个数,特征向量的个数也就是特征值的个数。
不同特征值对应的特征向量一定线性无关,因此可以作为一组基。
3.特征子空间之间的性质:对于不同特征值对应的特征子空间,它们之间一定是线性无关的,因此特征子空间之间一定是直和关系。
4.特征子空间与特殊矩阵之间的关系:对于一个矩阵A,如果其有n个不同的特征值,则A一定可以对角化,即存在一个可逆矩阵P,使得P^(-1)AP为对角矩阵,对角线上的元素就是特征值。
在这个对角矩阵中,每一个对角元素都是一个维度为1的特征子空间。
特征子空间的应用非常广泛,在机器学习、信号处理、图像处理等领域都有重要的应用。
在机器学习中,通过分析数据的特征子空间可以提取出数据的主要特征,从而实现降维或者分类的目的。
在信号处理中,通过分析信号的特征子空间可以实现信号的分解、去噪和压缩等操作。
在图像处理中,通过分析图像的特征子空间可以实现图像的特征提取和相似性比较。
总之,特征子空间是线性变换中一个重要的概念,可以帮助我们理解矩阵的几何和代数性质。
通过特征子空间的分析,我们可以得到很多关于线性变换和矩阵的重要信息,从而应用到各个领域中。
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线性子空间的研究数学与应用数学专业学生:罗柏平指导老师:周绍杰摘要:线性子空间理论是线性代数的核心内容之一,在数学及其它领域中有着广泛的应用.本文讨论了线性子空间及其交、和、直和的定义,并阐述了线性子空间、子空间直和的几个等价性定义,并做了一定的的推广;在此基础上,给出了求两个子空间交的基的一般方法.且对其作了进一步讨论,得到了一些有用的结果.关键词:线性空间,线性子空间,子空间的交,维数Abstract: Linear space and subspaces are one of linear algebra,and they have been applied to mathematics or other fields extensively.This paper discussed the linear subspace and pay, and and, and subspace straight.And we discussed the linear subspace, subspace straight and few equivalence definition,and did some promotion; Based upon these, draw subspace of mixed operation is for and included relation and its two subspaces, and further discussion was gived and several important conclusions were given.Keyword: linear space; linear subspace ; intersection of subspaces; dimensions0引言线性子空间理论是高等代数中的重要内容,线性子空间是线性空间的子集,线性子空间中的元素满足对原线性空间的加法与数量乘法封闭.要懂得利用定义及其线性子空间的相关定理来判定线性子空间.线性子空间包括线性子空间的定义,子空间的交与和,直和等等. 它把具体、直观的平面与集合空间推广到抽象的线性空间.线性子空间是线性空间的子集,线性子空间中的元素满足对原线性空间的加法与数量乘法封闭.线性子空间的应用领域越来越广,在数学、物理、通信、化学、甚至医学等各方面有广泛应用.线性空间的概念是n维向量空间概念的抽象和提高,子空间的理论不仅是高等代数的核心,而且广泛渗透到各自然科学、工程技术、经济管理科学中.因而线性子空间在一定意义上值得广泛推广.为了对线性子空问作进一步的研究,先讨论有关线性子空间的一些基本问题,对线性空间有关的概念和部分结论作一回顾,然后再在应用中对线性子空间做更多的探讨.1子空间的基本内容1.1基本概念定义1(子空间) 数域P 上线性空间V 的一个非空子集合W 称为V 的一个线性子空间或简称子空间,如果W 对于V 的两种运算加法和数乘也构成线性空间.定义2(生成子空间) 设12,,,r V ααα∈…,则子空间1122{+,1,2,,}r r i W k k k k P i r ααα=++∈=……即这组向量所有的线性组合构成的子空间,称为由12,,,r ααα…生成的子空间,记作12(,,,)r L ααα…. 12,,,r ααα…称为它的一组生成元.定义3(和与交、直和)i 设1V 、2V 是线性空间V 的两个子空间,满足121122{}V V αααα+∈∈,的称为1V 与2V 的和,记作1V +2V ;满足{}12V V ααα∈∈且的称为1V 与2V 的交,记作12V V I .ii 若12,V V 是线性空间V 的两个子空间,如果12V V +中每一个向量α的分解式121122(,)V V ααααα=+∈∈是唯一的,则12V V +就称为直和.记为12V V ⊕.iii 线性子空间的直和可以推广到多个子空间的情形.设12,,,s V V V L 是线性空间V 的子间,如果和12s V V V +++L 中每个向量α的分解式12s αααα=+++L ,,1,2,,i i V i s α∈=L 是唯一的,则该和称为直和,记为.21V V V ⊕⊕⊕Λ1.2基本结论命题1 (子空间的判别) 线性空间V 的一个非空子集W 是V 的子空间的充分必要条件是,W 对于V 中规定的加法和数乘运算封闭.命题2(维数公式)如果12,V V 是有限维线性空间V 的两个子空间,那么dim (1V )+dim (2V )=dim (12V V +)+dim (12V V I ).命题3(直和的等价条件) 若12,,,s V V V L 是线性空间V 的子空间,则以下条件等价. (1)12s W V V V =⊕⊕⊕L 是直和; (2)零向量的表示法唯一; (3){}0(1,2,,)i j j iV V i s ≠==∑IL ;(4)dim (W )= 1dim()s i i V =∑.命题4 设V 是P 上的有限维线性空间,1,,s V ∂∂∈….则向量组的极大线性无关组就是生成子空间1(,,)n L ∂∂…的基,且秩(1,,s ∂∂…)=dim(L).向量组1,,s ∂∂…与1,,t ββ…等价的充要条件是1(,,)s L ∂∂…=1(,,)t L ββ….2子空间的几个性质性质1 设12,,,n ααα…是n 维线性空间V 的一组基,A 是一个n ×s 矩阵,且1212(,,,)(,,,)s n A βββααα=……,则12(,,,)s L βββ…的维数等于A 的秩.证明:要证明12(,,,)s L βββ…的维数等于A 的秩,只需证12,,,s βββ…的极大线性无关组所含向量的个数等于A 的秩.设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ns nr n s ra a aa a a A ...........................11111,且≤=r r A rank ,)(min(,)n s .不失一般性,可设A 的前r 列是极大线性无关组,由条件得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nns s s s n nr r r r nn a a a a a a a a a αααβαααβαααβ.....................................................................................................2211221112211111,可证12,,,r βββ…构成12,,,r βββ…,1,,r s ββ+…的一个极大线性方程组. 事实上,设0...2211=+++r r k k k βββ,于是得0)...(...)...()...(1112221111111=+++++++++n r r n r r r r a k a k a k a k a k a k ααα,因为12,,,n ααα…线性无关,所以⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0.............................................0 (221)11212111r nr n n r r k a k a k a k a k a k a , 该方程组的系数矩阵秩为,r 故方程组只有零解即0...21====r k k k , 于是12,,,r βββ…线性无关.其次可证:任意添一个向量j β后,向量组12,,,r βββ…,j β一定线性相关.事实上,设0...2211=++++j j r r k k k k ββββ,于是⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++0 0 (221)111212111j nj r nr n n j j r r k a k a k a k a k a k a k a k a , 其系数矩阵的秩为r<r+1,所以方程组有非零解,,,...,,21k k k k r 即r βββ,...,,21,j β线性相关.因此,12,,,r βββ…是s βββ,...,,21的极大线性无关组.故),...,,(21s L βββ的维数等于A 的秩,即等于)(A rank .性质2 设s V V V ,...,,21是线性空间V 的s 个非平凡的子空间,那么V 中至少有一向量α不属于s V V V ,...,,21中的任何一个.证明:采用数学归纳法.当n=2时,由上题已证命题成立.现归纳假设命题对s-1个非平凡的子空间也成立,即在V 中至少存在一个向量不属于121,...,,-s V V V 中任意一个,如果s V ∈α,则命题已证.若s V ∈α,对,P ∈∀向量s V k ∈+βα,且对P 中s 不同的数,,...,,21s k k k 对应的s 个向量)....2.1(s i k =+βα中不可能有两个向量同时属于某个非平凡的子空间).1....2.1(-=s i V i 换句话说,上述S 个向量)....2.1(s i k =+βα中至少有一个向量不属于任意一个非平凡子空间(1,2,1)i V i s =-…,,记为00i k γαβ=+,易见0γ也不属于s V .即证命题对s 个非平凡的子空间也成立.即证.性质3 设12V V 和都是线性空间V 的子空间,则1dim V =2dim V 的充要条件是12V V =. 性质4 12S S 和都是向量空间V 的子空间.如果12S S U 也是V 的子空间,那么12S S ⊇或21S S ⊇.证 若21S S ⊄,则存在12S β∈,但11S β∉.任取1S α∈,则1212S S S S αβ∈∈U U ,.由12S S U 为子空间知112+S S αβ∈U .若1+S αβ∈,则由11S α∈必有1S β∈,矛盾.故必有2+S αβ∈,由2S β∈必有2S α∈,从而21S S ⊇.性质5 假设V 为数域F 上的向量空间,12,,n V V V …,是V 的n 个子空间,则同时含有12,,n V V V …,的所有子空间之交等于12+++n V V V ….证 含W 为同时含有12,,n V V V …,的所有子空间之交,则W 是V 的一个子空间,并且,1,2,i V W i n ∈=…,.任取12+++n a V V V ∈…,则12+++n a a a a =…,i i a V ∈,1,2,,i n =….于是a W ∈即12+++n V V V W ⊆….另一方面,12+++,i n V V V V ⊆… 1,2,,i n =….12+++n V V V …是V 的子空间,故12+++n W V V V ⊆….因此,12+++n W V V V =….性质6 若.U V W W U V ⊆+,,是某个向量空间的子空间,且则 (a ) W U W V W =+I I 并不是不是永远成立.例如令((1,0,0)),((1,0,1)),((0,0,1))W U L V L ===,则U ,V ,W 都是实数域R 上向量空间4R 的子空间.易知W U V ⊆+,且{0}U V V U ==I I .这时W U W V W ≠+I I ;(b )若,U W ⊆则(a )中的等式恒成立.事实上,.U W U =I W α∈又任取,U V α∈+则,于是有12,U V αα∈∈,使12ααα=+,即21W ααα=-∈,从而2V W α∈I .因此U V W α∈+I .即W U V W ⊆+I .又因,U W V W W ⊆⊆I ,而W 是子空间,故U V W W +⊆I .于是证得W U V W U W V W =+=+I I I .性质7设1R ,2R ,3R 是向量空间V 的子空间,那么(1)1231323(+++R R R R R R R ⊆I I )()(); (2)1323133(+(+R R R R R R R ⊆I I I ))(). 证:(1)任取123(+R R R α∈I ),则112R R α∈I ,23R α∈,使12=+ααα。