第1章 利息理论基础08

例1.6答案

以第7年末为时间参照点，有
1.06 6 4 1.06 4 x 1.06 10 x 3.7435 千元

以第8年末为时间参照点，有
1.06 7 4 1.065 x 10 1.06 x 3.7435千元
例1.7：求利率
（1）某人现在投资4000元，3年后积累到5700元， 问季度计息的名义利率等于多少？ （2）某人现在投资3000元，2年后再投资6000元， 这两笔钱在4年末积累到15000元，问实质利率 =？

名义贴现率 d (m) m d 1 1 d m
d (4) 1 4
4
பைடு நூலகம்
(m)
名义贴现率
d ( 4) 1 4
3
d (4) 1 4
2
1
d ( 4) 4
1 1
实质贴现率 1 d
d
例1.3
1、确定500元以季度计息8%年利率投资5年 的积累值。 2、如以6%年利，按半年为期预付计息，到 第6年末支付1000元，求其现时值。 3、确定季度计息的名义利率，使其等于月度 计息6%名义贴现率。
m m
等价公式

由 t
d ln a(t) dt
0 s ds
t

得： a ( t ) e 在恒定利息效力场合下，有：
ln(1 i) a(n) exp{n }
ln v a 1 (n) exp{n }
例1.4

确定1000元按如下利息效力投资10年的积 累值
n
实质利率与实质贴现率关系
初始值 利息 积累值
1
i
d
0
1 i
1
t
v
v 1 d 1 i）1 （
v（ i） 1 1
d
i d ,i 1 i 1 d
例1.1 实质利率/贴现率

某人存1000元进入银行，第1年末存款余额 为1020元，第2年末存款余额为1050元，求 i1、i2、d1、d 2 分别等于多少？

参考答案 ： 各利率分别为2%、2.94%、1.96%和2.86%。
2、利息度量——单利与复利

线形积累


指数积累

单利
a (t ) 1 it in i 1 ( n 1)i
复利
a (t ) (1 i ) t in i


单贴现
a 1 (t ) 1 dt dn d 1 ( n 1) d
1
例1.5答案
1、e 0 1 t dt
n
1
e
ln(1 t )
n 0
1 n
2、 (1 i1 ) 5 (1 i2 ) 5 (1 i3 ) 5 1000 1000 1.05 5 1.045 5 1.04 5 1935 .06 d ( 4) i ( 2) 3、 1000 1 1 4 2 1000 (0.98)8 (1.03) 6 712 .5
(m )
lim
m
i ( m) 1 m
m
lim
m
i ( m ) i (m ) m (1 m )
i ( m)
e

一般地，关于利息力，有，
4、利息度量——利息力与贴现力

利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬 间利率叫作利息力，记为 t。
1 A(t m ) A(t ) t lim 1 m m A(t )
t
lim
t
A(t t ) A(t ) t A(t )
A(t ) d ln A(t ) A(t ) dt a(t ) d ln a (t ) a (t ) dt limi ( m ) limd ( m )
p0
现金流
p1
p2

pn
时间坐标 0

t1
方法：建立现金流分析方程（求值方程） 原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现 时值相等。
t2

tn
例1.6：求本金

某人为了能在第7年末得到1万元款项，他 愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4 千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利 率复利计息，问X=？
保险精算学
主讲教师： 李少斌 Tel： 85221808 Email： tlishb@jnu.edu.cn

保险精算内容


寿险精算 以生命表和利息理论为基础 本课程主要学习寿险精算 非寿险精算 经验损失函数 风险保费 未决赔偿准备金
寿险精算内容结构

基础
利息理论基础 （要求具备一定的数学运算基础） 生命表基础（要求一定的概率论和数理统计基础）
例1.8：求时间

假定 i (12)分别为12%、6%、2%，问在这 三种不同的利率场合复利计息，本金翻倍 分别需要几年？
例1.8答案
i (12) 12 %时， (1 1%)12 n 2 n i (12) 6%时， (1 0.5%)12 n 2 n i (12) 2%时， (1 0.17 %)12 n 2 n ln 2 34 .7 12 ln 1.0017 ln 2 11 .6 12 ln 1.005 ln 2 5 .8 12 ln 1.01
实质利率与实质贴现率计算

已知期初本金和支付利息，计算实质利率

第N期实质利率
in
I ( n) A(n 1)

已知贴现利息和期末投资额，计算实质贴现率

第N期实质贴现率
dn
I ( n) A( n)
A(n )
A(0)
A(1) A( 2)
A(n 2) A(n 1)
0
1
2
I (n )
成绩计算


平时成绩占30-40%： 主要包括出勤、作业等 考试成绩占60-70%
第一章

利息理论基础
利息的度量 利息问题求解 年金
第一节 利息的度量
一、利息的定义

定义：

利息的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补 偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。

影响利息大小的要素：
12
i ( 4) d (12) 1 1 3、 4 12
i
( 4)
0.06 3 41 1 12 6.0605 %
名义利率与瞬间利率

在名义利率 i 中，当m趋于无穷大时，就 得到瞬间利率，即恒定利息力 ，则有：
例1.7答案
（1） 4000 1 j ) 34 5700 j 3% （
i ( 4 ) 4 j 12 %
4 2 （2） 3000 (1 i ) 6000 (1 i ) 15000
(1 i ) 2 1 6 (舍去负根) 由(1 i ) 2 1 6 i 20 .4% （i 2.204 舍去)
复贴现
a 1 (t ) (1 d ) t dn d
单复利计息之间的相关关系
in

i d d n 1 ( n 1)i 1 ( n 1)d


单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。 单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒 定。 t 1时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生 更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。 t 1 时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产 生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。
4 2 23
第二节
利息问题求解
一、利息问题求解四要素 原始投资本金A(0) 投资时期长度t 利率及计息方式



期末/期初计息：利率/贴现率 积累方式：单利计息、复利计息 利息计息次数：实质利率、名义利率、利息效力

本金在投资期末的积累值A(t)
二、利息问题求解原则

本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对 四要素知三求一的问题 工具：现金流图


本金 利率：单位金额在一个度量时期所产生的利息。 时期长度 计息方式
二、利息的度量
0
积累函数 a(t ) 1------------------------------ a(t ) K------------------------------ A(t ) 金额函数 A(t ) 贴现函数 a 1 (t ) a 1 (t ) -----------------------------1 第N期利息 I (n) I (n) A(n) A(n 1)
3、利息度量——名义利率与名义贴现率

名义利率：将一个度量时期复利多次的利率称为名 义利率。
若每度量时期复利m次的名义利率以 i 表示，它 (m) 意味着每1/m度量时期的实质利率为 j i m ，即 有 i ( m ) mj 。 名义贴现率的定义与名义利率类似。
(m )


名义利率与实质利率关系
例1.2

某人存5000元进入银行，若银行分别以2% 的单利计息、复利计息、单贴现计息、复 贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少 积累值？
例1.2答案
(1) 2%单利计息 A(5) 5000 (1 5 2%) 5500 ( 2) 2%复利计息 A(5) 5000 (1 2%)5 5520 (3) 2%单贴现计息 5000 5556 1 5 2% ( 4) 2%复贴现计息 A(5) 5000 A(5) 5531 （ 2% 5 1 ）

连续变化场合：函数利息力 (t )
a (t ) exp{ ( s ) ds}
0

t
离散变化场合：i1 ,, it (d1 ,, d t )
a(t ) (1 ik ) (1 d k ) 1
k 1 k 1 t t
例1.5
1、如果 t 1 t ，试确定1在n年末的积累值。 2、如果实质利率在头5年为5%，随之5年为4.5%， 最后5年为4%，试确定1000元在15年末的积累 值。 3、假定一笔资金头3年以半年度计息年利率6%计 息，随之2年以季度计息8%的年贴现率计息，若 5年后积累值为1000元，问这笔资金初始投资额 应该为多少？
t
1、利息度量——实质利率与实质贴现率

期末计息——利率

实质利率：某一度量时期的实质利率是指以期初 一单位投资在一个度量时期末所支付的利息。 实质贴现率：某一度量时期的实质贴现率是指以 期末一单位投资在该度量时期期初所支付的利息。

期初计息——贴现率


实质利率通常记为i，实质贴现率通常记为d。 利息的度量时期通常取1年。

核心内容


保费计算 ：各种寿险和生存年金的趸缴（均衡）纯 （毛）保费 责任准备金计算 保单的现金价值与红利
多元生命函数 多重损失模型 养老保险精算

拓展


参考教材




杨全成等，保险精算技术，复旦大学出版社，2006 年7月第1版。 熊福生、沈治中编著，寿险精算学，武汉大学出版 社，2006年9月修订版。 李秀芳、曾庆五等，保险精算（第二版），中国金 融出版社，2005年1月第2版。 范兴华、邹公明编著，保险精算学通论，清华大学 出版社，2007年1月第1版。

(m ) 名义利率 i (m) m i 1 1 i m
名义利率 1 实质利率 1
i ( 4) 1 4
i ( 4) 1 4
2
i ( 4) 1 4
3
i ( 4) 1 4
4
i
1 i
名义贴现率与实质贴现率关系
1、
5%
2、
t 0.05(1 t ) 2
例1.4答案
1、1000 e10 1000 e100.05 1648 .72
10
2、 1000 e 0
0.05(1 t )
2
dt
1000 e
0.05 0 1 t 10
1046 .50
三、变利息

常见的变利息情况
例1.3答案
1、 2、
i (4) P 1 4
4n
0.08 500 1 742.97 4
2n
20
d ( 2) A0 An 1 2
4
0.06 1000 1 693 .84 2
12