微分方程一般概念10
高数第七章微分方程知识点
高数第七章微分方程知识点
高数第七章微分方程的知识点主要包括：
1. 微分方程的基本概念：微分方程是包含导数或微分的方程，一般形式为
f(x, y', ..., y^{(n)}) = 0。
微分方程的阶数是指微分方程中所含导数或微分的最高阶数。
微分方程的解是指使微分方程成立的函数，不含任意常数的解称为特解，若微分方程的解中所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等，称这个解为通解。
2. 高阶微分方程：高阶微分方程是阶数大于一的微分方程。
例如，二阶常系数齐次线性微分方程，形如 y'' + py' + q = 0 (p, q为常数)的方程。
3. 齐次方程：齐次方程是一种特殊的微分方程，可以通过变量代换化为另一种形式的一阶微分方程。
一阶齐次方程的形式为dydx=φ(yx)，或者可化为这种形式的方程。
4. 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次幂的方程，形式为 dydx+P(x)y=Q(x)。
如果Q(x)=0，则方程为齐次的，反之为非齐次的。
以上内容仅供参考，建议查阅高数教材或咨询专业人士以获取更准确的信息。
微分方程公式大全
以下是一些常见的微分方程公式和概念：
1.一阶线性微分方程：y' + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是已知函数。
2.一阶齐次线性微分方程：y' = f(y/x)，其中f是已知函数。
3.二阶线性微分方程：y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)，其中p(x)，q(x)和f(x)是已知
函数。
4.二阶齐次线性微分方程：y'' + p(x)y' + q(x)y = 0，其中p(x)和q(x)是已知函数。
5.可分离变量的微分方程：如果方程可以整理成g(y)dy = f(x)dx的形式，则称
为可分离变量的微分方程。
此时对两边同时积分，就可以得到通解。
6.齐次方程：如果一阶微分方程的右边为0，即y' = f(y/x)，则称为齐次方程。
可以通过令u = y/x进行变量替换，将其化为可分离变量的微分方程。
7.伯努利方程：形如y' + P(x)y = Q(x)y^n的微分方程称为伯努利方程。
可以通
过令z = y^(1-n)进行变量替换，将其化为一阶线性微分方程。
8.全微分方程：如果一阶微分方程的左边恰好是某个函数的全微分，即dy/dx =
f(x,y)，则称为全微分方程。
此时可以通过积分得到通解。
以上是一些常见的微分方程公式和概念，掌握这些公式和概念对于解决微分方程问题非常重要。
当然，还有许多其他的微分方程类型和公式，需要在实际学习和应用中不断积累和掌握。
常微分方程总结7页
（1） 概念微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。
微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
如： 一阶：2dyx dx= 二阶：220.4d sdt=-三阶：32243x y x y xy x ''''''+-= 四阶：()4410125sin 2yy y y y x ''''''-+-+=一般n 阶微分方程的形式：()(),,,,0n F x y y y '=。
这里的()ny 是必须出现。
（2）微分方程的解设函数()y x ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，()()()(),,0n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎢⎥⎣⎦则()y x ϕ=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '=的解。
注：一个函数有n 阶连续导数→该函数的n 阶导函数也是连续的。
函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。
导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。
导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。
函数连续定义：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续。
左连续：()()()000lim x x f x f x f x --→== 左极限存在且等于该点的函数值。
右连续：()()()000lim x x f x f x f x ++→== 右极限存在且等于该点的函数值。
在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。
如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。
函数在0x 点连续⇔()()()()00lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点0x 有定义 2、()0lim x x f x →极限存在3、()()00lim x x f x f x →=（3）微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微分注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。
第十章第一节微分方程的概念
y dx 2 xdx 得
y x 2 C1
2 y dx ( x C1 )dx
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第一节 微分方程的基本概念
2、通解 若微分方程的解中含有独立的任意常数,且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同， 则称这样的解 为微分方程的通解 （一般解）。
2 前例中， y 3 x ,
其中x0 , y0为已知常数. 二阶微分方程y f ( x, y, y)的初始条件为 , 其中x0 , y0 , y0 为已知常数. y x x y0 , y x x y0
0 0 0
y x x y0 ,
第一节 微分方程的基本概念
称为 4、初始条件 确定通解中的任意常数的条件， 初始条件， 也称为定值条件。
线斜率等于该点的横坐标平方的3倍,求此曲线的方程. 解： 设所求曲线方程为 y y( x ), dy 2 ① 微分方程 3 x 由导数的几何意义得
因曲线通过点 (1,2), 故 y | x 1 2
dx
② 初始条件 对(1)式求积分, 得 y 3 x 2dx x 3 C ③ 方程通解
n阶线性微分方程的一般形式为 ( n) ( n1) y a1 ( x) y ... an1 ( x) y an ( x) y g( x) （3） 其中a1 ( x),.a2 ( x)...,an ( x)和g( x)均为自变量x的
已知函数。 例： y P ( x ) y Q( x ), y 2 yy 3 y x 2 一阶线性常微分方程 二阶线性常微分方程
微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系。 是现代数学的一个重要分支。 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种 常用的微分方程的求解方法，微分方程在经济中的应用。
考研微分方程知识归纳
考研微分方程知识归纳
一、微分方程的基本概念：
1. 微分方程：含有导数或微分的方程称为微分方程。
2. 一阶微分方程：只含有一阶导数的微分方程。
3. 二阶微分方程：含有二阶导数的微分方程。
4. n阶微分方程：含有n阶导数的微分方程。
二、常见的微分方程类型：
1. 可分离变量的方程：可将微分方程写成形如dy/dx = f(x)g(y)的形式，通过分离变量并积分求解。
2. 齐次方程：形如dy/dx = f(y/x)的方程，通过变量替换和分离变量求解。
3. 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)的方程，可以利用积分因子或常系数法进行求解。
4. 高阶线性常系数齐次方程：形如anyn + an-1yn-1 + ... + a1y' + a0y = 0的方程，可以通过特征方程、待定系数法或常系数法进行求解。
三、常见的解法方法：
1. 积分法：将微分方程两边同时积分，然后求解常数项。
2. 变量替换法：通过对变量进行适当的变换，将原方程化简成更简单的形式，再进行求解。
3. 积分因子法：对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的线性方程，可以乘以积分因子μ(x)后使其变为可积分的形式。
4. 常系数法：对于高阶线性常系数微分方程，根据特征方程的根的情况，可以得到方程的通解。
5. 欧拉方程：对于形如x^n(d^n/dx^n)y + x^m(d^m/dx^m)y = 0
的方程，通过变量替换可以将其转化为常系数方程进行求解。
微分方程及其分类
一定是方程
的解
程右端的级数是收敛的）．
（当然要假定这个方
即可使得
．同时，根据(10.2.4)式，就可以断定
．所以，方程(10.2.6) 即为
(10.2.4)
或者进将方程(10.2.11)化为 这种类型的方程称为双曲型方程．我们前面建立的波动方程就属于此类型． 2．当判别式 时：这时方程 (10.2.10)一定有重根
因而只能求得一个解，例如，
，特征线为
一条实特征线．作变换
就可以使
由(10.2.4)式可以得出，一定有
，故可推出
．这样就可以任意选取另一个变换，
只要它和
彼此独立，即雅可俾式
即可．这样，方程(10.2.6)就化为 此类方程称为抛物型方程．热传导（扩散）方程就属于 这种类型．
3.当判别式
注：上式中用小写字母
代表常系数，以便与
我们不妨令
大写字母代表某函数区别开来, 例如
．为了化简，
从而有
(10.4.2)
其中 由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进 一步化简 (10.4.3) 式中 均为常系数．若令
则有 (10.4.4) (10.4.5) 其中
2.抛物型
对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）
（）
还可以进一步化简．上式中小写字母
均为常系数．
为了化简，不妨令
从而有
(10.4.7)
椭圆型 对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数) (10.4.8) 还可以进一步进行化简．上式中小写字母的 为常系数．
为了化简，不妨令
微分方程的特解 当微分方程的通解中各任意常数都取定值时所得的解
微分方程知识点
微分方程知识点微分方程是数学中的一种重要工具，用于描述自然界中许多现象的变化规律。
它是关于未知函数及其导数之间的关系式。
在物理、工程、经济等领域中，微分方程广泛应用。
本文将介绍微分方程的基本概念和常见类型，帮助读者对微分方程有更深入的了解。
一、微分方程的定义微分方程是包含一个或多个未知函数及其导数的方程。
一般形式为：F(x, y, y', ..., y^(n)) = 0其中，x 是自变量，y 是未知函数，y' 是 y 对 x 的导数，y^(n) 是 y 的 n 阶导数（n 为正整数）。
二、常见的微分方程类型1. 一阶微分方程一阶微分方程是只包含一阶导数的微分方程。
常见的一阶微分方程类型包括：（1）可分离变量型dy/dx = f(x)g(y)这类微分方程可以通过变量分离的方法求解。
（2）齐次型dy/dx = f(y/x)这类微分方程可以通过令 y = ux 来化简，得到一阶线性微分方程。
（3）一阶线性微分方程dy/dx + P(x)y = Q(x)其中 P(x) 和 Q(x) 是已知函数。
该类型的一阶微分方程可以通过积分因子法求解。
2. 二阶线性微分方程二阶线性微分方程是包含二阶导数的微分方程。
一般形式为：a(d^2y/dx^2) + b(dy/dx) + cy = f(x)其中 a、b、c 是常数，f(x) 是已知函数。
这类微分方程可以通过特征方程的根的情况来分类，并利用特解和齐次解的线性叠加原理求解。
3. 高阶线性微分方程和常系数线性微分方程除了二阶线性微分方程，还存在高阶线性微分方程。
当系数为常数时，称之为常系数线性微分方程。
求解方法与二阶线性微分方程类似，但需要考虑更多的特征方程根的情况。
4. 线性微分方程组线性微分方程组是多个未知函数相互依赖的微分方程的集合。
一般形式为：dy1/dx = a11y1 + a12y2 + ... + a1ny_n + F1(x)dy2/dx = a21y1 + a22y2 + ... + a2ny_n + F2(x)...dyn/dx = an1y1 + an2y2 + ... + anny_n + Fn(x)其中，a_ij 和 F_i(x) 是已知函数。
总结微分方程知识点
总结微分方程知识点一、微分方程的基本概念微分方程是一个涉及未知函数及其导数的方程。
一般来说，微分方程可以分为一阶微分方程和高阶微分方程两种。
其中，一阶微分方程是指方程中最高阶导数为一阶的微分方程，高阶微分方程则是指方程中最高阶导数大于一阶的微分方程。
微分方程的一般形式可以表示为：F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0其中，x是自变量，y是未知函数，y'是y对x的一阶导数，y''是y对x的二阶导数，y^(n)是y对x的n阶导数，F是关于x、y、y'、y''、...、y^(n)的函数。
二、微分方程的分类根据微分方程的性质和形式，微分方程可以分为很多种类。
其中，常见的微分方程包括：1. 隐式微分方程：形式是F(x,y,y')=0，其中y是未知函数；2. 显式微分方程：形式是y'=f(x,y)；3. 线性微分方程：形式是y^(n)+a(n-1)y^(n-1)+...+a1y'+ay=f(x)或y'=p(x)y+q(x)；4. 非线性微分方程：形式是y'=f(x,y)或F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0，且不满足线性微分方程的条件；5. 高阶微分方程：方程中最高阶导数大于一阶的微分方程。
三、微分方程的解法解微分方程是求解微分方程的一个重要问题。
根据微分方程的类型和形式，可以采用不同的解法进行求解。
常见的解微分方程的方法包括：1. 可分离变量法：当微分方程可以变换为u(x)dy=v(y)dx的形式时，可以使用分离变量法求解微分方程；2. 线性微分方程的解法：对于一阶线性微分方程，可以使用积分因子法或者直接积分法求解。
而对于高阶线性微分方程，可以采用常系数线性齐次微分方程的特征方程法来求解；3. 变换微分方程：通过适当的变换，可以将微分方程化为更简单的形式，从而更容易求解；4. 特殊形式的微分方程的解法：例如可降阶的微分方程、恰当微分方程、齐次微分方程等，都有其特定的解法；5. 数值解法：对于一些难以解析求解的微分方程，可以采用数值解法来进行求解，常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
010微分方程方法建模(预备知识)
特征方程的两个特征根是
所以(2)的通解是
(2)的通解是 其实值解为
2．二阶常系数线性非齐次方程 由通解结构定理，方程(1)的通解等于对应的齐次方程通解与(1) 的一个特解之和。 前面我们已得到了齐次方程的通解，因而下面的问题是讨论如 何求(1)的一个特解。
代人(1)后得 解上式得
说明： (1)对于二阶方程所提供的解法，可完全类似 地推广到n阶方程中。 (2)在求解问题过程中，可视具体情况将高阶 方程转化成一阶微分方程组进行讨论。 例如，对于二阶方程
两边积分得
(3) 2)一阶线性非齐次微分方程的通解 方程(1)的解可用“常数变易法”求得。即将 其对应的齐次方程通解(3)中的任意常数c，换成待 定函数c(x)，设(1)具有如下形式的解 对上式关于x求导，得
代人(1)，得
积分得 其中c是任意常数，代入(3)式得
不难验证，它就是原方程的通解。
例5 解一阶线性微分方程
则与方程等价的一阶线性微分方程组为
返回
5 微分方程的稳定性简介
在现实世界中，任何系统总会受各种各样的干 扰作用，这种作用常常使系统偏离原来的给定的 运动状态，因而有必要研究这种作用对原来给定 运动的影响。这就是微分方程的稳定性问题。 下面简单介绍方程的平衡点及稳定性概念，并 给出判断方程解稳定的初等方法。 设有微分方程 （1）
定义2 在微分方程中，未知函数最高阶 导数的阶数，称为微分方程的阶。 定义3 一个函数代人微分方程中，使得 它成为关于自变量的恒等式，称此函数为微 分方程的解。 由于微分方程的解是函数，将这个函数 代人方程，是经过微分运算使等式成立的， 因此微分方程的解有无穷多个。 定义4 对于n阶微分方程，含有n个(相 互独立的)任意常数的解．称为微分方程的通 解。
101微分方程的基本概念
数，则称其为方程的通解; 若n阶微分方程的解中不含有 任意常数，则称其为方程的特解.
例如 y Ce2x 是方程 y 2 y 0 的通解
y C1 sin x C2 cos x 是方程 y y 0 的通解 y e2x 是方程 y 2 y 0 的特解.
确定n阶微分方程通解中n个独立的任意常数时, 通
§10.1 微分方程的基本概念
一. 引例 二. 微分方程的概念
一. 引例
例1 已知曲线通过点(0,1)且在该曲线上的任一点 M ( x, y) 处的切线斜率为 2x, 求该曲线方程.
解 设所求曲线的方程为 y = f (x) , 根据导数的几何意 义知道, 未知函数 应满足关系式
dy 2x dx
其中 F 是 x, y , y', … , y (n) 的已知函数, x 为自变量, y
为未知函数, 且方程中一定含有 y(n).
n阶微分方程的另一种形式为
y(n) f ( x, y, y, , y(n1) )
其中 f 是 x , y , y', … , y ( n - 1) 的已知函数.
y
x0
y0 ,
y
x0
y1 ,
, y(n1) x0 yn1
微分方程解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积 分曲线. 初值问题的几何意义, 就是求微分方程的通 过点 ( x0 , y0 ) 的那条积分曲线.
例3 验证 函数 y = C1cosx + C2 sinx + x 是微分方程
解 设所求的函数关系为 Q = Q (p)
则由题意可知，它应满足
p
Q
dQ dp
第十章 微分方程及其解
5、y 3 y 2 y xex
二阶常系数非齐次方程，P320 三 5
1 1, y 0 2 2 1 x 一阶线性微分方程，P320，六 5 1 2 7、yy y 0, y 0 1, y 0 2 可降阶微分方程，P320，六 6 8、xy 3 y 0 6、y arcsin x y
第十章内容提要
基本概念：微分方程及其解、通解、特解的概念，差 分方程及其解、通解、特解的概念； 性质与定理：线性微分方程的解的叠加原理，二阶常 系数线性微分方程解的性质定理； 基本计算：求解微分方程； 重点难点：一阶线性微分方程、二阶常系数线性非齐 次微分方程、两类可降阶的二阶微分方程、伯努利方 程、齐次方程、一阶常系数差分方程等的求解；
2 2
两边积分得 ln u 1 u 2 ln xln C
y y C 即 1 x x x 1 1 由 y 0 得 C 2 2
2
得曲线方程 y
1 x2 4
1 2 设切点为 a, a 4
y
Q
P(x,y)
1 a 2 2ax 则切线方程为 o 4 a 1 2 1 切线与坐标轴的交点为 0, a , , 0 4 8a 2
所以切线与曲线以及坐标轴所围图形的面积为
1 1 2 1 a 1 1 2 1 a a3 1 1 2 A a 0 x dx , 0 a 2 4 64a 8 4 12 2 8a 2 4
Cx x 2 1
x f x 1
而 f 1 0 C 2
所以所求函数为 f x x 1 , x 0
微分方程的概念
3 又由于已知曲线过点 (1, 2)，代入上式，得 C . 2 3 1 所以，求此曲线的方程为 x . 2 y
一般地，微分方程的每一个解都是一个一元
函数 y = y(x) ， 其图形是一条平面曲线，我们称 它为微分方程的积分曲线. 通解的图形是平面上的
一族曲线，称为积分曲线族， 特解的图形是积分 曲线族中的一条确定的曲线. 这 就 是 微 分 方 程 的 通解与特解的几何意义.
(3) mv(t) = mg - kv(t)；
1 2 y 1 y ; ( 4) a d 2q g (5) 2 sinq 0 ( g , l 为常数). dt l 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，
称为微分方程的阶. 例如，方程 (1) - (3) 为一阶微 分方程，方程 (4) - (5) 为二阶微分方程. 通常，n 阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y, , y(n)) = 0，
第五模块
第一节
微分方程
微分方程的基本概念
一、微分方程 二、微分方程的解
第五模块
第一节
微积分学的应用
微分方程的基本概念
一、微分方程 二、微分方程的解
一、微分方程
定义 1 凡含有未知函数导数 (或微分) 的方程， 称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元 函数的微分方程称做常微分方程， 未知函数是多元 函数的微分方程称做偏微分方程. 本教材仅讨论常微 分方程，并简称为微分方程. 例如，下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均为 未知函数). (1) y= kx, k 为常数； (2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0；
一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为
初值问题. 求解某初值问题，就是求方程的特解.
微分方程的基本概念,一阶微分方程
1 y sin x C ，C为任意常数 x 将初始条件 ( ) 1代入, 得C , y
1 因此所求特解为 sin x . y x
例6 求方程 ye sin x e sin x y cos x 1 0 的通解.
解
运用通解公式求解．将所给方程改写成
dy 1 2 x y 0, 2 dx x 1 2x , 这是一个线性齐次方程， 且 P ( x ) 2 x 1 2 1 2 P ( x )dx 2 dx ln x , 则 x x x
由通解公式得该方程的通解
y Cx e ,
将初始条件 y(1) = e 代入通解， 得 C = 1.
群的数量变化情况的问题）、传染病传播问题（描
述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，
预报传染病高潮的到来的问题）等都会用到著名的
马尔萨斯（Malthus）模型(
为常数): ，0 x
dx x dt x ( 0) x 0
数导数的方程．
(1 ) ( 2)
观察模型，易发现（1）式是含有未知函
定义
凡含有未知函数导数 (或微分) 的方程，
称为微分方程，未知函数是一元函数的微分方程称 未知函数是多元函数的微分方程称 为常微分方程， 为偏微分方程.
注意：本书仅讨论常微分方程，并简称微分方程.
dx ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0； 如引例方程 x及 dt 2 y 2 y 4 0 4 y y sin x 5 xy 0 ; 2 2 t x
2 2 因此所求特解为 y 3( x 1) 1.
Hale Waihona Puke dy 练习1 求方程 ky( y a ) 的通解(其中k 与 dx a 均是正的常数. )
微分方程的基本概念和解法技巧
微分方程的基本概念和解法技巧微分方程是数学中重要的一种方程，它涉及到函数与它的导数之间的关系。
在物理学、工程学、经济学等领域中，微分方程广泛应用于描述各种变化和运动的规律。
了解微分方程的基本概念和解法技巧，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍微分方程的基本概念以及一些常见的解法技巧。
一、微分方程的基本概念1. 定义：微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
一般形式可以表示为 F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中 y 是未知函数。
2. 阶数：微分方程的阶数是指该方程中导数的最高阶数。
常见的阶数有一阶、二阶和高阶微分方程。
3. 解：微分方程的解是满足方程的函数。
一般来说，一个微分方程可以有无穷多个解。
4. 初值问题：初值问题是求解微分方程时给定一个或多个初始条件，根据这些条件确定方程的解。
初值问题通常涉及到一个点上的初始状态。
5. 常微分方程和偏微分方程：常微分方程只涉及到一个自变量，而偏微分方程则涉及到多个自变量。
常微分方程的解是一类函数，而偏微分方程的解是一个函数族。
二、微分方程的解法技巧1. 变量可分离法：适用于可以将微分方程的变量分离开的情况。
通过将方程两边同时乘以不同变量的函数，使得方程可以变为两个积分的形式，从而得到解。
2. 齐次方程法：适用于可以通过变量代换将微分方程化为齐次方程的情况。
齐次方程中的未知函数可以表示为一个比值函数，通过变量代换后，方程可以化为一个仅依赖于一个变量的方程，从而得到解。
3. 一阶线性常微分方程：适用于形如 y' + p(x)y = q(x) 的一阶线性常微分方程。
通过乘以一个适当的积分因子将方程化为可积形式，然后求解积分得到方程的解。
4. 常系数线性微分方程：适用于形如 y⁽ⁿ⁾ + aₙy⁽ⁿ⁻¹⁾ + ... + a₁y' + a₀y =g(x) 的常系数线性微分方程。
通过猜测形式，得到特解和齐次方程的通解，从而得到方程的通解。
微分方程全部知识点
微分方程全部知识点微分方程是数学中的一个重要分支，其概念和应用涵盖广泛，包括生物学、物理学、化学、工程学等众多领域。
本文将重点介绍微分方程的基本概念、分类以及解法，并列出相关的参考内容。
一、基本概念微分方程是描述自变量与其导数之间关系的数学方程。
其中，自变量通常为时间，而导数表示系统在不同时间点的状态。
微分方程可以分为两类：一类是常微分方程，另一类是偏微分方程。
二、分类常微分方程是指导数只包含一个自变量的微分方程，按照阶数和形式可以分为以下几类：1. 一阶常微分方程：dy/dx = f(x, y)2. 可分离变量的一阶常微分方程：dy/dx = g(x)h(y)3. 线性一阶常微分方程： dy/dx +p(x)y = q(x)4. Bernoulli方程：dy/dx +p(x)y = q(x)y^n5. 二阶线性常微分方程：d²y/dx² +p(x)dy/dx +q(x)y = f(x)偏微分方程用于描述多元函数的导数关系，并且可表示为含有多个未知函数的方程。
按照阶数和形式可以分为以下几类：1. 热方程：u(x, t) = α∂u/∂t + β∂²u/∂x²2. 波动方程：u(x, t) = α∂²u/∂t² + β∂²u/∂x²3. 椭圆方程：u(x, y) = ∑a_ij(∂²u/∂xi∂xj) + ∑b_i(∂u/∂xi) + c(x, y)三、解法常微分方程解法主要有以下几种方式：1. 可分离变量法：将常微分方程化为两个函数的乘积。
2. 齐次方程：将方程中所有项除以后，引入一个新的函数y = ux。
3. 一阶线性方程：利用积分因子将一阶线性微分方程约化为可积函数的形式。
4. Bernoulli方程、Riccati方程和其他特殊方程的解法。
偏微分方程解法主要有以下两种方式：1. 分离变量法：把问题转化为一系列常微分方程。
大学课件高等数学下学期10-1微分方程的基本概念
一、问题的引入
引例1 已知一条曲线通过原点，且在该曲线上 任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的平方， 求该曲线方程。
解 该所求曲线为 f (x) ，根据导数的几何意义及 本题所设，可知未知函数满足
x( y)2 2 yy x 0 是非线性微分方程。
三、微分方程的解与初值问题
1．微分方程的解 定义4：代入微分方程能使方程成为恒等式的
函数称之为微分方程的解。 确切地说，对于给定的微分方程 F[x, y, y,, y(n) ] 0，
如果函数 y (x) 在区间I上有n阶连续导数，且
满足微分方程
xy xyy y xy
再对 x 求导，得 yy xy2 xyy 2 y xy，
即 (xy x) y xy2 yy 2 y 0，
因此， y ln(xy) 是所给微分方程的解。
例3 求积分曲线族 y Cx C2（C是任意常数） 所满足的微分方程。
解 ： 积分曲线族两边求导数，得 y C
例 dy x2 dx
是一阶微分方程；
d 2s dt 2
0.4
是二阶微分方程。
分类Ⅲ：线性与非线性微分方程
y P(x) y Q(x) 是一阶线性微分方程；
y P(x) y Q(x) y f (x) 是二阶线性微分方程； （特点：除 f (x) 外，其他各项关于y, y, y, 均 为 一次。）
课堂练习题解答：
1.解 设所求曲线方程为 y f (x) ，则该曲线在 点 P(x, y) 处的法线方程为：
Y－y 1 ( X x); f (x)
令Y＝0， 得X＝x f (x) f (x)，即 X x yy；
微分方程的基本概念
微分方程的基本概念微分方程是数学中重要的研究对象，它在自然科学、工程技术和社会科学等各个领域中有着广泛的应用。
本文将介绍微分方程的基本概念，包括微分方程的定义、分类、解、初值问题以及一些重要的定理和应用。
一、微分方程的定义微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
一般形式为：$\frac{{dy}}{{dx}}=f(x,y)$。
其中，$y$是未知函数，$x$是自变量，$\frac{{dy}}{{dx}}$表示$y$关于$x$的导数，$f(x,y)$是已知函数。
微分方程描述的是函数与其导数之间的关系。
二、微分方程的分类根据微分方程中出现的未知函数的阶数和自变量的个数，微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程中只涉及一个自变量，而偏微分方程中涉及多个自变量。
常微分方程可进一步分为线性微分方程和非线性微分方程。
线性微分方程中未知函数及其导数的次数均为一次，形如$\frac{{d^ny}}{{dx^n}}+a_1 \frac{{d^{n-1} y}}{{d x^{n-1}}} + \ldots + a_n y =f(x)$。
非线性微分方程中未知函数及其导数的次数不一定为一次。
偏微分方程根据方程中涉及到的导数阶数和未知函数的类型又可以进一步分为椭圆型、抛物型和双曲型方程。
三、微分方程的解求解微分方程的过程称为解微分方程。
解分为显式解和隐式解。
显式解是能直接从微分方程中解出未知函数表达式的解。
例如，对于一阶线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=Q(x)$，可以通过分离变量、定积分等方法求得$y$的显式解。
隐式解是无法用解析式表示的解。
例如，二阶非线性微分方程$y''+y^2=0$的解无法用初等函数表示，只能通过级数或数值方法求得近似解。
四、初值问题初值问题是求解微分方程时常见的问题形式。
给定微分方程和一个特定的条件，例如$y(0)=y_0$，即在$x=0$处给出函数$y$的取值，然后求出该条件下的解。
数学中的微分方程与偏微分方程
数学中的微分方程与偏微分方程数学中的微分方程和偏微分方程是研究变量之间关系的重要工具。
它们在物理学、工程学、经济学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍微分方程和偏微分方程的概念、应用以及解决方法。
一、微分方程的概念与应用微分方程是描述变量之间关系的数学方程。
它涉及一个或多个未知函数及其导数，通常用于描述自然界的变化规律。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程：只涉及一个自变量的微分方程称为常微分方程。
常微分方程的解是一个函数，该函数是自变量的函数，可以通过初始条件来确定。
常微分方程在许多领域中广泛应用，如物理学中的运动学、电路学中的RLC电路等。
偏微分方程：涉及多个自变量的微分方程称为偏微分方程。
偏微分方程的解是一个函数，该函数是多个自变量的函数。
偏微分方程的求解一般要求给定边界条件或初始条件。
偏微分方程在描述波动现象、传热传质、量子力学等问题中具有重要的应用价值。
二、微分方程的解法要解决微分方程，需要找到它的解析解或数值解。
常见的微分方程解法包括分离变量法、齐次化法、特征方程法等。
1. 分离变量法：对于一阶常微分方程，可以通过将未知函数及其导数分离到等式的两侧，再对两侧分别积分来求解。
这种方法适用于满足特定条件的微分方程。
2. 齐次化法：对于一阶线性常微分方程，可以通过引入新的变量转化为齐次方程，再通过合适的变换将齐次方程转化为线性方程求解。
3. 特征方程法：对于二阶常系数线性常微分方程，可以通过特征方程的根来确定通解。
通过给定的初值条件，可以得到特定的解。
对于偏微分方程，一般采用变量分离法、特征线法、变换法等解析解求解方法，也可以通过有限差分法、有限元法等数值方法进行求解。
三、偏微分方程的分类与应用偏微分方程根据方程中未知函数的阶数和变量的个数可以分为一阶和二阶偏微分方程，并在应用中有不同的意义。
1. 一阶偏微分方程：一阶偏微分方程只涉及到未知函数一阶导数。
例如，热传导方程、线性对流方程等在描述热传导、流体流动等问题中起到重要的作用。
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kt
kt
课堂 练习
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一、引例
预备 知识
目的 要求
引例2 银行帐户中的余额计算数学模型 某银行帐户以当年余额的3%的年利率连续每年 盈利利息.假设最初存入的数额为1万元，并且这 之后没有其他数额存入和取出，求帐户中余额所 满足的方程.
解：设 y 为时刻 t 时的余额，并且这以后没有存入 和取出，那么余额的变化率就等于利息，即
目的 要求
重点 难点
复习 指导
g sin 0 ( g , l 为常数). 2 dt l
一阶的
课堂 练习
一阶的 说明 dy du 引例 1中的dt = -k(u – 25)引例2中 0.03 y 都是微分方 . 未知函数是一元函数的微分方程 , 叫常微分方程 dt 程 ，且是常微分方程。 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.
第八章 常微分方程
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背
预备 知识
景
1991年，科学家在阿尔卑斯山发现一个肌肉丰满的 冰人，据躯体所含碳原子消失的程度，通过求解微 分方程，推断这个冰人大约遇难于5000年以前，类
目的 要求
重点 难点
似的实例还有很多．在微分方程的发展史中，数学 家牛顿、莱布尼兹、贝努利家族、拉格朗日、欧拉、
拉普拉斯等等都做出了卓越的贡献．
重点 难点
复习 指导
课堂 练习
1 dy dy 0.03dt 0.03 y 将方程写成 y dt 两边积分，得 ln y 0.03t C1,
y e0.03t C1 eC1 e0.03t
第八章 常微分方程
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一、引例
引例2 银行帐户中的余额计算数学模型
预备 知识
y e
通解 特解 说明
课堂 练习
引例2中， y Ce u=25 + c e u=25 + 125 e 引例1 中， dy 都是 du 0.03 y 的解 都是 dt dt = -k(u – 25) 的解
0.03 t kt
0.03t kt y 10000 e 和 和
第八章 常微分方程Fra bibliotek9/16
复习 指导
课堂 练习
第八章 常微分方程
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一、引例
预备 知识
引例1 物体冷却过程的数学模型 将某物体放置在空气温度为 25℃的环境中冷却，在
时刻 t = 0 时，测量得它的温度为 u0 =150℃，10 分 钟后测量得温度为 u1 =100 ℃ , 我们要求决定此物 体的温度 u 和时间 t 的关系. 解 根据牛顿冷却定律：物体温度的变化率与物体和 当时空气温度之差成正比例。设物体在时刻t 的温度 du 为 u = u ( t )， 则温度的变化率以 来表示，因物体将
第八章 常微分方程
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二、微分方程的基本概念
预备 知识
主要问题——求方程的解
目的 要求
重点 难点
复习 指导
2、微分方程的解 定义 2 任何代入微分方程后使其成为恒等式 的函数，都叫做该方程的解. 微分方程的解的分类： 若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程 的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解 为该方程的通解 当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解， 称为方程的特解.
重点 难点
复习 指导
量之间关系的等式．这样的等式就是微分方程．1676 年詹姆士．贝努利致牛顿的信中第一次提出微分方程， 直到十八世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科 . 微分方程建立后，立即成为研究、了解和知晓现实世
课堂 练习
界的重要工具． 1846年,数学家与天文学家合作，通过 求解微分方程，发现了一颗有名的新星——海王星．
二、微分方程的基本概念
预备 知识
3、初始条件 用来确定通解中的任意常数的附加条件一般称
为初始条件. 一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为 初值问题. 求解某初值问题，就是求方程的特解.
目的 要求
重点 难点
复习 指导
课堂 练习
说明
dy 引例2 是求方程 dt 0.03 y 满足初始条件
y t 0 10000 的解
0.03t
可解得
0.03t
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C 10000
于是帐户中的余额所满足的方程为：
y 10000 e
第八章 常微分方程
二、微分方程的基本概念
1、微分方程
预备 知识
定义1 凡含有未知函数导数(或微分)的方程，称为微 分方程。 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数， 称为微分方程的阶.
二阶的 d 2
d ( u 25) u 25
重点 难点
= - kdt
1
复习 指导
两边积分，得 ln(u – 25) = -kt + c1 kt c 令 ec1 =c，即得 由对数有定义，得 (u – 25) = e u=25 + c e 当 t = 0时，u =u0 代入左式得 c = u0-25=150-25=125 由此 u=25 + 125 e
0.03t C1
e e0.03t
C1
目的 要求
y e e
C1
0.03t
c1 C e 如果设任意常数
就得到：
重点 难点
y Ce
0.03t
因为最初存入的是1万元，所以
复习 指导
y t 0 10000 即 y 0 10000
将此条件代入
课堂 练习
y Ce
du 随时间而逐渐冷却， 故温度变化率dt du 立起函数u( t )满足的微分方程 dt
目的 要求
重点 难点
复习 指导
课堂 练习
dt
恒负，由此可建
= -k(u – 25)
第八章 常微分方程
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一、引例
引例1 物体冷却过程的数学模型
预备 知识
du dt
= -k(u – 25)
目的 要求
为了决定物体的温度u和时间t的关系，将上式改写成
预备 知识
目的 要求
重点 难点
一、引例 二、微分方程的基本概念
复习 指导
三、小结
课堂 练习
第八章 常微分方程
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背
预备 知识
景
函数是反映客观世界运动过程中量与量之间的
目的 要求
一种关系，寻求函数关系在实践中具有重要意义。许 多实际问题，往往不能直接找出需要的函数关系，却
比较容易列出表示未知函数及其导数(或微分)与自变
第八章 常微分方程
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二、微分方程的基本概念
预备 知识
目的 要求
例1 设一物体从Ａ点出发作直线运动，在任一时 刻的速度大小为运动时间的两倍．求物体的运动方程． 解 设物体的运动方程为 s s( t ) 由题意，知 s(t ) 2t