流体静力学2
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流体力学 第二章 水静力学 (2)
式中
ydA 表示面积dA对Ox的静矩 。
(一)
静水总压力的大小
根据理论力学中的静矩定理：微小面积dA对 某一轴的静矩之和（即
A ydA ），等于 平面面积A对同一轴的静矩Sx （即平面面积A
与其形心纵坐标yc的乘积），即有：
Sx
则
ydA y
A
c
A
P g sin S x g sin yc A
工程实践中，需要解决作用在结构物表面上的液体静压力 的问题。
本节研究作用在平面上的液体静压力，也就是研究它
的大小、方向和作用点。 由于液体静水压力的方向指向作用面的内法线方向， 因此只须求总作用力的大小和作用点。 研究方法可分为解析法和图解法两种
一、用解析法求任意平面上的静水总压力
问题：作用于这一任意平面上的相对静水总压力的大小及作
得
A
xD
A
I XY yC A
I Cxy yC A
I XY xydA 称为EF平面对Ox及Oy轴的静矩积
x D xC
式中Icxy为平面EF对通过形心C并与Ox、Oy轴平行的轴的惯性积。因为惯 性积Icxy可正可负，xD可能大于或小于xc。也就是对于任意形状的平面，压 力中心D可能在形心C的这边或那边
面相垂直。
注意：
1.在水利工程中，一般只需计算相对压强，所以只需绘制相对压强分 p h 布图，当液体的表面压强为 p0 时， 即p与h呈线性关系，据此绘 制液体静水压强图。 2. 一般绘制的压强分布图都是指这种平面压强分布图。 相对压强分布 图
pa
A
Pa+ρgh
B
静水压强分布示意图
静水压强分布图实例
由图可见：
ydA 表示面积dA对Ox的静矩 。
(一)
静水总压力的大小
根据理论力学中的静矩定理：微小面积dA对 某一轴的静矩之和（即
A ydA ），等于 平面面积A对同一轴的静矩Sx （即平面面积A
与其形心纵坐标yc的乘积），即有：
Sx
则
ydA y
A
c
A
P g sin S x g sin yc A
工程实践中，需要解决作用在结构物表面上的液体静压力 的问题。
本节研究作用在平面上的液体静压力，也就是研究它
的大小、方向和作用点。 由于液体静水压力的方向指向作用面的内法线方向， 因此只须求总作用力的大小和作用点。 研究方法可分为解析法和图解法两种
一、用解析法求任意平面上的静水总压力
问题：作用于这一任意平面上的相对静水总压力的大小及作
得
A
xD
A
I XY yC A
I Cxy yC A
I XY xydA 称为EF平面对Ox及Oy轴的静矩积
x D xC
式中Icxy为平面EF对通过形心C并与Ox、Oy轴平行的轴的惯性积。因为惯 性积Icxy可正可负，xD可能大于或小于xc。也就是对于任意形状的平面，压 力中心D可能在形心C的这边或那边
面相垂直。
注意：
1.在水利工程中，一般只需计算相对压强，所以只需绘制相对压强分 p h 布图，当液体的表面压强为 p0 时， 即p与h呈线性关系，据此绘 制液体静水压强图。 2. 一般绘制的压强分布图都是指这种平面压强分布图。 相对压强分布 图
pa
A
Pa+ρgh
B
静水压强分布示意图
静水压强分布图实例
由图可见：
第二章流体静力学
dy → 0, p y = pS 当四面体向A点收缩时，
同理 px = pz = pS
§2.2静力学基本方程（Euler静平衡方程）：
取一个矩形微元六面体，其六个面分别与 坐标轴平行，设微元中心处的压强为 p。 由于 这是个微小体积，因此认为六个面上的压强各 自均匀分布，常用面上中心来做代表。
而面上中心处的压强又可以围绕六面体 中心做Taylor展开。展开式忽略二阶以上 的高阶量，有
1 ⎞ ⎛ p A = p⎜ x + dx ⎟ 2 ⎠ ⎝
p A = p + 0.5(∂p ∂x )dx
p B = p − 0.5(∂p ∂x )dx
这样，垂直于x轴的两个面上的表面力分 别为
[ p + 0.5(∂p ∂x )dx ]dydz [ p − 0.5(∂p ∂x )dx ]dydz
§2.3重力作用下静止流体内部的压强分布 [均匀液体的压强分布] 根据Euler静平衡方程 可以得到：
p = p0 + γh
第一部分是自由面上的压强，第二部分称 为剩余压强。
p = p0 + γh = γ ( p0 γ + h )
这种做法，称为虚水面方法。
[连通器] （ 1 ）同种液体，表面自由压强相等。则两液面 等高，任一等高度的面上均为等压面。 （ 2 ）同种液体，但表面自由压强不等。则自由 压强大者，液面低。 （3）不同液体（不相混）。密度大者液面低。
F = ∫ ρf dV
V
2、表面力——一个流体体积的表面上，受 到其他部分的流体或与之相接的固体的 作用力。这种力，只是作用在体积的表 面上而没有作用到体积内部的流体质点 上。 通常可以把表面力分解为法向的和 切向的分量，分别称为法向力和切向力。 单位面积上则称为法向应力和切应力。
第二章流体力学流体静力学(2)
2、总压力作用点（压心）
F sinyc A
o
y yc yp
自由液面
M dF h hc hp F
CP N y
x
C P
合力矩定理（对ox轴求矩）：
F y p y dF sin y2dA A
F y p y dF sin y2dA
面积惯性矩：
A
A y 2dA Io Ic yc2 A
p0
l
h
A
（2）在测压管内放置轻质而又和水互不混掺的液体，重度 ′< ，则有较 大的h。
第五节 测压计
二、水银测压计与U形测压计
适用范围：用于测定管道或容器中某点流体压强，通常被测点压
强较大。
B—B等压面：
pA 1gz1 p0 2 gz2
pA 2gz2 1gz1
1
A+ z1
B
p0 c
z2 B'
yc yp
1、 作用力的大小，微小面积dA的作用力：
dF pdA hdA y sin dA
自由液面
M dF h hc hp F
CP N y
x C P
静矩：
ydA yc A
A
F dF y sin dA
x
sin yc A hc A pc A
结论：潜没于液体中的任意形状平面的静水 总压力F，大小等于受压面面积A与其形心 点的静压强pc之积。
(zA
pA
)
(
z
B
pB )
0
m h汞 0
3、图示两种液体盛在同一容器中，且 1< 2，在容器侧壁装 了两根测压管，试问图中所标明的测压管中水位对否？
对
1 2
第六节 平面上的流体静压力
流体力学(张景松版)第二章 流体静力学
工程大气压 98066.5 0.98067 1
0.9678 735.6 10.000 735.6 14.22
标准大气压 101325 1.01325 1.033
1
760 10.332 760
14.7
托
133.3 0.00133 0.00136 0.00132 1
13.6
1 0.01934
毫米水柱 9.8067 0.000098 0.0001 0.0000968 0.07356 1 0.07356 0.00142
一、压强的计量
p
1、绝对压强
以完全真空为基准计量的压强
绝对 压强
2、计示（相对）压强
以当地大气压强为基准计量的压强
o
计示 压强
计示 压强 （真空）
p>pa
大气压强 p=pa
p<pa 绝对 压强
完全真空 p=0
表压： p pa pe p pa gh
真空： p pa pv pa p pe
p p dx x 2
o y
dz
b ac
dy dx
p p dx x 2
x
为得到b面和c面的压强，利用a点压强进行泰勒展开:
b(x dx , y, z) : 2
pb
p
p x
dx 2
c(x dx , y, z) : 2
pc
p
p x
dx 2
2 流体静力学
z
p p dx x 2
一、流体的静压强
流体处于绝对静止或相对静止时的压强。
P dP p lim
A0 A dA
2.2 流体的静压力及其特性
第二章 流体静力学
d
例题3
考虑左侧水的作用
a a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
ab段曲面(实 压力体)
bc段曲面(虚 压力体)
阴影部分相 互抵消
abc曲面(虚压 力体)
例题3
考虑右侧水的作用
a
b
c
bc段曲面 (实压力体)
例题3
合成
a a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
左侧水的作 用
右侧水的作 用
abc曲面(虚压 力体)
例4
圆柱形压力水罐，半径R=0.5m，长l=2m，压 力表读值p=23.72kN/M2，试求（1）端部平 面盖板所受水压力；（2）上、下半圆筒所 受水压力。
分析思路
流体作用在曲面各微元面积上的压力 不是平行的，不能直接相加，而是采取 力学中“先分解，后合成”的方法确定总压 力。
§2.5 作用在曲面上的静水总压力
压力大小
dP ghd
一、静水总压力的水平分力
水平分力
dPx dP cos ghd cos ghd x
hd 为压力体体积
z
z
压力体
z
h d z
定义： 压力体相当于从曲面向上引至液 面（自由液面）的无数微小柱体的 体积总和，它是纯数学概念，与这 个体积内是否充满液体无关。
画法： （1）自由液面 （2）曲面 （3）根据静压强作用的方向找特殊点 （4）分段 （5）沿曲面的边界引垂直液面的铅垂面
空气 A 水
故A点的真空值为
p v p a p A (h2 h1 ) 1000 9.8 (2 1) 9800 Pa
第二章 流体静力学
工程实际：堤坝、闸门、桥墩 研究目标：合力的大小、方向、作用点 计算方法：解析法和图解法
h
h
一、解析法
如图所示，静止液体中有一倾斜放置的平面MN，试求作用 在该平面上的总压力。
1）粗线MN代表其侧视图，正面投影为绕其对称轴转90 度 2）平面MN的延伸面与自由液面的交角为；
3）坐标系：ox轴为平面MN的延伸面与自由液面的交线；
二、欧拉平衡微分方程的全微分形式
p X
x ×dx
p Y
y
×dy
p Z
z
×dz
p dx p dy p dz ( Xdx Ydy Zdz)
x y z
p p(x, y, z) dp p dx p dy p dz x y z
通常作用在流体上的单位 质量力是已知的，利用上 式便可求得流体静压强的 分布规律。
yD
sin Iox
P
sin Iox hc A
sin Iox yc sin A
I ox yc A
引入平行移轴公式 Iox Ic Ayc2
yD
I ox yc A
Ic yc2 A yc A
yc
Ic yc A
由此可知，压力中心D必位于受压面形心c之下。
说明：
工程中常见的受压平面多具有轴对称性（对称轴与
当流体存在真空时，工程习惯上用真空度（负压）表示。
真空
pv pabs pa
道 路
三者关系
当p>pa 时，绝对压强=表压强+当地大气压 当p<pa 时，绝对压强=当地大气压-真空度
p 表压强
p>pa 真空度
当地大气压 pa
绝对压强
p<pa
绝对真空 p=0
h
h
一、解析法
如图所示，静止液体中有一倾斜放置的平面MN，试求作用 在该平面上的总压力。
1）粗线MN代表其侧视图，正面投影为绕其对称轴转90 度 2）平面MN的延伸面与自由液面的交角为；
3）坐标系：ox轴为平面MN的延伸面与自由液面的交线；
二、欧拉平衡微分方程的全微分形式
p X
x ×dx
p Y
y
×dy
p Z
z
×dz
p dx p dy p dz ( Xdx Ydy Zdz)
x y z
p p(x, y, z) dp p dx p dy p dz x y z
通常作用在流体上的单位 质量力是已知的，利用上 式便可求得流体静压强的 分布规律。
yD
sin Iox
P
sin Iox hc A
sin Iox yc sin A
I ox yc A
引入平行移轴公式 Iox Ic Ayc2
yD
I ox yc A
Ic yc2 A yc A
yc
Ic yc A
由此可知，压力中心D必位于受压面形心c之下。
说明：
工程中常见的受压平面多具有轴对称性（对称轴与
当流体存在真空时，工程习惯上用真空度（负压）表示。
真空
pv pabs pa
道 路
三者关系
当p>pa 时，绝对压强=表压强+当地大气压 当p<pa 时，绝对压强=当地大气压-真空度
p 表压强
p>pa 真空度
当地大气压 pa
绝对压强
p<pa
绝对真空 p=0
第二章流体静力学
当四面体的体积趋于零时，可证得px= py=pz=pn
即
p=p(x,y,z)
§2-2 流体的平衡微分方程及积分
一、流体的平衡微分方程
在平衡流体中取如图所示微小正交六面体。分析六面
体在x、y、z方向所受外力，列平衡方程，整理化简得
fx
1
p x
0
fy
1
p y
0
1 p
fz z 0
上式也可用矢量方程表示：
虚压力体：压力体和液体在受压曲面的异侧， Pz向上。
A
A
B
B
例4：试绘制图中abc曲面上的压力体。如已知曲面abc为半圆 柱面，宽度为1m，d=3m，试求abc柱面所受静水压力的水平分 力Px和竖直分力Pz 。
a
d d/2
b 水
水 c
[解] 因abc曲面左右两侧均有水的作用，故应分别考虑。
考虑左侧水的作用
故得欧拉平衡微分方程综合式（即全微分形式）
dp ( f xdx f ydy f z dz)
四.等压面
1.定义： p=C或dp=0的平面或曲面。
2.等压面微分方程
f xdx f y dy f z dz 0
或
f•
ds
0
3.等压面的性质
(1)等压面与等势面重合;
(2)等压面恒与质量力正交。
其作用点为通过体积重心所引出的水平线与受压面的交点D。 当相对压强分布图为三角形时，D点位于自由液面下(2h)/3处。
对于相对压强分布图为梯形情况，可将其分解成三角形和矩 形两部分进行计算后，最后利用合力矩定理求总压力作用点。
例3.铅垂放置的矩形平板闸门，面板后布置三根横梁,各横梁受 力相等,已知闸门上游水头H=4m，试求： （1）每根横梁所受静水总压力的大小； （2）各横梁至水面的距离。
流体静力学
p
z
p
C
p
—压强水头(the pressure head)
z—测压管水头(piezometric head)
测压管(the piezometer tube) 是一端 和大气相通，另一端和液体中某一 点相接的管子。 p z C
表示同一容器的静止液体中，所有 各点的测压管水头均相等。 This shows that for incompressible fluid at rest the summation of the elevation z at any point in a fluid plus the pressure head at that point is equal to the sum of these two quantities at any other point. The significance of this statement is that, in a fluid at rest with an increase in elevation, there is a decrease in pressure head and vice versa.
第二章 流体静力学
(Chapter 2 Fluid Statics) • 流体静力学研究流体处于静止或相对静止状态下的平 衡规律及其应用。 • 静止的含义：流体的静止状态是一个相对的概念，指 流体质点之间不存在相对运动，或流体质点相对于参 考系没有相对运动，处于相对平衡状态。 • 静止流体的应力特征：当流体处于相对静止，质点之 间无相对运动的条件下，粘性将无从表现，流体内部 不存在切应力，而只存在正应力（亦即法向应力）。 事实上，由于流体不能承受拉应力，故流体质点间或 流体接触面之间的作用是通过压应力的形式来体现的。 因此，根据力学平衡条件研究静压强的空间分布规律， 确定各种承压面上静压强产生的总压力，是流体静力 学的主要任务。
第2章 流体静力学
第2章流体静力学第2章流体静力学第二章静水力学流体静力学主要研究流体在静止状态下的平衡规律及其工程应用。
由于静止状态下流体之间及流体与物面之间的作用是通过静压力的形式来表现的。
所以，本章的中心问题是研究静止状态下静压力的分布规律，进而确定静止流体作用物面上的总压力，用以解决工程实际问题。
静水力学中的静止是指流体粒子之间没有相对运动的状态。
因此，流体静止包括以下两种情况：所谓的绝对静止，即流体作为一个整体与地球没有相对运动；流体作为一个整体对地球有相对运动，但流体粒子之间没有相对运动。
流体静止时，流体质点之间没有相对运动，所以粘滞性在静止流体中显现不出来。
因此，本章所得到的流体平衡规律对理想流体和实际流体均适用。
§2-1静水压力及其特性一、静压力在静止的流体中，没有剪切应力。
因此，流体中的表面力是沿受力表面法向的正压力或法向力。
设在作用微元面积△a上的法向力为△p，则极限δp（2－1）δa?0δa就是流体单位面积上所受到的垂直于该表面的力，即物理学中的压强，称为流体静压力，简称压力，用p表示。
其单位为n/m2，称为帕斯卡，简称帕（pa）。
作用在某一面积上的静压力的合力称为总压力，以p表示，其单位为牛顿（n）。
常用的压力单位有：PA、bar、ATM、mmHg和mh2o。
换算关系为1bar=1×105pa；1atm=1.01325×105pa；1atm=760mmhg；1atm=10.34mh2o；1mmhg=133.28pa；1mh2o=9800pa。
可以看出，静压单位非常小，所以工程实践中常用的单位是kPa（103pa）或MPa（106pa）。
p=lim二、静压力的两个重要特性其中一个特点是：静压遵循作用面内部法线的方向，即它垂直指向作用面。
证明：一方面，流体静止时只有法向力，没有切向力，静压力只能沿法线方向；另一方面，流体不能承受拉力，只能承受压力。
所以，静压力唯一可能的方向就是内法线方向。
流体力学第02章流体静力学
于质量力只有重力的同一种连续介质。对不连续液体或
一个水平面穿过了两种不同介质，位于同一水平面上的
各点压强并不相等。
二 气体压强的分布（不讲） （不讲就不考）
三 压强的度量--绝对压强与相对压强
1、 绝对压强
设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压 强，称为绝对压强。总是正的。
2、 相对压强
解：相对静水压强：
p pabs pa p0 gh pa
代入已知值后可算得
h ( p p0 pa ) (9.8 85 98) / 9.8 2.33m
g
例： 如图，一封闭水箱，其自由面上气体压强为
25kN/m2，试问水箱中 A、B两点的静水压强何处为大？
已知h1为5m，h2为2m。 解：A、B两点的绝对静水
因水箱和测压管内是互相连通的同种液体故和水箱自由表面同高程的测压管内n点应与自由表面位于同一等压面上其压强应等于自由表面上的大气压强即ghgh11测压管测压管若欲测容器中若欲测容器中aa点的液体压强点的液体压强可在容器上设置一开口细管可在容器上设置一开口细管
第二章 流体静力学
流体静力学的任务：是研究液体平衡的规律及其
p
g
p0
g
得出静止液体中任意点的静水压强计算公式：
p p0 gh
式中
h z0 z ：表示该点在自由面以下的淹没
深度。
p0 ：自由面上的气体压强。
静止液体内任意点的静水压强有两部分组
成：一部分是自由面上的气体压强P0，另一部分 相当于单位面积上高度为h的水柱重量。
(a)
(b)
(c)
淹没深度相同的各点静水压强相等，只适用
pA gLsin
当被测点压强很大时：所需测压管很长，这时可以改 用U形水银测压计。
第二章流体静力学
二、液体随容器作等角速度旋转运动
z 建立如图所示动坐标系 ω
X = ω 2 x, Y = ω 2 y , Z = − g
p0
dp = ρ (ω xdx + ω ydy − gdz )
2 2
y
o
A g
x
p = ρ( = ρ(
ω 2 x2
2
+
ω 2 y2
2
− gz ) + C
o x y
x
y r A
ω y
p / ρg
能；
C 表示单位重量流体所具有的总势能，简称总能。 表示单位重量流体所具有的总势能，简称总能。
在重力作用下， 在重力作用下，静止流体中各点的单位重量流体的总 势能是相等的。 势能是相等的。
三、流体静力学基本方程的几何意义
单位重量流体具有的能量用液柱高度来表示称为水头。 单位重量流体具有的能量用液柱高度来表示称为水头。 水头 表示该点到基准面的高度，称为位置水头， z 表示该点到基准面的高度，称为位置水头，简称位水
hC 平面形心点的淹没深度
A
PyD = ∫ ydP =ρ g sin α ∫ y 2 dA = ρ g sin α I x
∂p dx pA = p − ∂x 2 ∂p dx pB = p + ∂x 2
1 ∂p p− dx dydz 2 ∂x
A
C p
B
1 ∂p p+ dx dydz 2 ∂x
½ dx
图2－4
由于微六面体处于平衡状态， 由于微六面体处于平衡状态，所以由平衡条件得
一、流体平衡微分方程
在静止的流体中取一微六面体，如图2-4所示。取六面 在静止的流体中取一微六面体，如图2 所示。 体内中心点C点，设C点的静压强为 p ，过C点作轴的平行线 体内中心点C 交左右侧面分别为A 将静压强按泰勒级数展开， 交左右侧面分别为A、B点，将静压强按泰勒级数展开，并略 去高阶微量， 去高阶微量，则
第二章 流体静力学
1 1 p x dydz pn dSn cos(n, x) f x dxdydz 0 2 6 1 化简得
p x pn
p x pn
6
f x dx 0
同理，在y和z方向得到
p y pn
p z pn
p x p y p z pn
说明： （1）静止流体中不同点的压强一般是不等的，同一点的各 向静压强大小相等。 （2）运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则 由于粘性会产生切应力，这时同一点上各向法应力不再相等。 （3）运动流体是理想流体时，由于不会产生切应力，所以 理想流体动压强呈静压强分布特性，即
1标准大气压(atm)=101337 Pa=10.33mH2O=760mmHg
1工程大气压(at)=98100 Pa=10mH2O=735mmHg
各种压力单位的换算关系
标准大压 帕(Pa) 米水柱 毫米水银 柱 mmHg
760 750.06 735.58
atm
1 0.9869 0.9679
N/m2
p p0 (ax gz)
等压面方程： 自由液面方程：
ax gz c
ax gz 0
二、等角速度旋转容器中液体的平衡
流体对平面的作用力
dF pdA ( p0 gh)dA p0 dA gy sin dA
F dF ( p0 gy sin )dA
1 p 0 x
fx
同理， f 1 p 0 y
y
fz
1 p 0 z
1 p fx 0 x 1 p fy 0 dp ( f x dx f y dy f z dz) y 1 p fz 0 z
p x pn
p x pn
6
f x dx 0
同理，在y和z方向得到
p y pn
p z pn
p x p y p z pn
说明： （1）静止流体中不同点的压强一般是不等的，同一点的各 向静压强大小相等。 （2）运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则 由于粘性会产生切应力，这时同一点上各向法应力不再相等。 （3）运动流体是理想流体时，由于不会产生切应力，所以 理想流体动压强呈静压强分布特性，即
1标准大气压(atm)=101337 Pa=10.33mH2O=760mmHg
1工程大气压(at)=98100 Pa=10mH2O=735mmHg
各种压力单位的换算关系
标准大压 帕(Pa) 米水柱 毫米水银 柱 mmHg
760 750.06 735.58
atm
1 0.9869 0.9679
N/m2
p p0 (ax gz)
等压面方程： 自由液面方程：
ax gz c
ax gz 0
二、等角速度旋转容器中液体的平衡
流体对平面的作用力
dF pdA ( p0 gh)dA p0 dA gy sin dA
F dF ( p0 gy sin )dA
1 p 0 x
fx
同理， f 1 p 0 y
y
fz
1 p 0 z
1 p fx 0 x 1 p fy 0 dp ( f x dx f y dy f z dz) y 1 p fz 0 z
流体力学第二章
对于液面与上边线平齐的矩形平面而言，压力中心坐标为
ｙＤ
＝ｙＣ
＋ ＪＣ ＝ ｙＣＡ
ｌ＋ ｂｌ３／１２ ＝ ２ （ｌ／２）ｂｌ
２ ３ｌ
根据合力矩定理，对 ｏ点取矩可得
Ｐｌ＝Ｐ１
ｌ１ ３
－Ｐ２
ｌ２ ３
＝Ｐ１３ｓＨｉｎ１α－Ｐ２３ｓＨｉｎ２α
代入已知数据可解得 ｌ＝２．５４ｍ
这就是作用在闸门上的总压力的作用点距闸门下端的距离。
— 5—
蔡增基《流体力学》考点精讲及复习思路
解 作用在闸门上的总压力为左右两边液体总压力之差，即 Ｐ ＝Ｐ１ －Ｐ２。 因为 ｈＣ１ ＝Ｈ１／２，Ａ１ ＝ｂＨ１／ｓｉｎα， ｈＣ２ ＝Ｈ２／２，Ａ２ ＝ｂｌ２ ＝ｂＨ２／ｓｉｎα， 所以 Ｐ ＝ρｇｈＣ１Ａ１ －ρｇｈＣ２Ａ２
＝ρｇＨ２１ｂｓＨｉｎ１α－ρｇＨ２２ｂｓＨｉｎ２α ＝９７０３０Ｎ。
槡Ｐ２ｘ ＋Ｐ２ｙ ＋Ｐ２ｚ
总压力的大小为：Ｐ ＝Ｐｘｉ＋Ｐｙｊ＋Ｐｚｋ （２）压力体 压力体是由受力曲面、液体自由表面（或其延长面）以及两者间
∫ 的铅垂面所围成的封闭体积。压力体是从积分 ＡｈｄＡｚ得到的一个体
积，是一个纯数学的概念，与体积内有无液体无关。
— 6—
实压力体 如果压力体与形成压力的液体在曲面的同侧，则称这样的压力体为实压力体，用（＋）来表示，其 方向垂直向下。 虚压力体 如果压力体与形成压力的液体在曲面的异侧，则称这样的压力体为虚压力体，用（－）来表示，其 方向垂直向上。 需要注意的是：以上的两个压力体给人的感觉是实压力体就是内部充满液体的压力体，虚压力体 就是内部没有液体的压力体。其实压力体的虚实与其内部是否充满液体无关 压力体的合成
０．０７５ｍ处，试求该正方形平板的上缘在液面下的深度。
水动力学基础课件：第二章 流体静力学(2)
数学家欧拉：所有人的老师
欧拉(Euler)，瑞士数学家及 自然科学家。1707年4月15日出 生於瑞士的巴塞尔，1783年9月 18日於俄国彼得堡去逝。欧拉出 生於牧师家庭，自幼受父亲的教 育。13岁时入读巴塞尔大学，15 岁大学毕业，16岁获硕士学位。
欧拉是18世纪数学界最杰出 的人物之一，他不但为数学界作 出贡献，更把数学推至几乎整个 物理的领域。他是数学史上最多 产的数学家，平均每年写出八百 多页的论文，还写了大量的力学、 分析学、几何学、变分法等的课 本，《无穷小分析引论》、《微 分学原理》、《积分学原理》等 都成为数学中的经典著作。
被测液体
p1
R
p2
R
0
倾斜式压差计
例1-1 如附图所示，水在水平管道内流动。为测量流体在某截面处的压力， 直接在该处连接一U形压差计，
指 示 液 为 水 银 ， 读 数 R ＝ 250mm ， m ＝ 900mm 。 已 知 当 地 大 气 压 为 101.3kPa ， 水 的 密度1000kg/m3，水银的密度13600kg/m3。试 计算该截面处的压力。
A bL
I xx
bL3 12
I xy 0
几种常见截面面积与惯性矩 (2/4)
A R2
I xx
R 4
4
I xy 0
几种常见截面面积与惯性矩 (3/4)
A bL 2 bL3
I xx 36
I xy
bb 2sL2
72
几种常见截面面积与惯性矩 (4/4)
若被测流体是气体， 0 ，则有
p1 p2 Rg0
讨论：
U形压差计可测系统内两点的压力差，当将U形管一端与被测点连接、
另一端与大气相通时，也可测得流体的表压或真空度；
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pa-p = 26939 (N/m2)
§2-5 静止大气的压强分布 国际标准大
Z
气 dp ( fxdx f ydy fzdz)
dp gdz
O
对流层的压强分布
T T0 z
T0 288K 0.0065K / m
p RT
p dp
g z dz
p p0
R 0 T0 z
p
(1
g
z) R
(1
z
)5.2565
p0
T0
44308
在11km处, z1=11000m, T1=216.5K, p1=0.2231p0
取海平面为基准面:
z=0, T0=150C, p0=101325N/m2 0=1.225kg/m3
同温层的压强分布:
Z
11km处: T1=216.5K 则有
O
p dp
gz
dz
p p1
RT1 z1
p
g
z 11000
p1
exp
R T1
(z
z1 )
exp(
) 6336
例2-5 飞机在大气对流层中飞行, 地面大气压强p0=100kpa, 温度为25 0C, 若飞机上的气压计数为6.8104pa 求: 飞机所在高度
解: 对流层大气压强分布为
p
(1
g
z) R
p0
T0
T0 298K p0 105 pa p 6.8104 pa
3(H 2 h2 ) sin
HF D
d f
B
A O
h
预习 §2-6 静止液体作用在平面壁和 曲面壁上的总压力
作业: 2-8 2-10 2-13
求证: 平板不能自动开启, 应满足下列条件
证明:
S
H3 3(H 2
h3
h2 ) sin
F=gHL/2, f= ghl/2 , L=H/sin, l=h/sin ,
BD=L/3, Bd=l/3
F(S L) f (S l )
3
3
gHL (S L ) ghl (S l )
2
3
2
3
S
H 3 h3
xD
1 P
xpdA 1
A
P
xgy sindA
A
b
a
c
y
x
y
b
D dA
yc
xD=xc+Jcxy/(ycA)
y’
yD
其中Jcxy为(x’与y’轴)的惯性积
x’
若关于y’为对称, 则Jcxy=0
xD=xc,则c与D均在对称轴y’上
y
Jcx
y2dA 2 h/2 y2bdy
A
0
dy
h
y
x
c
y3 bh3
T0 45846
z 3243m
§2-6 静止液体作用在平面壁和 曲面壁上的总压力
o
hD hc P h a
c
D
b
a
c
y
x
y
b
D dA
yc
y’
yD
x’
P dP pdA ghdA (gysin)dA
A
A
A
A
P dP pdA ghdA (gysin)dA
A
A
A
A
ydA yc A
A
o
hD hc P h a
P=gsin()ycA=g hcA
故压力大小为 P = pcA
压力的作用点可利用 理论力学中的合力距 定理, 即有
c
D
b
a
c
y
x
y
b
D dA
yc
y’
yD
x’
yD
1 P
A
ypdA
1
g sinyc A
A
y(gy sin)dA
1 yc A
A
y2dA
作用面ab对x轴的静面矩
例2-3 水银 密度为 2 , 酒精
密度为1 如果水银面的高
A
度读数为 z1 , z2 , z3 , z4
1 2
求: 压差 (PA-PB)=?
3
解: 界面1的压强 PA
1
界面2的压强 PA- 2 g(z2-z1)
界面3的压强 PA- 2 g(z2-z1)+ 1 g(z2-z3)
2
B 4
界面4的压强 PA- 2 g(z2-z1)+ 1 g(z2-z3)- 2 g(z4-z3)=PB
Jcx 2b 3 12
b
y
Jcx
y2dA 4 /2 y2xdy 0
A
y
Jcx
4
0
/2
r2
sin2 r 2
cos2
d
cx
y=rsin dy=rcosd x
x=rcos r
J cx
4r4
/2 sin2 cos2 d
0
r 4
4
例2-7 单位宽度矩形平板, 倾角为, 水深H, h, 0B=S, 平板可 绕固定轴0转动
第二章 流体静力学
• §2-4 液柱式测压计
•
U形管形管 倾斜式微压计
• §2-5 静止大气的压强分布
•
国际标准大气
• §2-6 静止液体作用在平面壁和曲面壁上的总
•
压力
•
(一) 平面壁
•
§2-4 液柱式测压 计
液柱式测压计是根据流体静力 学基本原理, 利用液柱高来测量 压强差的仪器, 种类很多, 自己 可看书. 下面举例题加以说明.
PA-PB= 2 g(z2-z1+z4-z3) - 1 g(z2-z3)
例2-4 D=60mm, d=5mm, h=200mm 求: 杯口气压的真空度
h
p
pa
D
解: p=pa - g(h+h)
hD2/4=hd2/4
d
h
水银
所以 pa-p = g(1+(d/D)2)h =136009.8 (1+(1/12)2) 0.2
ydA yc A
A
平面ab对x轴的惯性矩
o
hD hc P h a
y2dA J x
A
c
D
b
a
c
y
根据惯性矩平行移轴定理 y
b
D dA
yc
x
J x J cx yc2 A
y’
yD
x’
yD
1 yc A
(Jcx
yc2
A)
yc
Jcx yc A
同理对y轴利用合力 矩定理
o
hD hc P h a
c
D
§2-5 静止大气的压强分布 国际标准大
Z
气 dp ( fxdx f ydy fzdz)
dp gdz
O
对流层的压强分布
T T0 z
T0 288K 0.0065K / m
p RT
p dp
g z dz
p p0
R 0 T0 z
p
(1
g
z) R
(1
z
)5.2565
p0
T0
44308
在11km处, z1=11000m, T1=216.5K, p1=0.2231p0
取海平面为基准面:
z=0, T0=150C, p0=101325N/m2 0=1.225kg/m3
同温层的压强分布:
Z
11km处: T1=216.5K 则有
O
p dp
gz
dz
p p1
RT1 z1
p
g
z 11000
p1
exp
R T1
(z
z1 )
exp(
) 6336
例2-5 飞机在大气对流层中飞行, 地面大气压强p0=100kpa, 温度为25 0C, 若飞机上的气压计数为6.8104pa 求: 飞机所在高度
解: 对流层大气压强分布为
p
(1
g
z) R
p0
T0
T0 298K p0 105 pa p 6.8104 pa
3(H 2 h2 ) sin
HF D
d f
B
A O
h
预习 §2-6 静止液体作用在平面壁和 曲面壁上的总压力
作业: 2-8 2-10 2-13
求证: 平板不能自动开启, 应满足下列条件
证明:
S
H3 3(H 2
h3
h2 ) sin
F=gHL/2, f= ghl/2 , L=H/sin, l=h/sin ,
BD=L/3, Bd=l/3
F(S L) f (S l )
3
3
gHL (S L ) ghl (S l )
2
3
2
3
S
H 3 h3
xD
1 P
xpdA 1
A
P
xgy sindA
A
b
a
c
y
x
y
b
D dA
yc
xD=xc+Jcxy/(ycA)
y’
yD
其中Jcxy为(x’与y’轴)的惯性积
x’
若关于y’为对称, 则Jcxy=0
xD=xc,则c与D均在对称轴y’上
y
Jcx
y2dA 2 h/2 y2bdy
A
0
dy
h
y
x
c
y3 bh3
T0 45846
z 3243m
§2-6 静止液体作用在平面壁和 曲面壁上的总压力
o
hD hc P h a
c
D
b
a
c
y
x
y
b
D dA
yc
y’
yD
x’
P dP pdA ghdA (gysin)dA
A
A
A
A
P dP pdA ghdA (gysin)dA
A
A
A
A
ydA yc A
A
o
hD hc P h a
P=gsin()ycA=g hcA
故压力大小为 P = pcA
压力的作用点可利用 理论力学中的合力距 定理, 即有
c
D
b
a
c
y
x
y
b
D dA
yc
y’
yD
x’
yD
1 P
A
ypdA
1
g sinyc A
A
y(gy sin)dA
1 yc A
A
y2dA
作用面ab对x轴的静面矩
例2-3 水银 密度为 2 , 酒精
密度为1 如果水银面的高
A
度读数为 z1 , z2 , z3 , z4
1 2
求: 压差 (PA-PB)=?
3
解: 界面1的压强 PA
1
界面2的压强 PA- 2 g(z2-z1)
界面3的压强 PA- 2 g(z2-z1)+ 1 g(z2-z3)
2
B 4
界面4的压强 PA- 2 g(z2-z1)+ 1 g(z2-z3)- 2 g(z4-z3)=PB
Jcx 2b 3 12
b
y
Jcx
y2dA 4 /2 y2xdy 0
A
y
Jcx
4
0
/2
r2
sin2 r 2
cos2
d
cx
y=rsin dy=rcosd x
x=rcos r
J cx
4r4
/2 sin2 cos2 d
0
r 4
4
例2-7 单位宽度矩形平板, 倾角为, 水深H, h, 0B=S, 平板可 绕固定轴0转动
第二章 流体静力学
• §2-4 液柱式测压计
•
U形管形管 倾斜式微压计
• §2-5 静止大气的压强分布
•
国际标准大气
• §2-6 静止液体作用在平面壁和曲面壁上的总
•
压力
•
(一) 平面壁
•
§2-4 液柱式测压 计
液柱式测压计是根据流体静力 学基本原理, 利用液柱高来测量 压强差的仪器, 种类很多, 自己 可看书. 下面举例题加以说明.
PA-PB= 2 g(z2-z1+z4-z3) - 1 g(z2-z3)
例2-4 D=60mm, d=5mm, h=200mm 求: 杯口气压的真空度
h
p
pa
D
解: p=pa - g(h+h)
hD2/4=hd2/4
d
h
水银
所以 pa-p = g(1+(d/D)2)h =136009.8 (1+(1/12)2) 0.2
ydA yc A
A
平面ab对x轴的惯性矩
o
hD hc P h a
y2dA J x
A
c
D
b
a
c
y
根据惯性矩平行移轴定理 y
b
D dA
yc
x
J x J cx yc2 A
y’
yD
x’
yD
1 yc A
(Jcx
yc2
A)
yc
Jcx yc A
同理对y轴利用合力 矩定理
o
hD hc P h a
c
D