质数的公式

质数的性质

证明：
当 n+1 为合数时，π(n+1)＝π(n) 当 n+1 为素数时，π(n+1)﹥π(n) 故无论 n+1 为合数或是素数，总有π(n+1)≥π(n) 所以π(n)是不减函数，所以π(n+1)－π(n) ≥0 引理 2：
已知质数 p 是不超过 n ( n ≥ 4 ) 的最大质数。求证 n <p 2
故1− 2
k=
⎛ 1⎞ ⎜ 1 − ⎟ < 0 ，所以 pi ⎠ x1 < i < x2 ⎝
∏
x2 − x1 x2 − x1 = x <0 x2 1 ⎛ ⎛ 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞⎡ 1 ⎞⎤ ⎜1 − ⎟ − 2∏ ⎜ 1 − ⎟ ∏ ⎜1 − ⎟ ⎢1 − 2 ∏ ⎜1 − ⎟ ⎥ ∏ pi ⎠ pi ⎠ i =1 ⎝ pi ⎠ ⎣ pi ⎠ ⎦ i =1 ⎝ i =1 ⎝ x1 < i ≤ x2 ⎝
证明：当 n ≥ 152 = 225 时， n ≥ 15 > 8 + 4 3 ，所以
(
n −8
)
2
= 48 ，展开可以得到 3n 。 4
n n − 16 n + 16 > 0 ，所以 − 4 n + 4 > 0 ，也即是， 4
又因为 n − 2 < ⎡ n − 1⎤ < ⎡ n ⎤ ≤
(
n −2
)
2
证明：当 n = 2k 时，即 k < p 假设结论不成立， ∃k , 使得p ≤ k ，那么 π ( p ) ≤ π ( k ) 。又因为 p 是不超过 2k 的最大质数，所以 π ( p ) = π ( 2k ) ，所以可以得到 π ( 2k ) ≤ π ( k ) 。又因为 2k > k ，根据质数的个数公式是不减函数，所以 π ( 2k ) ≥ π ( k ) 再根据假设可以得到

质数公式黎曼猜想

质数公式黎曼猜想黎曼猜想是数学领域中一个备受关注的问题，它是由德国数学家黎曼在1859年提出的。

这个猜想与质数有着密切的关系，因此被称为质数公式黎曼猜想。

本文将从质数和黎曼猜想两个方面来展开讨论。

质数是自然数中的一类特殊数字，它只能被1和自身整除，不能被其他数字整除。

例如，2、3、5、7等都是质数。

质数在数学中起着举足轻重的作用，不仅在理论上有重要地位，而且在实际应用中也有广泛的应用。

质数的研究涉及到数论等多个数学分支，是非常复杂和深奥的。

黎曼猜想则是在质数研究中的一个重要问题。

它提出了一种与质数分布有关的数学函数，即黎曼zeta函数的零点分布。

黎曼zeta函数是一个复数域上的函数，定义为zeta(s) = 1^(-s) + 2^(-s) + 3^(-s) + ...，其中s是一个复数。

黎曼猜想认为，黎曼zeta函数的所有非平凡零点都位于复平面的直线Re(s) = 1/2上。

这个猜想的重要性在于它与许多数论问题的解决息息相关。

如果黎曼猜想成立，那么我们就能够更好地了解质数的分布规律，从而推导出其他与质数有关的数学结论。

然而，至今为止，黎曼猜想尚未被证明或否定，它仍然是数学界的一个未解之谜。

许多数学家为了解决黎曼猜想，做出了大量的努力。

他们使用了各种数学工具和方法，进行了大量的计算和推导。

然而，迄今为止，还没有找到确凿的证据来证明或否定黎曼猜想。

这个问题的困难在于黎曼函数的复杂性以及涉及到的数学技巧的复杂性。

虽然黎曼猜想尚未被证明，但它仍然是数学研究的一个重要方向。

许多数学家继续致力于研究和探索，希望能够找到解决这个问题的方法。

他们通过计算机模拟、数学推导和分析等方法，不断拓展我们对质数和黎曼函数的认识。

无论黎曼猜想是否最终被证明，它都是数学领域中的一个重大问题。

它的提出促使了数学界对质数和黎曼函数的深入研究，推动了数学理论的进步。

无论是解决黎曼猜想，还是在探索的过程中获得其他的数学成果，都将对数学领域产生重要的影响。

质数

质数质数(又称为素数）1.只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。

还可以说成质数只有1和它本身两个约数。

2.素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。

例如，15＝3×5，所以15不是素数；又如，12 ＝6×2＝4×3，所以12也不是素数。

另一方面，13除了等于13×1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。

质数的概念一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，又称素数。

例如（1 0以内）2，3，5，7 是质数，而4，6，8，9 则不是，后者称为合成数或合数。

特别声明一点，1既不是质数也不是合数。

为什么1不是质数呢?因为如果把1也算作质数的话,那么在分解质因数时,就可以随便添上几个1了。

比如30，分解质因数是2*3*5，因为分解质因数是要把一个数写成质数的连乘积，如果把1算作质数的话，那么在这个算式中，就可以随便添上几个1了，分解质因数也就没法分解了。

从这个观点可将整数分为两种，一种叫质数，一种叫合成数。

（1不是质数，也不是合数）著名的高斯「唯一分解定理」说，任何一个整数。

可以写成一串质数相乘的积。

质数中除2是偶数外，其他都是奇数。

2000年前，欧几里德证明了素数有无穷多个。

既然有无穷个，那么是否有一个通项公式？两千年来，数论学的一个重要任务，就是寻找一个可以表示全体素数的素数普遍公式和孪生素数普遍公式，为此，人类耗费了巨大的心血。

希尔伯特认为，如果有了素数统一的素数普遍公式，那么这些哥德巴赫猜想和孪生素数猜想都可以得到解决。

质数的奥秘质数的分布是没有规律的，往往让人莫名其妙。

如：101、401、601、701都是质数，但上下面的301（7*43）和901（17*53）却是合数。

有人做过这样的验算：1^2+1+41=43,2^2+2+41=47,3^2+3+41=53……于是就可以有这样一个公式：设一正数为n，则n^2+n+41的值一定是一个质数。

质数

质数又称素数。

一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。

性质编辑质数的个数是无穷的。

欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。

它使用了证明常用的方法：反证法。

具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，p n，设N=p1×p2×……×p n，那么，是素数或者不是素数。

如果为素数，则要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。

∙如果为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以不可能被p1，p2，……，p n整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。

因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。

所以原先的假设不成立。

也就是说，素数有无穷多个。

∙∙其他数学家给出了一些不同的证明。

欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，哈里·弗斯滕伯格则用拓扑学加以证明。

∙分布规律以36N(N+1)为单位，随着N的增大，素数的个数以波浪形式渐渐增多。

孪生质数也有相同的分布规律。

以下15个区间内质数和孪生质数的统计数。

S1区间1——72，有素数18个，孪生素数7对。

（2和3不计算在内，最后的数是孪中的也算在前面区间。

）S2区间73——216，有素数27个，孪生素数7对。

S3区间217——432，有素数36个，孪生素数8对。

S4区间433——720，有素数45个，孪生素数7对。

S5区间721——1080，有素数52个，孪生素数8对。

S6区间1081——1512，素数60个，孪生素数9对。

S7区间1513——2016，素数65个，孪生素数11对。

S8区间2017——2592，素数72个，孪生素数12对。

S9区间2593——3240，素数80个，孪生素数10对。

S10区间3241——3960，素数91个，孪生素数18对。

花生十三公式

花生十三公式
摘要：
1.花生十三公式的背景和含义
2.花生十三公式的计算方法和原理
3.花生十三公式的应用和影响
正文：
1.花生十三公式的背景和含义
花生十三公式，又称为“花生十三算术”，是一种计算质数数量的公式。

这个公式来源于中国民间，据说在明朝时期就有了这个公式的雏形。

后来经过数学家们的研究与发展，逐渐形成了今天我们所熟知的花生十三公式。

2.花生十三公式的计算方法和原理
花生十三公式的计算方法是：将1 到n 的所有自然数相加，再减去1，然后除以n，最后取余数。

其公式可以表示为：(1+2+3+...+n)-1/n=质数数量。

例如，当n=10 时，(1+2+3+...+10)-1/10=54/10=5...4，即在1 到10 之间有5 个质数。

花生十三公式的原理是基于数论中的“哥德巴赫猜想”。

哥德巴赫猜想指出，任何一个大于2 的偶数都可以表示为两个质数之和。

而根据花生十三公式计算出的质数数量，可以验证这个猜想是否成立。

当然，这个公式只能验证较小范围内的偶数，对于更大的范围则需要进一步研究。

3.花生十三公式的应用和影响
虽然花生十三公式在当今数学领域并不具有很高的学术价值，但它在历史上对于中国民间数学的发展起到了一定的推动作用。

同时，这个公式也反映了古代中国数学家在数论方面的独特见解和智慧。

花生十三公式作为一种计算质数数量的方法，对于初学者而言具有一定的启发意义。

它可以帮助人们更好地理解质数的分布规律，从而激发对数学的兴趣。

总的来说，花生十三公式虽然简单，但它所蕴含的数学原理和历史价值不容忽视。

初中压轴题的超纲公式

初中数学中，我们学习了很多基础的数学公式，如勾股定理、三角函数、平面几何等，但在实际应用中，有些超纲公式却能解决更为复杂的问题。

在本文中，我将介绍一些初中超纲公式，并通过实例来说明它们的应用。

一、费马小定理费马小定理是一种用于判断一个数是否为质数的公式。

它的表述如下：若p是一个质数，a是不被p整除的整数，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

其中，“≡”表示同余符号，即两个数除以一个模数后余数相同。

例如，我们要判断11是否为质数。

我们可以取a=2，根据费马小定理计算2^10 mod11，结果为1。

因此，可以判断11是一个质数。

二、二次剩余二次剩余是指对于一个质数p和一个整数a，若存在一个整数x，满足x^2 ≡ a (modp)，则称a是模p的二次剩余。

若不存在这样的整数x，则称a是模p的二次非剩余。

二次剩余在密码学中有着广泛的应用，如RSA加密算法、Diffie-Hellman密钥交换算法等。

其中，RSA算法是一种公钥加密算法，其安全性基于二次剩余的困难性。

三、矩阵行列式矩阵行列式是一个用于计算矩阵的值的公式。

对于一个n阶方阵A，它的行列式的计算公式如下：|A| = Σ(-1)^i+j * A_ij * |A_ij|其中，i和j分别表示矩阵A的行和列，A_ij表示矩阵A去掉第i行和第j列后的子矩阵，|A_ij|表示子矩阵A_ij的行列式。

矩阵行列式在线性代数中有着广泛的应用，如求解线性方程组、计算矩阵的逆等。

四、傅里叶变换傅里叶变换是一种将一个时间域函数（如声音、图像等）转换为频域函数的方法。

它的数学表述如下：F(ω) = ∫f(t) * e^(-iωt) dt其中，F(ω)表示频域函数，f(t)表示时间域函数，ω表示频率，i表示虚数单位。

傅里叶变换在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用。

例如，我们可以通过傅里叶变换将一张图片转换为频域图像，从而实现图像的压缩、滤波等功能。

总之，超纲公式虽然在初中阶段并不常见，但它们在实际应用中有着重要的作用。

什么叫质数_质数有什么性质

什么叫质数_质数有什么性质导语：质数，是数学王国广大的天地里的一块数字领域。

那么什么叫质数?下面就是品才网为大家提供的关于质数的知识，希望大家能喜欢。

什么叫质数_质数有什么性质质数简介质数(prime number)又称素数，有无限个。

质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数。

比如2 3 5 7 11 13 17 等等。

质数性质质数具有许多独特的性质：(1)质数p的约数只有两个：1和p。

(2)初等数学基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。

(3)质数的个数是无限的。

(4)质数的个数公式是不减函数。

(5)若n为大于或等于2的正整数，在n到之间至少有一个质数。

(6)若质数p为不超过n(N大于等于4)的最大质数，则。

(7)所有大于10的质数中，个位数只有1,3,7,9。

相关阅读关于质数的难题哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想证明的困难在于，任何能找到的素数，在以下式中都是不成立的。

2*3*5*7*。

*PN*P=PN+(2*3*5*7*。

*P-1)*PN前面的偶数减去任何一个素数PN的差必是合数.在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成两个质数之和。

因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。

欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数想陈述为欧拉的版本。

把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。

1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。

今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。

如何快速记忆100以内的质数

如何快速记忆100以内的质数质数是其他所有数的基石,质数非常重要,也是人类追求知识道路上最难解的谜团之一，如何快速记忆100以内的质数表有哪些的呢?本文是小编整理如何快速记忆100以内的质数表的资料，仅供参考。

快速记忆100以内的质数表的方法方法一：一百以内质数口诀二，三，五，七，一十一;一三，一九，一十七;二三，二九，三十七;三一，四一，四十七;四三，五三，五十九;六一，七一，六十七;七三，八三，八十九;再加七九，九十七;25个质数不能少;百以内质数心中记。

方法二：儿歌记忆法：2、3、5、7、11 (二、三、五、七和十一)13、17 (十三后面是十七)19、23、29 (十九、二三、二十九)31、37、41 (三一、三七、四十一)43、47、53 (四三、四七、五十三)59、61、67 (五九、六一、六十七)71、73、79 (七一、七三、七十九)83、89、97 (八三、、九十七方法三：我想2 3 5 7 不用记。

我编了故事:质数爬山喝酒记筷子(11)和医生(13)在天平山上用仪器(17)制造药酒(19)。

碰见乔丹(23)和二舅(29)带着山药(31)和山鸡(37)，跟随的司仪(41)说，石山(43)脚下有他们带的司机(47)，司机头上戴个乌纱(53)帽，帽子上有一个红色的五角星(59)，司机还带个儿童(61)，他们正在油漆(67)车，车里放着生日(71)快乐歌曲，，车上插着旗杆(73)，旗杆上挂着气球(79)。

他们爬山(83)时也带了一瓶白酒(89)，喝完酒后，他们将一块回香港(97)。

转自：高山流水。

质数的基本简介英语中数词主要分为两种:基数词和序数词。

基数词表示数目的多少,序数词则表示顺序。

在各地的中考英语试题中,对数词的考查是命题的重点质数(prime number)又称素数，有无限个。

一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数;否则称为合数。

质数的分布和素数定理

质数的分布和素数定理在数学中，质数是指只能被1和自身整除的正整数。

素数是与质数等价的概念，具有同样的定义。

在数学中，研究质数和素数的分布和性质尤为重要。

本文将讨论质数的分布和素数定理。

一、质数的分布质数在正整数中是相对稀少的。

欧拉在他的《元素算术》中研究了正整数与质数之间的数量关系。

他首先定义了一个函数π(x)，表示不大于x的质数的个数。

例如，π(10)=4，因为在10以内有4个质数，分别是2、3、5和7。

由欧拉的研究，可以得到以下结论：1、质数是无限的。

这是由欧拉和哥德巴赫独立证明的。

他们证明，如果质数是有限的，则可以找到一个比它们更大的数，使得它们的乘积加上1后的结果是一个质数。

2、质数的分布密度越来越小。

当x趋近于无穷大时，不大于x的质数的个数π(x)与x的比值趋近于1/ln(x)，即：lim π(x)/x=1/ln(x)。

这个结论称作欧拉定理。

它表明不大于x的质数大约是x/ln(x)个，也就是所谓的“素数理论”。

二、素数定理欧拉定理给出了质数的分布密度，而素数定理是一个更加具体的结论，它完整地描述了质数分布的规律性。

素数定理的一个形式是：当x趋近于无穷大时，不大于x的质数的个数π(x)大约等于x/ln(x)。

也就是说，当x足够大时，不大于x的质数的个数约等于x除以log(x)的商。

例如，当x=10000时，不大于x的质数的个数约为1229，而10000除以log(10000)约等于1146。

这个结论是由高斯在1792年猜想的，由勒烈在1896年证明。

它是一项至关重要的结果，因为它给出了质数分布的具体规律性，而不仅仅是分布密度。

然而，这个结论只是一个近似结果。

实际上，不同的计算方法会给出不同的误差。

例如，我国数学家陈景润在1956年提出了一种改进的计算方法，称作陈景润公式。

该公式更准确地描述了质数的数量与x之间的关系，但是它的计算复杂度比较高。

三、结论质数和素数在数学中是极其重要的概念。

它们的分布规律性给出了数学定理的基础，同时也是密码学、计算机科学和物理学等各个领域中不可或缺的工具。

质数规律知识点总结

质数规律知识点总结一、质数的定义和特性1.1 质数的定义自然数中大于1的数，如果它除了1和它本身之外没有其他因数，那么它就是质数。

1.2 质数的特性质数具备以下特性：1）质数大于1；2）质数只有两个因数1和自身；3）质数不可以被其他数整除；4）任何一个数都可以由质数的乘积表示。

1.3 大于1的质数除了1以外，大于1的质数还包括2、3、5、7、11、13、17、19等，在无穷多的自然数中，质数也是无穷多的。

1.4 质数的判断对于一个自然数n，判断它是否为质数可以有以下方法：1）试除法：从小到大依次尝试用小于n的每一个自然数去除n，如果都不能整除则n是质数；2）埃氏筛法：利用排除法来判断质数，具体方法是从2开始，将每一个质数的所有倍数去除，剩下的就是质数。

二、质数的规律2.1 质数的分布规律在自然数中，质数是不规则地分布着的，没有固定的规律。

但是，戈尔巴赫猜想认为，任意大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。

这一猜想至今还没有得到严格的证明，但显示了质数之间的特定关系。

2.2 质数的密度质数的分布密度在自然数中是逐渐减小的，即随着数值增大，质数的间隔会越来越大。

这也是质数在整数分解和密码学等方面有着重要意义的原因之一。

2.3 孪生质数孪生质数是指相差2的两个质数，例如（3, 5）、（11, 13）、（17, 19）等，它们之间的差值始终为2。

孪生质数一直是数论中的一个重要研究领域，但至今尚未解决孪生质数猜想，即对任意大于2的偶数n，存在无穷多的孪生质数对满足其中一个质数为n和n+2。

2.4 费马小定理费马小定理是一个非常重要的定理，它指出如果p是一个质数，a是任意一个整数，那么a的p次方减去a必定是p的倍数。

这个定理在密码学和加密算法中有着重要的应用。

2.5 素数定理素数定理是数论中的一个非常重要的定理，它给出了小于一个正整数x的素数的数量约等于x/ln(x)的公式。

这个定理的发现对于数论的发展有着深远的意义。

关于质数的一些简单探讨

㊀㊀㊀㊀㊀１５６㊀关于质数的一些简单探讨关于质数的一些简单探讨Һ易照雄㊀（陕西省汉中市３２０１功能科，陕西㊀汉中㊀７２３０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ从小于２０的八个已知质数出发，由数值计算去尝试寻找质数（包括孪生质数）的公式与简便方法；也可结合混沌理论中的费根鲍姆常数以及与质数关系密切的布朗常数，通过应用自然对数和常用对数，再经由数值计算寻找一个估算质数个数的经验公式．ʌ关键词ɔ质数；伪质数；赝质数；自然对数；常用对数；费根鲍姆常数；布朗常数一㊁关于质数的公式Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋５，Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋７质数（或称之为素数）是指只能被１和其自身所整除的自然数．而合数则是指通过若干个质数相乘所构成的㊁可以被拆分的自然数．正是在这个意义上，人们将质数视为数学中的原子．分析已知的质数不难看出，所有两位及两位以上的质数的个位数只能是１，３，７，９，无一例外．而个位数为０，２，４，５，６，８的自然数，也均无一例外为合数．数值计算表明，所有大于１０的质数都可以由公式Ｎ（ｎ）＝６ｎ＋５，Ｎ（ｎ）＝６ｎ＋７给出．只不过该公式在给出所有质数的同时也给出了相当数量的合数，并不全都是质数，实际上，质数也仅仅只是其中的一部分甚至是一小部分而已．这里，当我们把自然数Ｎ（ｎ）代入上述公式后，如果得到的ｎ值为整数，我们就说自然数Ｎ（ｎ）可以通过６ｎ测试．而由此得到的自然数Ｎ（ｎ），我们则称之为６ｎ质数．我们也可以将公式Ｎ（ｎ）＝６ｎ＋５，Ｎ（ｎ）＝６ｎ＋７改写成Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋５，Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋７，这样的公式包含了１０以内的四个质数：２，３，５，７．至于２ˑ３重复出现了两次，牵强的解释可能是由２，３可以构建５和７，因而２，３显得比５和７更具基础性一些．下面我们运用公式Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋５，Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋７来尝试寻找２００以内的质数．我们先给出由这两个公式所得到的计算值：Ｎ（１）＝６ˑ１＋５＝１１，Ｎ（１）＝６ˑ１＋７＝１３；Ｎ（２）＝６ˑ２＋５＝１７，Ｎ（２）＝６ˑ２＋７＝１９；Ｎ（３）＝６ˑ３＋５＝２３，Ｎ（３）＝６ˑ３＋７＝２５；Ｎ（４）＝６ˑ４＋５＝２９，Ｎ（４）＝６ˑ４＋７＝３１；Ｎ（１４）＝６ˑ１４＋５＝８９，Ｎ（１４）＝６ˑ１４＋７＝９１；Ｎ（１５）＝６ˑ１５＋５＝９５，Ｎ（１５）＝６ˑ１５＋７＝９７；Ｎ（１６）＝６ˑ１６＋５＝１０１，Ｎ（１６）＝６ˑ１６＋７＝１０３；Ｎ（３２）＝６ˑ３２＋５＝１９７，Ｎ（３２）＝６ˑ３２＋７＝１９９．将以上的计算值制成表１：１１㊀１３㊀１７㊀１９㊀２３㊀２５㊀２９㊀３１㊀３５㊀３７㊀４１４３㊀４７㊀４９㊀５３㊀５５㊀５９㊀６１㊀６５㊀６７㊀７１㊀７３７７㊀７９㊀８３㊀８５㊀８９㊀９１㊀９５㊀９７㊀１０１㊀１０３㊀１０７１０９㊀１１３㊀１１５㊀１１９㊀１２１㊀１２５㊀１２７㊀１３１㊀１３３１３７㊀１３９㊀１４３㊀１４５㊀１４９㊀１５１㊀１５５㊀１５７㊀１６１１６３㊀１６７㊀１６９㊀１７３㊀１７５㊀１７９㊀１８１㊀１８５㊀１８７１９１㊀１９３㊀１９７㊀１９９以上所列出的全部计算值已经包括了２００以内的所有质数，当然也还包括一定数量的非质数．如何去掉那些非质数是我们要找寻质数的关键．本文所给出如下一个比较烦琐但却似乎行之有效的方法，即我们仿照远古时候找寻质数的筛法：（１）按已知质数由小到大的顺序先去掉５ˑ５＝２５，５ˑ７＝３５，５ˑ１１＝５５，５ˑ１３＝６５，５ˑ１７＝８５，５ˑ１９＝９５（１００以内的非质数）和５ˑ２３＝１１５，５ˑ２５＝１２５，５ˑ２９＝１４５，５ˑ３１＝１５５，５ˑ３５＝１７５，５ˑ３７＝１８５（１００与２００之间的非质数），或者更简便的就是直接去掉上面所列的计算值中个位数为５的数：２５，３５，５５，６５，８５，９５和１１５，１２５，１４５，１５５，１７５，１８５；（２）再依次去掉７ˑ７＝４９，７ˑ１１＝７７，７ˑ１３＝９１（１００以内的非质数）和７ˑ１７＝１１９，７ˑ１９＝１３３以及７ˑ２３＝１６１，７ˑ２５＝１７５以及１１ˑ１１＝１２１，１１ˑ１３＝１４３，１１ˑ１７＝１８７，１３ˑ１３＝１６９（１００与２００之间的非质数）．再将以上的计算值制成表２：２５㊀３５㊀４９㊀５５㊀６５㊀７７㊀８５㊀９１㊀９５㊀１１５㊀１１９１２１㊀１２５㊀１３３㊀１４３㊀１４５㊀１５５㊀１６１㊀１６９㊀１７５１８５㊀１８７很显然，表２中的值均为非质数，且全都已经包括在表２里．将表１中属于表２里的计算值全都去掉，这样，我们就得到了２００以内的所有质数，如表３：㊀㊀㊀１５７㊀㊀１１㊀１３㊀１７㊀１９㊀２３㊀２９㊀３１㊀３７㊀４１㊀４３㊀４７㊀５３５９㊀６１㊀６７㊀７１㊀７３㊀７９㊀８３㊀８９㊀９７㊀１０１㊀１０３１０７㊀１０９㊀１１３㊀１２７㊀１３１㊀１３７㊀１３９㊀１４９㊀１５１１５７㊀１６３㊀１６７㊀１７３㊀１７９㊀１８１㊀１９１㊀１９３１９７㊀１９９由上面的表２可知，部分个位数为１，３，７，９的自然数，实际上并不是质数，而是一大类可以通过６ｎ测试的合数，如９１，１４３，１８７，１６９，我们暂且将这类属于６ｎ质数的自然数称为伪质数．我们依次并连续运用上面（１）（２）那样的方法，就可以去掉所有类似的非质数（包括伪质数）．这里，我们把建立在公式Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋５和Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋７的基础上并进一步筛掉所有非质数的方法，暂且称为新筛法．我们通过这样的新筛法，就有可能筛掉公式Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋５，Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋７所带来的包括伪质数在内的所有的非质数，最终找到我们所要找寻的质数．不难看出，随着ｎ的增大，一方面上述公式给出了真实的质数，同时也给出了越来越多的非质数，从而导致最终实际给出（存在）的质数越来越稀少．二㊁赝质数公式Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋３，Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋９另外一大类不能通过上面所谓６ｎ测试的自然数，如２１，８７，１１７，１４１，１７７，５６１，１０２３，１６３８３，１０２３４０２９，其个位数也是１，３，７，９，这和前面的伪质数相同．因其仍然为合数，所以我们暂且称之为赝质数．赝质数可从两个连续的６ｎ质数的算术均数中得到，且所有的赝质数都可以被３整除，即被称为赝质数的这类合数都具有最小的质因数３，或者说两个ｎ值不同但连续的６ｎ质数之和都可以被６整除．即：［６（ｎ－１）＋７］＋（６ｎ＋５）２＝６ｎ＋３，６ｎ＋７＋［６（ｎ＋１）＋５］２＝６ｎ＋９．这样的公式Ｎ（ｎ）＝６ｎ＋３和Ｎ（ｎ）＝６ｎ＋９就是由公式Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋５，Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋７而得到的赝质数的计算公式．有趣的是，同一赝质数可以出现在这样的两个公式中，只不过这时ｎ取两个不同但连续的值．例如：５６１，可以同时有：６ˑ９３＋３＝５６１，６ˑ９２＋９＝５６１，但其他类似的公式却没有这样的情形出现．很显然：６ｎ＋３３＝２ｎ＋１，６ｎ＋９３＝２ｎ＋３．这也是另外形式的与寻找质数密切相关的计算公式．相较于其他类似的公式，比如上面的Ｎ（ｎ）＝２ｎ＋１，Ｎ（ｎ）＝２ｎ＋３和Ｎ（ｎ）＝３ｎ＋１，Ｎ（ｎ）＝３ｎ＋２以及Ｎ（ｎ）＝４ｎ＋１，Ｎ（ｎ）＝４ｎ＋３而言，公式Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋５与Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋７给出的计算值不但不包括任何偶数，也不包括任何赝质数，且所包含的非质数也是这类公式中最少的．而孪生质数（即双生质数）在公式Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋５，Ｎ（ｎ）＝２ˑ３ｎ＋７中都具有同一个ｎ值．筛掉所有非质数及与非质数取相同ｎ值的质数，如２５以及与２５取相同ｎ值３的质数２３，１８５以及与１８５取相同ｎ值３０的伪质数１８７，９１以及与９１取相同ｎ值１４的质数８９；再筛掉孪生伪质数，如１１９和１２１．经过这样的筛选，剩下来的就全都是孪生质数了．另外，如果我们说质数是一切数的原子，合数是由若干个质数相乘得到的，那么公式Ｎ（ｎ）＝３ｎ＋１，Ｎ（ｎ）＝３ｎ＋２似乎也表明，２和３可能是所有大于等于５的质数的原子，也即任意一个大于等于５的质数都是由若干个２和３相加来构成的．还有，５和７出现在前面去掉非质数的新筛法中，也即５和７都参与６ｎ质数中的部分非质数的构建，但２和３却没有出现在前面去掉非质数的新筛法中，这似乎也说明了２和３在质数中的基础性地位和作用．我们从上面的讨论中不难看出，对于个位数是１，３，７，９的自然数，可以分成三大类：质数㊁能通过６ｎ测试的伪质数以及不能通过６ｎ测试的赝质数，伪质数和赝质数本质上都是合数．我们以小于２０的八个质数尤其是三对孪生质数（５和７，１１和１３，１７和１９）为基础，应用本文以上所给出的寻找质数的新筛法，就可以很容易得到１００以内的所有质数．在这个新筛法的基础上似乎可以进一步找到小于任意一个自然数（比如本文中的２００）的所有质数，这似乎至少在原则上来讲是可行的和可能的．至于识别任意一个自然数是否为质数或伪质数，我们在这里并不能给出类似于费马小定理的费马素性测试那种简单有效的方法．我们只知道个位数为０，２，４，５，６，８的自然数及赝质数（其个位数为１，３，７，９）都不是质数．尽管我们在原则上似乎可以筛掉所有的伪质数，但这里并没有给出能判定任意一个个位数是１，３，７，９的自然数是否为质数或伪质数的简便方法．三㊁费根鲍姆常数α和δ㊁布朗常数Ｂ２与质数分布可能存在的联系我们上面简单讨论了如何去找寻质数和如何识别伪质数以及怎样认定赝质数．与质数密切相关的另一个问题就㊀㊀㊀㊀㊀１５８㊀是质数的分布．作者由于对物理学的一些基本问题的关注和探讨，联想到混沌理论中的费根鲍姆常数是否会和质数分布规律存在一定的关系．若从长久以来大家一直都知晓的小于给定值Ｎ的素数个数的估算公式π（Ｎ）ʈＮｌｎＮ出发，将上述两个费根鲍姆常数以及与质数密切相关的布朗常数Ｂ２（Ｂ２ʈ１．９０２１６０５７８）联系起来进行综合考量，并经过反复的数值计算，可以得到如下一个小于给定值Ｎ的质数个数的估算公式：π（Ｎ）ʈＮ１ｎＮ－１－１１ｎＮ－３－β．这里，对于不同范围的Ｎ值，包含β１３的公式虽然形式上是相同的，但其相关的取值却不同．具体来说，我们可以将自然数由小到大分成三个不同的区间．１．对于Ｎɤ１０８，包含β１３的公式：ａ１ｎＮ＋ｂ１ｎ１ｎＮｃ１ｇＮ＋ｄ１ｇ１ｇＮ＋１＝１＋β１３．式中ａ＝－δ５１６α２Ｂ２２π３æèçöø÷１３ʈ－０．４６９８９８５３４，ｂ＝α２Ｂ２２π３１６δ２æèçöø÷１２ʈ１．４１９４３０８２６，ｃ＝－２π４Ｂ２２δ２ʈ－０．５２８９４１０２５，ｄ＝－δπ２Ｂ４２４α４æèçöø÷１２ʈ－１．９６０４０５０５７．式中，α和δ为混沌理论中的费根鲍姆常数，Ｂ２为与质数关系密切的布朗常数，π为圆周率．这里，我们可以试着做几个具体数值的计算：（１）Ｎ＝１０４，计算值π（Ｎ）ʈ１２２５，与真实值１２２９相比小４．（２）Ｎ＝１０６，计算值π（Ｎ）ʈ７８４９８，与真实值相同．（３）Ｎ＝９１０２２９，计算值π（Ｎ）ʈ７１９８３，与真实值７２０４７相比小６４．（４）Ｎ＝４２９６９１７，计算值π（Ｎ）ʈ３０２６０８，与真实值３０２６２３相比小１５．２．对于１０８ɤＮɤ１０９，包含β１３的公式：Ａᶄ１ｎＮＣᶄ１ｇＮ＋１＝１＋β１３．式中Ａᶄ＝１πδ２αＢ２æèçöø÷１２ʈ０．０３７１１５１４６，Ｃᶄ＝－Ｂ２４α３ʈ－０．０３０３２８６１５．如果取β１３＝０，与之对应的Ｎ值为Ｎᶄ，由Ａᶄ１ｎＮᶄＣᶄ１ｇＮᶄ＋１＝１可得Ｎᶄʈ４．２６０９３７２７５ˑ１０８．则π（Ｎᶄ）ʈ２２６５１４３４，但这个值是否和真实值相符还有待相关专家学者来澄清．３．对于１０９ȡＮ，包含β１３的公式：Ａ１ｎＮ＋Ｂ１ｎ１ｎＮＣ１ｇＮ＋Ｄ１ｇ１ｇＮ＋１＝１＋β１３．式中Ａ＝－６４αＢ４２δ３π６æèçöø÷１４ʈ－０．３８２６０１４４６，Ｂ＝８πα２δＢ４２ʈ２．５７５７１７６６，Ｃ＝－α４２δ２ʈ－０．９０００４４９７２，Ｄ＝δ２π２α４８２Ｂ２æèçöø÷１３ʈ７．３２１００６０４１，我们也可以试着做几个具体数值的计算：（１）Ｎ＝１０１１，计算值π（Ｎ）ʈ４１１８０５５９４４，与真实值４１１８０５４８１３相比约大１１３１．（２）Ｎ＝１０１４，计算值π（Ｎ）ʈ３２０４９４１６２９ˑ１０３，与真实值３２０４９４１７５０．８０２ˑ１０３相比约小１．２１ˑ１０５．（３）Ｎ＝１０１８，计算值π（Ｎ）ʈ２４７３９９５４３３ˑ１０７，与真实值２４７３９９５４２８．７７４０８６０ˑ１０７相比约大５ˑ１０７．显而易见，上述估算质数个数的公式所给出的计算结果，与相应的真实值是符合得比较好的．这个公式中包含了自然对数㊁常用对数以及混沌理论中的两个费根鲍姆常数，还有与质数密切相关的布朗常数Ｂ２以及圆周率π．不过，用以上这些只涉及初等数学的想法与方法去探讨和对待在自然数中寻找质数㊁估算质数个数这样的老问题，也许是很有趣的，但是否正确和有意义则只能由相关的专家学者去评判了．ʌ参考文献ɔ１．陈仁政．说不尽的π［Ｍ］．北京：科学出版社，２００５．２．（美）约翰㊃德比希尔．素数之恋［Ｍ］．陈为蓬，译．上海：上海科技教育出版社，２０１４．３．（英）马库斯㊃杜㊃索托伊．悠扬的素数［Ｍ］．柏华元，译．北京：人民邮电出版社，２０１９．。

如何判断大质数原理

如何判断大质数原理如何判断大质数原理质数，即只能被1和它本身整除的自然数，是数学中非常重要的一个概念，也是现代密码学中的核心概念之一。

因此，判断一个数是否为质数一直是一个重要的数学问题。

对于小于10^8的数，判断其是否为质数并不困难，但随着数的规模增加，判断其是否为质数就变得愈发困难。

本文将介绍大质数原理，即判断大质数的原理和方法。

一、质数筛选法质数筛选法是判断小于n的所有数是否为质数的一种方法。

具体方法是，首先列出2到n的所有数，将2的倍数删去，然后再将3的倍数删去，以此类推，直到只剩下质数。

这个方法的时间复杂度为O(n log log n)，其中log log n为一个常数。

但是，当n非常大时，这个方法的计算时间也非常长，因此需要其他更快、更有效的方法去判断是否为质数。

二、费马小定理费马小定理是一种判断质数的方法。

其基础公式为a^(p-1) ≡ 1 (mod p)，如果a^(p-1) % p = 1，则p有可能是质数。

但该方法的不足之处在于当p为合数时，有可能也满足这个公式，即伪素数。

三、Miller-Rabin素性检验算法Miller-Rabin素性检验算法是一种比费马小定理更能判断质数的方法。

它基于数学上的一个结论——如果p为质数，则如果a^(p-1) % p = 1，则要么a为p的一个质因数，要么a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

该算法大体思路是，随机选择一个a作为底数，判断其是否满足上述条件，重复k次（k自行设定），如果每次都满足条件，则可认为p是质数。

但该算法存在一定概率会误判合数为质数，因此需要选择合适的底数和重复次数，以保证判断准确性。

四、随机性素性检验算法随机性素性检验算法是一种更加复杂的判断质数的方法。

其基本思路是使用概率的思想，通过加大随机性来提高素性检验的正确率。

该算法的时间复杂度为O(k(log n)^3)。

总结：判断大质数的原理和方法有许多种，其中包括质数筛选法、费马小定理、Miller-Rabin素性检验算法和随机性素性检验算法等方法。

小升初奥数知识点：质数与合数

质数与合数
质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。

合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。

质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。

分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

通常用短除法分解质因数。

任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式：N=，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1
求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。

数学质数表

数学质数表一、质数定义质数是指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。

例如，2、3、5、7、11等都是质数。

二、质数表列举以下是一些常见的质数表：1. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199。

2. 其他质数表可以在相关数学资料或网站上查询。

三、质数性质质数具有以下性质：1. 质数的个数是无限的。

2. 质数具有唯一分解定理，即任意大于1的自然数都可以分解为若干个质数的乘积。

3. 质数的指数运算具有周期性，即对于任意正整数n，形如6n+1和6n-1的数的质数性质有规律可循。

四、质数判定方法质数的判定方法有多种，以下是其中几种常见的方法：1. 小于等于200的质数，可以直接记忆。

2. 对于大于200的质数，可以使用试除法进行判断。

具体地，对于一个大于200的数n，将其除以2到根号n之间的所有整数，如果n能被其中的某个整数整除，则n不是质数；否则，n是质数。

试除法也可以使用特定的质数判定算法来优化，以提高效率。

3. 其他质数判定算法包括费马小定理、米勒-拉宾素性检验等。

这些算法可以用来判断大数的质数性质，但实现相对复杂。

五、质数分布规律质数的分布是不均匀的，它们的个数随着自然数的增大而逐渐减少。

在自然数范围内，质数的分布呈现出一种明显的规律性，例如陈氏定理、哈代-拉马努金恒等式等。

此外，还有一些关于质数分布的近似公式和经验规律，例如埃拉托斯特尼筛法、质数定理等。

六、质数与合数关系质数是合数的一种特殊情况，合数是除了质数以外的所有自然数。

判断一个数是质数的方法

质数和倍数质数和倍数是数学中的两个重要概念，它们在数学的各个领域都有着广泛的应用。

本文将从理论和实际应用两个方面，分别介绍质数和倍数。

一、质数质数，又称素数，是指大于1且只能被1和自身整除的正整数。

质数有着独特的性质和规律，深受数学家的关注。

下面我们从几个方面来介绍质数。

1.1 质数的性质质数具有以下几个性质：（1）质数除了能被1和自身整除外，不能被其他任何数整除。

（2）质数只有两个因数，即1和自身。

（3）质数不能写成其他两个正整数的乘积形式。

1.2 质数的分类质数可以分为两类：有限质数和无限质数。

（1）有限质数：有限质数是指在一定范围内存在的质数，如2、3、5、7等。

（2）无限质数：无限质数是指质数的个数是无穷的，可以无限延伸下去。

1.3 质数的应用质数在密码学、密码破解、随机数生成等领域有着广泛的应用。

其中，RSA加密算法就是基于质数的乘法因子分解难题。

质数的特性使得质数能够提供可靠的加密保障。

二、倍数倍数是指一个数可以被另一个数整除的关系。

在数学中，倍数是一个很常见的概念，它与质数有着密切的关系。

下面我们从理论和实际应用两个方面来介绍倍数。

2.1 倍数的定义倍数是指一个数可以被另一个数整除的关系。

如果一个数可以被另一个数整除，那么它就是另一个数的倍数。

例如，6是3的倍数，因为6可以被3整除。

2.2 倍数的性质倍数具有以下几个性质：（1）一个数的倍数可以是无穷多个，例如3的倍数可以是6、9、12等。

（2）一个数的倍数一定是该数的整数倍，即n的倍数是n的整数倍。

2.3 倍数的应用倍数在日常生活中有着广泛的应用。

例如，人们在购物时常常会遇到折扣活动，商家通常会给出某个商品的折扣倍数，以吸引消费者。

此外，倍数还在数学中的运算中发挥着重要作用，如最小公倍数的计算。

质数和倍数是数学中的两个重要概念。

质数是只能被1和自身整除的正整数，具有独特的性质和应用价值；倍数是一个数可以被另一个数整除的关系，具有广泛的实际应用。

费马质数公式

费马质数公式费马质数公式是数论中一项重要的发现，由法国数学家皮埃尔·德·费马在17世纪提出。

这一公式揭示了质数的一种特殊规律，为数学研究者提供了重要的指导。

什么是费马质数公式呢？费马质数公式可以简单概括为：$2^{2^n}+1$，其中n为自然数。

根据这个公式，我们可以生成一系列的数值，其中的部分数值就是质数。

尽管费马质数公式并不能保证生成所有的质数，但它却提供了一种有趣的方法来探索质数的分布规律。

费马质数公式的生动之处在于它通过指数函数的连续运算，产生了以2为底数的指数的连续平方运算。

这种平方运算有一个特别之处，即每次平方运算都会产生一个新的数字，并且这个数字几乎总是奇数。

而根据费马质数公式，再对这个奇数结果加上1，就有可能生成一个质数。

然而，费马质数公式的全面性却存在一定的局限性。

尽管公式可以生成一些质数，但并非所有的数字都是质数。

事实上，美国数学家克劳德·夏内(Claude Shannon)曾在20世纪40年代通过计算机程序验证了这一点。

他发现，当n大于4时，费马质数公式所生成的数值几乎都是合数，只有在极少数情况下才会生成质数。

因此，虽然公式有其独特之处，但在实际应用中需要谨慎。

费马质数公式的指导意义在于它启发了数学家对质数的研究。

通过分析质数形成的规律，数学家们逐渐提出了一系列更为深入的数论理论。

这种指导意义的关键在于，费马质数公式不仅仅是一个孤立的公式，而是导致了数学研究的更为广阔的领域。

值得一提的是，费马质数公式的魅力也在于它的简单性。

就像费马大定理一样，这个公式也流传了许多年，直到20世纪才被广泛研究。

这也提醒着我们，在数学领域，无论多么简单的公式都可能蕴含着巨大的数学奥秘。

最后，费马质数公式虽然仍存在一定的研究局限性，但它却在数论领域中留下了深刻的印记。

无论公式本身的有效性如何，费马质数公式都象征着数学家对质数规律的不懈探索精神，激发着人们更广泛而深入地理解数学的渴望。

如何快速记忆100以内的质数如何记住100以内的质数

如何快速记忆100以内的质数如何记住100以内的质数质数是其他所有数的基石,质数非常重要,也是人类追求知识道路上最难解的谜团之一，如何快速记忆100以内的质数表有哪些的呢?本文是小编整理如何快速记忆100以内的质数表的资料，仅供参考。

快速记忆100以内的质数表的方法方法一：一百以内质数口诀二，三，五，七，一十一;一三，一九，一十七; 二三，二九，三十七; 三一，四一，四十七; 四三，五三，五十九; 六一，七一，六十七; 七三，八三，八十九; 再加七九，九十七;25个质数不能少;百以内质数心中记。

方法二：儿歌记忆法：2、3、5、7、11 (二、三、五、七和十一) 13、17 (十三后面是十七)19、23、29 (十九、二三、二十九)31、37、41 (三一、三七、四十一)43、47、53 (四三、四七、五十三)59、61、67 (五九、六一、六十七)71、73、79 (七一、七三、七十九)83、89、97 (八三、、九十七方法三：我想2 3 5 7 不用记。