第3章命题逻辑2

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定义5.16
设G1,G2,…,Gn,H是公式, 称H是G1,G2,…,Gn的
逻辑结果(或G1,G2,…,Gn共同蕴涵H)，当且仅当H是
G1∧G2∧…∧Gn的逻辑结果。记为G1,G2,…,GnH, 此 时也称G1,G2,…,GnH是有效的.
G1,G2,…,Gn 称为一组前提，有时用集合Г来表示,
1.极小项与极大项
定义5.15-1
（1）设P1、P2、…、Pn是n个命题变元，一个短语或子句如 果恰好包含所有这n个命题变元或命题变元的否定，且 排列顺序与P1、P2、…、Pn的顺序一致，则称此短语或 子句为关于P1、P2、..、Pn的一个极小项或极大项。 例1 对于P, Q, R 而言, P∧Q∧R, ┐P∧Q∧R, ┐P∧┐Q∧┐R 等都是极小项 而 P∧P∧R, ┐P∧P∧Q, P∧┐Q, ┐R ∧┐Q ∧┐P 都不是关于P, Q, R的极小项.
规律，即推理规则，应用此规则从一些前提中推导出一
个结论来，这种推导过程称为有效推理或形式证明。 一、 基本概念 设G，H是两个公式，称H是G的逻辑结果(或称G蕴 涵H)当且仅当对任意解释I，如果 I 满足G，则 I 也满足
H。将G 蕴涵 H 记为 GH, 也称GH 是有效的,
此时G 称为前提，H 称为结论。
n
在这2 个不同的解释中，有且仅有一个解释使 得mi为1，有且仅有一个解释使得Mi为0，。
例如: P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∧Q ┐P∨Q 0 1 0 1 0 0 1 1
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n
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(3) mi = ┐Mi, Mi = ┐mi；i=0,1,2,…,2n-1 mi∧mj=F ; Mi∨Mj=T；i≠j；i,j∈{0,1,2,…,2n-1}
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例3 求公式 (P∨┐Q)→R 的析取范式和合取范式。
解 (P∨┐Q)→R ＝┐(P∨┐Q)∨R ＝(┐P∧Q)∨R ─── 析取范式
＝(┐P∨R)∧(Q∨R) ─── 合取范式
注：公式的析（合）取范式不唯一。
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5.4.2 主析取范式和主合取范式
G 的主析取范式 = 所有使G为真的解释所对应的极小项的析取 G 的主合取范式 = 所有使G为假的解释所对应的极大项的合取
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例4 求G1＝P→Q和G2＝┐PQ 的主析取范式和主合取范式。 解 列出公式 G1 和 G2 的真值表:
P 0 0 1 1
Q 0 1 0 1
┐P 1 1 0 0
记Г={G1,G2,…,Gn }；H称为结论。又称H是前提集合Г 的逻辑结果。记为ГH。 定理 5.16
公式 H 是前提集合Г＝{G1,G2,…,Gn }的
逻辑结果当且仅当 G1∧G2∧…∧Gn→H 为永真 公式。
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注:“”与“→”的区别 1. “→” 是一般的蕴涵联结词， “” 是关系符. 对公 式G和H, G→H 仍是一个公式，而 G H 不是命题
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例
有一逻辑学家误入某部落，被拘于劳狱，酋长意欲
放行，他对逻辑学家说：
“今有两门，一为自由，一为死亡，你可任意开启一门。 为协助你脱逃，今加派两名战士负责解答你所提的任何 问题。惟可虑者，此两战士中一名天性诚实，一名说谎 成性，今后生死由你自己选择。” 逻辑学家沉思片刻，即向一战士发问，然后开门从容 离去。该逻辑学家应如何发问？
(3) 由有限个极大项组成的合取范式称为主合取范式。
注: 永假式无主析取范式或者说主析取范式为“空”； 永真式无主合取范式或者说主合取范式为 “空”. 定理5.4 任何命题公式都存在唯一一个与之等价的 主析取范式和主合取范式.
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证明 对任意的命题公式G，若G为永假式，由注释G 的 主析取范式为“空”。 若G不为永假式，则先将G化为析取范式，再去掉其 中为永假式的短语，并将其中不为永假式的短语用与之 等价的极小项的析取取代，合并相同项即得G 的主析取 范式。 类似可求得G 的主合取范式。 唯一性（略）
2 n 1 i 0
mi 1，
2 n 1 i 0
Mi 0
(4) 每个不为永假式的短语, 均可表示为与之等价 的极小项或极小项的析取; 每个不为永真式的子 句, 均可表示为与之等价的极大项或极大项的合 取.
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2. 主析取范式和主合取范式
定义5.15-2 (2) 由有限个极小项组成的析取范式称为主析取范式；
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例5 求 G = (P→Q)∧R 的主析取范式和主合取范式。 解 列出其真值表： 由此得 G的主析取范式= (┐P∧┐Q∧R)∨ (┐P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R) G的主合取范式 ＝ (P∨Q∨R)∧(P∨┐Q∨R) ∧(┐P∨Q∨R) ∧(┐P∨Q∨┐R)∧( ┐P∨┐Q∨R)
公式；
2. 直接用计算机来判断是否有 GH 是办不到的，然 而计算机却可通过“计算”公式G→H是否永真来判 断是否有 GH。
二、 判断有效结论的常用方法
1.真值表技术
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方法: 设P1,P2,…,Pn是出现在前提G1,G2,…,Gn和
结论H中的一切命题变元. 先将G1,G2,…,Gn，H 列
P 0 0 0 0 1 1 1 1
Q 0 0 1 1 0 0 1 1
R 0 1 0 1 0 1 0 1
P→Q 1 1 1 1 0 0 1 1
G 0 1 0 1 0 0 0 1
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4.主析取范式和主合取范式之间的转换
例6 设公式 G＝(P→Q)∧(┐P∨┐Q∨R), 求 (1) G的主析取范式和主合取范式; (2) ┐G 的主析取范式. 解 (1) G＝(┐P ∨ Q)∧(┐P∨┐Q∨R) ＝((┐P ∨ Q)∨(R∧┐R))∧(┐P∨┐Q∨R) ＝(┐P ∨Q∨R)∧(┐P ∨Q∨┐R)∧(┐P∨┐Q∨R) －－－－－ 主合取范式 ＝ M4 ∧ M5 ∧ M6 = m0 ∨ m 1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m7 = (┐P∧┐Q∧┐R)∨(┐P∧ ┐Q∧R)∨ (┐P∧Q∧ ┐R)∨(┐P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R) －－－－ 主析取范式
续
(P ∨ (┐Q∧ Q) )∧( (┐P ∧ P) ∨ ┐Q ) = ((P ∨ ┐Q)∧ (P ∨Q))∧((┐P ∨ ┐Q) ∧ (P ∨ ┐Q) )
= (P ∨ ┐Q)∧ (P ∨Q)∧(┐P ∨ ┐Q)
(2) 真值表技术(Technique of Truth Table)
方法: 首先列出给定公式G 的真值表, 由表可得
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2.极小项与极大项的性质与记号
(1) 对于n个命题变元，共有2n个不同的极小项和2n个不
同的极大项，分别记为 m0，m1， … ， m 2 n - 1 和 M0，M1
，…，M2n-1。例如关于P, Q, R 有: 解释 P Q R 0 0 0 0 0 1 0 1 0
3. 主析取范式和主合取范式的求法
（1）公式转换法 即利用定理5.15证明中描述的方法
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例2 求G＝P→Q 的主析取范式和主合取范式。 解 G＝P→Q＝ ┐P∨Q ( = M2 －－ 主合取范式) = (┐P∧ (┐Q∨Q) )∨( (┐P∨P) ∧ Q ) ＝ ((┐P ∧ ┐Q)∨ (┐P ∧ Q))
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(2) 由(1), G＝ m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m7
所以 ┐ G = m4 ∨ m 5 ∨ m 6 = (P∧┐Q∧┐R)∨(P∧ ┐Q∧R)∨ (P∧Q∧ ┐R) －－－－ 主析取范式 例7 设公式 G＝ G(P,Q)的真值表如下表, 求G的主析取范式. P 0 0 1 1
∨((┐P ∧ Q) ∨(P ∧ Q))
= (┐P ∧ ┐Q)∨ (┐P ∧ Q)∨ (P ∧ Q) (= m0 ∨ m1 ∨ m3 －－－ 主析取范式)
例3 求 P∧┐Q 的主合取范式。 解 P∧┐Q = (P ∨ (┐Q∧ Q) )∧( (┐P ∧ P) ∨ ┐Q )
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在一个真值表中，再按如下方法作判断： (1) 对所有G1,G2,…,Gn都具有真值T的行,考查H的 真值, 如果在每一个这样的行中，H 也具有真 值T，则H 是 G1,G2,…,Gn 的逻辑结果。
(2) 对所有H 具有真值为F 的行,如果在每一个这
解：逻辑学家手指一门问身旁的一名战士说：“这扇 门是死亡门，他(指另一名战士)将回答‘是’，对吗？”
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例（续2） 当被问战士回答“对”，则逻辑学家开启所指的门从 容离去。当被问的战士回答“否”，则逻辑学家开启另 一扇门从容离去。 分析：如果被问者是诚实战士，他回答“对”。则另 一名战士是说谎战士，他回答“是”，那么，这扇门不 是死亡门。 如果被问者是诚实战士，他回答“否”。则另一名 战士是说谎战士，他回答“不是”，那么，这扇门是死 亡门。 如果被问者是说谎战士，可以类似分析。
对应的 十进制 数
极小项 mi m0=┐P∧┐Q∧┐R m1=┐P∧┐Q∧R m2=┐P∧Q∧┐R
…………
极大项 Mi M0=P∨Q∨R M1=P∨Q∨┐R M2=P∨┐Q∨R
0 1 2
1 1 1
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7
m7=P∧Q∧R
M7=┐P∨┐Q∨┐R
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(2) 含有n个命题变元的极小项mi和极大项Mi， 作为命题公式，共有2 个不同的解释。
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