第三章 1重力场基本理论
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微伽(μGal= mGal/1000=10－８m s－２)
•地面点重力近似值 980Gal，赤道重力值 978Gal，两 极重力值 983Gal。由于地球的极曲率及周日运动的原 因，重力有从赤道向两极增大的趋势。 •地球上重力的大小与方向只与被吸引点的位置有关， 理论上应该是常数，但重力是随时间变化而变化，即 相同的点在不同的时刻所观测到的重力不相同。(微)
3 5 2 顾及r与a的关系得： 0 fM (1 q ( q ) cos ) 2
• 特例：
fM 3q 2 (1 ) 9.78ms ，赤道正常重力： e 90 a2 2
fM 0 ，极点处正常重力： p 2 (1 q ) 9.832ms 2 a
三、引力位和离心力位
位函数的概念：设有一标量函数，它对被吸引点各坐标方向 的偏导数等于引力在相应方向上的分力，则此函数称为位函 数。位函数的形式为： V V V 则：Fx ，Fy ，Fz x y z
（一）引力位：
单位质点受物质M的引力作用产生的位能称为引力位，或者 说将单位质点从无穷远处移动到该点引力所做的功。即：
q
2a
ge
3K , 2 2a
Biblioteka Baidu
2a
fM
a2
2 a3
fM
令： 则有：
地球形状参数。
M q 2 2 U f [1 (1 3 cos ) sin ] r 3 2
与大地水准面相近的正常位水准面方程
•注意：如果正常重力位已知，则对应的正常水准面已知， 不同的正常重力位对应不同的正常位水准面，我们寻找的是 与大地水准面相近的正常位水准面的形状，上式中，对r和 取不同的常数值，就得到一簇正常位水准面。 取 90 , r a ，求得与大地水准面相近的正常位水准面 方程： M q
四、地球的正常重力位
重力位
dm 2 2 W f (x y2 ) r 2 M
•要精确计算出地球重力位，必须知道地球表面的形状 及内部物质密度，但前者正是我们要研究的，后者分 布极其不规则，目前也无法知道，故根据上式不能精 确地求得地球的重力位，为此引进一个与其近似的地 球重力位——正常重力位。 •正常重力位是一个函数简单、不涉及地球形状和密度 便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力 位。当知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重 力位的差异(称扰动位)，便可求出大地水准面与这已 知形状(正常位水准面)的差异。最后解决确定地球重 力位和地球形状的问题。
5 17 (1 )q 2 35 1 2 1 1 ( ) 8 4
用不同的观测数据，导出的正常重力公式： • 1901～1909年赫尔默特公式：
0 978.030(1 0.005302 sin 2 0.000007 sin 2 2 )
• 1930年卡西尼公式： 0 978.049(1 0.0052882 sin 2 0.000059 sin 2 2 ) • 1975年国际地球正常重力公式： 0 978.032(1 0.005302 sin 2 0.0000058 sin 2 2 ) • ＷGS84坐标系中的椭球重力公式：
x - 2 x •• 2 y - y •• z 0
••
坐标对时间的二阶导数就是质点的 离心加速度，即该方向分力。
（二）离心力位(续) 假定一个函数（离心力位）： 2 Q ( x2 y 2 ) 2 则有： Q 2 x x x Q 2 y y y Q 0 z
r a[1 ( ) cos ] 2
五、正常重力公式
• 正常重力位对于正常水准面法线（n）的变化量 即为正常重力:(忽略n与向量r的区别)
dU dU dn dr
fM 2 (1 (1 3cos 2 ) q sin 2 ) r
a 2 2
0 2
B A A =f ( ) 4
2 2
若地球是旋转椭球体，则有转动惯量
A B ，将系数代入
2 3 M K r 2 则有： U f [1 2 (1 3 cos ) sin 2 ] r 2 fM 2r
式中：
KM A C
地球正常重力位的公式
设赤道的离心力与重力之比为：
n 0 n
式中： 极距， 900
1 r
K K K [ A P (cos ) ( A cos K B sin K ) P n n n n n (cos )] n 1 K 1
n
) 称为n阶主球函数(或带球函数)。 勒让德多项式 P n (cos K Pn (cos ) 称为n阶K级的勒让德缔合函数(或伴随函数)。
由牛顿第二定律可导出：单位质点的 物体在引力场中的加速度等于引力位 的导数，方向与径向方向相反。
dV a dr
（一）引力位
推导如下:
万有引力定律： 假设沿力的方向做功为 此功等于位能的减少， 积分则有： 因为r→∞, V=0。所以 C=0 ，则有
，则有
M dm 取 m=1， 引力位或位函数： Vf f r r (M )
2
v2 2 4 2 r a , v r a 2 r T T
向心加速度
二、引力、离心力与重力
• 用F及P分别表示地球引力及质点绕地球自转轴旋 转而产生的离心力，这两个力的合力称地球重力 用g表示
M m Ff 2 r
P m 2
g FP
离心力P在赤道达最大值， 但数值比地球引力1/200还 要小一些。故重力基本上由 地球引力确定的。当高出地 面35730km处，重力加速 度将改变符号，背向地球。
2
Pn K (cos )]
0 An f
2
2
r 2 sin 2
M
k An 2
n 0 R Pn ( cos θm )dm
(n k )! f R n Pnk ( cos θm ) cos kλmdm (n k )! M
(n k )! f R n Pnk ( cos θm ) sin kλmdm , k 1,, n (n k )! M
k Bn 2
地球正常重力位的公式
现在需要求系数：
0 A0 fM 1 1 A10 A1 B1 0
0 0 1 1 0 1 1 2 2 A0 ,A , A , B , A , A , B , A , B 1 1 1 2 2 2 2 2
A B 1 1 2 A f( C ) , A2 B2 =B2 0 2
正常重力公式
• 设重力扁率为β
p e 5 5 q , + = q e 2 2
反映地球扁率与 重力扁率的关系
• 克莱罗定理（一般正常重力公式）：
0 e (1 sin )
2
• 精确的正常重力公式：
0 e (1 sin 2 －1 sin 2 2 )
用球谐函数表示的地球引力位的公式
V Vn
n 0 n 0
seita
1 r
n 1 n
[ An Pn (cos )
K K K ( A cos K B sin K ) P n n n (cos )] K 1
第n阶地球引力位公式
Vn
（二）离心力位 • 质点坐标可用质点向径 r，地心纬度φ及经度λ 表示为：（图3-2）
x r cos cos , y r cos sin , z r sin
• 地球自转仅仅引起经度变化，而它对时间的一阶 导数等于地球自转角速度ω 时，得
x r cos sin y r cos cos z0
如果令g与l夹角等于π，则有：
dW dl g
水准面之间既不平行，也不相交和相切。
重力的单位
极赤重力差约 5伽
•对于某一单位质点而言，作用其上的重力在数值上等 于使它产生的重力加速度的数值，所以重力即采用重 力加速度的量纲，单位是： 伽(Gal=cms－２)， 毫伽(mGal= Gal/1000=10－５ms－２)
g gx g y gz
2
2
2
由各分力可计算重力加速度（模）：
重力位 (续)
•重力位在任意方向的偏导数等于重力在该方向上 的分力： W
l gl g cos( g , l )
当g与l相垂直时，那么dＷ=0，有Ｗ＝常数
当给出不同的常数值，就得到一簇曲面，称为重力 等位面，也就是我们通常说的水准面。可见水准面 有无穷多个。其中，我们把完全静止的海水面所形 成的重力等位面，专称它为大地水准面。
2、建立地固坐标系统必须解决的问题
• 确定椭球的形状和大小（长半径a和扁率α等）； • 确定椭球中心的位置（椭球定位）； • 确定椭球短轴的指向（椭球定向）； • 建立大地原点。( LK , BK , AK , H K )
上一讲应掌握的内容
3、1954年北京坐标系的特点 4、1980年国家大地坐标系特点 5、新1954年北京坐标系的特点 6、WGS-84世界大地坐标系 7、站心坐标系 • 以测站为原点，测站上的法线(垂线)为Z轴方向 的坐标系就称为法线(或垂线)站心坐标系。常用 来描述参照于测站点的相对空间位置关系。工程 上在小范围内有时也直接采用站心坐标系。 8、不同空间直角坐标系转换
第三章 1.地球重力场的基本理论
——引力、离心力与重力 ——引力位与离心力位 ——地球的正常重力位 ——正常重力公式 难，只需掌握基本概念 重力场理论为研究课程
上一讲应掌握的内容 1、测量坐标参考系统
• 由基准和坐标系两方面要素构成。 • 基准是指用以描述地球形状的参考椭球的参数以及参考椭 球在空间中的定位及定向，甚至还包括单位长度。 • 狭义的坐标系是指点位表示方法（3种），广义的坐标系 是由坐标原点、坐标轴的指向和尺度所定义的。
U0 f M q 2 U f [1 (1 3cos ) sin 2 ] U 0 r 3 2 a [1 3 2 ]
联立求解 q 2 q 2 r a [1 (1 3cos ) sin ] /(1 ) 得： 3 2 3 2 将分母展开，并略去μ、q平方以上各高次项，就得到一 个旋转体，其表面是一个水准面： q 2
K K cos KP (cos ), sin K P ) n n (cos
称为缔合球函数(其中，当k=n时称为扇球函数，当k≠n时称 为田球函数)。
地球正常重力位
重力位 W V
2
2
r 2 sin 2
当选取前3项时，将重力位W写成U
U
n 0 2
1 r
K K [ A P (cos ) ( A cos K B n n n n sin K ) n 1 K 1
考查学生
一、牛顿万有引力定律
宇宙空间任意两质点，彼此相互吸引，其引力 大小与他们的质量乘积成正比，与他们之间的 距离平方成反比。 F 2 M M m 2 M m a k 2 Fk f m r r2 r2
在相对运动中，行星相对于太阳运动的相对加速度：
M m 2 ( M m) a k ( 2 2) k r r r2
因此，我们可把Q称为离心力位函数。
（三）重力位
重力是引力和离心力的合力，重力位W是引力位V和离心 力位Q之和： dm 2 2 2
W V Q
W f
r
2
(x y )
对三坐标轴求偏导数求得重力的分力或重力加速度分量：
W V Q ( ) x x x W V Q gy ( ) y y y W V Q gz ( ) z z z gx
•地面点重力近似值 980Gal，赤道重力值 978Gal，两 极重力值 983Gal。由于地球的极曲率及周日运动的原 因，重力有从赤道向两极增大的趋势。 •地球上重力的大小与方向只与被吸引点的位置有关， 理论上应该是常数，但重力是随时间变化而变化，即 相同的点在不同的时刻所观测到的重力不相同。(微)
3 5 2 顾及r与a的关系得： 0 fM (1 q ( q ) cos ) 2
• 特例：
fM 3q 2 (1 ) 9.78ms ，赤道正常重力： e 90 a2 2
fM 0 ，极点处正常重力： p 2 (1 q ) 9.832ms 2 a
三、引力位和离心力位
位函数的概念：设有一标量函数，它对被吸引点各坐标方向 的偏导数等于引力在相应方向上的分力，则此函数称为位函 数。位函数的形式为： V V V 则：Fx ，Fy ，Fz x y z
（一）引力位：
单位质点受物质M的引力作用产生的位能称为引力位，或者 说将单位质点从无穷远处移动到该点引力所做的功。即：
q
2a
ge
3K , 2 2a
Biblioteka Baidu
2a
fM
a2
2 a3
fM
令： 则有：
地球形状参数。
M q 2 2 U f [1 (1 3 cos ) sin ] r 3 2
与大地水准面相近的正常位水准面方程
•注意：如果正常重力位已知，则对应的正常水准面已知， 不同的正常重力位对应不同的正常位水准面，我们寻找的是 与大地水准面相近的正常位水准面的形状，上式中，对r和 取不同的常数值，就得到一簇正常位水准面。 取 90 , r a ，求得与大地水准面相近的正常位水准面 方程： M q
四、地球的正常重力位
重力位
dm 2 2 W f (x y2 ) r 2 M
•要精确计算出地球重力位，必须知道地球表面的形状 及内部物质密度，但前者正是我们要研究的，后者分 布极其不规则，目前也无法知道，故根据上式不能精 确地求得地球的重力位，为此引进一个与其近似的地 球重力位——正常重力位。 •正常重力位是一个函数简单、不涉及地球形状和密度 便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力 位。当知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重 力位的差异(称扰动位)，便可求出大地水准面与这已 知形状(正常位水准面)的差异。最后解决确定地球重 力位和地球形状的问题。
5 17 (1 )q 2 35 1 2 1 1 ( ) 8 4
用不同的观测数据，导出的正常重力公式： • 1901～1909年赫尔默特公式：
0 978.030(1 0.005302 sin 2 0.000007 sin 2 2 )
• 1930年卡西尼公式： 0 978.049(1 0.0052882 sin 2 0.000059 sin 2 2 ) • 1975年国际地球正常重力公式： 0 978.032(1 0.005302 sin 2 0.0000058 sin 2 2 ) • ＷGS84坐标系中的椭球重力公式：
x - 2 x •• 2 y - y •• z 0
••
坐标对时间的二阶导数就是质点的 离心加速度，即该方向分力。
（二）离心力位(续) 假定一个函数（离心力位）： 2 Q ( x2 y 2 ) 2 则有： Q 2 x x x Q 2 y y y Q 0 z
r a[1 ( ) cos ] 2
五、正常重力公式
• 正常重力位对于正常水准面法线（n）的变化量 即为正常重力:(忽略n与向量r的区别)
dU dU dn dr
fM 2 (1 (1 3cos 2 ) q sin 2 ) r
a 2 2
0 2
B A A =f ( ) 4
2 2
若地球是旋转椭球体，则有转动惯量
A B ，将系数代入
2 3 M K r 2 则有： U f [1 2 (1 3 cos ) sin 2 ] r 2 fM 2r
式中：
KM A C
地球正常重力位的公式
设赤道的离心力与重力之比为：
n 0 n
式中： 极距， 900
1 r
K K K [ A P (cos ) ( A cos K B sin K ) P n n n n n (cos )] n 1 K 1
n
) 称为n阶主球函数(或带球函数)。 勒让德多项式 P n (cos K Pn (cos ) 称为n阶K级的勒让德缔合函数(或伴随函数)。
由牛顿第二定律可导出：单位质点的 物体在引力场中的加速度等于引力位 的导数，方向与径向方向相反。
dV a dr
（一）引力位
推导如下:
万有引力定律： 假设沿力的方向做功为 此功等于位能的减少， 积分则有： 因为r→∞, V=0。所以 C=0 ，则有
，则有
M dm 取 m=1， 引力位或位函数： Vf f r r (M )
2
v2 2 4 2 r a , v r a 2 r T T
向心加速度
二、引力、离心力与重力
• 用F及P分别表示地球引力及质点绕地球自转轴旋 转而产生的离心力，这两个力的合力称地球重力 用g表示
M m Ff 2 r
P m 2
g FP
离心力P在赤道达最大值， 但数值比地球引力1/200还 要小一些。故重力基本上由 地球引力确定的。当高出地 面35730km处，重力加速 度将改变符号，背向地球。
2
Pn K (cos )]
0 An f
2
2
r 2 sin 2
M
k An 2
n 0 R Pn ( cos θm )dm
(n k )! f R n Pnk ( cos θm ) cos kλmdm (n k )! M
(n k )! f R n Pnk ( cos θm ) sin kλmdm , k 1,, n (n k )! M
k Bn 2
地球正常重力位的公式
现在需要求系数：
0 A0 fM 1 1 A10 A1 B1 0
0 0 1 1 0 1 1 2 2 A0 ,A , A , B , A , A , B , A , B 1 1 1 2 2 2 2 2
A B 1 1 2 A f( C ) , A2 B2 =B2 0 2
正常重力公式
• 设重力扁率为β
p e 5 5 q , + = q e 2 2
反映地球扁率与 重力扁率的关系
• 克莱罗定理（一般正常重力公式）：
0 e (1 sin )
2
• 精确的正常重力公式：
0 e (1 sin 2 －1 sin 2 2 )
用球谐函数表示的地球引力位的公式
V Vn
n 0 n 0
seita
1 r
n 1 n
[ An Pn (cos )
K K K ( A cos K B sin K ) P n n n (cos )] K 1
第n阶地球引力位公式
Vn
（二）离心力位 • 质点坐标可用质点向径 r，地心纬度φ及经度λ 表示为：（图3-2）
x r cos cos , y r cos sin , z r sin
• 地球自转仅仅引起经度变化，而它对时间的一阶 导数等于地球自转角速度ω 时，得
x r cos sin y r cos cos z0
如果令g与l夹角等于π，则有：
dW dl g
水准面之间既不平行，也不相交和相切。
重力的单位
极赤重力差约 5伽
•对于某一单位质点而言，作用其上的重力在数值上等 于使它产生的重力加速度的数值，所以重力即采用重 力加速度的量纲，单位是： 伽(Gal=cms－２)， 毫伽(mGal= Gal/1000=10－５ms－２)
g gx g y gz
2
2
2
由各分力可计算重力加速度（模）：
重力位 (续)
•重力位在任意方向的偏导数等于重力在该方向上 的分力： W
l gl g cos( g , l )
当g与l相垂直时，那么dＷ=0，有Ｗ＝常数
当给出不同的常数值，就得到一簇曲面，称为重力 等位面，也就是我们通常说的水准面。可见水准面 有无穷多个。其中，我们把完全静止的海水面所形 成的重力等位面，专称它为大地水准面。
2、建立地固坐标系统必须解决的问题
• 确定椭球的形状和大小（长半径a和扁率α等）； • 确定椭球中心的位置（椭球定位）； • 确定椭球短轴的指向（椭球定向）； • 建立大地原点。( LK , BK , AK , H K )
上一讲应掌握的内容
3、1954年北京坐标系的特点 4、1980年国家大地坐标系特点 5、新1954年北京坐标系的特点 6、WGS-84世界大地坐标系 7、站心坐标系 • 以测站为原点，测站上的法线(垂线)为Z轴方向 的坐标系就称为法线(或垂线)站心坐标系。常用 来描述参照于测站点的相对空间位置关系。工程 上在小范围内有时也直接采用站心坐标系。 8、不同空间直角坐标系转换
第三章 1.地球重力场的基本理论
——引力、离心力与重力 ——引力位与离心力位 ——地球的正常重力位 ——正常重力公式 难，只需掌握基本概念 重力场理论为研究课程
上一讲应掌握的内容 1、测量坐标参考系统
• 由基准和坐标系两方面要素构成。 • 基准是指用以描述地球形状的参考椭球的参数以及参考椭 球在空间中的定位及定向，甚至还包括单位长度。 • 狭义的坐标系是指点位表示方法（3种），广义的坐标系 是由坐标原点、坐标轴的指向和尺度所定义的。
U0 f M q 2 U f [1 (1 3cos ) sin 2 ] U 0 r 3 2 a [1 3 2 ]
联立求解 q 2 q 2 r a [1 (1 3cos ) sin ] /(1 ) 得： 3 2 3 2 将分母展开，并略去μ、q平方以上各高次项，就得到一 个旋转体，其表面是一个水准面： q 2
K K cos KP (cos ), sin K P ) n n (cos
称为缔合球函数(其中，当k=n时称为扇球函数，当k≠n时称 为田球函数)。
地球正常重力位
重力位 W V
2
2
r 2 sin 2
当选取前3项时，将重力位W写成U
U
n 0 2
1 r
K K [ A P (cos ) ( A cos K B n n n n sin K ) n 1 K 1
考查学生
一、牛顿万有引力定律
宇宙空间任意两质点，彼此相互吸引，其引力 大小与他们的质量乘积成正比，与他们之间的 距离平方成反比。 F 2 M M m 2 M m a k 2 Fk f m r r2 r2
在相对运动中，行星相对于太阳运动的相对加速度：
M m 2 ( M m) a k ( 2 2) k r r r2
因此，我们可把Q称为离心力位函数。
（三）重力位
重力是引力和离心力的合力，重力位W是引力位V和离心 力位Q之和： dm 2 2 2
W V Q
W f
r
2
(x y )
对三坐标轴求偏导数求得重力的分力或重力加速度分量：
W V Q ( ) x x x W V Q gy ( ) y y y W V Q gz ( ) z z z gx