第三章 1重力场基本理论
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重力场1. 引言重力场是一种物质或物体所产生的引力作用的区域。
它是一种基本物理现象，在我们的日常生活中无处不在。
从牛顿的引力定律到爱因斯坦的广义相对论，人们对重力场的研究已经取得了重大的成果。
本文将介绍重力场的定义、性质和应用。
2. 定义重力场可以被定义为物质或物体所产生的引力力场。
根据牛顿的引力定律，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
因此，重力场可以被描述为质点在空间中引起的引力作用。
3. 特性重力场具有以下特性：3.1 范围无限重力场的范围是无限的，尽管引力的强度会随着距离的增加而减弱。
这意味着即使两个物体之间的距离非常远，它们之间仍然存在着引力作用。
3.2 强度与质量相关根据牛顿的引力定律，重力场的强度与物体的质量成正比。
较大质量的物体将产生较强的重力场，而较小质量的物体将产生较弱的重力场。
3.3 引力方向向心重力场的引力方向指向重力源的中心。
这意味着较小质量的物体将被较大质量的物体吸引，并向重力源靠近。
4. 应用重力场在许多领域都有广泛的应用，包括天文学、航空航天和地质学等。
4.1 天文学天体物理学家使用重力场的概念来研究星体之间的关系。
通过测量和计算重力场，他们可以推断出一颗星球或行星的质量、形状和运动方式。
4.2 航空航天在航空航天工程中，重力场的理解对于设计太空飞行器和轨道计划至关重要。
科学家们考虑重力场的影响来预测和调整飞行器的轨道，并使用重力助推来节省燃料和能源。
4.3 地质学地质学家使用重力场来研究地球内部的结构和组成。
通过测量地球表面上的重力场强度变化，他们可以推断出地下的岩石和矿石的分布情况。
5. 结论重力场是一个基本物理现象，对我们的日常生活和科学研究具有重要意义。
本文介绍了重力场的定义、特性和应用领域。
通过深入了解重力场的工作原理，我们可以更好地理解宇宙的运作和地球的构造。
希望本文能为读者对重力场有更全面的认识。
新人教版物理必修一第三章 相互作用 第1节 重力 基本相互作用 (共27张PPT)
第1节：重力 基本相互作用
思考：要表示力的作用效果，需要考虑力的哪些特征？
4.力的三要素：
相 (1)力的大小,用弹簧测力计测量。
互
作 用
单位：牛顿，符号：N。
(2)力的方向。
(3)力的作用点。
第1节：重力 基本相互作用
力的图示和力的示意图的区别
15N
相 力的图示
互 作 用
力的示意图
F=30N F=30N
力是物体间的相互作用。
一、力
1.定义：力是物体间的相互作用。
2.作用效果：
只要速度发生了 变化，无论是大
(1)使物体发生形变;
小还是方向变了， 我们就说运动状
(2)改变物体的运动状态。
态变了！Leabharlann 实例：用手拍桌面，脚踢足球等。
你能从力的定义总结出力的性质吗？ 3.力的性质： (1)物质性：不能离开物体而存在。 (2)相互性：不能离开施力物体和受力物体而单独 存在，施力物体和受力物体总是同时存在的。
对重心的理解： (1)质量分布均匀、形状规则的物体，重心在其几
相
互 何中心。
作
用 (2)质量分布不均匀的物体，重心跟其质量分布和 几何形状都有关系。 (3)重心可能在物体上，也可能在物体之外。
第1节：重力 基本相互作用
影响重心位置的因素
均匀 重心
相 互 作
物 体
分布
位置
形状决定
用质
规则
不规则
重心 位置
只画出力的作用 点和方向
第1节：重力 基本相互作用
生活中物体下落
相
的运动是一种常
互
作 用
见的运动
物体为什么会
下落?
高中物理必修一 第三章 第一节 重力
3.(2021·棠湖中学高一期中)研究发现，行星“C－581”可能适合人类居
住.该行星表面重力加速度约为地球表面重力加速度的3倍，若地球上的
人移居到该行星后，则人的
A.质量约为地球上的
1 3
B.质量约为地球上的3倍
C.重力约为地球上的
1 3
√D.重力约为地球上的3倍
重力的方向总是竖直向下，但不一定是垂直于接触面向下，比如在 斜面上的物体所受的重力方向并不垂直于斜面向下，A错误； 重力G＝mg，其大小只与质量、自由落体加速度g有关，与其他因素 无关，B错误； 绳子拉力的施力物体是绳子，重力的施力物体是地球，两者的施力 物体不同，不是同一个力，C错误； 由于重力加速度随着纬度、高度的变化而变化，所以同一物体在地 球各处所受重力大小不一定相等，D正确.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
质量是物体本身的一种属性，不随着位置的变化而变化，故质量不 变，故A、B项错误； 根据重力和质量的关系可得G＝mg，该行星表面重力加速度约为地 球表面重力加速度的3倍，则人的重力约为地球上的3倍，故C项错 误，D项正确.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
√B.用线悬挂的物体静止时，细线方向一定通过重心 √C.一块砖平放、侧放或立放时，其重心在砖内的位置不变
D.舞蹈演员在做各种优美动作时，其重心的位置不变
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
细绳对折后，重心在对折后细绳的中点，相对原来的位置发生了变 化，故A错误； 重心是重力在物体上的等效作用点，用线悬挂的物体静止时，细线 方向一定通过物体的重心，故B正确； 一块砖平放、侧放或立放时，砖的质量分布与形状没有发生改变， 其重心在砖内的位置不变，故C正确； 舞蹈演员在做各种优美动作时，其重心的位置随肢体的形状的变化 会发生变化，故D错误.
人教版高中物理必修1 第三章第1节《重力-基本相互作用》课件(共18张PPT)
2）、重力的施力物体是地球 • 2、重力的大小和方向
G=mg g = 9.8 N/kg 方向：竖直向下
重力大小可以用弹簧秤测量
3.重力的作用点—重心
1)定义：一个物体各部分都受到重力作用，从效 果上看，我们可以认为各部分的重力作用集中 于一点，这一点叫物体的重心。
他是一种远程力。 • 2、电磁相互作用：
存在于电荷与电荷、磁体与磁体、电流与电流之间，他们本 质是同一种相互作用的不同表现，作用规律与万有引力相似。他 也是一种远程力。 • 3、强相互作用：
强相互作用是作用于强子之间的力，是所知四种宇宙间基本 作用力最强的，也是作用距离最短的（大约在10－15 m范围内） 为了解释强相互作用粒子的理论引入了上夸克、下夸克、奇异夸 克、魅夸克、底夸克和顶夸克。质子、中子就属于强子。 • 4、弱相互作用：
在砖内的位置不变 D．舞蹈演员在做各种优美动作时，其重
心的位置不变
• 下列说法正确的是：( D )
• A、子弹从枪口射出，能打到很远的距离，是 因为子弹离开枪口后受到一个推力的作用。
• B、甲用力把乙推倒，说明只是甲对乙有作用， 乙对甲没有力的作用
• C、只有有生命或有动力的物体才会施力，无 生命或无动力的物体只会受力不会施力。
2)重心影响因素： 质量分布均匀的物体的重心位置，只跟物
体的形状有关 质量分布不均匀的物体的重心，都跟物体
的形状有关外，还跟物体的质量分布有关。 3)悬挂法测物体的重心：
注意：物体的重心可以不在• 1、万有引力： 存在于一切物体之间，相互作用的强度随距离的增大而减小。
首先选一标度（比如1cm长表示20N的大小）
地球重力场及地球形状的基本理论
A b
O C
a
3、球面三角形公式（单位球）
余切公式（四元素）
cot a sin c cos c cos B sin B cot A
cot a sin b cos b cos C sin C cot A
cot
A sin
C
cos C
cos b
sin
b cot
a
x y
si
1
nB
L
sinB L
1
cos
B
L
x1 y1
sinA cosc cosC sinB sinC cos B cosa sinB cosc cosC sinA sinC cos A cosb sinC cosb cos B sinA sinB cos A cosc
3 拉普拉斯方程
以测站为中心作单位半径的辅助球，ZO为法线，Z1O为垂线，μ 为 垂线偏差，η 为其在卯酉圈上（东西方向）的分量，ξ 为其在子午圈 上（南北方向）的分量。
BF
BF sin a OB BE BF sin A BD OB BD
BE
sin a sin b sin c sin A sin B sin C
单位球 sin a sin b sin c
R R R (半径为R) sin A sin B sin C
3、球面三角形公式（单位球）
cos A sin A
900-B-ξ
Q
A′
六、垂线偏差公式（天文经纬度的归算）
Z
大地测量学基础(第3章 地球重力场及地球型状的基本理论+2012.02.25 续1)
2
一、地球重力场模型
• 建立空间直角坐标系与球面极坐标系
2
r
R r
2
2
R
R r
2
2 Rr cos r [1 (
2
R r
)
2
2
R r
cos ]
l (
) 2
cos
1 2
1
V
1 r
(1 l )
f r
(1
1 2
l
3 8
l
2
5 16
l ) dm
2H R
3H R
2
2
)] 2 0
H R
3
0H
R
2
1 g 0 . 3086 H 0 . 72 10
7
H
2
0 0 . 3086 H
22
二、地球正常重力场
正常重力场参数
在物理大地测量中,正常椭球重力场可用4个基本参 数决定,即：
U0, A0 fM , A2 f ( A C ) fK M ,
3
V v 0 v1 v 2
v
i0
n
i
按(R/r)集项
3
一、地球重力场模型
v0
f r
f r
dm
M
f
M r
v1
M
R r
cos dm 0
v2
f r
M
(r )
R
R
2
( cos ) dm 2 2
2
3
1
v3
f r
大地测量学基础(第3章地球重力场及地球型状的基本理论
17
三、重力归算 重力归化包括以下步骤：
首先将大地水准面外部的地形质量全部去掉，或 者移到大地水准面以下去，然后再将重力测量结果从 地面降低到大地水准面上。
18
三、重力归算
2、对于正常椭球，除了确定其4个基本参数：a, J２， fM和ω外，也要定位和定向。正常椭球的定位是使其 中心和地球质心重合，正常椭球的定向是使其短轴与地 轴重合，起始子午面与起始天文子午面重合。
3、正常椭球面 是大地水准面的规则形状（一般指 旋转椭球面）。因此引入正常椭球后，地球重力位被分 成正常重力位和扰动位两部分，实际重力也被分成正常 重力和重力异常两部分。
p
1
M 0
T
p
N
1
cos 0
T
M：子午圈半径；N：夘酉圈半径
7
一、大地水准面差距和垂线偏差
6、 边值问题线性化
g W n
U 1 U U ne cos p n n
T
n
p
W n
p
U n
p g p p
8
一、大地水准面差距和垂线偏差
将p点正常重力展开为P0点的泰劳级数，并代入上式。
5）椭球的质心与地球质心重合
V
2V x 2
2V y 2
2V z 2
0
Lanplace 算子作用与 地球外部重力场=0
V |s = V0
lim V = 0
∞
1
一、大地水准面差距和垂线偏差
补充说明：
1、理论上除了确定其M和ω值外，其规则形状可以 任意选择。但考虑到实际使用的方便，又顾及几何大地 测量中采用旋转椭球的实际情况，目前都采用水准椭球 作为正常椭球。
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重力场1. 介绍重力场是指由质量体产生的引力所形成的场。
在重力场中，物体会受到引力的作用，而引力的大小和方向取决于物体的质量。
重力场是宇宙中最基本的力场之一，它对地球上的物体产生了非常重要的影响，如使物体下落或保持在地面上。
重力场的概念最早由英国物理学家牛顿提出。
他通过研究苹果掉落的现象，发现物体之间的引力是由质量决定的，并提出了普遍的引力定律。
根据牛顿的引力定律，重力场可以通过重力加速度的大小和方向来描述。
2. 重力场的特征重力场有一些重要的特征，如下所示：2.1 引力加速度重力场中的物体会受到一个称为引力加速度的力的作用。
引力加速度的大小取决于物体所处的位置和质量。
在地球表面附近，引力加速度约为9.8 米/秒²，这是由于地球的质量产生的引力造成的。
2.2 引力势能重力场中的物体具有引力势能。
引力势能是指物体由于在引力场中所具有的位置而具有的能量。
当物体从高处下落到低处时，引力势能会转化为动能。
这也是物体在地球上自由落体时产生的速度增加的原因之一。
2.3 引力作用重力场使物体之间产生引力作用，即物体之间的相互吸引力。
根据牛顿的引力定律，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
因此，重力作用的大小取决于物体的质量和距离。
3. 重力场的应用重力场有许多重要的应用，以下是其中一些例子：3.1 天体运动天体运动是重力场的重要应用之一。
根据万有引力定律，重力场影响了天体之间的相互运动。
例如，地球围绕太阳的运动、月球围绕地球的运动等都是由于重力场的作用而产生的。
3.2 人类活动重力场对人类的日常生活有着深远的影响。
例如，重力场使人类可以站立在地面上，使物体保持在地面上而不会漂浮。
此外，重力场还影响着人类的运动、呼吸等生理活动。
3.3 导航和地质勘探重力场的研究对导航和地质勘探具有重要意义。
借助重力场强度的测量，可以确定地球表面的引力变化，进而帮助确定地下岩层的分布以及地质构造的形成。
地球重力场基本理论
3、勒让德多项式：
1）、勒让德多项式：
递推公式：
Pn x
1 2n n!
d n ( x 2 1)n dxn
Pn1 x
2n 1 n1
xPn x
n n1
Pn1 x
将（x2-1)n按二项式定理展开有：
令x=cosψ，则有：
Pn cos
1 d n (cos2 1)n
2n n! d cos n
V
V
V
a x x , a y y , az z
r 2 x xm 2 y ym 2 z zm 2
式中x, y, z为被吸引点坐标;
xm , ym , zm为吸引点坐标
若设：
a
ax2
a
2 y
az2
(a,x),(a,y),(a,z)为a与各坐标轴之间的夹角，则 ax =acos(a,x), a y=acos(a,y), a z=acos(a,z)
V＝V1＋V2＋·····＋Vn 所以，地球总体的位函数应等于组成其质量的各基元分体位函数dVi 之和，对整个地球而言，则有
dm
V dV f
M
M
z
(Xm,ym,zm)
dm
Rψ
ρ
r S0
o
φm φ
λm λ
Se
y
x
(X，y，z) S
②空间直角坐标系中，引力位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于 相应坐标轴上的加速度(或引力)向量的负值：
Mm F f
r2
假如两质点间的距离沿力的方向有一个微分变量dr，则 必做功：
Mm dA f r 2 dr
用V表示位能，此功必等于位能的减少：
Mm dV f r 2 dr
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悬挂法
人教版高中物理必修1 第三章第1节《重力-基本相互作用 》课件 (共24 张PPT) 【PPT优 秀课件 】-精 美版
用悬挂法确定薄板状物体的重心位置
局限性：只适用于薄板状的物体。
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三、四种基本相互作用
1.万有引力——相互吸引的作用存在于一切物体之间， 作用的强度随距离的增大而减弱。（距离增大到2倍， 万有引力减小到原来的1/4） 常见的重力是万有引力在地球表面附近的表现
5、力的图示： 力的三要素：力的大小、方向和作用点
力的示意图 （只画出力的作用点和方向）
作图步骤： 1、选定合适的标度； 2、从作用点沿力的方向画一线段，线段的长度由 力的大小和所选标度确定；
3、画上箭头（表示力的方向），注上F=80N。
示例1：一人在水平面上用平行于水平面 的力30N推动木箱做匀速直线运动。
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3.强相互作用—— 1)原子核由带正电的质子和不带电的中子组成。 2)强相互作用：能使原子核紧密保持在一起的强大作用力。
其作用范围在10-15m内。 仅仅存在于原子核内部来粘结质子，外部无任何表现。
⑥“风吹草动”草受到了力的作用但没有 施力物体。 ⑦物体间必须相互接触才有力的作用。
⑧任何一个物体，一定既是施力物体又是 受力物体。
重力场基本原理分解
重力场基本原理分解重力场是一种物质周围的物理现象，它是由物体的质量或能量引起的。
基本上，重力场是指物质物体周围的区域或空间中存在的一种力场，即重力。
重力场的基本原理涉及到质量和质点之间的相互作用。
根据万有引力定律，任何两个物体之间都存在着引力。
重力是一种吸引力，它的大小和距离之间的关系满足牛顿第二定律。
在地球上，重力场可以被描述为物体周围的一种力场。
物体在重力场中受到的力称为重力。
重力的大小与物体的质量成正比，与物体之间的距离的平方成反比。
这可以通过以下公式表示：F=G*(m1*m2)/r^2其中F是物体受到的重力的大小，m1和m2是两个物体的质量，r是它们之间的距离，G是一个常数，称为万有引力常数。
重力场的另一个基本原理是质点在重力场中的自由落体运动。
根据牛顿第二定律，物体的质量与物体所受的力之间存在着直接的关系。
因此，质点在重力场中的运动可以用以下方程来描述：F=m*a其中F是物体所受的力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
在重力场中，物体的加速度被称为重力加速度，并且它的大小近似于9.8米/秒^2重力场还可以通过势能差来描述。
势能是物体在特定位置处具有的能量。
在重力场中，物体的势能与它的质量、高度和重力加速度之间存在一定的关系。
物体的势能可以通过以下公式计算：PE=m*g*h其中PE是物体的势能，m是物体的质量，g是重力加速度，h是物体的高度。
最后，重力场还受到牛顿第三定律的限制。
牛顿第三定律表明，任何两个物体之间的力是相互作用力，大小相等、方向相反的。
因此，一个物体在重力场中受到的重力与另一个物体对第一个物体施加的重力具有相同的大小和相反的方向。
总结起来，重力场的基本原理包括：重力的大小与物体之间的质量和距离有关；物体在重力场中的自由落体运动可以用牛顿第二定律来描述；重力场可以通过势能差来描述；重力场受到牛顿第三定律的限制。
这些原理一起构成了重力场的基本特征和行为。
第三章 1重力场基本理论
• 1975年国际地球正常重力公式：
0 978 .032 (1 0.005302 sin 2 0.0000058 sin 2 2 )
• ＷGS84坐标系中的椭球重力公式：
a 2 2
顾及r与a的关系得： 0 fM (1 3 q ( 5 q ) cos 2 ) 2 • 特例：
fM 3q (1 ) 9.78ms 2 ，赤道正常重力： e 90 a2 2
0 ，极点处正常重力：
fM p 2 (1 q) 9.832ms 2 a
第三章 1.地球重力场的基本理论
——引力、离心力与重力 ——引力位与离心力位 ——地球的正常重力位 ——正常重力公式
上一讲应掌握的内容 1、测量坐标参考系统
• 由基准和坐标系两方面要素构成。 • 基准是指用以描述地球形状的参考椭球的参数以及参考椭 球在空间中的定位及定向，甚至还包括单位长度。 • 狭义的坐标系是指点位表示方法（3种），广义的坐标系 是由坐标原点、坐标轴的指向和尺度所定义的。
四、地球的正常重力位
重力位
dm 2 2 W f (x y2 ) r 2 M
•要精确计算出地球重力位，必须知道地球表面的形状 及内部物质密度，但前者正是我们要研究的，后者分 布极其不规则，目前也无法知道，故根据上式不能精 确地求得地球的重力位，为此引进一个与其近似的地 球重力位——正常重力位。 •正常重力位是一个函数简单、不涉及地球形状和密度 便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力 位。当知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重 力位的差异(称扰动位)，便可求出大地水准面与这已 知形状(正常位水准面)的差异。最后解决确定地球重 力位和地球形状的问题。
物理必修一第三章知识总结
物理必修一第三章知识总结物理必修一第三章知识总结高中物理必修一第三章相互作用第一节重力基本相互作用一、重力基础概念即：重力定义、图示、符号、计算公式、重心等（详见课本P5153）。
二、重点摘要1、重力属于性质力中的场力，即物体并不互相接触，跟距离有关系。
2、重力方向：指向地心（竖直向下）。
3、g重力加速度g单位：m/sm/s加速度。
4、、g随高度的增加而增加，随纬度的升高而升高。
例：在南北极，g=10N/kg在赤道，g=9.8N/kg。
第二节弹力一、弹力基础概念1、弹力定义：当物体发生形变，使物体变回原来状态的力叫做弹力。
2、弹力的形变分为：弹性形变、弹塑性形变、塑性形变。
3、弹力的大小：由外力决定。
4、弹力的方向：点、面、曲面。
5、弹力的作用点：接触面上。
注意：有弹力一定有接触面，有接触面不一定有弹力。
6、更多基础概念（详见课本P5456）。
二、重点摘要1、胡克定律：F=k△x（F弹力；k劲度系数（N/m）；△x形变量）注意：胡克定律只能应用在常值物体。
2、弹力的受力分析：弹力与面接触：画出的力的方向与接触点垂直；弹力与曲面接触：画出的力的方向指向圆心。
3、特殊物体上的弹力：特殊物体弹力的方向力的大小关系能否发生突变轻绳相当于沿轻绳方力的大小处处相否向的拉力。
等弹性绳相当于沿弹性绳力的大小处处相否方向的拉力。
等弹簧沿弹簧轴方向的力的大小处处相否压力或拉力。
等。
杆任意方向。
力的大小处处相能等。
注：1、突变指力的大小发成突然改变。
2、在做受力分析时，杆上的力在任意方向上，所以不可先画出来。
第三节摩擦力一、摩擦力基础概念1、摩擦力分为静摩擦力和动摩擦力。
2、滑动摩擦属于动摩擦力；滚动摩擦本质是既属于静摩擦力又属于动摩擦力。
3、动摩擦力产生的前提：有弹力，有正压力（正压力：垂直于接触面的弹力，符号Fn）。
4、动摩擦力与接触面的相对运动有关，方向与其运动方向相反，作用点在接触面上。
5、动摩擦力的大小与物体表面粗糙程度和正压力有关，表面越粗糙，μ越大。
第三章_地球重力场及地球形状的基本理论(1)
(cos )
球谐系数分析 ank , bnk
an0 f 1n Pn (cos1)dm
(M )
ank
2 (n k)! (n k)!
f
1n
Pnk
(cos1
)
cos
k
1dm
(M )
bnk
2 (n (n
k)! k)!
f
1n Pnk (cos1)sin k1dm
(M )
零 阶项 a00 fM
S)
S
质
体 引 力
z
m 1
r (x, y, z)
位
dm ( ,, )
y o
x
质体(M)
Foundation of Geodesy
Earth Gravity Field
一、重力位（geopotential） 力的位函数：为一数量函数，该函数对任意方向
的导数等于力在该方向上的分力。
离心力位 Q ( x, y, z)
dm
V dV f
M
M
Foundation of Geodesy
z
(Xm,ym,zm)
dm Rψ
ρ
r S0
o
φ φm
λm λ
x
Se
y
S (X，y，z)
Foundation of Geodesy
第二节 地球重力场的基本原理
② 在空间直角坐标系中，引力位V确认这样一个加速度引力场，即 引力位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度 (或引力)向量的负值：
离心力：
P
2
离心力位： Q(x, y, z) 2 (x2 y 2 )
2
验证：
Q x
大地测量学基础-第3章地球重力场及地球形状的基本理论
zm2 )dm
M
M
• 地球正常(水准)椭球的基本参数(又称地球大地基准常数)也有4个。
它们是：
a, J2 , fM ,
•
其中：J 2
K a2
为引力位中二阶主球谐函数的系数, 与扁率有关。
五、正常椭球和水准椭球，总地球椭球与参考椭球
1、正常椭球和水准椭球
• 前已述及，与正常重力位相对应的水准面叫正常位水准面，它所 包围的形体是一个旋转椭球体。在物理大地测量中，该旋转椭球 体叫正常椭球，也叫水准椭球或等位椭球。
从赤道向两极增大的趋势——
赤道重力值约978Gal；
两极重力值 约983Gal；
除两极和赤道外其它地面点的重力近似值为 980Gal。
四、地球的正常重力位和正常重力
1、地球正常重力位 • 地球重力位包括引力位和离心力位，其计算公式为(3-53) :
W f
dm
2
(x2
y2)
Mr
2
• 式中第二项为离心力位，比较容易计算；第一项是引力位，无法 精确计算，因为我们无法准确知道地球内部物质密度分布以及地 球的真实形状。
• 为便于研究，人们将地球重力位分成两部分，即：
•
地球重力位 = 正常重力位 + 扰动位
• 正常重力位是正常引力位与离心力位之和，是一个函数简单、不 涉及地球真实形状和密度便可直接计算得到的地球重力位的近似 值的辅助重力位。地球重力位与正常重力位之差便是扰动位。
• 计算出正常重力位之后，若能想法求出它同地球重力位的差异 (扰动位)，便可求得大地水准面与这已知形状(正常位水准面)的 差异，从而确定地球重力位和地球形状。
gy
W y
( V y
Q y
第三章地球重力场及地球形状的基本理论1
第一节 地球及其运动的基本概念
1.地球概说 1）地球的基本形状 地球表面积：5.1亿Km2，海洋占70.8%，陆地占29.2% 地球体积为10830亿Km3
地球的实际形状很不规则。从总 体情况看，地球的形状可用大地体 来描述：是一个两极略扁，赤道突 出，略显“梨形”的球体。 为计算和研究的方便，通常用旋转 椭球来表达地球形状。
x
y
第二节 地球重力场的基本原理
2、离心力
P m 2
为地球自转速度 2 86164 .095 7.292115 10 rad s 为质点所在平行圈半径
5 1
3、地球重力
为F与P的和向量
gFP
第二节 地球重力场的基本原理
二）引力位和离心力位 1、引力位 （1）位函数的定义 位函数：在一个参考坐标系中，引力位对被吸引点三个坐标方向的 一阶导数等于引力在该方向上的分力。
.
x 2 x .. 2 y y .. z0
..
上式表明： 坐标对时间的二阶导数就是单位质点的离心加速度。
z
ω
(X，y，z)
S
r S y
o
φ
z
λ
Se
x
x
y
第二节 地球重力场的基本原理
1）离心力位：
2 2 2 Q （x y ） 2
.. Q 2 x x x .. Q 2 y y y Q 0 z
★中 层：平流层以上80～85km，气温随高度增加而迅速下降，空气 对流。
第一节 地球及其运动的基本概念
★电离层：中层顶部到800km的高空；温度随高度增加而急剧上升 ，大部分空气被电离，对电磁波的传播影响较大。 ★外 小。 2.地球运动概说 1）地球自转：
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x - 2 x •• 2 y - y •• z 0
••
坐标对时间的二阶导数就是质点的 离心加速度，即该方向分力。
（二）离心力位(续) 假定一个函数（离心力位）： 2 Q ( x2 y 2 ) 2 则有： Q 2 x x x Q 2 y y y Q 0 z
2、建立地固坐标系统必须解决的问题
• 确定椭球的形状和大小（长半径a和扁率α等）； • 确定椭球中心的位置（椭球定位）； • 确定椭球短轴的指向（椭球定向）； • 建立大地原点。( LK , BK , AK , H K )
上一讲应掌握的内容
3、1954年北京坐标系的特点 4、1980年国家大地坐标系特点 5、新1954年北京坐标系的特点 6、WGS-84世界大地坐标系 7、站心坐标系 • 以测站为原点，测站上的法线(垂线)为Z轴方向 的坐标系就称为法线(或垂线)站心坐标系。常用 来描述参照于测站点的相对空间位置关系。工程 上在小范围内有时也直接采用站心坐标系。 8、不同空间直角坐标系转换
3 5 2 顾及r与a的关系得： 0 fM (1 q ( q ) cos ) 2
• 特例：
fM 3q 2 (1 ) 9.78ms ，赤道正常重力： e 90 a2 2
fM 0 ，极点处正常重力： p 2 (1 q ) 9.832ms 2 a
正常重力公式
• 设重力扁率为β
p e 5 5 q , + = q e 2 2
反映地球扁率与 重力扁率的关系
• 克莱罗定理（一般正常重力公式）：
0 e (1 sin )
2
• 精确的正常重力公式：
0 e (1 sin 2 －1 sin 2 2 )
0 2
B A A =f ( ) 4
2 2
若地球是旋转椭球体，则有转动惯量
A B ，将系数代入
2 3 M K r 2 则有： U f [1 2 (1 3 cos ) sin 2 ] r 2 fM 2r
式中：
KM A C
地球正常重力位的公式
设赤道的离心力与重力之比为：
考查学生
一、牛顿万有引力定律
宇宙空间任意两质点，彼此相互吸引，其引力 大小与他们的质量乘积成正比，与他们之间的 距离平方成反比。 F 2 M M m 2 M m a k 2 Fk f m r r2 r2
在相对运动中，行星相对于太阳运动的相对加速度：
M m 2 ( M m) a k ( 2 2) k r r r2
由牛顿第二定律可导出：单位质点的 物体在引力场中的加速度等于引力位 的导数，方向与径向方向相反。
dV a dr
（一）引力位
推导如下:
万有引力定律： 假设沿力的方向做功为 此功等于位能的减少， 积分则有： 因为r→∞, V=0。所以 C=0 ，则有
，则有
M dm 取 m=1， 引力位或位函数： Vf f r r (M )
2
v2 2 4 2 r a , v r a 2 r T T
向心加速度
二、引力、离心力与重力
• 用F及P分别表示地球引力及质点绕地球自转轴旋 转而产生的离心力，这两个力的合力称地球重力 用g表示
M m Ff 2 r
P m 2
g FP
离心力P在赤道达最大值， 但数值比地球引力1/200还 要小一些。故重力基本上由 地球引力确定的。当高出地 面35730km处，重力加速 度将改变符号，背向地球。
r a[1 ( ) cos ] 2
五、正常重力公式
• 正常重力位对于正常水准面法线（n）的变化量 即为正常重力:(忽略n与向量r的区别)
dU dU dn dr
fM 2 (1 (1 3cos 2 ) q sin 2 ) r
a 2 2
如果令g与l夹角等于π，则有：
dW dl g
水准面之间既不平行，也不相交和相切。
重力的单位
极赤重力差约 5伽
•对于某一单位质点而言，作用其上的重力在数值上等 于使它产生的重力加速度的数值，所以重力即采用重 力加速度的量纲，单位是： 伽(Gal=cms－２)， 毫伽(mGal= Gal/1000=10－５ms－２)
2
Pn K (cos )]
0 An f
2
2
r 0 R Pn ( cos θm )dm
(n k )! f R n Pnk ( cos θm ) cos kλmdm (n k )! M
(n k )! f R n Pnk ( cos θm ) sin kλmdm , k 1,, n (n k )! M
K K cos KP (cos ), sin K P ) n n (cos
称为缔合球函数(其中，当k=n时称为扇球函数，当k≠n时称 为田球函数)。
地球正常重力位
重力位 W V
2
2
r 2 sin 2
当选取前3项时，将重力位W写成U
U
n 0 2
1 r
K K [ A P (cos ) ( A cos K B n n n n sin K ) n 1 K 1
k Bn 2
地球正常重力位的公式
现在需要求系数：
0 A0 fM 1 1 A10 A1 B1 0
0 0 1 1 0 1 1 2 2 A0 ,A , A , B , A , A , B , A , B 1 1 1 2 2 2 2 2
A B 1 1 2 A f( C ) , A2 B2 =B2 0 2
g gx g y gz
2
2
2
由各分力可计算重力加速度（模）：
重力位 (续)
•重力位在任意方向的偏导数等于重力在该方向上 的分力： W
l gl g cos( g , l )
当g与l相垂直时，那么dＷ=0，有Ｗ＝常数
当给出不同的常数值，就得到一簇曲面，称为重力 等位面，也就是我们通常说的水准面。可见水准面 有无穷多个。其中，我们把完全静止的海水面所形 成的重力等位面，专称它为大地水准面。
（二）离心力位 • 质点坐标可用质点向径 r，地心纬度φ及经度λ 表示为：（图3-2）
x r cos cos , y r cos sin , z r sin
• 地球自转仅仅引起经度变化，而它对时间的一阶 导数等于地球自转角速度ω 时，得
x r cos sin y r cos cos z0
因此，我们可把Q称为离心力位函数。
（三）重力位
重力是引力和离心力的合力，重力位W是引力位V和离心 力位Q之和： dm 2 2 2
W V Q
W f
r
2
(x y )
对三坐标轴求偏导数求得重力的分力或重力加速度分量：
W V Q ( ) x x x W V Q gy ( ) y y y W V Q gz ( ) z z z gx
5 17 (1 )q 2 35 1 2 1 1 ( ) 8 4
用不同的观测数据，导出的正常重力公式： • 1901～1909年赫尔默特公式：
0 978.030(1 0.005302 sin 2 0.000007 sin 2 2 )
• 1930年卡西尼公式： 0 978.049(1 0.0052882 sin 2 0.000059 sin 2 2 ) • 1975年国际地球正常重力公式： 0 978.032(1 0.005302 sin 2 0.0000058 sin 2 2 ) • ＷGS84坐标系中的椭球重力公式：
微伽(μGal= mGal/1000=10－８m s－２)
•地面点重力近似值 980Gal，赤道重力值 978Gal，两 极重力值 983Gal。由于地球的极曲率及周日运动的原 因，重力有从赤道向两极增大的趋势。 •地球上重力的大小与方向只与被吸引点的位置有关， 理论上应该是常数，但重力是随时间变化而变化，即 相同的点在不同的时刻所观测到的重力不相同。(微)
U0 f M q 2 U f [1 (1 3cos ) sin 2 ] U 0 r 3 2 a [1 3 2 ]
联立求解 q 2 q 2 r a [1 (1 3cos ) sin ] /(1 ) 得： 3 2 3 2 将分母展开，并略去μ、q平方以上各高次项，就得到一 个旋转体，其表面是一个水准面： q 2
三、引力位和离心力位
位函数的概念：设有一标量函数，它对被吸引点各坐标方向 的偏导数等于引力在相应方向上的分力，则此函数称为位函 数。位函数的形式为： V V V 则：Fx ，Fy ，Fz x y z
（一）引力位：
单位质点受物质M的引力作用产生的位能称为引力位，或者 说将单位质点从无穷远处移动到该点引力所做的功。即：
n 0 n
式中： 极距， 900
1 r
K K K [ A P (cos ) ( A cos K B sin K ) P n n n n n (cos )] n 1 K 1
n
) 称为n阶主球函数(或带球函数)。 勒让德多项式 P n (cos K Pn (cos ) 称为n阶K级的勒让德缔合函数(或伴随函数)。
q
2a
ge
3K , 2 2a
2a
fM
a2
2 a3
fM
令： 则有：
地球形状参数。
M q 2 2 U f [1 (1 3 cos ) sin ] r 3 2