高中数学黄金解题模板专题 离心率的求值或取值范围问题(原卷版)

【高考地位】

圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础. 【方法点评】

方法1 定义法

解题模板：第一步 根据题目条件求出,a c 的值 第二步 代入公式c

e a

=

，求出离心率e . 例1. 在平面直角坐标系xOy 中, 若双曲线22

214

x y m m -=+5则m 的值

为 ．

【变式演练1】点P （-3，1）在椭圆122

22=+b

y a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向

为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）

A

33 B 31 C 22

D 2

1

方法2 方程法

解题模板：第一步 设出相关未知量；

第二步 根据题目条件列出关于,,a b c 的方程； 第三步 化简，求解方程，得到离心率.

例2. 若圆2

2

(3)(1)3x y +-=与双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线相切，则

此双曲线的离心率为（ ）

A ．

233 B ．7

2

C ．2

D ．7 例3. 如图，1F ，2F 是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右两个焦点，若直线y x

=与双曲线C 交于P 、Q 两点，且四边形12PFQF 为矩形，则双曲线的离心率为（ ）

A ．26+

B 26+

C ．22+

D 22+

【变式演练2】焦点在x 轴上的椭圆方程为 ()22

2210x y a b a b

+=>>，短轴的一个端点和两个

焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为

3

b

，则椭圆的离心率为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．23

【变式演练3】【吉林省吉林市第一中学20XX 届高三3月“教与学”质检（理）试题】已知椭

圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>，21F ,F 为其左、右焦点，P 为椭圆C 上任一点，12F PF ∆的重

心为G ，内心I ，且有→

→

=21F F IG λ（其中λ为实数），椭圆C 的离心率=e （ ） A ．

1

2

B ．

13

C ．

23

D 3

方法3 借助平面几何图形中的不等关系

解题模板：第一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等

于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，

第二步 将这些量结合曲线的几何性质用,,a b c 进行表示，进而得到不等式，

第三步 解不等式，确定离心率的范围.

例4已知椭圆的中心在O ,右焦点为F ，右准线为l ，若在l 上存在点M ，使线段OM 的垂直平分线经过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 B .⎥⎦

⎤ ⎝⎛23,0 C .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 D .⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0 【变式演练4】已知椭圆22

122:1(0)x y C a b a b

+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存

在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A ．1

[,1)2 B ．23[

,]22 C ．2[,1)2 D ．3[,1)2

方法4 借助题目中给出的不等信息

解题模板：第一步 找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使

方程成立，∆的范围等；

第二步 列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.

例5如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1A ，2A ，1B ，2B 为椭圆的顶点，2F 为右焦点，延长12B F 与22A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）

A ．52-

B ．52-

C ．51-

D ．51

-

【变式演练5】设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离

为d ，若||FB ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

A ．

B ．)+∞

C ．(1,3]

D ．)+∞

方法5 借助函数的值域求解范围

解题模板：第一步 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个

变量的函数关系式；

第二步 通过确定函数的定义域；

第三步 利用函数求值域的方法求解离心率的范围.

例6.已知椭圆221:12x y C m n -=+与双曲线22

2:1x y C m n

+=有相同的焦点，则椭圆1C 的离心

率e 的取值范围为（ ）

A ．

B ．

C ．(0,1)

D ．1

(0,)2

【变式演练6】l 是经过双曲线 ()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>焦点F 且与实轴垂直的直

线,,A B 是双曲线C 的两个顶点, 若在l 上存在一点P ,使60APB ∠=︒,则双曲线离心率的最大值为（ ）

A C ．2 D ．3

【高考再现】

1. 【2016高考新课标2理数】已知12,F F 是双曲线22

22:1x y E a b

-=的左，右焦点，点M 在E

上，1MF 与x 轴垂直，211

sin 3

MF F ∠=

,则E 的离心率为（ ）