高中数学黄金解题模板专题 离心率的求值或取值范围问题(原卷版)

【高考地位】
圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础. 【方法点评】
方法1 定义法
解题模板：第一步 根据题目条件求出,a c 的值 第二步 代入公式c
e a
=
，求出离心率e . 例1. 在平面直角坐标系xOy 中, 若双曲线22
214
x y m m -=+5则m 的值
为 ．
【变式演练1】点P （-3，1）在椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向
为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）
A
33 B 31 C 22
D 2
1
方法2 方程法
解题模板：第一步 设出相关未知量；
第二步 根据题目条件列出关于,,a b c 的方程； 第三步 化简，求解方程，得到离心率.
例2. 若圆2
2
(3)(1)3x y +-=与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线相切，则
此双曲线的离心率为（ ）
A ．
233 B ．7
2
C ．2
D ．7 例3. 如图，1F ，2F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右两个焦点，若直线y x
=与双曲线C 交于P 、Q 两点，且四边形12PFQF 为矩形，则双曲线的离心率为（ ）
A ．26+
B 26+
C ．22+
D 22+
【变式演练2】焦点在x 轴上的椭圆方程为 ()22
2210x y a b a b
+=>>，短轴的一个端点和两个
焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为
3
b
，则椭圆的离心率为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．23
【变式演练3】【吉林省吉林市第一中学20XX 届高三3月“教与学”质检（理）试题】已知椭
圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，21F ,F 为其左、右焦点，P 为椭圆C 上任一点，12F PF ∆的重
心为G ，内心I ，且有→
→
=21F F IG λ（其中λ为实数），椭圆C 的离心率=e （ ） A ．
1
2
B ．
13
C ．
23
D 3
方法3 借助平面几何图形中的不等关系
解题模板：第一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等
于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，
第二步 将这些量结合曲线的几何性质用,,a b c 进行表示，进而得到不等式，
第三步 解不等式，确定离心率的范围.
例4已知椭圆的中心在O ,右焦点为F ，右准线为l ，若在l 上存在点M ，使线段OM 的垂直平分线经过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 B .⎥⎦
⎤ ⎝⎛23,0 C .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 D .⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0 【变式演练4】已知椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存
在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A ．1
[,1)2 B ．23[
,]22 C ．2[,1)2 D ．3[,1)2
方法4 借助题目中给出的不等信息
解题模板：第一步 找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使
方程成立，∆的范围等；
第二步 列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.
例5如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1A ，2A ，1B ，2B 为椭圆的顶点，2F 为右焦点，延长12B F 与22A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A ．52-
B ．52-
C ．51-
D ．51
-
【变式演练5】设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离
为d ，若||FB ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A ．
B ．)+∞
C ．(1,3]
D ．)+∞
方法5 借助函数的值域求解范围
解题模板：第一步 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个
变量的函数关系式；
第二步 通过确定函数的定义域；
第三步 利用函数求值域的方法求解离心率的范围.
例6.已知椭圆221:12x y C m n -=+与双曲线22
2:1x y C m n
+=有相同的焦点，则椭圆1C 的离心
率e 的取值范围为（ ）
A ．
B ．
C ．(0,1)
D ．1
(0,)2
【变式演练6】l 是经过双曲线 ()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>焦点F 且与实轴垂直的直
线,,A B 是双曲线C 的两个顶点, 若在l 上存在一点P ,使60APB ∠=︒,则双曲线离心率的最大值为（ ）
A C ．2 D ．3
【高考再现】
1. 【2016高考新课标2理数】已知12,F F 是双曲线22
22:1x y E a b
-=的左，右焦点，点M 在E
上，1MF 与x 轴垂直，211
sin 3
MF F ∠=
,则E 的离心率为（ ）
（A ）2 （B ）
3
2
（C ）3 （D ）2
2. 【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n
–y 2
=1(n >0)的焦点重
合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）
A ．m >n 且e 1e 2>1
B ．m >n 且e 1e 2<1
C ．m <n 且e 1e 2>1
D ．m <n 且e 1e 2<1
3. 【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的
左焦点，,A B 分
别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，
与y 轴交于点
E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）
（A ）
1
3
（B ）12
（C ）23
（D ）3
4
4. 【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22
221()x y a b a b
+=＞＞0 的
右焦点，直线2
b
y = 与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=o ,则该椭圆的离心率是 ▲ .
5. 【2016高考山东理数】已知双曲线E ：22
221x y a b
-= （a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个
顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______. 6. 【2016高考天津理数】（本小题满分14分）
设椭圆132
22=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知
|
|3||1||1FA e
OA OF =
+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点
M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的
取值范围.
7. 【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆22
21x y a
+=（a ＞1）.
（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；
（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值 范围.
8.【2015高考湖北，理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e >
B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <
C ．对任意的,a b ，12e e <
D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >
9. 【2015高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） A 5 B ．2 C 3 D 2
10. 【2015高考湖南，理13】设F 是双曲线C ：22
221x y a b
-=的一个焦点，若C 上存在点P ，
使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 .
11.【2015高考山东，理15】平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22
122:10,0x y C a b a b
-=>>的
渐近线与抛物线()2
2:20C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的
离心率为 .
【反馈练习】
1. 【河南省开封市20XX 届高三上学期10月月考数学（理）试题】双曲线C ：
22
22
1(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，M ，N 两点在双曲线C 上，且MN ∥F 1F 2，12||4||F F MN =，线段F 1N 交双曲线C 于点Q ，且1||||F Q QN =，则双曲线C 的离心率为
A. 2
B.
3 C. 5 D.6
2.【河南省开封市20XX 届高三上学期10月月考数学（理）试题】过双曲线
22221x y a b -=(0,0)a b >>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆22
24
a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-u u u r u u u r u u u r
，则双曲线的离心率是 .
3. 【湖南省郴州市20XX 届高三上学期第一次教学质量监测数学（理）试题】已知椭圆
22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点(,0)F c -关于直线0bx cy +=的对称点M 在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ） A ．2 B 32
D 3 4. 【河北省沧州市第一中学20XX 届高三10月月考数学（理）试题】过椭圆
22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o ，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
12 B C. 1
3
D 5. 【广东省惠州市20XX 届第二次调研考试数学（理）试题】已知双曲线
2222
1(0,0)x y a b a b -=>>（c 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ） （A ）
37 （B ）273 （C ）73 （D ）7
7
3 6. 【河南省新乡市20XX 届高三上学期第一次调研测试数学（理）试题】已知双曲线
()2222:10,0x y a b a b Γ-=>>，过双曲线Γ的右焦点，且倾斜角为2
π
的直线l 与双 曲线Γ交地,A B 两点，O 是坐标原点，若AOB OAB ∠=∠，则双曲线Γ的离心率为（ ）
A B
D 7.【河南省天一大联考2016-2017学年高中毕业班阶段性测试（二）数学（理）试题】过双
曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与
双曲线的渐进线交于C ，D 两点，若3
||||5
AB CD ≥
，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A ．5[,)3+∞
B ．5[,)4+∞
C ．5
(1,]3
D ．5(1,]4
8. 【山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校20XX 届高三上学期第二次联考数学（理）
试题】直线b y 2=与双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左支、右支分别交于B A ,两点，O 为
坐标原
点，且AOB ∆为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A ．
25 B ．23
C ．5
30
D ．
5
5
3 9. 【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中20XX 届高三8月联考，9】若双曲线22
221
x y a b
-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，且线段12F F 被抛物线2
4y bx =的焦点分成5:3的两段，则双曲线的离心率为（ ）
A 10.【湖北省黄石市20XX 届高三年级九月份调研，20】本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1x y C a b
+=过点()()2,0,0,1A B 两点．
（1）求椭圆C 的方程及离心率；
（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．
10. 【广西梧州市20XX 届高三上学期摸底联考数学（理）试题】已知椭圆
()22
2
210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A B 、两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABC BCF S S ∆∆=，则椭圆的离心率为（ ）
A B C
D 11. 【河南百校联考20XX 届高三9月质检，16】已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的
左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，,A B 是圆()2
224x c y c ++=与C 位于x 轴上方的两
个交点，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为______________．
12. 【山东省实验中学20XX 届高三第一次诊，15】过双曲线22
221x y
a b
-=（0a >，0b >）
的右焦点F 作渐进线的垂线，设垂足为P （P 为第一象限的点），延长FP 交抛物线2
2y px
=（0p >）于点Q ，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若1()2
OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r
，则双
曲线的离心率的平方为 ．
13.【云南师范大学附属中学20XX 届月考、理】设椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的右顶点
为A 、右焦点为F ，B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆E 的离心率是
14. 【广东省广州市荔湾区20XX 届高三调研测试、理】如图，1F 、2F 是双曲线
)0,0(122
22>>=-b a b y a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、
B .若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为
A.4
B.7
C.
3
3
2 D.
3 15. 【辽宁省五校协作体20XX 届高三上学期期初考试数学、理】已知12,F F 分别为双曲线
)0,0(12
2
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若2
12PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）
A.(]1,3
B. (1,3⎤⎦
C.3,3⎡⎤⎣⎦
D.[)3,+∞ 16.【东北师大附中、吉林市第一中学校等20XX 届高三五校联考、理】已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>与函数(0)y x x =-≥的图象交于点P . 若函数y x =-在点P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是（ ）
A.512+
B. 522+
C.312
+ D.32 17. 【云南省玉溪市第一中学20XX 届高三月考、理】双曲线122
22=-b
y a x （0>a ，0>b ）的左右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2e （ ）
A. 221+
B. 224-
C. 225-
D. 223+
18.【长春市普通高中20XX 届高三质监、理】如图,等腰梯形ABCD 中, 2AB DC =u u u r u u u r ,32AE EC =u u u r u u u r .一双曲线经过C ,D ,E 三点,且以A ,B 为焦点,则该双曲线离心率是 ________.
19．【重庆市巴蜀中学20XX 届高三月考数学、理】过双曲线22221(0)x y b a a b
-=>>的左焦点
(,0)(0)F c c ->作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，O 为坐标原点，若1()2
OE OF OP =+u u u r u u u r u u u r ，则双曲线的离心率为 .。