3.2简单的三角恒等变换

1 C.2
7 D. 2
解析：原式＝ cos2α－sin2α
22(sin α－cos α)
＝－ 2(cos α＋sin α)＝－ 22， ∴cos α＋sin α＝12.答案选 C. 答案：C
4．已知 cosx－π4＝ 102，x∈π2，34π，则 sin x＝________.
解析：因为 x∈π2，34π，所以 x－π4∈4π，π2，于是
两角和与差公式的变形与应用
已知锐角α，β满足条件cos 2α－cos 2β＝cos 2(α－β)－ ，求α－3 β的值．
2
分析：已知等式的左边是2α和2β的余弦函数差，右 边是α－β的二倍角函数，要求α－β的值，考虑先求出α－ β的某个三角函数值，把已知等式左边用和差化积公式， 右边用二倍角公式化开，就会出现α－β的三角函数，然 后再化简求值．
( ) 如 sin x±cos x＝ 2sinx±π4，sin x± 3cos x＝2sin x±3 ，
cos x± 3sin x＝2sinπ6±x等．
跟踪训练
4．(2011 年重庆卷)已知 sin α＝12＋cos α，
且 α∈0，π2，则sincoαs－2απ4的值为________． 分析：解答本题可先将 tanπ4－α 化为csoinsπ4π4＋＋αα再化简．
cos θ＋cos ＝_______________，⑦
cos θ－cos ＝_______________，⑧
上面的公式⑤⑥⑦⑧统称为和差化积公式．
θ＋φ θ－φ 2sin 2 cos 2
θ＋φ θ－φ 2cos 2 sin 2
θ＋φ θ－φ 2cos 2 cos 2
－2sinθ＋2 φsinθ－2 φ
故 tanα2＝－
1－cos 1＋cos
α＝－ α
11－ ＋－ －3535＝－2.
解法二：∵180°<α<270°，即角 α 是第三象限角，
∴sin α＝－ 1－cos2α
＝－ 1－－352＝－45，
故 tanα2＝1－sincoαs α＝1－－－54 35＝－2.
或 tanα2＝1＋sincoαs α＝1－－4535＝－2.
C．tanα2＝±
1－cos 1＋cos
α不恒成立．恒成立的条件是 α
cos
α≠－1，
D．tan 2α＝1－2tatnanα2α不恒成立．恒成立的条件是 tan α≠±1，
B 恒成立，故答案选 B. 答案：B
二、和差化积与积化和差公式的推导 由sin＝sin αcos β＋cos αsin β， sin＝sin αcos β－cos αsin β 得sin αcos β＝__________________，① cos αsin β＝____________________，②
1－cos 1＋cos
α来解， α
也可由 cos α＝－35解出 sin α，再根据公式 tanα2＝1－sincoαs α
或
tanα2＝1＋sincoαs
求解．对第一种解法，要注意符号的选择． α
解析：解法一：∵180°<α<270°，∴90°<α2<135°， 即角α2是第二象限角，∴tanα2<0，
＝sinα2±cosα22 可以帮助求解．
解析：∵32π<α<2π，∴34π<α2<π， 从而有 sinα2＋cosα2<0， sinα2－cosα2>0.
∴ 1＋sin α－ 1－sin α
＝sinα2＋cosα2－sinα2－cosα2
＝－sinα2－cosα2＋cosα2－sinα2＝－2sinα2.
b， a2＋b2
则有 y＝asin x＋bcos x
＝ a2＋b2(cos θsin x＋sin θcos x)＝ a2＋b2sin(θ＋x)．
自测自评
1．已知 sin α＝ 55，则 sin4α－cos4α 的值为(
)
A．－15
B．－35
1 C.5
3 D.5
解析：原式＝sin2α－cos2α
＝2sin2α－1＝－35.故选 B.
π4≤x≤274π的最小值，并求其单调区间．
分析：先根据倍角公式“降幂”，化为一个角的三 角函数形式．
解析：f(x)＝5 3cos2x＋ 3sin2x－4sin xcos x
＝3 3＋2 3cos 2x－2sin 2x＝3 3－4sin2x－π3.
∵π4≤x≤72π4，∴6π≤2x－π3≤π4，
∴12≤sin2x－π3≤ 22，∴当 2x－π3＝π4，
思考应用
2．形如y＝asin x＋bcos x的函数的如何进行变换？
解析：y＝asin x＋bcos x
＝
a2＋b2
a a2＋b2sin
x＋
b a2＋b2cos
x，
∵－1≤ a2a＋b2≤1，－1≤ a2b＋b2≤1，
且 a2a＋b22＋ a2b＋b22＝1，
∴不妨设 cos θ＝
a2a＋b2，sin θ＝
答案：B
2．函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________．
解析：f(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1
＝ 2sin2x＋π4＋1，
所以，所求最小值为：1－ 2Байду номын сангаас 答案：1－ 2
3．若sincoαs－2απ4＝－ 22，则 cos α＋sin α 的值为(
)
A．－
7 2
B．－12
α＝1＋sincoαs
α
思考应用
1．试应用半角公式讨论，下列各式中恒成立的是
( )，如不恒成立，请指出应补充的条件．
A．tanα2＝1－sincoαs α
B．cos2α2＝1＋c2os α
C．tanα2＝±
1－cos α 1＋cos α
D．tan 2α＝1－2tatnanα2α
解析：A.tanα2＝1－sincoαs α不恒成立．恒成立的条件是 sin α≠0，
解析：∵cos 2α－cos 2β＝cos 2(α－β)－32， ∴－2sin(α＋β)sin(α－β) ＝1－2sin2(α－β)－32， 即 2sin2(α－β)－2sin(α＋β)sin(α－β)＋12＝0， 2[sin2(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＋14sin2(α＋β)]＋12－12sin2(α＋β)＝0， ∴2[sin(α－β)－12sin(α＋β)]2＋12cos2(α＋β)＝0，
12[sin(α＋β)＋sin(α－β)] 12[sin(α＋β)－sin(α－β)]
由cos＝cos αcos β－sin αsin β， cos＝cos αcos β＋sin αsin β 得cos αcos β＝_________________，③ sin αsin β＝___________________，④
12[cos(α＋β)＋cos(α－β)] －12[cos(α＋β)－cos(α－β)]
上面的公式①②③④统称为积化和差公式．
上面四个式子中，设α＋β＝θ，α－β＝ ，则 有
α＝θ＋2 φ，β＝θ－2 φ 把α，β代入上面的式子得到：
sin θ＋sin ＝________________，⑤
sin θ－sin ＝________________，⑥
法二：原式＝1＋ 1＋sinsiθn－θ＋cocsoθs2θ＋11＋＋sisninθ－θ＋cocsosθθ2 ＝211＋ ＋ssiinn θθ22＋ －2cocos2sθ2θ＝2si4n＋θ＋4si2nsiθn2θ ＝sin2 θ.
跟踪训练
3．已知函数f(x)＝(sin x－cos x)sin x，x∈R，则f(x) 的最小正周期是__________．
sinx－4π＝ 1－cos2x－π4＝7102 sin x＝sinx－π4＋π4 ＝sinx－π4cosπ4＋cosx－π4sinπ4
＝7102× 22＋ 102× 22＝45. 答案：45
倍角公式的变形与应用
已知 cos α＝－35，且 180°<α<270°，求 tanα2的值．
分析：本题可直接利用公式 tanα2＝±
分析：求三角函数的周期，一般是先把函数式化
为y＝Asin (ωx＋φ)＋k的形式，再求周期．
解析：f(x)＝sin2x－sin xcos x ＝1－c2os 2x－12sin 2x
＝－ 22cos2x－π4＋12，
故函数的最小正周期 T＝22π＝π. 答案：π
三角恒等变换的综合应用
求函数 f(x)＝5 3cos2x＋ 3sin2x－4sin xcos x，
cos(α＋β)＝0 ∴sin(α－β)－21sin(α＋β)＝0 ，
∴sin(α－β)－21sin(α＋β)＝0 ，
sin(α＋β)＝1 ∴sin(α－β)－12sin(α＋β)＝0 ， 则 sin(α－β)＝12，又∵0<α，β<π2，
∴－π2<α－β<π2，∴α－β＝π6.
点评：由已知条件求值类的题目我们一般先找出所求 与已知的联系，再用适当的方法求解，此题中所求为α－β 的值，故我们在已知等式左右两边想办法凑出与α－β有关 的三角函数来．等式的左边要凑出与α－β有关的三角函数， 很自然的应该想到和差化积公式，所以熟练运用公式是快 速解题的关键．
θ.
分析：半角公式、倍角公式的灵活运用．
证明：法一：
原式＝22csoins22θ2θ2＋＋22ssiinnθ2θ2ccoossθ2θ2＋22csoins22θ2θ2＋＋22ssiinnθ2θ2ccoossθ2θ2
θθ
＝ sin2θ＋cosθ2＝
1 θθ
cos2 sin2 cos2sin2
＝sin2 θ.
tan2α2＝11－ ＋ccooss