第五章统计推断例题
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成组数据: 将试验单位完全随机分为两组，再随机各实施一处理，这样得 到的数据称为成组数据，以组的平均数作为比较的标准。 配对数据: 自身配对：同一个实验对象，先后接受两种处理或以自身
为空白对照并接受一种处理。
同源配对：配对的两个样本存在遗传上具有同质性，
即来源于同品种、同批次、同年龄、同性别、同体 重等，进行试验前的初始条件是一致的。
(2) 显著水平 ：α= 0.05 (3) 计算统计量 ：
其中：
u
ˆ1 p ˆ2 p
p ˆ p ˆ
1
2
ˆ1 x1 n1 120/ 200 0.6 p
ˆ 2 x2 n2 240/ 500 0.48 p x1 x2 120 240 p 0.514 n1 n2 200 500
- =176.3 (㎝) x 1 SS1=3787.5
- = 233.3(㎝) x 2 SS2=18400
S ( x1 x2 )
ss1 ss2 1 1 ( ) n1 n2 2 n1 n2 3787.5 18400 1 1 ( ) 892 8 9 18.688(cm)
选育提纯后,随机测定了10尾,测定成熟龄活重,结果
是:480,495,401,495,500,500,501,505,493,497(g).
问提纯后该鲫鱼群体成熟龄活重是否比原来整齐 ?
(1)零假设
H 0 :σ =σ
0
备择假设HA: σ≠σ0，
2 （2）显著水平 ：α= 0.05 (10 1) S
(3)检验统计量 (4)统计推断 2
2
df
2
9 951.8 1.34 6400
9 1.34 02.95 3.325
P 0.05
故否定H0，差异显著。
（5）结论：提纯后该鲫鱼群体成熟龄活重比原来整齐了
[例5.6] 据以往资料，已知某小麦品种每平方米产量的平均 方差为0.4(kg)2。今在该品种的一块地上用A、B两法取样， Ａ法取12个样点，得每平方米产量为1.2(kg)；B法取8个样点， 得1.4(kg)。试比较A、B两法的每平方米产量是否有显著差异？
s2 2300 F8,7 2 4.25 s1 541
2
F8,7,0.025 4.899 F 4.25,
4. S12和S22差异不显著,可能有公共的总体方差。
第Ⅱ步，做平均数差异显著性检验——t检验
1. 假设
H0： µ 1= µ 2 ， HA： µ 1＜ µ 2，
2. 显著水平：α ＝0.05 3. 计算检验统计量:
di x1i x2i
3. 计算检验统计量:
d d 1 1 t 4.17 sd sd / n 0.5175/ 9 0.24
sd [(1.1 1) 2 (1.6 1) 2 (0.4 1) 2 (1.4 1) 2 (2.1 1) 2 (0.3 1) 2 (0.1 1) 2 (0.7 1) 2 (1.5 1) 2 ] / 8 0.5175
ˆ 2 x2 n2 p
其中：
ˆ1 x1 n1 p
x1 x2 p n1 n2
例5.15：某渔场发生了烂腮病，观察发现，靠近渔
民居住区的Ⅰ号鱼池的烂腮病比远离居住区的Ⅱ
号鱼池的烂腮病严重。于是，抽查Ⅰ号鱼池中的
200尾鱼，其中患该病的有120尾；抽查Ⅱ号鱼池
中的500尾鱼，其中患该病的有240尾，试问Ⅰ号
， 均末知，且 n1, n2 30 时,
2 1
x1 (喷矮壮素)
x2 (对照)
170 270 180 250 270 290 270 230 170 Σ=2100
第Ⅰ步，做方差齐性检验——F检验
1. 假设
H 0 :σ 1=σ
2
HA : σ 1 ≠σ
2
2. 显著水平：α ＝0.05 3. 计算检验统计量:
x1 x2 176.3 233.3 t 3.05 S( x1 x2 ) 18.688
df=8+9-2=15 | t|=3.04＞ t15,0.05(双侧)=2.131，P＜0.05，故否定H0
x1 x2 1 ＜ 2
结论：玉米喷矮壮素后，株高显著矮于对照。
四、配对数据的显著性检验—配对数据的t检验
鱼池的烂腮病发生率是否比Ⅱ号鱼池的高？
分析：Ⅰ号池和Ⅱ号池烂腮病发生率分别是：
ˆ1 x1 / n1; p ˆ 2 x2 / n2 p
这两个样本百分数的差异是抽样误差引起的，还是 发病率本来就有差异，需要进行测验才能回答。
因此假设二者无实质差异，即：
H0： φ1= φ
2
HA： φ1≠ φ2
φ1、φ2分别是两池鱼烂腮病发病率的总体百分数。
u
其中样本： p ˆ1
ˆ1 p ˆ2 p
p ˆ p ˆ
1
2
x1 n1
ˆ 2 x2 n2 p
故两个样本百分数差异的假设测验的公式如下： H0：P1=P2 HA：P1≠P2
u
ˆ1 p ˆ2 p
p ˆ p ˆ
1
2
ˆ1 p ˆ2 p 1 1 p (1 p )( ) n1 n2
数为300的总体的概率小于5%，表明30Kg差异属于试
验误差的概率小于5%。
根据小概率原理，应否定 零假设，即表面差异
不全为试验误差，新品系与原品种之间存在真实差异。
第五步 依题意写结论 ＊上例u=2>1.96，新品种产量显著高于当地品种。
(例5.4 )一个初步育成的鲫鱼品种,成熟龄活重的变异
度比较大,长期测试结果是标准差 σ 0=80g,经进一步
HA：μ>μ0、HA：μ<μ0。
第二步：显著水平 α=0.05 或α=0.01 判定是否属小概率事件的概率值叫显著水平 (significant level), 一般以α表示。常取0.05和0.01。凡
计算出的概率p小于α的事件即为小概率事件。
第三步： 计算统计量
据抽样分布,确定应该使用的检验方法：对平均数做
1.21 2.56 0.16 1.96 4.41 0.09 0.01 0.49 2.25 13.14
1. 假设：
Ho : d 0 (1 2 )
2. 显著水平：α ＝0.05
3. 计算检验统计量:
H A : 即d 0
d d t sd sd / n
x d d d t s sd / n sd n
假设H0，差异极显著。
双侧检验
若│ｕ│≤ 1.96，则p＞0.05 ，接受假设H0，差异
不显著。 若2.58＞│ｕ│＞ 1.96，故0.01＜p ≤0.05，拒绝 假设H0，差异达显著。 若│ｕ│＞ 2.58，故p ≤0.01，拒绝假设H0，差异 达极显著。
统计上，当0.01＜p ≤0.05称所测差异显著，
H0:1 2 ; H A : 1 2
计算检验统计量: 依题意取α ＝0.05
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x x
1
2
2 12 2 0.4 0.4 0.2887 n1 n2 12 8
(x x ) 因为|u|＜u0.025=1.96，故P＞0.05，推断：接受H0:。
1 2
u
&5.2.1 单个样本显著性检验基本步骤 例5.2 设某地区的当地小麦品种一般亩产300kg，多
年种植结果获得标准差为75kg。现有某新品种n=25,
平均数330kg，问新品种样本所属总体与当地品种
这个总体是否差异显著。
第一步： 统计假设H0:
或 0 0 0
与之相对立的假设称为备择假设，记为HA：μ≠μ0、
(5) 结论:Ⅰ号鱼池的发病率极显著高于Ⅱ号鱼池的发 病率.
DPS法
在对话框中输入数据：
结果：
根据校正的p=0.00534<0.01，说明两个鱼池的烂腮 病有非常显著差异。
x1 x2
1.2 1.4 0.69 0.2887
结论：A、B两种取样方法所得的每平方米产量没有显著差异。
[例5.8] 研究矮壮素使玉米矮化的效果，抽穗期测定喷施小区
玉米8株、对照区9株，株高结果如下表。试作测验。
分析: 喷矮壮素与否的玉米株高(㎝)
2 2
160 2 2 2 160 2 若 1 (F检验判断)，t测验公式为： 200 160 x1 x2 x1 x2 200 t 170 S( x1 x2 ) (n1 1) s12 (n2 1)s22 1 1 ( ) 150 n1 n2 2 n1 n2 210 Σ=1410
2
t8,0.05(双侧) 2.306 t , 所以P 0.05, 拒绝H0 4. 统计推断
5. 结论：mCPP有显著减肥作用。
EXCEL
二、两个样本百分数差异的假设测验
测验两个样本百分数p1和p2的差异显著性，旨在推 断两个样本百分数所对应的总体百分数φ1和φ2是否相 同，用u 测验。 H0： φ1= φ2 HA： φ1≠ φ2
[例5.10]
例：有关药物“mCPP”减肥效果的研究。9名适度肥胖的女性，
一部分受试者先服用mCPP两周，停药两周（冲洗周期）后，
服用安慰剂两周；另一部分受试者相反，先服用安慰剂两 周， 停剂两周（冲洗周期）后，服用mCPP两周。记录每一 名受试者在每种处理条件下减轻的体重（kg）。实验结果 整理如下表。
受检者序号
x1(mCPP)
x2(安慰剂)
d=x1-x2
d2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 和
1.1 1.3 1 1.7 1.4 0.1 0.5 1.6 -0.5
0 -0.3 0.6 0.3 -0.7 -0.2 0.6 0.9 -2
1.1 1.6 0.4 1.4 2.1 0.3 -0.1 0.7 1.5 9
p ≤0.01称差异极显著，
p＞0.05称差异不显著，
所以，统计假设测验又叫差异显著性测验
(difference
significance test)
显著水平a的选择应根据试验要求和试验结论 的重要性而定。
u=2> u0.05（双侧）=1.96，(或u=2> u0.05=1.645)即
对应的概率p＜0.05。平均数为330Kg的样本抽自平均
p ˆ p ˆ
1 2
1 1 p 1 p ( ) n1 n2
0.514 0.486 (0.005 0.002) 0.042
u
ˆ1 p ˆ2 p
p ˆ p ˆ
1
2
0.6 0.48 2.857 0.042
(4)统计推断
绝H0。
u＝2.857 >u0.01＝2.326，p<0.01，故拒
检验用u检验（σ 2已知）或t检验（未知）；标准
差已知用χ 2检验；两个样本方差检验用F检验。
x 0 330 300 u 2 / n 75 / 25
第四步 统计推断
单侧检验
若-1.645 <ｕ<1.645 ，则p>0.05 ，接受假设 H0，差异不显著。 若1.645 <ｕ或ｕ<-1.645 ，则p<0.05 ，拒绝 假设H0，差异显著。 若2.326 <ｕ或ｕ<-2.326 ，则p<0.01 ，拒绝
为空白对照并接受一种处理。
同源配对：配对的两个样本存在遗传上具有同质性，
即来源于同品种、同批次、同年龄、同性别、同体 重等，进行试验前的初始条件是一致的。
(2) 显著水平 ：α= 0.05 (3) 计算统计量 ：
其中：
u
ˆ1 p ˆ2 p
p ˆ p ˆ
1
2
ˆ1 x1 n1 120/ 200 0.6 p
ˆ 2 x2 n2 240/ 500 0.48 p x1 x2 120 240 p 0.514 n1 n2 200 500
- =176.3 (㎝) x 1 SS1=3787.5
- = 233.3(㎝) x 2 SS2=18400
S ( x1 x2 )
ss1 ss2 1 1 ( ) n1 n2 2 n1 n2 3787.5 18400 1 1 ( ) 892 8 9 18.688(cm)
选育提纯后,随机测定了10尾,测定成熟龄活重,结果
是:480,495,401,495,500,500,501,505,493,497(g).
问提纯后该鲫鱼群体成熟龄活重是否比原来整齐 ?
(1)零假设
H 0 :σ =σ
0
备择假设HA: σ≠σ0，
2 （2）显著水平 ：α= 0.05 (10 1) S
(3)检验统计量 (4)统计推断 2
2
df
2
9 951.8 1.34 6400
9 1.34 02.95 3.325
P 0.05
故否定H0，差异显著。
（5）结论：提纯后该鲫鱼群体成熟龄活重比原来整齐了
[例5.6] 据以往资料，已知某小麦品种每平方米产量的平均 方差为0.4(kg)2。今在该品种的一块地上用A、B两法取样， Ａ法取12个样点，得每平方米产量为1.2(kg)；B法取8个样点， 得1.4(kg)。试比较A、B两法的每平方米产量是否有显著差异？
s2 2300 F8,7 2 4.25 s1 541
2
F8,7,0.025 4.899 F 4.25,
4. S12和S22差异不显著,可能有公共的总体方差。
第Ⅱ步，做平均数差异显著性检验——t检验
1. 假设
H0： µ 1= µ 2 ， HA： µ 1＜ µ 2，
2. 显著水平：α ＝0.05 3. 计算检验统计量:
di x1i x2i
3. 计算检验统计量:
d d 1 1 t 4.17 sd sd / n 0.5175/ 9 0.24
sd [(1.1 1) 2 (1.6 1) 2 (0.4 1) 2 (1.4 1) 2 (2.1 1) 2 (0.3 1) 2 (0.1 1) 2 (0.7 1) 2 (1.5 1) 2 ] / 8 0.5175
ˆ 2 x2 n2 p
其中：
ˆ1 x1 n1 p
x1 x2 p n1 n2
例5.15：某渔场发生了烂腮病，观察发现，靠近渔
民居住区的Ⅰ号鱼池的烂腮病比远离居住区的Ⅱ
号鱼池的烂腮病严重。于是，抽查Ⅰ号鱼池中的
200尾鱼，其中患该病的有120尾；抽查Ⅱ号鱼池
中的500尾鱼，其中患该病的有240尾，试问Ⅰ号
， 均末知，且 n1, n2 30 时,
2 1
x1 (喷矮壮素)
x2 (对照)
170 270 180 250 270 290 270 230 170 Σ=2100
第Ⅰ步，做方差齐性检验——F检验
1. 假设
H 0 :σ 1=σ
2
HA : σ 1 ≠σ
2
2. 显著水平：α ＝0.05 3. 计算检验统计量:
x1 x2 176.3 233.3 t 3.05 S( x1 x2 ) 18.688
df=8+9-2=15 | t|=3.04＞ t15,0.05(双侧)=2.131，P＜0.05，故否定H0
x1 x2 1 ＜ 2
结论：玉米喷矮壮素后，株高显著矮于对照。
四、配对数据的显著性检验—配对数据的t检验
鱼池的烂腮病发生率是否比Ⅱ号鱼池的高？
分析：Ⅰ号池和Ⅱ号池烂腮病发生率分别是：
ˆ1 x1 / n1; p ˆ 2 x2 / n2 p
这两个样本百分数的差异是抽样误差引起的，还是 发病率本来就有差异，需要进行测验才能回答。
因此假设二者无实质差异，即：
H0： φ1= φ
2
HA： φ1≠ φ2
φ1、φ2分别是两池鱼烂腮病发病率的总体百分数。
u
其中样本： p ˆ1
ˆ1 p ˆ2 p
p ˆ p ˆ
1
2
x1 n1
ˆ 2 x2 n2 p
故两个样本百分数差异的假设测验的公式如下： H0：P1=P2 HA：P1≠P2
u
ˆ1 p ˆ2 p
p ˆ p ˆ
1
2
ˆ1 p ˆ2 p 1 1 p (1 p )( ) n1 n2
数为300的总体的概率小于5%，表明30Kg差异属于试
验误差的概率小于5%。
根据小概率原理，应否定 零假设，即表面差异
不全为试验误差，新品系与原品种之间存在真实差异。
第五步 依题意写结论 ＊上例u=2>1.96，新品种产量显著高于当地品种。
(例5.4 )一个初步育成的鲫鱼品种,成熟龄活重的变异
度比较大,长期测试结果是标准差 σ 0=80g,经进一步
HA：μ>μ0、HA：μ<μ0。
第二步：显著水平 α=0.05 或α=0.01 判定是否属小概率事件的概率值叫显著水平 (significant level), 一般以α表示。常取0.05和0.01。凡
计算出的概率p小于α的事件即为小概率事件。
第三步： 计算统计量
据抽样分布,确定应该使用的检验方法：对平均数做
1.21 2.56 0.16 1.96 4.41 0.09 0.01 0.49 2.25 13.14
1. 假设：
Ho : d 0 (1 2 )
2. 显著水平：α ＝0.05
3. 计算检验统计量:
H A : 即d 0
d d t sd sd / n
x d d d t s sd / n sd n
假设H0，差异极显著。
双侧检验
若│ｕ│≤ 1.96，则p＞0.05 ，接受假设H0，差异
不显著。 若2.58＞│ｕ│＞ 1.96，故0.01＜p ≤0.05，拒绝 假设H0，差异达显著。 若│ｕ│＞ 2.58，故p ≤0.01，拒绝假设H0，差异 达极显著。
统计上，当0.01＜p ≤0.05称所测差异显著，
H0:1 2 ; H A : 1 2
计算检验统计量: 依题意取α ＝0.05
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x x
1
2
2 12 2 0.4 0.4 0.2887 n1 n2 12 8
(x x ) 因为|u|＜u0.025=1.96，故P＞0.05，推断：接受H0:。
1 2
u
&5.2.1 单个样本显著性检验基本步骤 例5.2 设某地区的当地小麦品种一般亩产300kg，多
年种植结果获得标准差为75kg。现有某新品种n=25,
平均数330kg，问新品种样本所属总体与当地品种
这个总体是否差异显著。
第一步： 统计假设H0:
或 0 0 0
与之相对立的假设称为备择假设，记为HA：μ≠μ0、
(5) 结论:Ⅰ号鱼池的发病率极显著高于Ⅱ号鱼池的发 病率.
DPS法
在对话框中输入数据：
结果：
根据校正的p=0.00534<0.01，说明两个鱼池的烂腮 病有非常显著差异。
x1 x2
1.2 1.4 0.69 0.2887
结论：A、B两种取样方法所得的每平方米产量没有显著差异。
[例5.8] 研究矮壮素使玉米矮化的效果，抽穗期测定喷施小区
玉米8株、对照区9株，株高结果如下表。试作测验。
分析: 喷矮壮素与否的玉米株高(㎝)
2 2
160 2 2 2 160 2 若 1 (F检验判断)，t测验公式为： 200 160 x1 x2 x1 x2 200 t 170 S( x1 x2 ) (n1 1) s12 (n2 1)s22 1 1 ( ) 150 n1 n2 2 n1 n2 210 Σ=1410
2
t8,0.05(双侧) 2.306 t , 所以P 0.05, 拒绝H0 4. 统计推断
5. 结论：mCPP有显著减肥作用。
EXCEL
二、两个样本百分数差异的假设测验
测验两个样本百分数p1和p2的差异显著性，旨在推 断两个样本百分数所对应的总体百分数φ1和φ2是否相 同，用u 测验。 H0： φ1= φ2 HA： φ1≠ φ2
[例5.10]
例：有关药物“mCPP”减肥效果的研究。9名适度肥胖的女性，
一部分受试者先服用mCPP两周，停药两周（冲洗周期）后，
服用安慰剂两周；另一部分受试者相反，先服用安慰剂两 周， 停剂两周（冲洗周期）后，服用mCPP两周。记录每一 名受试者在每种处理条件下减轻的体重（kg）。实验结果 整理如下表。
受检者序号
x1(mCPP)
x2(安慰剂)
d=x1-x2
d2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 和
1.1 1.3 1 1.7 1.4 0.1 0.5 1.6 -0.5
0 -0.3 0.6 0.3 -0.7 -0.2 0.6 0.9 -2
1.1 1.6 0.4 1.4 2.1 0.3 -0.1 0.7 1.5 9
p ≤0.01称差异极显著，
p＞0.05称差异不显著，
所以，统计假设测验又叫差异显著性测验
(difference
significance test)
显著水平a的选择应根据试验要求和试验结论 的重要性而定。
u=2> u0.05（双侧）=1.96，(或u=2> u0.05=1.645)即
对应的概率p＜0.05。平均数为330Kg的样本抽自平均
p ˆ p ˆ
1 2
1 1 p 1 p ( ) n1 n2
0.514 0.486 (0.005 0.002) 0.042
u
ˆ1 p ˆ2 p
p ˆ p ˆ
1
2
0.6 0.48 2.857 0.042
(4)统计推断
绝H0。
u＝2.857 >u0.01＝2.326，p<0.01，故拒
检验用u检验（σ 2已知）或t检验（未知）；标准
差已知用χ 2检验；两个样本方差检验用F检验。
x 0 330 300 u 2 / n 75 / 25
第四步 统计推断
单侧检验
若-1.645 <ｕ<1.645 ，则p>0.05 ，接受假设 H0，差异不显著。 若1.645 <ｕ或ｕ<-1.645 ，则p<0.05 ，拒绝 假设H0，差异显著。 若2.326 <ｕ或ｕ<-2.326 ，则p<0.01 ，拒绝