牛吃草问题【图示法解析】
【奥数】牛吃草问题PPT课件
答：需要12台同样的抽水机6天抽干。
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规律总结
这是一道变相的“牛吃草”问题。抽 水机相当于牛，水相当于草。最一问给出 了时间，求抽水机台数（相当于“牛数”）。 找到题中的“牛”与“草”，问题就迎刃而 解了。
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牛吃草问 题总结
（1）求草每天的生长量
第一步
第三步 （3）求给定时间内草总量 或（3）求牛每天净吃草量
漏进水为2，所以实际上船中每小时减少 的水量为（17－2）=15
（4）30÷15＝2（小时）
答：17人2小时可以淘完水。
当给出人数求时间时， 从总人数里可减去每小 时进水量。这样工作总 量就相当于不变了，再 除以人数即可求出时间。
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练习1
举一反三
1.一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛
=总草量
问题的核心就是求出原有的草。
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答案揭秘
摘录条件： 10头 20天 原有草+20天生长草 15头 10天 原有草+10天生长草 ？头 5天 原有草+5天生长草 设每头牛每天吃草量为1， 按四个步骤解答。
解：（1）每天的生长量 （10×20- 15×10）÷（20－10）＝5 （2）求原有草量 15×10－5×10＝100 （3）求5 天内草总量 100＋5×5＝125 （4）求多少头牛5 天吃完草
（2）求原有草量
第二步
第四步 （4）求多少头牛 或（4）多少天吃完草
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（4）求21头牛多少 天吃完草：72÷6=12（天）
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规律总结
当给出牛头数（人数）求时间时，从 牛（人）总数里可减去单位时间增加量。 这样工作总量就相当于不变了，再除以牛 （人）数即可求出时间。
牛吃草问题的详细解法
牛吃草问题的详细解法一、牛吃草问题基础概念。
1. 问题描述。
- 牛吃草问题又称为消长问题或牛顿问题。
典型的牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
2. 基本公式。
- 设每头牛每天的吃草量为1份。
- 草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数 - 对应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数 - 吃的较少天数)- 原有草量 = 牛头数×吃的天数 - 草的生长速度×吃的天数。
- 吃的天数 = 原有草量÷(牛头数 - 草的生长速度)- 牛头数 = 原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
二、牛吃草问题示例及解析。
1. 题目1。
- 有一片牧场，草每天都在匀速生长。
如果放养24头牛，6天可以把草吃完；如果放养21头牛，8天可以把草吃完。
问：- 要使草永远吃不完，最多放养多少头牛？- 如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？- 解析：- 设每头牛每天吃草量为1份。
- 首先求草的生长速度：(21×8 - 24×6)÷(8 - 6)=(168 - 144)÷2 = 12（份/天）。
要使草永远吃不完，那么牛每天的吃草量不能超过草的生长速度，所以最多放养12头牛。
- 由知草的生长速度为12份/天，先求原有草量：24×6 - 12×6 = 144 - 72 = 72（份）。
- 当放养36头牛时，设可以吃x天，根据原有草量 = 牛头数×吃的天数- 草的生长速度×吃的天数，可得72 = 36x-12x，24x = 72，解得x = 3天。
2. 题目2。
- 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。
那么这片草地可供21头牛吃几周？- 解析：- 设每头牛每周吃草量为1份。
- 草的生长速度(23×9 - 27×6)÷(9 - 6)=(207 - 162)÷3 = 15（份/周）。
牛吃草问题解法
牛吃草问题解法牛吃草问题又称为消长问题或牛顿问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。
基本解法解决牛吃草问题常用到4个基本的公式，分别是︰(1)求草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数-对应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数);(2)求原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;(3)假设有一些牛专吃刚生长的草，剩下的牛吃原有的草。
(4)原有草量/剩下的牛数量=天数这4个公式是解决牛吃草问题的基础。
由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。
牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。
正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。
牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。
由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。
例如;一片草地,每周都匀速生长.这片草地可以供12头牛吃9周,或者共15头牛吃6周.那么,这片草地可供9头牛吃几周?12头×9周=原有草+9周新生草15头×6周=原有草+6周新生草草原有草:15×6-6×6=54六头牛吃新生草,其余3头牛吃原有草,9-6=3(头)54÷3=18(周)解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。
这类问题的基本数量关系是:1.吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度)2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。
《牛吃草问题》PPT课件
在例1的解法中要注意三点：
（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情 况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。
（2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中 几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草， 根据吃的天数可以计算出原有的草量。
（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草， 其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出 能吃几天。
（20＋10）×5＝150（份）。
由 150÷10＝15知，牧场原有草可供15头牛吃 10 天，寒冷占去10头牛，所以，可供5头牛吃10天。
变式训练-1： 一个水池装一个进水管和三个同样 的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水 后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管， 那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管， 那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开
变式训练3：某车站在检票前若干分钟就开始 排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始 检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票 口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。 如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？
分析与解：等候检票的旅客人数在变化， “旅客”相当于“草”，“检票口”相当于 “牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。
解:设出水管每分钟排出得水为1份,每分钟进 水量(2×8-3×5)/(8-5)=1/3(份)
进水管提前开了(2-1/3)×8÷1/3=40(分)
答：出水管比进水管晚开40分钟。
变式训练2： 自动扶梯以均匀速度由下往上 行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已 知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15 级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩 用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？
200－150＝50（份），20—10＝10（天），
牛吃草问题经典例题图文稿
牛吃草问题经典例题集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。
这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？解题关键：牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。
解题环节主要有四步：1、求出每天长草量；2、求出牧场原有草量；3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-- 生长的草量= 消耗原有草量)；4、最后求出可吃天数想：这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。
把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。
求出了这个条件，把25头牛分成两部分来研究，用5头吃掉新长出的草，用20头吃掉原有的草，即可求出25头牛吃的天数。
解：新长出的草供几头牛吃1天：（10×22-16×1O）÷(22-1O）=（220-160）÷12=60÷12=5（头）这片草供25头牛吃的天数：（10-5）×22÷（25-5）=5×22÷20=5.5（天）答：供25头牛可以吃5.5天。
----------------------------------------------------------------“一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天”这道题太简单了，一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。
如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。
这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题。
牛吃草问题(含例题、答案、讲解)
小学数学牛吃草问题知识点总结牛吃草问题：牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。
小升初冲刺第2讲牛吃草问题基本公式：1）设定一头牛一天吃草量为“ 1”2）草的生长速度=（对应的牛头数X吃的较多天数一相应的牛头数X吃的较少天数）十（吃的较多天数一吃的较少天数）；3）原有草量=牛头数X吃的天数一草的生长速度X吃的天数；'4）吃的天数=原有草量十（牛头数—草的生长速度）；5）牛头数=原有草量十吃的天数+草的生长速度。
例1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。
问：这片牧草可供25头牛吃多少天？解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的生长量：（200-150）-（20-10）=5 份10X 20=200份……原草量+20天的生长量原草量：200-20 X 5=100 或150-10 X 5=100份15X 10=150份……原草量+10天的生长量100 -（25-5 ）=5天［自主训练］牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份草每天的生长量：（180-150）-（20-10）=3 份9X 20=180份……原草量+20天的生长量原草量：180-20 X 3=120份或150-10 X 3=120 份15X 10=150份……原草量+10天的生长量120 -（18-3）=8天例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。
已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。
《牛吃草问题》课件图文
精确计时和测量，减小误差。
数据收集与处理
数据处理
通过对收集到的数据进行分析和处理，可以得出以下结论
牛吃草的速度与时间的关系
通过比较不同时间段的草量减少情况，可以观察到牛吃草速度的变化 。
牛吃草总量与时间的关系
通过累计不同时间段的草量减少量，可以得到牛在一定时间内总共吃 了多少草。
通过实验数据验证相关数学模型的正确性
实验原理
牛吃草问题是一个经典的数学问题，涉及到速度、时间和数量的关系。通过实验 ，可以直观地展示这些关系，帮助学生更好地理解和应用相关知识。
实验步骤及操作要点
实验步骤
1. 准备实验材料：一定数量的草、计时器、测量工具（如天平、尺子） 等。
2. 将草均匀铺设在实验场地上，并记录初始草量。
实验步骤及操作要点
相关研究概述
草地生态学
畜牧业经济学
研究草地的结构、功能、动态和调控机制 ，为牛吃草问题提供生态学基础。
研究畜牧业生产、经营、管理和市场等方 面的经济问题，为牛吃草问题提供经济学 分析框架。
草地管理学
数学建模与优化
研究草地的规划、设计、建设和管理等方 面的理论和实践，为牛吃草问题提供管理 策略和技术支持。
THANKS
感谢观看
位草量）。
建立数学模型
根据假设，我们可以建立以下数学模型
Ct = C0 + g * t - v * t
其中，Ct表示经过时间t后草场的草量，C0表示初始时刻草场的草量，g表示草的生长速度 ，v表示牛吃草的速度，t表示时间。
模型求解与分析
当Ct = 0时，表示草被吃光， 此时可以求出牛吃光整个草场 所需的时间t。
其他领域应用前景展望
生态环境保护
牛吃草问题ppt
第一块草量为：
每公顷草每天的生长量为：
（51-36）÷（84-54）=0.5份
每公亩的草量：
第三块牧场可供：
36-54×0.5=9份 或51-84×0.5=9份
（40×9+40×0.5×24）÷24=35（头）
[自主训练] 有3个牧场长满草，第一牧场10公亩，可供 20头牛吃50天，第二牧场15公亩，可供40头牛吃30天， 第三牧场40公亩，可供多少头牛吃24天？（每块地每公 亩的草量相同而且都是匀速生长）
例6 有3个牧场长满草，第一牧场33公亩，可供 22头牛吃54天，第二牧场28公亩，可供17头牛吃 84天，第三牧场40公亩，可供多少头牛吃24天？
解：假设1头牛1天吃1份草
22×54=1188份 平均每公顷有草量： 1188÷33=36份 第二块草量为： 17×84=1428份
平均每公顷有草量： 1428÷28=51份
50份草可供多少头牛吃10天？
（150-10×10）÷10=5头
[自主训练] 由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均 匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供30头牛吃8天， 可供25头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份
30×8=240份……原草量-8天的减少量
25×9=225份……原草量-9天的减少量
草每天的生长量： （180-150）÷（20-10）=3份 原草量： 180-20×3=120份 或150-10×3=120份
120份
+
3份
剩下18-3=15头
3头
吃
15头牛吃120份草能吃几天？
120÷（18-3）=8天
例2 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反 而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛 吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛 吃10天？
行程问题常见考点之牛吃草问题
行程问题常见考点之牛吃草问题在行测考试中，行程问题一直是难点，也一直是考生直接放弃的类型题，很多考生认为其难度大，不可能学会，但是在行程问题中还是一些题型是可以让我们快速做出来并且做对得分的，其中最典型的题型就是牛吃草问题。
一、问题描述牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
(3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);(4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
这四个公式是解决牛吃草问题的基础。
一般设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。
核心公式：草场草量=(牛数-每天长草量)×天数基本不变量：单位面积牧场上原有草量不变，一般用来列方程。
每头牛每天吃草量不变，一般设为“1”单位面积牧场上每天新增草量不变，一般设为“x”。
三、解题方法转化为行程问题考虑。
两船在水中的相遇问题与两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系。
同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，也只与路程差和船速有关，与水速无关。
【例1】：一片牧草，可供16头牛吃20天，也可以供20头牛吃12天，那么25头牛几天可以吃完?解法1：草的生长速度=(16×20-20×12)÷(20-12)=10牛/天原有草量=16×20-10×20=120牛吃的天数=120÷(25-10)=8天解法2：设该牧场每天长草量恰可供x头牛吃一天，这片草场可供25头牛吃n天。
根据核心公式：(16-x)×20=(20-x)×12=(25-x)×n(16-x)×20=(20-x)×12，得x=10，代入得n=8【例2】：有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天?A.20B.25C.30D.35答案：C解析:设该牧场每天长草量恰可供x头牛吃一天，这片草场可供n头牛吃4天根据核心公式：(10-x)×20=(15-x)×10=(n-x)×4(10-x)×20=(15-x)×10，得x=5，代入得n=30【例3】：由于天气逐渐冷起来，牧场上的草除了不长，反而以固定速度减少。
5牛吃草问题ppt课件
利用数学的概念、方法和理论
数学模型可以充分利用数学的概念、方法和理论，对实际问题进行深 入分析和研究，得出科学、准确的结论。
揭示事物的内在联系和规律
数学模型可以揭示事物的内在联系和规律，帮助人们更好地理解和把 握事物的本质和特征。
草地面积增加
在一段时间内，草地面积 可能会增加，表示草地正 在恢复。
牛吃草速度随时间变化图
初始吃草速度
01
显示问题中给定的牛初始吃草速度。
吃草速度变化
02
随着时间的推移，牛的吃草速度可能会发生变化，可能加快或
减慢。
不同牛的吃草速度比较
03
可以比较不同牛在同一时间点的吃草速度。
草地恢复速度随时间变化图
5牛吃草问题ppt课件
目录
• 问题引入 • 数学模型建立 • 图形化展示 • 数值计算与模拟 • 结果分析与讨论 • 总结与展望
01
问题引入
草地状况与牛的数量
草地面积和草的质量
不同面积和质量的草地可以养活不同 数量的牛。
草地的载畜量
一定的草地面积所能承载的牛的最大 数量。
牛的数量
牛的数量越多，每天消耗的草量也越 多。
有限差分法
将连续的时间和空间离散化，通过差分方程近似求解。
有限元法
将求解域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内选择合适的节点作为求解函数的插 值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的 线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
蒙特卡洛模拟
通过随机数（或更常见的伪随机数）来解决各种计算问题。
牛吃草问题计算公式
牛吃草问题计算公式一、牛吃草问题基本公式。
1. 假设每头牛每天的吃草量为1份。
- 草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数 - 相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数 - 吃的较少天数)- 原有草量=牛头数×吃的天数 - 草的生长速度×吃的天数。
- 吃的天数=原有草量÷(牛头数 - 草的生长速度)- 牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
二、牛吃草问题示例及解析。
（一）题目1。
一片草地，可供15头牛吃10天，10头牛吃20天，那么25头牛可以吃多少天？1. 解析。
- 首先求草的生长速度。
设每头牛每天吃草量为1份。
- 根据公式，草的生长速度=(10×20 - 15×10)÷(20 - 10)=(200 - 150)÷10 = 5份/天。
- 然后求原有草量。
- 原有草量=15×10 - 5×10 = 150 - 50 = 100份。
- 最后求25头牛可以吃的天数。
- 吃的天数=100÷(25 - 5)=100÷20 = 5天。
（二）题目2。
有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？1. 解析。
- 先求草的生长速度。
- 草的生长速度=(10×20 - 15×10)÷(20 - 10)=(200 - 150)÷10 = 5份/天。
- 再求原有草量。
- 原有草量 = 10×20 - 5×20 = 200 - 100 = 100份。
- 最后求牛头数。
- 牛头数=100÷4+5 = 25 + 5 = 30头。
（三）题目3。
由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。
经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或供16头牛吃6天。
那么可供11头牛吃几天？1. 解析。
「牛吃草」问题∶从图解到牛顿解
「牛吃草」問題︰從圖解到牛頓解陳麗萍東華三院港九電器商聯會小學下午校馮振業香港教育學院數社科技學系引子香港數學教育學會十週年會慶發行了一套以名題欣賞為主題的書籤，其中一題就是著名的「牛吃草」問題：3頭牛在二星期裡，吃完了2畝地上所有的草；而2頭牛在四星期裡能吃完2畝地上所有的草。
要多少頭牛，能在六星期中吃完6畝地上所有的草？（香港數學教育學會，2005）如果沒考慮到地上會長出新草，單以3頭牛吃二星期的草量和2頭牛吃四星期的草量比較，很容易會認為不可能同由2畝地供給，因前者等同1頭牛吃六星期的草量，而後者卻等同1頭牛吃八星期的草量，兩者不可能相等！表面看來，問題涉及牛數、土地面積和時間三個變量。
然而，如果忽略了草量這個關鍵變量，以及它與土地面積和時間的關係，將不可能成功求解。
由於要處理的關係較多，一般會認為此題較適合中學生以代數方法計算（見附錄一）。
事實上，原題出自英國數學家牛頓（Isaac Newton）的《廣義算術》（Arithmetica Universalis），數值也比較複雜些。
學會書籤列出的一題，換上了較簡單的數值，有利於高小學生以畫圖方法求解。
本文旨在介紹以畫圖方法求解「牛吃草」問題，讓讀者拿來和牛頓的原解對照參考。
兩個解法要解「牛吃草」問題，必須作出下列假設：假設1 開始時（即牛還未開始吃草時），土地上的草量與面積成正比例；假設2 在相同面積的土地上，長出新草的數量，與時間成正比例；假設3 在同一時間內，長出新草的數量，與土地面積成正比例；假設4 每頭牛在任何一單位時間內吃的草量都相等。
直接考慮土地面積和牛數，或利用上面這些假設，可以推得（見附錄二）：命題5 如果在同一時間內吃完地上的所有草，土地面積與牛數成正比例。
問題的已知條件和所求，可以表列如下：牛數（頭）土地面積（畝）時間（星期）3 2 22 2 4? 6 6為了在方便解說，和顯示高小學生可能用上的非正規表達的需要之間取得平衡，以下展示的畫圖推算過程，刻意採用水平劃分表達牛數，鉛垂劃分表達吃草時間。
牛吃草问题----各种经典例题 及变形题ppt课件
• 【例3】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不 生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地 上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6 天．照此计算，可以供多少头牛吃10天？
• 【巩固】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅 不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地 上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天， 那么可供多少头牛吃12天？
• 【巩固】一个蓄水池有1个进水口和15个出水口， 水从进水口匀速流入．当池中有一半的水时，如 果打开9个出水口，9小时可以把水排空．如果打 开7个出水口，18小时可以把水排空．如果是一 满池水，打开全部出水口放水，那么经过 时 分水池刚好被排空．
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• 【例6】假设地球上新生成的资源增长速度是一定 的，照此计算，地球上的资源可供110亿人生活 90年；或供90亿人生活210年。为了使人类能够 不断繁衍，地球上最多能养活多少人？
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• 【巩固】一片牧草，每天生长的速度相同。 现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供 60只羊吃24天。如果1头牛的吃草量等于 4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一 起吃可以吃几天？
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• 模块二、“牛吃草问题”的变形 • 【例5】一个装满了水的水池有一个进水阀及三个
口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个 排水阀，则 30分钟能把水池的水排完，如果同时 打开进水阀及两个排水阀，则10 分钟把水池的水 排完．问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀， 需要多少分钟才能排完水池的水？
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• 【例2】牧场上有一片匀速生长的草地，可 供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么 它可供多少头牛吃18周？
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• 【巩固】牧场有一片青草，每天长势一样， 已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天 把草吃完，则 头牛96天可以把草吃 完．
「牛吃草」问题∶从图解到牛顿解
「牛吃草」問題︰從圖解到牛頓解陳麗萍東華三院港九電器商聯會小學下午校馮振業香港教育學院數社科技學系引子香港數學教育學會十週年會慶發行了一套以名題欣賞為主題的書籤，其中一題就是著名的「牛吃草」問題：3頭牛在二星期裡，吃完了2畝地上所有的草；而2頭牛在四星期裡能吃完2畝地上所有的草。
要多少頭牛，能在六星期中吃完6畝地上所有的草？（香港數學教育學會，2005）如果沒考慮到地上會長出新草，單以3頭牛吃二星期的草量和2頭牛吃四星期的草量比較，很容易會認為不可能同由2畝地供給，因前者等同1頭牛吃六星期的草量，而後者卻等同1頭牛吃八星期的草量，兩者不可能相等！表面看來，問題涉及牛數、土地面積和時間三個變量。
然而，如果忽略了草量這個關鍵變量，以及它與土地面積和時間的關係，將不可能成功求解。
由於要處理的關係較多，一般會認為此題較適合中學生以代數方法計算（見附錄一）。
事實上，原題出自英國數學家牛頓（Isaac Newton）的《廣義算術》（Arithmetica Universalis），數值也比較複雜些。
學會書籤列出的一題，換上了較簡單的數值，有利於高小學生以畫圖方法求解。
本文旨在介紹以畫圖方法求解「牛吃草」問題，讓讀者拿來和牛頓的原解對照參考。
兩個解法要解「牛吃草」問題，必須作出下列假設：假設1 開始時（即牛還未開始吃草時），土地上的草量與面積成正比例；假設2 在相同面積的土地上，長出新草的數量，與時間成正比例；假設3 在同一時間內，長出新草的數量，與土地面積成正比例；假設4 每頭牛在任何一單位時間內吃的草量都相等。
直接考慮土地面積和牛數，或利用上面這些假設，可以推得（見附錄二）：命題5 如果在同一時間內吃完地上的所有草，土地面積與牛數成正比例。
問題的已知條件和所求，可以表列如下：牛數（頭）土地面積（畝）時間（星期）3 2 22 2 4? 6 6為了在方便解說，和顯示高小學生可能用上的非正規表達的需要之間取得平衡，以下展示的畫圖推算過程，刻意採用水平劃分表達牛數，鉛垂劃分表達吃草時間。
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图示法解析牛吃草问题
图示法解题：图示法在解很多题目时非常直观、简洁，如在牛吃草、行程等问题中得到广泛的应用，以牛吃草为例说明如下：
【例1】一片草场的青草每天都匀速生长，这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？
解题思路总结：解决牛吃草问题的关键是：
（1）设1头牛1天吃1份草；
（2）要求出每天（或每周等）新生长的草量；
（3）要求出原有的草量；注意：原有的草量不变。
然后代入计算就可以了。
解：作线段图如下图：
设1头牛1天吃1份草，
则27头牛6天共吃草：27×6＝162份；23头牛9天共吃23×9＝207份，
多了207－162＝45份，相当于（9－6）天生长的草量，
所以每天生长的草量为：＝15份/天；
则原有的草量为：162－6×15＝72份；
21头牛中有15头吃生长的草，那么剩下的21－15＝6头吃原有的草，
所以可以吃：天，因此可供21头牛吃12天。
练习题：
1.有一个水池，池底有一个打开的出水口。
用5台抽水机20时可将水抽完，用8台抽水机15时可将水抽完。
如果仅靠出水口出水，那么多长时间能把水漏完?
2.哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级。
在相同的时间内，妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶，共走了50级。
如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍，那么当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级?
3.两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。
问：该扶梯共有多少级梯级?
4.仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。
用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完;如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。
仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完?
5.画展9点开门，但早就有人排队等候入场了。
从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。
如果开3个入场口，则9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，则9点5分就没有人排队。
那么第一个观众到达的时间是8点几分?
6.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。
从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开5个检票口则需30分钟，若同时开6个检票口则需20分钟。
如果要使队伍10分钟消失，那么需同时开几个检票口?
7.假设地球上新生成的资源的增长速度是一定的，照此测算，地球上的资源可供110
亿人生活90年，或可供90亿人生活210年。
为使人类能够不断繁衍，那么地球最多能养活多少亿人?
8.有一牧场，17头牛30天可将草吃完.19头牛则24天可以吃完.现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完.问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)?
9.有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷。
草地上的草一样厚，而且长得一样快。
第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天。
问：第三块草地可供多少头牛吃80天?
10.有一水池，池底有泉水不断涌出。
要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8时，8
台抽水机需抽12时。
如果用6台抽水机，那么需抽多少小时?。