实变函数测试题10-参考答案

实变函数测试题10

1、设111,1,1,2,3,,n A n n n ⎛

⎤=--+= ⎥⎝

⎦ 分别求{}n A 的上极限与下极限。 解：[]k lim {}1,1k k x A x A x A →∞

=∈=-存在无限多个，使

[]lim {}1,1k k x A x k x A →∞

=∈=-当充分大，总有

2、试证明下面三个陈述等价 （1）0P 是E 的聚点。

（2）0P 的任意领域内，至少含有一个属于E 而异于0P 的点。 （3）存在中互异的点所成的点列{}n P ，使得0()n P P n →→∞。

证：由（1）推出（2）及由（3）推出（1）是显然的，现证由（2）推出（3）.

由假定在0U(P ,1)中至少有一点1P 属于E 而异于0P ，令

1011

min{(,),}2d P δδ=，则在01(,)U P δ中至少有一点2P 属于E 而异于0P ，令

2201

min{(,),}3

d P P δ=，则在02(,)U P δ中又至少有一点3P 属于E 而异于0P ，这样

继续下去，便得到点列{}n P ，它显然满足要求，证毕. 3、设12,,

,n S S S 是一些互不相交的可测集合，,1,2,,,i i E S i n ⊂=求证

1

2

12*()***n n m E E E m E m E m E =++

+。

证：因为12,,,n S S S ⋅⋅⋅互不相交，且,1,2,,,i i E S i n ⊂=⋅⋅⋅所以12,,,n E E E ⋅⋅⋅也不相

交。令T =

1

n

i i E =，易知1

1

1

,(

)()n

n

n

i i i i i i i i T S E T S T S E T ===⋂=⋂=

⋂=

=。

所以

*

*

*

*

*1

1

1

1

((

))(

())().n

n

n

n

i i i i i i i i m T m T

S m T

S m T

S m E ========∑∑

4、证明有理数集是可测集。

证：令E 为R 中的有理数全体，则E 为可数集。设12{,,

,,}n E r r r =，则对

0ε∀>，令 11,22i i i i i I r r εε++⎛

⎫=-+ ⎪⎝

⎭，则2i i I ε=，1

i i E I ∞=⊂

，而1

1

2

i i

i i I ε

ε∞

∞

====∑∑

，

故*

1

inf i i m E I ∞

=≤∑即*0m E =。

下证E 可测。 对任意T ，()()T E

T T

E =，所以**()*()m T m E T m T

E ≤+。

又 ()E T E ⊂，所以*()*0.T ,*(T

)*m E T m E E T m E m T ≤=⊂≤，

所以 *()*()*m E T m T

E m T +≤， 所以**()*()m T m T

E m T

E =+，

因而E 是可测的。

5、设q E R ⊂， *0m E =，试证对任意的q A R ⊂，有**()m E A m A =。

证：****()m E

A m E m A m A ≤+=

又 A E A ⊂

则 **m ()m A E A ≤ 故 **m ()m A E

A =

6、设有指标集I ，I x f ∈αα)}({是p R 上的一簇可测函数，试问)(sup )(x f x S I

αα∈=是

否也是p R 上的可测函数，为什么？ 解：不一定。

设I 是E 上的不可测集，对I α∀∈，令 1,,

()0,x f x x ααα=⎧=⎨≠⎩

。

则[]1,,()sup ()0,0,1\I x I S x f x x I αα∈∈⎧⎪

==⎨∈⎪⎩

。不可测。

7、证明：)(x f 在E 上为可测函数的充要条件是对任一有理数r ，[]r f E >可测。

如果集[]r f E =可测，问)(x f 是否可测？

证：若对[],f a Q E r ∀∈>可测，则对任意R,a ∀∈记{}n r 是大于a 的一切有理数，

则有[][]1

n i E f a E f r ∞=>=

>，由[]n E f r >可测得[]E f a >是可测的，所以

()f x 是E 上的可测函数。

若对[],r Q E f r ∀∈=可测，则()f x 不一定是可测的。例如，(,)E =-∞+∞，

z 是(,)-∞+∞中不可测集。对任意x z ∈

，()f x =

,()x z f x ∉=任意的有理数，[]E f r ==∅

是可测的。而E f z ⎡>=⎣是不可测的。一次f 不是可测的。

8、设()f x ，()g x 是E 上非负可测函数且()()f x g x E 上可积。令[]y E E g y =≥。

证明：

()()y

E F y f x dx =⎰

对一切0y >都存在，且成立

()()()E

F y dy f x g x dx ∞

=⎰

⎰。

证：由于()g x 是E 上非负可测函数，则对0,y y E ∀>是可测集，从而

()d y

E F y f x x =⎰（）存在且()0F y ≥。用Fubini 定理，可知

()()

()

00

()

()()

()1()()y

y y

E E E

E E

g x E

E

F y f x dx dy x f x dx dy f x x dy dx

f x dy dx

f x

g x dx χχ+∞

+∞

+∞

+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭

====⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰

⎰

⎰

⎰（）（）（

）（）。

这里y

E x χ（）表示y E 上的特征函数。 9、设,mE <∞ ()f x 在E 上可积，[],n e E f n =≥则 lim 0n n

n me ⋅=。

证： 由于()f x 在E 上可积，故为E 上..a e 有限的可测函数，所以

0mE f =⎡=∞⎤=⎣⎦。另外，由11,n n e e me mE +⊃≤<∞以及1

n i e E f ∞

==⎡=∞⎤⎣⎦，

则有

lim 0n n

me mE f =⎡=∞⎤=⎣⎦。 由于f x （）

可积，由积分的绝对连续性，对于0ε∀>，0δ∃>，当e E ⊂