杭二中高一期中数学试题卷

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浙江省杭州二中高一数学上学期期中试题【会员独享】.doc

杭州二中第一学期高一年级期中考试数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题和填空题）和第Ⅱ卷（答题卷）两部分，满分100 分，考试时间 90 分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答卷．．相应空格中） 1. 满足{}1,1{1,0,1}A-=-的集合A 共有（）A.2个B. 4个C. 8个D. 16个2. 三个数20.520.5,log 0.5,2a b c ===之间的大小关系是（） A ．a c b << B. b c a << C. b a c << D. a b c <<3. 下列函数中是偶函数的是 ( ) A .3y x=-B.]3,3(,22-∈+=x x yC.x y 2log =D.2-=x y 4. 已知⎩⎨⎧>-<+=0404)(x x x x x f ，则)3([-f f ]的值为（）A ．－2B ．2C ．－3D ．35. 已知函数()833-+=x x f x，用二分法求方程()33801,3x x x +-=∈在内近似解的过程中，取区间中点02x =，那么下一个有根区间为 ( ) A ．（1,2） B ．（2,3） C ．（1,2）或（2,3）都可以 D ．不能确定6. 函数y =）A ．[1,)+∞B ．2(,)3+∞ C ．(,1]-∞ D ．2(,1]37. 已知()f x 为R 上奇函数，当0x ≥时,2()2f x x x =+，则当0x <时，()f x =( ).A.22x x - B. 22x x -+ C. 22x x + D. 22x x -- 8. 甲、乙二人从A 地沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度1v 与2v （1v ＜2v ）.甲前一半的路程使用速度1v ，后一半的路程使用速度2v ；乙前一半的时间使用速度1v ，后一半时间使用速度2v .关于甲、乙二人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析（其中横轴t 表示时间，纵轴s 表示路程，C 是AB 的中点），则其中可能正确的图示分析为（）A .（1） B. （2） C.（3） D . （4） 9. 已知函数(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩满足:对任意实数21,x x ,当12x x <时,总有12()()0f x f x ->,那么实数a 的取值范围是（）A ． [11,)73B ． 1(0,)3C ．11(,)73D ．[1,1)710. 定义：区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -．已知函数||2x y =的定义域为[],a b ，值域为[]1,2，记区间[],a b 的最大长度为m , 最小长度为n ．则函数)2()(n x m x g x +-=的零点个数是（）A ．1B ．2C ．0D ．3二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分．把答案填在答卷中相应横线上） 11.函数2y =的值域是 ▲ . 12. 已知集合{}{222,,M y y x x x R N x y ==-++∈==，那么集合MN为 ▲ .13. 设函数2 0()() 0.x x f x g x x ⎧<=⎨>⎩，，，，若()f x 是奇函数，则(2)g 的值是 ▲ .14. 方程2240x ax -+=的两根均大于1，则实数a 的范围是 ▲ .15. 已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)31()12(f x f <-的x 的取值范围是 ▲ .16. 定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩，例如，121*=，则函数2()(1)f x x x =*-的最大值为▲ . 17. 下列说法：①函数()212log 23y x x =--的单调增区间是(),1-∞；②若函数()y f x =定义域为R 且满足()()11f x f x -=+，则它的图象关于y 轴对称；③函数()()1||xf x x R x =∈+的值域为(1,1)-；④函数2|3|y x =-的图象和直线 ()y a a R =∈的公共点个数是m ，则m 的值可能是0,2,3,4；⑤若函数2()25(1)f x x ax a =-+>在[]1,3x ∈上有零点，则实数a 的取值范围是,3].其中正确的序号是 ▲ .杭州二中第一学期高一年级期中考试数学答题卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11. . 12. . 13. . 14. .15. . 16. . 17. .三、解答题（本大题共4小题，共39分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 18. ( 本小题满分8分）(Ⅰ) 计算：2213log lg14812lg1)27100-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭（Ⅱ）已知11223x x -+=，求22123x x x x --+-+-的值.19. （本小题满分8分）若集合2{|log (2)2,01}a A x x x a a =--<>≠且，（Ⅰ）若2=a ，求集合A ；（Ⅱ）若3A ∈，求实数a 的取值范围．20. （本小题满分11分）已知函数4()nf x x x=-，且(4)3f =. （Ⅰ）判断()f x 的奇偶性并说明理由；（Ⅱ）判断()f x 在区间()0,+∞上的单调性，并证明你的结论；（Ⅲ）若在区间[1,3]上，不等式()221f x x m >++恒成立，试确定实数m 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知幂函数(2)(1)(),k k f x xk Z -+=∈，且()f x 在()0,+∞上单调递增.（Ⅰ）求实数k 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式；（II ）若()2()43F x f x x =-+在区间[2,1]a a +上不单调．．．，求实数a 的取值范围；（III ）试判断是否存在正数q ，使函数()1()(21)g x qf x q x =-+-在区间[1,2]-上的值域为17[4,]8-. 若存在，求出q 的值；若不存在，请说明理由.杭州二中第一学期高一年级期中考试数学答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11. [02]，. 12. []3,2- . 13. 14-. 14. 5[2,)2.15. 12{|}33x x <<. 16. 32. 17. ③ ④ ⑤.三、解答题（本大题共4小题，共39分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）18. ( 本小题满分8分）(Ⅰ) 2213log lg1481192lg1)2132710044-⎛⎫-++=--+=- ⎪⎝⎭（Ⅱ）已知11223x x -+=，求22123x x x x --+-+-的值. 解：∵11223x x-+=，∴11222()9x x -+=，∴129x x -++=，∴17x x -+=， ∴12()49x x -+=，∴2247x x -+=， ∴2212472453734x x x x --+--==+--19.（本小题满分8分）若集合2{|log (2)2,01}a A x x x a a =--<>≠且，（Ⅰ）若2=a ，求集合A ；（Ⅱ）若3A ∈，求实数a 的取值范围．解:（Ⅰ）若2=a ，22log (2)2x x --<，则2024x x <--<得21x -<<-或 23x <<所以{|2123}A x x x =-<<-<<或（Ⅱ）因为3A ∈，所以2log (332)2a --<，log 42a <，当1a >时，24a >，2a ∴>；当01a <<时，24a <，∴01a << 所以实数a 的取值范围是(0,1)(2,)+∞. 本小题满分11分）已知函数4()nf x x x=-，且(4)3f =. （Ⅰ）判断()f x 的奇偶性并说明理由；（Ⅱ）判断()f x 在区间()0,+∞上的单调性，并证明你的结论；（Ⅲ）若在区间[1,3]上，不等式()221f x x m >++恒成立，试确定实数m 的取值范围. 解：（Ⅰ）由(4)3f =得： 1n =()(),00,-∞+∞∴函数()f x 在()(),00,-∞+∞上为奇函数。

2022-2023学年浙江省杭州二中等四校联盟高一(下)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年浙江省杭州二中等四校联盟高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置． 1．化简PA →−PB →+AB →所得的结果是（） A ．2AB →B ．2BA →C ．0→D ．PA →2．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，则下列说法正确的是（） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α C ．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γD ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β3．已知圆台上、下底面的直径分别为4和10，母线长为5，则该圆台的体积为（） A ．145π3B ．116π3C ．65πD ．52π4．已知O 是原点，点A （﹣2，4），B （1，a ），若∠ABO 为钝角，则a 的取值范围是（） A ．（1，2） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，3）D ．（﹣∞，1）∪（3，+∞）5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“a cos B ＝c ”是“△ABC 是直角三角形”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长AB ＝4，BC ＝3，AA 1＝5，点P ，Q 分别是线段BB 1，AC 1上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（）A ．对于任意一点Q ，直线D 1Q 与直线BB 1是异面直线 B ．对于任意一点Q ，存在一点P ，使得CP ⊥D 1QC ．对于任意一点P ，存在一点Q ，使得CP ⊥D 1Q D ．以上说法都不正确7．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，AB ＝3，AC ＝4，E 是AC 的中点，则DE 的长度为（）A ．2√377B ．2√177C ．√377D ．√1778．已知正四面体P ﹣ABC 内接于球，D 为棱AB 上点，满足AD ＝3DB ．若存在过D 点且面积为3π的截面圆，则正四面体棱长的取值范围为（） A ．[2√3，4]B ．[2√2，4]C ．[2√2，6]D ．[2√3，6]二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设平面向量a →，b →，c →均为非零向量，则下列命题正确的是（） A ．若a →⋅c →=b →⋅c →，则a →=b →B ．若a →∥b →，则a →⋅b →=|a →||b →| C ．若|a →+b →|=|a →−b →|，则a →⊥b →D ．若a →⋅c →=b →⋅c →=0，则a →∥b →10．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则（） A ．AC ⊥B 1D 1 B ．A 1F ⊥AB 1 C ．BD 1⊥平面B 1EFD ．D 1F ∥平面A 1DE11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =√2，则下列选项正确的是（） A ．若B =π4，1＜b ＜√2，则△ABC 有两解B ．若B ∈(π2，π)，b ＞√2，则△ABC 无解 C ．若A +B ＝2C ，则a +b 的最大值为2√2D ．若△ABC 为锐角三角形，且B ＝2C ，则sinA ∈(√24a ，12a)12．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ＝CC 1＝4，P 为棱B 1C 1的中点，Q 为棱BB 1上的动点，平面APQ 与棱A 1C 1交于点R ，则下列说法中正确的是（）A ．存在点Q ，使得A 1Q ⊥APB ．线段C 1R 长度的取值范围是[0，2]C ．当点Q 与点B 重合时，四棱锥C ﹣AQPR 的体积为16D ．设截面AQPR ，△APR ，△APQ 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 12S 2S 3∈[4，92]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卷的相应位置． 13．已知平面向量a →=(4，3)，|b →|=2，a →与b →的夹角为60°，则|a →+b →|= ．14．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，D ，F 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，那么异面直线BD 和AF 所成角的余弦值等于．15．在△ABC 中，∠ABC ＝60°，点D 在边AC 上，CD ＝1，AD ＝BD ＝3，则sin A 的值是． 16．如图正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长是3，E 是DD 1上的动点，P 、F 是上、下两底面上的动点，Q 是EF 中点，EF ＝2，则PB 1+PQ 的最小值是．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2，EC ＝2DE ，AE 交BD 于点F ．（1）若AF →=λAB →+μAD →，求λ和μ的值；（2）设P 是线段BC 的中点，求AF →⋅AP →的值．18．（12分）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的棱长都为2，D 和E 分别是BB 1和A 1C 1的中点．（1）求证：直线DE ∥平面ABC 1；（2）若∠A 1AC ＝60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，求三棱锥D ﹣ABC 1的体积．19．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足c tan A ＝2a sin C ．（1）求角A ；（2）若b ＝2c ，点D 为边BC 的中点，且AD =√7，求△ABC 的面积．20．（12分）在三棱锥P ﹣ABC 中，面P AC ⊥面ABC ，AP ⊥PC ，PC ＝2BC ＝2，∠ACP ＝∠ACB ＝45°．（1）求证：BC ⊥BP ；（2）求二面角A ﹣PC ﹣B 的余弦值．21．（12分）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD =√5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD ＝θ，θ∈（π2，π）．（1）当cos θ=−√55时，求小路AC 的长度；（2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．22．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，面ABC ⊥面BCC 1B 1，且B 1C ⊥AB ，点D 为棱A1B1的中点．（1）求证：直线B1C⊥面ABC；（2）若AB＝1，AC=√3，BB1＝3，求直线CD与面ABB1A1所成角的正弦值．2022-2023学年浙江省杭州二中等四校联盟高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置． 1．化简PA →−PB →+AB →所得的结果是（） A ．2AB →B ．2BA →C ．0→D ．PA →解：∵PA →−PB →+AB →=BA →+AB →=0→．故选：C ．2．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，则下列说法正确的是（） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α C ．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γD ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β解：对于A ，平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，也可以相交，故A 错误，对于B ，若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α或者m ⊂α，故B 错误，对于C ，若α⊥β，α⊥γ，不能得到β∥γ，例如正方体一个顶点处的三个平面分别为α，β，γ，故C 错误，对于D ，若m ∥α，m ⊥β，则由面面垂直的判定可知，α⊥β，故D 正确，故选：D ．3．已知圆台上、下底面的直径分别为4和10，母线长为5，则该圆台的体积为（） A ．145π3B ．116π3C ．65πD ．52π解：如图，作AD ∥BC ，在Rt △ADE 中， AD =√AE 2−ED 2=√52−(5−2)2=4，即圆台的高为4，则该圆台的体积为V =13π（22+52+2×5）×4＝52π．故选：D ．4．已知O 是原点，点A （﹣2，4），B （1，a ），若∠ABO 为钝角，则a 的取值范围是（） A ．（1，2） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，3）D ．（﹣∞，1）∪（3，+∞）解：点A （﹣2，4），B （1，a ）， BO →=（﹣1，﹣a ），BA →=（﹣3，4﹣a ），若∠ABO 为钝角，则BO →，BA →不共线，且BO →•BA →＜0， ∴3+a （a ﹣4）＜0，且a ﹣4≠3a ，∴1＜a ＜3．故选：C ．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“a cos B ＝c ”是“△ABC 是直角三角形”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：∵a cos B ＝c ，∴由正弦定理得：sin A cos B ＝sin C ， ∴sin A cos B ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ， ∴cos A sin B ＝0，∴A =π2．又∵△ABC 是直角三角形⇔A =π2或B =π2或C =π2．∴“a cos B ＝c ”是“△ABC 是直角三角形”的充分不必要条件．故选：B ．6．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长AB ＝4，BC ＝3，AA 1＝5，点P ，Q 分别是线段BB 1，AC 1上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（）A ．对于任意一点Q ，直线D 1Q 与直线BB 1是异面直线 B ．对于任意一点Q ，存在一点P ，使得CP ⊥D 1QC ．对于任意一点P ，存在一点Q ，使得CP ⊥D 1Q D ．以上说法都不正确解：对于A ：当点Q 为AC 1中点时，直线D 1Q 即直线D 1B ，与BB 1共面，故A 错误；对于B ：当BP =95时，△CBP 与△C 1CB 相似，CP ⊥BC 1，所以CP ⊥AD 1，因为CP ⊂面BCC 1B 1，C 1D 1⊥面BCC 1B 1，所以CP ⊥C 1D 1，又因为C 1D 1∩AD 1＝D 1，C 1D 1⊂面AC 1D 1，AD 1⊂面AC 1D 1，所以CP ⊥面AC 1D 1，D 1Q ⊂面AC 1D 1，所CP ⊥D 1Q ，故B 正确；对于C ：长方体中C 1D 1⊥面BCC 1B 1，CP ⊂面BCC 1B 1 所以对任意点P ，CP ⊥C 1D 1，而D 1Q 与C 1D 1不平行，所以不存在点Q 使得对任意点P ，CP ⊥D 1Q ，故C 错误；对于D ：B 选项正确，故D 错误，故选：B ．7．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，AB ＝3，AC ＝4，E 是AC 的中点，则DE 的长度为（） A ．2√377B ．2√177C ．√377D ．√177解：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，AB ＝3，AC ＝4，所以BC =√AB 2+AC 2=5，sin B =ACBC =45，因为BD CD=AB AC=34，又BD +CD ＝5，所以解得BD =157，在△ABD 中，又∠BAD ＝45°，由正弦定理BDsin∠BAD=ADsinB，可得157√22=AD45，解得AD =12√27，在△ADE 中，AE ＝2，∠EAD ＝45°，由余弦定理可得DE 2＝AE 2+AD 2﹣2AE •AD •cos ∠EAD ，可得DE 2＝22+（12√27）2﹣2×2×12√27×√22=14849，所以DE =2√377．故选：A ．8．已知正四面体P ﹣ABC 内接于球，D 为棱AB 上点，满足AD ＝3DB ．若存在过D 点且面积为3π的截面圆，则正四面体棱长的取值范围为（） A ．[2√3，4]B ．[2√2，4]C ．[2√2，6]D ．[2√3，6]解：设正四面体棱长为a ，球半径为R ，截面圆的半径为r ，则πr 2＝3π，r =√3，设PH ⊥平面ABC 于H ，则H 是△ABC 中心，且球心在PH 上，连接CH ，并延长与AB 交于点G ，连接OG ，OD ，DH ， PH ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴PH ⊥AB ，AB ⊥GC ， ∵PH ∩GC ＝H ，∴AB ⊥平面OGC ， ∵OG ⊂平面OGC ，∴AB ⊥OG ，HC =23×√32a =√33a ，PH =√a 2−(33a)2=√63a ，则R 2＝（√63a −R ）2+（√33a ）2，解得R =√64a ，当截面过球心时，R =√3，此时棱长最短，故R =√64a =√3，a ＝2√2，当OD ⊥截面时，棱长最长，此时OD 2＝OG 2+GD 2＝OH 2+GH 2+GD 2＝（√612a ）2+（√36a ）2+（a 4）2，解得OD =√34a ，∴R 2＝3+（√34a ）2＝（√64a ）2，解得a ＝4．综上，a 的取值范围是[2√2，4]．故选：B ．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设平面向量a →，b →，c →均为非零向量，则下列命题正确的是（） A ．若a →⋅c →=b →⋅c →，则a →=b →B ．若a →∥b →，则a →⋅b →=|a →||b →| C ．若|a →+b →|=|a →−b →|，则a →⊥b →D ．若a →⋅c →=b →⋅c →=0，则a →∥b →解：对于A ，由a →⋅c →=b →⋅c →，得c →⋅(a →−b →)=0，则a →=b →或c →⊥(a →−b →)，选项A 错误；对于B ，a →⋅b →=|a →||b →|cos ＜a →，b →＞，当a →，b →反向时，a →⋅b →=−|a →||b →|，选项B 错误；对于C ，若|a →+b →|=|a →−b →|，则a →2+2a →⋅b →+b →2=a →2−2a →⋅b →+b →2，化简可得a →⋅b →=0，则a →⊥b →，选项C 正确；对于D ，若a →⋅c →=b →⋅c →=0，则a →⊥c →，b →⊥c →，则a →∥b →，选项D 正确．故选：CD ．10．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则（） A ．AC ⊥B 1D 1 B ．A 1F ⊥AB 1 C ．BD 1⊥平面B 1EFD ．D 1F ∥平面A 1DE解：对于选项A ，连接BD ，∵DD 1＝BB 1，DD 1∥BB 1，∴四边形B 1D 1DB 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1，又∵AC ⊥BD ，∴AC ⊥B 1D 1，故A 正确；对于选项B ，连接A 1B ， ∵BF ⊥平面ABB 1A 1∴BF ⊥AB 1，又∵A 1B ⊥AB 1，∴AB 1⊥平面A 1BF ， ∴AB 1⊥A 1F ，故B 正确；对于选项C ，连接BD ，AC ，AB 1，CB 1，∵DD 1⊥AC ，BD ⊥AC ，∴AC ⊥平面BD 1D ， ∴AC ⊥BD 1，同理，AB 1⊥BD 1， ∵AC ∩AB 1＝A ，∴BD 1⊥平面AB 1C ， ∴BD 1⊥平面B 1EF 不成立，故C 错误；对于选项D ，若D 1F ∥平面A 1DE ，又∵平面A 1DE ∩平面AD 1F ＝LG ，∴D 1F ∥LG ， ∵L 是线段AD 1的中点， ∴LG 是△AD 1F 的中位线， ∴G 是线段AF 的中点，又∵E 是线段AB 的中点，∴EG 是△ABF 的中位线，∴EG ∥BC ，又∵AD ∥BC ，∴EG ∥AD ，这与EG ∩AD ＝D 相矛盾，故假设不成立，故D 错误．故选：AB ．11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =√2，则下列选项正确的是（） A ．若B =π4，1＜b ＜√2，则△ABC 有两解B ．若B ∈(π2，π)，b ＞√2，则△ABC 无解 C ．若A +B ＝2C ，则a +b 的最大值为2√2D ．若△ABC 为锐角三角形，且B ＝2C ，则sinA ∈(√24a ，12a)解：对于A ，因为B =π4，1＜b ＜√2，所以c sin B ＜b ＜c ，则△ABC 有两解，A 正确；对于B ，因为B ∈(π2，π)，b ＞√2，所以△ABC 有且仅有一解，B 错误；对于C ，由{0＜π−3C ＜π20＜2C ＜π20＜C ＜π2得π6＜C ＜π4，则sinC ∈(12，√22)，因为asinA =csinC，所以sinA=asinCc∈(√24a，12a)，D正确；对于D，因为A+B＝2C，所以C=π3，又因为asinA =bsinB=csinC=√2√32=2√63，所以a=2√63sinA，b=2√63sinB，则a+b=2√63sinA+2√63sinB=2√63sinA+2√63sin(2π3−A)=2√63(32sinA+√32cosA)=2√2sin(A+π6 )，由0＜A＜2π3，得π6＜A+π6＜5π6，所以当A+π6=π2，即A=π3时，a+b取得最大值2√2，C正确．故选：ACD．12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝CC1＝4，P为棱B1C1的中点，Q为棱BB1上的动点，平面APQ与棱A1C1交于点R，则下列说法中正确的是（）A．存在点Q，使得A1Q⊥APB．线段C1R长度的取值范围是[0，2]C．当点Q与点B重合时，四棱锥C﹣AQPR的体积为16D．设截面AQPR，△APR，△APQ的面积分别为S1，S2，S3，则S12S2S3∈[4，92]解：∵CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（4，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），A1（4，0，4），B1（0，4，4），P（0，2，4），设点Q （0，4，a ），R （b ，0，4），其中0≤a ≤4，0≤b ≤4，对于A ，若存在点Q ，使得A 1Q ⊥AP ，且A 1Q →=（﹣4，4，a ﹣4），AP →=（﹣4，2，4）， A 1Q →⋅AP →=16+8+4（a ﹣4）＝0，解得a ＝﹣2，不合题意，故A 错误；对于B ，设AR →=mAP →+n AQ →，其中m ，n ∈R ，即（b ﹣4，0，4）＝m （﹣4，2，4）+n （﹣4，4，a ），即{−4m −4n =b −42m +4n =04m +an =4，可得b =16a−8+4，∵0≤a ≤4，则﹣8≤a ﹣8≤﹣4， ∴b =16a−8+4∈[0，2]，故B 正确；对于C ，当点P 与点B 重合时，a ＝0，b ＝1，此时R 为A 1C 1的中点，如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为矩形，则AB ∥A 1B 1，且A 1B 1＝AB ， ∴P 、R 分别为B 1C 1、A 1C 1的中点，则PR ∥A 1B 1，且PR =12A 1B 1，∴PR ∥AB ，且PR =12AB ，同理C 1R ∥AC ，且C 1R =12AC ，C 1P ∥BC 且C 1P =12BC ， ∴PR AB=C 1P BC=C 1R AC=12，∴几何体ABC ﹣RPC 1为三棱台，S △ABC =12AC ×BC =8，S △C 1PR =12C 1P ⋅C 1R =2， V ABC−GEC 1=13(S △ABC +S △C 1PR +√S ABC S △RPC 1)•CC 1=13×14×4=563， V C−RPC 1=13S △RPC 1⋅CC 1=13×2×4=83， ∴V C−ARPQ =V ABC−RPC 1−V C−RPC 1=16，故C 正确；对于D ，AP →=(−4，2，4)，AQ →=(−4，4，a)，则点Q 到直线AP 的距离为d 1=√|AQ →|2−(|AP →⋅AQ →||AP →|)2=√5a 2−68a−13，AR →=（b ﹣4，0，4），则R 到直线AP 的距离为d 2=√|AR →|2−(|AR →⋅AP →||AP →|)2=4√5a 2−68a−13(8−a)， ∴S 2S 3=d 2d 1=48−a， ∴S 12S 2S 3=(S 2+S 3)2S 2S 3=S 2S 3+S 3S 2+2=48−a +8−a4+2，令t ＝8﹣a ，0≤a ≤4，则t ∈[4，8]，则y =4t +t4+2，由双勾函数的性质知y =4t +t4+2在t ∈[4，8]上单调递增，则当t ＝4时，y min ＝4，当t ＝8时，y max =92， ∴S 12S 2S 3∈[4，92]，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卷的相应位置． 13．已知平面向量a →=(4，3)，|b →|=2，a →与b →的夹角为60°，则|a →+b →|= √39 ．解：易知|a →|=√42+32=5，a →⋅b →=|a →||b →|cos60°=5×2×12=5，则|a →+b →|=√a →2+2a →⋅b →+b →2=√25+10+4=√39．故答案为：√39．14．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，D ，F 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，那么异面直线BD 和AF 所成角的余弦值等于710．解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，D ，F 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，连接DF ，取BC 的中点E ，连接EF ，EA ，所以异面直线BD 和AF 所成角就是∠EF A ，设棱长为2，可得EF ＝BD =√1+4=√5，AF =√1+4=√5，AE =√4−1=√3，所以cos ∠EF A =5+5−32×√5×√5=710．故答案为：710．15．在△ABC 中，∠ABC ＝60°，点D 在边AC 上，CD ＝1，AD ＝BD ＝3，则sin A 的值是 √217．解：由AD ＝BD ＝3得∠ABD ＝∠BAD ，设∠ABD ＝∠BAD ＝θ，则∠BDC ＝2θ， △ABC 中，由正弦定理得BC sinθ=AC sin∠ABC，所以BC =4sinθsin π3=8√33sin θ， △BDC 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2+CD 2﹣2BD •CD •cos2θ，即64sin 2θ3=10﹣6cos2θ＝10﹣6（1﹣2sin 2θ），故sin 2θ=37=sin 2A ，由A 为三角形内角得sin A =√217．故答案为：√217． 16．如图正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长是3，E 是DD 1上的动点，P 、F 是上、下两底面上的动点，Q 是EF 中点，EF ＝2，则PB 1+PQ 的最小值是 3√6−1 ．解：以A ，B ，C ，D 为顶点构造棱长为2的正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′，由对称得PB ′＝PB 1，PB 1+PQ ＝PB ′+PQ ，因为E 是DD 1上的动点，F 是下底面上的动点，则△D 1EF 是直角三角形，Q 是EF 中点，且EF ＝2，故QD 1＝1，所以PB ′+PQ 取最小值时，D 1，Q ，P ，B ′四点共线，则D 1B′=3√6，此时PB 1+PQ =3√6−1，故答案为：3√6−1，四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2，EC ＝2DE ，AE 交BD 于点F ．（1）若AF →=λAB →+μAD →，求λ和μ的值；（2）设P 是线段BC 的中点，求AF →⋅AP →的值．解：（1）因为在菱形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝AB ，EC ＝2DE ，所以DF FB=DE AB=13，由平面向量基本定理，可得AF →=AD →+DF →=AD →+14DB →=AD →+14(AB →−AD →)=14AB →+34AD →，所以λ=14，μ=34；（2）∵P 是线段BC 的中点，∴AP →=AB →+BP →=AB →+12AD →，∴AF →⋅AP →=(14AB →+34AD →)⋅(AB →+12AD →)=14AB →2+38AD →2+78AB →⋅AD →=14×4+38×4+78×2×2×12=1+32+74=174． 18．（12分）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的棱长都为2，D 和E 分别是BB 1和A 1C 1的中点．（1）求证：直线DE ∥平面ABC 1；（2）若∠A 1AC ＝60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，求三棱锥D ﹣ABC 1的体积．（1）证明：方法一：连接CE 交AC 1于点G ，连接CD 交BC 1于点H ，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC ，BB 1∥CC 1， ∴EG GC =EC 1AC =12，∴DH HC=BD CC 1=12，∴EG GC=DH HC，DE ∥HG ，又∵EF ⊄面ABC 1，HG ⊂面ABC 1， ∴直线EF ∥平面ABC 1．方法二：在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，取B 1C 1中点F ，连接DF ，EF ，∵D 和E 分别是BB 1和A 1C 1的中点， ∴DF ∥BC 1，EF ∥A 1B 1，∴EF ∥AB ，又∵DF ⊄面ABC 1，BC 1⊂面ABC 1，EF ⊄面ABC 1，AB ⊂面ABC 1， ∴DF ∥面ABC 1，EF ∥面ABC 1，又∵DF ∩EF ＝F ，∴面DEF ∥平面ABC 1． ∵DE ⊂面DEF ，∴直线DE ∥平面ABC 1．（2）解：∵直线DE ∥平面ABC 1，∴V D−ABC 1=V E−ABC 1，又点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，设为h B =√3，∴V E−ABC 1=V B−AEC 1=13S △AEC 1⋅ℎB =13×12×1×√3×√3=12．19．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足c tan A ＝2a sin C ．（1）求角A ；（2）若b ＝2c ，点D 为边BC 的中点，且AD =√7，求△ABC 的面积．解：（1）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足c tan A ＝2a sin C ，由正弦定理，可得：sin C tan A ＝2sin A sin C ，则cosA =12，又0＜A ＜π，∴A =π3；（2）若b ＝2c ，点D 为边BC 的中点，且AD =√7，在△ACD 中，AC 2＝AD 2+CD 2﹣2AD •CD •cos ∠ADC ，在△ABD 中，AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD •cos ∠ADB ， ∵CD ＝BD ，∠ADC ＝π﹣cos ∠ADB ，∴AC 2+AB 2＝2AD 2+2BD 2，∴(2c)2+c 2=2⋅√72+2BD 2，∴BC 2＝10c 2﹣28，在△ABC 中，BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC =c 2+(2c)2−2c ⋅2c ⋅12， ∴BC 2＝3c 2＝10c 2﹣28，∴c ＝2， ∴S △ABC =12bcsinA =c 2sinA =2√3．20．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，面P AC⊥面ABC，AP⊥PC，PC＝2BC＝2，∠ACP＝∠ACB＝45°．（1）求证：BC⊥BP；（2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．（1）证明：过P作PH⊥AC交AC于H，连接HB，∵PH⊥AC，面P AC⊥面ABC，面P AC∩面ABC＝AC，∴PH⊥面ABC，∴PH⊥BC，∵∠ACP＝45°，∴CH=PC⋅sin∠ACP=√2，在△BCH中，HB=√CH2+BC2−2CH⋅BC⋅cos45°=1，∴CH2＝BC2+BH2，∴BC⊥BH，又∵PH∩HB＝H，∴BC⊥面PHB，∴BC⊥BP．（2）解：方法一：过H作HD⊥AC交AB于D，以H点为原点，分别以HD，HC，HP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，−√2，0)，C(0，√2，0)，P(0，0，√2)，B(√22，√22，0)， ∴PC →=(0，√2，−√2)，PB →=(√22，√22，−√2)，设面PBC的一个法向量n →1=(x 1，y 1，z 1)，则n →1⋅PB →=n →1⋅PC →=0，{√22x 1+√22y 1−√2z 1=0√2y 1−√2z 1=0，∴n →1=(1，1，1)，∵PC →=(0，√2，−√2)，PA →=(0，−√2，−√2)，设面P AC 的一个法向量n →2=(x 2，y 2，z 2)，则n →2⋅PA →=n →2⋅PC →=0，{√2y 2−√2z 2=0−√2y 2−√2z 2=0，∴n →2=(1，0，0)， ∴cosθ=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=1√3⋅1=√33．方法二：过H 作HM ⊥PB ，HN ⊥PC ，∵BC ⊥面PHB ，∴面PBC ⊥面PBH ，又∵HM ⊥PB ，面PBC ∩面HPB ＝PB ， ∴HM ⊥面PBC ，∴∠MNH 即为二面角A ﹣PC ﹣B 的平面角，在△PBH 中，PH =√2，HB ＝1，PH ⊥HB ，∴HM =√63，在△PHC 中，PH =HC =√2，PH ⊥HC ，∴HN ＝1， ∴sin ∠MNH =HMHN =√63，∴cos ∠MNH =√33．21．（12分）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD =√5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD ＝θ，θ∈（π2，π）．（1）当cos θ=−√55时，求小路AC 的长度；（2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．（本题满分为14分）解：（1）在△ABD 中，由BD 2＝AB 2+AD 2﹣2AB •AD •cos θ，得BD 2＝14﹣6√5cos θ，又cos θ=−√55，∴BD ＝2√5．∵θ∈（π2，π）， ∴sin θ=√1−cos 2θ=√1−(−√55)2=2√5，由BDsin∠BAD =ABsin∠ADB ，得：2√52√5=3sin∠ADB ，解得：sin ∠ADB =35， ∵△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠CDB =π2，且CD =BD =2√5，∴cos ∠ADC ＝cos （∠ADB +π2）＝﹣sin ∠ADB =−35，在△ACD 中，AC 2＝AD 2+DC 2﹣2AD •DC •cos ∠ADC ＝（√5）2+（2√5）2﹣2×√5×2√5×(−35)=37，解得：AC =√37．（2）由（1）得：BD 2＝14﹣6√5cos θ，S ABCD ＝S △ABD +S △BCD =12×3×√5×sinθ+12BD 2=7+3√52×sinθ−3√5cos θ ＝7+3√52（sin θ﹣2cos θ）＝7+152sin （θ﹣φ），此时，sin φ=25，cos φ=15，且φ∈(0，π2)，当θ﹣φ=π2时，四边形ABCD 的面积最大，即θ＝φ+π2，此时cos θ=25，sin θ=15， ∴BD 2＝14﹣6√5cos θ＝14﹣6√5×5)=26，即BD =√26．答：（1）当cosθ=−√55时，小路AC 的长度为√37百米；（2）草坪ABCD的面积最大时，小路BD的长度为√26百米．22．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，面ABC⊥面BCC1B1，且B1C⊥AB，点D为棱A1B1的中点．（1）求证：直线B1C⊥面ABC；（2）若AB＝1，AC=√3，BB1＝3，求直线CD与面ABB1A1所成角的正弦值．（1）证明：∵AB⊥AC，∴作AH⊥BC交BC于点H．∵AH⊥BC，面ABC⊥面BCC1B1，面ABC∩面BCC1B1＝BC，∴AH⊥面BCC1B1，∴AH⊥B1C，又∵B1C⊥AB，∵AH∩AB＝A，∴B1C⊥面ABC．（2）解：∵AB⊥AC，AB⊥B1C，AC∩B1C＝C，∴AB⊥面AB1C，AB⊂面ABB1A1，∴面ABB1A1⊥面AB1C．过点C作CE⊥AB1，交直线AB1于点E．则CE⊥面ABB1A1．∴直线CD与面ABB1A1所成角即∠CDE，∵B1C⊥面ABC，∴B1C⊥AC，B1C⊥BC，B1C⊥面A1B1C1，∴B1C⊥A1B1．又AB＝1，AC=√3，BB1＝3，∴BC＝2，B1C=√5，AB1=2√2，CD=√212，CE=√304．∴sin∠CDE=√7014，即直线CD与面ABB1A1所成角的正弦值为√7014．。

浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合{}N 12A x x =∈-≤≤，{}2,1,0,1B =--，则A B = （）A ．{}2,1,0,1,2--B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．{}12．若函数()1f x +的定义域是{}10x x -<<，则函数()f x 的定义域为（）A ．{}01x x <<B ．{}21x x -<<-C ．{}10x x -<<D ．{}20x x -<<3．不等式20cx ax b ++>的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则函数2y ax bx c =+-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知()e e x x xf x a -=+是偶函数，则a =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．已知命题p ：0x ∃≥，111x x +<+，则（）A ．命题p 的否定为0x ∀≥，111x x +≥+，且p 是真命题B ．命题p 的否定为0x ∃≥，111x x +≥+，且p 是真命题C ．命题p 的否定为0x ∀≥，111x x +≥+，且p 是假命题D ．命题p 的否定为0x ∀<，111x x +≥+，p 是假命题6．已知函数2()32x a x f x ax x ⎧≤=⎨+>⎩，，是R 上的增．函数，则实数a 的取值范围为（）A ．1a >B ．13a <<C ．13a -≤≤D ．13a <£7．已知,,abc 为正数，且22a b c ++=，则14a b b c +++的最小值为（）A ．52B ．52C ．92D ．948．已知函数341()=41x x f x x -++，则不等式(21)()0f x f x -+<的解集为（）A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞C ．1(,)3+∞D ．1(,)3-∞二、多选题9．设,R a b ∈，若0a b ->，则下列结论正确的是（）A ．0b a ->B ．0b a +>C ．220a b ->D ．330a b +<10．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（）A ．三项比赛都参加的有2人B ．只参加100米比赛的有3人C ．只参加400米比赛的有3人D ．只参加1500米比赛的有3人11．设R x ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，如][1.51, 1.52⎡⎤=-=-⎣⎦，记{}[]x x x =-.则下列说法正确的有（）A ．R,Z x n ∀∈∈，都有[][]n x n x +=+B ．,x y ∀∈R ，都有[][][]xy x y ≥C ．*R,N x n ∀∈∈，都有[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．若存在实数x ，使得23[]1,[]2,[]3,...,[]n x x x x n ====同时成立，则正整数n 的最大值为4.三、填空题12．设集合(){}22,2,N,N A x y x y x y =+≤∈∈，则A 中元素的个数为13．如果2339x x --<，则x 的取值范围为.14．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12x x D ∈,当12x x <时，有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0;f =②1()()32x f f x =；③(1)()1f x f x -+=.则21((55f f +=四、解答题15．已知命题22:R,60p x x x a ∃∈-+=，当命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为A .(1)求集合A ；(2)设集合{}321B a m a m =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16．已知函数()4(0)4x xa f x a =+≠(1)当1a =时，根据定义证明函数()f x 在(0,+∞）上单调递增.(2)若()f x 有最小值4，求a 的值.17．某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为7502m 的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m 的小路，中间,,A B C 三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中,B C 区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为m x ，鲜花种植的总面积为2m S .(1)用含有x 的代数式表示a ，并写出x 的取值范围；(2)当x 的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？18．设函数()222f x x tx =-+，其中R t ∈.(1)若1t =，（i ）当[0,3]x ∈时，求()f x 的最大值和最小值;（ii ）对任意的[]0,2x a ∈+，都有()5f x ≤，求实数a 的取值范围；(2)若对任意的12,[0,4]x x ∈，都有()()128f x f x -≤，求实数t 的取值范围.19．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2()4f x x x =-+.(1)求()f x 的解析式；(2)当()f x 的定义域为[,]a b （0a ）时，()f x 的值域为[,]a b ，求,a b 的取值.(3)是否存在实数,a b ，使得当()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为88[,b a，如果存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由.。

2019-2020学年浙江省杭州二中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设集合A ={x|2x <1}，B ={x|x 2<3}，则A ∩B =( )A. {x|−√3<x <12}B. {x|x <√3}C. {x|−3<x <12}D. {x|x <3} 2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是( )A. y =1xB. y =e −xC. y =−x 2+1D.3. 已知log 12x >0，那么x 的取值范围是( )． A. (0,+∞)B. (1,+∞)C. (0,1)D. (−∞,1) 4. 函数f(x)=3x +2x −7的零点所在区间为( ) A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3) 5. 若2x 2+1≤(14)x−2，则函数y =2x 的值域是( ) A. [18,2)B. [18,2]C. (−∞,18]D. [2,+∞) 6. 函数f(x)=2x 1−x 2的图象大致是( )A. B.C. D.7. lg(−1100)2=( ) A. −4B. 4C. 10D. −10 8. 已知函数f(x)=log a [(a +1)x 2−x −7]在[2,3]上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A. (54,+∞)B. (19,1)∪(54,+∞)C. (2,+∞)D. (12,1)∪[2，+∞) 9. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=3−2x ，则不等式f(x)>0的解集为 A. (−32,32) B. (−∞,−32)⋃(0,32)C. (−∞,−32)⋃(32,+∞)D. (−32,0)⋃(32,+∞) 10. 二次函数f(x)=ax 2+bx +1的最小值为f(1)=0，则a −b =( )A. −2B. −1C. 1D. 3二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.集合M={y|y=x2−1,x∈R}，集合N={x|y=√3−x2}，则(∁R M)∩N=______．)=__________．12.已知幂函数的图象过点(2,√2)，则f(1413.已知函数f(x)满足f(x−1)=x2−x+1，则f(2)=__________．14.计算：log832−7log73=________．15.已知函数f(x)=1+log a(2x−3)(a>0且a≠0)恒过定点(m,n)，则m+n=______．16.已知f(x)=|x2−1|+x2+kx在(0,2)上有两个零点，则实数k的取值范围是______．17.已知f(x+7)是定义在R上的奇函数，当x<7时，f(x)=−x2，则当x>7时，f(x)=__________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）<0}，U=R．18.已知集合A={x|x2−2x−8≤0}，B={x|x−6x+1(1)求A∪B；(2)求(∁U A)∩B；(3)如果非空集合C={x|m−1<x<2m+1}，且A∩C=⌀，求m的取值范围．19.某企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润与投资成正比，其关系如图1，乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资的单位：万元)．(Ⅰ)分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(Ⅱ)该企业筹集了100万元资金投入生产甲、乙两种产品，问：怎样分配这100万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？(a>0)在(0,+∞)上的单调性，并给出证明．20.判断函数f(x)=x+ax21.已知函数g(x)=4x−a是奇函数，f(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数．2x(1)求a+b的值．(2)若对任意的t∈[0,+∞)，不等式g(t2−2t)+g(2t2−k)>0恒成立，求实数k的取值范围．22.设函数f(x)的定义域为I，对于区间D⊆I，若∃x1，x2∈D(x1<x2)满足f(x1)+f(x2)=1，则称区间D为函数f(x)的V区间．+lgx的V区间；(1)证明：区间(0,2)是函数f(x)=12)x的V区间，求实数a的取值范围；(2)若区间[0,a](a>0)是函数f(x)=(12(3)已知函数f(x)=sinx−ln(1+x)在区间[0,+∞)上的图象连续不断，且在[0,+∞)上仅有2个零点，e x证明：区间[π,+∞)不是函数f(x)的V区间．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查集合的交集运算，属于简单题．根据交集的定义求解．【解答】}，B={x|−√3<x<√3}，解：集合A={x|x<12}，则A∩B={x|−√3<x<12故选A．2.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断，属于中档题．根据偶函数的定义判断各个选项中的函数是否为偶函数，再看函数是否在区间(0,+∞)上单调递减，从而得出结论．【解答】为奇函数；解：y=1xy=e−x为非奇非偶函数；y=−x2+1符合条件，y=lg|x|在定义域(0,+∞)上为增函数．故选C．3.答案：C解析：【分析】本题考查对数不等式的解法，考查对数函数的性质，属基础题．依题意，根据对数函数的性质求解即可．【解答】解：因为，根据对数函数的性质得0<x<1，故选C．4.答案：C解析：【分析】本题考查函数零点存在性定理，属于基础题．由f(1)<0，f(2)>0，结合零点存在性定理可得．【解答】解：∵函数f(x)=3x+2x−7，∴f(1)=3+2−7<0，f(2)=9+4−7>0，满足f(2)×f(1)<0，又因为f(x)是递增的连续函数，∴f(x)的零点在区间(1,2)内，故选C．5.答案：B)x−2，解析：解：∵2x2+1≤(14∴2x2+1≤2−2x+4，∴x2+1≤−2x+4，解得−3≤x≤1，,2]，∴函数y=2x的值域为：[2−3,2]即[18故选B．)x−2，求出x的取值范围，再根据x的取值范围求出指数函数y=2x的值域即先由不等式2x2+1≤(14可得出答案．本题考查了函数的值域，属于基础题，关键是先由指数不等式正确求出函数x的取值范围．6.答案：A解析：【分析】本题考查函数图象的应用，难度较易．可采用特殊值代入排除得答案．解：取x =12，f(12)=11−14=43，排除D ，x =5时，f(x)<0，排除B ，C ．故选A ．7.答案：A解析：解：lg(−1100)2=lg10−4=−4．故选：A ．利用对数的性质、运算法则直接求解．本题考查对数式化简求值，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8.答案：A解析：【分析】本题考查了函数的性质，不等式的求解，属于中档题．先考虑函数t(x)=(a +1)x 2−x −7，在[2,3]上是增函数，再利用复合函数的单调性得出{a >1(a +1)22−2−7>0求解即可．【解答】解：设函数t(x)=(a +1)x 2−x −7，∵a >0，∴x 0=12(a+1)<2，∴t(x)=(a +1)x 2−x −7，在[2,3]上是增函数，∵函数f(x)=log a [(a +1)x 2−x −7]在[2,3]上是增函数，∴{a >1(a +1)22−2−7>0a >54，故选：A 9.答案：B解析：【分析】本题考查函数的奇偶性．作出f(x)的图象，由图可得不等式f(x)>0的解集．解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以它的图象关于原点对称，且f(0)=0，作出函数图象如图所示，从图象知不等式f(x)>0的解集为．故选B．10.答案：D解析：解：二次函数f(x)=ax2+bx+1的最小值为f(1)=0，=1，且a>0，∴b−2a∴b=−2a，∴f(1)=a+b+1=0，解得a=1，b=−2，∴a−b=3，故选：D根据二次函数的性质即可求出a，b的值，问题得以解决．本题考查了二次函数的性质，属于基础题．11.答案：[−√3,−1)解析：解：M={y|y=x2−1,x∈R}={y|y≥−1}，故∁R M={y|y<−1}，集合N={x|y=√3−x2}={x|−√3≤x≤√3}，则(∁R M)∩N=[−√3,−1)，故答案为：[−√3,−1)．求出M的补集，从而求出其和N的交集即可．本题考查了集合的运算，考查补集，交集的定义，考查二次函数、二次根式的性质，是一道基础题． 12.答案：12解析：【分析】本题考查幂函数，设幂函数的解析式，根据幂函数的图象过点(2,√2)，求出解析式，然后将14代入求解即可．【解答】解：设幂函数为f(x)=x α，因为图象过点(2,√2)，所以√2=2a ，解得α=12，所以f(x)=x 12，则f(14)=(14)12=12．故答案为12． 13.答案：7解析：∵f(x −1)=x 2−x +1，∴令x −1=2，解得x =3，∴f(2)=32−3+1=7.故答案为：7． 14.答案：−43解析：【分析】此题重点考查了对数的运算性质和对数恒等式，是一个基础题，难度不大．【解答】解：由对数的运算法则有：log 832−7log 73=log 2325−7log 73=53−3=−43，故答案为−43． 15.答案：3解析：【分析】本题主要考查函数的图象经过定点问题，对数函数的图象过定点问题，属于基础题．由条件利用log a 1+1=1为定值，求出n 的值，可得2x −3=1，求得m 的值，从而求得m +n 的值．【解答】解：令2x −3=1，解得：x =2，故f(2)=1+0=1，故m =2，n =1，故m +n =3，故答案为：3．16.答案：(−72,−1)解析：【分析】本题考查函数零点的转化问题，带绝对值的函数化简，考查数形结合思想，构造函数与转化问题的能力，综合性强．由题意设g(x)=|x 2−1|+x 2，ℎ(x)=−kx ，由x 的范围化简g(x)，在同一个直角坐标系中画出函数g(x)和ℎ(x)的图象，由图求出两个函数图象有两个交点时，实数k 的取值范围即可．【解答】解：由题意设g(x)=|x 2−1|+x 2，ℎ(x)=−kx ，则g(x)=|x 2−1|+x 2={1,0<x ≤12x 2−1,1<x <2, 在同一个直角坐标系中画出函数g(x)和ℎ(x)的图象如图，当直线ℎ(x)处在两条虚线之间时，函数g(x)和ℎ(x)的图象由两个交点，把点(2,7)和(1,1)代入求出k =−72、k =−1，所以f(x)=|x 2−1|+x 2+kx 在(0,2)上有两个零点时，实数k 的取值范围是(−72,−1)，故答案为：(−72,−1)． 17.答案：−(x −14)2解析：【分析】本题考查了与奇函数有关函数性质的问题，考查对奇偶性质的理解．【解答】∵f(x +7)是定义在R 上的奇函数，∴f(x +7)=−f(−x +7)，∴f(x)=−f(−x +14)， ∴当x >7时，−x +14<7，故f(x)=−f(−x +14)=−(−x +14)2=−(x −14)2，故答案为−(x −14)2．18.答案：解：(1)集合A={x|x2−2x−8≤0}={x|−2≤x≤4}，<0}={x|−1<x<6}；B={x|x−6x+1∴A∪B={x|−2≤x<6}；(2)全集U=R，∴∁U A={x|x<−2或x>4}，∴(∁U A)∩B={x|4<x<6}；(3)非空集合C={x|m−1<x<2m+1}，∴2m+1>m−1，解得m>−2；又A∩C=⌀，∴m−1≥4或2m+1≤−2，；解得m≥5或m≤−32∴m的取值范围是−2<m≤−3或m≥5.2解析：本题考查了集合的定义与运算问题，是中档题．(1)化简集合A、B，根据并集的定义写出A∪B；(2)根据补集与交集的定义写出(∁U A)∩B；(3)根据非空集合C与A∩C=⌀，得关于m的不等式，求出解集即可．19.答案：解：(1)设投资x万元，利润y万元，则甲产品的利润与投资成正比，过(1.8,0.45)，故甲x；的函数关系式为y=14乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，设方程为y=k√x，因为过点(4,6)，所以k=3，故乙的函数关系式为y=3√x；(2)设应给乙投资x万元，则给甲投资(100−x)万元(100−x)+3√x(0≤x≤100)故y=14=0，∴x=36求导函数，y′=−142√x∴函数在(0,36)上，y′>0，函数单调增，(36,100)上，y′<0，函数单调减，∴x=36时，函数取得极大值，且为最大值，y max=34答：应投资36万元，最大利润34万元．解析：(1)根据甲产品的利润与投资成正比，过(1.8,0.45)，可得甲的函数关系式；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，过点(4,6)，可得乙的函数关系式；(2)设应给乙投资x万元，则给甲投资(100−x)万元，从而可得函数关系式，求导函数，确定函数的单调性，即可求得最大利润．本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，单峰函数极值就是最值，属于中档题． 20.答案：解：结论：f(x)在(0,√a]上是减函数，在[√a,+∞)上是增函数．证明：设x 1，x 2是任意两个正数，且0<x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=(x 1+a x 1)−(x 2+a x 2)=x 1−x 2x 1x 2(x 1x 2−a )，当0<x 1<x 2≤√a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1−x 2<0，所以f (x 1)−f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴函数f(x)在(0,√a]上是减函数，当√a ≤x 1≤x 2时，x 1x 2>a ，又x 1−x 2<0，∴f (x 1)−f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f(x)在[√a,+∞)上是增函数，综上可知，函数f(x)在(0,√a]上是减函数，在[√a,+∞)上是增函数．解析：本题考查函数的单调性和判断，考查运用定义证明单调性的方法，考查运算能力，属于基础题．运用单调性定义证明，注意作差、变形、定符号和下结论几个步骤．21.答案：解：(1)∵g(x)=4x −a 2x 是定义在R 上的奇函数， ∴由g(0)=0得1−a =0，得a =1，则g(x)=4x −12x ，经检验g(x)是奇函数，由f(−1)=f(1)得lg(10−1+1)−b =lg(10+1)+b ，即2b =lg(1110×111)=lg(110)=−1，即b =−12，则f(x)=lg(10x +1)−12x ，经检验f(x)是偶函数∴a +b =12(2)∵g(x)=4x −12x =2x −12x ，且g(x)在(−∞,+∞)单调递增，且g(x)为奇函数．∴由g(t 2−2t)+g(2t 2−k)>0恒成立，得g(t 2−2t)>−g(2t 2−k)=g(−2t 2+k)，∴t 2−2t >−2t 2+k ，在t ∈[0,+∞)上恒成立即3t 2−2t >k ，在t ∈[0,+∞)上恒成立令F(x)=3t 2−2t ，在[0,+∞)的最小值为F(13)=−13∴k <−13∴k 的取值范围是(−∞,−13)．解析：(1)根据函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可．(2)根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化求解即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，根据条件建立方程求出a ，b 的值以及利用函数单调性之间的关系是解决本题的关键．22.答案：解：(1)设x 1，x 2∈(0,2)(x 1<x 2)，若f(x 1)+f(x 2)=1，则12+lg x 1+12+lg x 2=1，所以lgx 1+lgx 2=lgx 1x 2=0，x 1x 2=1，取x 1=45，x 2=54，满足定义，所以区间(0,2)是函数f(x)=12+lg x 的V 区间；(2)因为区间[0,a]是函数f(x)=(12)x 的V 区间，所以，x 2∈[0,a](x 1<x 2)使得(12)x 1+(12)x 2=1，因为f(x)=(12)x 在[0,a]上单调递减，所以(12)x 1>(12)a ，(12)x 2⩾(12)a ，(12)x 1+(12)x 2>2(12)a =(12)a−1，所以(12)a−1<1，a −1>0，a >1，故所求实数a 的取值范围为a >1；(3)因为f(π2)=1−ln(1+π2)e π2>0，f(π)=−ln(1+π)e π<0，所以f(x)在(π2,π)上存在零点，又因为f(0)=0，所以函数f(x)在[0,π)上至少存在两个零点，因为函数f(x)=sin x−ln (1+x)e x 在区间[0,+∞)上仅有2个零点，所以f(x)在[π,+∞)上不存在零点，又因为f(π)<0，所以所以∀x 1，x 2∈[π,+∞)(x 1<x 2)，f(x 1)+f(x 2)<0，即因此不存在∀x 1，x 2∈[π,+∞)(x 1<x 2)满足f(x 1)+f(x 2)=1，所以区间[π,+∞)不是函数f(x)的V 区间．解析：本题主要考查了函数单调性以及新定义，属于较难题．(1)根据题意设x 1，x 2∈(0,2)(x 1<x 2)，得到lgx 1+lgx 2=lgx 1x 2=0，x 1x 2=1，即可得解；(2)根据题意得到，x 2∈[0,a](x 1<x 2)使得(12)x 1+(12)x 2=1，得到(12)a−1<1，a −1>0，a >1，即可得解；(3)根据题意得到f(x)在(π2,π)上存在零点，函数f(x)在[0,π)上至少存在两个零点，以f(x)在[π,+∞)上不存在零点，即可得解．。

杭州二中第二学期高一年级期中考试数学

杭州二中第二学期高一年级期中考试数学试卷时间 90分钟注意：本试卷不得使用计算器一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某扇形的半径为r ，圆心角α所对的弧长为2r ，则α的大小是A.30B.60C. 1弧度D.2弧度 2.要得到函数sin(2)6y x π=+的图象，只需将函数cos2y x =的图象A. 向左平移6π个单位 B. 向右平移6π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位 3.若非零平面向量 a b c ，，满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，则 A.,a c 一定共线 B. ,a b 一定共线 C. ,b c 一定共线 D. ,,a b c 无确定位置关系 4.在同一直角坐标系中，作出sin ,,tan y x y x y x ===在区间(,)22x ππ∈-的图象,正确的是5.已知(0,)απ∈，17cos()cos()225παπα---=，则tan α的值为A.247-B.247-或724-C. 724-D. 2476.lnsin(2)3y x π=-+的单调递减区间为A. 52(,],123k k k Z ππππ++∈B. 5(,],612k k k Z ππππ++∈C. 5(,],1212k k k Z ππππ++∈D. [,),126k k k Z ππππ-+∈7.设a ，b 是一组非正交的基底，为得到正交基底，可在集合{|}a tb t R +∈中找一个向量与a 组成一组正交基底，根据上述要求，若(1,2)a =，(2,3)b =，则t 的值为A. 38-B.511-C.58-D.79-A.D.C. B.8.已知函数sin()(0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如下，则它的解析式为 A.52sin()126y x ππ=+B.2sin()66y x ππ=+ C.2sin()126y x ππ=+ D.2sin()66y x ππ=+或52sin()126y x ππ=+ 9.若关于x 的方程2sin223cos 310x x m -++-=在区间[0,]2π上有两个不同的解，则实数m 的取值范围是A.(1,13]--B.(0,13]-C.(1,23]-D.(0,13]+10.已知函数()cos (0)f x x ωω=>，其图象关于点6(,0)7M π对称，且在区间[0,]2π是单调函数，则ω的值为A.74 B. 78 C.74或712 D. 712二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.若角θ的终边经过点(1,1)P -，则cos2θ的值 . 12.已知α为第三象限角，化简1sin 1sin 1sin 1sin αααα+---+的结果为 .13.设()sin f x x =，()cos g x a x =+，[0,2]x π∈，若()f x 的图象与()g x 的图象交点的个数有且仅有一个，则a 的值为 . 14.设函数()cos2sin2f x x a x =+，若55()()88f x f x ππ-=+，那么a 等于 . 15.在ABC ∆中，D 是BC 上一点，2DC DB =-，若||2,||3AB AC ==，则||AD 的取值范围为 . 16.给出下列4个命题： ①保持函数sin(2)3y x π=+图象的纵坐标不变，将横坐标扩大为原来的2倍，得到的图象的解析式为sin()6y x π=+.②在区间[0,)2π上，0x 是tan y x =的图象与cos y x =的图象的交点的横坐标，则064x ππ<<.③在平面直角坐标系中，取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 i ,j 作为基底，则四个向量 2i j +，2 3i j +，3 2i j -，2 i j -的坐标表示的点共圆.第15题第8题④方程33cos sin 1x x -=的解集为{|2,}2x x k k Z ππ=-∈.其中正确的命题的序号为 .杭州二中2010学年第二学期高一年级期中考试数学答题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.11． 12．13． 14．15. 16.三、解答题：本大题共4小题．共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）已知||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为60. （1）求a b +与a 的夹角的余弦值；（2）当||a tb +取得最小值时，试判断a tb +与b 的位置关系，并说明理由.18.（本小题满分10分）设()sin(2)2sin cos 6f x x m x x x R π=++∈，.（1）当0m =时，求()f x 在[0,]3π内的最小值及相应的x 的值；（2）若()f x 的最大值为12，求m 的值.19.（本小题满足12分）已知定义在R 上的函数()cos()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，且函数sin(2)3y x π=+图象所有的对称中心都在()y f x =图象的对称轴上. （1）求()f x 的表达式；（2）若003()([,])2222x f x ππ=∈-，求0cos()3x π-的值；（3）设((),1)6a f x π=-，(1,cos )b m x =，(0,)2x π∈，若30a b ⋅+≥恒成立，求实数m 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知()(|sin ||cos |)4sin29f x a x x x =+++，若9()134f π=-（1）求a 的值；（2）求()f x 的最小正周期（不需证明）；（3）是否存在正整数n ，使得方程()0f x =在区间[0,]n π内恰有2011个根.若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由.杭州二中2010学年第二学期高一年级期中考试数学参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一11． 0 12． αtan 2-13 14． 115. )37,31( 16. ○2○3 三．解答题:本大题共4小题，共46分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知1||=a ，2||=b ，a 与b 的夹角为60. （1）求b a +与a 的夹角的余弦.（2）当||b t a +取得最小值时，试判断b t a +与b 的位置关系，说明理由. 解：（1）设b a +与a 的夹角为θ，于是160cos ||||=⋅=⋅ b a b a ，7||===+b a ，于是77272||||(cos ==⋅+=a b a a b a θ. （2）令43)41(4124||22++=++=+t t t b t a ，当且仅当41-=t 时，取得最小值，此时04)(=+⋅=⋅+t b a b b t a ，所以b b t a ⊥+)(.18.（本小题满分10分）设R x x x m x x f ∈++=，cos sin 2)62sin()(π.（1）当0=m 时，求)(x f 在]3,0[π内的最小值及相应的x 的值；（2）若)(x f 的最大值为21，求m 的值. 解：（1）因为]3,0[π∈x ，则]65,61[62πππ∈+x ，所以 21min =f ，此时30π或=x .（2）令)2sin(41)23(2cos 212sin )23(cos sin 2)62sin()(2ϕπ+++=++=++=x m x x m x x m x x f ，其中 2321tan +=m ϕ，于是41)23()(2max ++=m x f ，令2141)23(2=++m ，得：23-=m . 19．（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数)2||,0,0)(cos()(πϕωϕω≤>>+=A x A x f ，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，函数)32sin(π+=x y 图象所有对称中心都在)(x f 图象的对称轴上.（1）求)(x f 的表达式；（2）若])2,2[(23)2(00ππ-∈=x x f ，求)3cos(0π-x 的值；（3）设)1),6((π-=x f a ，)cos ,1(x m b =，)2,0(π∈x ，若03≥+⋅b a 恒成立，求实数m的取值范围.解；(1)依题意可知：π==T A ,2，)32sin(π+=x y 与f(x)相差Z k kT T∈+,4，即相差Z k k ∈+,4ππ，所以)32cos(]3)4(2sin[)(ππππ+=+++=x A k x A x f 或)342cos(]3)4(2sin[)(ππππ+=++-=x A k x A x f （舍），故)32cos(2)(π+=x x f . （2）因为])2,2[(23)2(00ππ-∈=x x f ，即43)3cos(0=+πx ，因为]65,6[30πππ-∈+x ，又4323)6cos(>=-π，y=cosx 在]0,6[π-单调递增，所以]2,0[30ππ∈+x ，所以47)43(1)3sin(20=-=+πx ，于是 83212347214332sin )3sin(32cos )3cos()323cos()3cos(0000-=⋅+⋅-=+++=-+=-πππππππx x x x（3）因为)1),6((π-=x f a ，)cos ,1(x m b =，)2,0(π∈x1cos cos 43cos 2cos 23cos )6(32++=++=++-=+⋅x m x x m x x m x f b a π，于是01cos cos 42≥++x m x ，得x x m cos 1cos 4--≥对于)2,0(π∈x 恒成立，因为4)cos 1cos 4(max -=--xx ，故4-≥m .20．（本小题满分14分）已知函数92sin 4|)cos ||sin (|)(+++=x x x a x f ，若2913)49(-=πf . （1）求a 的值；（2）求)(x f 的最小正周期（不需证明）；（3）是否存在正整数n ，使得0)(=x f ，在区间],0[πn 内恰有2011个根.若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由. 解：（1）令49π=x ，得2913942-=++a ，得9-=a . （2）解：)(92sin 4|)cos ||sin (|99)(2sin 4|))cos(||sin((|9)(x f x x x x x x x f =+++-=++++++-=+ππππ所以)(x f 的最小正周期为π. （3）不存在n 满足题意. 当]2,0[π∈x 时，92sin 4)cos (sin 9)(+++-=x x x x f .设]2,1[)4sin(2cos sin ∈+=+=t x x x t ，π，则1cos sin 22sin 2-==t x x x ，于是59492sin 4)cos (sin 9)(2+-=+++-=t t x x x x f ，令05942=+-t t ，得451==t t 或]2,1[∈，于是2,0π=x 或)40(00π<<=x x x 或02x x -=π，其中825)4sin(0=+πx 当),2(ππ∈x 时，92sin 4)cos (sin 9)(++--=x x x x f .设]2,1()4sin(2cos sin ∈-=-=t x x x t ，π，则21cos sin 22sin t x x x -==，于是1394-92sin 4)cos (sin 9)(2+-=++--=t t x x x x f ，令01394-2=+-t t ，解得1=t 或413-=t ]2,1(∉，故)(x f 在),2(ππ∈x 没有实根.综上讨论可得0)(=x f 在),0[π上有4根，而350242011+⨯=，而在]502,0[π有2009个根，]503,0[π有2013个根，在故不存在n ，使得0)(=x f 在区间],0[πn 内恰有2011个根.。

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杭州二中第二学期高一年级期中考试数学试卷注意：本试卷不得使用计算器一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某扇形的半径为r ，圆心角α所对的弧长为2r ，则α的大小是A.30B.60C. 1弧度D.2弧度 2.要得到函数sin(2)6y x π=+的图象，只需将函数cos2y x =的图象A. 向左平移6π个单位B. 向右平移6π个单位C. 向左平移3π个单位D. 向右平移3π个单位3.若非零平面向量 a b c ，，满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，则 A.,a c 一定共线 B. ,a b 一定共线 C. ,b c 一定共线 D. ,,a b c 无确定位置关系4.在同一直角坐标系中，作出sin ,,tan y x y x y x ===在区间(,)22x ππ∈-的图象,正确的是5.已知(0,)απ∈，17cos()cos()225παπα---=，则tan α的值为A.247-B.247-或724-C. 724-D. 2476.lnsin(2)3y x π=-+的单调递减区间为A. 52(,],123k k k Z ππππ++∈ B. 5(,],612k k k Z ππππ++∈ C. 5(,],1212k k k Z ππππ++∈ D. [,),126k k k Z ππππ-+∈7.设a ，b 是一组非正交的基底，为得到正交基底，可在集合{|}a tb t R +∈中找一个向量与a 组成一组正交基底，根据上述要求，若(1,2)a =，(2,3)b =，则t 的值为A. 38-B.511-C.58- D.79-A. D.C.B.8.已知函数sin()(0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如下，则它的解析式为 A.52sin()126y x ππ=+B.2sin()66y x ππ=+ C.2sin()126y x ππ=+ D.2sin()66y x ππ=+或52sin()126y x ππ=+9.若关于x的方程2sin210x x m -++=在区间[0,]2π上有两个不同的解，则实数m 的取值范围是A.(1,1--B.(0,1-C.(-D.(0,1+10.已知函数()cos (0)f x x ωω=>，其图象关于点6(,0)7M π对称，且在区间[0,]2π是单调函数，则ω的值为A.74 B. 78 C.74或712 D. 712二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.若角θ的终边经过点(1,1)P -，则cos2θ的值 . 12.已知α的结果为 .13.设()sin f x x =，()cos g x a x =+，[0,2]x π∈，若()f x 的图象与()g x 的图象交点的个数有且仅有一个，则a 的值为 . 14.设函数()cos2sin2f x x a x =+，若55()()88f x f x ππ-=+，那么a 等于 . 15.在ABC ∆中，D 是BC 上一点，2DC DB =-，若||2,||3AB AC ==，则||AD 的取值范围为 . 16.给出下列4个命题： ①保持函数sin(2)3y x π=+图象的纵坐标不变，将横坐标扩大为原来的2倍，得到的图象的解析式为sin()6y x π=+.②在区间[0,)2π上，0x 是tan y x =的图象与cos y x =的图象的交点的横坐标，则064x ππ<<.第15题第8题③在平面直角坐标系中，取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 i ,j 作为基底，则四个向量 2i j + 3j + 2j -，2 i j -的坐标表示的点共圆. ④方程33cos sin 1x x -=的解集为{|2,}2x x k k Z ππ=-∈.其中正确的命题的序号为 .杭州二中第二学期高一年级期中考试数学答题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中的横线上．11． 12．13． 14．15. 16.三、解答题：本大题共4小题．共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）已知||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为60. （1）求a b +与a 的夹角的余弦值；（2）当||a tb +取得最小值时，试判断a tb +与b 的位置关系，并说明理由.18.（本小题满分10分）设()sin(2)2sin cos 6f x x m x x x R π=++∈，.（1）当0m =时，求()f x 在[0,]3π内的最小值及相应的x 的值；（2）若()f x 的最大值为12，求m 的值.19.（本小题满足12分）已知定义在R 上的函数()cos()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，且函数sin(2)3y x π=+图象所有的对称中心都在()y f x =图象的对称轴上. （1）求()f x 的表达式；（2）若003()([,])2222x f x ππ=∈-，求0cos()3x π-的值；（3）设((),1)6a f x π=-，(1,cos )b m x =，(0,)2x π∈，若30a b ⋅+≥恒成立，求实数m 的取值范围.本小题满分14分）已知()(|sin ||cos |)4sin29f x a x x x =+++，若9()134f π=-（1）求a 的值；（2）求()f x 的最小正周期（不需证明）；（3）是否存在正整数n ，使得方程()0f x =在区间[0,]n π内恰有个根.若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由.杭州二中第二学期高一年级期中考试数学参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有11． 0 12． αtan 2-13 14． 115. )37,31( 16. ○2○3 三．解答题:本大题共4小题，共46分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知1||=，2||=，与的夹角为60. （1）求b a +与a 的夹角的余弦.（2）当||t +取得最小值时，试判断b t a +与b 的位置关系，说明理由. 解：（1）设b a +与a 的夹角为θ，于是160cos ||||=⋅=⋅ b a b a ，7||===+，于是77272||||cos ==⋅+=a b a θ. （2）令43)41(4124||22++=++=+t t t t ，当且仅当41-=t 时，取得最小值，此时04)(=+⋅=⋅+t b a b b t a ，所以b b t a ⊥+)(. 18.（本小题满分10分）设R x x x m x x f ∈++=，cos sin 2)62sin()(π.（1）当0=m 时，求)(x f 在]3,0[π内的最小值及相应的x 的值；（2）若)(x f 的最大值为21，求m 的值. 解：（1）因为]3,0[π∈x ，则]65,61[62πππ∈+x ，所以 21min =f ，此时30π或=x .（2）令)2sin(41)23(2cos 212sin )23(cos sin 2)62sin()(2ϕπ+++=++=++=x m x x m x x m x x f ，其中 2321tan +=m ϕ，于是41)23()(2max ++=m x f ，令2141)23(2=++m ，得：23-=m . 19．（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数)2||,0,0)(cos()(πϕωϕω≤>>+=A x A x f ，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，函数)32sin(π+=x y 图象所有对称中心都在)(x f 图象的对称轴上.（1）求)(x f 的表达式；（2）若])2,2[(23)2(00ππ-∈=x x f ，求)3cos(0π-x 的值；（3）设)1),6((π-=x f ，)cos ,1(x m =，)2,0(π∈x ，若03≥+⋅恒成立，求实数m 的取值范围.解；(1)依题意可知：π==T A ,2，)32sin(π+=x y 与f(x)相差Z k kT T∈+,4，即相差Z k k ∈+,4ππ，所以)32cos(]3)4(2sin[)(ππππ+=+++=x A k x A x f 或)342cos(]3)4(2sin[)(ππππ+=++-=x A k x A x f （舍），故)32cos(2)(π+=x x f . （2）因为])2,2[(23)2(00ππ-∈=x x f ，即43)3cos(0=+πx ，因为]65,6[30πππ-∈+x ，又4323)6cos(>=-π，y=cosx 在]0,6[π-单调递增，所以]2,0[30ππ∈+x ，所以47)43(1)3s i n (20=-=+πx ，于是 83212347214332sin )3sin(32cos )3cos()323cos()3cos(0000-=⋅+⋅-=+++=-+=-πππππππx x x x（3）因为)1),6((π-=x f a ，)cos ,1(x m =，)2,0(π∈x 1cos cos 43cos 2cos 23cos )6(32++=++=++-=+⋅x m x x m x x m x f b a π，于是 01cos cos 42≥++x m x ，得x x m cos 1cos 4--≥对于)2,0(π∈x 恒成立，因为4)cos 1cos 4(max -=--xx ，故4-≥m .本小题满分14分）已知函数92sin 4|)cos ||sin (|)(+++=x x x a x f ，若2913)49(-=πf . （1）求a 的值；（2）求)(x f 的最小正周期（不需证明）；（3）是否存在正整数n ，使得0)(=x f ，在区间],0[πn 内恰有个根.若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由. 解：（1）令49π=x ，得2913942-=++a ，得9-=a . （2）解：)(92sin 4|)cos ||sin (|99)(2sin 4|))cos(||sin((|9)(x f x x x x x x x f =+++-=++++++-=+ππππ所以)(x f 的最小正周期为π. （3）不存在n 满足题意. 当]2,0[π∈x 时，92s i n 4)c o s (s i n 9)(+++-=x x x x f .设]2,1[)4sin(2cos sin ∈+=+=t x x x t ，π，则1cos sin 22sin 2-==t x x x ，于是59492sin 4)cos (sin 9)(2+-=+++-=t t x x x x f ，令05942=+-t t ，得451==t t 或]2,1[∈，于是2,0π=x 或)40(00π<<=x x x 或02x x -=π，其中825)4s i n (0=+πx 当),2(ππ∈x 时，92s i n 4)c o s (s i n 9)(++--=x x x x f .设]2,1()4sin(2cos sin ∈-=-=t x x x t ，π，则21cos sin 22sin t x x x -==，于是1394-92sin 4)cos (sin 9)(2+-=++--=t t x x x x f ，令01394-2=+-t t ，解得1=t或413-=t ]2,1(∉，故)(x f 在),2(ππ∈x 没有实根.综上讨论可得0)(=x f 在),0[π上有4根，而350242011+⨯=，而在]502,0[π有个根，]503,0[π有个根，在故不存在n ，使得0)(=x f 在区间],0[πn 内恰有个根.。

浙江省杭州第二中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷含答案解析

浙江省杭州第二中学2020-2021学年高一上学期期中考试
数学试卷
一、选择题：每小题4分，共40分
己知集合 A={a,b}, B={a+I,3} (a,beR），若A门 B={2｝，则 AUB= C
A. {2}
B. {3}
2. 与函数J(x）＝占7 表示同一函数（是
C. {I,2,3}
D. {0,1,2 }
A. a 主8
。 B. 2':9
C. a2".IO
D. a2'= II
c 均有
Hale Waihona Puke A. 0B. �c. -2
D. 1
3
6若2' 2Y <3 x 3 y ，则（
A. y2 >x2
B.王＜I
y
C. lg(y-x)>0
GJ D.
<r'
7. 己知。＝ log0_2 0.3 , b= log2 0.3 ，则（
A. a+b<ab<O
B. ab<a+b <0
C. a+b<O<ab
D. ab<O<a+b
，
旦旦＝4,
f ( o)
f(2)
f( 4)
则函数y =J (x ）的解析式可以（是
；二＜ I A. f(x)=3×2'
5. 设函数f(x）＝｛
B. /(x)=3×4x
C. J(x)=3 × gx
，则！（州））=2 ，则。＝（
, _l_但L=4 ，，ε厅，
f (2n -2) D. J(x)=4x
8. 若对任意使得关于x的方程。x· 2+bx+C=0(ac cf. 0）有实数解的。， b '

2019-2020学年浙江省杭州市第二中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年浙江省杭州市第二中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{A =，{1,}B m =，若集合A B 有4个子集，则实数m =（）A ．0、1或3B ．1或3C ．1D ．0或3【答案】D【解析】集合A B 有4个子集，则3m =或m =【详解】由题集合A B 有4个子集，所以A 与B 的交集有两个元素，则3m =或m =当m =0m =或1，当1m =时，集合{1,3,1}A =，{1,1}B =，不满足集合的互异性，故0m =或3．【点睛】本题主要考查集合中元素的关系，属于简单题．2．下列函数中,既是偶函数,又在()0,∞+上单调递增的是（） A ．y x x = B ．1y x x=-C ．2xy =D ．2lg y x =-【答案】C【解析】先根据偶函数的定义进行判断,然后判断在()0,∞+时函数的单调性即可. 【详解】选项A ：函数的定义域为全体实数集.((()))f x x x f x f x x x x x ⇒-==-=--=,所以函数是奇函数,不符合题意；选项B ：函数的定义域为全体非零实数集.111()()()()f x x f x x x f x x x x=-⇒-=--=--=--,所以函数是奇函数,不符合题意；选项C ：函数的定义域为全体实数集. 222()()()x xxy f x f x f x -=⇒-====,所以函数是偶函数,当0x >时, 2()2xx f x ==,因为底数大于1,故该函数是增函数,符合题意；选项D ：函数的定义域为全体非零实数集.222()lg ()lg()lg ()f x x f x x x f x =-⇒-=--=-=,所以函数是偶函数,当0x >时, 2()lg 2lg f x x x -=-=,该函数是减函数,不符合题意. 故选：C 【点睛】本题考查了判断函数的奇偶性和单调性,掌握偶函数的定义和基本函数的单调性是解题的关键.3．设3log 2a =，5log 2a =，2log πc =，则（）． A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】C 【解析】【详解】因为321log 2log 3a ==，521log 2log 5b ==，而22log 3log 21c =>=，2log 51>，所以01a <<，01b <<，又22log 5log 31>>，所以2211log 5log 3<，即01b a <<<，所以有c a b >>．故选D ．4．设函数f （x ）=log 2x +2x -3，则函数f （x ）的零点所在的区间为（） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】B【解析】因为函数()2log 23xf x x =+-，所以f （1）=12log 123+-=﹣1＜0，f （2）=22log 223+-=2＞0，所以根据根的存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点．故选：B ．点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f (x )在[a ，b ]上单调且f (a )f (b )＜0，则f (x )在[a ，b ]上只有一个零点.5．如果1111222b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么（）A ．a b a a a b <<B ．a a b a b a <<C ．b a a a a b <<D ．b a a a b a <<【答案】C【解析】根据函数()1()2x f x =在R 是减函数，且1111222b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以10b a >>>，所以a a b a b a <<，故选C. 6．函数()()212x f x e --=（其中常数e=……是一个无理数）的图像为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用函数()()212x f x e --=的函数值符号及单调性即可作出判断.【详解】 ∵()()212x f x e --=∴()f x 关于直线x=1轴对称，y ＞0，在()1∞+，上单调递减，故选：A 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 7．设函数()()log 0,1a f x x a a =>≠,若()1220194f x x x =,则()()()222122019f x f x f x +++的值等于（）A ．4B ．8C ．16D ．2019【答案】B【解析】根据函数的解析式,由()1220194f x x x =,得到等式,再把()()()222122019f x f x f x +++化简,运用对数的运算公式结合上个等式,可以求出所求代数式的值. 【详解】由()1220194f x x x =可得：122019log ()4a x x x =.()()()222222122019122019log log log a a a f x f x f x x x x +++=+++222122019log ()a x x x =⋅⋅1220192log ()8a x x x ==。

浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

B． 0
C． 0,1
D． 1, 0,1
2．已知函数 f 2x 1 x2 1，则 f 3 （）
A．1
B． 2
3．“ x2 y2 0 ”是“ xy 0 ”的（）
C． 4
D． 6
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
4．已知函数 f x 的定义域为 0,1 ，则函数 f 2x 1 的定义域为（）
是
.
15．
f
x
log 2
4x
log 1
4
x 2
，
x
1 2
, 4
的最大值为
．
16．已知函数 f x x2 mx n m, n R ，记集合 A x f x 0 ，
B x f f x 2 0 ，若 A B ，则实数 m 的取值范围是
.
四、解答题
17．设集合 A x x2 ax a2 19 0 ， B x x2 5x 6 0 ， C x x2 2x 3 0 .
P m, f n 构成一个正方形区域，则实数 a 的值为（）
试卷第 1页，共 4页
A．-1
B．-2
C．-3
D．-4
二、多选题
9．已知 x ， y 都为正数，且 2x y 1，则下列说法正确的是（）
A．
2 xy
的最大值为
1 4
C． x x y 的最大值为 1
4
B．
4x2
y2
的最小值为
1 2
问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如 x a2 y b2 的代数式，可
以转化为平面上点 M x, y 与 N a,b 的距离加以考虑.结合综上观点，对于函数

浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷 Word版含解析

数学试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 的值为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得.【详解】.故选：A2. 已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形的面积为（）AB. C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由斜二测画法的规则得到平面图形，即可得到原图形的面积.【详解】依题意不妨令直观图如下所示：.()21i (1i)+-22i-22i--22i+22i-+()()21i 1i +-()()221i 12i i =+-+()2i 1i 22i =-+=-1则还原直观图为原图形，如图所示，因为，所以，还原回原图形后，，，所以原图形面积为故选：B3. 已知在中，，则（）A.B.C.或D.【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理计算可得.【详解】由正弦定理，即又，所以或.故选：C4. 已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】1O A ''=O B ''=1OA O A ''==2OB O B ''==1⨯=ABC π2,6AB AC C ===B =π43π4π43π4π2sin sin c b C B=2πsin 6=sin B =5π06B <<π4B =3π4B =4π6π8π16π【分析】根据圆柱的表面积公式计算可得.【详解】依题意圆柱的底面半径，高，所以圆柱的表面积.故选：B5. 已知正方形的边长为，点满足，则（）A. 4 B. 5 C. 6 D. 8【答案】C 【解析】【分析】建立平面直角坐标系并写出各点坐标，根据题意求相应向量的坐标，再根据数量积的坐标运算进行求解即可.【详解】建立坐标系如图，正方形的边长为2，则，，，可得，点满足，所以．故选：C.6. 以下说法正确的是（）A. 是平面外的一条直线，则过且与平行的平面有且只有一个B. 若夹在两个平面间的三条平行线段长度相等，则这两个平面平行C. 平面内不共线的三点到平面的距离相等，则D. 空间中三点构成边长为2的正三角形，则与这三点距离均为1的平面恰有两个【答案】D 【解析】【分析】当与相交时，不存在过且与平行的平面，即可判断A ；举例说明即可判断1r =2h =222π2π2π12π126πS r rh =+=⨯+⨯⨯=ABCD 2P ()12AP AC AD =+ AP AC ⋅=u u u r u u u rABCD ()0,0A ()2,2C ()0,2D ()()2,2,0,2AC AD ==P ()()11,22AP AC AD =+= 12226AP AC ⋅=⨯+⨯=a αa ααβα//β,,A B C a αa αBC ；满足条件的平面有两个，且在的异侧，即可判断D.【详解】A ：当与相交时，不存在过且与平行的平面，故A 错误；B ：三条平行线段共面时，两平面可能相交也可能平行，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行，故B 错误；C ：当与相交时，也存在平面内不共线的三点到平面的距离相等，故C 错误；D ：空间中三点构成边长为2的正三角形，与这三点距离均为1的平面恰有两个，且这两个平面分别在的异侧，故D 正确.故选：D7. 已知满足，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】由余弦定理结合平面向量数量积化简得，再利用基本不等式求解．【详解】已知满足，设、、对应的边分别为，，，则，即，则，当且仅当时取等号，即故选：D ．8. 已知正四棱锥的内切球半径为，则当四棱锥的体积最小时，它的高为（）ABC a αa ααβαβ,,A B C ABC ABC 345CA CB BA BC AB AC ⋅+⋅=⋅cos A 35452221123a b c =+ABC 345CA CB BA BC AB AC ⋅+⋅=⋅AB AC BC c b a 222222222345222a b c a c b b c a ab ac bc ab ac bc+-+-+-⨯⨯+⨯⨯=⨯2221123a b c =+222221223cos 22b cb c a A bc bc ++-==≥=221223b c =cos A P ABCD -r P ABCD -A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】设正四棱锥底面边长为2a ，，高为h ，根据正四棱锥的结构特征结合三角形相似推出，表示出棱锥的体积，结合导数确定棱锥体积最小时，由此即可求得答案.【详解】如图，设正四棱锥的底面的中心为F ，内切球球心为O ，则O 在四棱锥的高上，设内切球与侧面相切于点G ，设E 为的中点，连接，则G 在上，且，则∽，设正四棱锥的底面边长为2a ，，高为h ，则，故四棱锥的体积为，则，当时，，V 在上单调递减，当时，，V 在上单调递增，故时，V 取得最小值，此时，的3r 4r 5rP ABCD -()a r ≠2222a rh a r =-a =P ABCD -PFPBC BC PE PE OG PE ⊥Rt PGO Rt PFE△P ABCD -()a r >r a =2222a rh a r =-P ABCD -222422224428333a h a a r r a V a r a r==⨯=⨯--()32222282(2)3r a a r V a r -=-'⨯r a <<0V '<()r a >0V '>),∞+a =3244r h r r==故选：C二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 以下关于向量的说法正确的有（）A. B. 若，则C. D. 若，则【答案】BC 【解析】【分析】由平面向量数量积的运算，结合向量共线及垂直逐一判断即可．【详解】对于选项A ，当，，均为非零向量时，不妨设，，则，，即选项A 错误；对于选项B ，若，两边平方化简得，则，即选项B 正确；对于选项C ，，即选项C 正确；对于选项D ，若，若，则与的位置关系无法确定，即选项D 错误．故选：BC ．10. 已知为复数，，则以下说法正确的有（）A.B. ()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ a b a b +=- 0a b ⋅= 3||a a a a ⋅⋅=a //,b b //c a //cabca b ⊥ //b c ()0a b c ⋅⋅= ()0a b c ⋅⋅≠||||a b a b +=-40a b ⋅= 0a b ⋅=3||||a a a a ⋅⋅=//,//a b b c0b =a c12,z z 120z z ≠1122||||||z z z z =1212||||||z z z z +=+C.互为共轭复数D. 若，则的最大值为6【答案】ACD 【解析】【分析】利用复数代数形式的四则运算，结合复数模、共轭复数的意义计算判断AC ；举例说明判断B ；利用复数的几何意义求出最大值判断D.【详解】设复数，对于A ，，，A 正确；对于B ，取，则，B 错误；对于C，，，互为共轭复数，C 正确；对于D ，在复平面内，是表示复数的点的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆，是上述圆上的点与复数对应点的距离，而点，的最大值为，D 正确.故选：ACD11. 如图，在菱形中，分别为的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内.在翻折的过程中，下列结论正确的有（）1122,z z z z 1||1z =1|34i |z -+222212121211212212,,,,,R,00i i ,z x z x x y y y x y y x y x =+=≠++∈+≠111112212122112222222222222222i (i)(i)i i (i)(i)z x y x y x y x x y y x y x y z x y x y x y x y x y ++-+-===+++-++1212||||||z z z z ====12i,i z z ==-1212||||||20,z z z z +==+111122121212212222222222222212i (i)(i)i i (i)(i)x y x y x y x x z y y x y x y x y x y x y x y x y z --++-===+--+++1121221121212122122222222222222222()i i z x x y y x y x y x x y y x y x y z x y x y x y x y +-+-=-=+++++1122,z z z z 1||1z =1z 11|34i ||(34i)|z z -+=--34i -(3,4)-(3,4)-5=1|34i |z -+516+=ABCD ,M N ,BC CD ABCD AC D ABCA. 平面B. 异面直线与所成角为定值C. 设菱形边长为，当二面角为时，三棱锥的外接球表面积为D. 若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则的取值范围是【答案】ABC 【解析】【分析】据题意，证得，证得平面，可判定A 正确；证得平面，证得，得到，可判定B 正确；取的中心，设外接球的球心为，根据球的截面圆的性质，求得外接球半径为，可判定C 正确；分为直角和钝角时，结合在线段的关系，结合，可判定D 错误．【详解】对于A ，∵，分别为菱形的边，的中点，∴，又平面，平面，∴平面，故A 正确；对于B ，取中点，连接，如图，则，，平面，∴平面，而平面，∴，∴，即异面直线与所成的角为90°，B 正确；MN //ABDAC MN ABCD ,60a CDA ∠= D AC B --120 D ABC -27π3a AD BC ABC ∠π0,4⎛⎫⎪⎝⎭//MN BD //MN ABD AC ⊥BDO AC BD ⊥AC MN ⊥,ABC BCD 12,O O O R =ABC ∠H CB DB DO OB <+M N ABCD BC CD //MN BD MN ⊄ABD BD ⊂ABD //MN ABD AC O ,DO BO ,DO AC BO AC ⊥⊥BO DO O = ,BO DO ⊂BDO AC ⊥BDO BD ⊂BDO AC BD ⊥AC MN ⊥MN AC对于C ，取的中心，设外接球的球心为，连接平面，平面，连接，并延长交于点，因为的边长为，可得，则，又因为，当二面角为时，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，即外接球半径为，所以外接球的表面积为，所以C 正确；对于D ，过作，垂足为，若为锐角，在线段上；若为直角，则与重合；若为钝角，则在线段的延长线上，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，因为，所以平面，因为平面，所以，若为直角，与重合，所以，在中，因为，所以不可能成立，即为直角不可能成立；若为钝角，在线段的延长线上，则在菱形中，为锐角，由于立体图中，所以立体图中一定小于平面图中的，所以为锐角，，故点在线段上与H 在线段的延长线上矛盾，,ABC BCD 12,O O O 1OO ⊥ABC 2OO ⊥BCD 1BO 1BO AC E ABCa BE a=11,BO O E ==60CDA ∠=︒D AC B --120︒160∠=︒OEO 1OEO 111tan 602OO O E a ==1OO BOB ==R =2274ππ3S R a ==A AH BC ⊥H ABC ∠H BC ABC ∠HB ABC ∠H CB AD BC AH BC ⊥BC⊥AHD HD ⊂AHD CB HD ⊥ABC ∠H B CB BD ⊥CBD △CB CD =CB BD ⊥ABC ∠ABC ∠H CB ABCD DCB ∠DB DO OB <+DCB ∠DCB ∠DCB ∠CB HD ⊥H BC CB因此不可能是钝角；综上,的取值范围是，所以D 错误．故选：ABC .【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法：（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若复数满足，则的虚部为__________.【答案】1【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，即可求得答案.【详解】由，得，故的虚部为1，故答案为：113. 已知向量，则与夹角相同的单位向量为__________.【答案】或．【解析】【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示及模长得x ,y 的关系式即可求解．【详解】设与、夹角相同的单位向量，ABC ∠ABC ∠π0,2⎛⎫⎪⎝⎭z ()1i 13i z +=+z ()1i 13i z +=+()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2z +-++====+++-z ()()2,1,2,1a b ==- a b ､(1,0)(1,0)-ab (,)e x y =，因为，所以或．故答案为：或．14. 如图所示，在棱长为的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角正切值的最大值为__________.【解析】【分析】在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体，连接、，设在平面的射影为，连接，则即为直线与平面所成角，在平面上的射影为，求出点的轨迹，再结合平面几何的性质即可得解．【详解】如图所示，在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体，连接、，易知四边形是菱形，设在平面的射影为，由正三棱锥可知，点是△的外心，，则，=0y =221x y +=1x ==1x -(1,0)(1,0)-a 1111ABCD A B C D -P 11BA C 1B P =1D P 11BAC 1111ABCD A B C D -11112222A B C D A B C D -12C D 12A D 1B 11BA C 1O 2O P 12D PO ∠1D P 11BA C 1D 211D AC 2O P 1111ABCD A B C D -11112222A B C D A B C D -12C D 12A D 211D A BC 1B 11BA C 1O 111B A BC -1O 11BA C 1111A B BC A C ===11212BA C S ==由，得，所以，再结合，得，从而的轨迹是（平面上）以为圆心，为半径的圆，记为圆，同理，在平面（即平面上的射影为的外心，连接，则在平面上的射影为，进而即为直线与平面所成角，记，则，其中为定值，而对于，由圆的几何知识可知，当运动到线段且与圆相交时，取得最小值，记相交于Q ,易知，则，此时．．【点睛】关键点点睛:本题考查空间中点的轨迹及线面角，关键111111B A BC B A B C V V --=2311111332B O a ⋅=⨯⨯11B O =1B P =1O P ==P 11BA C 1O r =1O 1D 211D AC 11)BA C 2O 211D A C △2O P 1D P 11BA C 2O P 12D PO ∠1D P 11BA C 12D PO θ∠=122tan D O O P θ=1211D O B O ==2O P P 1211O O AC ⊥1O 2O P 1211,O O AC 1213O Q O Q ===212O P O O r =-==tan θ=是确定在平面上的轨迹为圆.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知复数，且是实数.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）或，（2）【解析】【分析】（1）首先化简，根据为实数得到，再由余弦函数的性质计算可得；（2）由（1）可得，即可得到，再根据复数乘方法则计算可得.【小问1详解】因为，所以，因为是实数，所以，则，所以或，，解得或，.【小问2详解】当，时，若为偶数，则若为奇数，则，所以；的P 11BA C ()sin i cos21,R z θθθ=++∈2i z-θ3z ππ3k θ=+2ππ3k θ=+Z k ∈3i z =2i z -2i z -1cos 22θ=-sin θz ()sin i cos21z θθ=++()()2i 2sin i cos21i 2sin i 2cos 21z θθθθ⎡⎤-=++-=++⎣⎦2i z -2cos 210θ+=1cos 22θ=-22π2π3k θ=+42π2π3k θ=+Z k ∈ππ3k θ=+2ππ3k θ=+Z k ∈ππ3k θ=+Z k ∈k ππsin sin πsin 33k θ⎛⎫=+==⎪⎝⎭k ππsin sin πsin 33k θ⎛⎫=+=-=⎪⎝⎭sin θ=同理当，时，，又，所以当，则；当，则；故.16. 如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足.（1）若，证明：平面；（2）连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围.【答案】（1）证明见解析2ππ3k θ=+Z k ∈sin θ=1cos 22θ=-sin θ=1i 2z =+323111i i i 222z ⎫⎫⎫=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭11i i 22⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭sin θ=1i 2z =+323111i i i 222z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11i i 22⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3i z =ABCD A B C D -''''2,,E F ,A B B C ''''GB G B B λ=''12λ=//EG D AC 'BD M BD //D M 'EFG 1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D M '（2）【解析】【分析】（1）连接，依题意可得为的中点，从而得到，再由正方体的性质得到，从而得到，即可得证；（2）求出和时的长度，即可得到的取值范围.【小问1详解】连接，因为为的中点，当时即，所以为的中点，所以，又且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】当时为的中点，连接交于点，连接，连接交于点，取的中点，连接、，因为分别为的中点，所以，则为的中点，所以，又且，所以为平行四边形，所以，所以，又平面，平面平面，平面，所以，所以和重合，A B 'G BB '//EG A B '//A B D C ''//EG D C '12λ=1λ=D M 'D M 'A B 'E A B ''12λ=12B G B B ''= G BB '//EG A B '//A D BC ''=A D BC ''A D CB ''//A B D C ''//EG D C 'EG ⊄D AC 'D C '⊂D AC '//EG D AC '12λ=G BB 'B D ''EF H H G A C ''B D ''1O BD 2O 1BO 2D O ',E F ,A B B C ''''//EF A C ''H 1B O '1//HG BO 21//BO D O '21BO D O '=21O BD O '12//BO D O '2//GH D O '//D M 'EFG D DBB '' EFG GH =D M '⊂D DBB ''//D M GH 'M 2O又，此时，当时与点重合，在上取点使得，连接，由前述说明可知为的中点，则，又，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，所以综上可得当时，求长度的取值范围为.17. 设三个内角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）设为锐角三角形，是边的中点，求的取值范围.【答案】（1）BD==D M =='1λ=G B DB M 14DM DB =D M 'H 1B O '34D H D B '''=34BM DB =D H BM '=//D B BD ''D HBM '//D M HB 'HB ⊂EFG D M '⊄EFG //D M 'EFG D M ='1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D M 'ABC ,,A B C ,,a b c ()22cos sin sin sin b A C c B C b +=+A c ABC = D AC DB AC ⋅π3A =（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理，转化求解即可．（2）由正弦定理求解的范围，结合向量的数量积，推出的表达式，然后求解范围即可．【小问1详解】因为，所以利用正弦定理可得，又为三角形内角，，所以，可得，因为，所以；【小问2详解】；，则，又为锐角三角形，则，得，则，故,，即，二次函数的开口向下，对称轴为，,3(3,)8-A AC AC 2(2cos sin )sinsin b A C c BC b +=+2sin (2cos sin )sin sin sin sin B A C C BC B +=+B sin 0B >22cos sin sin sin 1A C C C +=+1cos 2A =(0,π)A ∈π3A =c =π3A=sin sin abA B==1πsin 2233sin sin 2tan C C C b C C C ⎫⎛⎫+⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭====ABC π022ππ032C B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩ππ62C <<tan C >32tan b C =211π()||||cos223DB AC CA AB AC AC AB AC ⋅=+⋅=-+⋅ 2211|22AC AC b =-+=- ()212f b b =-+b =在单调递减，故的取值范围,，即．18.如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，.（1）证明：平面平面；（2）若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）设，连接，即可证明、，从而得到平面，即可得证；（2）过点作交于点，即可证明平面，则即为与平面所成的角，即可求出作交于点，连接，即可证明平面，从而得到即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得.【小问1详解】设，连接，因为为正方形，所以且为的中点，又，所以，()f b DB AC ⋅ (f f 3(3,)8-P ABCD -2PB PD =PBD ⊥PAC 1PA =PA ABCD π4P BC A --AC BD O = OP AC BD ⊥OP BD ⊥BD ⊥PAC P PH AC ⊥AC H PH ⊥ABCD PAH ∠PA ABCD AH PH ==H HE BC ⊥BC E PE BC⊥PHE PEH ∠P BC A --AC BD O = OP ABCD AC BD ⊥O BD PB PD =OP BD ⊥又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】在平面中过点作交于点，因为平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，所以即为与平面所成的角，即，又，所以，过点作交于点，连接，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以即为二面角的平面角，又，所以因为为正方形，所以，则，所以，解得，又平面，平面，所以，AC OP O = ,AC OP ⊂PAC BD ⊥PAC BD ⊂PBD PBD ⊥PAC PAC P PH AC ⊥AC H BD ⊥PAC PH ⊂PAC BD PH ⊥AC BD O = ,AC BD ⊂ABCD PH ⊥ABCD PAH ∠PA ABCD π4PAH ∠=1PA =AH PH ==H HE BC ⊥BC E PE PH ⊥ABCD BC ⊂ABCD PH BC ⊥PH HE H =I ,PH HE ⊂PHE BC ⊥PHE PE ⊂PHE BC PE ⊥PEH ∠P BC A --AC ==CH ==ABCD AB BC ⊥//AB HE CH EHAC AB =2EH =32EH =PH ⊥ABCD EH ⊂ABCD PH EH ⊥所以，所以所以二面角.19. 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点､棱､面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，，可以得到顶点数.（1）已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；（2）证明：个顶点的凸多面体，至多有条棱；（3）已知正多面体各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值.【答案】（1）（2）证明见解析（3）的PE ===sin PEH ∠==P BC A --2n e f -+=n e f 12,6e f ==8n =n 36n -906,12,30【解析】【分析】（1）设此足球有个正五边形，分别得顶点与棱数，再利用欧拉公式解得的值.（2）当凸多面体每个面均为三角形时，棱数最多，此时棱数与面数有关系.（3）设正多面体每个顶点有条棱，每个面都是正边形，根据欧拉公式列出表达式，再由得不等式，分类取值即可.【小问1详解】设足球有个正五边形，则有个正六边形，足球的顶点，棱数，由欧拉公式得，解得，即此足球中有个面为正五边形，所以此足球的棱数.【小问2详解】由个顶点的凸多面体，其面数尽可能多，那么相当于每一个面尽可能均为三角形，当棱数最多时，该凸多面体每一个面均为三角形，此时，即，又，即，解得，故个顶点的凸多面体，至多有条棱.【小问3详解】设正多面体每个顶点有条棱，每个面都是正边形，则此多面体棱数，，即，由欧拉公式，得，所以，即，即，所以，m m 32e f =p q 220q p qp +->m 32m -()56323m m n +-=()56322m m e +-=()()5632563232232m m m m +-+--+=12m =12()5632902m m e +-==n 32f e =23f e =2n e f -+=223e n e -+=36e n =-n 36n -p q 22qf pn e ==,3p q ≥pn f q =2n e f -+=422q n q p qp=+-220q p qp +->1112q p +>1111112236p q >-≥-=6p <当时，，所以，，；当时，，所以，，；当时，，所以，，；综上：棱数可能为.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，讨研得点与棱、点与面、棱与面的数量之间的关系，从而得解.3p =6q <3,4,5q =4,8,20n =6,12,30e =4p =4q <3q =6n =12e =5p =103q <3q =12n =30e =6,12,30。

浙江省杭州市第二中学14—15学年下学期高一期中考试数学试题(附答案)

浙江省杭州市第二中学14—15学年下学期高一期中考试数学试题第Ⅰ卷（共32分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数xxx x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域为 (A){}3,1 (B){}3,1-(C) {}3,1--(D) {}3,1- 【答案】B 【解析】试题分析：当sin 0,cos 0x x >>时3y =,sin 0,cos 0x x ><时1y =-,sin 0,cos 0x x <>时1y =-,sin 0,cos 0x x <<时3y =,∴值域为{}3,1-考点：三角函数在四个象限的正负2.周长为1,圆心角为rad 1的扇形的面积等于 (A) 1 (B) 31(C)91(D)181 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可知：11213r r r ⨯+=∴=，面积为111111223318S lr ==⨯⨯⨯= 考点：1.弧长公式；2.扇形面积3.在ABC ∆中，已知:4=a ，x b =，︒=60A ，如果解该三角形有两解，则 (A)4>x (B)40≤<x (C)3384≤≤x(D)3384<<x 【答案】D 【解析】试题分析：由正弦定理sinsin sin sina b xx B B xA B B⎫⎛==∴=∈∴∈⎪⎪⎝⎭⎝⎭考点：正弦定理解三角形4.函数)sin(ϕω+=xy的部分图象如右图，则ω、ϕ可以取的一组值是（）(A) ,24ππωϕ==(B) ,36ππωϕ==(C) ,44ππωϕ==(D)5,44ππωϕ==【答案】C【解析】试题分析：由图1228,484T Tππω=∴===，sin4y xπϕ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，1x=时424πππϕϕ+=∴=考点：三角函数图像求解析式5.四边形ABCD中,3,2,90===∠=∠︒ADABADCABC,则=⋅(A) 5(B) 5-(C) 1(D) 1-【答案】A【解析】试题分析：()22325AC BD AC AD AB AC AD AC AB=-=-=-=考点：1.向量的数量积；2.向量运算的三角形法则6．已知函数xaxy cossin+=的图象关于直线x=35π对称,则函数xxay cossin+=的图象关于直线（A）x=3π对称（B）x=32π对称（C）x=611π对称（D）x=π对称【答案】C【解析】试题分析：由题意可知55sincos 33a a ππ+==)cos sin 3y x x x x x π⎛⎫∴=+==- ⎪⎝⎭，x =611π时取得最值，所以对称轴可以为x =611π考点：三角函数化简与最值7.C B A ,,为圆O 上三点，且直线OC 与直线AB 交于圆外．．一点，若n m +=,则n m +的范围是(A) )1,0( (B) ),1(+∞ (C) )0,1(- (D) )1,(--∞ 【答案】C考点：1.向量运算；2.不等式性质8.在ABC ∆中，若)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，则ABC ∆是 (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形【答案】D 【解析】试题分析：)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+变形为()()()()22sin sin sin sin b A B A B a A B A B -++=+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦整理得22sin cos cos sin b A B a A B =22sin sin cos sin cos sin sin 2sin 2,2B A B A A B A B A B A B π=∴=∴=+=三角形为等腰三角形或直角三角形考点：1.正弦定理；2.三角函数公式；3.解三角形第Ⅱ卷（共68分）二、填空题（每题4分，满分28分，将答案填在答题纸上）9.已知:),3(),2,1(m =-=,若⊥，则=m ;若//,则=m 【答案】236- 【解析】试题分析：若⊥，则313202m m -⨯+=∴=，若//,则12306m m -⨯+⨯=∴=-考点：向量平行垂直的判定 10.已知:55cos sin =+θθ(πθπ<<2),则θtan =_________ 【答案】2- 【解析】试题分析：由22sin cos 5sin cos 1θθθθ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解方程组得sin tan 2cos 5θθθ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩考点：三角函数基本公式 11.若将函数)0)(43sin(2>+=a ax y π的图象向右平移4π个单位长度后，与函数)4sin(2π+=ax y 的图象重合，则a 的最小值为【答案】2 【解析】试题分析：函数)0)(43sin(2>+=a ax y π的图象向右平移4π个单位长度后得到32sin 44a y ax ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，3228,444a k a k a ππππ∴-=+∴=+最小为2考点：三角函数图像平移12.)310(tan 40sin -︒︒=__________ 【答案】1- 【解析】试题分析：原式()2sin 1060sin103cos102sin 40cos 40sin 40sin 40cos10cos10---=⨯=⨯=sin 801cos10=-=-考点：三角函数化简求值 13.在ABC ∆中，,3,3==AB C πAB 边上的高为34，则=+BC AC ________ 【答案】11考点：正余弦定理解三角形 14.已知:αππ∈⎛⎝⎫⎭⎪434，，βπ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪04，，且cos sin παπβ435541213-⎛⎝ ⎫⎭⎪=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-，，则()cos αβ+=_______【答案】6533- 【解析】试题分析：334,,cos sin 444545ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-=∴-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，512sin 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭112sin 413πβ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭15cos 413πβ⎛⎫∴+=⎪⎝⎭()3541233cos cos 4451351365ππαββα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+--=⨯+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦考点：1.同角间的三角函数关系；2.两角和差的正余弦公式15.已知:c b a ,,都为单位．．向量,其中b a ,的夹角为32π,+__________【答案】【解析】试题分析：当c 与,a b 夹角都为3π时12a c b c ==，当c 与,a b夹角都为23π时12a c b c ==-，此时原式取得最大值=考点：1。

2024-2025学年浙江省杭州市高一第一学期期中数学质量检测试题

2024-2025学年浙江省杭州市高一第一学期期中数学质量检测试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，，则（）{1,2,3,4,5}U ={1,2,3}M ={2,3,4}N =()UM N = ðA. B. {5}{2,3}C. D. {1,4}{1,4,5}2. 下列说法正确的是（）A. ， B. “且”是“”的充R x ∀∈|1|1x +>2x >3y >5x y +>要条件C. ，D. “”是“”的必要不充分0x ∃>3x x=-20x x -=1x =条件3. 已知集合，则的值为（）{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭20242024ab +A. 0 B. 1C .D. 1或1-1-4. 设函数，则（）1()22x x f x =-()f x A. 是奇函数，且在上单调递增 B. 是奇函数，且在上单调递(,)-∞+∞(,)-∞+∞减C. 是偶函数，且在上单调递增D. 是偶函数，且在上单调递(,)-∞+∞(,)-∞+∞减5. 下列函数中最小值为4的是（）A. B.224y x x =++4y x x=+C.D.2y 22x x-=+y =6. 函数的图象大致为（）262xy x -=+A. B.C.D.7. 下列命题为真命题的是（）A. 若，则B. 若，则0a b >>22ac bc>a b >22a b>C. 若，则 D. 若，则0a b <<22a ab b>>a b <11a b >8. 若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足R ()f x (,0]-∞(2)0f =的的取值范围是（）(1)(2)0x f x --≥x A. B. [0,1][4,)+∞ (,2][2,)-∞-+∞ C .D. [0,1][2,)⋃+∞[0,1][2,4]二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.少选得部分分，错选得0分.9. 已知幂函数，则以下结论正确的是（）12()f x x =A. 的定义域为 B. 是减函数()f x [0,)+∞()f xC. 的值域为D. 是偶函数()f x [0,)+∞()f x 10. 已知集合，，则下列选项中正确的{}1,2,3,4,5A ={}(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈是（）A. 集合有32个子集B. A (2,1)B ∈C. 中所含元素的个数为10个D. B (2,3)B∈11. 下列说法正确的是（）A. 函数在定义域内是减函数1()f x x =B. 若，则函数的最大值为12x <4221y x x =+-3-C. 若不等式对一切实数恒成立，则23208kx kx +-<x 30k -<≤D. 若，，，则的最小值为20x >0y >3x y xy ++=x y +非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知的定义域为，则的定义域是__________.()f x [1,3]-()2f x 13.__________.3110.7535=64162---⎛⎫+++ ⎪⎝⎭14. 设的最大值为__________.0,0,22x y x y >>+=四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步器.15. 已知集合，.{}21A x x =-≤≤{}12B x x a =-<<（1）若，求，；1a =A B ⋂()UA B ð（2）若，求实数的取值范围.A B B = a 16. 已知()||(2)().(R)f x x a x x x a a =--+-∈（1）当时，求不等式的解集；1a =()0f x <（2）若在上为增函数，求的取值范围.()f x R a 17. 某工厂生产某种玩具车的固定成本为15000元，每生产一辆车需增加投入80元.已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：辆）满足函数：R x 21380(0500),()275000(500).x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩（1）将利润（单位：元）表示为月产量（单位：辆）的函数；P x （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）18. （1）已知，，且，求的最小值；0a >0b >1ab =114a b a b +++（2）设，，若，求的最小值；0a >1b >2a b +=211ab +-（3）求函数的最大值.()f x =19. 已知定义在上的奇函数，且.R 2()1ax bf x x +=+13310f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求函数的解析式；()f x （2）判断在上的单调性，并证明你的结论；()f x [1,1]-（3）设，若，对，有()()()()21112g x x f x m x =++++-⎡⎤⎣⎦[]11,2x ∃∈[]21,1x ∀∈-成立，求实数的取值范围.()()122g x f x ≤m。

杭二中高一期中数学试题卷

杭二中高一期中数学试题卷杭二中2022学年第二学期高一年级期中考试数学试卷【考生须知】1.本科考试时间为120分钟，满分为100分；2.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答；3.本场考试不得使用计算器。

一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.已知角的终边经过点P(3,4)，则in的值等于（）A.35B.35C.45D.452.在等差数列an中，已知a12,a2a313,则a4a5a6等于()A．40Ｂ．42C．43D．453.a,b,cR且ab，则下列各式中恒成立的是（）A．acbcB．acbcC．c2ab0D．(ab)c204.若是锐角，且满足in(261623146)13,则co的值为()26162314A.B.C.D.225.已知集合A={某|某－2某－3>0},B={某|某+a某+b≤0}，若A∪B=R，A∩B=（3，4]则有（）A．a=3,b=4B．a=3,b=－4D．a=－3,b=－46.要得到函数y3in(2某)的图象，只需将函数y3in2某的图象（）4C．a=－3,b=4Ａ．向左平移8个单位Ｂ．向右平移4个单位高一数学期中考试试题卷第1页（共4页）Ｃ．向左平移4个单位Ｄ．向右平移2某28个单位7.函数yco某tan某(y1-o2-1A8.函数f(某)33)的大致图象是（）yyy1212122某-o2-1B某-o2-1C某-o2-1D某3co(3某)in(3某)是奇函数，则tan等于()A.B.-33C.3D.-39.不等式组(某y5)(某y)00某3表示的平面区域是一个（）C．等腰梯形D．矩形A．三角形A．－1B．直角梯形10.等比数列{an}中，前n项和Sn=3n+r，则r等于（）B．12C．2D．311.函数ylog1(in2某co2某)的递减区间是（）A．(kC．(k8,k,k3858)(kZ)B．(k38,k,k18)(kZ))(kZ)8)(kZ)D．(k8812.定义在R上的偶函数f(某)满足f(某)=f(某+2)，当某∈[3，5]时，f(某)=2－|某－4|，则（）A．f(coC．f(in623)>f(in)>f(co623)B．f(in1)<f(co1))D．f(co2)<f(in2)二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）13.若in()423,且(7102,0),则co(2)的值是____________.3n1014．设f(n)22222(nN)，则f(n)等于_____________.15.△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，如果a、b、c成等差数列∠B＝30°，△ABC的高一数学期中考试试题卷第2页（共4页）面积为32，那么b等于_________________.图f16.已知等差数列an的前n项和Sn(n1)22则=_____________.17.如图f所示的曲线是y＝Ain（ω某＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象的一部分，则这个函数的解析式为___________________.18.给出下列5个命题，其中正确的为_________________(填序号)①若in2Ain2B，则ABC是等腰三角形；②若coAcoBcoC0，则ABC是钝角三角形；③若inAcoB，则ABC是直角三角形；④若co(AB)co(BC)co(CA)1，则ABC是等边三角形；⑤在ABC中，已知3b23ainB，且coAcoC，则ABC的形状为锐角三角形.三、解答题（本大题有6小题，共46分）19.（本小题满分6分）定义运算6,6acbdadbc.若函数f(某)2in某2co某co某3co某m(某R,m为实常数).当某[]时，f(某)的最大值和最小值之和为3.（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求函数yf(某)的单调区间。

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