学九年级上数学《24.1.2垂径定理》课件
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人教版九级数学上册 2412垂径定理教学课件(实用资料)ppt
形ADOE是正方形． 赵州桥主桥拱的半径是多少？
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆 形ADOE是正方形．
OEA EAD ODA 90
推论：平分弦（不是直径）的直径垂
1 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 四边形ADOE为矩形，AE AC ①平分弧的直径必平分弧所对的弦
⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对
D
直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 由① CD是直径 可推得 ② CD⊥AB
③AE = BE ④A⌒C = ⌒ B⑤CA⌒D = ⌒
由①CD是直径 ③AE = BE
可推得
②CDB⊥DAB
⑤ ④AA⌒ ⌒CD
= =
⌒ ⌒BBCD
辨析定理的应用条件：
下列哪些图形能直接满足垂径定理的题设条件?
O
O
O
(1)
·O
把圆沿着A直D径=CBDD折叠时，CD两侧的两个半圆
E
重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC、AD A
D
B
分别与 B、C B重合。
D
AE＝BE， AC=BC
C
AD=即B直D径CD平分弦AB，
并且平分 AB及 ACB
垂径定理：垂直于弦的直径平分
·O
弦，并且平分弦所对的两条弧．
E A
B
推论：平分弦（不是直径）的直径垂
18.7
A
R
D
B
OD = OC－CD = R－
O
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 = AD2 +
即 R22+O（DR2－）2
解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心
九年级上册24.1.2垂径定理同步课件人教版
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
C
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径，
·O
AB为弦，且AE=BE.
求证：CD⊥AB，且⌒ AD=BD,
⌒
A
A⌒C =⌒BC
E DOA=OB
∵ AE=BE
∴ CD⊥AB A⌒D=⌒BD, A⌒C =⌒BC
垂径定理推论
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
24.1.2垂径定理
学习目标
到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 重合，点A与点B重合，AE与BE重合， 、
• 1.了解圆的轴对称性。 重合，点A与点B重合，AE与BE重合， 、
线段：AE=BE 4、弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm， 弧： AC=BC AD=BD 片上，使其一边经过圆心O,另一边所在直线 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆 垂径定理的内容是什么?画出适合题意的图形,用符号语言表示出来. 垂径定理的推论是什么？如何证明？如何用几何语言表示？
平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧。
C
符号语言
∵ CD是直径， AE=BE
·O
∴ CD⊥ABA,⌒C ⌒ A⌒D ⌒
AE
B
=BC, =BD.
D
3.辨析定理的应用条件：
下列哪些图形能直接满足垂径定理的题设条件?
O
O
O
(1)
(2)
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
C
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径，
·O
AB为弦，且AE=BE.
求证：CD⊥AB，且⌒ AD=BD,
⌒
A
A⌒C =⌒BC
E DOA=OB
∵ AE=BE
∴ CD⊥AB A⌒D=⌒BD, A⌒C =⌒BC
垂径定理推论
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
24.1.2垂径定理
学习目标
到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 重合，点A与点B重合，AE与BE重合， 、
• 1.了解圆的轴对称性。 重合，点A与点B重合，AE与BE重合， 、
线段：AE=BE 4、弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm， 弧： AC=BC AD=BD 片上，使其一边经过圆心O,另一边所在直线 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆 垂径定理的内容是什么?画出适合题意的图形,用符号语言表示出来. 垂径定理的推论是什么？如何证明？如何用几何语言表示？
平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧。
C
符号语言
∵ CD是直径， AE=BE
·O
∴ CD⊥ABA,⌒C ⌒ A⌒D ⌒
AE
B
=BC, =BD.
D
3.辨析定理的应用条件：
下列哪些图形能直接满足垂径定理的题设条件?
O
O
O
(1)
(2)
九年级上数学《24.1.2 垂直于弦的直径》课件
M
C A O 证明：作直径MN垂直于弦AB D ∵ AB∥CD B ∴ 直径MN也垂直于弦CD ⌒ ⌒ ∴AM＝BM， ⌒ ⌒ CM＝DM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AM－CM ＝BM－DM ⌒ ⌒ 即 AC＝BD
N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况： O A C D A O C D B B
E
O
题设
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 结论
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ③ 平分弦 C ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
A
E
O B
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
B
在 a ， d ， r， h中，已知其中任 意两个量，可以 求出其它两个量 ．
B
⌒ 点O就是AB的圆心．
O
你 能 破 镜 重
m
n
A
C
圆
吗？
B O
作法： 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n， 交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆． 依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧．
垂径定理三角形
C A O 证明：作直径MN垂直于弦AB D ∵ AB∥CD B ∴ 直径MN也垂直于弦CD ⌒ ⌒ ∴AM＝BM， ⌒ ⌒ CM＝DM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AM－CM ＝BM－DM ⌒ ⌒ 即 AC＝BD
N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况： O A C D A O C D B B
E
O
题设
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 结论
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ③ 平分弦 C ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
A
E
O B
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
B
在 a ， d ， r， h中，已知其中任 意两个量，可以 求出其它两个量 ．
B
⌒ 点O就是AB的圆心．
O
你 能 破 镜 重
m
n
A
C
圆
吗？
B O
作法： 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n， 交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆． 依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧．
垂径定理三角形
人教版九年级数学上册课件：24.1.2垂径定理(共15张PPT)
船能过拱桥吗
AB 7.2,CD 2.4, HN 1 MN 1.5.
AD 1 AB 1 7.2 3.6,
2
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 3.62 (R 2.4)2.
A
D
E C
O
B
自学指导（二）
认真阅读课本8 2页赵州桥问题，并思考：
1、解决赵州桥求半径问题做了什么辅助过线圆？心作弦的垂线 2、由图24.1-8知主桥拱是__A_B____, 跨度是__弦_A_B__，拱 高是__C_D__，弦心距是__O_D___，半径是__O_A_，_O_B___ ， AD= _B_D___.
任意知道两个量，可根据垂径定理求出第三个量：
必做题：课本P83练习1、2题。 选做题：课本P89第2题。 思考题：课本P89第8题。
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥弦的垂直平分线一定经过圆心
2、如图，直径为10cm的圆中，圆心到弦 AB的距离OM为4cm，求弦AB的长。
O
A
M
B
相信自己，我能行
破镜重圆
自学指导（一）
认真阅读课本81页—82页“赵州桥问 题” 上面的内容: 1、圆是______图形， __________都是它 的对称轴，对称轴有____条.
2、垂径定理的内容是_________________.
3、对照24.1-6用符号语言表示垂径定理 ？ 4、垂径定理的推论是什么？
人教版九年级数学上册 24.1.2垂径定理(共21张PPT)
下课!
课堂作业：课本 家庭作业：练习册
O
A
B
E
D
∴ CD⊥弦AB ，A⌒D=
⌒
BD
，A⌒C=B⌒C
1.判断下列图形，能否满足垂径定理？
B
B
B
O
O
O
C A
(×)
DC A
DC E
(×)
(√)
注意：定理中的两个条件
（直径，垂直于弦）缺一不可！
DC
O D
A
(√)
2.如图，在圆O中，直径MN⊥AB，垂足
是C，则下列结论中错误的D是（ ）
A.A⌒N=⌒BN B. AC=BC
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得A
C D B
OA2=AD2+OD2
R
即 R2=18.72+（R－7.2）2
O
解得：R≈27．9（m）
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
图一：AC、BD有什么关系？ A C O D B
变式：图二AC＝BD依然成立吗？ (1)
AC
O
将圆心到弦的距离、半径、 弦长构成直角三角形，把问题 转化为直角三角形的问题。
B
A P
O
如图，A⌒B 所在圆的圆心是点O， 过O作OC⊥AB于点D，若CD=4 m， 弦AB=16 m，求此圆的半径.
课本例题
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
M
C.A⌒M=⌒BM D.OC=CN
24.1.2垂径定理_课件ppt(新人教版九年级上)
E
E
O
O
B
A
A
D
D
B
C
C
• 例2.如图是一条排水管的截面。已知排 水管的半径10cm，水面宽AB=12cm。 求水的最大深度.
O
E
A
D
B
求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定 理转化为直角三角形,从而利用勾股定理 来解决问题.
提高练习: 1． 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD， AB=12，CD=16，则AB和CD的距离 为 2或14 ．
练习反馈
• 1、判断：
驶向胜利 的彼岸
• ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两 条弧. （ ） • ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的 另一条弧. （√ ）
• ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（
）
• ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行 . （ ）
• ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ √ ）
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的 货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
C M H A E D F B O N
说出你这节课的收获和体验，让大家 与你一起分享！！！
2 2 2 2
O
A
E
B
答：⊙O的半径为5cm.
a r d 2
2 2 2
若下面的弓形高为h， 则r、d、h之间有怎 样的关系?
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
E
O
O
B
A
A
D
D
B
C
C
• 例2.如图是一条排水管的截面。已知排 水管的半径10cm，水面宽AB=12cm。 求水的最大深度.
O
E
A
D
B
求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定 理转化为直角三角形,从而利用勾股定理 来解决问题.
提高练习: 1． 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD， AB=12，CD=16，则AB和CD的距离 为 2或14 ．
练习反馈
• 1、判断：
驶向胜利 的彼岸
• ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两 条弧. （ ） • ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的 另一条弧. （√ ）
• ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（
）
• ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行 . （ ）
• ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ √ ）
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的 货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
C M H A E D F B O N
说出你这节课的收获和体验，让大家 与你一起分享！！！
2 2 2 2
O
A
E
B
答：⊙O的半径为5cm.
a r d 2
2 2 2
若下面的弓形高为h， 则r、d、h之间有怎 样的关系?
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
人教版九年级数学上册课件：24.1.2垂径定理
A C DB O
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
AC O
DB
6．利用新知 解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
O
AC
DB
五．归纳小结
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所
对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合
是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线． 重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形—
（结合）勾股定理—建立方程．
六．布置作业 教科书P83 第 2 题．P89 第8题
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的 两条弧.
A
O
E
C
D
B
知二推三
三．新知应用
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1
O E
C
D
O 图2
AE
B
B
D
图3 A E O B C
A C
E 图4 B
ODBiblioteka 四．利用新知 问题回解1. 赵州桥问题
C
A
D
B
O
2. 如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
24.1.2 垂直于弦的直径
一．创设情境，
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
二．探究新知
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
AC O
DB
6．利用新知 解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
O
AC
DB
五．归纳小结
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所
对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合
是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线． 重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形—
（结合）勾股定理—建立方程．
六．布置作业 教科书P83 第 2 题．P89 第8题
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的 两条弧.
A
O
E
C
D
B
知二推三
三．新知应用
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1
O E
C
D
O 图2
AE
B
B
D
图3 A E O B C
A C
E 图4 B
ODBiblioteka 四．利用新知 问题回解1. 赵州桥问题
C
A
D
B
O
2. 如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
24.1.2 垂直于弦的直径
一．创设情境，
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
二．探究新知
24.1.2 垂径定理 人教版九年级上册数学课件
r2
d2
a 2
2
O
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm， 则此圆的半径为 5cm .
2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°，则弦AC= 1_0__3 cm .
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，
且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为 _1_4_c_m或2cm .
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关 系？为什么？
解：AC＝BD.理由如下：
过点O作则AE＝BE，CE＝DE. ∴ AE－CE＝BE－DE，
A CED B
即 AC＝BD.
24.1.2 垂直于弦的直径
垂径定理及其推论
★垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
★推导格式
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴
AE=BE，A⌒C
=B⌒C，A⌒D
⌒ =BD.
·O
AE B D
垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转 化，形成整体，才能运用自如.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不 是，请说明为什么？
同时，我们可以得到一条重要定理----垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的两条弧.
解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直 于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P为AB上的一个动 点，那么OP长的取值范围 3cm≤OP ≤5cm.
九年级上数学《24.1.2垂径定理1》课件
5
A
O
4
3
C
P
B
如图，AB为⊙O的一条直径，它把⊙O分成上、 下两个半圆，从上半圆上一点C作弦CD⊥AB, ∠OCD的平分线交⊙O于P，当点C在半圆上（不 包括A、B两点）移动时，点P的位置会发生怎样 的变化？试说明理由？
C
A
E
O
B
D P
达标检测
一、填空 1、已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm 的两部分，则圆心O和弦AB的距离为 2 cm. 2、已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN 和EF之间的距离为14cm或2cm .
3、已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径 为 5cm .
4、在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中 点的距离是 10cm和40cm . 5、 ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= 10 3 cm .
垂径定理的应用
小
结
运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问 题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦a，弦 心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
垂径定理的本质是
（1）一条直线过圆心 满足其中任两条，必 定同时满足另三条 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分弦
（4）这条直线平分弦所对的优弧
（5）这条直线平分弦所对的劣弧
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦的直径》教学课件
解：∵圆O的直径CD=10cm，
∴圆O的半径为5cm，即OC=5cm， ∵OM：OC=3：5， ∴OM= 3 OC=3cm， 连接OA，5∵AB⊥CD， ∴M为AB的中点，即AM=BM= 1 AB，
2 在Rt△AOM中，OA=5cm，OM=3cm， 根据勾股定理得：AM= OA2 OM 2 4(cm). 则AB=2AM=8cm．
知识点 1 圆的对称性
知1－导
问 题（一）
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做 几次，你发现了什么？
问 题（二）
知1－导
不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？由此 你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？
归纳
知1－导
通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任何 一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
知1－练
1 下列说法中不正确的是( D ) A．经过圆心的直线是圆的对称轴 B．直径是圆的对称轴 C．圆的对称轴有无数条 D．当圆绕它的圆心旋转60°时，仍会与原来的圆 重合
知识点 2 垂径定理
知2－导
知2－导
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1
C
O B C
所以 AD= 1 AB= 1 37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23.
2
2
在Rt△OAD中，由勾股定理，
得OA2=AD2+OD2，
即R2=18.52+（R-7.23）2.
解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.
（来自教材）
总结
知2－讲
(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂 直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质 是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可．
∴圆O的半径为5cm，即OC=5cm， ∵OM：OC=3：5， ∴OM= 3 OC=3cm， 连接OA，5∵AB⊥CD， ∴M为AB的中点，即AM=BM= 1 AB，
2 在Rt△AOM中，OA=5cm，OM=3cm， 根据勾股定理得：AM= OA2 OM 2 4(cm). 则AB=2AM=8cm．
知识点 1 圆的对称性
知1－导
问 题（一）
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做 几次，你发现了什么？
问 题（二）
知1－导
不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？由此 你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？
归纳
知1－导
通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任何 一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
知1－练
1 下列说法中不正确的是( D ) A．经过圆心的直线是圆的对称轴 B．直径是圆的对称轴 C．圆的对称轴有无数条 D．当圆绕它的圆心旋转60°时，仍会与原来的圆 重合
知识点 2 垂径定理
知2－导
知2－导
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1
C
O B C
所以 AD= 1 AB= 1 37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23.
2
2
在Rt△OAD中，由勾股定理，
得OA2=AD2+OD2，
即R2=18.52+（R-7.23）2.
解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.
（来自教材）
总结
知2－讲
(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂 直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质 是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可．
人教版数学九年级上册24.1.2垂径定理同步课件(共23张PPT)
弦等于 2 5 c. m
B
O
D
P E
C
A
练习
6、将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸 片上，使其一边经过圆心O,另一边所在直线 与半圆交于点D、E, 量出半径 OC = 5cm,弦 DE=8cm。求直尺的宽度。
D
C
E
A
O
B
.
(2)如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.
(2)如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
赵的州弦桥 的是长我）国为隋37代米建，O造拱的高石（拱弧桥的，中距点今到有弦1的4距00离年）的为历7史O. ，是我国古代人民勤劳和智慧的结O晶，它的主桥拱是圆形．它的跨度（弧所对
作业
• 课本90页：8 9
• 不经历风雨，怎么见彩虹 5、已知P为⊙ O内一点，且OP＝2cm，如果
如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前 面的结论，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高．
（2）线段：AE=BE
（1）是轴对称图形．直径CD所在
的直线是它的对称轴
C
（2）线段：AE=BE
弧： AC=BC
·O
把圆沿A着D直=径BCDD折叠时，CD两侧的两个半圆
E
重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC、AD A
B
分别与 B、C B重合。
D
D
2.垂径定理的内容是什么?画出适合题意的图形, 用符号语言表示出来. 垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
所对的弦的长)为37.
B
O
D
P E
C
A
练习
6、将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸 片上，使其一边经过圆心O,另一边所在直线 与半圆交于点D、E, 量出半径 OC = 5cm,弦 DE=8cm。求直尺的宽度。
D
C
E
A
O
B
.
(2)如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.
(2)如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
赵的州弦桥 的是长我）国为隋37代米建，O造拱的高石（拱弧桥的，中距点今到有弦1的4距00离年）的为历7史O. ，是我国古代人民勤劳和智慧的结O晶，它的主桥拱是圆形．它的跨度（弧所对
作业
• 课本90页：8 9
• 不经历风雨，怎么见彩虹 5、已知P为⊙ O内一点，且OP＝2cm，如果
如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前 面的结论，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高．
（2）线段：AE=BE
（1）是轴对称图形．直径CD所在
的直线是它的对称轴
C
（2）线段：AE=BE
弧： AC=BC
·O
把圆沿A着D直=径BCDD折叠时，CD两侧的两个半圆
E
重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC、AD A
B
分别与 B、C B重合。
D
D
2.垂径定理的内容是什么?画出适合题意的图形, 用符号语言表示出来. 垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
所对的弦的长)为37.
垂径定理优秀课件
7.2m
37.4m 如图用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为r.经过
解 决 问
圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，
COC与 相交于点C,根据前面的结 论，D是AB的中点，C是 的中点，
A D B 对的赵弦州的桥长AB 的） 主为37 桥3.47拱C,DC .就4是D 米是圆，拱7弧.高2 拱,形.A 高，D 在（ 它图弧1 2中的A 的,跨B中 度点1（8.到7弧,弦所
D
下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
O
A
E
B
D
D
B
O A
O
E
BA
O EB D
是 不是 是
不是
直径垂直弦,才能平分弦,平分弦所对的弧.
适用垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
E
BA
D
CD过圆心 CD⊥AB于E
A
O
E
B
E
B
O
A
D
D
AE=BE
AC=BC AD=BD
O
E
B
C
推论：平分弦（不是直径）的直径垂
• 1．已知：如图，弦AB是⊙O中一条非直径弦， D为弦AB的中点，连接OD，AB=6cm ，OD= ４cm. 求⊙O 的半径.
解：连接OA
∵D为 弦AB 的中点
1
∴OD⊥AB, AD= 2 AB=3cm
在Rt △ AOD 中, AO2=OD2+AD2
O
设⊙O 的半径为r,则
A
D
B
r2=４2+32
⌒
=BC,
A⌒D =.B⌒D.
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①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧
① ③
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
练习
C
1.如图所示:
A
└ M
●
B O
(1)若CD⊥AB, CD是直径, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD=BD 、AC=BC . 则 AM=BM 、 (2)若AM=MB, CD是直径, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ CD⊥AB 、 AD=BD 、 AC=BC 则
温故而知新
1.垂径定理的内容是什么?画出适合题意的 图形,用符号语言表示出来. 垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
图形语言
C O B
符号语言
∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AE=BE,
●
A E└
D
⌒ ⌒ AC =BC,
⌒ AD=BD. ⌒
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦,并且平分弦所对的两条弧。
船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 1
AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5. 2 1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
O · E D B
⌒ ⌒ ∴ AD=BD,
⌒ ⌒ AC =BC
平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧。 （2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如 果不能，请举出反例。
AB, ③ AM=BM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,
2 2
试一试
已知A、B、C是⊙O上三点，且AB=AC， 圆心O到BC的距离为3厘米，圆的半径为5厘 米，求AB长。
A B A
D
O B
D
C
C
O
练习
已知⊙O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米， 求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距 离。
E
O
O B A
D
A
E
D
B
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm， 如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最 短的弦等于 2 5cm .
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
B M A
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB= 6 AC= 4 ,OA= 13 ,
O N
C
5、如图，⊙O中CD是弦，AB是直径， AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求证：CE＝DF。
A O C F E M D
B
2.过⊙O内一点M的最长弦长为4厘米，最短 弦长为2厘米，则OM的长是多少？
B
O E C A P D
A O M
某圆直径是10,内有两条平行弦, 长度分别为6和8 求这两条平行弦间的距离.
回顾与思考
•这节课你有什么收获？
•还有哪些疑问？
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那 么C到AB的距离等于 1㎝或9㎝ 3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝, 那么⊙O的半径为 5 Cm
A
5 3 OO 4 P P D
B
4、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P 是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、 BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于 F,EF= 4 。
O
A
E
F
B
P
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为 7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、 船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经 过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
A
└ M
●
B
O
如果具备上面五个条件中的任何两个，那 么一定可以得到其他三个结论吗？ 一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3) 平分弦（不是直径）; (4)平分弦所对优弧;(5) 平分弦所对的劣弧.
D
课堂讨论
根据已知条件进行推导：
① ②
② ④ ⑤ ① ④
③ ④ ⑤ ③ ② ⑤
① ③ ② ① ④ ④ ③ ⑤ ⑤ ② （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。
C
∵ CD是直径， AE=BE
O · A
∴ CD⊥AB,AC =BC, AD =BD.
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
C
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径， AB为弦，且AE=BE. A ⌒⌒ ⌒ ⌒ 求证：CD⊥AB，且AD=BD, AC =BC
证明：连接OA，OB，则OA=OB ∵ AE=BE ∴ CD⊥AB
√
)(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧.
( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦. ( )(4)圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行. (
√
)(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
3、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且 OP=3cm, 则过P点的弦中， （1）最长的弦= cm （2）最短的弦= cm （3）弦的长度为整数的共有（ ） A、2条 b、3条 C、4条 D、5条 C
OA2 AD2 OD2 , 即R2 3.62 ( R 2.4)2 .
2 2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON HN , 即OH 3.9 1.5 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
D
.
(3)若CD⊥AB, AM=MB, ⌒ ⌒ CD是直径 、 AD=BD 、⌒ ⌒ AC=BC 则 . ⌒ ⌒ (4)若AC=BC ，CD是直径, ⌒ ⌒ CD⊥AB 、 AM=BM 、 AD=BD . 则
试一试
2.判断： ( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分 弦所对的两条弧. (