人口问题的一个偏微分方程模型
微分方程模型人口增长数学模型
4：问题的简化：
• 只考虑人口增长的主要因素---增长率及基数； • 并假定人口总数是时间的连续函数，甚至可微
函数。（在人口总数很大时，可近似）（离散 变量连续化处理--------------掌握。)
5：假设变量：N（t),r(t,N(t))为t时刻人口总数和增长率
6：建立模型（微元法）：在(t,t+t)这段 时间内人口增长为
设：f(r,t)drdt表示年龄在[r,r+dr]区间和[t,t+dt]时间 里迁入迁出的人口总数称为相对扰动密度函数（统计给 出）.则模型为
ppr,tpr,tfr,t
r t
7
pr,0p0r,prm,t0,p0,t t
4：区域模型： （1）：假设变量：
设 p i r , t i 1 , 2 , n 表示第 i 地区 省市 的人口密度函数
一：实际问题： 1：问题：
当今人类面临五大问题
• 人口问题 • 工业化的资金问题 • 粮食问题 • 不可再生资源问题 • 环境问题
人口问题
• （人口太多） • 人均粮食不足 • 人均资源不足 • 工业化资金有限 • 生态平衡被严重破坏 • （人口太少） • 人口老化 • 劳动力短缺 • 问题：人口预测；制
模型二：（SI模型）
1：假设：
（1）记i(t),s(t)表示时刻t传染病人数和未被传染人数， i(0)=i0 。
（2）每个病人单位时间内传播的人数是与这时未
被传染人数成正比，即k(t)=ks(t)。
（3）一人得病后，经久不愈，并且在传染期内不 会死亡。
（4）总人数n不变， i(t)+s(t)=n.
dt
N |t t0 N 0
kN 2 为竞争项因为资源有限
用偏微分方程进行人口仿真
系统仿真课程设计题目：专业：小组成员：用偏微分方程进行人口仿真摘要：建立中国人口增长的数学模型，由建立的人口发展的偏微分方程来预测中国未来人口的数量和结构。
在预测的基础上，考虑到降低生育率与人口数量和老龄化有着直接的关系，所以在预测人口基础之上，我们进一步拓展对未来人口控制进行研究。
即在对人口数量预测的同时对其控制及其优化做出探讨。
关键词：一、提出背景人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。
由于人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也不明显，生产自给自足或进行简单的以货易货，因而对未来人口发展变化的研究并不重要，根本不用进行人口增长预测。
人口是社会经济活动的主体, 人口的发展变动趋势, 对社会经济发展的影响关系极大, 因此人口预测在社会经济实践中占有十分重要的地位。
现阶段，中国在享受计划生育政策带来的红利的同时，依然面连着人口结构性失调的严重性问题，而当今社会，经济发展迅速，生产力达到空前水平，这时的生产不仅为了满足个人需求，还要面向社会的需求，所以必须了解供求关系的未来趋势。
而人口增长预测是对未来进行预测的各环节中的一个重要方面。
准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。
二、问题重述与分析1）、基本假设1．假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值。
2．假设本问题所研究的是一个封闭系统，也就是说不考虑我国与其它国家的人口迁移问题。
3. 无重大毁灭性自然灾害和疾病，无战争等暴烈活动，即扰动人口发展的因素只有人。
4.在对人口进行分段处理时，假设同一年龄段的人死亡率相同，同一年龄段的育龄妇女生育率相同。
5.生育模式在预测时间内保持不变，并且假设一胎只生一个孩子。
6．人类的生育观念不发生太大改变，如没有集体不愿生小孩的想法7. 中国各地各民族的人口政策相同。
8. 人口生存环境为一般常态的自然和社会环境。
9. 中短期内，总和生育率、死亡率和出生性别比不发生大的波动。
4.3偏微分方程模型
§4.3 偏微分方程模型如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
本节以人口增长模型和扩散模型为例说明偏微分方程的建模过程以及相应的数值解法。
4.3.1 人口增长模型统计数据表明，世界人口在1800年达到10亿，1930年达到20亿，1960年达到30亿，1974年达到40亿，1987年达到50亿，1999年达到60亿，2011年10月31日突破70亿。
可以看出，人口每增加10亿的时间由100多年缩短为10余年。
人口的剧增导致资源消费量增加，引起资源蓄积量减少甚至枯竭，出现诸如过度开垦土地、沙漠化日益严重、不合理地砍伐森林、绿色空间缩小、能源紧张等问题。
人口剧增还会带来空气污染，引起全球气候变化异常等环境问题，造成全球性生态平衡失调。
而且，这么多数量的人口空间分布极其不均衡。
全球45个发达国家的生育率都低于人口平均增长率。
在世界出生率最低的25个国家中，有22个在欧洲。
人口数量的减少成为这些国家最大的危机，对经济发展和国家安全带来严峻挑战。
同时，世界上人口增长率最高的都是一些最不发达的国家，如阿富汗、布隆迪、刚果、利比里亚等，而发展速度较快的发展中国家，如中国、印度、埃及等，也身负人口增加给经济和环境带来的巨大压力。
中国是世界上人口最多的国家，根据2010年第六次人口普查登记的全国总人口为13.3972亿（不包括港澳台地区），其中，男性人口6.8685亿，女性5287亿；60岁以上人口为1.7765亿，占总人口的13.26%；城市人口为6.6558亿，农村人口为6.7415亿。
老龄化问题、男女比例失调、城镇化建设加速等问题成为我国人口问题的一些新特点，直接影响着我国人口的发展趋势[1]。
准确地对人口进行预测，有效地控制人口增长并制定合理的人口政策，是全面落实科学发展观、实现适当生育水平、提高人口素质、改善人口结构、引导人口合理分布、保障人口安全、促进人口与经济社会资源环境的协调和可持续发展的重要手段。
人口问题的随机微分方程模型
统计与决策 ２００８ 年第 ６ 期（ 总第 ２５８ 期） １６１
知识丛林
进 一 步 可 计 算 出 ｃ＝０．０３８８１７， ｐ＝１ 与 精 度 表 （ 表 １） 对 照 可知模型拟合较好。
３ 全国总人口数的随机微分方程模型
人口数量变动主要与人口自然生长率有关， 考虑迁移人
口这个扰动因素， 可建立如下模型： ｄＰ（ｔ）／Ｐ（ｔ）＝!ｔｄｔ＋"ｄＺ 其 中 ， Ｐ（ｔ）是 第 ｔ 年 总 人 口 数 量 ， !ｔ 是 第 ｔ 年 人 口 自 然 生
［２］严智渊．灰色系统预测及应用［Ｍ］．南京：江苏科技出版社， １９８９． ［３］Ｋｗｏｋ ＹｕｅＫｕｅｎ． Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｍｏｄｅｌｓ Ｆｉｎａｎｃｉａｌ
表５ 年份
预测值（ 亿）
２００８ ２００９ ２０１０ ２０１１ ２０１２ ２０１３ １３．２６５２ １３．３１９８ １３．３７０９ １３．４１８８ １３．４６３６ １３．５０５６
机扰动因素， 建立了我国总人口数量的随机微分方程模型，
并 运 用 该 随 机 微 分 方 程 模 型 对 估 计 值 与 １９９７－ ２００５ 全 国 总
人 口 真 实 值 作 了 比 较 ， 误 差 较 小 。 最 后 对 ２００８－ ２０１７
２００５ ８
１３．０７５６ １３．０７４９
全国总人口作了预测， 并分析人口自然生长率及全国 总人口数量变化趋势， 得出 ２０６３ 年后， 自然增长率基 本为零增长， 全国总人口基本稳定在 １４．０８ 亿左右。
从表 ４ 可以看出模型拟合较好。进一步以 ２００６ 全国总 人 口 １３．１４４８ 亿 人 为 初 始 值 ， 先 按 照 式 子 （ １） 对 人 口 自 然 生 长率进行预测， 然后按照式（ ６） 递推， 可预测 ２００８￣２０１７ 年全 国总人口数量如下：
应用微分方程求解世界各国人口发展问题
应用微分方程求解世界各国人口发展问题近年来，人口问题成为世界关注的热点之一。
不同国家的人口增长率不同，人口老龄化、人口减少等问题也开始受到世界各国的重视。
但是，应用微分方程求解人口问题的方法似乎比较少见。
本文将探讨如何应用微分方程解决世界各国人口发展问题。
一、人口增长率的微分方程模型首先，我们需要知道人口增长率的微分方程模型是什么。
假设一个国家的人口数量为P，其增长率为r（单位为人/人年），则有：dP/dt = rP其中，dP/dt表示P对t的导数，即人口数量随时间变化的速率。
由于r是为常数，我们可以将其写成：dP/P = rdt对上述式子两边同时求积分，得到：ln(P) = rt + C其中，C为积分常数。
解出P，得到：P = e^(rt+C)由于e^C是一个常数，我们可以将其表示为K，即：P = Ke^(rt)这个式子被称为人口数量的微分方程模型。
通过这个模型，我们可以预测一个国家在未来的某个时间点的人口数量。
二、应用微分方程预测人口数量根据上面的式子，我们可以计算未来某个时间点的人口数量。
例如，我们可以应用这个式子预测中国未来10年的人口数量。
首先，我们需要知道中国目前的人口数量和增长率。
根据联合国的统计数据，中国在2019年的人口数量为13.91亿人，增长率为0.44%。
因此，我们可以将r和P代入上面的式子，得到：P = Ke^(0.0044t)假设我们要预测中国10年后的人口数量，即t=10，则有：P = Ke^(0.044)我们可以通过以下方式计算K值：K = P/e^(rt)将t=0、P=13.91亿代入上面的式子，得到：K = 13.91亿/e^0 = 13.91亿因此，代入上面的式子，我们可以计算出中国未来10年的人口数量为：P = 13.91亿*e^(0.044*10) = 15.92亿通过微分方程模型，我们得出了中国未来10年的人口增长情况。
类似地，我们也可以预测其他国家的人口增长情况。
人口增长问题数学模型
人口增长问题数学模型人口增长问题是一个复杂的社会现象，它涉及到众多因素，如生育率、死亡率、移民、出生性别比等。
为了更好地理解和预测人口增长趋势，人们常常建立数学模型来描述人口变化的规律。
下面是一个简单的人口增长问题数学模型的示例。
假设人口数量为P(t)，时间t为以年为单位。
则人口增长可以用以下微分方程表示：dP(t)/dt = rP(t)其中，r是人口自然增长率，是一个常数。
这个微分方程描述了人口数量随着时间的变化情况，即人口数量呈指数增长。
然而，实际情况要复杂得多。
以下是一个更复杂的人口增长模型，考虑到生育率、死亡率和移民等因素：dP(t)/dt = (b - d)P(t) + I其中，b是每单位时间的出生率，d是每单位时间的死亡率，I是每单位时间的移民人数。
这个模型可以更好地描述人口增长的趋势，特别是当存在外部干扰（如战争、自然灾害等）时。
除了以上两个模型，还有其他更复杂的模型，如Logistic增长模型、Malthusian模型等。
这些模型考虑的因素更加全面，可以更准确地描述人口增长的趋势。
例如，Logistic增长模型考虑了环境承载能力对人口增长的限制，而Malthusian 模型则考虑了人口增长与资源供给之间的关系。
建立数学模型有助于我们更好地理解和预测人口增长趋势。
这些模型可以帮助我们评估不同政策对人口增长的影响，如计划生育政策、移民政策等。
此外，这些模型还可以帮助我们预测未来人口数量和结构的变化情况，从而为社会发展规划提供科学依据。
然而，需要注意的是，数学模型只是对现实世界的近似描述，它可能无法完全准确地预测未来情况。
因此，在使用数学模型进行人口增长预测时，需要结合实际情况和专家意见进行综合分析。
总之，数学模型是研究人口增长问题的重要工具之一。
通过建立数学模型，我们可以更好地理解和预测人口增长的规律和趋势。
这些模型可以帮助我们评估不同政策对人口增长的影响，为社会发展规划提供科学依据。
微分方程模型习题解答（人口的预测和控制模型）
微分方程模型习题解答（人口的预测和控制模型）在人口的预测和控制模型中，总和生育率β(t)和生育模式h(r,t)两种控制人口增长的手段。
试说明我国目前的人口政策,如提倡一对夫妻只生一个孩子、晚婚晚育，及生育第2 胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。
一、问题分析目前，我国人口总数占世界人口总数的1/5，居世界第一。
虽然在二十世纪八十年代开始就已经开始控制人口，但现在人口的增长仍然很快，人口老年化问题也越来越严重,所以现在开始提倡晚婚晚育,一对夫妻只能生一个孩子以及定下了一些关于生第二胎的政策。
所以在此我们可以考虑用微分方程中生育率和生育模式来求解问题。
二、模型的假设⑴时刻 t 年龄小于 r 的人口即人口分布函数记作F(r,t);⑵婴儿的出生率记为 p( 0, t)= f( t)；⑶时刻 t 年龄 r 的人的死亡率记为μ(r,t)⑷ μ(r,t) p(r,t)dr表示时刻 t 年龄在 [r, r +dr] 内单位时间死亡人数;⑸ p(r)是人口调查得到的已知函数;⑹婴儿的出生率记为 f(t );三模型的建立与求解由问题假设我们可以得到各个年龄的人口数,即人口分布函数为:F(r,t)=∫p(s,t)ds由于在社会安定的局面下和不太长的时间里,死亡率大致与时间无关,于是可近似的假设μ(r,t)= μ(r)因为p0(r)与μ(r)可由人口统计数据得到,所以) , μ(r,t)可由μ(r,0)粗略估计，为了预测和控制人口的发展状况,我们需要关注和可以用作控制的就是婴儿的出生率f(t)了,下面我们就来讨论f(t) 。
记女性的性别函数为k(r,t)即时刻t 年龄在 [r, r +dr] 的女性人数为k(r,t)μ(r,t)dr将这些女性在单位时间内平均每人的生育数记作b(r,t)则育龄区间为[r1,r2]则:f(t)= ∫b(r,t)k(r,t)p(r,t)dr再将 b( r,t) 定义为b(r,t)=β(t)h(r,t)其中h(r,t)满足∫ h(r,t)dr=1于是就有β(t)= ∫B(r,t)drf(t)=β(t) ∫b(r,t)k(r,t)dr可以看出β(t)就是时刻t 单位时间内平均每个育龄女性的生育率。
偏微分方程在人口问题中的应用研究
偏微分方程在人口问题中的应用研究近年来，人口结构的变化引起了人口问题的重要关注。
偏微分方程（PDE）通过应用数学方法来研究人口问题，受到了广泛关注。
事实上，在解决人口问题时，偏微分方程可以很好地加以利用。
因此，越来越多的研究者开始应用偏微分方程来解决人口问题。
鉴于以上原因，本文旨在探讨偏微分方程在人口问题中的应用研究。
首先，结合偏微分方程的性质和特征，讨论了偏微分方程在人口问题中的基本概念。
偏微分方程是一类常微分方程的推广，它可以用来描述包括人口分布在内的许多物理及社会问题。
在人口问题中，偏微分方程主要可以表达人口强度及分布规律，它可以用来描述人口数量的变化情况，给出人口分布在时间上的变化，分析人口分布在空间上的分布规律，并可用来构建人口模型。
其次，本文针对偏微分方程在人口问题中的应用，进行了深入的研究。
首先，本文着重讨论了偏微分方程在人口问题中的理论应用。
偏微分方程的一些复杂的数学模型可以用来描述人口的规模、结构及流动，从而帮助研究人才增减及居住分布。
本文还探究了偏微分方程在人口问题中的优势和局限性，提到了偏微分方程在人口问题中的实际应用。
最后，本文探讨了偏微分方程在人口问题中的发展前景。
偏微分方程将持续为人口问题的研究和讨论提供新的方法，并将为政府及社会提供可靠的研究数据和有效解决方案。
此外，随着科学技术的发展，偏微分方程在人口问题中的研究也将更加深入和广泛。
总之，偏微分方程可以很好地应用于人口问题的研究和讨论，它的应用不仅可以加深对人口问题的理解，而且能够提供更多可靠的数据和有效的解决方案。
通过研究偏微分方程在人口问题中的应用，可以帮助我们更好地了解人口问题，从而提供可靠的政策建议和可行的解决方案，促进人口问题的有效解决。
2微分方程模型(人口模型)
K x (t ) 成正比， 比例系数为固有增长率(或称内增长率)， K
映了人口增长率随人口数量的增加而减少的现象。
模型建立
人口增长的洛杰斯蒂克 (Logistic)模型：
x dx rx(1 ) K dt x(t 0 ) x0
微分方程模型实例1——人口模型
模型求解 模型分析
微分方程模型实例1——人口模型
补充：从另一个角度导出Logistic模型
2 在 Malthus 模型上增加一个竞争项 bx (b 0) ，它
的作用是使纯增长率减少。如果一个国家工业化程度 较高，食品供应较充足，能够提供更多的人生存，此 时 b 较小；反之 b 较大，故建立方程
dx x(a bx) dt x(t 0 ) x0 , (a, b 0),
a 时， x' (t ) b
a
0 ， x(t ) 递增；当 x
a a x' (t ) 0 ；当 x (t ) 时， b b 时，
x' (t ) 0 ， x(t ) 递减。
（iii）当 0 x
a 2b
时， x' ' (t ) 0 ， x(t ) 为凹，当
a a x 时， x' ' (t ) 0 ， x(t ) 为凸。 2b b
dx K dx (t ) x rx (1 ) 的右端为 x(t ) 的二次函数，易证当 x 时， (3) 由于 dt dt 达到最大 2 K
偏微分方程的应用
偏微分方程的应用作者：范俊杰来源：《科技视界》 2014年第31期范俊杰（武汉理工大学数学系，湖北武汉 430070）【摘要】本文在简要的介绍偏微分方程的发展历史的基础上，详细的讨论了其在弦振动及人口问题中的应用。
其目的在于了解偏微分方程曲折的发展史及其广阔的应用前景，从而激励读者深入的学习和研究偏微分方程。
【关键词】偏微分方程；弦振动；人口问题在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经不够精确了，所以不少问题必须用多个变量的函数来描述，才能够更精确地得到人们所需要的结果。
这样就产生了研究某些物理现象的理想的含有多个变量的函数及其偏导数的方程，这种方程就是偏微分方程。
实际上，偏微分方程的解一般有无穷多个，而在解决具体物理问题时，我们必须从众多一般解中找到能够满足题目给定的特殊条件的解，这样我们才能够了解具体问题的特殊性。
本文在简要的介绍偏微分方程的发展历史的基础上，详细的讨论了其在弦振动及人口问题中的应用。
1 偏微分方程的发展1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。
由此开创了偏微分方程这门学科。
和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。
偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。
这里应该提一提法国数学家傅立叶，他在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。
他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的[3]。
2 偏微分方程在某些具体问题中的应用2.1 偏微分方程在弦振动中的应用弦是一个力学系统，是一个质点组，故它的运动符合牛顿第二定律。
设弦在未受扰动时平衡位置是x轴，其上各点均以该点的横坐标表示。
3 偏微分方程模型
根据美国公路实际统计： 当u≈75辆/每英里可达到最大车辆流 当u≈225辆/英里时，q≈0，即堵塞。
0 um 图1 uj u
根据图1中曲线的特征，可用多种函数来拟合q=q(u)。 Greenshields用二次函数来拟合。 他令：q u u (1 u / u ) f j
0≤u≤uj
uf为自由速度，uj为出现完全堵塞时的车流密度 。 有：u =u /2，q =u u /2 m j m f m 将Greenshields的基本方程代入（3.41），利用复合函数求导 法则并注意到uf、uj均为常数，可得：
（3）
对（1）式关于x从0到A积分，得：
dP dt P (t , 0 )
A
d (t , x ) p (t , x ) d x
0
A
x2 x1
b (t , x ) k (t , x ) p (t , x ) d x
A
d (t , x ) p (t , x ) d x
0
令：
B (t )
假设函数连续可微，有：
u t
(t , x )
q x
(t , x ) 0
（4）
由于安全上的原因，q是u的函数，该函数关系称为基本 方程或结构方程。
利用经验公式导出基本方程。 图1是根据美国公路上的车辆情况而统计出来的曲线,其中 u的单位是车辆数/每英里，q的单位为车辆数/每小时。图中可 以看出： （1）当u的值较小时，公路利用率较低，q较小（u=0时公 路是空置的，车辆率q为零）；随着u的增大，公路利用率逐 渐提高，q逐渐增大。 （2）u增大到一定程度（达到um）时，q达到最大；u继续 增大时，车辆流q将减小，这表示车辆密度太大反而会影响车 辆率，使之下降，（出现堵塞）。
偏微分方程在人口问题中的应用
偏微分方程在人口问题中的应用06数学系 杜慧通 PB06001022在老师的带领下，经过一个学期的偏微分方程的学习，我们深刻的认识到偏微分方程不仅是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式，在许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，不难发现，课本中所主要提及的三类方程都是有一定的物理学背景的。
早在微积分理论刚形成后不久，人们就开始用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将所得到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效，显示了偏微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性。
逐渐地，以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内容，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法，不断地促进着许多相关数学分支(如泛函分析、微分几何、计算数学等)的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。
偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。
面对各种复杂的现实问题，我们常常采用的方法是针对所考虑的实际问题建立合理的数学模型，而这些能精确描述问题的模型大都是通过偏微分方程给出的。
对相应的偏微分方程模型进行定性的研究。
根据所进行的定性研究，寻求或选择有效的求解方法。
应用上述方法，我们一起来看一看大家都感兴趣的人口问题。
对人口的发展进行研究最先所采用的大多是常微分方程模型。
例如，马尔萨斯模型［1］：,:)()(00⎪⎩⎪⎨⎧===p p t t t ap dt t dp其中)(t p 表示t 时刻的人口总数，0p 为初始时刻0t 时的人口总数，a 表示人口净增长率。
马尔萨斯模型只在群体总数不太大时才合理。
因为当生物群体总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间、有限的自然资源及食物等原因，就要进行生存竞争。
偏微分方程在县域人口规划中运用
偏微分方程在县域人口规划中运用作者：李岚来源：《科技创新导报》2011年第02期摘要:县域人口对促进县域经济发展作用显著,而偏微分方程对县域短中期人口规划的运用,为二者良性互动提供一个较好的分析视角。
关键词:人口规划偏微分方程县域经济中图分类号:U412 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)01(b)-0251-02“郡县治,天下安”,在“十二五”期间,发展县域经济意义更是重大。
从地位上看,县域经济是国民经济中具有综合性的基本单元,在整个国民经济中具有基础性地位；从功能上看,县域经济是统筹城乡发展、建设新农村的操作平台,也是发展现代农业、增加农民收入的重要载体。
在目前行政框架下,县域连接城乡、承上启下,政策、要素、产业聚集于此,城乡实现统筹发展,必须在县域经济上做好文章。
十七届五中全会再次强调“发展现代农业、增加农民收入,建设农民幸福生活的美好家园”,可见,县域经济已成为各种政策目标的实现载体。
另一方面,县域人口是县域经济发展的重要因素,拥有9亿人口基数的农村分布在在县域,县域人口既可以为县域经济提供劳动力和市场需求,同时人口总量增长也需要与资源承载力、缩小收入差距直接相关,在县域经济发展和人县域口容量达到平衡,必须确定出县域适度人口,县域人口规划就成为县域经济发展的战略。
县域人口规划如何做到既适应县域经济发展需要,又有利于人口适度增长？偏微分方程为我们提供了分析工具。
1 偏微分方程概述及在人口预测中一般性运用偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式,它直接联系着众多自然现象和实际问题,不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法。
在国外,对偏微分方程的应用发展是相当重视的,众多大学和研究单位都有应用偏微分方程的研究集体,并得到国家工业、科学部门及军方、航空航天等方面的大力资助。
在我国,偏微分方程的研究起步较晚,总体水平(研究队伍的组织和水平、研究工作的广度和深度)与世界先进水平相比还有很大的差距。
人口模型
一、微分方程模型1.人口模型一、指数增长模型 （Malthus ）1.模型假设人口自然增长率 r 为常数，即单位时间内人口的增长量与当时的人口呈正比。
()x t :t 时刻的人口数 r :人口增长率2.模型建立 0(0)dx rx dtx x ⎧=⎪⎨⎪=⎩3.模型求解 0()r t x t x e =4.模型分析0r >⇒()x t →+∞ 人口将按指数规律无限增长！ 0r =⇒0()x t x ≡ 人口将始终保持不变！ 0r <⇒()0x t → 人口将按指数规律减少直至绝灭。
M a l t h u s 模型预测的优点是短期预报比较准确，但是不适合中长期预报，原因是预报时假设人口增长率 r 为常数。
没有考虑环境对人口增长的制约作用。
二、阻滞增长模型 (Logistic)1.模型假设假设人口增长率 r (x )是人口 x (t ) 的减函数 ：()1m x r x r x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中: x m 为自然资源条件所能容纳的最大人口数量r 为固有增长率2.模型建立01(0)m d x x rx dt x x x ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩ 3.模型求解：0()11mrt m x x t x e x -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭4.模型分析（定性分析）0m x x >⇒()m x t x ↓→ 人口将递减并趋向于x m ，0m x x =⇒()m x t x ≡ 人口将始终保持x m 不变 ，00m x x <<⇒()mx t x ↑→ 人口将递增并趋向于x m ， 无论在哪种情况下，人口最终将趋向于最大人口容量！阻滞增长模型预测对中期预报比较准确，理论上很好，但是实用性也不强，原因在于预报时假设固有人口增长率 r 以及最大人口容量 x m 为定值。
实际上这两个参数（特别是 x m ）很难确定，而且会随着社会发展情况变化而变化。
微分方程讲座-人口增长模型
Malthus模型和Logistic模型的推广
Malthus模型与Logistic模型虽然都是为 了研究种群数量的增长情况而建立的，但它 们也可用来研究其他实际问题，只要这些实 际问题的数学模型有相同的微分方程即可。
r
p
r
p t
(r,
t)
p(r,
t
)
p(r,0) p0 (r), r 0 ~已知函数（人口调查）
p(0,
t
)
f
(t),
t0
~生育率（控制人口手段）
男女性别比
在增大
生育率
生育数
只生一个
育龄区间
晚婚、晚育
人口增长模型的总结
基于一个假设,形成了基础模型Malthus模 型,再通过对现实世界分析,改进模型引进 了阻滞项,从而得到了Logistic模型.
p
P(r,t)
方 程
rm ~ 最高年龄
F (0, t) 0, F (rm , t) N (t)
p(r, t) F r
0 F(r0,t) r0
r rm
t,年dr龄]人[r数, r
t r
dt,年龄[r dr1 dr1 dr]人数
,
dt
dr1
死(t, t亡人dt数)内
p(r, t)dr p(r dr1,t dt)dr (r,t) p(r,t)drdt
马尔萨斯模型人口预测图
11
x 10 3.5
马尔萨斯模型人口预测
3
2.5
N/人
2
自然资源限制
人口问题的一个偏微分方程模型
则上式可写为
:5
p
(t,
5t
x)
+
5
p
(t,
5x
x
)
=
q( t , x) p( t , x)
初始条件 p (0 , x ) ,其中 p0 ( x ) 为初始人口密度. 在时段[ t , t + dt ] 中出生的婴儿总数
∫ 为 :[
r2
b(
t
,ξ)
p(
t
,ξ)
]
dt
r1
于是得人口问题的偏微分方程模型
b
(ξ)
p0 (ξ)
dξ
所以 p ( t , x ) 在直线 x = t 上连续.
下证 p ( t , x ) 连续可微 ,由 p ( t , x ) 在直线 x = t 上的连续性 ,方程 (1) 及定理 1 证明中
解的构造过程可知
,
5
p
(t,
5x
x)
在x
=
t
上连续.
因此
, 只要再证明5
p
(t,
5t
再考虑区域 D2 = { ( t , x ) | t ≥0. t - r1 ≤ x ≤ t ,0 ≤ x < A } 上的解. 过任意一点 ( t , x ) ∈ D2 ,向 t 减少的方向作特征线. 交 t 轴于点 ( t0 ,0) ,其中 t0 = t - x ∈[0 , r1 ] , 由 [10 ] 和 (14) 得 :
x)
,在
x
=
t 上的连
续性即可证明 p ( t , x ) 的连续可微性. 事实上 ,由 (19) 式易得 :
p ( t + dt , x + dt) dx = p ( t , x) dx + b( t , x) p ( t , x) dxdt + m ( t , x) p ( t , x) dxdt -
微分方程模型--人口的预测
则
x x (1 r)k
k
0
模型1 马尔萨斯（Malthus）模型——1798年提出
假设：单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比。
符号：x( t ) t时刻时的人口，可微函数 x0 t 0时的人口
r--人口增长率（常数）
单位时间内人口的增长量 则 r x(t t) x(t)
x(t )t
设需求量有一个上界，并记此上界为K，记t时刻已销售出的电
饭煲数量为x(t)，则尚未使用的人数大致为K－x(t)，于是由统计
筹算律： dx x(K x)
dt
记比例系数为k，则x(t)满足： dx kx(K x)
dt
还有两个奇解: x=0和x=K
此方程即Logistic模型，解为：
x(t
)
1
K Ce
x0
O
（7）
S形曲线 x增加先快后慢
t
阻滞增长模型(Logistic模型) r(x) r(1 x ) xm
指数增 长模型
dx rx dt
dx r(x)x rx(1 x )
dt
xm
x
dx/dt
xm
O
xm/2
xm x
x(t)
xm
1 ( xm 1)e rt
x0
S形曲线
xm/2
x增加先快后慢
人口（亿） 5
10
20 30 40 50 60
中国人口
年
1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000
人口（亿） 3 4.7 6 7.2 10.3 11.3 12.95
研究人口变化规律 做出较准确的预报
建立人口数学模型 控制人口过快增长
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∫ W ( t , x ) = r2 B (ξ) W ( t - x ,ξ) dξ t ≥0 , x ≤ t ,0 ≤ x < A
(18) 8
r1
由 (10) 和 (18) 式即得解 p ( t , x ) 的递推表公式为 :
e∫ p0 ( x - t)
x x-
tq (τ)
dτ (
t
,
人口问题的一个偏微分方程模型①①
张保生
(云南民族学院数学系 , 昆明 , 650031)
摘要 给出一个人口问题的偏微分方程模型 , 用递推方式得到了模型解的表达 式 , 并证明了整体解的存在唯一性. 关键词 人口问题 , 模型 , 定解问题
1 引言
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一. 建立数学模型对人口发展过程进行描 述. 分析和预测 , 进而研究控制人口增长和老化的生育策略具有现实的指导意义 , 本文对 [ 1 ] 、[ 2 ] 给出的人口问题的偏微分方程模型进行了推广.
示) 由 (9) , (14) 得 :
图1
W ( t , x ) = W 0 ( x - t) , ( t , x ) ∈ D1 (15)
( B ) 利用 ( A ) 的结果 :
在区域{ ( t , x ) | 0 ≤ t ≤ r1 , r1 ≤ x < A } 中的解为已知函数 ,故在边界条件 (10) 中 , 右端的函数当 0 ≤ t ≤ r1 时为已知函数.
再考虑区域 D2 = { ( t , x ) | t ≥0. t - r1 ≤ x ≤ t ,0 ≤ x < A } 上的解. 过任意一点 ( t , x ) ∈ D2 ,向 t 减少的方向作特征线. 交 t 轴于点 ( t0 ,0) ,其中 t0 = t - x ∈[0 , r1 ] , 由 [10 ] 和 (14) 得 :
∫ p0’(0) - q (0) p0 (0) = r2 b (ξ) [ p’b (ξ) - q (ξ) p0 (ξ) ]dξ
(20)
r1
那么由 (19) 式给出的函数 p ( t , x ) 是定解问题 (1) - (4) 的唯一整体解.
证明 :先证由 (19) 给出的函数 p ( t , x ) 的整体连续性. 只须证 p ( t , x ) 在直线 x = t 上
条件 (5) 化为 :
∫ W 0 (0) =
r2
B
(ξ)
W 0 (ξ)
dξ ( 13)
r1
下面用特征线法来构造解. (8) 的特征线为直线 x
= t + c , c 为任意常数. 若 W = W ( t , x ) 连续可微 ,则沿
任一特征线 W 为常数. 于是在过点 ( t0 , x 0) 的特征线 x = t + ( x 0 - t0) 上成立 , (见[3 ] , [ 5 ]) :
∫ W ( t ,0) = r2 B (ξ) W ( t ,ξ) dξ, t ≥0
(10)
r1
W ( t , A ) = 0 , t ≥0
(11)
∫ e 其中记 B ( x ) = b ( x )
x 0
q (τ)
dτ
(12)
—2 —
第 1 期 张保生 : 人口问题的一个偏微分方程模型
=
p(
t
,
x)
e2
x 0
q
(τ)
dτ ,
t
≥0 ,0 ≤ x
<
A
(7)
则问题 (1) - (4) 化为 :
5
w
(t
5t
,
x
)
+
5
W(
5
t x
,
x)
= 0 t
≥0 ,0 ≤ x
<
A
(8)
∫ e W (0 , x )
= W0( x)
Χ p0 ( x)
-
x 0
q
(τ)
dτ
,
0
≤x
<
A
(9)
p(t , x
+
dx)
+
p(t, x
+
dx) dx
-
p( t , x)
= b ( t , x ) p ( t , x ) + m ( t , x ) p ( t , x ) - d ( t , x ) p ( t , x )
当 p ( t , x ) 可微时 ,在上式中令 dt →, d x →0 即得 :
(3)
r1
p ( t , A ) = 0 t ≥0
(4)
其中 : p0 ( x ) 还要满足相容性条件.
∫ ∫ p0 (0) = r2 b (0 ,ξ) p (0 ,ξ) dξ = r2 b (ξ) p0 (ξ) dξ
(5)
r1
r1
[ r1 、r2 ] 为育龄区间 (见[4 ]) , x 的实际取值区间为 :
p ( t + dt , x + dt) dx = p ( t , x) dx + b( t , x) p ( t , x) dxdt + m ( t , x) p ( t , x) dxdt -
d ( t , x) p ( t , x) dx dt
上式可写为 :
p ( t + dt , x + dx) dt
第 7 卷第 1 期 云 南 民 族 学 院 学 报 Vol. 7 No. 1 1998 年 4 月 Journal of Yunnan Institute of t he Nationalities Apr. 1998
连续 ,即可由表达式 (19) 推得 p ( t , x ) 的整体连续性. 因为 :
e∫ 当 ( x - t) →0 + 时 , p ( t , x ) → p0 (0)
x 0
q (τ)
dτ
e∫ e∫ 当 ( x - t) →0 - 时 , p ( t , x ) →
x 0
q (τ)
dτ
-
r2 r1
[0 , A ] , A 为人的最大寿命.
3 主要结果
定理 1 设出生率 , 死亡率 、迁入率只与 x 有关. 即 q ( x ) = b ( x ) + m ( x ) - d ( x ) ,其
中 b ( x ) ≥0 , d ( x ) ≥0. 适当光滑. m ( x ) 适当光滑. b ( x ) , m ( x ) 在[0 , A ] 上有界 :在区间
x)
,在
x
=
t 上的连
续性即可证明 p ( t , x ) 的连续可微性. 事实上 ,由 (19) 式易得 :
∫ W ( t , x ) = r2 B (ξ) W ( t - x ,ξ) dξ, ( t , x ) ∈ D3
(17)
r1
( D) 不断重复以上做法 (如图 2 所示) ,便得到在整个求解区域{ ( t , x ) | t ≥0 ,0 ≤ x <
A } 上的解的递推公式 :
W 0 ( x - t) t ≥0 , t ≤ x < A
∫ W ( t , x ) = W ( t0 ,0) = r2 B (ξ) W ( t - x ,ξ) dξ, ( t , x ) ∈ D2
(16)
r1
其中右端积分中的函数 W ( t - x ,ξ) 为已由 ( A ) 求得的解.
( C) 利用 ( B ) 的结果. 在区域{ ( t , x ) | 0 ≤ t ≤2 r1 , r1 ≤ x < A } 中的解 W ( t , x ) 为 已知 ,故
下递推表达式 :
e∫ p0 ( x - t)
. x
x-
tq (τ)
dτ
t
≥0 , t
≤x
<
A
∫ ∫ p ( t , x) =
ex 0
q
(τ)
dτ
r2 b (ξ)
p( t
-
x ,ξ)
dξ, t
≥0 , x
≤t ,0
≤x
≤A
r1
证明 : 作函数变换
(6) .1
∫ w ( t , x )
则上式可写为
:5
p
(t,
5t
x)
+
5
p
(t,
5x
x
)
=
q( t , x) p( t , x)
初始条件 p (0 , x ) ,其中 p0 ( x ) 为初始人口密度. 在时段[ t , t + dt ] 中出生的婴儿总数
∫ 为 :[
b(
t
,ξ)
p(
t
,ξ)
]
dt
r1
于是得人口问题的偏微分方程模型
x)
∈ D1
∫ ∫ p ( t , x) =
e
x 0
q (τ)
dτ
r2 b (ξ)
p( t
-
x ,ξ) dξ ( t , x )
∈ D0
(19)
r1
—3 —
云南民族学院学报 (自然科学版) 第 6 卷
其中 : D0 = { ( t , x ) | t ≥0 , x ≤ t ,0 ≤ x < A } 定理 2 : 在定理 1 的条件下 , 若还有如下条件成立 :
5 p( t , x) 5t
+
5
p
(t,
5x
x
)
+=
q( t , x) p( t , x) , t
≥0 ,0
≤x
<
∞
(1)
p (0 , x ) = po ( x ) 0 ≤ x ≤ A