常用数集

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高中数学集合知识点总结

高中数学必修1知识点总结第一章集合与函数概念【1.1.1]集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性.互界性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N*或N+表示正整数集，Z表示整数集，0表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对歛d与集合M的关系是aeM .或者.两者必居其一.（4）集合的表示法①列举法：把集合中的元素一一列举出來.写在大括号内表示集合.②描述法：｛x x具有的性质｝,其中x为集合的代表元素.③图示法：用数轴或韦恩图來表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集•②含有无限个元素的集合叫做无限集•③不含有任何元素的集合叫做空集（0）・[1.1.2｝集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A有//（/? > 1）个元素.则它有2“个子集.它有2“一1个真子集，它有2〃一1个非空子集, 它有2"-2非空真子集.[1.1.3]集合的基本运算<8）交集、并集.补集例1、判I折下列关系是否正确（1）{«} c{a}: （2） {1,2,3} ={3,2,1}：（3） 0<z{O}：（4） 0e{0}：（5） 0e{O}：（6）0 = {0}：（7）0 a{0,1,2}：（8）{l}a{x|x<5}例2、已知集合M满足{1,2}匚必匚{1,2,3,4,5},则这样的集合M有多少个？例3、设A = |x|.v2 -2x-3 = o|.B = {x|av-l =0）,若Bo A ,求实数a。

例4、已知财={2“方}," = {2。

2，}・且M =N ,求a#的值。

例5、已知全集卩={2,0,3-/},子集卩={2,/一°一2},且C u P = {-\},求—A级训练1、列举集合{1,2,3}的所有子集：2、集合{0}与空集0的关系为：3、若{“,0,1} = {c,土,一1 ■,则a = ________ . b = __________ . c = _________ 。

高中数学集合知识点

（1）集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法
N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系
对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （6）子集、真子集、集合相等
（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. （8）交集、并集、补集
B
{x A A =
∅=∅ B A ⊆ B B ⊆ B
{x ）A A A =
）A A ∅= ）A B A ⊇ B B ⊇
U A
{|x x ()U A =∅ 2
()U A A U
=
（1）含绝对值的不等式的解法
不等式
0)>
0)> （2）一元二次不等式的解法
0)
()()()U U U A B A B =()()()
U
U U A B A B =。

成人高考数学—集合

2 如果x-1=0,那么x2-1=0, 分析：由x-1=0推出x2-1=0是正确的, 我们可以把命题写成： p： x-1=0,q： x2-1=0 则有：p是q的充分条件,q是p的必要条件,
1.5 充分条件与必要条件
我们在开课时讲的例子也可以这样写： p：两个三角形相似,q：它们的对应角相等, 我们知道p是q的充分条件,但是由于对应角相等的三角形也相似,所以我们说q也是p的充分条件,即,p是q的充分条件,也是p的必要条件,
例2：1.4.2源自并集已知N= 自然数 ,Z= 整数 ,求N∪Z,
解：N∪Z= 自然数 ∪ 整数 = 整数
1.4.3 补集
观察下列各组中的三个集合,它们之间有什么关系 1 S= -2,-1,1,2 ,A= -1,1 ,
B= -2,2 ； 2 S=R,A= x|x≤0,x∈R ,
B= x|x>0,x∈R ,
1.4.2 并集
观察下列集合A,B,C有怎样的关系 A= 2,4,6 ,B= 4,8,12 , C= 2,4,6,8,12
容易看出来,集合C中的元素是由集合A和集合B中的元素合并在一起构成的
1.4.2 并集
定义：一般的,对于两个给定集合A,B,把它们所有的元素合并在一起构成的集合,叫做A与B的并集,记作A∪B,读作A并B,
例1：说出下面两个集合的关系 1 A= 1,3,5,7 ,B= 3,7 ； 2 C= x|x2=1 ,D= -1,1 ； 3 E= 偶数 ,F= 整数 ,
解： 1 B A
2C = D
3 E F
1.4 集合的运算
1.4.1 交集 1.4.2 并集 1.4.3 补集
1.4.1 交集
1、观察下列两组集合并用图示法表示出来 1 A= x|x为会打篮球的同学 ,B= x|x为会打排

54. 高中数学公式(A4版)

高中数学公式第一部分：集合、条件、不等式1．集合（1）常用数集：正整数集*N N +（），自然数集Z ，有理数集Q ，实数集R . （2）子集（包括真子集和相等）、交集、并集、补集、全集、空集（注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）（3）含n 个元素的集合个数：子集有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空真子集有22n -个.2．命题定义：可以判断真假的陈述句叫命题.四种命题：① 原命题：若p ，则q ； ② 逆命题：若q ，则p ； ③ 否命题：若p ⌝，则q ⌝；④ 逆否命题：若q ⌝，则p ⌝.注：原命题与逆否命题同真假：逆命题与否命题同真假. 四种命题的真假个数：0个，2个，4个. 3. 条件命题p充分必要命题q .①,p q q p ⇒，p 是q 的充分不必要条件（p 是q 的真子集） ②,p q q p ⇒，q 是p 的必要不充分条件（q 是p 的真子集） ③p q ⇔，p 是q 的充要条件（p q =相等） ④,p q q p ，p 是q 的及不充分也不必要（p 、q 互补包容）技巧：小范围推大范围，大范围不能推小范围，即小的推大的，大的不能推小的.4. 逻辑连词、量词（1）逻辑连词或且非，或命题一真就真，且命题全真才真，非命题真假互换。

①且（交集）：p q ∧; ②或（并集）：p q ∨; ③非（结论否定）：p ⌝ （2）量词一般有两个，全称量词所有的，存在量词有一个，若要否定变形式.全称命题:p x ∀；特称命题:p x ∃；5. 二次方程两项：（1）直接开平方（形如21x =）；（2）提取公因式（形如220x x -=）；三项：（3）十字相乘法；（4）配凑法（提；配；括；完）（5）公式法：求根公式x =,判别式24b ac ∆=-；韦达定理：1212b x x a cx x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.6. 不等式的性质两个实数比较大小的方法：（1）作差法：与0比000a b a b a b a b a b a b ->⇔>⎧⎪-=⇔=⎨⎪-<⇔<⎩; （2）作商法：与1比111aa bb aa b b aa b b ⎧>⇔>⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪<⇔<⎪⎩(0)b > ;性质：（1）乘法0a b ac bc c >⎫⇒>⎬>⎭ 0a b ac bc c >⎫⇒<⎬<⎭. （2）同向相加a b a c b d c d >⎫⇒+>+⎬>⎭.（3）同向相乘00a b ac bd c d >>⎫⇒>⎬>>⎭.7．二次次不等式(1)20ax bx c ++>的解集1{|x x x <或2}x x >，“大于取两边”. (2)20ax bx c ++<的解集12{|}x x x x <<“小于取中间”.若2()(0)f x ax bx c a =++≠，则当00a >⎧⎨∆<⎩时，()0f x >恒成立；当00a <⎧⎨∆<⎩时，()0f x <恒成立．8．二次函数一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠方法： (1)配方法，顶点式：2()()f x a x m n =-+，对称轴x m =；顶点(,)m n(2)十字相乘法，交点式：12()()()f x a x x x x =-- 与x 轴的交点：12x x x =、 (3)对称轴方程：1222x x b x a +=-= 顶点坐标：2424,b ac b a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭9．分式不等式化整式(1)()0()()0()f x f x g x g x >⇔⋅>． (2)()0()()0()f x f xg x g x ⇔⋅≥≥且()0g x ≠(3)()0()()0()f x f x g x g x <⇔⋅< (4)()0()()0()f x f xg x g x ⇔⋅≤≤且()0g x ≠ 10．绝对值不等式若0a >， (1)x a a x a <⇔-<< “小于取中间”；(2)x x a a >⇔<-或x a >“大于取两边” 若0c >， (1)ax b c c ax b c +<⇔-<+<；(2)ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-第二部分函数、导数1．指数运算===整数幂：(1)n a a a a=⋅ (n个a相乘) (2)1nnaa-= (3)01(0)a a=≠分数幂：(1)1na=mna=mna-指数运算：·m n m na a a+=，mm nnaaa-=，()m m mab a b=，()n m mna a=．2．对数运算(1) 指数与对数互化：log(0,,10)xax aaN N a N==>≠>⇔(2) 对数恒等式：①log10a=；②log1aa=；③log a Na N=；④log Naa N=(指对之后还是N)(3) 常用对数：10loglgN N=；自然对数：ln log( 2.7)eN N e=≈(4) 对数的运算：①加乘：log log log()a a aM N MN+=；②减除：log log loga a aMM NN-=(3) 顶在外：log logna an bb=(4) 顶在外，体位不变：log logmnaabnbm=(5) 体位不变:logloglogcacbba=(学名换底公式，常用在对数的乘法运算中，但不常用)3．函数的定义域（1）分式：1x（0x≠）（2x≥）（3）零指数幂：0x（0x≠）nx-（0x≠）（4）对数：logax（0x≠）4．函数的解析式求函数解析式的4种方法（1）换元法（从前到后）（2）配凑法（从后到前）（3）待定系数法（4）解方程组法：()f x与1()fx，()f x-解方程组5．函数的单调性设1x、2x[,]a b∈，那么（1）若12x x<，12()()0f x f x-<()f x⇔为增函数；若1212()()0()f x f xf xx x->⇔-为增函数（同号为增）；（2）若12x x<，12()()0f x f x->()f x⇔为减函数；若1212()()0()f x f xf xx x-<⇔-为减函数（异号为减）；复合函数(())f g x的单调性：()f u、()u g x=“同增异减”.6．函数的奇偶性偶函数：（1）定义域关于原点对称（2）()()f x f x -= 偶函数图像关于y 轴对称；奇函数：（1）定义域关于原点对称（2）()()f x f x -=- 奇函数图像关于原点对称；公共定义域内有：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇. 7. 函数的对称性对称轴：()()()f a x f a x f x +=-⇔图像关于直线x a =对称．()()f a x f b x +=-⇔对称轴2a bx +=; 对称中心：()()2()f a x f a x b f x ++-=⇔图像关于点（a ，b ）对称.()()0f a x f b x ++-=⇔对称中心(0)2a b+，.8. 函数的周期性（1）()()f x a f x +=，T a =．（2）()()f x a f x +=-，2T a =．（3）1()()f x a f x +=，2T a =．（4）1()()f x a f x +=-，2T a =．（5）()()f a x f b x +=+，||T a b =-．（6）两个对称轴是半个周期12T ：()f x 关于直线x a =，x b =对称，那么2||T a b =-．（7）两个对称中心也是半个周期12T ：()f x 关于点（a ，0）（b ，0）对称，那么2||T a b =-．（8）对称轴与对称点是14个周期：()f x 关于直线x a =，点（b ，0）对称，那么4||T a b =-．三角函数图像可证明（6）（7）（8）. 9. 常见的五种函数（1）一次函数：y kx b =+（0k ≠）；k ：斜率，b ：y 轴上的截距；①0k >，递增；②0k <，递减．（2）二次函数：2y ax bx c =++（0a ≠）；①看a ；②看∆；③画图；④求解．（3）三次函数：32y ax bx cx d =+++；求导（4）反比例函数：ky x =（0k ≠）；①0k >，图像在一、三象限；②0k <，图像在二、四象限（5）双勾函数：ay x x=+（0a >）；①0x >，当x min y =；②0x <，当x =max y =-.10. 基本不等式（1）a b +≥；222a b ab +≥；（2）222()22a b a b ab ++≤≤ 满足三个条件：“一正二定三相等” 口诀：ab ≤均值的平方≤平方的均值.11. 零点问题方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点. 函数零点存在性定理：函数()y f x =在区间[],a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<，则存在零点. 函数单调，则存在一个零点. 函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点；（2）利用零点存在性定理，再结合函数的单调性确定零点个数；（3）利用函数图象的交点个数判断12. 幂函数x 13. 指数函数R15.四种图象变换（1）平移变换（2）对称变换（3）伸缩变换（4）翻折变换导数部分（一）导数公式 1．函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：2121()()f x f x x x --.2．导数定义：()f x 在点0x 处的导数（瞬时变化率），记作000000()()|=()lim limx x x x f x x f x yy f x x x=∆→∆→+∆-∆''==∆∆ 3．函数()y f x =在0x 点处的导数的几何意义——切线的斜率切点00(,())P x f x ，斜率0()y f x '=，切线方程：000()()y y f x x x '-=-. 4．常见函数的导数常函数()f x c c = c 为常数 ()0f x '= 幂函数()f x x α= 1() f x x αα'-= 三角函数()sin ()cos ()cos ()sin f x x f x x f x x f x x ''====- 指数函数()()ln ()e e()xx xx f x a f x a a f x f x ''====对数函数n 11()log ()()ln ()l a f x x f x f x xf x x ax''====5．导数的运算法则(1) [()]k ()kf x f x ''=常数不用导(2) [()()]()()f x g x f x g x '''±=±各自导各自(3) [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+前导后不导加上后导前不导(4) 2()()()()()(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦上导下不导减去下导上不导除以分母的平方6．复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()() , y f u u g x ==的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅. （二）导数研究函数① 求导 ② 因式分解 ③ 令 (),'=f x 0解得x 的值，即极值点 ④ 求单调性：()0()f x f x '>⇒是增函数; ()0()f x f x '<⇒为减函数. ⑤ 求极值: 列表得极值：(1)如果在0 x 附近的左侧()0f x '>右侧()0f x '< ，那么()0f x 是极大值; (2)如果在0 x 附近的左侧()0f x '< 右侧 ()0f x '>，那么()0f x 是极小值 ⑥ 函数的最值(1)连续函数()f x 在闭区间[] , a b 上必有最大值与最小值.(2)将函数的极值与端,点处的值()(), f a f b 比较，最大的为最大值，最小的为最小值.第三部分：三角函数（公式、图像、解三角形）1. 角的概念与弧度制(1)角的概念：任意角的定义；正角（逆）、负角（顺）、零角；象限角轴上角；终边相同的角 (2)角度制与弧度制的互化： 180π=︒，157≈︒ 2. 扇形弧长、扇形面积公式(1)圆的周长2c r π=;圆的面积2S r π=. (2)扇形的弧长公式: l r θ=. (3)扇形面积公式:211||22s lr r α==. 3. 三角函数的定义(1) 三角函数的定义:角α终边上任一点(), P x y ,设OP r =，则：sin =y r α=对斜， cos =xr α=邻斜， tan =y xα=对邻 .(2) 三角函数的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦 (3) 特殊角的三角函数值：（单位圆或查表）角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 06π4π 3π 2π 23π 34π 56π π32π π2sin α 01222 32 1 32 22 120 -1 0 cos α132 2212122232 -1 01 tan α 03313 不存在 3--133- 0不存在4. 同角关系式(1)22sin cos 1θθ+= 知一求二 sin cos tan θθθ、、;平方搭桥2(sin cos )12sin cos αααα±=±; (2)sin tan cos θθθ=弦切互化(分式齐次，分子分母同除以cos θ) 5. 诱导公式(1)诱导公式的作用:化简⇒大角化小角，负角化正角，最好化成特殊角. (2)谨记:出现轴上角才用诱导公式.(3)口诀:“奇变偶不变，符号看象限”. 6. 两角和与差(1):sin()sin cos cos sin a βαβαβαβ±±=±S ； (2):cos()cos cos sin sin a βαβαβαβ±±=C ；(3)tan tan :tan()1tan tan a βαβαβαβ±±±=T 配角技巧:所求角表示为已知角和特殊角的和、差、倍的形式.7．三角函数图像π周期性与对称性之间的关系：相邻对称中心（两对称轴）间隔半个周期T 21；相邻对称中心与对称轴间隔T 41. 8．二倍角公式、降幂公式(1)αααcos sin 22sin = (2)ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= (3)ααα2tan 1tan 22tan -=降幂公式：22cos 1cos 2αα+=；22cos 1sin 2αα-=. 9. 辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y ，ab=ϕtan ，22sin ba b +=ϕ，22cos ba a +=ϕ10. 三角函数的图像变换：x y sin =经过图像变换得到1)32sin(2++=πx y方法一：① 向左平移3π，得到)3sin(π+=x y ； ② 横坐标缩短到原来的21倍，得到)32sin(π+=x y ；③ 纵坐标伸长到原来的2倍，得到)32sin(2π+=x y ；④ 向上平移1个单位长度，得到1)32sin(2++=πx y .方法二：① 横坐标缩短为原来的21倍，得到x y 2sin =；② 向左平移6π，得到)32sin()]6(2sin[ππ+=+=x x y ；③④ 同上.11. 三角函数的解析式（1）2M m A -=，（2）2M m B +=，（3）ω：先求周期T ，再由2T πω=得ω．把A 、B 、ω代入sin()y A x B ωϕ=++中（4）ϕ：代特殊点：上升点(2,0)k π、最高点2,12k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭下降点(2,0)k ππ+最低点32,12k ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭即得统一的形式：sin()y A x B ωϕ=++ 三角函数图像化简思路：二次化一次（2倍角、降幂公式），一次再统一（辅助角、两角和差）,即化成统一的形式sin()y A x B ωϕ=++. 12. 正弦型函数的性质正弦型函数sin()y A x ωϕ=+(0)A >方法：整体代入（1）周期：2||T πω=（2）奇偶性：当2k πϕπ=+时，sin()cos y A x A x ωϕω=+=±偶函数；当k ϕπ=时，sin()sin y A x x ωϕω=+=±奇函数.（3）最值：当22x k πωϕπ+=+时，y 最大；22x k πωϕπ+=-+时，y 最小。

集合讲解

第一章集合第一节集合与元素目标1）理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法；2）了解“属于”关系的意义；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3）了解有限集、无限集、空集的意义；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的3个特征。

新课 1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合. （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 2、常用数集及记法（1）自然数集：全体非负整数的集合.记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N *或N + ，{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q , Q {}=整数与分数（5）实数集：全体实数的集合.记作R ，{}数数轴上所有点所对应的=R 注：实数内数的框架结构（可用图示讲解）⎧⎧⎧⎧→⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩正整数非负整数自然数整数零有理数实数负整数分数无理数 3、元素与集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ 4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可. （2）互异性：集合中的元素没有重复.（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出） 5、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B、C 、P 、Q…元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q… （2）注意“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写. 练习1、说出下面集合中的元素（1）｛大于3小于11的偶数｝（2）｛平方等于1的数｝（3）｛15的约数｝2、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数.（2）好心的人. （3）1，2，2，3，4，5． 3、用“∈”与“∉”填空： 1 N 0 N －3 N 0.5 N 2 N 1 Z 0 Z －3 Z 0.5 Z 2 Z 1 Q 0 Q －3 Q 0.5 Q 2 Q 1 R 0 R －3 R 0.5 R 2 R4、设a ,b 是非零实数，那么bb aa +可能取的值组成集合的元素是___5、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素6、已知集合P 的元素为21,,33m m m --, 若3∈P 且-1∉P ，求实数m 的值。

数学中常用的数集及其记法

数学中常用的数集及其记法示例文章篇一：嘿！同学们，你们知道吗？数学的世界就像一个超级大的神秘乐园，里面有各种各样好玩的东西，其中数集就是特别重要的一部分！咱们先来说说自然数集，它就像我们最亲密的小伙伴，总是陪伴着我们。

自然数集用“N”来表示哟！你想想，从1 开始，2、3、4、5……一直往后数，这些数是不是特别熟悉？就像我们每天上学要走的路一样，一步一步，清清楚楚。

那整数集呢？整数集用“Z”来表示。

它可比自然数集的范围大多啦！不仅有正整数，还有负整数和0 呢！这就好像一个大大的队伍，有向前走的，有向后退的，还有原地不动的，是不是很有趣？有理数集用“Q”表示。

有理数就像是一群特别守规矩的小朋友，它们可以写成两个整数的比值。

比如说，1/2 、3/4 ，这些都是有理数。

这是不是有点像我们在学校里遵守纪律一样？还有实数集，用“R”表示。

实数集那可是包含了有理数和无理数，就像是一个超级大的宝箱，什么宝贝都有。

无理数就像是藏在宝箱深处的神秘宝贝，像圆周率π、根号2 这些，是不是特别神奇？在数学的课堂上，老师给我们讲这些数集的时候，我就感觉自己像是在一个充满宝藏的山洞里探险。

有时候我会想，这些数集是不是就像天上的星星，数也数不完？我和同桌讨论过，他说：“这些数集可真让人头疼！”我就反驳他：“怎么会呢？这多有意思啊，就像玩游戏一样！”我们争得面红耳赤。

后来我发现，只要认真去理解，去琢磨，这些数集其实一点都不难。

它们就像一把把钥匙，能打开数学世界里一扇扇神秘的大门。

所以啊，同学们，别害怕这些数集，只要我们用心去探索，就能发现其中的乐趣和奥秘！示例文章篇二：嘿，同学们！今天我来给大家讲讲数学中那些常用的数集及其记法，这可有趣啦！你们有没有想过，数字就像一群小精灵，它们也有自己的家族和分类呢？比如说自然数，这就像是我们最熟悉的小伙伴，从1 开始，一个一个往上数，1、2、3、4……一直到无穷大。

自然数用“N”来表示，就好像是给它们这个大家族起了个名字一样。

(完整版)中职数学常用公式及常用结论大全(最新整理)

中职数学常用公式及常用结论大全1. 常见数集：N---自然数集 ---正整数集 Z---整数集 Q---有理数集 R---实数集*N 2、充要条件：（1）充分条件：若，则是充分条件.p q ⇒p q （2）必要条件：若，则是必要条件.q p ⇒p q （3）充要条件：若，且，则是充要条件.p q ⇒q p ⇒p q 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.3、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠（1）求根公式：x =（2）根与系数的关系：，12b x x a +=-12c x x a⋅=4、不等式的基本性质：（1）若，则；a b >a c b c ±>±（2）若，且，则a b >0c >ac bc>（3）若，且，则a b >0c <ac bc<5、一元一次不等式（1）0(0)bax b a ax b x a->>⇒>⇒>（2）0(0)b ax b a ax b x a -<>⇒<⇒<（3）注意在解一元一次不等式组时，最后一定要求两个不等式解集的交集才是整个一元一次不等式组的解集。

6、一元二次不等式（1）的解集：、是对应方程的两个根且<20(0)ax bx c a ++>>{}12x x x x x <>或1x 2x 1x 2x （2）的解集：、是对应方程的两个根且<20(0)ax bx c a ++<>{}12x x x x <<1x 2x 1x 2x 7、含绝对值的不等式（1）()(0),x a a a a <>⇒-（2）()()(0),,x a a a a >>⇒-∞-⋃+∞（3）(0)ax b c c ax b c ax b c +>>⇒+<-+>⇒或（4）(0)ax b c c c ax b c +<>⇒-<+<⇒8、定义域口诀：函数定义域好求，分母不能等于零；偶次方根非负，零和负数无对数；零的零次方无意义，正切函数角不直；其余函数实数集，多种情况求交集。

集合的概念与几种常见的数集

3
得a≠ 2 且a≠-4;
解2a2+5a≠a-2,
即a2+2a+1≠0,得a≠-1.
3
所以实数a不能取四个值:14, 2 ,-4,-1.
(2)若该集合中只有一个元素,则有a-2=2a2+5a=12.
1.(1)你所在班级中的所有同学组成了一个集合.任意指定一位同
学,这位同学与这个班集体有什么关系?
提示:任意指定一位同学,要么属于这个班集体,要么不属于.即元
素与集合只有两种关系:属于和不属于.
(2)由大于1的数构成的集合记作集合A.1和2与集合A是怎样的关
系?
提示:因为2>1成立,所以2是集合A中的元素,即2属于集合A;因为
②若-5∈A,求实数a的值;
③若1∉A,求实数a的取值范围.
(3)若集合A是由所有形如3a+ 2b(a∈Z,b∈Z)的数组成的,判断6+2 2 是不是集合A中的元素?
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分析:(1)首先判断给出的数的属性,然后根据常用数集的符号判
断两者的关系.
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四
四、常用数集及其记法
1.(1)0是自然数吗?0是正整数吗?0是整数吗?
提示:0是自然数,是整数,不是正整数.
(2)自然数集与正整数集有什么区别?
提示:自然数集包含0,正整数集不包含0.
(3)什么是有理数?什么是无理数?
提示:正整数,0,负整数,正分数,负分数这样的数称为有理数;无理
sample essays, such as contract agreements,

常见的数集及表示符号

常见的数集及表示符号
1. 自然数集：N，用正整数表示，包含0和正整数。

2. 整数集：Z，包括正整数、零和负整数。

3. 有理数集：Q，包括所有可以表示为分数的数，其中分母和
分子都是整数。

4. 实数集：R，包括所有实数，无理数和有理数都在其中。

5. 复数集：C，包括实数和虚数，虚部为$i$的数为纯虚数。

6. 非负实数集：$R_{\ge 0}$或N*，包含大于等于0的实数。

7. 正实数集：$R_+$或N，包含大于0的实数。

8. 负实数集：$R_-$，包含小于0的实数。

9. 根据集合的包含关系，我们还可以定义几个常见的数集：
- $\emptyset$：表示空集。

- A ⊆ B：表示A是B的子集。

- A ⊂ B：表示A是B的真子集，即A是B的子集但不等于B。

- A ∪ B：表示A和B的并集。

- A ∩ B：表示A和B的交集。

- A\B：表示从集合A中减去集合B后获得的新集合。

- A×B：表示A和B的笛卡尔积。

2018年人教版高一数学暑假第07天常见的数集及其记法

第07天常见的数集及其记法
高考频度：★★☆☆☆难易程度：★☆☆☆☆
下列所给关系正确的个数是
①π∈R；②3∉Q；③0∈*N；④|−4|∉*N．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题必备】
（1）常用数集：
常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集
记法N *
N或N+Z Q R
（2）在研究数与数集之间的关系时，首先应明确数集的含义，每个数集的元素是什么，再判断数与数集的关系．学科*网
N是正整数集，两者是不同的，N包括0，而*N不包括0．（3）N为非负整数集，即自然数集，而*
1．下列说法正确的是
A．2∈Q B．2∉Q
C．2∈Z D．2∉R
2．下列结论中，不正确的是
A．若a∈N，则–a∉N B．若a∈Z，则a2∈Z
C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则3a∈R
3．下列说法正确的是
A．0={0} B．0∈N*C．0∈N D．0∉N
1．【答案】B
【解析】因为Q表示有理数集，2 Q，故A错误，B正确；在C中，2∉Z（整数集），故C错误；
在D中，2∈R（实数集）,故D错误．故选B．
2．【答案】A
3．【答案】C
【解析】0是元素，{0}是集合，它们的意义不同，之间不能用等号连接，故A不正确；0不是正整数，故0∉N*，故B不正确；0是自然数，故0∈N，故C正确；D不正确．故选C．。

集合的概念2

（二）有限集与无限集
•
• •
有限集：含有有限个元素的集合。如：{x| x 2 -1=0} 无限集：含有无限个元素的集合。如：{x|x-1>0} 空集：不含任何元素的集合记作Φ 。如：{x| x 2+1=0}
三、练习题
1、用描述法表示下列集合
• ①{1，4，7，10，13}
• ②{-2，-4，-6，-8，-10}
整数集
有理数集实数集
2、常用数集及记法
自然数集正整数集
全体整数的集合记作Z
整数集
有理数集实数集
2、常用数集及记法
自然数集正整数集
全体整数的集合记作Z
Z 0， 1 2，，
整数集
有理数集实数集
2、常用数集及记法
自然数集正整数集
整数集
有理数集实数集
全体有理数的集合
四、小结：
本节课学习了以下内容：
• • • • • • • • 1．集合的有关概念：有限集、无限集、空集。 2．集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图。
本节课到此结束
Hale Waihona Puke 2、常用数集及记法自然数集正整数集
整数集
有理数集实数集
记作Q 全体有理数的集合
2、常用数集及记法
自然数集正整数集
Q 所有整数与分数
记作Q 全体有理数的集合
整数集
有理数集实数集
2、常用数集及记法
自然数集正整数集
整数集
有理数集实数集
全体实数的集合
2、常用数集及记法
自然数集正整数集
; 5 n,n∈N且n≦4}
1 2 3 4 (2) { 0,± , ± , ± , ± , ……}= 2 5 10 17

《集合》知识点总结

《集合》知识点总结一、集合的基本概念1、集合：一些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象称为元素。

2、集合的表示：用大括号{}或小括号()表示，元素与集合的关系为“属于”或“不属于”。

3、集合的特性：确定性、互异性、无序性。

二、常见集合的表示方法1、自然数集：N2、整数集：Z3、有理数集：Q4、实数集：R三、集合的运算1、交集：取两个集合的公共元素组成的集合，记作A∩B。

2、并集：把两个集合合并起来，记作A∪B。

3、补集：把属于一个集合但不在该集合的元素组成的集合，记作CuA。

四、集合间的关系1、子集：若一个集合A的每一个元素都是另一个集合B的元素，则称A是B的子集。

2、真子集：如果A是B的子集，且A≠B，则称A是B的真子集。

3、相等：当且仅当两个集合的元素完全相同，且不强调元素的顺序时，两个集合相等。

五、集合的基本运算性质1、若A、B为两个集合，有A∩B=B∩A。

2、若A、B为两个集合，有Cu(A∩B)=CuA∪CuB。

3、若A、B、C为三个集合，有(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

4、若A、B为两个集合，有(CuA)∪B=(A∪B)∩CuB。

5、若A、B、C为三个集合，有(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。

6、若A、B为两个集合，有(CuA)∩B=Cu(A∪B)。

7、若A、B为两个集合，有(CuA)∪(CuB)=Cu(A∩B)。

集合知识点总结一、集合、元素及其关系1、集合的基本概念：集合是一个不重复的元素的集合，常用大写字母表示集合，如A={1，2，3}，B={apple，banana，cherry}。

2、集合的表示方法：常用的表示方法有列举法和描述法。

列举法是把集合中的元素一一列举出来，适用于元素数量较少的集合；描述法是用集合中元素的共同特征来描述集合，如自然数集N={n|n是自然数}。

3、集合的元素关系：如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么称A是B的子集，记作A⊆B。

高一年级数学《集合》知识点总结

【导语】当⼀个⼩⼩的⼼念变成成为⾏为时，便能成了习惯；从⽽形成性格，⽽性格就决定你⼀⽣的成败。

成功与不成功之间有时距离很短——只要后者再向前⼏步。

⾼⼀频道为莘莘学⼦整理了《⾼⼀年级数学《集合》知识点总结》，希望对你有所帮助！【⼀】⼀．知识归纳： 1．集合的有关概念。

1）集合(集)：某些指定的对象集在⼀起就成为⼀个集合（集）．其中每⼀个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平⾯⼏何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，⼆者必居其⼀）、互异性（若a?A，b?A，则a≠b）和⽆序性（{a,b}与{b,a}表⽰同⼀个集合）。

③集合具有两⽅⾯的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件 2）集合的表⽰⽅法：常⽤的有列举法、描述法和图⽂法 3）集合的分类：有限集，⽆限集，空集。

4）常⽤数集：N，Z，Q，R，N* 2．⼦集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1）⼦集：若对x∈A都有x∈B，则AB（或AB）； 2）真⼦集：AB且存在x0∈B但x0A；记为AB（或，且） 3）交集：A∩B={xx∈A且x∈B} 4）并集：A∪B={xx∈A或x∈B} 5）补集：CUA={xxA但x∈U} 注意：①?A，若A≠?，则?A； ②若，，则； ③若且，则A=B（等集） 3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1）与、?的区别；（2）与的区别；（3）与的区别。

4．有关⼦集的⼏个等价关系 ①A∩B=AAB；②A∪B=BAB；③ABCuACuB； ④A∩CuB=空集CuAB；⑤CuA∪B=IAB。

5．交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A； ③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB； 6．有限⼦集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个⼦集，2n－1个⾮空⼦集，2n－2个⾮空真⼦集。

高中数学知识点大全

高中数学知识点大全一、集合与函数概念1. 集合定义：集合是某些确定的、互不相同的对象的全体。

表示方法：列举法、描述法、图示法。

集合间的关系：子集、真子集、相等。

集合的运算：并集、交集、补集、差集。

常用数集：自然数集（N）、整数集（Z）、有理数集（Q）、实数集（R）。

2. 函数概念定义：函数是两个非空数集之间的映射，使得每一个自变量都有唯一的函数值与之对应。

表示方法：列表法、图象法、解析法。

函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、最值。

3. 函数的基本类型一次函数：$ y = ax + b $，图象为直线。

二次函数：$ y = ax^2 + bx + c $，图象为抛物线。

指数函数：$ y = a^x $，$ a > 0 \且 a \neq 1 $。

对数函数：$ y = \log_a x $，$ a > 0 \且 a \neq 1 $。

三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。

二、立体几何1. 空间几何体多面体：棱柱、棱锥、棱台。

旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球。

2. 点、线、面的位置关系点与线：点在直线上、点在直线外。

点与面：点在平面上、点在平面外。

线与线：相交、平行、异面。

线与面：线在面上、线与面相交、线与面平行。

面与面：相交、平行。

3. 空间几何体的表面积与体积棱柱：$ V = Sh $，$ S = 2S_{底} + S_{侧} $。

棱锥：$ V = \frac{1}{3}Sh $，$ S = S_{底} + S_{侧} $。

圆柱：$ V = \pi r^2 h $，$ S = 2\pi r(h + r) $。

圆锥：$ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h $，$ S = \pi r(l + r) $，其中 $ l = \sqrt{r^2 + h^2} $。

三、解析几何1. 坐标系直角坐标系：由两条互相垂直的数轴构成。

1.2数集

x a O 图(1) b a O 图(3) b x a O 图(2) b x a O 图(4) b x
x a O 图(5) a O 图(6)
x O 图(7) b
x O 图(8) b
x
课内练习 1. 用“∈”或“∉”填空： (1)-1( )N； 0( )N+； 3( )N； ∞( N N N (2)1( )Z； Z -2.45( )Z； Z )N． N
100 用x表示人数，则3x≤100，解得x≤ 3
．考虑到实际
根据表示元素属性的不等式不同，共有下列几个基本区间： (1)开区间(a,b)：表示数集{x|x∈R, a<x<b}，如图(1)； (2)闭区间[a,b]：表示数集{x|x∈R, a≤x≤b}，如图(2)； (3)左闭右开区间[a,b)：表示数集{x|x∈R, a≤x<b}，如图(3)； (4)左开右闭区间(a,b]：表示数集{x|x∈R, a<x≤b}，如图(4)； (5)左开右无界区间(a,+∞)：表示数集{x|x∈R, x>a}，如图(5)； (6)左闭右无界区间[a,+∞)：表示数集{x|x∈R, x≥a}，如图(6)； (7)右开左无界区间(-∞,a)：表示数集{x|x∈R, x<a}，如图(7)； (8)右闭左无界区间(-∞,a]：表示数集{x|x∈R, x≤a}，如图(8)．
3. 以区间法表示下列数集，并在数轴上表示出来： (1){x| x<-1}； (2){x| x≤0}； (3){x|x>10}； (4){x| x≥- 2 }．
4. 解下列不等式，以区间法表示解集，并在数轴上表示出来： (1)x+ (4)1-x≥4(x+2)．
q
实数集：R={x|x为有理数或无理数}． R 还有一些是与基本数集相近的常用数集，如： N+={1,2,3,4,…}={x|x是1的正整数倍}； R+={x|x∈R, x≠0}． R

集合的概念

( 2 ) =u 与 y =x．
解 ( 1 )y = lx n 2 与 y = 2 lx n 不是相同的函数 ,因为定义域不同 .
( 2 ) = u 与 y=x 是相同的函数 ,因为对应规
律与定义域均相同 .
3. 函数的表示法：表格法、图像法及公式法．
1 x 0, 0 x 1,
1
3
x
,
1 x 2.
-1 O 1 2 x
解该分段函数的图形如上图所示．
定义 2 设D 与M 分别是两个数集，存在对应律 f ,若
对 D 中的每一个数 x ，通过对应规律 f ，集合 M 中都有惟
1、集合——某些指定的对象集在一起
元素集合中的每一个对象 2、常用数集及记法
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。记作N
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集。记作N*或N+ （3）整数集：全体整数的集合。记作Z
（4）有理数集：全体有理数的集合。记作Q
（5）实数集：全体实数的集合。记作R
合
w y y f ( x ), x D M
D
M
称为函数 f 的值域，x 称为
f
f 的自变量，y 称为因变量，
如右图所示．
二、函数的几种特性
有界性设函数 f(x)在某区间 I上有定义，若存在正数 M ，使得 f(x)M ，则称 f(x)在 I上有界 .
函数可以用至少三种不同的方法来表示：表格法、图像法和公式法．
例 6 中央电视台每天都播放天气预报，经统计，某地 1999年 9月 19日 — 29日每天的最高气温如下表所示．

高中数学集合

集合•集合的概念：1、集合：一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合（简称集）；集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……。

元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系：（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作3、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集常用数集及其表示方法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合.记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q（5）实数集：全体实数的集合.记作R•集合中元素的特性：（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 任何一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必具其一。

（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.•易错点:（1）自然数集包括数0.（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）•1、交集概念：（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。

（2)韦恩图表示为。

2、并集概念：（1）一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。

（2）韦恩图表示为。

3、全集、补集概念：（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。

数学常用公式汇总

数学常用公式汇总班级姓名学号第一章集合常用结论1.几个常用数集的表示：自然数集记作：N ；正整数集记作*N ;整数集记作：Z ；有理数集：Q;实数集：R ；空集：φ.2.集合与元素之间的关系：如果a 是集合A 的元素，就说A a 属于，A a ∈;如果a 不是集合A 的元素，就说A a 不属于，A a ∉.3.集合之间的关系：集合A 是集合B 的子集，记作：B A ⊆;集合A 是集合B 的真子集，集合A 与集合B 相等,记作：A=B.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

(1)A A _____________n 若集合中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空真子集有个第二章不等式_______(2),_____,,R _____________,______,___0,,___0___;___0,___0___.(5)0____()(6)n n a b a b b c a b c a b c d a b a b c ac bc a b c ac bc a b c d ac bd a b a b n N a b +>⇔>>⇒>∈⇒>>⇒+>+>⇒>>⇒>>⇒>>⇒∈>>不等式的性质：(1)对称性：传递性：(3)加法法则：。

(4)乘法法则乘方法则：开方法则：0_____,1)n N n +⇒∈≥且（7）作差比较法：____0,____0,_____0a b a b a b a b a b a b >⇔-<⇔-=⇔-（8）当0a >时，一元二次不等式的解集如下表所示：2124,b ac x x ∆=-<不等式或者方程的解0∆>0∆=0∆<20ax bx c ++={}12,x x {}0x ∅20ax bx c ++>12(,)(,)x x -∞+∞ 00(,)(,)x x -∞+∞ R20ax bx c ++ (][)12,,x x -∞+∞ RR20ax bx c ++<12(,)x x ∅∅20ax bx c ++ []12,x x {}0x ∅（9）不等式x a <（0a >）的解集是；不等式x a >（0a >）的解集是．一元二次不等式与绝对值不等式口诀：第三章函数1、求函数的定义域类型（1）当f(x)是整式时，定义域为（2）当f(x)是分式时，考虑（3）偶次根式的（4）零的零次方无意义；（5）对数式时考虑（6）当f(x)表示实际问题中的函数关系式时，应考虑。

高中数学所有公式

一、集合与函数概念集合常用数集：（1）N表示非负整数集或自然数集。

（2）*N或N表示正整数集。

*（3）Z表示整数集（4）Q表示有理数集。

（5）R表示实数集。

集合中元素的特性：（1）确定性。

（2）互异性。

（3）无序性。

集合的表示方法：（1）列举法。

（2）描述法。

（3）图示法。

集合的分类：（1）有限集。

（2）无限集。

（3）空集。

子集的个数：若一个有限集有n个元素，则它共有n2个子集，)1n个真子2(-集，)2n个非空真子集。

2(-集合间的关系：（1）子集（2）真子集。

子集的定义：A中的任何元素都属于B,则A叫B的子集，记作BA⊆注意：（一）BA⊆时A有两种情况，即ΦA。

≠=A与Φ（二）空集是任何集合的子集。

子集的性质：（一）A A A ⊆Φ⊆,.（二）若B A ⊆，C B ⊆,则C A ⊆. （三）若B A ⊆，A B ⊆,则A=B.真子集的定义：A 是B 的子集，且B 中至少有一元素不属于A ，记作B A ⊂. 真子集的性质：（一）A A ⊂∅∅≠,.（二）若B A ⊂，C B ⊂，则C A ⊂.集合的运算律\交集的运算性质：......∅=∅==⊆⊆= A A A A A U A B B A A B A A B B A并集的运算性质：......A A A A A U U A B B A A B A A B B A =∅==⊇⊇=补集的运算性质：.....)(U A C A A C A U C U C A A C C U U U U U U =∅=∅==∅=结合律：.)()(.)()(C B A C B A C B A C B A ==分配律：).()()().()()(C A B A C B A C A B A C B A ==德•摩跟定律.)(.)(B C A C B A C B C A C B A C U U U U U U ==函数函数：设A,B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的书)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 的集合B 的一个函数，记作：)(x f y =，A x ∈.两个函数相等的条件：当且仅当两个函数的定义域和对应关系部分别相同时两个涵数相等。