不等式学生版

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高1数学第2讲：基本不等式(学生版)

第2讲基本不等式(Inequation)一分钟破案1、一个公安局长在茶馆与一位老头下棋。

正下到难分难解时，跑来一个小孩，小孩着急的对公安局长说：“你爸爸和我爸爸在外面吵起来了。

”“这孩子是你什么人？”老头问。

公安局长答道：“是我的儿子。

”请问：两个吵架的人与这位公安局长什么关系？2、篮子里有四个苹果，由四个小孩平均分完，到最后，篮子里还有一个苹果。

请问：他们是怎办到的？3、夏天的中午，虽然天气很热，但广场上还是人来人往，十分热闹。

突然，人群中传来女人的尖叫，原来有人抢走了她的挎包，并飞快的逃走了。

附近的巡警闻讯赶来，可是广场上的人实在太多了，那个窃匪早已消失在人群中。

福尔摩斯正巧从广场经过，听到动静也赶了过来。

他观察了一下周围的环境，指着正在花坛里浇花的花匠对警察说：“抓住他，他就是嫌疑犯。

”你知道福尔摩斯是怎么认出那个窃匪的吗？一．基本不等式①22b a +≥ab 2 （b a 、∈R ）②b a +≥ ab 2 （b a 、∈+R ） ③2)2(b a +≥ab （b a 、∈+R ） ④a b b a +≥2 （b a 、同号）二．平方平均数、算数平均数、几何平均数、加权平均数之间的关系222b a +≥2b a +≥ab ≥ba 112+ （b a 、∈+R ）拓展：n a a a n22221...+++≥n a a a n+++...21≥n n a a a ...21⋅≥n a a a 1 (112)21+++（n a a a ...21、∈+R ）三．绝对值不等式①b a -≤b a ±≤b a +柯西不等式（2221a a +）（2221b b +）≥22211)(b a b a +拓展：（22221...n a a a +++）（22221...n b b b +++）≥22211)...(n n b a b a b a +++1．取等号的条件2．在绝对值不等式中，去绝对值的条件1．已知0＞t ，则函数tt t y 142+-=的最小值是_______________。

第二章第二节基本不等式学生版

6.已知0<x ≤3，则y ＝x ＋16x 的最小值为( ) A.253 B ．8 C ．20 D ．107．y ＝2＋x ＋5x (x <0) 的最大值为________．8．若x <0，则函数y ＝x ＋4x 有( ) A ．最小值4 B ．最大值4 C ．最小值－4 D ．最大值－49．已知a 0，y >0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy的最小值为________．题型七基本不等式的实际应用1．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．2.某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，如右图所示，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形地域．现计划在正方形MNPO上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(如右图中黑色部分)铺花岗地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(图中四个灰色三角形)上铺草坪，造价为80元/m2.(1)设总造价为S元，AD的长为x m，试建立S关于x的函数关系式；(2)计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区？3.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元．4．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成的．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度)．(1)求θ关于x的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值．11。

高考数学复习讲义不等式(学生版)

高考数学复习讲义不等式【要点提炼】考点一不等式的性质与解法1．不等式的倒数性质(1)a>b ，ab>0⇒1a <1b. (2)a<0b>0,0<c<d ⇒a c >b d. 2．不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)min >a ，x ∈I ；f(x)<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)max <a ，x ∈I.(2)f(x)>g(x)对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．【热点突破】【典例】1 (1)若p>1,0<m<n<1，则下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p －m p －n <m n C ．m －p <n －p D ．log m p>log n p(2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b)x －3b<0的解集是( )A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－2,3)【拓展训练】1 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x<12，1x ，x ≥12，则不等式x 2f(x)＋x －2≤0的解集是________________． (2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，65B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2}【要点提炼】考点二基本不等式基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋A g x＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值．【典例】2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2 B ．若a<0，则a ＋4a ≥－2a ·4a＝－4 C ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a ∈R ，则2a ＋2－a ≥22a ·2－a ＝2(2)(2019·天津)设x>0，y>0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy 的最小值为________．【拓展训练】2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a>0，b>0，且a －b ＝1，则2a ＋1b的最小值为________． (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________．专题训练一、单项选择题1．不等式(－x ＋3)(x －1)<0的解集是( )A ．{x|－1<x<3}B ．{x|1<x<3}C ．{x|x<－1或x>3}D ．{x|x<1或x >3}2．下列命题中正确的是( )A ．若a>b ，则ac 2>bc 2B ．若a>b ，c<d ，则a c >b dC ．若a>b ，c>d ，则a －c>b －dD ．若ab>0，a>b ，则1a <1b 3．(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－2或x>3}，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－2或x>lg 3}B ．{x|－2<x<lg 3}C ．{x|x>lg 3}D ．{x|x<lg 3} 4．若a>b>0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋1b 0，y>0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.1127．已知a>－1，b>－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．78．已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，3a ＋1b －12c的最大值为( )A ．3 B.94C ．1D ．0 二、多项选择题9．设f(x)＝ln x,0<aq10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( )A ．6B ．7C ．8D ．911．(2020·威海模拟)若a ，b 为正实数，则a>b 的充要条件为( )A.1a >1bB ．ln a>ln bC ．aln a<bln bD ．a －b<e a －e b12．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a>0，b>0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2三、填空题 13．对于0<a<1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a)<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a)>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a 1＋a <11a a +；④a 1＋a >a1＋1a.其中正确的是________．(填序号) 14．当x ∈(0，＋∞)时，关于x 的不等式mx 2－(m ＋1)x ＋m>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．15．已知函数f(x)＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f(a －1)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．16．已知实数x ，y 满足x>1，y>0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y 的最大值为________．。

第1讲不等式的性质(学生版)

不等式的性质★考试大纲解读★考点知识梳理（I ）不等式的性质1. 对称性：a b b a >⇔<；2. 传递性：a b >，b c >a c ⇒>；3. 加法法则：（1）a b a c b c >⇔+>+；（2）a b >，c d >a c b d ⇒+>+；4. 乘法法则：（1）a b >，0c >ac bc ⇒>；（2）a b >，0c <ac bc ⇒< （3）0a b >>，0c d >>ac bd ⇒>； 5. 倒数法则：a b >，0ab >11a b⇒<； 6. 乘方法则：0a b >>n n a b ⇒>（n N *∈且1n >）；7. 开方法则：0a b >>>n N *∈且1n >）.注意：⑴同向可加性及同向同正可乘性可以推广到两个以上的不等式；⑵不等式性质的单向性或双向性，也就是说每条性质是否具有可逆性.只有a b b a >⇒<，a b a c >⇒+> b c +是可以逆推的，而其余几条性质不可逆推，在应用性质时要准确把握条件是结论的充分条件还是必要条件.★题型分类精讲题型一实数大小的比较作差比较两数（式）大小的依据是：0a b a b >⇔->；0a b ab <⇔-<；a b =⇔ 0a b -=.作商比较两数（式）大小的依据是：a 、0b > ，1a a b b >⇒>；a 、0b < ，1a a b b>⇒<.【例1】比较下列各组中两个数或代数式的大小：（1 （2）()()4422a b a b ++与()233a b+【例2】设0a >，0b >且a b ≠，试比较a b a b 与b a a b 的大小.【例3】（1）已知a ，b ，m ，n 均为正数，且1a m b n <<，比较am bn 与a mb n++的大小. （2）已知0a >，0b >且a b ≠，比较a ba b 与()2a b ab +的大小.【例4】已知0a b +>，则22a b b a +与11a b+的大小关系是__________________. 在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件.1. 作差法证明不等式：【例5】已知a 、b R +∈ ，n N +∈，m N +∈，且1m n ≤≤.求证：n n n m m m n m a b a b a b --+≥+.1. 作商法证明不等式：【例6】已知a ，b ，c 为互不相等的正数，求证：222a b c b c c a a b a b c a b c +++>.2. 用不等式性质证明不等式【例7】若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：e e a c b d>--.在使用不等式的性质时，一定要高清它们成立的前提条件. 例如：①在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的.如a b ≤，b c <a c ⇒<.②在乘法法则中，要特别注意“乘数c ”的符号，例如当0c ≠时，有22a b ac bc >⇒>；若无0c ≠这个条件，则22a b ac bc >⇒>就是错误结论.③“0a b >>()0,1nna b n N n ⇒>>∈>”成立的条件是“n 为大于1的自然数，0a b >>”，假如去掉“n 为大于1的自然数”这个条件，取1n =-，3a =，2b =，那么就会出现“1132-->，即1132>”的错误结论；假如去掉“0b >”这个条件，取3a =，4b =-，2n =，那么就会出现“()2234>- ” 的错误结论.注意：⑴使用不等式性质判断一些不等式是否成立是高考考查的重点内容，在正确使用不等式性质的同时，还要注意不等式与指数、对数函数性质的综合应用；⑵此类题目常用的解法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是利用赋值法排除错误答案. 【例8】适当增加不等式条件使下列命题成立. （1）若a b >，则ac bc ≤；（2）若22ac bc >，则22a b >；（3）若a b >，则()()lg 1lg 1a b +>+；（4）若a b >，c d >，则a b d c>.【例9】设11a b >>>-，则下列不等式恒成立的是（） A. 11a b < B. 11a b> C. 221a b > D. 2a b >【例10】设x ，y 为实数，满足238xy ≤≤，249x y ≤≤，则34x y的最大值是_________.处理此类问题严格根据不等式的基本性质和运算法则，是解答此类题目的关键. 【例10】设()2f x ax bx =+，且()112f ≤-≤，()214f ≤≤，则()2f -的取值范围为____________________.错解：（很多学生容易犯这种错误）若由1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩ ，得332302a b ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩，得()324212f a b ≤-=-≤，错因在于多次运用同向不等式相加这一性质（单向性），不是等价变形，导致()2f -取值范围扩大，而正确的取值范围应为它的子集.另外，题中a ，b 不是相互独立的，而是相互制约的，故不可分割开来.先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的一条途径.（此外，本题可利用线性规划求解）解法一：设()()()211f mf nf -=-+ （m 、n 为待定系数）则， ()()42a b m a b n a b -=-++ 即， ()()42a b m n a n m b -=++-于是，得 42m n n m +=⎧⎨-=-⎩ ，解得31m n =⎧⎨=⎩∴ ()()()2311f f f -=-+又 ()112f≤-≤，()214f ≤≤ ∴ ()()531110f f ≤-+≤，故 ()5210f ≤-≤解法二：此题也可以这样处理：由()()11f a b f a b -=-⎧⎪⎨=+⎪⎩ ，得()()()()11121112a f f b f f ⎧=-+⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎨⎪=--⎡⎤⎣⎦⎪⎩ ∴ ()()()242311f a b f f -=-=-+ 又 ()112f≤-≤，()214f ≤≤ ∴ ()()531110f f ≤-+≤ ， ∴ ()5210f ≤-≤【例10】已知13a b -<+<且24a b <-<，求23a b +的取值范围.分析：将23a b +用a b +和a b -表示出来，再利用不等式的性质求解23a b +的取值范围.警示：此类题常见的错误解法是由a b +，a b -的范围得出a 、b 的范围，又进一步得ma nb ±的范围，容易扩大范围，本题还可以利用线性规划的方法求解.同步习题（一）一、基本训练 1.下列结论对否：(1),,n n a b c d ac bd n N >=⇒>∈（）()222a b a b c c >⇒>（） ()1130a b ab a b><⇒<且（）()40,0a b c d ac bd <<<<⇒> （）()N n b a b a n n ∈〉⇒〉,5 （）()b a b b a 〈〈-⇒〈6 （） 2. 11a b a b>⇔<成立的充要条件为 3. 已知A n (n,a n )为函数y=12+x 上的点,B n (n,b n )为函数y=x 上的点,其中n ∈N *,设c n =a n -b n ,则c n 与c 1+n 的大小关系为___________二、能力提高4. 比较下面各小题中a 与b 的大小：(1)a =m 3－m 2n －3mn 2 与 b =2m 2n －6mn 2＋n 3 (2)a =3x 2－x ＋1与b =2x 2＋x －1 (3)10231=-=b a 与 .5. a ＞0，a ≠1，t ＞0，比较m =t a log 21与n =21log +t a 的大小.6. 6. 设()2f x px qx =+，且()214f ≤-≤，()416f ≤≤，求()2f -的取值范围.同步习题（二）一、基础练习1、下列命题中正确的是…………………………………………………… ( ) (A )22,a b a b >>若则 (B ) 22,a b a b >>若则 (C ) 22,a b a b >>若则(D ) 22,a b a b >>若则2、设110a b<< ，则 ……………………………………………………… （）(A ) 22a b > (B ) a b +> (C ) 2ab b < (D ) 22a b a b +>+ 3、若,0a b c a b c >>++=,则有…………………………………………… ( ) (A ) ac ab 〉 (B ) bc ac 〉 (C ) bc ab 〉 (D )以上皆错 4、若,0ac bd a b >>>, …………………………………………………………( ) (A ) 0c d >> (B ) c d > (C ) c d < (D )c 、d 大小不确定 5、以下命题：⑴a >b ⇒|a |>b ；⑵a >b ⇒a 2>b 2 ；⑶|a |>b ⇒ a >b ；⑷a >|b | ⇒ a >b 正确的个数有………………………………………………………………（） (A ) 1个 (B ) 2个 (C ) 3个 (D )4个6、如果二次函数)(x f y =的图象过原点，并且1≤)1(-f ≤2,3≤)1(f ≤4,则)2(-f 的取值范围__________________.7、已知2,2>>b a ，试比较ab b a 与+的大小______________. 8、比较下列各数的大小： (1))11(log ),1(log an a m a a +=+=，则m _______ n 。

高中数学基本不等式(学生版)

第4讲基本不等式思维导图知识梳理1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．核心素养分析(,0)2a ba b +≤≥。

结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题。

重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.题型归纳题型1 利用基本不等式求最值【例1-1】（2019·济南模拟）（1）已知2x <，求9()2f x x x =+-的最大值；（2）已知x ，y 是正实数，且9x y +=，求13x y+的最小值．【例1-2】（2019·辽宁模拟）已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【例1-3】（2019·合肥调研）已知a >b >0，那么a 2＋1b (a －b )的最小值为________．【跟踪训练1-1】（2020春•湖北期中）已知32x >，则1()4146f x x x =-+-的最小值为．【跟踪训练1-2】（2020•韶关二模）已知0x >，0y >，且121x y+=，则2x y +的最小值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10【名师指导】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值．3.通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．4.两次利用基本不等式求最值的注意点当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．题型2 利用基本不等式解决实际问题【例2-1】（2019秋•罗田县期中）小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为a 和()b a b >，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a v <<B ．b v <<C 2a b v +<D ．2a bv += 【例2-2】（2019春•南昌县校级月考）某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( ) A ．甲食堂的营业额较高B ．乙食堂的营业额较高C ．甲乙两食堂的营业额相同D ．不能确定甲，乙哪个食堂的营业额较高【跟踪训练2-1】（2019秋•金安区校级月考）近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周猪肉价格分别为a 元/斤、b 元/斤，家庭主妇甲和乙买猪肉的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤猪肉，家庭主妇乙每周买50元钱的猪肉，试比较谁购买方式更实惠（两次平均价格低视为实惠）（在横线上填甲或乙即可）．【名师指导】有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．题型3 基本不等式的综合应用【例3-1】（2020春•吉林月考）在Rt ABC ∆中，已知90C ∠=︒，3CA =，4CB =，P 为线段AB 上的一点，且||||CA CB CP xy CA CB =+，则11x y +的最小值为( )A ．76B ．712C ．712 D ．76【例3-2】（2020春•广陵区校级期中）已知直线22(0,0)mx ny m n +=>>过圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心，则12m n+的最小值为( )A ．3B ．3+C ．6D ．3+【例3-3】（2020•山东模拟）若(0,)x ∀∈+∞，241x m x+，则实数m 的取值范围为．【跟踪训练3-1】（2020春•沙坪坝区校级月考）已知向量22(1,1),(94,61)a b x y xy ==++，且向量a 与向量b 平行，则32x y +的最大值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【跟踪训练3-2】（2020•淮南一模）已知函数()exf x ln e x=-，满足220181009()()()()(2019201920192e e ef f f a b a ++⋯+=+，b 均为正实数），则14a b +的最小值为【名师指导】利用基本不等式解题的策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．。

必修5 第三章第三节基本不等式(学生版)

教学辅导教案1.已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．﹣3B．1C．3D．02.已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A．﹣5B．﹣1C．0D．13.已知，其中实数x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．4D．4.某车间计划生产甲、乙两种产品，甲种产品每吨消耗A原料6吨、B原料4吨、C原料4吨，乙种产品每吨消耗A原料3吨、B原料12吨、C原料6吨．已知每天原料的使用限额为A原料240吨、B原料400吨、C原料240吨．生产甲种产品每吨可获利900元，生产乙种产品每吨可获利600元，分别用x，y表示每天生产甲、乙两种产品的吨数（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅰ）每天分别生甲、乙两种产品各多少吨，才能使得利润最大？并求出此最大利润．1.下列函数中，最小值为4的是（）A．y=x+B．y=sinx+（0＜x＜π）C．y=e x+4e﹣x D．y=+2.设，则的最大值是（）A．B．C．D．3.已知，则的最小值为（）A．B．C．D．4.已知均为正数，且，则的最小值为（）A．B．C．D．5.已知，且，则的最小值（）A．B．C．D．无最小值6.设求证：7. 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．（1）求这次行车总费用y 关于x 的表达式；（2）当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【知识点一：重要不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )一般地，对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当__ a ＝b ___时，等号成立．【知识点二：基本不等式】如果a ＞0，b ＞0，那么2a bab +≤，当且仅当__ a ＝b ___时，等号成立．其中，2a b+叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．因此基本不等式也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．【知识点三：基本不等式的证明】（1）代数法：方法一因为a ＞0，b ＞0，所以我们可以用a ，b 分别代替重要不等式中的a ，b ，得22()()2a b a b +≥⋅，当且仅当a b =时，等号成立．即2a bab +≥( a ＞0，b ＞0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．方法二因为2222()()2()0a b ab a b ab a b +-=+-=-≥，所以20a b ab +-≥，即2a b ab +≥，所以2a bab +≤．方法三要证2a bab +≥，只要证2a b ab +≥，即证20a b ab +-≥，即证2()0a b -≥，显然2()0a b -≥总是成立的，当且仅当a ＝b 时，等号成立．（2）几何法：如图，AB 是圆的直径，C 是AB 上一点，AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD ，BD ．易证Rt Rt ACD DCB △∽△，则CD 2＝CA ·CB ，即CD＝__ab ___．这个圆的半径为2a b+，显然它大于或等于CD ，即2a b ab +≥，当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立．由此我们可得2a bab +≤的几何意义：半径不小于半弦．替换”或“常数1”的替换，或构造不等式求解．【例4】已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则11a b+的最小值为________；【变式训练1】已知a ＞0，b ＞0，11a b+＝2，则a ＋b 的最小值为________；【例5】若正实数x ，y 满足x ＋y ＋3＝xy ，则xy 的最小值是________；【变式训练1】已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值是________．【题型四：基本不等式在实际中的应用】利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中尽量向模型2bax ab x+≥(a ＞0，b ＞0，x ＞0)上靠拢．【例1】如图，要规划一个矩形休闲广场，该休闲广场含有大小相等的左右两个矩形草坪（如图中阴影部分所示），且草坪所占面积为18000 m 2，四周道路的宽度为10 m ，两个草坪之间的道路的宽度为5 m ．试问，怎样确定该矩形休闲广场的长与宽的尺寸（单位：m ），能使矩形休闲广场所占面积最小？【题型五：忽略等号成立的条件导致错误】【例1】函数223()2xf xx+=+的最小值为_________．【题型六：忽略等号成立的一致性导致错误】【例1】若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则11x y+的最小值为_________．1.（题型二）已知x，y，z均为正数．求证：．2.（题型三）已知a＞0，b＞0，m＝1ba+，n＝1ab+，且a，b的等比中项是1，则m＋n的最小值是A．3 B．4C．5 D．63.（题型三）（题型三）函数取得最小值时，的值为（）A．B．C．1D．24.（题型三）已知都是正数,且则的最小值等于（）A．B．C．D．5.（题型三）在平面直角坐标系中，已知第一象限的点在直线上，则的最小值为（）A．B．C．D．6. （题型四）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 A ．60件 B ．80件 C ．100件D ．120件7. 若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为 A ．245B ．285C ．5D ．68. 若a ，b ，c ＞0且(a ＋c )(a ＋b )＝423-，则2a ＋b ＋c 的最小值为 A ．31-B ．31+C ．232+D ．232-9. 已知0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围为 A ．(,2)-∞ B ．(4,)-+∞ C ．(4,2)-D ．(2,4)-【查漏补缺】1. 已知a ＞0，b ＞0，m ＝1b a +，n ＝1a b+，且a ，b 的等比中项是1，则m ＋n 的最小值是 A ．3B ．4C ．5D ．6A ．252B ．492C ．12D ．14 7. 已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为时22log log (2)a b ⋅取得最大值．1. 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则111a b c ++的最小值为_________________．．2. 在4×＋9×＝60的两个中，分别填入一个自然数，使它们的倒数之和最小，则中应分别填入____________和____________．3. 函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则12m n+的最小值为_________________． 4. 某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2017年进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，该服装的年销量x (万件)与年促销费t (万元)之间满足：3－x 与t ＋1成反比例．如果不搞促销活动，该服装的年销量是1万件．已知2017年生产该服装的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，将每件服装的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，当年生产的服装正好能销售完．（1）将2017年生产该服装的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数；（2）该企业2017年的促销费投入多少万元时，企业生产该服装的利润最大？ (注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)第1,2天作业1. 若实数,a b 满足12ab a b+=，则ab 的最小值为( ) A.2 B.2 C.22 D 、4。

第06讲基本不等式(学生版)-2023年新高一(初升高)暑期数学衔接(新人教版)

第06讲基本不等式【学习目标】1.掌握基本不等式),02a b a b +≥>2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值的问题．【基础知识】一、几个重要的不等式1.ab ≤a ＋b 2(a >0，b >0)2.a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．3.b a ＋a b≥2(a ，b 同号)．4.ab (a ，b ∈R )．5.a 2＋b 22≥(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .二、算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．三、利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则1.如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)2.如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)3.应用基本不等式时的三个关注点(1)一正数：指式子中的a ，b 均为正数.(2)二定值：只有ab 为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值.(3)三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值.4.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．凑配法求最值的基本技巧：①配凑系数；②配凑常数；③配凑分子；④配凑分母；⑤配凑项数5.条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．求1a ＋1b型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决．四、基本不等式的其他应用1.基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小2.一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：(1)a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ；(2)a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min ；(3)a ＞f (x )有解⇔a ＞f (x )min ；(4)a ＜f (x )有解⇔a ＜f (x )max .3.利用基本不等式证明不等式的策略从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.4.构造不等式求范围利用a b +≥或ab≤22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭将式子转化为含ab 或a+b 的一元二次不等式，将ab ，(a+b)作为整体解出范围5．函数法求最值：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数，利用函数的单调性求最值.6.利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.(4)正确写出答案.【考点剖析】考点一：利用基本不等式判断命题的真假例1．(2022学年江西省赣州市赣县高一下学期开学考试)下列说法正确的为()A ．12x x+≥B ．函数224x y +=4C ．若0,x >则(2)x x -最大值为1D ．已知3a >时，43+≥-a a 43=-a a 即4a =时，43+-a a 取得最小值8考点二：利用基本不等式比较大小例2．(2022学年黑龙江省哈尔滨市高一上学期期中)若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则()A ．2a b +B ＜2a b +C2a b +D 2a b +考点三：利用基本不等式求最值例3．(2022学年吉林省延边州高一上学期期末)已知2x >，则函数()1222y x x =+--的最小值是()A ．B ．2C ．2D考点四：利用基本不等式求范围例4．(2022学年湖北省黄石市有色第一中学高一上学期期中)设0x >，0y >，且()()114x y --≥，求xy 的取值范围考点五：利用基本不等式证明不等式例5．已知,,a b c 均为正实数，且满足 3.a b c ++=证明：(1)2223b c a a b c++≥；．考点六：利用基本不等式求解恒成立问题例6.已知x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝1，若不等式21x y +≥m 2+7m 恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．﹣8≤m ≤1B ．m ≤﹣8或m ≥1C ．﹣1≤m ≤8D ．m ≤﹣1或m ≥8考点七：基本不等式在实际问题中的应用例7.(2022学年河北省唐县第一中学高一下学期5月月考)冬奥会期间，冰墩墩成热销商品，一家冰墩墩生产公司为加大生产，计划租地建造临时仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为x (单位：km )，经过市场调查了解到：每月土地占地费1y (单位：万元)与(1)x +成反比，每月库存货物费2y (单位：万元)与(41)x +成正比；若在距离车站5km 处建仓库，则1y 与2y 分别为12.5万元和7万元.记两项费用之和为ω.(1)求ω关于x 的解析式；(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．【真题演练】1．(2020-2021学年陕西省榆林市第十中学高一下学期期末)若0a >，0b >且4a b +=，则ab 的最大值为()A ．4B ．2C ．12D ．142.(2022学年福建省三明第一中学高一上学期学段考)已知0a >，0b >，2ab =，则下列结论一定成立的是()A ．4a b +≥B ．4a b +≤C ．224a b +>D ．11a b+≥3．(2022学年贵州省六盘水红桥学校高一上学期期中)设x ，y ，z 为正实数，满足0x y z -+=，则2y xz 的最小值是()A ．4B ．2C ．12D ．144.(2022学年安徽省阜阳市太和县三校高一上学期期中联考)下列命题中正确的是()A ．当1x >时，12x x +≥B ．当0x <时，12x x +≤-C ．当01x <<时，12x x +≥D ．当2x ≥时，222x x +≥5.(2022学年甘肃省金昌市永昌县高一上学期期末)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则对于14a b +，下列说法准确的是()A ．取得最小值时a ＝23B ．最小值是5C ．取得最小值时b ＝23D ．最小值是926.(2022学年安徽省宣城市泾县中学高一上学期10月月考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为2760001820v F v v l =++.如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为__________辆/时.7.(2022学年广西河池市高一上学期八校联考)已知000a b c >>>，，，求证222a b c ab bc ca ++≥++.8.(2022学年湖北省孝感市高一上学期期中联考)已知0,0,x y >>且1x y +=，求44x y x y+++的最小值．【过关检测】1.(2022学年四川省南充市白塔中学高一下学期月考)已知0ab >，1a b +=，则11a b +的最小值为()A ．0.5B ．1C ．2D ．42.(2022学年江西省丰城中学高一下学期入学考试)已知,,x y z 都是正实数，若1xyz =，则()()()x y y z z x +++的最小值为()A ．2B ．4C ．6D ．83.(2022学年四川省内江市威远中学校高一下学期阶段性测试)当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．(]2-∞，B ．[)2+∞，C ．[)3+∞，D ．(]3-∞，4.(2022学年河南省开封市高一上学期期末)已知x ，y 都是正数，则下列命题为真命题的是()A ．如果积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最大值2PB ．如果和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最小值214SC ．如果积xy等于定值P ，那么当x y =时，和2x y +有最小值D ．如果和2x y +等于定值S ，那么当2x y =时，积xy 有最大值218S 5.(多选)(2022学年山东省枣庄市滕州市高一上学期期末)设正实数m n ､满足2m n +=，则()A ．12m n +的最小值为B 的最小值为2C 的最大值为1D ．22m n +的最小值为26.(多选)(2022学年湖北省部分高中联考协作体高一上学期期中)有下列4个关于不等式的结论，其中正确的是()A ．若0x <，则12xx +≤-B ．若x ∈R 22≥C ．若x ∈R ，则12x x +≥D ．若1a >，则1(1)14a a ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭7.(2022学年上海市延安中学高一上学期期中)已知0a >，0b >，2a b +=，则在下列不等式①1ab ≤；②222a b +≥；④112a b+≥；⑤333a b +≥其中恒成立的是___________.(写出所有正确命题的序号)8.已知0x >，0y >，1x y +=，则311y x x y++的最小值为__．9.(2022学年湖北省十堰市车城高中高一上学期9月月考)(1)已知0x >，0y >，112x y+=，求x y +的最小值；(2)已知102x <<，求(12)y x x =-的最大值.10.(2022学年江苏省南通市海安市高一上学期期末)为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD ，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为21440cm .为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm .设直角梯形的高为cm x .(1)当20(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)？。

第01讲等式性质与不等式性质(学生版)

第1讲等式性质与不等式性质知识点01 等式的性质等式的基本性质性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c .【微点拨】利用等式的相关性质来处理与相等关系有关的问题，比如说：等式的变形（化简）、解方程与方程组等.【即学即练1】方程2312360x x --+= 的解为 .知识点02 不等关系及不等式【微点拨】用数学式子表达不等关系时，一定要在读懂题的要求下用准确的不等关系表达变量间的关系，特别要注意的是等号的包含与不包含.【即学即练2】一般认为，民用住宅窗户面积a 与地板面积b 的比应不小于10%，即1110a b≤<，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m ，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示__________【即学即练3】为了庆祝我们伟大祖国70周年华诞，某市世纪公园推出优惠活动.票价降低到每人5元；且一次购票满30张，每张再少收1元.某班有27人去世纪公园游玩，当班长王小华准备好了零钱到售票处买票时，爱动脑筋的李敏喊住了王小华，提议买30张票.但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？那么，李敏的提议对不对呢？是不是真的浪费？谈谈你们的看法.知识点03 不等式的相关性质不等式的一些常用性质(1)倒数的性质①a>b ，ab>0⇒1a <1b . ②a<0b>0,0<c<d ⇒a c >b d .④0<a<xb>0，m>0，则①b a b －m a －m (b －m>0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m>0)． 3.不等式的基本性质【微点拨】运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.【即学即练4】对于实数a ，b ，c ，下列命题中的真命题是A. 若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B. a ＞b ＞0，则C. a ＜b ＜0，则D. a ＞b ，,则a ＞0，b ＜0【即学即练5】下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因.甲：因为-6<a <8，-4>，若在糖水中加入x 克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式：．【典例2】【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．比较大小：两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧ a －b>0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b<0⇔a 1⇔a > b a b ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b>0)．一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．【典例3】1）已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M>NC ．M ＝ND ．不确定2）设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( )A ．A≤B B ．A≥BC ．A<BD ．A>B3）若0a b >>， 0c d <<，则一定有（） A. a b d c > B. a b c d < C. a b c d > D. a b d c< 4）若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________．5）已知a b c >>且0a b c ++=，则下列不等式恒成立的是（）A. 222a b c >>B. a b c b >C. ac bc >D. ab ac >考法03不等式的性质的运用：【典例4】已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0；②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0.其中正确的命题是________．考法04。

人教版初一下数学-不等式的定义及性质 ]讲义(学生版)

1.了解不等式的意义，理解不等式解集的含义，会在数轴上表示解集；2.理解不等式的三条基本性质，并会用它们解简单的一元一次不等式重点：不等式的定义、列不等式和不等式的性质；难点：不等式的解、解集的表示方法以及不等式性质的运用.第12讲不等式定义及其性质不等式的定义1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式.例如：2-<-+>-+++>≠≤≥等都是不等式．52,314,10,10,0,35a x a x a a2.常见的不等号有5种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”．注意：不等式32≥成立．=成立，所以不等式33≥成立；而不等式33≥也成立，因为333.不等号“>”和“<”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“>”改变方向后，就变成了“<”.例1.下列式子＜y+5； 1＞2； 3m﹣1≤4；a+2≠a﹣2中，不等式有（）个． A．2 B．3 C．4 D．1练习1.下列数学表达式中，①﹣8＜0；②4a+3b＞0；③a=3；④a+2＞b+3，不等式有（） A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个练习2.在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个利用不等式的定义，表示不等关系的式子叫不等式.列不等式1.根据已知条件列不等式，实际上就是用不等式表示代数式间的不等关系，重点是抓住关键词，弄清不等关系.2.步骤：①正确列出代数式；②正确使用不等号3．掌握有关概念的含义，并能翻译成式子．（1）和、差、积、商、幂、倍、分等运算．（2）“至少”、“最多”、“不超过”、“不少于”等词语．如：某人至少有10元钱，是说这个人的钱数多于或等于10元．（3）正数、负数、非负数、非正数等概念．如：a是非正数，应写成：a≤0．例1.用不等式表示：（1）x的23与5的差小于1；（2）8与y的2倍的和是正数；（3）x与5的和不小于0；（4）x的14小于等于2；（5）x的4倍大于x的3倍与7的差；（6）x与8的差的23不超过0.练习1.用适当的符号表示下列关系：（1）x的与x的2倍的和是非正数；（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；（4）明天下雨的可能性不小于70%；（5）小明的身体不比小刚轻．练习2.用适当的不等式表示下列关系：（1）a是非负数；（2）x 与2差不足15 ；（3）x+3与y ﹣5的和是负数.一般根据所描述的语句，列出不等关系.注意非正数、非负数、不大于、不小于等符号表示.例2.用“＜”或“＞”填空：⑴4______－6； (2)－3______0； (3)－5______－1； (4)6＋2______5＋2； (5)6＋(－2)______5＋(－2)； (6)6×(－2)______5×(－2)．练习1.下列不等式中，正确的是( )． A.4385-<-B.5172< C.(－6.4)2＜(－6.4)3D.－｜－27｜＜－（－3）3练习2.用“＜”或“＞”填空：⑴－2.5______－5.2； (2);125______114--(3)｜－3｜______－(－2.3)； (4)a 2＋1______0； (5)0______｜x ｜＋4； (6)a ＋2______a ．给出已知数，可直接判断它们的大小关系；含字母的可带特殊值法进行比较.例3.金坛市2月份某天的最高气温是15°C ，最低气温是﹣2°C ，则该天气温t （°C ）的变化范围是．练习1.在数轴上有A ，B 两点，其中点A 所对应的数是a ，点B 所对应的数是1．已知A ，B 两点的距离小于3，请你利用数轴．（1）写出a 所满足的不等式；（2）数﹣3，0，4所对应的点到点B 的距离小于3吗？练习2.若a 是有理数，比较2a 和3a 的大小．利用不等关系解决实际问题，另注意分类讨论的思想.例4.如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则( )．A. B. C. D.ab ＜1练习1.｜a ｜＋a 的值一定是( )． A.大于零 B.小于零 C.不大于零 D.不小于零练习2. a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )． A.若a ＞b ，则a 2＞b 2B.若a 2＞b 2，则a ＞bC.若a ≠b ，则｜a ｜≠｜b ｜D.若｜a ｜≠｜b ｜，则a ≠b给出字母的不等关系，在这个基础上去判断其他的不等式的关系：可采用设数法、分类讨论法等.不等式的解、解集及解集的表示方法1.相关概念：①不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；②不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解的集合，简称解集；1>b a 1<b a ba 11<③解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式； 2.不等式的解和解集的区别与联系：区别：不等式的解是一些具体数值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示.联系：不等式的每一个解都在它的解集的范围内. 3.用数轴表示不等式的解集： ①x ≥-2表示为： ②x ≤-2表示为：③x ﹤2表示为：④x ＞2表示为：特别提示：用数轴表示不等式的解集要注意两点：①定界点：一般在数轴上只标出原点和界点即可，定边界点时要注意点是实心还是空心，若边界点含于集合为实心点，不含于解集为空心点；②定方向：“小于向左，大于向右”.例1.下列说法不正确的是（）A ．不等式﹣x ≤1的解集是x ≥1B ．不等式﹣x ＞﹣2的解集是x ＜4C ．不等式2（x ﹣1）≤3的解集是x ≤2.5D ．不等式1≤x 的解集是x ≥1练习1.下列说法中错误的是（）A.不等式的解集是；B.是不等式的一个解C.不等式的正整数解有无数多个D.不等式正数解有无限个练习2.下列不等式的解集不正确的是（）A ．不等式2x ＞4的解集是x ＞2B ．不等式x ﹣3＜5的解集是x ＜8C ．不等式x ﹣2≥1的解集是x ≥3D ．不等式＜3的解集是x ＞﹣3根据不等式的解和解集的概念去判断或选择是不是不等式的解或解集例2.当x=3时，下列不等式成立的是（）A ．x+2＜6B ．x ﹣1＜2C ．2x ﹣1＜OD ．2﹣x ＞028x -<4x >-40-28x <-6x <6x<练习1.在、、、、、、中，能使不等式成立的有（）A.个B.个C.个D.个练习2.下列不等式＞50的解的个数有（）①x=80；②x=75；③x=78；④x=10． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的意义是解本题的关键例3. 在数轴上表示x ＜﹣3的解集，下图中表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．练习1.如图在数轴上表示的是下列哪个不等式（）A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣2C ．x ≥﹣2D ．x ≤﹣2 练习2.把下列不等式的解集表示在数轴上 (1)x ≥﹣5 (2) x ＜6在数轴上表示不等式的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解答此题的关键．不等式的性质1.基本性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．如果a b >，那么a c b c ±>± 如果a b <，那么a c b c ±<±2.基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果a b >，并且0c >，那么ac bc >(或a bc c>) 如果a b <，并且0c >，那么ac bc <(或a b c c<) 12-1-2-03-1232-32x +<43213.基本性质3：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >，并且0c <，那么ac bc <(或a b c c<) 如果a b <，并且0c <，那么ac bc >(或a b c c>) 补充：不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么．不等式的传递性：如果，，那么．易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．②在计算的时候符号方向容易忘记改变．例1. 填空：⑴ 如果，则，是根据； ⑵ 如果，则，是根据；⑶ 如果，则，是根据； ⑷ 如果，则，是根据； ⑸ 如果，则，是根据．练习1.利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．⑴ 若，则_______； ⑵ 若，则______； ⑶ 若，则______； ⑷ 若，，则______；⑸ 若，，，则_______．练习2.若，用“”或“”填空 ⑴； ⑵⑶； ⑷利用不等式的三个基本性质，去判断新的不等式之间的关系.a b >b a a b >b c >a c >a b >2a a b >+a b >33a b >a b >a b -<-1a >2a a >1a <-2a a >-a b <2a 2b a b >4a -4b -362x ->x 4-a b >0c >ac bc 0x <0y >0z <()x y z -0a b <><2_____2a b ++2_____2a b --11______33a b ____a b --例2.如果ax ＞b 的解集为则a ______0．练习1.如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（） A. B. C. D.练习2.根据，则下面哪个不等式不一定成立( )A. B ． C. D.利用不等式的性质，解决未知数系数是含参数的不等式.例3.设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（）．A ．■、●、▲B ．▲、■、●C ．■、▲、●D ．●、▲、■练习1.设a 、b 、c 表示三种不同物体的质量,用天枰称两次,情况如图所示,则这三个物体的质量从小到大排序正确的是( ).A ．c ＜b ＜aB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c,abx >x (1)1a x a +>+1x <a 0a >0a <1a >-1a <-a b >22a c b c +>+22a c b c ->-22ac bc >2211a bc c >++练习2.若实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是（）．A．ac＞bc B．ab＞cb C．a+c＞b+c D．a+b＞b+c作差法比较大小应用有理数(式子)的减法运算可以比较两个有理数(式子)的大小,这就是“作差法”,即要比较两个有理数(式子)A与B的大小，可先求出A与B的差A-B，再通过其结果进行判断.如果A-B＞0，则A＞B；如果A-B=0, 则A=B；如果A-B＜0，则A＜B.例1.用等号或不等号填空：（1）比较4m与m2+4的大小当m=3时，4m m2+4当m=2时，4m m2+4当m=﹣3时，4m m2+4（2）无论取什么值，4m与m2+4总有这样的大小关系吗？试说明理由．练习1.比较2x2+4x+2与2x2+4x-6的大小关系，并说明理由练习2.比较2x+3与﹣3x﹣7的大小关系利用作差法，不能直接判断出关系时，采用分类讨论.例2.试判断a2﹣3a+7与﹣3a+2的大小．练习1.通过计算比较下列各组数中两个数的大小：1221；2332；3443；4554；5665；…由以上结果可以猜想n n+1与（n+1）n的大小关系是．根据以上猜想，你能判断20032004与20042003的大小吗？练习2.比较与的大小．利用作差法，比较较复杂的两个式子的大小，结果与0做比较，再判断原式的大小关系即可.本讲内容主要讲解了不等式的定义、不等式的解与解集，会用数轴表示不等式的解集,以及不等式的三个性质，要学会利用不等式的性质去判断不等关系，以及进行不等变换；学会用数轴标数法比较大小、以及会用作差法比较两个代数式的大小等.。

不等式典型例题学生版

典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或（2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++245)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ；（2）12731422<+-+-x x x x典型例题三例3 解不等式242+<-x x分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a二是根据绝对值的性质：a x a x a x a a x >⇔<<-⇔<.,或a x -<，因此本题有如下两种解法．解法一：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-⇔240424042222x x x x x x 或即⎩⎨⎧>-<<<-⎩⎨⎧<<--≤≥1222222x x x x x x x 或或或∴32<≤x 或21<<x故原不等式的解集为{}31<<x x ．解法二：原不等式等价于 24)2(2+<-<+-x x x即⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-)2(42422x x x x ∴312132<<⎩⎨⎧-<><<-x x x x 故或．典型例题四例4 解不等式04125622<-++-x x x x ．．说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解．解法二中，“定符号”是关键．当每个因式x 的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．典型例题五例5 解不等式x xx x x <-+-+222322．分析：不等式左右两边都是含有x 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解．解：移项整理，将原不等式化为0)1)(3()1)(2(2>+-++-x x x x x ．由012>++x x 恒成立，知原不等式等价于0)1)(3()2(>+--x x x ．解之，得原不等式的解集为}321{><<-x x x 或．说明：此题易出现去分母得)23(2222x x x x x -+<-+的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．典型例题六例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．说明：解不等式时，由于R m ∈，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因为当0=m 时，原不等式化为03<-，此时不等式的解集为R ，所以解题时应分0=m 与0≠m 两种情况来讨论．在解出03222=-+mx x m 的两根为mx 31-=，m x 12=后，认为mm13<-，这也是易出现的错误之处．这时也应分情况来讨论：当0>m 时，mm13<-；当0<m 时，mm 13>-．典型例题七例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解．解：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-⇔;)1(2,01,02)1(222x a ax x a ax 或⎩⎨⎧<-≥-.01,02)2(2x a x由0>a ，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+++-≤>⇔;01)1(2,1,2)1(22a x a x x a x ⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔.1,2)2(x a x 由判别式08)1(4)1(422>=+-+=∆a a a ，故不等式01)1(222<+++-a x a x 的解是a a x a a 2121++<<-+．当20≤<a 时，1212≤-+≤a a a ，121>++a a ，不等式组(1)的解是121≤<-+x a a ，不等式组(2)的解是1>x ．当2>a 时，不等式组(1)无解，(2)的解是2a x ≥．综上可知，当20≤<a 时，原不等式的解集是[)+∞-+,21a a ；当2>a 时，原不等式的解集是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a ．说明：本题分类讨论标准“20≤<a ，2>a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2a x >，1≤x ’，(2)中‘2ax ≥，1>x ’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．典型例题八例8 解不等式331042<--x x ．说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解．典型例题九例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．分析：不等式中含有字母a ，故需分类讨论．但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程0)(322=++-a x a a x 的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母a ，故需比较两根的大小，从而引出讨论．解：原不等式可化为0))((2>--a x a x ．(1)当2a a <（即1>a 或0<a ）时，不等式的解集为：{}2a x a x x ><或；(2)当2a a >（即10<<a ）时，不等式的解集为：{}a x a x x><或2；(3)当2a a =（即0=a 或1）时，不等式的解集为：{}a x R x x≠∈且．说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根a x =1，22a x =，因此不等式的解就是x 小于小根或x 大于大根．但a 与2a 两根的大小不能确定，因此需要讨论2a a <，2a a >，2a a =三种情况．典型例题十例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．分析：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数c 的正负，然后求出方程02=++a bx cx 的两根即可解之．解：(解法1)由题可判断出α，β是方程02=++c bx ax 的两根， ∴ab -=β+α，ac =β⋅α．又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ，说明0<a ．而0>α，0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c ac ， ∴0022<++⇔>++c a x c b x a bx cx ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==--=+-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+),1)(1(1,11βααββααββαβαβαa c c b a c ab∴02<++ca x cb x ，即0)1)(1()11(2<β-α-+β-α-+x x ，即0)1)(1(<β-α-x x ．又β<α<0，∴β>α11，∴0)1)(1(<β-α-x x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x ． (解法2)由题意可判断出α，β是方程02=++c bx ax 的两根，∴ac =β⋅α．又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ，说明0<a ．而0>α，0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c ac ．对方程02=++a bx cx 两边同除以2x 得 0)1()1(2=+⋅+⋅c x b x a ．令xt 1=，该方程即为02=++c t b t a ，它的两根为α=1t ，β=2t ，∴α=11x ，β=21x ．∴α=11x ，β=12x ，∴方程02=++a bx cx 的两根为α1，β1．∵β<α<0，∴β>α11．∴不等式02>++a bx cx 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x．说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有α，β是已知量，故所求不等式解集也用α，β表示，不等式系数a ，b ，c 的关系也用α，β表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根．典型例题十二例13 不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值．说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力．对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好．典型例题十三例14 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想．说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0<a 时，解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解．典型例题十四例15 解不等式x x x ->--81032．说明：本题也可以转化为)()(x g x f ≤型的不等式求解，注意：⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥⇔≤2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ，这里，设全集}52{}0103{2≥-≤=≥--=x x x x x x U 或，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--=x x x x A 81032，则所求不等式的解集为A 的补集A ，由2)8(10301030881032222-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤--≥--≥-⇔-≤--x x x x x x x x x x 或13745≤≤x ．即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤=137452x x x A 或，∴原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=1374x x A ．。

常用不等式求解技巧 (学生版)

考点一：和定积最大，积定和最小（1）．如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)．那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) （2）．如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)．那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”)例1、(1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x 的最小值，并求此时x 的值；(2)（配系数）设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)（配项）已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(4)（配项，调整项的符号）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

变式训练1. （1）已知x >0，求f (x )＝12x ＋3x 的最小值；（2）已知x < 3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值；（3）当时，求(82)y x x =-的最大值。

（4）设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

变式训练2. (2013·四川高考)已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.考点二：“1”的代换例1、已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．4.已知实数,x y 满足102x y x y >>+=，且，则213x y x y++-的最小值为________.变式训练1. 已知x ，y ∈(0，＋∞)，且1x ＋4y ＝1，求x ＋y 的最小值．2. 已知x >0，y >0，且 1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．3. 设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值．4．函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0 (mn >0)上，则1m ＋1n 的最小值为________．5.(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C ．5D ．6例2、已知x 、y ＞0且x ＋y ＝1，则p ＝x ＋1x ＋y ＋1y 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6变式训练2（1）已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8.（2）已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.考点三：利用对号函数的单调性求不等式最值注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合对号函数()af x x x=+的单调性。

清北强基数学讲义—不等式学生版

1．已知x ，y ，z 为正实数，则222xy yzx y z +++的最大值为（）A ．1B ．2C ．22D ．22．已知x ，y ∈[0，+∞)，则x 3+y 3－5xy 的最小值为________.3．设正实数x y 、满足2211274x y x y +++=，则1534P x y=-的最小值为______. 4．设x ，y ，z *∈R ，满足x y z xyz ++=，则函数()()()()222,,111f x y z x yz y zx z xy =-+-+-的最小值是______．5．若正实数,x y 满足2y x >，则22222y xy x xy x -+-的最小值是______．6．实数x 、y 满足2220x y +=，则8xy x y ++的最大值是____________ 7．已知正实数a 、b 、c 满足a+b+c=1。

则3a b c ++的最大值为_______。

8．设函数()()()32311f x k x x x x =-+--，若对任何x ∈[0,1]，均有f(x)≥0，则k的最小值为________．9．已知不等式()34x xy a x y +≤+对于一切正数x 、y 恒成立．则实数a 的最小值为______．10．已知正实数a 、b 、c 满足()()()1118a b c +++=.则9abc abc+的最小值是_________. 11．已知，且.则的最大值为______. 12．.则的最小值为______.13．已知非负实数u 、v 、w 满足2u v w ++=.则222222u v v w w u ++的取值范围是______. 14．已知x 、y R +∈.则22x yx y x y +++的最大值为（）.A ．2B ．23C ．4D ．4315．设()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()22log 4f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则不等式()6f x <的解集为______.16．(1)设123x x x R ∈、、，求证：)2221231223x x x x x x x ++≥+，并说明等号成立的条件；(2)若实数a 使得对于任意实数1234x x x x 、、、，不等式()22221234122334x x x x a x x x x x x +++≥++都成立，求a 的最大值.17．已知x 、y 、z R +∈，且s =，t =则22s t -的最小值为（）. A． B．C ．36D ．4518．设a 、b 、c 、d 为实数，且222240a b c d ++-+=.则324a b c d ++-的最大值等于（）. AB ．0C．D．-19．已知x >0，y >0，且11121x y y +=++，则x +2y 的最小值为____________ .20．实数x 、y 满足2220x y +=，则8xy x y ++的最大值是____________ 21．若实数x 、y 、z 满足2223x y z ++=，224x y z +-=，则max min z z +=_____. 22．设a b R ∈、，且1a b +=.则(),f a b =__________．23．已知2223x y z ++=，则xy+yz+zx 的最小值为________24．设非负实数x 、y 、z 满足1x y z ++=．则t =为______． 25．函数()f x =______．26．设1x y z ++=.则函数22223u x y z =++的最小值是______ .27．设1a ，a ₂…，n a 均为正实数，且满足11nk k a ==∑，114nk k a ==∑.则1nk k a =∏的值为______。

基本不等式培优专题(学生版)

目录基本不等式培优专题培优点一常规配凑法02培优点二“1”的代换02 培优点三换元法03 培优点四和、积、平方和三量减元04 培优点五轮换对称与万能K 法05 培优点六消元法（必要构造函数求导）05 培优点七不等式算两次06 培优点八齐次化06 培优点九待定与技巧性强的配凑07 培优点十多元变量的不等式最值问题08 培优点十一不等式综合应用091 a +1ab 培优点一常规配凑法基本不等式培优专题1．（2018 届温州 9 月模拟）已知 2a+ 4b= 2 （ a ， b Î R ），则a + 2b 的最大值为y 22. 已知实数x ， y 满足x 2+= 1 ，则x 16的最大值是3．（2018 春湖州期末）已知不等式(x + my)( 1 + 1 ) ³ 9 对任意正实数x ， y 恒成立，则正实数m x y的最小值是（）A. 2B. 4C. 6D. 84．（2017 浙江模拟）已知a ， b Î R ，且a ¹1 ，则 a + b +- b 的最小值是5．（2018 江苏一模）已知a > 0 ， b > 0 ，且 2 + 3 = ，则ab 的最小值是a b6．（诸暨市 2016 届高三 5 月教学质量检测）已知a > b > 0 ， a + b = 1，则 4 + 1的最小值等于a –b 2b7．（2018 届浙江省部分市学校高三上学期 9+1 联考）已知实数 a > 0 ，b > 0 ， 1+ a +1 1 b +1= 1，则a + 2b 的最小值是（）A. 3B. 2C. 3D. 28．（2019 届温州 5 月模拟 13）已知正数 a ，b 满足a + b = 1，则 b + 1的最小值等于，a b此时a =9．（2018 浙江期中）若正数a ， b 满足 2a +1= 1，则 2+ b 的最小值为（）b aA. 4B. 8C. 8D. 9培优点二 “1”的代换2 + y 22 22 2232 2210．（2017 西湖区校级期末）已知实数 x ， y 满足x > y > 0 ，且 x + y = 2 ，则4+1的最小值是.x + 3y x – y11.（18 届金华十校高一下期末）记max{x , y , z } 表示x ， y ， z 中的最大数，若a > 0 ， b > 0 ，则max{a, b , 1 + 3} 的最小值为（）a bA .B . C. 2D. 312. 已知a, b 为正实数，且a + b = 2 ，则 a 2 + 2 + b 2– 2 的最小值为a b + 113. 已知正实数a, b 满足1+2 = 1 ，则ab 的最大值为(2a + b) b (2b + a)a（补充题）已知x, y > 0 ，则 6xy x 2+ 9y 2 + 2xyx 2 + y 2的最大值是14.（2019 届超级全能生 2 月）已知正数 x , y 满足x + y = 1，则 1 + 1 的最小值是（）1 + x 1 +2 yA. 33B. 7C. 3 +D. 62865515．（2019 届余高、缙中、长中 5 月模拟 7）已知log 2 (a – 2) + log 2 (b –1) Š1 ，则 2a + b 取到最小值时ab = （）A ．3B ．4C ．6D ．916．（2018 温州期中）已知实数x, y 满足 2x > y > 0 ，且1+ 1=1， 2x – y x + 2 y则x + y 的最小值为（）A ．3 + 2 3 5 B ．4 + 2 3 5C ．2 + 43 5D ．3 +4 3 517．（2018 杭州期末）若正数a,b 满足a + b = 1，则 a +a + 1bb + 1的最大值是 18．（2017 湖州期末）若正实数x, y 满足 2x + y = 2 ，则 4x 2 +y 的最小值是y + 1 2x + 219．（2018 河北区二模）若正数a, b 满足 1 + 1 = 1, 1 + 9的最小值为a ba – 1b – 1（）A.1B. 6C. 9D.16培优点三换元法20．（温岭市 2016 届高三 5 月高考模拟）已知实数 x, y 满足 xy – 3 = x + y ，且 x > 1 则 y(x + 8)的最小值是（）A.33B.26C.25D.2121. 若正数x, y 满足 1 + 1 = 1，则 4x + 9 y的最小值为x y x – 1 y – 122. （2018 届嘉兴期末）已知实数 x , 满足 4x+ 9y= 1 ，则 2x+1+ 3y+1 的取值范围是23.（2018 上海二模）若实数 x , 满足 4x + 4y = 2x +1 + 2y +1 ，则S = 2x+ 2y的取值范围是24. (2019 届台州 4 月模拟)设实数a ,b 满足a + b = 4 ，则ab 的最大值为；(a 2 + 1)(b 2 + 1) 的最小值为25.（2019 届镇海中学考前练习 14）已知 x > 0, y > 0, xy ( x + y ) = 4 ，则xy 的最大值为，2x + y 的最小值为26.（2018 春• 台州期末）已知a , b c R , a + b = 2 ，则1 + a 2+ 11b 2 + 1的最大值为（）A. 1B.6 5C.2 + 1 2D. 227.（2016 宁波期末 14）若正数x , y 满足 x 2+ 4 y 2+ x + 2 y = 1 ，则xy 的最大值为28.（2018 届诸暨市期中）已知实数x , y 满足 x + 4 y= 1 – 2 ，则2xy的最大值为（）y x xy x + 2 y –1A. 2 33B.3 2C.2 3 3 + 1 D. 3 + 1 229. (2018 台州一模) 非负实数 x 、 y 满足 x 2+ 4y 2+ 4xy + 4x 2 y 2= 32, 则 x + 2y 的最小值 , 7(x + 2 y ) + 2xy 的最大值yxy + 130.（2018 春南京）若x 、y c (0,+œ), x ++ xy = 4. 则的取值范围2x y + 2xy + 1731.（2017 武进区模拟）已知正实数x 、 y 满足xy + 2x + 3y = 42, 则xy + 5x + 4y 的最小值为2 2 培优点四和、积、平方和三量减元2 2 3332．（2017 宁波期末）若正实数a, b 满足(2a + b)2= 1+ 6ab ，则ab 2a + b + 1的最大值为33．（2019 嘉兴 9 月基础测试 17）已知实数x, y 满足 x2+ xy + 4y 2 = 1，则x + 2 y 的最大值为34．（2016 暨阳联谊）已知正实数x, y 满足 2x + y = 2 ，则x + 的最小值为35.已知正实数a, b 满足9a 2+ b 2= 1 ，则ab3a + b的最大值为 36. 已知实数a,b, c 满足a + b + c = 0,a 2 + b 2 + c 2 = 1 ，则a 的最大值为37.（2018 届杭二高三下开学）若9x 2+ 4 y 2+ 6xy = 1, x , y c R ，则9x + 6y 的最大值为38．（2016 十二校联考 13）若存在正实数 y ，使得xy y – x = 15x + 4 y，则实数x 的最大值为且a + 2b = 3 ，则 1a+ 2的最小值是，b1 + 2a 2b 2的最小值是2ab 40．（2019 届金华一中 5 月模拟 9）已知正实数a ，b 满足． a + b = 1，则a 2+ b +的a + b2最大值是（）A.2B.1+C.1+D.1+41．（2017 西湖区校级模拟）已知正实数a, b 满足a2– b + 4 Š 0 ,则u =2a + 3b （）a + b14 A. 有最大值为5B. 有最小值为14 5C. 没有最小值D.有最大值为 3培优点五轮换对称与万能K 法培优点六消元法（必要构造函数求导）x 2 + y 2 3 222 2 2 2 y 2x 42．（2018 湖州期末）已知a, b 都为正实数，且1 + 1= 3 ，则ab 的最小值是，a b1+ bab的最大值是43．设 a > b > 0 ,那么a 2+1b(a – b)的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 52944.设a > 2b > 0 ，则(a – b ) +b (a – 2b )的最小值为45.（2017 天津）若a , b c R ， a b > 0 ，则a 4 + 4b 4 + 1ab的最小值为{1 ⎞2 {1 ⎞246. 若x, y 是正数，则| x + | ⎞ ⎞ + |y + | ⎞ ⎞的最小值是47. 已知a ,b, c c (0,+œ) ，则(a2+ b 2+ c 2 )2+ 5 2bc + ac的最小值为48．（2018 天津一模）已知a > b > 0 ，则 2a + 3 + a + b 2 a – b的最小值为 49.（2016 台州期末）已知正实数a , b ，满足a 2 – b + 4 Š 0 ，则u =2a + 3b（）a + b14 A. 有最大值为5 14B. 有最小值为5 C. ，没有最小值 D.有最大值为 350.已知a > 0,b > 0, c > 0 且a + b = 2 ，则 a c+ b c – c + ab 25 c – 2的最小值是51．（2019 届杭高高三下开学考 T17）若不等式x2– 2 y 2 Š cx( y – x) 对满足 x > y > 0 的任意实数x, y 恒成立，则实数c 的最大值为52．（2019 届绍兴一中 4 月模拟）已知 x > 0, y > 0, x + 2 y = 3，则x 2+ 3y xy的最小值为（）A.3 – 2B.2 + 1C. –1D. +1培优点八齐次化培优点七不等式算两次2x53．（2018·浙江模拟）已知a > 0, b > 0 ，则 6ab9b 2 + a 2+ 2ab b 2 + a 2的最大值为，若 4x 2 – xy + y 2 = 25 则3x 2 + y 2 的取值范围是54.(2016 新高考研究联盟二模)实数x , y 满足x 2 – 2xy + 2 y 2 = 2 ，则x 2 + 2 y 2 的最小值是55.(2016 大联考)若正数x , y , z 满足3x + 4 y + 5z = 6 ，则1+ 4 y + 2z的最小值为2 y + z x + z56.(2016 杭二最后一卷)若正数x , y 满足 1 + 1= 1，则x 2 – 10xy + y 2 的最小值为x y57.（2016 宁波二模）已知正数x ， y 满足xy Š 1 ，则M = 1 1 + x + 1 1 + 2 y的最小值为 58.（2016 浙江模拟）已知实数a ， b ， c 满足 1 a 2 + 1b 2 +c 2 = 1 ，则a b + 2bc + 2c a 的取值范4 4围是（）A. (–œ, 4]B.[–4, 4]C.[–2, 4]D.[–1, 4]59. 已知x ， y ， z c(0,+œ) 且x 2 + y 2 + z 2 = 1 ，则3xy + yz 的最大值为60．（2016 大联考）设 x, y, z, wc R ，且满足 x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1,则 P = xy + 2yz + zw 的最大值是61．（2017 学年杭二高三第 3 次月考）已知T = min{(+ y )2, (+ y )2, (+ )2}，且x + y + z = 2 ，则T 的最大值是（）A. 8362. 已知a,b, cc R +,则B. 8C. 43a 2 +b 2 +c 2 的最小值是ab + 2bcD. 2363. 已知a,b, c c R ，且a 2+ b 2+ c 2= 4 ，则 5ab +2bc 的最大值是64. 已知a,b, c c R ，且a 2+ b 2+ c 2= 4 ，则ac + bc 的最大值是；又若a + b + c = 0 ，则c 的最大值是培优点九待定与技巧性强的配凑7x z za 2+ c 25 5 ⎞ |5 ⎞ 35⎞ + =65．（2019 届浙江名校新高考研究联盟 9 题）已知正实数a, b, c, d 满足a + b = 1, c + d = 1 ，则1 + 1的最小值是（）abc dA.10B. 9C. 4{ xy + 2z = 1D. 3 66．（2019 届杭四仿真考）已知实数 x ，y ，z为；此时 z =满足 {x 2 + y 2 + z 2= 5，则xyz 的最小值67.（2019 届慈溪中学 5 月模拟）若正实数a ,b, c 满足a (a + b + c ) = bc 则为a b + c的最大值 68.（17 浙江期末）已知 a ,b, c c R 且a + b + c = 0 , a > b > c ,则b的取值范围是（）{{ 1 1 ⎞ {A. |– ,B. |– , |C. (– 2, 2)D. |– 2, 5 |⎞ 5 5 ⎞⎞ 5 5 ⎞⎞ ⎞69.（2018浦江县模拟）已知实数a , b, c 满足a 2+ b 2+ c 2= 1 ，则a b + c 的最小值为（）A.-2B. – 3 2C.-1D. – 1270.（2016秋湖州期末）已知实数a , b, c 满足a 2 + 2b 2 + 3c 2= 1 ，则a + 2b 的最大值是（） A. B.2C. D.371.（2019江苏一模）若正实数a ,b, c 满足a b = a + 2b, a bc = a + 2b + c ，则c 的最大值为72.（2018 秋辽宁期末）设a 、b 、c 是正实数满足a + b Š c ，则 b+a的最小值为a b + c1 1 1 173.（2017 秋苏州期末）已知正实数a ,b,c 满足 1， + =1，则c 的取值范围是a b a+ b c74:（2019 届浙江名校协作体高三下开学考 17）若正数a ,b ,c 满足a 2 + b 2 + c 2 – a b – bc = 1 ，则 c 的最大值是75.（2018 届衢州二中 5 月模拟 12）已知非负实数a, b, c 满足a + b + c = 1，则(c – a)(c – b) 的取值范围为76.（2018 届上虞 5 月模拟 16）若实数x, y, z 满足 x + 2 y + 3z = 1， x 2+ 4 y 2 + 9z 2 = 1，则z的最小值是培优点十多元变量的不等式最值问题234 11 4 1 177.（2018 春衢州期末）已知 x, y > 0 ，若 x + 4y + 6 = + ，则 x y 4 + 1 的最小值是（）x yA. 6B. 7C. 8D. 978．（2018 嘉兴模拟）已知 x + y =+ + 8(x, y > 0) ,则x + y 的最小值为（）x yA. 5B.9C.4 + 2D.1079．（2018 越城区校级）已知x, y > 0, 且x + y + + 1 =19 ，则 3 – 7的最小值是x 2y4x 16 y80．（2016 台州期末）已知实数a,b, cc(0,1) ，设 2 + a 1 1 – b ， 2 + b 1 1 – c ， 2 + c 1 1 – a 这三个数的最大值为M ，则M 的最小值为（）A.5B. 3 + 2C. 3 – 2D.不存在81.（2019 乐山模拟）已知实数 x , y 满足x > 1, y > 0 ，且 x + 4 y +1+ 1= 11 ，则 1 + 的 x – 1 y x –1 y最大值为82．（2019 乐山模拟）已知 x,y 为正实数,且满足(xy – 1)2 = (3y + 2)( y – 2) ,则x + 1的最大值y 为83.（2019 届镇海中学最后一卷）已知x , y > 0 ，且 8x 2+ 1 = 1，则x + y 的最小值y9培优点十一不等式综合应用32622。

不等式的性质(学生版)

不等式的性质及简单应用例1：(1)“0,><ab b a ”是“ba 11>”的什么条件？ (2)已知Rb a ∈,，那么“⎩⎨⎧>--+>+0))((b y a x b a y x ”是“⎩⎨⎧>>by a x ”的什么条件？例2：(1)已知y x ,都是实数，比较22y x +与524--y x 的大小（2）已知b a ,都是正实数，且*N n ∈，求证：(1)n n n n ab b a b a +≥+++11；(2)a b b a b a b a ≥例3：比较))((2222d c b a ++与2)(bd ac +的大小，猜测更一般的结论，并加以证明例4：(1)设3420<<a ，6024<ab ；(2)bd a c -<-；(3)ad bc >，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可以组成几个正确命题？说明理由 2、已知R c b a ∈,,，有四个推理：(1)22bm am b a >⇒>；(2)b a cb c a >⇒>；(3) b a ab b a 110,33<⇒>>；(4) ba ab b a 110,22<⇒>>，其中正确的有哪几个？ 3、已知0>>b a ，0>m ，比较下列两者之间的大小 (1)a b 与m a m b ++；(2) b a 与m b m a -- 4、已知b a ,都是正实数，试比较a bb a+与b a +的大小5、已知R y x ∈,，比较122++y x 与xy y x ++的大小6、若y x ,满足22ππ<<<-y x ，求y x -2的取值范围 7、设21≈a ，令12111a a ++=，(1)证明：2介于21,a a 之间；(2)21,a a 中哪个更接近2？8、若实数m y x ,,满足||||m y m x -<-，则称x 比y 接近m ，(1)若12-x 比3接近0，求x 的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数b a ,，证明：22ab b a +比33b a +接近ab ab 2 (1)(-2,2)；(2)略。

经典(超越)不等式(学生版)

经典(超越)不等式一、结论(1)对数形式:x ≥1+ln x (x >0),当且仅当x =1时,等号成立.(2)指数形式:e x ≥x +1(x ∈R ),当且仅当x =0时,等号成立.进一步可得到一组不等式链：e x >x +1>x >1+ln x (x >0且x ≠1)上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：e x=1+x +x 22!+⋯+x n n !+e θx(n +1)!x n +1；ln (1+x )=x -x 22+x 33-⋯+(-1)n x n +1n +1+o (x n +1)；截取片段：e x ≥x +1(x ∈R )ln (1+x )≤x (x >-1)，当且仅当x =0时,等号成立；进而：ln x ≤x -1(x >0)当且仅当x =1时,等号成立二、典型例题1(2023·陕西咸阳·校考模拟预测)已知a =25,b =e -35,c =ln5-ln4，则()A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.b >c >a2(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=e x -x -1.(1)证明：f (x )≥0；(2)证明：1+121+122 ⋯1+12n <e ．三、针对训练举一反三一、单选题1.(2023春·浙江·高三校联考开学考试)设a=12022，b=tan12022⋅e12022，c=sin12023⋅e12023，则()A.c<b<aB.c<a<bC.a<c<bD.a<b<c2.(2023秋·江苏苏州·高三常熟中学校考期末)a=e0.2，b=log78，c=log67，则()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b3.(2023·云南曲靖·统考一模)已知a=e-2，b=1-ln2，c=e e-e2，则()A.c>b>aB.a>b>cC.a>c>bD.c>a>b4.(2023·全国·高三专题练习)已知a=e sin1-1,b=sin1,c=cos1，则()A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b5.(2023·全国·高三专题练习)已知a>b+1>1则下列不等式一定成立的是()A.b-a>b B.a+1a>b+1bC.b+1a-1<e bln aD.a+ln b<b+ln a6.(2023·全国·高三专题练习)已知实数a，b，c满足ac=b2，且a+b+c=ln a+b，则()A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a7.(2023·全国·高三专题练习)若正实数a，b满足ln a+ln b2≥2a+b22-2，则()A.a+2b=2+14B.a-2b=12-22 C.a>b2 D.b2-4a<08.(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测)已知a1,a2,a3,a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)．若a1>1，则A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4二、填空题9.(2022春·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考期中)已知对任意x，都有xe2x-ax-x≥1+ln x，则实数a的取值范围是.三、解答题10.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =e x-a.(1)若函数f(x)的图象与直线y=x-1相切，求a的值；(2)若a≤2，证明f(x)>ln x.。