第三章 常微分方程数值解概论

1.1
y2
y1
h( y1
2x1 ) 1.1 0.1(1.1 y1
0.2 )
1.1
1.191818
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...
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1. 尤拉(Euler)法
化工应用数学第三章
xn 尤拉公式数值解yn
0.2
1.191818
0.4
1.358213
0.6
1.508966
0.8
1.649783
1.0
1.784770
化工应用数学第三章
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1. 尤拉(Euler)法
化工应用数学第三章
一般初值问题可表示为
各
种
y f (x, y) a x b (1.1)
数
y(x0 )
y0
(1.2)
值 解
法
其中f (x,y)是已知函数，(1.2)是定解条件也称为初值
条件。
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1. 尤拉(Euler)法
化工应用数学第三章
k2
k3 cA
: 求解cA
利用以前所学知识，进行积分可得：
c e c (k1k2 k3 )t
A
A0
求解这样的方程一般我们需要给定初值。
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例题：
化工应用数学第三章
一维均匀介质稳态导热问题。设其一端绝热，另一端恒
温为T1，则此问题模型可用一常微分方程边值问题来描述。
d (k dT ) 0 dx dx
y0
a xb
假定是 y(x) 初值问题的解，那么，把在节点 xi 附近展开
成Taylor级数，则
y(xi1 )
y(xi ) hy(xi )
h2 2
y( )
y(xi ) hf (xi , y(xi ))
h2 2
y( )
取前两项，并令 ui y(xi )
ui1 ui hf ( xi , ui )
2. 局部截断误差
定义 在假设ui y(xi) ,即第i步计算是精确的前提下，考虑的 截断误差 Ri y(xi1) ui1 称为局部截断误差。
定义 若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度。
尤拉法的局部截断误差：
Ri
y(xi1) ui1
[y(xi ) hf
(xi ,
n 等份
节点 xi a ihi ,一般取hi h( (b a) / n)
即等距，要计算出解函数y(x)在一系列节点
a x0 x1 ... xn b 处的近似值 u0 , u1,, un
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1. 尤拉(Euler)法
化工应用数学第三章
y f (x, y)
y(a)
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化工应用数学第三章
几何意义
过点 ( x0 , y0 ) 的曲线是解y( x)在 ( x0 , y0 )
作y( x) 的切线(斜率u1)与直线x x1交于P1点
再作切线（斜率u2）与直线x x2交于P2点
P2 P1
y y(x)
P0
x0 x 1 x 2
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1. 尤拉(Euler)法
化工应用数学第三章
例题：用尤拉法解下列方程组，取h=0.1。
y
y
2x y
(0 x 1),
y(0) 1.
解 取步长h=0.1，欧拉公式的具体形式为
yn1
源自文库
yn
h( yn
2 xn yn
)
已知y0 =1, 由此式可得
y1
y0
h( y0
2 x0 y0
) 1 0.1
常微分方程：其中只包含一个自变量的导数 的方程。
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化工应用数学第三章
例题：
A k1 P A k2 S A k3 T
r P
dc p dt
k1cA
rS
dcs dt
k2cA
rT
dcT dt
k3cA
r A
dcA dt
k1 k2
k3 cA
对于
r A
dcA dt
k1
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1. 尤拉(Euler)法
化工应用数学第三章
ui1 ui hf ( xi , ui )
依上述公式逐次计算可得：
u1 u0 hf (x0 , u0 ) u2 u1 hf (x1, u1) .. . un1 un hf (xn , un )
每步计算 un1只用到 un
dT
dx
x0 0,T (L) T1
由以上两例可以看出，初值问题和边值问题区别在于：前者
在自变量一端给定附加条件，后者在自变量两端附加条件。
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3.2、初值问题
1. 尤拉法（Euler） 2．局部截断误差 3．改进尤拉法 4. 龙格-库塔法 5. 常微分方程组 6. 步长的选择 7. 收敛性和稳定性 8. 线性多步法
yi )
h2 2
y(xi )][y(xi ) hf
(xi ,
yi )]
h2 2
y(xi ) O(h2 )
因此，尤拉法具有 1 阶精度。
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3. 改进的尤拉方法
化工应用数学第三章
显式尤拉公式
将y(xi+1) = y(xi+h)在 处Taylor展开
隐式尤拉公式
将y(xi+1) = y(xi+h)在 处Taylor展开
考虑一阶初值问题
：
y f (x, y) y(a) y0
a x b
弄清常微方程初值 问题数值解法的一 些基本概念和构造
方法的思路.
通过欧拉方法的讨论
最简单而直观实用方法
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1. 尤拉(Euler)法
化工应用数学第三章
把区间［a,b］ 分为n个小区间
步长为 hi (xi1 - xi )
显式法计算较简单，隐式法计算复杂，可以编程。
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3. 改进的尤拉方法
隐式尤拉公式
化工应用数学第三章
显式与隐式两类方法各有特点，考虑到数值稳 定性等其他因素，人们有时需要选用隐式方法，但 使用显式算法远比隐式方便。
隐式方程通常用迭代法求解，而迭代过程的实质 是逐步显式化。
准确解y(xn) 1.183216 1.341641 1.483240 1.612452 1.732051
误差 0.008602 0.016572 0.025726 0.037331 0.052719
与准确解 y 1 2x相比，可看出欧拉公式的计算结
果误差较大.
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化工应用数学第三章
化工应用数学第三章
第三章 常微分方程的数值解法
主要内容
§3.1、引言 §3.2、初值问题 §3.3、边值问题
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§3.1、引 言
化工应用数学第三章
1.什么是微分方程 ?
在化学工程中关于扩散、反应、传质、传热 和流体流动等问题的数学模型。
微分方程：是包含一个未知函数及其导数关 系的方程。