2018届苏锡常镇高三二模数学试卷

2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）

数学Ⅰ试题 2018.3

一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．

. 1.已知集合{1,1}A =-，{3,0,1}B =-，则集合A B =I ． 2.已知复数z 满足34z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z = ．

3.双曲线22

143

x y -=的渐近线方程为 ． 4.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n = ．

5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为 ．

6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．

7.若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为28cm ，则它的体积为 3

cm ． 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若242a a +=，241S S +=，则10a = ．

9.已知0a >，0b >，且23ab a b

+=，则ab 的最小值是 ． 10.设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知

tan 3tan A c b B b -=，则cos A = ．

11.已知函数,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩

（e 是自然对数的底）.若函数()y f x =的最小值是4，则实数a 的取值范围为 ．

12.在ABC ∆中，点P 是边AB

的中点，已知CP =u u u r 4CA =u u u r ，23

ACB π∠=，则CP CA ⋅=u u u r u u u r ． 13.已知直线l ：20x y -+=与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上，圆C ：22(2)2x y -+=上有且仅有一个点B 满足AB BP ⊥，则点P 的横坐标的取值集合为 ．

14.若二次函数2()f x ax bx c =++(0)a >在区间[1,2]上有两个不同的零点，则(1)f a

的取值范围为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.

已知向量,1)a α=r ，(1,sin())4

b πα=+r . （1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ⋅的值；

（2）若//a b ，求锐角α的大小.

16.如图，正三棱柱111ABC A B C -

，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱11A C ，AC 的中点，点D 是棱1CC 上靠近C 的三等分点.

求证：（1）1//B M 平面1A BN ；

（2）AD ⊥平面1A BN .

17.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>经过点1(3,)2，3)，点A 是椭圆的下顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.

18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中23AQC π∠=.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记(0)2

POB πθθ∠=<<.

（1）当3π

θ=时，求OPQ ∠的大小；

（2）当OPQ ∠越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值.

19.已知函数32

()f x x ax bx c =+++，()ln g x x =.

（1）若0a =，2b =-，且()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围；

（2）若3b =-，且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数.

①求实数a 的值；

②当2c =时，求函数(),()()()(),()()

f x f x

g x

h x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩的值域.

20.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，且123n n S a +=-*()n N ∈.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）对于正整数i ，j ，()k i j k <<，已知j a λ，6i a ，k a μ成等差数列，求正整数λ，μ的值；

（3）设数列{}n b 前n 项和是n T ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33

n --成立.求满足等式13

n n T a =的所有正整数n .

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数学Ⅱ（附加题）

21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A. 选修4-1：几何证明选讲

如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，且满足DA DC =.

（1）求证：2AB BC =；

（2）若2AB =，求线段CD 的长.

B. 选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

. （1）求矩阵AB ；

（2）若1151B A X --⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

，求a ，b 的值.

C. 选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆C 经过点(22,)4P π，圆心为直线sin()33π

ρθ-=-与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程. D. 选修4-5：不等式选讲

已知x ，y 都是正数，且1xy =，求证：22(1)(1)9x y y x ++++≥. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，2PD AD AB ==，点Q 为线段PA （不含端点）上一点.