知识讲解离散型随机变量的均值与方差(理)(基础)
高三概率(理：立足文科)
统计与概率专题（理科）【总知识脉络】概率概念随机事件必然事件不可能事件随机事件的概率等可能性事件的概率互斥事件互斥事件有一个发生的概率相互独立事件相互独立事件同时发生的概率计算频率与概率数理统计随机变量离散型随即变量随即变量的概率分布列数学期望方差连续型随即变量抽样方法系统抽样分层抽样简单随机抽样【知识梳理】一、离散型随机变量及其分布列、均值与方差1、随机变量、离散型随机变量的定义（1）随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母ξ、η等表示。
（2）离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．2、离散型随机变量的分布列：（1）定义：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x xX 取每一个值(1,2,)i x i =的概率()i i P x p ξ==，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列：（2）分布列性质：①0,1,2,i p i ≥= ；②12... 1.n p p p +++=3、两点分布与超几何分布（1）二点分布：如果随机变量X 的分布列为：其中01,1p q p <<=-，则称离散型随机变量X 服从参数p 的二点分布（2）超几何分布：一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取()n n N ≤件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为),2,1,0()(m k C C C k X P nNk n MN k M ===--， 其中{}min,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N∈≤≤4、※均值与方差※则称1122()n n E X x p x p x p =+++为X 的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量。
《离散型随机变量的均值》知识解读
《离散型随机变量的均值》知识解读1.离散型随机变量的均值的概念 一般地,若离散型随机变量X 的分布列为则称11221()ni i n n i i i E X x p x p x p x p x p ==+++++=∑为随机变量X 的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2.对离散型随机变量的均值的理解均值(数学期望)是随机变量的一个重要特征数,它反映了随机变量取值的平均水平.随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位.均值这一概念是建立在随机变量分布列的基础之上的,分布列中随机变量X 的一切可能值i x 与对应的概率()i P X x =的乘积的和就叫作随机变量X 的均值. 由于离散型随机变量X 的每一种可能取值的概率满足11ni i p ==∑,因而离散型随机变量X 的均值()E X 是以概率i p 为权数的加权平均.离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体上刻画随机变量的,但二者大有不同.分布列只给出了随机变量取所有可能值的概率,而均值建立在分布列的基础之上,它反映了随机变量取值的平均水平或集中位置. 3.随机变量的均值(数学期望)与平均数 对于n 个数()12121,,,,n n x x x x x x x n=+++为这n 个数的平均数.从随机变量的角度解决这个问题,设X 为从这n 个数中任取的一个数,则X 所有可能的取值便为12,,,n x x x .因为(P X =)1(1,2,,)i x i n ==,所以X 的分布列为1231111()n E X x x x x n n nn =⋅+⋅+⋅++⋅(2311)n x x x x n=++++.不难看出均值(数学期望)的定义是初中所学平均数定义的推广. 4.随机变量的均值与样本的平均值的区别和联系区别:随机变量的均值是一个常数,它不依赖样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它是随着样本的不同而变化的.联系:对于简单随机抽样,随着样本容量的增加,样本的平均值越来越接近总体的均值.因此,我们常用样本的平均值来估计总体的均值. 5.对随机变量均值的线性性质的理解如果Y aX b =+,其中X 是随机变量,,a b 是常数,随机变量X 的均值是()E X . (1)当0a =时,()E b b =,即常数的均值就是这个常数本身.(2)当1a =时,()()E X b E X b +=+,即随机变量X 与常数之和的均值等于X 的均值与这个常数之和.(3)当0b =时,()()E aX aE X =,即常数与随机变量X 乘积的均值等于这个常数与X 的均值的乘积. 公式证明:如果Y aX b =+,其中,a b 为常数,X 是随机变量,那么Y 也是随机变量.因为()(),1,2,3,,i i P Y ax b P X x i n =+===,所以Y 的分布列为于是()()()1122()n n E Y ax b p ax b p ax b p =++++++=()()112212()n n n a x p x p x p b p p p aE X b +++++++=+,即()()E aX b aE X b +=+.。
离散型随机变量的均值与方差
解答
(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差. 解 因为Y＝4X＋3， 所以EY＝4EX＋3＝2，DY＝42DX＝11.
解答
反思与感悟
方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量 X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式DX＝EX2－(EX)2不失为一 种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2DX.
＜ ，则
1
2
√A.Eξ1＜Eξ2，Dξ1＜Dξ2
B.Eξ1＜Eξ2，Dξ1＞Dξ2
C.Eξ1＞Eξ2，Dξ1＜Dξ2
D.Eξ1＞Eξ2，Dξ1＞Dξ2
解析 答案
4.若X～B(n，p)，且EX＝6，DX＝3，则P(X＝1)的值为
A.3×2－2
B.2－4
√C.3×2－10
D.2－8
解析 由题意知nnpp＝ 1－6，p＝3，
解答
本节小结：
1.离散型随机变量的均值和方差。 2.二项分布的均值和方差的计算公式。 3.运用均值和方差解决实际问题。
本课结束
可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生投资公司选择一个合理的项目，并说明
理由.
解答
课后巩固
1.随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P
a
bc
其中 a，b，c 成等差数列.若 EX＝31，则 DX 的值是
4 A.9
√B.59
2 C.3
类型一 求离散型随机变量的方差
命题角度1 已知分布列求方差 典例1 已知X的分布列如下：
X －1 0 1
(1)求X2的分布列；
P
1 2
1 4
a
解 由分布列的性质，知12＋14＋a＝1，故 a＝14，
专题68 离散型随机变量的均值与方差、正态分布(解析版)
专题68离散型随机变量的均值与方差、正态分布最新考纲1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．2.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．3.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单问题.基础知识融会贯通1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差称D (X )＝∑ni ＝1(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，并称其算术平方根D X 为随机变量X 的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )． 4．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x )22()2x μσ−−，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R )．我们称函数φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的特点①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态分布的定义及表示一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝ʃb aφμ，σ(x)d x，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682_6；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954_4；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997_4.重点难点突破【题型一】离散型随机变量的均值、方差命题点1求离散型随机变量的均值、方差【典型例题】X是离散型随机变量，E（X）＝6，D（X）＝0.5，X1＝2X﹣5，那么E（X1）和D（X1）分别是（）A．E（X1）＝12，D（X1）＝1 B．E（X1）＝7，D（X1）＝1C．E（X1）＝12，D（X1）＝2 D．E（X1）＝7，D（X1）＝2【解答】解：∵X是离散型随机变量，E（X）＝6，D（X）＝0.5，X1＝2X﹣5，∴E（X1）＝2E（X）﹣5＝12﹣5＝7，D（X1）＝4D（X）＝2．故选：D．【再练一题】已知袋子中装有若干个大小形状相同且标有数字1，2，3的小球，每个小球上有一个数字，它们的个数依次成等差数列，从中随机抽取一个小球，若取出小球上的数字X的数学期望是2，则X的方差是（）A．B．C．D．【解答】解：依题意，设2号小球有a个，1号有（a﹣d）个，三号有（a+d）个，则从中随机抽取一个小球，若取出小球上的数字X的分布列为：所以E（X）＝1232，解得d＝0，所以取出小球上的数字X的分布列为：所以E（X2）．∴D（X）＝E（X2）﹣E2（X））22．故选：B．命题点2已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值【典型例题】设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，4，P（X＝k）＝ak+b，又X的数学期望为E（X）＝3，则a ﹣b（）A．B．0 C．D．【解答】解：设离散性随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4，P（ξ＝k）＝ak+b（k＝1，2，3，4），∴（a+b）+（2a+b）+（3a+b）+（4a+b）＝1，即10a+4b＝1，又ξ的数学期望Eξ＝3，则（a+b）+2（2a+b）+3（3a+b）+4（4a+b）＝3，即30a+10b＝3，a，b＝0，∴a﹣b．故选：A．【再练一题】已知随机变量X～B（n，p），则E（X）＝2，D（X），则n＝，p＝．【解答】解：随机变量X﹣B（n，p），且E（X）＝2，D（X），可得np＝2，np（1﹣p），解得p．n＝8故答案为：8；．思维升华离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解．(2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值．(3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断．【题型二】均值与方差在决策中的应用【典型例题】2018年11月1日，习总书记在民营企业座谈会上指出，“我国民营经济只能壮大、不能弱化”．某民营企业计划投资引进新项目，项目一使用甲种机器生产A种产品；项目二使用乙种机器生产B种产品．甲种机器每台2万元，乙种机器每台1万元，当甲、乙两种机器出现故障时，它们每次的维修费用分别为2500元/台和1000元/台．该企业调查了甲、乙两种机器各200台一年内的维修次数，得到频数分布表如下：以这各200台甲、乙两种机器需要维修次数的频率分别代替1台相应机器需要维修次数的概率．（1）若该企业投入100万元购买甲种机器进行生产，求一年内该企业维修费用的数学期望；（2）该企业现有资金1110万元，计划只投资一个项目，其中100万元用于购买机器，并根据机器维修费用的均值预留维修费用，将其余资金作为生产专用资金全部投入生产．据统计：当投入项目一的生产专用资金为a万元时，生产A产品获利的概率是，且一年获利a万元；亏损的概率是，且一年亏损a万元．当投入项目二的生产专用资金为a万元时，生产B产品获利的概率是，且一年获利a万元；亏损的概率是，且一年亏损a万元．你认为该企业应投资哪个项目？请说明理由．【解答】解：（1）购买甲机器台数为50，一台甲机器一年需要维修一次的频率为0.8，不需要维修的频率为0.2．设一年内该企业维修费用为X，则EX＝50×0.8×2500＝100000元．即一年内该企业维修费用的数学期望为10万元．（2）若投资项目一，由（1）可知则预留维修费用为10万元，故投入生产专用资金为1000万元，设一年的利润为ξ万元，则ξ的可能取值为300，﹣100，且P（ξ＝300），P（ξ＝﹣100），∴Eξ＝300（﹣100）200．若投资项目二，则购买机器100台，则一年需要维修一次的机器频率为0.8，一年需要维修二次的频率为0.1，则需要预留的维修费用为1000×100×0.8+100×0.1×1000×2＝100000元＝10万元．故投入生产的专业资金为1000万元，设一年的利润为η万元，则η的可能取值有400，﹣200，且P（η＝400），P（η＝﹣200），∴Eη＝400（﹣200）200．D（ξ）＝（300﹣200）2（﹣100﹣200）230000，D（η）＝（400﹣200）2（﹣200﹣200）280000．故显然Eξ＝Eη，D（ξ）＜D（η）．∴投资两个项目的利润期望相等，但投资项目一风险更小，故选择投资项目一．【再练一题】某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案（2）规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元，该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅱ）随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；（Ⅱ）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案（1）的概率为，选择方案（2）的概率为．若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案（1）的概率；（Ⅲ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由．（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）【解答】（共13分）解：（Ⅰ）设事件A为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单”依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.2，0.15，0.05因为0.2+0.15+0.05＝0.4所以P（A）估计为0.4．（Ⅱ）设事件B为“甲、乙、丙三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）”设事件∁i为“甲乙丙三名骑手中恰有i（i＝0，1，2，3）人选择方案（1）”，则P（B）＝P（C2）+P（C3）所以三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）的概率为（Ⅲ）方法1：设骑手每日完成快递业务量为X件方案（1）的日工资，方案（2）的日工资所以随机变量Y1的分布列为所以EY1＝140×0.05+170×0.05+200×0.2+230×0.3+260×0.2+290×0.15+320×0.05＝236同理随机变量Y2的分布列为EY2＝100×0.1+130×0.2+180×0.3+230×0.2+280×0.15+330×0.05＝194.5因为EY1＞EY2，所以建议骑手应选择方案（1）方法2：快餐店人均日快递量的期望是：30×0.05+40×0.05+50×0.2+60×0.3+70×0.2+80×0.15+90×0.05＝62因此，方案（1）日工资约为50+62×3＝236方案2日工资约为100+（62﹣44）×5＝190＜236故骑手应选择方案（1）．思维升华随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．【题型三】正态分布的应用【典型例题】已知某批电子产品的尺寸服从正态分布N（1，4），从中随机取一件，其尺寸落在区间（3，5）的概率为（附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545）（）A．0.3174 B．0.2718 C．0.1359 D．0.0456【解答】解：由已知，得μ＝1，σ＝2，P （3＜X ＜5）＝P （μ+σ＜X ＜μ﹣σ）．故选：C ． 【再练一题】某市高三年级26000名学生参加了2019年3月模拟考试，已知数学考试成绩X ～N （100，σ2）．统计结果显示数学考试成绩X 在80分到120分之间的人数约为总人数的，则数学成绩不低于120分的学生人数约为 ．【解答】解：因为成绩X ～N （100，σ2），所以正态分布曲线关于X ＝100对称，又成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的，由对称性知：成绩不低于120分的学生约为总人数的（1），所以此次考试成绩不低于120分的学生约有26000＝3250故答案为：3250思维升华 解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x ＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x ＝0.基础知识训练1．设ξ是随机变量，且(5)20D ξ=，则()D ξ=（ ） A ．0.4 B ．0.8C ．4D ．20【答案】B 【解析】由题意得(5)25()20D D ξξ==， 所以20()0.825D ξ==． 故选B ．2．设随机变量(3,)B p ξ:，若19(1)27P ξ≥=，则D ξ=( ) A ．13B ．23C ．1D ．2【解析】解:03319(1)1(0)1(1)27P P C p ξξ≥=−==−−=，解得13p =，1223333D ξ∴=⨯⨯=，故选B.3．设随机变量X 服从二项分布，且期望()3E X =，其中15P =，则方差()53D X +等于( ) A ．15 B ．20C ．50D ．60【答案】D 【解析】因为满足随机变量X 服从二项分布，()13=n 5E x np =⇒ n=15 ()()145X 325=25npq=2515=6055D D x +=⨯⨯⨯故选：D4．已知随机变量X 的分布列如下表所示则()25E X −的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】由题得0.1+0.2+0,20.11,0.4,b b ++=∴=，所以()10.120.230.440.250.13E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以()()25252351E X E X −=−=⨯−=. 故选：A5．已知随机变量X 服从正态分布2()N μσ，，且(22)0.9544P X μσμσ<≤－＋＝，0().6826P X μσμσ<≤－＋＝ ，若41μσ＝，＝，则()56P X <<等于( )A ．0.1358B ．0.1359C ．0.2716D ．0.2718【答案】B因为随机变量X 服从正态分布2()N μσ，，且220.9544()P X μσμσ≤=<－＋，6(0.682)P X μσμσ≤=<－＋ ，41μσ==，所以()260.9544P X <≤=，(3)50.6826P X <≤=， 所以()26(3)0.954450.68260.2718P X P X <≤−=−<≤= 所以()560.271810.13592P X <<==⨯ 故选B.6．已知随机变量ξ服从正态分布()22018,(0)N σσ>，则(2018)P ξ<等于（ ）A ．11009B ．12018C ．14D ．12【答案】D 【解析】因为随机变量ξ服从正态分布()22018,(0)N σσ>，所以分布列关于2018ξ=对称，又所有概率和为1，所以1(2018)2P ξ<=. 故选D.7．已知随机变量i X 满足()1i i P X p ==，()01,1,2i i P X p i ==−=，若12112p p <<<，则（ ） A ．()()12E X E X < ， ()()12D X D X < B ．()()12E X E X > ， ()()12D X D X < C ．()()12E X E X < ， ()()12D X D X > D ．()()12E X E X > ， ()()12D X D X > 【答案】C 【解析】 依题意可知：由于12112p p <<<，不妨设1223,34p p ==.故121223,,34EX EX EX EX ==<,121223,,916DX DX DX DX ==>，故选C.8．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)内增大时（ ） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大【答案】A 【解析】由题意得11()01212222p p pE ξ−=⨯+⨯+⨯=−，所以当p 在(0,1)内增大时，()E ξ减少； 221()[0(1)][1(1)]2222p p p D ξ=−−⨯+−−⨯22132[2(1)]222p p p p −−++−−⨯=231()242p −−=， 所以当p 在(0,1)内增大时，()D ξ减少． 故选：A ．9．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在()0,1内增大时（ ） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大【答案】A 【解析】()1101212222p p pE ξ−=⨯+⨯+⨯=−p ∴在()0,1内增大时，()E ξ减小()22211011121222222p p p p p D ξ−⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+⨯+−+⨯+−+⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()221113114244p p p =−−+=−++ p ∴在()0,1内增大时，()D ξ减小本题正确选项：A10．已知离散型随机变量ξ的分布如下，若随机变量31ηξ=+，则η的数学期望为（ ）A ．3.2B ．3.4C ．3.6D ．3.8【答案】B 【解析】由题意，根据离散型随机变量的分布列的性质，可得0.421k k ++=，解得0.2k =， 所以数学期望为()00.410.420.20.8E ξ=⨯+⨯+⨯=，又由随机变量31ηξ=+，所以()3()130.81 3.4E E ηξ=+=⨯+=，故选B ．11．设01p <<，随机变量ξ的分布列为那么，当p 在(0,1)内增大时,()D ξ的变化是（ ） A ．减小 B ．增大 C ．先减小后增大 D ．先增大后减小 【答案】B 【解析】32()0121333p p p E ξ−=⨯+⨯+⨯= ()()()222322()0111213333p p p p D ξ−=−⨯+−⨯+−⨯=则()D ξ是在R 上的递增函数， 所以()D ξ是在(0,1)上的递增，故选B.12．在一次共有10000名考生的某市高二的联考中，这些学生的数学成绩ξ服从正态分布()2100N σ，，且()801000.4P ξ<=….若按成绩分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，应从120分以上的试卷中抽取（ ） A ．20份 B ．15份 C ．10份 D ．5份【答案】C 【解析】由题意，数学成绩ξ服从正态分布()2100N σ，，且()801000.4P ξ<=…，根据正态分布曲线的对称性，可得()8012020.40.8P ξ<=⨯=…， 所以1(120)(10.8)0.12P ξ>=−=，所以按成绩分层抽样抽取100份试卷时，应从120分以上的试卷中抽取1000.110⨯=份， 故选C ．13．有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用ξ表示取到次品的件数，则1ξ=的概率是_______；()E ξ=_______． 【答案】715 35【解析】11372107(1)15C C P C ξ===,根据题意ξ的所有取值为0,1,2；272107(0)15C P C ξ===，11372107(1)15C C P C ξ===，232101(2)15C P C ξ===，故()77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=.14．出租车司机从南昌二中新校区到老校区(苏圃路)途中有8个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是1.3则这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望为____ .（用分数表示） 【答案】83【解析】由题意可知，司机在途中遇到红灯数ξ服从于二项分布，即18,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴期望()18833E ξ=⨯=本题正确结果：8315．已知X 是服从正态分布2(,)N μσ的随机变量，设2~(1,)X N σ，(3)0.2P ξ≥=,则(11)P ξ−<<＝______．（用数字作答） 【答案】0.3 【解析】因为2~(1,)X N σ，(3)0.2P ξ≥=,所以(1)(3)0.2P P ξξ≤−=≥=，因此(13)1(3)(1)(11)0.322P P P P ξξξξ−<<−≥−≤−−<<===.故答案为0.316．已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：千克)服从正态分布(100,64)N .现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，则其中质量在区间(92,100)内的产品估计有________件. 附：若2(,)XN μσ，则()0.6826P X μσμσ−<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ−<<+≈.【答案】3413 【解析】 解:100,8μσ==，0.6826(92100)0.34132P X ∴<<==， ∴质量在区间(92,100)内的产品估计有100000.34133413⨯=件.17．东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如下表：（视样本频率为概率）（1）根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与期望 （2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）根据题意可得()111305525P ξ==⨯=，()13331251025P ξ==⨯⨯=，()123313225510104P ξ==⨯⨯+⨯=，()11327332251010525P ξ==⨯⨯+⨯⨯=，()31221134210105550P ξ==⨯⨯+⨯=，()21235251025P ξ==⨯⨯=，()111361010100P ξ==⨯=，ξ的分布列如下：()131711213031323334353632.825254255025100E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （2）当购进32份时，利润为()()2131324314830416252525⨯⨯+⨯−⨯+⨯−⨯ 107.5213.92 4.16125.6=++=， 当购进33份时，利润为()()()591313343248314163042410042525⨯⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯ 77.883012.96 3.84124.68=+++=，125.6124.68>可见，当购进32份时，利润更高.18．2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，根据性别分层，采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查．（1）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的100名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的22⨯列联表．请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中随机抽取4人，设这4人中选择“地理”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附参考公式及数据:22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++, 其中n a b c d =+++【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）由题意，抽取到男生人数为550100551000⨯=，女生人数为450100451000⨯=， 所以2×2列联表为：所以()2210045202510K 8.1289 6.63555457030⨯−⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为选择科目与性别有关．（2）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9名女生中有5人选择物理，4人选择地理，9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择地理的人数X 可为0，1，2，3，4． 设事件X 发生概率为P X （），则()4549C 5P X 0C 126===，()315449C C 40P X 1C 126===，()225449C C 60P X 2C 126===，()135449C C 20P X 3C 126===，()4449C 1P X 4C 126===．所以X 的分布列为：期望406020116EX 2341261261261269=+⨯+⨯+⨯=． 19．某大型工厂招聘到一大批新员工.为了解员工对工作的熟练程度，从中随机抽取100人组成样本，统计他们每天加工的零件数，得到如下数据：将频率作为概率，解答下列问题：(1)当15,25a b ==时，从全体新员工中抽取2名，求其中恰有1名日加工零件数达到240及以上的概率； (2)若根据上表得到以下频率分布直方图，估计全体新员工每天加工零件数的平均数为222个，求,,a b c 的值(每组数据以中点值代替)；(3)在(2)的条件下，工厂按工作熟练度将新员工分为三个等级：日加工零件数未达200的员工为C 级；达到200但未达280的员工为B 级；其他员工为A 级．工厂打算将样本中的员工编入三个培训班进行全员培训：A ，B ，C 三个等级的员工分别参加高级、中级、初级培训班，预计培训后高级、中级、初级培训班的员工每人的日加工零件数分别可以增加20，30，50．现从样本中随机抽取1人，其培训后日加工零件数增加量为X ，求随机变量X 的分布列和期望．【答案】（1）0.42；（2）5,30,20a b c ===；（3）=36EX 【解析】 （1）依题意1002153a b c −−==，故员工日加工零件数达到240及以上的频率为20.3100c=，所以相应的概率可视为0.3，设抽取的2名员工中，加工零件数达到240及以上的人数为Y ，则()2,0.3Y B ,故所求概率为()120.310.30.42C ⨯⨯−=.（2）根据后三组数据对应频率分布直方图的纵坐标为0.005，可知1000.00540c=，解得20c =，因此1002320b a =−−⨯，故根据频率分布直方图得到的样本平均数估计值为()100140180402220202602030020222100a a a ++⨯−+⨯+⨯+⨯=，解得5a =，进而30b =，故5,30,20a b c ===.(3)由已知可得X 的可能取值为20,30,50，且()()()200.2,300.4,500.4P X P X P X ======，所以X 的分布列为所以0.2200.4300.45036EX =⨯+⨯+⨯=.20．每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记X 表示抽到“很幸福”的人数,求X 的分布列及()E X ． 【答案】(Ⅰ)199204. (Ⅱ)见解析. 【解析】(Ⅰ)设事件{A =抽出的3人至少有1人是“很幸福”的}，则A 表示3人都认为不很幸福()()363185199111204204C P A P A C ∴=−=−=−=(Ⅱ)根据题意，随机变量23,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，X 的可能的取值为0,1,2,3 ()33110327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()2132121339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；()2232142339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；()333283327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 所以随机变量X 的分布列为：所以X 的期望()124801232279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 21．为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准（2014年修订）》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试（健康指数满分100分），并从中随机抽取了200名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计这200名学生健康指数的平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s . ①求(63.498.2)P X <<；②已知该市高三学生约有10000名，记体质健康指数在区间()63.4,98.2的人数为ξ，试求E ξ.1.16≈，若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.683P X μσμσ−<<+≈，(22)0.955P X μσμσ−<<+≈,(33)0.997P X μσμσ−<<+≈.【答案】（1）75，135；（2）①0.819；②8190. 【解析】（1）由频率分布直方图可知，各区间对应的频数分布表如下：∴()14555515654075758545952075200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=， ()()()()2222251540454575557565758575200200200200s =−⨯+−⨯+−⨯+−⨯()2209575135200+−⨯=.（2）①由（1）知X 服从正态分布()75,135N ，且11.6σ≈， ∴11(63.498.2)(-+2)=0.9550.6830.81922P X P X μσμσ<<=<<⨯+⨯=. ②依题意，ξ服从二项分布，即ξ～()410,0.819B ，则8190E np ξ==.22．每年圣诞节，各地的餐馆都出现了用餐需预定的现象，致使--些人在没有预定的情况下难以找到用餐的餐馆，针对这种现象，专家对人们“用餐地点"以及“性别”作出调查，得到的情况如下表所示:(1)完成上述列联表；(2)根据表中的数据，试通过计算判断是否有的把握说明“用餐地点”与“性别"有关；(3)若在接受调查的所有人男性中按照“用餐地点”进行分层抽样，随机抽取人，再在人中抽取人赠送餐馆用餐券，记收到餐馆用餐券的男性中在餐馆用餐的人数为，求的分布列和数学期望.附：【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】(1)所求的列联表如下：(2)在本次试验中故有的把握说明“用餐地点”与“性别”有关.(3)由题意可知的可能值为，的分布列为能力提升训练1．从一批次品率为0.02的产品中有放回地抽取100次，每次抽取一件产品，设表示抽到的次品件数，则方差__________．【答案】1.96 【解析】由题意可知,该事件满足独立重复试验,是一个二项分布模型,其中p=0.02,n=100,则 DX=npq=np(1-p) =100×0.02×0.98 =1.962．某篮球运动员罚篮命中率为0.75，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X 表示投进的次数，则()D X =______.【答案】9.375(75 / 8) 【解析】由于X 满足二项分布，故()()500.7510.759.375D X =⨯⨯−=. 3．设随机变量，且，则_____．【答案】 【解析】随机变量X ～N （1，σ2），可知随机变量服从正态分布且X ＝1是图象的对称轴，可知P （X ＜1）＝，又可知P （X ＜0）＝，则P （0＜X ＜1）＝．故答案为：．4．已知随机变量ξ服从正态分布(1,2)N ，则(23)D ξ+=_____. 【答案】8 【解析】随机变量ξ服从正态分布(1,2)N ，()2D ξ∴=， 则2(23)2()8D D ξξ+=⨯=． 故答案为：85．一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是______；若变量X 为取出的三个小球中红球的个数，则X 的数学期望______．【答案】 【解析】解：一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同． 现从中任意取出3个小球， 基本事件总数，其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数，其中恰有2个小球颜色相同的概率是；若变量X 为取出的三个小球中红球的个数，则X 的可能取值为0，1，2，，，，数学期望．故答案为：．6．2019年2月25日，第11届罗马尼亚数学大师赛（简称RMM）于罗马尼亚首都布加勒斯特闭幕，最终成绩揭晓，以色列选手排名第一，而中国队无一人获得金牌，最好成绩是获得银牌的第15名，总成绩排名第6.而在分量极重的国际数学奥林匹克（IMO）比赛中，过去拿冠军拿到手软的中国队，也已经有连续4年没有拿到冠军了.人们不禁要问“中国奥数究竟怎么了？”，一时间关于各级教育主管部门是否应该下达“禁奥令”成为社会热点.某重点高中培优班共50人，现就这50人“禁奥令”的态度进行问卷调查，得到如下的列联表：若采用分层抽样的方法从50人中抽出10人进行重点调查，知道其中认为不应下“禁奥令”的同学共有6人. （1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关？请说明你的理由；（2）现从这10人中抽出2名男生、2名女生，记此4人中认为不应下“禁奥令”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.参考公式与数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d−=++++【答案】（1）有99%的把握；（2）见解析. 【解析】（1）列联表补充如下：所以2K 的观测值，()2250201510530202525K ⨯⨯−⨯=⨯⨯⨯ 258.333 6.635,3=≈> 所以有99%的把握认为是否应该下“禁奥令”与性别有关.(2)由题意，可知在这10人中，男、女生各5人，其中男生有4人、女生有2人认为不应该下“禁奥令”，ξ所有可能取值有1,2,3,4.()1124132255121;100C C C P C C ξ=== ()2211114341232255422;100C C C C C C P C C ξ+===()1122114124232255403;100C C C C C C P C C ξ+=== ()2242225564.100C C P C C ξ=== 所以ξ的分布列是所以()12242340462.4100E ξ+⨯+⨯+⨯==（人）7．为了解某校今年高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的前三组的频率之比为1：2：3，其中体重在[50,55]的有5人.（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）从该校报考飞行员的体重在[65,75]学生中任选3人，设X 表示体重超过70kg 的学生人数，求X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)40;(2)见解析. 【解析】（1）设该校报考飞行员的人数为n , 前三个小组的频率分别为k ,2k ,3k , 则230.03050.02051k k k +++⨯+⨯=，解得：18k =，即第1组的频率为18.又5k n=，故40n = 即该校报考飞行员的总人数是40人.（2）由（1）知：这40人中体重在区间[]65,70的学生有400.03056⨯⨯=人， 体重超过70kg 的有400.02054⨯⨯=人 现从这10人中任选3人，则()306431020101206C C P X C ∴====，()216431060111202C C P X C ====，()1264310363212010C C P X C ====，()036431041312030C C P X C ====∴随机变量X 的分布列为()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.8．新个税法于2019年1月1日进行实施.为了调查国企员工对新个税法的满意程度，研究人员在A 地各个国企中随机抽取了1000名员工进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中4a b =.（Ⅰ）估计被调查的员工的满意程度的中位数；（计算结果保留两位小数）（Ⅱ）若按照分层抽样从[50,60)，[60,70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取4人，记分数在[60,70)的人数为X ，求X 的分布列与数学期望；（Ⅲ）以频率估计概率，若该研究人员从全国国企员工中随机抽取n 人作调查，记成绩在[60,70)，[90,100]的人数为X ，若() 2.2D X ≤，求n 的最大值. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）10 【解析】（Ⅰ）依题意，得()0.0080.0270.035101a b ++++⨯=，所以0.03a b +=. 又4a b =，所以0.024a =，0.006b =. 所以所求中位数为0.50.080.247075.140.035−−+≈.（Ⅱ）依题意，分数在[)50,60和[)60,70的员工分别被抽取了2人和6人， 所以X 的可能取值为2，3，4.()22264815327014C C P X C ====，()1326484043707C C P X C ====，()464815347014C P X C ====. 所以X 的分布列为所以()343234314714E X =⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）依题意，知3,10X B n ⎛⎫~ ⎪⎝⎭. 由() 2.2D X ≤，得()3721 2.21010100n D X n =⨯⨯=≤.解得10.5n ≤. 故所求的n 的最大值为10.9．2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：（1）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？（2）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求连续3天内，李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列和数学期望. 附：临界值表。
高中数学高考复习离散型随机变量的均值与方差(理)完美
EX)2 的期望，并称之为随机变量 X 的方差，记为 DX . 方差越小，则随机变量的取值就越 集中 在其均值周 围；反之，方差越大，则随机变量的取值范围就越 分散．
2．常见分布的均值与方差 (1)若 X 服从二点分布，则 EX＝ p ，DX＝ p(1－p) ； (2)若 X～B(n，p)，则 EX＝ np ，DX＝ np(1－p) ； (3)若 X 服从参数为 N，M，n 的几何分布，则 EX＝ nM N .
0.56<DX，乙稳定．
5．(2011· 上海理，9)马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的概率分布列如下表： x P(ξ＝x) 1 ？ 2 ！ 3 ？
请小牛同学计算 ξ 的数学期望，尽管“！”处完全无法看 清， 且两个“？”处字迹模糊， 但能断定这两个“？”处的数 值相同．据此，小牛给出了正确答案 Eξ＝________.
[答案]
2
[解析]
nM 4×5 EX＝ N ＝ 10 ＝2.
7．已知某运动员投篮命中率 p＝0.6. (1)求一次投篮命中次数 ξ 的均值； (2)求重复 5 次投篮时，命中次数 η 的均值．
[解析] (1)投篮一次，命中次数 ξ 的分布列为 ξ P 则 Eξ＝p＝0.6. (2)由题意，重复 5 次投篮，命中次数 η 服从二项分布， 即 η～B(5,0.6)．则 Eη＝5×0.6＝3. 0 0.4 1 0.6
课堂典例讲练
离散型随机变量的均值
[例 1]
袋中有同样的 5 个球， 其中 3 个红球， 2 个黄球，
现从中随机且不返回地摸球，每次摸 1 个，当两种颜色的球 都被摸到时，即停止摸球，记随机变量 X 为此时已摸球的次 数． (1)求随机变量 X 的概率分布列； (2)求随机变量 X 的均值． [分析] 解题的关键是确定随机变量的取值和应用排列
(完整word)讲离散型随机变量的均值与方差
第6讲离散型随机变量的均值与方差【2013年高考会这样考】1．考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．2．利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题．【复习指导】均值与方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，是高考在考查概率时考查的重点，复习时，要掌握期望与方差的计算公式，并能运用其性质解题．基础梳理1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n（1）均值称E(X）＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称D（X）＝为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根错误!为随机变量X的标准差．2．两点分布与二项分布的均值、方差（1)若X服从两点分布，则E（X)＝p，D(X)＝p(1－p）．(2）若X~B（n，p）,则E(X)＝np,D（X)＝np(1－p)．两个防范在记忆D（aX＋b)＝a2D（X)时要注意：D（aX＋b）≠aD(X）＋b，D（aX＋b）≠aD（X)．三种分布（1）若X服从两点分布，则E(X）＝p，D（X）＝p(1－p）;(2)X～B(n，p)，则E（X)＝np，D（X）＝np(1－p）;（3）若X服从超几何分布,则E（X）＝n错误!.六条性质（1)E（C）＝C（C为常数)（2)E（aX＋b）＝aE（X)＋b（a、b为常数）(3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2（4)如果X1,X2相互独立，则E(X1·X2）＝E（X1）E(X2）(5)D(X)＝E（X2）－(E（X)）2（6）D（aX＋b）＝a2·D（X）双基自测1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a，0,1，2,3.若该样本的平均值为1,则样本方差为( ）．A。
错误! B.错误! C.错误! D．2解析由题意知a＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a＝－1.s2＝－1－12＋0－12＋1－12＋2－12＋3－125＝2.答案D2．已知X的分布列为X－101P错误!错误!错误!设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为（)．A。
离散型随机变量的均值与方差
离散型随机变量的均值与方差介绍在概率论中，随机变量是描述随机实验结果的数学对象。
离散型随机变量是一种取有限或可数个值的随机变量。
本文将探讨离散型随机变量的均值与方差，以及它们在概率论和统计学中的重要性。
一、离散型随机变量的概念离散型随机变量是指其可能取值为有限或可数个的随机变量。
如投掷一枚骰子的结果可以表示为一个离散型随机变量，可能取值为1到6。
离散型随机变量的概率分布可以通过概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）进行描述。
二、离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值，也称为期望值，是对随机变量取值的加权平均。
它可以通过对随机变量的每个可能取值乘以相应的概率，然后求和得到。
2.1 期望值的计算公式设离散型随机变量X的取值为x1,x2,...,x n，对应的概率为p1,p2,...,p n，则随机变量X的期望值（均值）为：E(X) = x_1 * p_1 + x_2 * p_2 + ... + x_n * p_n期望值可以理解为随机变量在大量重复试验中的长期平均。
2.2 期望值的性质期望值具有以下性质： - 期望值是线性的，即对于常数a和随机变量X、Y，有E(aX + Y) = aE(X) + E(Y) - 如果X和Y相互独立，那么E(XY) = E(X)E(Y)三、离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差度量了随机变量取值的离散程度，是对随机变量的离散性的一种度量。
3.1 方差的计算公式设随机变量X的期望值为μ，它的方差可以通过以下公式计算：Var(X) = E((X - μ)^2) = (x_1 - μ)^2 * p_1 + (x_2 - μ)^2 * p_2 + ... + (x_n - μ)^2 * p_n方差的计算可以理解为对每个取值与期望值的差的平方再乘以相应的概率，然后进行加权求和。
3.2 方差的性质方差具有以下性质： - 方差是非负的，即Var(X) >= 0 - 方差的平方根称为标准差，标准差是对随机变量取值波动程度的一种度量 - 如果X和Y相互独立，那么Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)四、均值和方差的应用离散型随机变量的均值和方差在概率论和统计学中具有重要的应用。
第六节 离散型随机变量的均值与方差(知识梳理)
第六节 离散型随机变量的均值与方差复习目标 学法指导1.了解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些简单实际问题.求均值、方差的关键是求分布列.若已知分布列,则可直接按定义(公式)求解;若已知随机变量X 的均值、方差,求X 的线性函数y=aX+b 的均值、方差可直接利用性质求解;若能分析出随机变量服从常用的分布,可直接利用它们的均值、方差公式求解,但在没有准确判断出分布列模型之前,不能乱套公式.一、离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X 的分布列为P(X=x i )=p i ,i=1,2,3,…,n. (1)均值:称E(X)=x 1p 1+x 2p 2+…+x i p i +…+x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望.(2)方差:称D(X)= ()()21xniii E X p =-∑为随机变量X 的方差,其算术平方根()D X X 的标准差.二、均值与方差的性质1.E(aX+b)=aE(X)+b.2.D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).三、常用随机变量的均值1.两点分布:若,则E(X)=p.2.二项分布:若X～B(n,p),则E(X)=np.1.概念(公式)理解(1)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平.(2)均值的单位与随机变量的单位相同.(3)方差刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度.方差越小,则随机变量的取值就越集中在其均值周围;反之,方差越大,则随机变量的取值就越分散.(4)方差的单位是随机变量单位的平方.(5)方差是随机变量与其均值差的平方的均值,即D(X)是(X-E(X))2的期望.2.常用随机变量的方差(1)两点分布:若,则D(X)=p(1-p).(2)二项分布:若X～B(n,p),则D(X)=np(1-p).1.已知离散型随机变量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,则a,b 的值分别是( D )X -1 0 1 2(A)524,18(B)56,12(C)35,13(D)512,14解析:由分布列的性质可得a+b+c+112=1,①又可得E(ξ)=-a+c+2×112=-a+c+16=0,②D(ξ)=(-1-0)2a+(0-0)2b+(1-0)2c+(2-0)2×112=1,化简可得a+c+13=1,③ 联立②③可解得a=512,c=14,代入①可得b=14. 故选D.2.若随机变量ξ～B(n,p),E(ξ)=53,D(ξ)=109,则p 等于( A ) (A)13 (B)23 (C)25 (D)35解析:由题意可知,()()()5,3101,9E np D np p ξξ⎧==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩ 解方程组可得5,1.3n p =⎧⎪⎨=⎪⎩故选A.3.(2019·金色联盟联考)已知随机变量X 的分布列如下,若E(X)=0.5,则mn= ,D(X)= .解析:由题意知0.7,0.5m n m n +=⎧⎨-+=⎩⇒0.1,0.6,=⎧⎨=⎩m n 所以mn=0.06;D(X)=E(X 2)-(E(X))2=0.7-0.25=0.45. 答案:0.06 0.45考点一 离散型随机变量的均值与方差[例1] 设袋子中装有a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分. (1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若E(η)=53,D(η)=59,求a ∶b ∶c. 解:(1)由题意得ξ=2,3,4,5,6,故P(ξ=2)=3366⨯⨯=14, P(ξ=3)=23266⨯⨯⨯=13, P(ξ=4)=2312266⨯⨯+⨯⨯=518, P(ξ=5)=22166⨯⨯⨯=19, P(ξ=6)=1166⨯⨯=136. 所以ξ的分布列为ξ 23456P141351819136(2)由题意知η的分布列为η 123Pa ab c++b a b c++c a b c++所以E(η)=a a b c +++2b a b c +++3c a b c ++=53, D(η)=(1-53)2·a a b c +++(2-53)2·b a b c +++(3-53)2·c a b c ++=59. 化简得240,4110.a b c a b c --=⎧⎨+-=⎩ 解得a=3c,b=2c, 故a ∶b ∶c=3∶2∶1.(1)求离散型随机变量的均值与方差,可依题设条件求出随机变量的分布列,然后利用均值、方差公式直接求解;(2)由已知均值或方差求参数值,可依据条件利用均值、方差公式列含有参数的方程(组)求解;(3)注意随机变量的均值与方差的性质的应用. 考点二 与两点分布、二项分布有关的均值、方差[例2] 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的销售量低于50个的概率;(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列、期望E(X)及方差D(X).解:(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的销售量低于50个”,因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为P(X=0)=0C·(1-0.6)3=0.064,3P(X=1)=1C·0.6(1-0.6)2=0.288,3P(X=2)=2C·0.62(1-0.6)=0.432,3P(X=3)=3C·0.63=0.216.3分布列为X 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.216因为X～B(3,0.6),所以期望E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.若随机变量X服从二项分布,则求X的均值或方差可利用定义求解,也可直接利用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解.某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为25,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X≤3的概率;(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?解:(1)由已知得,小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为25,且两人中奖与否互不影响.记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A, 则事件A的对立事件为“X=5”,因为P(X=5)=23×25=415,所以P(A)=1-P(X=5)=1115,即这2人的累计得分X≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2).由已知可得,X1～B(2,23),X2～B(2,25),所以E(X1)=2×23=43,E(X2)=2×25=45,因此E(2X1)=2E(X1)=83,E(3X2)=3E(X2)=125.因为E(2X1)>E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.考点三均值与方差在决策中的应用[例3] 现有两种投资方案,一年后投资盈亏的情况如下:(1)投资股市:(2)购买基金:(1)当p=14时,求q的值;(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资,如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45,求p的取值范围;(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资,决定在“投资股市”和“购买基金”这两个方案中选择一种,已知p=12,q=16,那么丙选择哪种投资方案,才能使得一年后投资收益的数学期望较大?给出结果并说明理由.解:(1)因为“购买基金”后,投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种,且三种投资结果相互独立,所以p+13+q=1.又因为p=14,所以q=512.(2)记事件A为“甲投资股市且盈利”,事件B为“乙购买基金且盈利”,事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”,则C=A B∪A B ∪AB,且A,B独立.由题意可知P(A)=12,P(B)=p.所以P(C)=P(A B)+P(A B)+P(AB)=1 2p+12(1-p)+12p=1 2+12p.因为P(C)=12+12p>45,即p>35,且p≤23.所以35<p≤23.(3)假设丙选择“投资股市”方案进行投资,且记X为丙投资股市的获利金额(单位:万元),所以随机变量X的分布列为则E(X)=3×12+0×18+(-2)×38=34.假设丙选择“购买基金”方案进行投资,且记Y为丙购买基金的获利金额(单位:万元),所以随机变量Y的分布列为则E(Y)=2×12+0×13+(-1)×16=56.因为E(X)<E(Y),所以丙选择“购买基金”,才能使得一年后的投资收益的数学期望较大.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据,一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.张先生家住H小区,他工作在C科技园区,从家开车到公司上班路上有L1,L2两条路线(如图),L1路线上有A1,A2,A3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为12;L2路线上有B1,B2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为34,35.(1)若走L1路线,求最多遇到1次红灯的概率;(2)若走L2路线,求遇到红灯次数X的数学期望;(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线,并说明理由.解:(1)设走L1路线最多遇到1次红灯为事件A,则P(A)=03C×(12)3+13C×12×(1-12)2=12.所以走L1路线,最多遇到1次红灯的概率为12.(2)依题意,X的可能取值为0,1,2.P(X=0)=(1-34)×(1-35)=110,P(X=1)=34×(1-35)+(1-34)×35=920,P(X=2)=34×35=920.随机变量X的分布列为X 0 1 2P 110920920E(X)=110×0+920×1+920×2=2720.(3)设选择L1路线遇到红灯次数为Y,随机变量Y服从二项分布,Y～B(3,12),所以E(Y)=3×12=32.因为E(X)<E(Y),所以选择L2路线上班最好.分布列与数学期望[例题] 某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.解:(1)记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球},A2={从乙箱中摸出的1个球是红球},B1={顾客抽奖1次获一等奖},B2={顾客抽奖1次获二等奖},C={顾客抽奖1次能获奖}.由题意,A1与A2相互独立,A12A与1A A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A12A+1A A2,C=B1+B2.因为P(A1)=410=25,P(A2)=510=12,所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=25×12=15,①P(B2)=P(A12A+1A A2)=P(A12A)+P(1A A2)=P(A1)P(2A)+P(1A)P(A2)=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)=2 5×(1-12)+(1-25)×12=12.②故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=1 5+12=710.③(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为15,所以X～B(3,15).④于是P(X=0)=03C(15) 0(45)3=64125,P(X=1)=13C(15)1(45)2=48125,P(X=2)=23C(15)2(45)1=12125,P(X=3)=33C(15)3(45)0=1125.⑤故X的分布列为X 0 1 2 3P 6412548125121251125⑥X的数学期望为E(X)=3×15=35.⑦规范要求:步骤①②③④⑤⑥⑦应齐全,能利用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式求复杂事件的概率,能分析出离散型随机变量服从二项分布,进而利用公式求得相应概率,写出分布列,求出数学期望.温馨提示:步骤①②求P(B1),P(B2)时,需将B1,B2转化为可求概率事件的和或积;步骤④⑤,若随机变量服从二项分布,则利用独立重复试验概率公式求取各值的概率,否则,利用古典概型及独立事件概率乘法公式求出取各值的概率;步骤⑦求服从二项分布的随机变量的期望、方差,可直接利用定义求解,也可直接代入E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解.[规范训练] (2019·天津卷)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.解:(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故X～B(3,23),从而P(X=k)=3C k(23)k(13)3-k,k=0,1,2,3.所以随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P 1272949827随机变量X的数学期望E(X)=3×23=2.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y～B(3,23),且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立,从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=827×29+49×127=20243.类型一求方差1.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的不透明布袋中随机摸取一球,有放回地摸取5次,设摸得白球数为X,已知E(X)=3,则D(X)等于( B ) (A)85(B)65(C)45(D)25解析:由题意,X ～B(5,33+m ), 又E(X)=533⨯+m =3, 所以m=2,则X ～B(5,35), 故D(X)=5×35×(1-35)=65. 2.(2018·全国Ⅲ卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p 等于( B ) (A)0.7 (B)0.6 (C)0.4 (D)0.3解析:由题意可知,10位成员中使用移动支付的人数X 服从二项分布,即X ～B(10,p),所以DX=10p(1-p)=2.4, 所以p=0.4或0.6. 又因为P(X=4)<P(X=6),所以410C p 4(1-p)6<610C p 6(1-p)4,所以p>0.5,所以p=0.6.故选B.3.(2019·湖州三校4月联考)已知袋子中装有若干个大小形状相同且标有数字1,2,3的小球,每个小球上有一个数字,它们的个数依次成等差数列,从中随机抽取一个小球,若取出小球上的数字X 的数学期望是2,则X 的方差是( B )(A)13 (B)23 (C)83 (D)43解析:可以设小球的个数为a-d,a,a+d,故数字X 的分布列为:所以E(X)=1×3-a d a +2×13+3×3+a d a =623+a da =2,解得d=0,所以取出小球上的数字X 的分布列为:所以E(X 2)=2221233++=143. 所以D(X)=E(X 2)-E 2(X)=143-22=23. 故选B.4.(2019·绍兴柯桥模拟)随机变量ξ的取值为0,1,2,若P(ξ=0)=13,E(ξ)=1,则P(ξ=1)= ,D(ξ)= . 解析:可设p(ξ=1)=a,p(ξ=2)=b,则2,32 1.⎧+=⎪⎨⎪+=⎩a b a b 解得1,31.3⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩a b D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2=53-1=23. 答案:13 23类型二 求期望5.(2019·暨阳4月联考)已知随机变量ξ,η满足η=-ξ+8,若E(ξ)=6,D(ξ)=2.4,则E(η),D(η)分别为( C ) (A)E(η)=6,D(η)=2.4 (B)E(η)=6,D(η)=5.6(C)E(η)=2,D(η)=2.4 (D)E(η)=2,D(η)=5.6 解析:E(η)=E(-ξ+8)=-E(ξ)+8=2,D(η)=D(-ξ+8)=(-1)2D(ξ)=2.4. 故选C.6.(2019·嘉兴市高三上期末)已知随机变量ξ的分布列如下,则E(ξ)的最大值是( B )(A)-58 (B)-1564 (C)-14(D)-1964 解析:根据题意:1111,42410,2104⎧+++-=⎪⎪⎪+>⎨⎪⎪->⎪⎩a b a b ⇒a=b,a ∈(-12,14), E(ξ)=(-1)×14+0×(12+a)+a ×(14-a)=-(a-18)2-1564, 当a=18时,E(ξ)取到最大值为-1564. 故选B.7.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表:请小牛同学计算ξ的均值.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案E(ξ)= .解析:设“?”处的数值为x,则“!”处的数值为1-2x, 则E(ξ)=1×x+2×(1-2x)+3x=x+2-4x+3x=2. 答案:28.一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标有数字0,两个面上标有数字1,一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次,则向上的数之积的数学期望是 .解析:设向上的数之积为X,X 的可能取值为0,1,2,4,P(X=1)=2266⨯⨯=19, P(X=2)=211266⨯+⨯⨯=19, P(X=4)=1166⨯⨯=136, P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)-P(X=4)=1-936=34, 所以E(X)=0×34+1×19+2×19+4×136=49. 答案:49。
第十章 第十节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布(理)
3．正态分布密度函数满足的性质 ． (1)函数图像关于直线 x＝ 对称． 函数图像关于直线 ＝ 对称． (2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”． 的大小决定函数图像的“ ”“瘦 的大小决定函数图像的 (3)P(μ－σ<X<μ＋σ)＝ － ＋ ＝ P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝ － ＋ ＝ P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝ － ＋ ＝ 68.3% . 95.4% . 99.7% .
＋0× × (0＋ ＋
＋1× × )2×
＝－ ＋ (1＝0)＝ ＝ ＝ 答案： 答案：C
，故①③正确，②错误． ①③正确， 错误． 正确
4．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出 个球，以X表 ．从装有 个红球， 个白球的袋中随机取出2个球， 表 个红球 个白球的袋中随机取出 个球 示取得红球的个数， 示取得红球的个数，则P(X＝1)＝______________，EX ＝ ＝ ， ＝ ______________. 解析：由已知可得 ＝ ＝ 解析：由已知可得P(X＝0)＝ 0.6，P(X＝2)＝ ， ＝ ＝ 答案： 答案：0.6 1.2 ＝0.1，P(X＝1)＝ ， ＝ ＝ ＝
某市出租车的起步价为6元 行驶路程不超过 某市出租车的起步价为 元，行驶路程不超过3 km 时，租车费为6元，若行驶路程超过 km，则按每超出 租车费为 元 若行驶路程超过3 ，则按每超出1 km(不足 km也按 km计程 收费3元计费．设出租车一次行 不足1 也按1 计程)收费 元计费． 不足 也按 计程 收费 元计费 驶的路程数X(按整 数计算，不足 km的自动计为 km)是 的自动计为1 驶的路程数 按整km数计算 不足1 按整 数计算， 的自动计为 是 一个随机变量，则其收费也是一个随机变量． 一个随机变量，则其收费也是一个随机变量．已知一个司 机在某一天每次出车都超过了3 机在某一天每次出车都超过了 km，且一次的总路程数可 ， 能的取值是20、 、 、 、 、 能的取值是 、22、24、26、28、30 (km)，它们出现的概 ， 率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a2＋3a、4a. 率依次是 、 、 、 、 、
离散型随机变量的均值与方差_教案
离散型随机变量的均值与方差_教案第一章：离散型随机变量的概念1.1 离散型随机变量的定义介绍离散型随机变量的概念通过实例说明离散型随机变量的特点1.2 离散型随机变量的取值讨论离散型随机变量的取值范围解释离散型随机变量的概率分布1.3 离散型随机变量的概率质量函数定义概率质量函数（PMF）示例说明如何计算离散型随机变量的概率第二章：离散型随机变量的均值2.1 离散型随机变量的均值定义引入离散型随机变量的均值概念解释均值的意义和重要性2.2 计算离散型随机变量的均值介绍计算离散型随机变量均值的方法通过实例演示如何计算均值2.3 均值的性质讨论离散型随机变量均值的性质证明均值的线性性质第三章：离散型随机变量的方差3.1 方差的概念引入方差的概念和意义解释方差在描述随机变量离散程度方面的作用3.2 计算离散型随机变量的方差介绍计算离散型随机变量方差的方法通过实例演示如何计算方差3.3 方差的性质讨论离散型随机变量方差的性质证明方差的线性性质第四章：离散型随机变量的标准差4.1 标准差的概念引入标准差的概念和意义解释标准差在描述随机变量离散程度方面的作用4.2 计算离散型随机变量的标准差介绍计算离散型随机变量标准差的方法通过实例演示如何计算标准差4.3 标准差的性质讨论离散型随机变量标准差的性质证明标准差的线性性质第五章：离散型随机变量的期望和方差的关系5.1 期望和方差的关系引入期望和方差的关系概念解释期望和方差在描述随机变量特性方面的作用5.2 计算离散型随机变量的期望和方差介绍计算离散型随机变量期望和方差的方法通过实例演示如何计算期望和方差5.3 期望和方差的性质讨论离散型随机变量期望和方差的性质证明期望和方差的线性性质这五个章节涵盖了离散型随机变量的均值和方差的基本概念、计算方法和性质。
通过这些章节的学习，学生可以掌握离散型随机变量的均值和方差的计算方法，并了解它们在描述随机变量特性和规律方面的应用。
2023年高考数学(理科)一轮复习—— 离散型随机变量的均值与方差
P(X＝100)＝21×14×14＝312，
∴X 的分布列为
X 20 40 50 70 100
P
3 8
9 32
1 8
3 16
1 32
∴E(X)＝20×38＋40×392＋50×18＋70×136＋100×312＝1465.
索引
考点二 二项分布的均值与方差
例2 (2021·东北三省三校联考)随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一 种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.
第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布
考试要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算 简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
话费，求 X 的分布列与数学期望.
索引
解 ①由题意知 P(ξ<μ)＝P(ξ≥μ)＝12，获赠话费 X 的可能取值为 20，40，50，
70，100， P(X＝20)＝12×34＝38，P(X＝40)＝21×34×34＝392，
P(X＝50)＝12×14＝18，P(X＝70)＝21×34×14＋12×14×43＝136，
索引
P(X＝4)＝1304＝1080100. 故 X 的分布列为
X0
1
2
3
4
P
2 401 10 000
1 029 2 500
1 323 5 000
189 2 500
81 10 000
故 E(X)＝0×120400010＋1×12 052090＋2×15 302030＋3×2158090＋4×1080100 ＝65或E（X）＝4×130＝65.
24离散型随机变量的均值与方差
26离散型随机变量的均值与方差【知识要点】1.数学期望:则称=ξE +11p x 22…n n … 为的数学期望，简称期望2.期望的意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
3.平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …1n n p ==，=ξE +1(x +2x …1)n n x +⨯，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。
4.期望的一个性质：若b a +=ξη，则b aE b a E +=+ξξ)(5.方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分 别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋… 称为随机变量ξ 的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．6.标准差：ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ7.方差的意义：它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；8.方差的性质：①ξξD a b a D 2)(=+；②22)(ξξξE E D -= .9. 二点分布的期望与方差 EX p =，()1DX p p =- 9.求二项分布的期望与方差的方法：若(),B n p ξ（1）定义法（2），（2）结论E np ξ= ，()1D np p ξ=- 10.求超几何分布的期望与方差的方法：若():,,X H n M N（1）定义法（2）， （2）结论()M E X n N =⨯ ，1()111nMM n D X NN N -⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭11.几何分布的期望和方差的方法：若(),g k p 1k q p -=，其中0,1,2k =，…，（1）定义法（2）结论 1E p ξ=，21pD pξ-=. 题型一：概念性质1.已知A 、B 射手射击所得环数ξ的分布列分别如下ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.01 0.14 0.04 0.09 0.30 0.19 0.23A 、B 射手中哪个射手射击水平好2.[2014·浙江卷] 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1，2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1，2)；(b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1，2)．则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)3.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差；1.5，2.75.(2)若η＝a ξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值．⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，4.袋中有红球4个、黄球2个，（1）有放回地抽取两个球，取得红球的个数的期望和方差；（2）不放回地抽取两个球，取得红球的个数的期望和方差；（3）每次任取一个，不放回地抽取两个球，取得红球的个数的期望和方差；5.A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是321,,A A A ，B 队队员是321,,B B B ，ξ，η （1）求ξ，η的概率分布；（2）求ξE ，ηE 15233=-=ξηE E题型二：超几何分布1.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望和方差分别是题型三：二项分布问题1.某灯泡厂生产大批灯泡，其次品率为1.5%，从中任意地陆续取出100个，则其中正品数X 的均值 为 个，方差为 ．2.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得3分，不作出选择或选错不得分，学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，则学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球3次的得分ξ的数学期望和方差．题型四：停止型问题1.某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是31，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立． （1）求该学生考上大学的概率．（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．2.甲乙两人轮流投篮直至某人投中为止，已知甲投篮每次投中的概率为0.4，乙每次投篮投中的概率为0.6，各次投篮互不影响，设甲投篮的次数为ξ，若乙先投，且两人投篮次数之和不超过4次，求ξ的分布列及数学期望．3.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数ξ的期望（结果保留三个有效数字）题型五：综合问题1.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km 时租车费为10元，若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足lkm 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η (Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为求所收租车费η的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：(Ⅰ)依题意得η=2(ξ-4)十10，即η=2ξ+2；(Ⅱ)=ξE 4.161.0183.0175.0161.015=⨯+⨯+⨯+⨯∵ η=2ξ+2∴ =ηE 2E ξ+2=34.8 （元）故所收租车费η的数学期望为34.8元．(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5⨯(18-15)=15，所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟 2.（2013大纲）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判. （I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望.3. （2013课标1）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。
离散型随机变量的均值与方差_教案
离散型随机变量的均值与方差_教案第一章：离散型随机变量的概念1.1 离散型随机变量的定义介绍离散型随机变量的概念举例说明离散型随机变量1.2 离散型随机变量的概率分布概率分布的定义概率分布的性质概率分布的图形表示1.3 离散型随机变量的期望值期望值的定义期望值的计算方法期望值的意义第二章：离散型随机变量的均值2.1 离散型随机变量的均值的概念均值的定义均值的意义2.2 离散型随机变量的均值的计算方法均值的计算公式均值的计算步骤2.3 离散型随机变量的均值的性质均值的性质1：线性性质均值的性质3：单调性第三章：离散型随机变量的方差3.1 离散型随机变量的方差的概念方差的定义方差的意义3.2 离散型随机变量的方差的计算方法方差的计算公式方差的计算步骤3.3 离散型随机变量的方差的性质方差的性质1：非负性方差的性质2：对称性方差的性质3：单调性第四章：离散型随机变量的协方差4.1 离散型随机变量的协方差的概念协方差的定义协方差的意义4.2 离散型随机变量的协方差的计算方法协方差的计算公式协方差的计算步骤4.3 离散型随机变量的协方差的性质协方差的性质1：线性性质协方差的性质3：对称性第五章：离散型随机变量的相关系数5.1 离散型随机变量的相关系数的定义相关系数的定义相关系数的意义5.2 离散型随机变量的相关系数的计算方法相关系数的计算公式相关系数的计算步骤5.3 离散型随机变量的相关系数的性质相关系数的性质1：取值范围相关系数的性质2：单调性相关系数的性质3：对称性第六章：离散型随机变量的标准化6.1 离散型随机变量标准化的概念标准化的定义标准化的意义6.2 离散型随机变量的标准化方法标准化的计算公式标准化的计算步骤6.3 离散型随机变量标准化后的性质标准化后的分布标准化后的期望值和方差第七章：离散型随机变量的均值的估计7.1 离散型随机变量均值估计的概念均值估计的定义均值估计的意义7.2 离散型随机变量均值的点估计点估计的定义点估计的计算方法7.3 离散型随机变量均值的区间估计区间估计的定义区间估计的计算方法第八章：离散型随机变量的方差的估计8.1 离散型随机变量方差估计的概念方差估计的定义方差估计的意义8.2 离散型随机变量方差的点估计点估计的定义点估计的计算方法8.3 离散型随机变量方差的区间估计区间估计的定义区间估计的计算方法第九章：离散型随机变量的协方差的估计9.1 离散型随机变量协方差估计的概念协方差估计的定义协方差估计的意义9.2 离散型随机变量协方差的点估计点估计的定义点估计的计算方法9.3 离散型随机变量协方差的区间估计区间估计的定义区间估计的计算方法第十章：离散型随机变量的相关系数的估计10.1 离散型随机变量相关系数估计的概念相关系数估计的定义相关系数估计的意义10.2 离散型随机变量相关系数的点估计点估计的定义点估计的计算方法10.3 离散型随机变量相关系数的区间估计区间估计的定义区间估计的计算方法重点和难点解析重点环节1：离散型随机变量的期望值和方差的计算方法。
专题72 离散型随机变量的期望与方差(理)(解析版)
专题72 离散型随机变量的期望与方差（理）专题知识梳理1. 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的概率分布为(1)均值称E (X )=x 1p 1+x 2p 2+…+x i p i +…+x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差称V (X )=为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，V (X )越小，稳定性越高，波动性越小，其算术平方根为随机变量X 的标准差.2. 均值与方差的性质 (1)E (aX+b )=aE (X )+b.(2)V (aX+b )=a 2V (X ). (a ，b 为常数)3. 两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差 (1)若X 服从两点分布，则E (X )= p ，V (X )=p (1−p ).(2)若X 服从二项分布，即X~B (n ，p )，则E (X )=np ，V (X )=np (1−p ). (3)若X 服从超几何分布，即X ～H (n ，M ，N )时，E (X )＝__nMN __．考点探究考向1 离散型随机变量的均值与方差【例】（2016·苏锡常镇二调）一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球， 每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止． （1）求恰好摸4次停止的概率；21[-E()]ni i i x X p =∑（2）记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的概率分布与数学期望．【解析】（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则2231319()444256P C =⨯⨯⨯=．所以恰好摸4次停止的概率为9256.（2）由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3.044381(=0)()4256P C =⨯=X ， 1341327(=1)()()4464P C =⨯⨯=X ， 22241327(=2)()()44128P C =⨯⨯=X ， 81272713(=3)125664128256P =---=X ， X 的分布列为所以E (X )＝8127271315012325625625625632⋅+⋅+⋅+⋅=. 题组训练1.某学校组建了由2名男选手和n 名女选手组成的“汉字听写大会”集训队，每次参赛均从集训队中任意选派2名选手参加省队选拔赛.(1) 若n ＝2，记某次选派中被选中的男生人数为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布和数学期望； (2) 若n ≥2，该校要参加三次“汉字听写大会”，每次从集训队中选2名选手参赛，求n 为何值时，三次比赛 恰有一次参赛学生性别相同的概率取得最大值. 【解析】(1) 当n ＝2时，X 可能的取值为0，1，2.P (X ＝0)＝＝，P (X ＝1)＝＝，P (X ＝2)＝＝，则随机变量X 的概率分布如下表：所以E (X )＝0×+1×+2×＝1.∴022224C C C ⋅16112224C C C⋅23022224C C C ⋅16162316(2) 一次参加比赛全是男生或全是女生的概率为P ＝＝. 三次比赛恰有一次参赛学生性别相同的概率为f (P )＝P (1−P )2＝3P 3−6P 2+3P ， 则f '(P )＝9P 2−12P +3＝3(P −1)(3P −1)，易知当P ＝时，f (P )取得最大值，所以＝，解得n ＝2.2.某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球、乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全相同)，每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球．若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m 元；若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n 元．活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止．(1)如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n 元的概率；(2)若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由．【解析】(1)设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元为事件M .则P (M )＝13×34＝14，即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元的概率为14.(2)参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：①先在甲箱中摸球，参与者获奖金x 可取0，m ，m ＋n ，则P (x ＝0)＝34，P (x ＝m )＝14×23＝16，P (x ＝m ＋n )＝14×13＝112，E (x )＝0×34＋m ×16＋(m ＋n )×112＝m 4＋n12.②先在乙箱中摸球，参与者获奖金h 可取0，n ，m ＋n ，则P (h ＝0)＝23，P (h ＝n )＝13×34＝14，P (h ＝m ＋n )＝13×14＝112，E (h )＝0×23＋n ×14＋(m ＋n )×112＝m 12＋n3. E (x )－E (h )＝2m －3n 12.故当m n ＞32时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当m n ＝32时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当m n ＜32时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．考向2 均值与方差的性质的应用【例】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n=1，2，3，4).现从袋中任取一个球，X 表示所取球的标号. (1)求X 的概率分布、均值和方差；(2)若Y=aX+b ，E (Y )=1，V (Y )=11，试求a ，b 的值.22222C C C ++nn 22-232+++n n n n 13C 1322-232+++n n n n 13【解析】(1)由题意知X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，则P (X=0)==，P (X=1)==，P (X=2)==，P (X=3)==，P (X=4)==.故X 的概率分布为所以E (X )=0×+1×+2×+3×+4×=1.5. V (X )=(0−1.5)2×+(1−1.5)2×+(2−1.5)2×+(3−1.5)2×+(4−1.5)2×=2.75.(2)由V (Y )=a 2V (X )，得a 2×2.75=11，即a=±2.又E (Y )=aE (X )+b ，所以当a=2时，由1=2×1.5+b ，得b=−2. 当a=−2时，由1=−2×1.5+b ，得b=4. 故或 题组训练1.设随机变量X 的概率分布为P (X=k )=，k=1，2，3，4，5. 求E (X+2)2，V (2X−1). 【解析】因为E (X )=1×+2×+3×+4×+5×==3，E (X 2)=1×+22×+32×+42×+52×=11，V (X )=(1−3)2×+(2−3)2×+(3−3)2×+(4−3)2×+(5−3)2×=×(4+1+0+1+4)=2，故E (X+2)2=E (X 2+4X+4)=E (X 2)+4E (X )+4=11+12+4=27， V (2X−1)=4V (X )=8.考向3 离散型随机变量期望与方差的应用【例】购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1－4100.999.110120C C 1211120C C 12012120C C 11013120C C 32014120C C 15121201103201512120110320152-2a b =⎧⎨=⎩，-24.a b =⎧⎨=⎩，1515151515151551515151515151********5(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)．【解析】各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10000人中出险的人数为ξ，则ξ～B(104，p)．(1)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则A发生当且仅当ξ＝0，P(A)＝1－P(A)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)104，又P(A)＝1－0.999104，故p＝0.001.(2)该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出10000ξ＋50000.盈利η＝10000a－(10000ξ＋50000)，盈利的期望为E(η)＝10000a－10000E(ξ)－50000，由ξ～B(104，10－3)知，E(ξ)＝10000×10－3，E(η)＝104a－104E(ξ)－5×104＝104a－104×104×10－3－5×104.E(η)≥0⇔104a－104×10－5×104≥0⇔a－10－5≥0⇔a≥15(元)．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．题组训练1.因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案第一年与第二年相互独立，令ξi(i＝1，2)表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．(1)写出ξ1、ξ2的分布列；(2)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大？【解析】(1)ξ1的所有取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25，ξ2的所有取值为0.8、0.96、1.0、1.2、1.44.ξ1、ξ2的分布列分别为：(2)令A 、B P (A )＝0.15＋0.15＝0.3， P (B )＝0.24＋0.08＝0.32.可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大． (3)令η表示方案i 的预计利润，则所以E (η1)＝14.75，E (η2)＝14.1，可见，方案一的预计利润更大．2.一个摸球游戏，规则如下:在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球.参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次.参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球:当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次、2次、3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍、1倍、k 倍的奖励(k ∈N *)，且游戏费仍退还给参加者.记参加者玩1次游戏的收益为X 元.(1) 求概率P (X=0)的值；(2) 为使收益X 的数学期望不小于0元，求k 的最小值.【解析】(1) 事件“X=0”表示“有放回地摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，则P (X=0)=3×16×(56)2=2572.(2) 由题意得，X 的可能值为k ，−1，1，0，且P (X=k )=(16)3=1216，P (X=−1)=(56)3=125216，P (X=1)=3×(16)2×56=572，P (X=0)=3×16×(56)2=2572，结合(1)知，参加游戏者的收益X 的数学期望为 E (X )=k×1+(−1)×125+1×5+0×25=k -110(元)， 为使收益X 的数学期望不小于0元，所以k ≥110，即k min =110. 故k 的最小值为110.3.某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A 、B 两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于3的获得A 奖品，抛掷点数不小于3的获得B 奖品．(1)求这5名幸运之星中获得A 奖品的人数大于获得B 奖品的人数的概率；(2)设X 、Y 分别为获得A 、B 两种奖品的人数，并记ξ＝||X －Y ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 【解析】这5名幸运之星中，每人获得A 奖品的概率为26＝13，B 奖品的概率为46＝23.(1)要获得A 奖品的人数大于获得B 奖品的人数，则A 奖品的人数可能为3，4，5，则所求概率为P ＝C 35(13)3(23)2＋C 45(13)4(23)＋C 55(13)5＝51243. (2)ξ的可能取值为1，3，5，且P(ξ＝1)＝C 35(13)3(23)2＋C 25(13)2(23)3＝4081，P(ξ＝3)＝C 45(13)4(23)＋C 15(13)(23)4＝1027，P(ξ＝5)＝C 05(23)5＋C 55(13)5＝1181，所以ξ的分布列是：故随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝1×4081＋3×1027＋5×1181＝18581.。
考点五十六 离散型随机变量的均值与方差(理)
考点五十六 离散型随机变量的均值与方差(理)知识梳理1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)D (X )＝∑ni ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差． 2．二项分布的均值、方差若X ～B (n ，p )，则EX ＝np ，DX ＝np (1－p )． 3．两点分布的均值、方差若X 服从两点分布，则EX ＝p (p 为成功概率)，DX ＝p (1－p )． 4．离散型随机变量均值与方差的性质E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X ) (a ，b 为常数)．典例剖析题型一 离散型随机变量的均值与方差 例1 已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝答案32解析 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1510＝32.变式训练 随机变量ξ的分布列如下，其中a 、b 、c 为等差数列，若Eξ＝13，则Dξ的值为( )A ．49B ．59C ．13D ．23答案 B解析 由分布列得a ＋b ＋c ＝1，① 由期望E (ξ)＝13得－a ＋c ＝13，②由a 、b 、c 为等差数列得2b ＝a ＋c ，③ 由①②③得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴Dξ＝16×169＋13×19＋12×49＝59.解题要点 如果已知两边一角或是两角一边解三角形时，通常用正弦定理． 题型二 二项分布的均值与方差例2 (2015广东理)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________. 答案 13解析 依题意可得E (X )＝np ＝30，且D (X )＝np (1－p )＝20，解得p ＝13.变式训练 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的均值为( ) A ．100 B ．200 C ．300 D ．400 答案 B解析 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以Eξ＝1 000×0.1＝100， 而X ＝2ξ，故EX ＝E (2ξ)＝2Eξ＝200.例3 (2013·福建节选)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？解析 设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的均值为E (3X 2)．由已知可得，X 1～B (2，23)，X 2～B (2，25)，所以EX 1＝2×23＝43，EX 2＝2×25＝45，从而E (2X 1)＝2EX 1＝83，E 3X 2＝3EX 2＝125，因为E (2X 1)>E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．方法二 设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1，X 2的分布列如下：所以EX 1＝0×19＋2×49＋4×49＝83，EX 2＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为EX 1>EX 2，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．解题要点 求随机变量X 的均值与方差时，可首先分析X 是否服从二项分布，如果X ～B (n ，p )，则用公式E (X )＝np ；D (X )＝np (1－p )求解，可大大减少计算量． 题型三 离散型随机变量的均值与方差有关的应用题例4 (2015安徽理)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)． 解析 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ．P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200，300，400.P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610.故X 的分布列为E (X )＝200×110＋300×310＋400×610＝350.变式训练 (2015四川理)某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人．女生中随机抽取3人组成代表队． (1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率．(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期望．解析 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名，参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100，因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为 1－1100＝99100. (2)根据题意，X 的可能取值为1，2，3，P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15，所以X 的分布列为因此，X 的数学期望为E (X )＝1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.解题要点 求离散型随机变量ξ的均值与方差的方法： (1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值的定义求E (ξ)； (5)由方差的定义求D (ξ)．当堂练习1．(2015安徽理)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )A ．8B ．15C ．16D ．32 答案 C解析 已知样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ＝8，则s 2＝64，数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22s 2＝22×64，所以其标准差为22×64＝2×8＝16，故选C ． 2．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的均值Eξ＝8.9，则y A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.9 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝17x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝8.9可得y ＝0.4.3. 设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝15(k ＝2，4，6，8，10)则Dξ等于( )A ．8B ．5C ．10D ．12 答案 A解析 Eξ＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，Dξ＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.4．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X 的均值为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4答案 C解析 X 的所有可能取值为3，2，1，0，其分布列为∴EX ＝3×0.6＋2×0.245．(2014·高考浙江卷)随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________．答案 25解析 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.课后作业一、 选择题1．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，一人的上班途中有3个交通岗，则此人遇红灯的次数的期望为( )A ．0.4B ．1.2C ．0.43D ．0.6 答案 B解析 ∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3，0.4)，∴E (X )＝3×0.4＝1.2. 2．若ξ是离散型随机变量，η＝3ξ＋2，则( )A ．E (η)＝3E (ξ)＋2，D (η)＝9D (ξ)B ．E (η)＝3E (ξ)，D (η)＝9D (ξ)C ．E (η)＝3E (ξ)＋2，D (η)＝9D (ξ)＋2 D ．E (η)＝3E (ξ)，D (η)＝9D (ξ)＋4 答案 A3．签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为( )A ．5B ．5.25C ．5.8D ．4.6 答案 B解析 由题意可知，X 可以取3，4，5，6， P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝12.由数学期望的定义可求得E (X )＝3×120＋4×320＋5×310＋6×12＝5.25.4．若随机变量ξ的分布列如下表，则E (ξ)的值为( )A ．118B ．19C ．209D ．920答案 C解析 根据概率和为1求出x ＝118，E (ξ)＝0×2x ＋1×3x ＋2×7x ＋3×2x ＋4×3x ＋5×x ＝40x＝209. 5．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为：A ．甲B ．乙C ．甲、乙均可D ．无法确定 答案 A解析 E (ξ1)＝E (ξ2)＝1.1，D (ξ1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D (ξ2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69， ∴D (ξ1)<D (ξ2)，即甲比乙得分稳定，选甲参加较好，故选A ．6．袋中装有大小完全相同，标号分别为1，2，3，…，9的九个球．现从袋中随机取出3个球．设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3，4和4，5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的均值Eξ为( ) A ．16 B ．13 C ．12 D ．23答案 D解析 依题意得，ξ的所有可能取值是0，1，2. 且P (ξ＝0)＝C 37C 39＝512，P (ξ＝1)＝C 27·A 22C 39＝12，P (ξ＝2)＝C 17C 39＝112，因此Eξ＝0×512＋1×12＋2×112＝23.7．袋中装有大小完全相同，标号分别为1，2，3，…，9的九个球．现从袋中随机取出3个球．设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3，4和4，5，此时ξ的值是2)．则随机变量ξ的数学期望E (ξ)为( ) A ．16B ．13C ．12D ．23答案 D解析 依题意得，ξ的所有可能取值是0，1，2，且P (ξ＝0)＝C 37C 39＝512，P (ξ＝1)＝C 27·A 22C 39＝12，P (ξ＝2)＝C 17C 39＝112，因此E (ξ)＝0×512＋1×12＋2×112＝23.二、填空题8．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分．没有击中记0分，某人每次击中目标的概率为23，此人得分的数学期望与方差分别为________．答案 202003解析 记此人三次射击击中目标η次得分为ξ分， 则η～B ⎝⎛⎭⎫3，23，ξ＝10η， ∴E (ξ)＝10E (η)＝10×3×23＝20，D (ξ)＝100D (η)＝100×3×23×13＝2003.9．篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X 的均值是________． 答案 0.7解析 EX ＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.10．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分，某人每次击中目标的概率为23，此人得分的数学期望与方差分别为________．答案 202003解析 记此人三次射击击中目标η次得分为ξ分，则η～B ⎝⎛⎭⎫3，23，ξ＝10η，∴ E (ξ)＝10E (η)＝10×3×23＝20，D (ξ)＝100 D (η)＝100×3×23×13＝2003.11．已知离散型随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的方差为________．答案 2解析 根据离散型随机变量ξ的分布列知m ＝14.∴ E (ξ)＝－2×14＋0×12＋2×14＝0，D (ξ)＝(－2－0)2×14＋(0－0)2×12＋(2－0)2×14＝2.三、解答题12． (2015重庆理)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．解析 (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0，1，2，且P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)．13．(2015天津理)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．解析 (1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635.所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1，2，3，4)． 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.。
离散型随机变量的均值与方差(4类必考点)(北师大版2019选择性必修第一册)(解析版)
专题6.3 离散型随机变量的均值与方差【基础知识梳理】 (1)【考点1：求离散型随机变量的均值】 (1)【考点2：均值的性质】 (7)【考点3：求离散型随机变量的方差】 (11)【考点4：方差的性质】 (16)【基础知识梳理】1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n(1)称E(X)＝x1p1＋x2p2i i n n量取值的平均水平．(2)称D(X)＝(x i－E(X))2p i为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．[方法技巧]求离散型随机变量的均值与方差的步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值x i(i＝1,2，3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝x i)＝p i；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；(4)利用公式求均值或方差.【考点1：求离散型随机变量的均值】【知识点：求离散型随机变量的均值】1．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）甲、乙两人进行围棋比赛，两人共比赛两局，每局比赛甲赢的概率为0.6，两人平局的概率为0.1，设每局的胜方得3分，负方得−1分，若该局为平局，则两人各得2分．(1)求甲、乙各赢一局的概率；(2)记两局结束后甲的最后得分为X，求X的数学期望．【答案】(1)0.36(2)3.4【分析】（1）由题可知比赛乙赢的概率为0.3，甲、乙各赢一局相当于甲赢第一局乙赢第二局或乙赢第一局甲赢第二局.据此可得答案；（2）依次写出对局情况及相应概率，后可计算期望.【详解】（1）依题意可得每局比赛乙赢的概率为0.3，甲、乙各赢一局相当于甲赢第一局乙赢第二局或乙赢第一局甲赢第二局，故甲、乙各赢一局的概P=2×0.6×0.3=0.36．（2）若甲赢两局，得分6分，P(X=6)=0.62=0.36；若甲一赢一平，得分5分，P(X=5)=2×0.6×0.1=0.12；若甲平两局，得分4分，P(X=4)=0.12=0.01；若甲一赢一输，得分2分，P(X=2)=2×0.6×0.3=0.36；若甲一平一输，得分1分，P(X=1)=2×0.3×0.1=0.06；若甲输两局，得分−2，P(X=−2)=0.32=0.09.故E(X)=6×0.36+5×0.12+4×0.01+2×0.36+1×0.06−2×0.09=3.42．（2023·四川·校联考一模）甲袋中装有大小相同的红球2个，白球2个：乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球3个，白球4个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出3个小球．(1)求从乙袋中取出的3个小球中仅有1个红球的概率；(2)记从乙袋中取出的3个小球中白球个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．【答案】(1)2756.(2)分布列见解析，数学期望E(ξ)=189112【分析】（1）分“从甲袋中取出1红球投入乙袋”和“从甲袋中取出1白球投入乙袋” 两个类型，利用组合数和古典概型公式。
第7讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
第7讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、知识梳理1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称D (X )＝ i ＝1n(x i －E (X ))p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，并称其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ．(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )． 4．正态曲线的特点(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交． (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称． (3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π .(4)曲线与x 轴之间的面积为1．(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移．(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．常用结论均值与方差的七个常用性质若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 是常数，X 是随机变量，则 (1)E (k )＝k ，D (k )＝0，其中k 为常数． (2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )． (3)E (X 1＋X 2)＝E (X 1)＋E (X 2)． (4)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2.(5)若X 1，X 2相互独立，则E (X 1·X 2)＝E (X 1)·E (X 2)． (6)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )．(7)若X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )． 二、教材衍化 1．已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )＝解析：E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.答案：732．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X ，Y ，其分布列分别为________．解析：E (X )＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.E (Y )＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9， 因为E (Y )＜E (X )．所以乙技术好． 答案：乙3．已知随机变量X 服从正态分布X ～N (3，1)，且P (X ＞2c －1)＝P (X ＜c ＋3)，则c ＝________．解析：因为X ～N (3，1)，所以正态曲线关于x ＝3对称， 且P (X ＞2c －1)＝P (X ＜c ＋3)， 所以2c －1＋c ＋3＝3×2，所以c ＝43.答案：43一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．( )(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．( )(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．( )(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( )(5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)× 二、易错纠偏常见误区| (1)期望、方差的性质不熟导致错误； (2)二项分布的数学期望公式用法不当； (3)求错分布列，导致E (ξ)出错．1．已知两个随机变量X ，Y 满足X ＋2Y ＝4，且X ～N (1，22)，则E (Y )，D (Y )依次是________． 解析：由X ～N (1，22)得E (X )＝1，D (X )＝4.又X ＋2Y ＝4，所以Y ＝2－X2，所以E (Y )＝2－12E (X )＝32，D (Y )＝14D (X )＝1. 答案：32，12．在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．乙能正确完成每道题的概率为23，且每道题完成与否互不影响．记乙能答对的题数为Y ，则Y 的数学期望为________．解析：由题意知Y 的可能取值为0，1，2，3，且Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，23，则E (Y )＝3×23＝2. 答案：23．一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时就放对了，否则就放错了．设放对个数记为ξ，则ξ的期望值为________．解析：将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A 44种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0，1，2，4，其中P (ξ＝0)＝9A 44＝38， P (ξ＝1)＝C 14×2A 44＝13，P (ξ＝2)＝C 24A 44＝14，P (ξ＝4)＝1A 44＝124，E (ξ)＝0×38＋1×13＋2×14＋4×124＝1. 答案：1考点一 均值与方差的计算(基础型)复习指导| 理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念． 核心素养：数学运算1．已知某离散型随机变量X 服从的分布列如表，则随机变量X 的方差D (X )等于( )A ．19B ．29C ．13D ．23解析：选B ．法一：由m ＋2m ＝1得m ＝13，所以E (X )＝0×13＋1×23＝23，D (X )＝⎝⎛⎭⎫0－232×13＋⎝⎛⎭⎫1－232×23＝29. 法二：由m ＋2m ＝1得m ＝13，根据两点分布的期望和方差公式可得E (X )＝23，D (X )＝23×⎝⎛⎭⎫1－23＝29. 2．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是( )A ．7.8B ．8C ．16D ．15.6解析：选A ．X 的取值为6，9，12，相应的概率P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.3．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，这两个同学各猜1次，则他们的得分之和X 的数学期望为( )A ．0.9B ．0.8C ．1.2D ．1.1解析：选A ．由题意，X ＝0，1，2，则P (X ＝0)＝0.6×0.5＝0.3，P (X ＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5，P (X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2，所以E (X )＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.求均值与方差的方法技巧复习指导| 能计算二项分布的均值与方差． 核心素养：数学建模雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM 2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标．某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A 、B 、C 三个城市进行治霾落实情况抽查．(1)若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；(2)每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为12，若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检，否则需进行复检．设需进行复检的城市的个数为X ，求X 的分布列和期望．【解】 (1)随机选取，共有34＝81种不同方法，恰有一个城市没有专家组选取的有C 13(C 14A 22＋C 24)＝42种不同方法，故恰有一个城市没有专家组选取的概率为4281＝1427.(2)设事件A ：“一个城市需复检”，则P (A )＝1－⎝⎛⎭⎫124＝1516，X 的所有可能取值为0，1，2，3，P (X ＝0)＝C 03·⎝⎛⎭⎫1163＝14 096，P (X ＝1)＝C 13·⎝⎛⎭⎫1162·⎝⎛⎭⎫15161＝454 096，P (X ＝2)＝C 23·⎝⎛⎭⎫1161·⎝⎛⎭⎫15162＝6754 096，P (X ＝3)＝C 33·⎝⎛⎭⎫15163＝3 3754 096. 所以X 的分布列为X ～B ⎝⎛⎭⎫3，1516，E (X )＝3×1516＝4516.(1)求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 ①理解ξ的意义，写出ξ可能的全部取值； ②求ξ取每个值的概率； ③写出ξ的分布列； ④由均值的定义求E (ξ)； ⑤由方差的定义求D (ξ)． (2)二项分布的期望与方差如果ξ～B (n ，p )，则用公式E (ξ)＝np ；D (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量． [提醒] 均值E (X )由X 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而E (X )是不变的，它描述X 取值的平均水平．电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择．某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供您选择(其中有1种为草莓口味)．小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择(各种口味的高级口香糖均超过三瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖)．(1)小王花10元钱买三瓶，请问小王收到货的组合方式共有多少种？(2)小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖的瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望和方差．解：(1)若三瓶口味均不一样，有C 38＝56(种)；若其中两瓶口味一样，有C 18C 17＝56(种)；若三瓶口味一样，有8种．故小王收到货的组合方式共有56＋56＋8＝120(种)． (2)ξ所有可能的取值为0，1，2，3.因为各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，有8种不同口味，所以小王随机点击一次是草莓味口香糖的概率为18，即随机变量ξ服从二项分布，即ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，18. P (ξ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫180×⎝⎛⎭⎫1－183＝343512，P (ξ＝1)＝C 13×⎝⎛⎭⎫181×⎝⎛⎭⎫1－182＝147512， P (ξ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫182×⎝⎛⎭⎫1－181＝21512， P (ξ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫183×⎝⎛⎭⎫1－180＝1512. 所以ξ的分布列为数学期望E (ξ)＝np ＝3×18＝38，方差D (ξ)＝np (1－p )＝3×18×78＝2164.考点三 均值与方差的实际应用(应用型)复习指导| 能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题． 核心素养：数学建模某种产品的质量以其质量指标值衡量，并按照质量指标值划分等级如下：，得到了如下频率分布直方图．现给出三个条件： ①y ＝0.02.②质量指标值不超过95的有65件． ③质量指标值的中位数是6056.从①②③中选一个填入下面的横线上，并回答问题．若________．(1)在样品中，按照产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中任取4件，求4件产品中三等品、二等品、一等品都有的概率；(2)若将频率视为概率，已知该企业每销售一件此产品中的一等品的利润为10元，销售一件二等品和三等品的利润都是6元，那么销售600件此种产品，所获利润的期望值是多少元？【解】 若选①y ＝0.02.则有(0.002 5＋0.009＋0.01＋0.02＋0.026＋0.002 5＋x )×10＝1，解得x ＝0.03.(1)由频率分布直方图可知，样品中三等品、二等品、一等品的频率分别为(0.002 5＋0.01)×10＝0.125，(0.02＋0.03)×10＝0.5，(0.026＋0.009＋0.002 5)×10＝0.375，所以样品中三等品、二等品、一等品的件数分别为25，100，75.若按照产品等级用分层抽样的方法抽取8件产品，那么应抽取的三等品、二等品、一等品的件数分别为1，4，3.从这8件产品中任取4件，共有C 48种等可能的取法，其中三等品、二等品、一等品都有的取法有C 11(C 14C 23＋C 24C 13)种．故4件产品中三等品、二等品、一等品都有的概率P ＝C 11(C 14C 23＋C 24C 13)C 48＝37. (2)由(1)知，从该企业此产品中任取一件，其中是一等品的概率为0.375，是二等品或三等品的概率为0.625.设从此产品中任取一件并销售所得的利润为η，则η的分布列为因此E (η)＝10×0.375＋6×故销售600件此种产品，所获利润的期望值为600E (η)＝600×7.5＝4 500(元)． 若选②，质量指标值不超过95的有65件．则有(0.002 5＋0.01＋y )×10×200＝65. 解得y ＝0.02.下与选①相同． 若选③，质量指标值的中位数是6056，则⎝⎛⎭⎫105－6056×x ＋(0.026＋0.009＋0.002 5)×10＝0.5.解得x ＝0.03.下与选①相同．均值与方差的实际应用(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用D(X)来描述X的分散程度．(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．(2020·湖北武汉模拟)某保险公司对一个拥有20 000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A，B，C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12 000，6 000，2 000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表(并以此估计赔付概率)：已知A ，B ，C 25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．(1)求保险公司在该业务所获利润的期望值； (2)现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支．请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议．解：(1)设工种A ，B ，C 职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X ，Y ，Z ，则X ，Y ，Z 的分布列分别为所以E (X )＝25×⎝⎛⎭⎫1－1105＋(25－100×104)×1105＝15， E (Y )＝25×⎝⎛⎭⎫1－2105＋(25－100×104)×2105＝5， E (Z )＝40×⎝⎛⎭⎫1－1104＋(40－50×104)×1104＝－10， 保险公司所获利润的期望值为12 000×15＋6 000×5－2 000×10－100 000＝90 000， 所以保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元．(2)方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为12 000×100×104×1105＋6 000×100×104×2105＋2 000×50×104×1104＋12×104＝46×104； 方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为(12 000×25＋6 000×25＋2000×40)×0.7＝37.1×104.因为46×104＞37.1×104， 所以建议企业选择方案2. 考点四 正态分布(基础型)复习指导| 认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 核心素养：数学抽象1．设随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，若P (X ＞4)＝P (X ＜0)，则μ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ．正态曲线关于直线x ＝μ对称，若P (X ＞4)＝P (X ＜0)，则μ＝4＋02＝2.2．已知随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (X ≥4)＝0.158 7，则P (2＜X ＜4)＝( ) A ．0.682 6 B ．0.341 3 C ．0.460 3D ．0.920 7解析：选A ．因为随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (x ≥4)＝0.158 7，所以P (X ≤2)＝0.158 7，所以P (2＜X ＜4)＝1－P (X ≤2)－P (X ≥4)＝0.682 6，故选A ．3．某校在一次月考中有900人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布X ～N (90，a 2)(a ＞0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人．解析：因为成绩服从正态分布X ～N (90，a 2)， 所以其正态分布曲线关于直线x ＝90对称，又因为成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，由对称性知成绩在110分以上的人数约为总人数的12×⎝⎛⎭⎫1－35＝15，所以此次数学考试成绩不低于110分的学生约有15×900＝180(人)．答案：180服从N(μ，σ2)的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法(1)利用P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值直接求；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质求解．[基础题组练]1．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜4)＝() A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2解析：选A．由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.又正态曲线关于x＝2对称，则P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，所以P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.2．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为( )A ．13B ．23C ．2D ．83解析：选D ．因为口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X 的可能取值为2，3，所以P (X ＝2)＝1C 23＝13，P (X ＝3)＝C 12C 11C 23＝23，所以E (X )＝2×13＋3×23＝83. 3．(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N (μ1，σ21)，N (μ2，σ22)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是( )A ．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kgB ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99解析：选ABC ．由图象可知甲图象关于直线x ＝0.4对称，乙图象关于直线x ＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1＜μ2，故A 正确，C 正确；因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B 正确；因为乙图象的最大值为1.99，即12πσ2＝1.99，所以σ2≠1.99，故D 错误． 4．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (η)，D (η)分别是( ) A ．6，2.4 B ．2，2.4 C ．2，5.6D ．6，5.6解析：选B ．由已知随机变量X ＋η＝8，所以η＝8－X . 因此，求得E (η)＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2， D (η)＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.5．某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为23.如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是( )A ．3B ．83C ．2D ．53解析：选B ．在一轮投篮中，甲通过的概率为P ＝89，未通过的概率为19.由题意可知，甲3个轮次通过的次数X 的可能取值为0，1，2，3，则P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫193＝1729， P (X ＝1)＝C 13×⎝⎛⎭⎫891×⎝⎛⎭⎫192＝24729＝8243，P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫892×⎝⎛⎭⎫191＝192729＝64243， P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫893＝512729. 所以随机变量X 的分布列为数学期望E (X )＝0×1729＋1×8243＋2×64243＋3×512729＝83.6．若随机变量ξ的分布列如下表所示，E (ξ)＝1.6，则a －b ＝________．解析：易知a ，b ∈[0，1]，又由E (ξ)＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，得a ＋2b ＝1.3，解得a ＝0.3，b ＝0.5，则a －b ＝－0.2.答案：－0.27．已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布N (100，4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98，104]内的产品估计有________件．(附：若X 服从N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ＝0.954 5) 解析：由题意可得，该正态分布的对称轴为x ＝100，且σ＝2，则质量在[96，104]内的产品的概率为P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 5，而质量在[98，102]内的产品的概率为P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 7，结合对称性可知，质量在[98，104]内的产品的概率为0.682 7＋0.954 5－0.682 72＝0.818 6，据此估计质量在[98，104]内的产品的数量为10 000×0.818 6＝8186(件)．答案：8 1868．(2020·浙江浙北四校模拟)已知袋子中有大小相同的红球1个，黑球2个，从中任取2个．设ξ表示取到红球的个数，则E (ξ)＝________，D (ξ)＝________．解析：从袋中3个球中任取2个球，共有C 23种取法，则其中ξ的可能取值为0，1，且ξ服从超几何分布，所以P (ξ＝0)＝C 22C 23＝13，P (ξ＝1)＝C 11C 12C 23＝23，所以E (ξ)＝0×13＋1×23＝23，D (ξ)＝⎝⎛⎭⎫0－232×13＋⎝⎛⎭⎫1－232×23＝29. 答案：23 299．若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望E (X )．解：(1)个位数字是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84，随机变量X 可能的取值为0，－1，1，因此P (X ＝0)＝C 38C 39＝23，P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P (X ＝1)＝1－114－23＝1142，所以X 的分布列为则E (X )＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.10．已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要对6只小白鼠进行病毒DNA 化验来确定哪一只受到了感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止．方案乙：将6只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒DNA ，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒DNA ，则在另外一组中逐个进行化验．(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；(2)若首次化验的化验费为10元，第二次化验的化验费为8元，第三次及以后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和期望．解：(1)执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种：第一种，先化验一组，结果显示不含病毒DNA ，再从另一组中任取一只进行化验，其恰含有病毒DNA ，此种情况的概率为C 35C 36×1C 13＝16；第二种，先化验一组，结果显示含病毒DNA ，再从中逐个化验，恰好第一只含有病毒，此种情况的概率为C 25C 36×1C 13＝16.所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为16＋16＝13.(2)设用方案甲化验需要的化验费为η(单位：元)，则η的可能取值为10，18，24，30，36.P (η＝10)＝16，P (η＝18)＝56×15＝16，P (η＝24)＝56×45×14＝16，P (η＝30)＝56×45×34×13＝16，P (η＝36)＝56×45×34×23＝13，则化验费η的分布列为所以E (η)＝10×16＋18×16＋24×16＋30×16＋36×13＝773(元)．[综合题组练]1．(2020·湖北部分重点中学测试)为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标x )、推理能力(指标y )、建模能力(指标z )的相关性，将它们各自量化为1，2，3三个等级，再用综合指标ω＝x ＋y ＋z 的值评定学生的数学核心素养，，若ω≥7，则数学核心素养为一级；若5≤ω≤6，则数学核心素养为二级；若3≤ω≤4，则数学核心素养为三级．为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：的概率；(2)从这10名学生中任取3人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．解：(1)9A 4，A 7，A 10；数学核心素养为一级的学生是A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8.记“所取的2人的建模能力指标相同”为事件A ，记“所取的2人的综合指标值相同”为事件B ，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 23＋C 22C 24＋C 25＝416＝14. (2)由题意可知，数学核心素养为一级的学生为A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8. 非一级的学生为余下4人，所以X 的所有可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，21P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16，所以随机变量X 的分布列为所以E (X )＝0×130＋1×310＋2×12＋3×16＝95.2．(2020·云南昆明检测)某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A ，B ，C ，经引种试验后发现，引种树苗A 的自然成活率为0.8，引种树苗B ，C 的自然成活率均为p (0.7≤p ≤0.9)．(1)任取树苗A ，B ，C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及E (X )； (2)将(1)中的E (X )取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B 种树苗多少棵？解：(1)由题意知，X 的所有可能值为0，1，2，3， 则P (X ＝0)＝0.2(1－p )2，P (X ＝1)＝0.8×(1－p )2＋0.2×C 12×p ×(1－p )＝0.8(1－p )2＋0.4p (1－p )＝0.4p 2－1.2p ＋0.8，P (X ＝2)＝0.2p 2＋0.8×C 12×p ×(1－p )＝0.2p 2＋1.6p (1－p )＝－1.4p 2＋1.6p ，P (X ＝3)＝0.8p 2. X 的分布列为(2)当p ＝0.9时，E (X )取得最大值．①一棵B 树苗最终成活的概率为0.9＋0.1×0.75×0.8＝0.96.②记Y 为n 棵B 种树苗的成活棵数，M (n )为n 棵B 种树苗的利润，则Y ～B (n ，0.96)，E (Y )＝0.96n ，M (n )＝300Y －50(n －Y )＝350Y －50n ，E (M (n ))＝350E (Y )－50n ＝286n ，要使E (M (n ))≥200 000，则有n ≥699.3.所以该农户至少种植700棵B 种树苗，就可获利不低于20万元．。
第十二章12.6离散型随机变量的均值与方差
题号
1 2 3 4 5
答案
20 9
5 3
解析
A
A
A
题型分类·深度剖析
题型一 离散型随机变量的均值、方差
思维启迪 解析 探究提高
【例 1】(2012· 湖北)根据以往的经验，某工程 施工期间的降水量 X(单位：mm)对工期的 影响如下表： 降水 X< 300≤ 700≤ X≥ 量 X 300 X<700 X<900 900 工期 延误 0 2 6 10 天数 Y 历年气象资料表明，该工程施工期间降水 量 X 小 于 300,700,900 的 概 率 分 别 为 0.3,0.7,0.9.求： (1)工期延误天数 Y 的均值与 方差；(2)在降水量 X 至少是 300 mm 的条 件下，工期延误不超过 6 天的概率．
题型分类·深度剖析
题型一 离散型随机变量的均值、方差
探究提高 【例 1】(2012· 湖北)根据以往的经验，某工程 思维启迪 解析 施工期间的降水量 X(单位：mm)对工期的 先求出降水量在各范围内的概 影响如下表：
降水 X< 300≤ 700≤ X≥ 量 X 300 X<700 X<900 900 工期 延误 0 2 6 10 天数 Y 历年气象资料表明，该工程施工期间降水 量 X 小 于 300,700,900 的 概 率 分 别 为 0.3,0.7,0.9.求： (1)工期延误天数 Y 的均值与 方差；(2)在降水量 X 至少是 300 mm 的条 件下，工期延误不超过 6 天的概率．
题型分类·深度剖析
题型一 离散型随机变量的均值、方差
探究提高 【例 1】(2012· 湖北)根据以往的经验，某工程 思维启迪 解析 施工期间的降水量 X(单位：mm)对工期的 故工期延误天数 Y 的均值为 3，方差为由于出现的结果有限，每次每 9.8. 影响如下表：
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离散型随机变量的均值与方差【学习目标】1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题； 【要点梳理】要点一、离散型随机变量的期望 1.定义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 要点诠释：（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平． （2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。
（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． 2．性质：①()E E E ξηξη+=+；②若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，有b aE b a E +=+ξξ)(；b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下：：η的分布列为于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++…＝+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)＝b aE +ξ∴b aE b a E +=+ξξ)(。
要点二：离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念：已知一组数据1x ，2x ，…，n x ，它们的平均值为x ，那么各数据与x 的差的平方的平均数[12nS =21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差。
2.离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋2()n i x E p ξ-⋅＋…称为随机变量ξ的方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．要点诠释：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）．⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。
3.期望和方差的关系：22()()D E E ξξξ=-4.方差的性质：若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，2()D D a b a D ηξξ=+=； 要点三：常见分布的期望与方差 1、二点分布：若离散型随机变量ξ服从参数为p 的二点分布，则 期望E p ξ= 方差(1).D p p ξ=-证明：∵(0)P q ξ==,(1)P p ξ==,01p <<,1p q += ∴01E q p p ξ=⨯+⨯=22(0)(1)(1).D p q p p p p ξ=-⋅+-⋅=-2、二项分布：若离散型随机变量ξ服从参数为,n p 的二项分布，即~(),B n P ξ，则 期望E nP ξ= 方差(1-)D np p ξ= 期望公式证明：∵kn k k n k n k k n q p C p p C k P --=-==)1()(ξ， ∴001112220012......n n n k k n k n n n n n n n E C p q C p q C p q k C p q n C p q ξ---=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯，又∵11)]!1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅=k n kn nC k n k n n k n k n k kC ，∴=ξE (np 0011n n C p q --＋2111--n n q p C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0111q p C n n n ---np q p np n =+=-1)(．3、几何分布：独立重复试验中，若事件A 在每一次试验中发生的概率都为p ，事件A 第一次发生时所做的试验次数ξ是随机变量，且1()(1)k P k p p -ξ==-，0,1,2,3,,,k n =，称离散型随机变量ξ服从几何分布，记作：~()()P k k P ξξ==g ，。
若离散型随机变量ξ服从几何分布，且~()()P k k P ξξ==g ，，则 期望1.E p ξ=方差21-pD pξ=要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。
4、超几何分布：若离散型随机变量ξ服从参数为,,N M n 的超几何分布，则期望()nME Nξ=要点四：离散型随机变量的期望与方差的求法及应用 1、求离散型随机变量ξ的期望、方差、标准差的基本步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望、方差的定义求出E ξ、D ξ、σξ：1122n n E x p x p x p ξ=++++()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξ=-ξ+-ξ++-ξ+σξ=.注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可． 2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用① 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；② 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
方差越大数据波动越大。
③对于两个随机变量1ξ和2ξ，当需要了解他们的平均水平时，可比较1ξE 和2ξE 的大小。
④1ξE 和2ξE 相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较1ξD 和2ξD ，方差值大时，则表明ξ比较离散，反之，则表明ξ比较集中．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关． 【典型例题】类型一、离散型随机变量的期望例1．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的期望E ξ＝8.9，则y 的值为________．【思路点拨】分布列中含有字母x 、y,应先根据分布列的性质，求出x 、y 的值，再利用期望的定义求解； 【解析】x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，即x ＋y ＝0.6.①又7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，化简得7x ＋10y ＝5.4.② 由①②联立解得x ＝0.2，y ＝0.4.【总结升华】求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解， 举一反三：【变式1】某一离散型随机变量ξ的概率分布如下，且E （ξ）=1.5，则a －b 为（ ）．A ．－0.1B ．0C ．0.1D ．0.2 【答案】B由分布列的性质知：0.1+a+b+0.1=1，∴a+b=0.8．又E （ξ）=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.5，即a+2b=1.2． 解得a=0.4，b=0.4，∴a －b=0． 【变式2】随机变量ξ的分布列为，则E(5ξ＋4)等于( ) A ．13 B ．11 C ．2.2 D ．2.3 【答案】A 由已知得：E(ξ)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8， ∴E(5ξ＋4)＝5E(ξ)＋4＝5×1.8＋4＝13.【变式3】节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节后卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花500束，则期望利润是A.706元 C ．754元 D ．720元【答案】A节日期间预售的量：E ξ＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340(束)， 则期望的利润：η＝5ξ＋1.6(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450， ∴E η＝3.4E ξ－450＝3.4×340－450＝706. ∴期望利润为706元．【变式4】设离散型随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，且()P k ak b ξ==+（1,2,3,4k =），3E ξ=，则a b += ；【答案】0.1；由分布列的概率和为1，有()(2)(3)(4)1a b a b a b a b +++++++=，又3E ξ=，即1()2(2)3(3)4(4)3a b a b a b a b ⋅++⋅++⋅++⋅+=， 解得0.1a =，0b =，故0.1a b +=。
例2. 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响． （1）求这名同学回答这三个问题的总得分X 的概率分布和数学期望； （2）求这名同学总得分不为负分（即X≥0）的概率．【思路点拨】本题显然为独立重复试验的问题，因此求各个情况的概率直接用公式即可。
（1）求X 的可能取值，即求得分，答对0道题得－300分，答对1道题得100－200=－100分，答对2道题得2×100－100=100分，答对3道题得300分；（2）总分不为负分包括100分和300分两种情况． 【解析】（1）X 的可能取值为－300，－100，100，300． P （X=－300）=0.23=0.008。
P （X=－100）=13C ×0.22×0.8=0.096，P （X=100）=23C ×0.2×0.82=0.384，P （X=300）=0.83=0.512． 所以X 的概率分布为∴E（X ）=(－300)×0.008+(－100)×0.096+100×0.384+300×0.512=180． （2）这名同学总得分不为负分的概率为P （X≥0）=P （X=100）+P （X=300）=0.384+0.512=0.896． 【总结升华】求离散型随机变量均值的关键在于列出概率分布表． 举一反三：【变式1】 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望【答案】因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ， 所以.03.007.01=⨯+⨯=ξE【变式2】一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．【答案】设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3当0ξ=时，即第一次取得正品，试验停止，则93(0)124p ξ=== 当1ξ=时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则(1)p ξ==449119123=⨯ 当2ξ=时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则(2)p ξ==2209109112123=⨯⨯ 当3ξ=时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则(3)p ξ==220199101112123=⨯⨯⨯ ∴ξ分布列为∴3012344422022010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=【变式3】某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km 时租车费为10元，若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足lkm 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式； (Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为求所收租车费η的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?【答案】(Ⅰ)依题意得 η=2(ξ-4)十10，即 η=2ξ+2； (Ⅱ)=ξE 4.161.0183.0175.0161.015=⨯+⨯+⨯+⨯∵ η=2ξ+2∴ =ηE 2E ξ+2=34.8 （元） 故所收租车费η的数学期望为34.8元．(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5⨯(18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟例3．若某批产品共100件，其中有20件二等品，从中有放回地抽取3件，求取出二等品的件数的期望、方差。