高等代数作业第二章行列式答案

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高等代数教程上王萼芳著课后习题部份解答2012

第一章行列式1. 习题1.4（2）第2题计算行列式。

14916491625916253616253649⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2. 习题1.5第4（2）题计算行列式中所有元素的代素余子式之和。

12100...00...............0...000n n a a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦0,1,2, (i)i n a≠=解：3. 习题1.6第1（3）题计算行列式：1101231211232102321⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦第6题计算2n 阶行列式aba b b a b a 0000000解:得列列加到第第，列，列加到第列，第列加到第将第,121212n n n n +-D ＝aba ab a a b a b b a b b a b b a 00000000000000000000000++++++ 行）行减第，第行行减第行，第行减第（第n n n n 121212+-b a b a b a b ba bb a b b a ---+++00000000000000000000000＝n n n b a b a b a )()()(22-=-+4. 复习题 1第4题计算行列式nn 222221222223222222222221-----------解: 原式244400014400006400000500222222222221)2()()2()4()2()3(++------------n n n=24444014440074400064000052221++⋅-n n=)2()1(7656+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯n n =)!2(41+n第 6 题计算行列式12121231212321----n n n n n n解：12121231212321----n n n n n n行）行减第第，行，行减第行，第行减第（第n n 13221- ＝122111111111111111111111--n n n －－－－－－－－－－（第n 列分别加到第1列，第2列，至第1-n 列）＝131110000120001220012220 -+n nn （对第1列展开）＝阶)1(1100012000122001222012222)1()1(-++-n n n ＝212)1(1-++n n n ）（－第 7 题计算行列式01211...110...01...0......... (10)n a aa a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1...0na a≠)第二章线性方程组1. 习题2.1 第 1 （4）题1212323434545561562(4)56256254x x x x x x x x x x x x x ì+=ïïïï++=-ïïï++=íïïï++=-ïïï+=-ïî56561615615656115656156156156151515561656565655156656615619156301515151515561656561619563065114150515150565191145665D 解：方程组的系数行列式对第行展开=-骣÷ç÷ç÷ç÷=--=-ç÷ç÷ç÷ç÷桫骣÷ç÷=--=-ç÷ç÷ç桫=?? Cramer D 0, ¹根据法则，方程组有唯一解。

高等代数课后答案高等教育出版社

高等代数习题答案（一至四章）第一章多项式习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ，（2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。

3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+--7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。

另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。

由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。

从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。

高等代数2.1-引言

第二章行列式 §2.1 引言
联合收入问题
R,S,T三公司有右三公司有右图股份关系。公司图股份关系。R公司拥有T公司60%股份公司60%股份，拥有公司60%股份，公司掌握R公司 T公司掌握公司 20%股份，R,S,T 股份…，股份各自营业净收入分别 10、万元。是10、8和6万元。求各公司联合收入及实际收入。际收入。
+
15/27
例2．求 n 级排列 135 (2n 1)(2n)(2n 2) 42 ．的逆序数. 的逆序数.
方法一
解：135 (2n 1)(2n)(2n 2) 42
12
n1
n1
1
τ = 1 + 2 + + (n 1) + (n 1) + + 2 + 1 = n(n 1)
16/27
19/27
定理1 定理
对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换，对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．证明 1) 特殊情形：作相邻对换特殊情形：设排列为
a1 al ab b1 bm ab
对换 a 与 b
a1 al ba b1 bm
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12a21）x1 = b1a22 a12b2 ;
4/27
类似地，类似地，消去 x1，得（a11a22 a12a21）x1 = b1a22 a12b2;
（a11a22 a12a21）x2 = a11b2 b1a21 ,
当 a11a22 a12a21 ≠ 0 时，原方程组有唯一解
除 a , b 外，其它元素所成逆序不改变. 其它元素所成逆序不改变

线性代数课后答案(高等教育出版社)

第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)38114112---;解38114112---=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4.(3)222111cbacba;解222111cbacba=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2=(a-b)(b-c)(c-a).4.计算下列各行列式:(1)71125102214214;解7112510221421411423102211021473234-----======cccc34)1(143102211014+-⨯---=143102211014--=014171721099323211=-++======cccc.(2)265232112131412-;解265232112131412-265321221341224--=====cc412321221341224--=====rr321221341214=--=====rr.(3)efcfbfdecdbdaeacab---;解efcfbfdecdbdaeacab---ecbecbecba d f---=a b c d e fa d fbc e4111111111=---=.(4)dcba111111---.解dcba111111---dcbaabarr11111121---++=====dcaab1111)1)(1(12--+--=+111123-+-++=====cdcadaabdcccdadab+-+--=+111)1)(1(23=abcd+ab+cd+ad+1.6. 证明:(1)1112222bbaababa+=(a-b)3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((ab a a b a b +--==(a -b)3 .(2)yx z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++bz ay by ax x byax bx az z bx az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x byax x z bx az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x yx z x z y b y x z x z y z y x a 33+=y x z xz y z y x b y x z x z y z y x a 33+=y x z xz y z y x b a )(33+=.8. 计算下列各行列式(Dk 为k 阶行列式):(1)aaD n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0;解a a a a a D n 0 0010 000 00 0000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开))1()1(10 00 0000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a ann n nn a a a+⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(=an -an -2=an -2(a2-1).(2)x a a a x aa ax D n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ;解将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得ax x a ax x a a x x a a a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 ,再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a](x -a)n第二章矩阵及其运算 1. 计算下列乘积:(5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321xx x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.2. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A TB . 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 3. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z1, z2, z3到x1, x2, x3的线性变换.解由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x . 4. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(3)(A +B)(A -B)=A2-B2吗? 解 (A +B)(A -B)≠A2-B2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B)(A -B)≠A2-B2.5. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A2=0, 则A =0;解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A2=0, 但A ≠0. (2)若A2=A , 则A =0或A =E ;解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y ,则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求Ak .解首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=k A kk k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ .用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k kk k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.8. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明BTAB 也是对称矩阵. 证明因为A T =A , 所以 (BTAB)T =BT(BTA)T =BTA TB =BTAB , 从而BTAB 是对称矩阵. 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故*||11A A A =-⎪⎭⎫⎝⎛--=1225.(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a1a2⋅ ⋅ ⋅an ≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A0021, 由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n a a a A 10011211 .12. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .19.设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A11.解由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A11= A=P Λ11P -1.|P|=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 20. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A8(5E -6A +A2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114. 21. 设Ak =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A2+⋅ ⋅ ⋅+Ak -1.证明因为Ak =O , 所以E -Ak =E . 又因为 E -Ak =(E -A)(E +A +A2+⋅ ⋅ ⋅+Ak -1), 所以 (E -A)(E +A +A2+⋅ ⋅ ⋅+Ak -1)=E , 由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A2+⋅ ⋅ ⋅+Ak -1.证明一方面, 有E =(E -A)-1(E -A). 另一方面, 由Ak =O , 有E =(E -A)+(A -A2)+A2-⋅ ⋅ ⋅-Ak -1+(Ak -1-Ak) =(E +A +A2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A2+⋅ ⋅ ⋅+Ak -1)(E -A), 两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A2+⋅ ⋅ ⋅+Ak -1.22. 设方阵A 满足A2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1.证明由A2-A -2E =O 得 A2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或 E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A2-A -2E =O 得A2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或 EA E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明由A2-A -2E =O 得A2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A2-A|=2, 即 |A||A -E|=2, 故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A2, |A +2E|=|A2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E ⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r2+(-2)r1, r3+(-3)r1. )~⎪⎪⎭⎝--231(下一步: r2÷(-1), r3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--131121(下一步: r3-r2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--331121(下一步: r3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--131121(下一步: r2+3r3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11121(下一步: r1+(-2)r2, r1+r3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛111.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------1243323221453334311;解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------1243323221453334311(下一步: r2-3r1, r3-2r1, r4-3r1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------1010566388434311(下一步: r2÷(-4), r3÷(-3) , r4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭ ⎝---2210022********(下一步: r1-3r2, r3-r2, r4-r2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000000002210032011.3. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z1, z2, z3到x1, x2, x3的线性变换.解由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .4. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323513123; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123 ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/12/1121112/33/26/71故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2121211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1212321122123.解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11111212321122123~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----131111225941212321~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------214311112111212321~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------10612431111111212321~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------1061263111`1221111121~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106126311101042111000010*********故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------10612631110104211. 5. (2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B . 解考虑A TXT =BT . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(TTB A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---411007101042001 ~r , 所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1TTTB A X , 从而⎪⎭⎫⎝⎛---==-4741121BA X . 9. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000001000001010001100001,此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.12. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使 (1)R(A)=1; (2)R(A)=2; (3)R(A)=3.解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R(A)=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R(A)=2;(3)当k ≠1且k ≠-2时, R(A)=3. P106/1.已知向量组A : a1=(0, 1, 2, 3)T , a2=(3, 0, 1, 2)T , a3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b1=(2, 1, 1, 2)T , b2=(0, -2, 1, 1)T , b3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示.证明由 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000531400751610421301~r知R(A)=R(A , B)=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B知R(B)=2. 因为R(B)≠R(B , A), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ;(2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A , 所以R(A)=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为22200043012||≠=-=B ,所以R(B)=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.5. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？a1=(a , 1, 1)T , a2=(1, a , -1)T , a3=(1, -1, a)T . 解以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R(A)<3, 此时向量组线性相关.9.设b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1, 证明向量组b1, b2, b3, b4线性相关. 证明由已知条件得a1=b1-a2, a2=b2-a3, a3=b3-a4, a4=b4-a1, 于是 a1 =b1-b2+a3=b1-b2+b3-a4 =b1-b2+b3-b4+a1, 从而 b1-b2+b3-b4=0,这说明向量组b1, b2, b3, b4线性相关.11.(1) 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:(1)a1=(1, 2, -1, 4)T , a2=(9, 100, 10, 4)T , a3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a ,知R(a1, a2, a3)=2. 因为向量a1与a2的分量不成比例, 故a1, a2线性无关, 所以a1, a2是一个最大无关组.12.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4820322513454947513253947543173125;解因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731253423~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125,所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---14011313021512012211. 解因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---141131302151201221113142~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------22201512015120122112343~r r r r +↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211,所以第1、2、3列构成一个最大无关组.13. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T 的秩为2, 求a , b .解设a1=(a , 3, 1)T , a2=(2, b , 3)T , a3=(1, 2, 1)T , a4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=52001110311161101110311131********) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R(a1, a2, a3, a4)=2, 所以a =2, b =5.20.求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00004/14/3100401 2683154221081~r A , 于是得⎩⎨⎧+=-=43231)4/1()4/3(4xx x x x . 取(x3, x4)T =(4, 0)T , 得(x1, x2)T =(-16, 3)T ; 取(x3, x4)T =(0, 4)T , 得(x1, x2)T =(0, 1)T .因此方程组的基础解系为ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x .解对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A , 于是得⎩⎨⎧+-=+-=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(xx x x x x . 取(x3, x4)T =(19, 0)T , 得(x1, x2)T =(-2, 14)T ; 取(x3, x4)T =(0, 19)T , 得(x1, x2)T =(1, 7)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .26. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x ;解对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B .与所给方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=2 13 843231x x x x x .当x3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . 与对应的齐次方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=0 43231x x x x x .当x3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x .解对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B . 与所给方程组同解的方程为⎩⎨⎧--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x .当x3=x4=0时, 得所给方程组的一个解 η=(1, -2, 0, 0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎩⎨⎧-=+-=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x .分别取(x3, x4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系 ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .。

高代(北大版) 第二章行列式

2013-8-15 阜师院数科院
在一个n元排列 j1 j2 jn 中，如果交换高对换的定义：某两个数码的位置而别的数码不动，等则称对这个排列施行了一个对换。代如果交换的两个数码是 i 和 j ，就把这个对换记为 i, j 数
假如 jn n ，则由归纳假设知 j1 j2 jn1 可经高等一系列对换变为12…（n-1）。于是经同样代一系列的对换，j1 j2 jn1n 变为12…(n-1)n；数（2）假如 jn n ，设 jk n 1 k n 1 ，于是经 j ,j 一次对换 jk , jn ，得 j1 jk jn j1 jn n
高等代数
§2.3
2
n阶行列式的定义
行列式
2013-8-15 阜师院数科院
高问题：如何定义n阶行列式？等一、二阶与三阶行列式的构造代 a11 a12 j j a11a22 a12 a21 1 a1 j a2 j 数 a21 a22 j j
1 2 1 1 2
行列式
a11a22 a33 a12 a23a31 a13 a21a32 a13 a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32
1
j1 j2 j3
a1 j1 a2 j2 a3 j3
阜师院数科院
2013-8-15
高特点：（1）共有3！项的代数和；（2）每一项是三个元素的乘积，这三个元素等既位于不同的行又位于不同的列，展开代式恰由所有这些可能的乘积组成；数
1 2 3
x1 x2 x3
Dx1 D Dx2 D Dx3 D
是方程组（2.1.2）的公式解。

高等数学线性代数习题答案第二章

第二章习题2-11. 证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有n x a ε-<取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 证明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 证明：lim n →∞x n =0的充要条件是lim n →∞∣x n ∣=0.证：必要性由2题已证，下面证明充分性。

即证若lim 0n n x →∞=，则lim 0n n x →∞=，由lim 0n n x →∞=知，0ε∀>，N ∃，设当n N >时，有0 0n n n x x x εεε-<<-<即即由数列极限的定义可得 lim 0n n x →∞=4. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭ =0； (2) lim n →∞2!n =0. 证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭ . （2）因为22222240!1231n n n n n<=<- ，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得2lim 0!nn n →∞= 5. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x 1＞0,x n +1=13()2n nx x +，n =1,2,…； (2) x 1x n +1,n =1,2,…；(3) 设x n 单调递增，y n 单调递减，且lim n →∞(x n -y n )=0,证明x n 和y n 的极限均存在.证：（1）由10x >及13()2n n nx x x =+知，有0n x >（1,2,n = ）即数列{}n x 有下界。

高等代数《行列式》部分习题及解答

高等代数《行列式》部分习题及解答例1：决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）.134782695；2）.217986354；3）.987654321. 答：1）. ()134782695=10τ，134782695是一个偶排列；2）. ()217986354=18τ，217986354是一个偶排列； 3）. ()987654321=36τ，987654321是一个偶排列. 例2：写出把排列12435变成排列25341的那些对换.答：()()()()()()()12154,312435214352543125341−−→−−→−−−→.例3：如果排列121...n n x x x x -的逆序数为k ，排列121...n n x x x x -的逆序数是多少？答：()112n n k --例4：按定义计算行列式： 000100201).0100000n n - 010000202).0001000n n -001002003).1000000n n-答：1）.原行列式()()()()1,1,,2,121!1!n n n n n n τ--=-=-2）.原行列式()11!.n n -=-3）.原行列式()()()1221!n n n --=-.例5：由行列式定义计算()212111321111x x x f x x x-=中4x 与3x 的系数，并说明理由. 答：()f x 的展开式中x 的4次项只有一项；2,x x x x ⋅⋅⋅故4x 的系数为2；x 的3次项也只有一项()()213411,x x x τ-⋅⋅⋅故3x 的系数为-1.例6：由111111=0111，证明：奇偶排列各半.证明：由于12n j j j 为奇排列时()()121n j j j τ- 为-1，而偶排列时为1,.设有k 个奇排列和l 个偶排列，则上述行列式()()()()12121212110.n n nnj j j j j j j j j j j j l k ττ=-+-=-=∑∑ 即奇偶排列各占一半.例7：证明1111111112222222222b cc a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++. 证明：111111111111111111122222222222222222222222.2b cc a a bac aa baa b a cab c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c +++-+++++++=-++=++=+++-++++ 例8：算出行列式：121401211).00210003-；1122).321014-的全部代数余子式. 答：111213142122232431323334414243441).6,0;12,6,0;15,6,3,0;7,0,1, 2.A A A A A A A A A A A A A A A A =-====-=====-=-=====-1112132122233132332).7,12,3;6,4,1;5,5, 5.A A A A A A A A A ==-====-=-== 例9：计算下面的行列式：111121131).12254321-；11112112132).1111321112---；01214201213).135123312121035-- 答：1111111111110115011501151).= 1.011400010012012300120001---------==-=-------原式132).12-3).483-. 例10：计算下列n 级行列式： 0000001).;000000x y x y x yyx1112121222122).n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------122222223).;2232222n1231110004)..02200011n n n n-----答：()()110000000000000001).11.000000000000000n n n n xy xy yx y x xy x y x y x y x yy yxxxy++=+-=+-2）.当1n =时，为11a b -；当2n =时，为()()1212a a b b --；当3n ≥时，为零.()12221000222222223).22!223200102220002n n n -==-⋅--（利用第2行（列）的特点）()()11231110001!4).1.02200211n n nn n n---+=---- （从左起，依次将前一列加到后一列）例11：用克拉默法则解线性方程组1234123412341234232633325323334x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨--+=⎪⎪-+-=⎩.答：2132333270031123131d --==-≠----，所以可以用克拉默法则求解.又因16132533270;31124131d --==-----22632353270;33123431d ==---32162335270;31323141d --==----42136333570;31133134d --==----所以此线性方程组有唯一解，解为1234 1.x x x x ====例12：求12121212111222,n nnnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a ∑这里12nj j j ∑是对所有n 级排列求和.答：对每个排列12n j j j ，都有：()()121212121111112122221222121.n n nnj j j n j j j j j j nn n nnnj nj nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a τ=- 因为在全部n 级排列中，奇偶排列个数相同，各有!2n 个.所以121212121112220n n nnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a =∑.例13：计算n 级行列式：12222122221212111.nnn n n nnn n nx x x x x x x x x x x x ---答：作范德蒙德行列式：1212222121111111211211111.n n n n n n n n n n nnn nn n x x x x x x x x D x x x x x x x x ++----++=将这个行列式按最后一列展开，展开式中11n n x -+的系数的()11n n++-倍就是所求行列式D ，因为()111,ji i j n D xx ≤<≤+=-∏所以()()()()11111111.nnn nji k ji k k k i j n i j n D xx x xx x ++==≤<≤+≤<≤+=---=-∑∑∏∏。

高等代数习题解答(第二章)

高等代数习题解答第二章行列式1．决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）134782695； 2）217986354； 3）987654321．1）解 ()134********τ=，排列134782695是偶排列． 2）解 ()21798635418τ=，排列217986354是偶排列． 3）解 ()98765432136τ=，排列987654321是偶排列． 2．选择i 与k 使1）1274569i k 成偶排列； 2）1254897i k 成奇排列．1）解当8,3i k ==时，()12748563910τ=，排列127485639为偶排列． 2）解当3,6i k ==时，()1325648975τ=，排列132564897为奇排列． 3．写出把排列12435变成排列25341的那些变换．解 (1,2)(1,5)(4,3)12435214352543125341→→→．4．决定排列(1)21n n - 的逆序数，并讨论它的奇偶性．解 ()(1)(1)21012(2)(1)2n n n n n n τ--=++++-+-=．当4n k =或41()n k k +=+∈ 时，排列为偶排列；当42n k =+或43()n k k +=+∈ 时，排列为奇排列．5．如果排列121n n x x x x - 的逆序数为k ，排列121n n x x x x - 的逆序数是多少？解由于一个n 级排列中，构成逆序的数对与构成顺序的数对总数是2(1)2n n n C -=，把一个排列颠倒后，原来的逆序变成顺序，原来的顺序变成逆序，所以排列121n n x x x x - 的逆序数(1)2n n k --． 6．在6级行列式中，233142561465a a a a a a 与324314516625a a a a a a 这两项应带有什么符号？解由于(234516)(312645)4ττ+=+=；(341562)(234165)6410ττ+=+=，故两项均应带有正号．7．写出4级行列式中所有带负号并且包括因子23a 的项．解所求的项为112332a a a a -；12233441a a a a -；14233142a a a a - 8．按定义计算行列式：1）000100200100000n n-； 2）010000200001000n n -；3）00100200100000n n-．1）解原行列式(1)((1)21)2(1)!(1)!n n n n n n τ--=-=- ．2）解原行列式(231)1(1)!(1)!n n n n τ-=-=- ． 3）解原行列式(1)(2)((1)(2)21)2(1)!(1)!n n n n n n n τ----=-=- ．9．由行列式的定义证明：123451234512121200000000a a a a ab b b b bc cd de e =．证明由定义，行列式的一般项为125125()125(1)j j j j j j a a a τ- ，其中，125j j j 是一个5级排列．在这个5级排列中，345,,j j j 至少有一个大于或等于3，则相应的元素等于0，由此可知每一项都为0，从而行列式为0．10．由行列式的定义计算212111()321111xx x f x x x-=中4x 与3x 的系数，并说明理由．解 ()f x 的展开式中x 的4次项只有一项：(1234)(1)2x x x x τ-⋅⋅⋅，故4x 项的系数为2；x 的3次项也只有一项：(2134)(1)1x x x τ-⋅⋅⋅，故3x 项的系数为1-．11．由1111110111=证明：奇偶排列各半．证明由于行列式的每个元素都等于1，所以它的每一项的绝对值都等于1，当行标按自然顺序排列时，符号由列标排列的奇偶性确定，当列标排列为奇排列时，符号为负，当列标排列为偶排列时，符号为正．由又由于行列式等于0，说明带正号的项与带负号的项个数相等，即（列标排列中）奇排列与偶排列各占一半．12．设21211112111111()1n n n n n n x x x a a a p x a a a ------=，其中121,,,n a a a - 是互不相同的数．1）由行列式定义，说明()p x 是一个1n -次多项式；2）由行列式性质，求()p x 的根．解 1）()p x 的展开式中，含1n x -的只有一项，其系数是211112112222111111(1)1n n n n n n n a a a a a a a a a --+-----，由于121,,,n a a a - 互不相同，上述的范德蒙德行列式不等于0，故1n x -项的系数不等于0，从而()p x 是一个1n -次多项式．2）2121111111112111111()()()1n n n n i j k i i k n n n n n x x x a a a p x a x a a a a a ----=≤<≤-----==∏-⋅∏-，而111()0n j k i k n a a -≤<≤-∏-≠，于是()p x 的根是121,,,n a a a - ．13．计算下面的行列式：1）2464273271014543443342721621； 2）xy x y yx y x x y xy+++；3）3111131111311113； 4）1234234134124123；5）1111111111111111xx y y+-+-； 6）2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++++++++．1）解 2464273271014543443342721621123100042732720005434431000721621c c c ++=23100010032720001004431000100621c c -= 121000100511327102144311621c c ÷÷=21312511327100121100294r r r r --=--529410=-⨯．2）解 xy x y y x y x x yx y +++()()()123222c c c x y y x y x y x yx x y xy++++=+++()()121211c x y y x y x y x y x xy÷++=++()2131120r r r r y x yx y xy x yx--+=+---()2x yx y x y x-=+--()()22()()x y x y x y =+----()22332()2()x y x xy y x y =+-+-=-+．3）解311113111131111312346111631161316113c c c c +++=2131416111020000200002r r r r r r ---=622248=⨯⨯⨯=．4）解1234234134124123123410234103411041210123c c c c +++=21314110234011302220111r r r r r r ----=-----32412102340113004404r r r r -+-=--101(4)(4)160=⨯⨯-⨯-=．5）解1111111111111111xx y y +-+-123411110011110r r r r x x x y yy--+--=+--21431100001010c c c c x x x y yy--+--=+--241300(1)0x x y y+++--=---拉普拉斯定理22xy xy x y =⋅=．注1：也可以不用拉普拉斯定理；注2：另解将第4行拆成两行．6）解2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++++++++2131412222214469214469214469214469c c c c c c a a a a b b b b cc c cd d d d ---++++++=++++++324222223221262126021262126c c c c a a b b cc d d --++==++．14．证明1111111112222222222b cc a a b a b cb c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++．证法一左边1231111122222222c c c a c a a b a c a a b a c a a b ---++=-++-++1(2)11111222222c a c a a b a c a a b a c a a b ÷-++=-++++ 21311112222c c c c a c b a c b a c b --=-231112222c c a b ca b c a b c ↔==右边．证法二左边123111111122222222()2()2()c c c a b c c a a b a b c c a a b a b c c a a b ++++++=++++++++12111111122222222c a b c c a a b a b c c a a b a b c c a a b ÷++++=++++++++ 213111111222222c c c c a b c b c a b c b c a b c b c --++--=++--++--1231112222c c c a b c a b c a b c ++--=----23(1)111(1)2222c c a b ca b c a b c ⨯-⨯-==右边． 15．略16．计算下面的行列式：1）1111211312254321- 2）111121121311113211102---3）0121420121135123312121035-- 4）111122011213210211012121302--- 1）解111121*********1-21314124111101151140123r r r r r r ------=---3242111101150001012r r r r +----=--3411110115001201r r ↔---=--34111101151(1)(1)(1)1001201r r ↔---=-=-⨯-⨯-⨯-=--．2）解111121121311113211102---1243223112122211211123201c c c ⨯⨯⨯-=--131211122213112123201r r ↔--=--213141331211041310541120834r r r r r r +-+-=----231211015210541120834r r +--=----32425812110152100211112003720r r r r -+--=--- 211111(1)372012--=-⨯⨯-1(2120(11)37)12=⨯-⨯--⨯1312=-．3）解 0121420121135123312121035--31415133012142012110141030551120241r r r r r r ----=------122121114101(1)355112241+---=⨯----1232422320110191141008174141219r r r r r r +++-----=-----2111019(1)(1)8174141219+--=--⨯-----2331241101907302857r r r r ---=----1173(1)(1)2857+--=--⨯--21473069r r ---=483=-．4）解 1101122011213210211012121302---13522221022201121642108110124261r r r ⨯⨯⨯--=-3141514221022201121202788300300645r r r r r r -+---=--- 31415141222112227811(1)303080645r r r r r r -++----=⨯⨯--31211222581300080645c c -----=--313111213(1)2588645c c -+--=-⨯⨯---21312611230712801017r r r r ++--=---117123(1)(1)10178+-=-⨯-⨯--33((7)1712(10))88=-⨯-⨯-=．17．计算下列n 级行列式：1）000000000000x y x y x y yx； 2）111212122212nnn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------；3）121212n n n x m x x x x m x x x x m---； 4）122222222232222n；5）12311100002200011n n n n-----． 1）解 000000000000x y x y x y y x111110000000000000(1)(1)00000000000000n n n x y y x y x y x y x y y x x y ++--=⋅-+⋅-按第1列展开111(1)n n n x x y y -+-=⋅+⋅-1(1)(2)n n n x y n +=+-≥．2）解当1n =时，1111a b a b -=-；当2n =时，11122122a b a b a b a b ----112212211212()()()()()()a b a b a b a b a a b b =-----=--；当3n ≥时，111212122212nnn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------21311112121212131313112nr r r r n n n na b a b a b a a a a a a a a a a a a a b a b a b --------=------=0．（第2，3两行成比例）3）解121212n n n x mx x x x m x x x x m---12212121nni n i nc c c i n i ni n i x mx x x mx m x x mx x m=+++==---=--∑∑∑121(2,3,,)000i ninr r i i n x mx x m m-==--=-∑11()n n i i m x m -=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑． 4）解 122222222232222n2(1,3,4,,)1000222200100002i r r i n n -=-=-2121000022200100002r r n +-=-(1)2(2)!2(2)!n n =-⨯⨯-=--．另解：1(2,3,,)i r r i n -= ，然后按第2行展开．5）解 1231110000220000011n n n n -----12(1)23120100002200011nc c c n n n n n n++++--=---10002200(1)211n n n n--+=--按第1列展开(1)(1)(2)(1)2n n n +=---11(1)(1)!(1)(1)!(1)22n n n n n n --++=--=-．另解：第1列起，各列加到后一列，然后按第n 列展开．18．证明1）01212011111001100()100nn i ina a a a a a a a a ==-∑； 2）012111021000100010000001n n n n n x a x a x a x a x a x a xa x a ------=++++-+；3）1100010001000001n n αβαβαβαβαβαβαβαβ++++-=+-+； 4）cos 100012cos 100cos 012cos 00012cos n ααααα=；5）1231211111111111111111(1)11111nn i ina a a a a a a a =+++=++∑． 1）证法一当1n =（2级）时，左边=0011111a a a a =-=右边；假设等式对于n 级的情形成立，则对于1n +级情形：左边=0121111001001na a a a0111(1)1(1)(1)2211111111100000(1)(1)100000100n n n n n n nna a a a a a a ++++++-=-+-按第行展开1(1)1(121)12112101(1)(1)[()]n n n n n n n iia a a a a a a a a τ-++---=--+-∑第2个行列式根据归纳假设112112101[()]n n n n iia a a a a a a a a ---=-+-∑ 12101()nn n i ia a a a a a -=-∑=右边．证法二左边=012111100100100n a a a a11221(1)1033200011111111000000000000000(1)000000n n na a a a a a a a a a ++=-++-按第列展开2(121)01223121(1)(1)n n n n n n a a a a a a a a a a τ+--=-++-- 2101223121(1)(1)n n n n n a a a a a a a a a a +--=-++--01223121n n n a a a a a a a a a a -=--- =右边．证法三提示将第(2,3,,1)i i n =+ 行的1ia -倍加到第一行即得下三角行列式． 2）证法一当1n =时，左边=00x a x a +=+=右边；假设等式对于n -1级情形成立，则对于n 级情形：左边=01221000100010000001n n x a x a x a xa x a -----+0121032110001000100010001000100(1)000000100101nn n n n xa x x a x x a xa xa x x a +---------=+---+-按第1行展开111210()(1)(1)n n n x x a x a a -+-=++++-- 第1行列式根据归纳假设2210()n x a x a x a =++++ 第1行列式根据归纳假设=右边．于是，等式成立．证法二左边=01221000100010000001n n x a x a x a xa x a -----+120110000000010001000010000100(1)(1)000100010101n nnx x x x a a x x ++-----=-+-+----按第列展开(1)21000000001000100001000100(1)()(1)00000000000100n nn nn n x x x x x x a x a xx x-++-------++--1122211210121(1)(1)(1)(1)(1)(1)()(1)n n n n n n n n n n a a x a x x a x +-+------=--+--++--++- 110121()n n n n a a x a x x a x ----=+++++=右边．3）将等式左边的行列式记为n D ，按第1列展开，得 12()n n n D D D αβαβ--=+-，即 112()n n n n D D D D αβα----=-，该等式对于一切的n 都成立，于是2123()n n n n D D D D αβα----=- 334()n n D D βα--=- =221()n D D βα-=-22[()()]n βαβαβααβ-=+--+n β=． ① 在原式中，是,αβ对称的，故同理可得1n n n D D βα--=． ②②α⨯-①β⨯，得11()n n n D αβαβ++-=-，所以 11n n n D αβαβ++-=-．另解第二数学归纳法，按第1行展开（略）．4）提示用第二数学归纳法，按第n 行展开得122cos n n n D D D α--=⋅-． 5）提示用数学归纳法，将第n 行拆成两行111 与00n a ． 19—21略。

高等代数学答案02

n n n n n ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 2 2 2 2 ¯ ( |ai | )( |bi | ) ≥ ( |ai ||bi |) = ( |ai bi |) ≥ | ai¯ bi |2 . i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
2. 例 2.65. 3. 例 2.66. 4. 例 2.69.
复习题二
3. 由 A 非异, 则 AA−1 = A−1 A = In , 故直接计算可得 Ak (A−1 )k = (A−1 )k Ak = In . 4. 两边左乘 A−1 ; 两边右乘 A−1 . 5. 沿着这一行 (列) 展开求方阵的行列式显然值为 0, 故为奇异阵. 6. 由 Am = O , 得 (In − A)(In + A + A2 + · · · + Am−1 ) = (In + A + A2 + · · · + Am−1 )(In − A) = In . 7. 由于 B (A + B )−1 A(A−1 + B −1 ) = In , 故 A−1 + B −1 奇异. 8. 由 A2 = In 可得 (A + In )(A − In ) = O . 又 In + A 非异, 故 A − In = O , 即 A = In . 9. 由 A2 = A 可得 A2 − A − 2In = −2In , 即 (A + In )(A − 2In ) = −2In , 故 A + In 非异. 10. 由 A2 − A − 3In = O 可得 (A + In )(A − 2In ) = In , 故 A − 2In 非异.
7 30. 例 2.24. 31. 例 2.25 (3). 32. 例 2.26. 33. 例 2.10 (1). 34. (1) 例 2.36; (2) 例 2.37. 35. 例 2.3. 36. 例 2.32. 37. 例 2.33. 38. 例 2.34. 39. 例 2.35. 40. 例 1.39. 41. 例 2.70 的直接推论. 42. 例 2.71. 43. (1) 例 2.57; (2)2.3.2 训练题解答题 9. 44. 2.3.2 训练题解答题 10. 45. 例 2.48. 46. 例 2.63. 47. 例 2.61. 48. 类似例 2.52, 作多项式 f (x) = a1 + a2 x + a3 x2 + · · · + an xn−1 , 令 ϵ1 , ϵ2 , · · · , ϵn 是 −1 的所有 n 次方根. 又令 V = ··· ··· ···

《高等代数》第二章习题及答案

习题2.11. 设m,n 是不同的正整数，A 是m ×n 矩阵，B 是n ×m 矩阵，下列运算式中有定义的有哪几个？A+B ，AB ，BA ，AB T ，A-B T 答只有AB 和A-B T 有定义． 2. 计算①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134 ③()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛213321 ④()321213⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⑤()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0713******** ⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321012100010501 ⑦()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x解①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-922147117②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22717 ③()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛213321=()11④()321213⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛642321963 ⑤()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0713********=()111813⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321012100010501=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-c b a c b a 32155125 ⑦()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x=233323321331322322221221311321122111x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a ++++++++3. 设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3121，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3101，计算： ① (A+B)(A-B) ② A 2-B 2③ (AB)T ④ A T B T解 ① (A+B)(A-B)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4040002062223101312131013121 ② A 2-B 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛20829401114833101310131213121③ (AB)T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛9643946331013121TT④ A T B T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112413011321131013121TT 4. 求所有的与A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1011可交换的矩阵．解设矩阵B 与A 可交换，则B 必是2×2矩阵，设B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ，令AB=BA ，即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10111011d c b a d c b a 从而有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++d c c b a a d cd b c a 由此得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+=+=+dc d c c b a d b ac a解得，c=0，a=d ，b 为任意数．即与A 可交换的矩阵B 可写成B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b a 0． 5. 设A ，B 是n ×n 矩阵，并且A 是对称矩阵，证明：B T AB 也是对称矩阵．证已知A 是对称矩阵，即A T =A ，从而 (B T AB)T =B T A T (B T ) T =B T AB ，所以B T AB 也是对称矩阵．6. 设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b 0，求A 2，A 3，…，A k．解A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222000b ab b b a b b a bA 3=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3232230020b ab b b a b b ab b …A k =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----k k k k k k b kabb b a b b ab k b 112100)1(0 7.设B 是2×2矩阵．由B 2=02×2能推出B=0吗？试举反例．（提示：参见上题．）解不能．例如令B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000a ，当a ≠0时，B ≠0，但B 2=02×2． 8. 设A ，B 是n ×n 矩阵，证明：(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2的充分必要条件是A 与B 可交换．证充分性：若A 与B 可交换，即AB=BA ，则(A+2B)(A-5B)=A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-5AB+2AB-10B 2= A 2-3AB-10B 2 必要性：若(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2 即 A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-3AB-10B 2 比较两边相同的项得 -2AB+2BA=0 故 AB=BA9. 设A ，B 是n ×n 对称矩阵，证明：AB 是对称矩阵的充分必要条件是A 与B 可交换．证因A ，B 是n ×n 对称矩阵，即A T =A ，B T =B ．必要性：若AB 是对称矩阵，则(AB)T =AB ，有因 (AB)T =B T A T =BA ，从而AB= BA ，即A 与B 可交换．充分性：若A 与B 可交换，由必要性证明过程反图推，知AB 是对称矩阵．习题2.21.设A ，B ，C 是矩阵，且满足AB=AC ，证明：如果A 是可逆的，则B=C ．证已知AB=AC ，两边左乘矩阵A -1，有A -1(AB)= A -1(AC)，根据结合律得(A -1A)B=( A -1A)C ，从而有EB=EC ，故B=C ．2.设P 是可逆矩阵，证明：线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．证设X (1)是AX=β的任一解解，即有AX (1)=β成立，两边左乘矩阵P ，得PAX (1)=P β，说明X (1)也是PAX=P β的解．反之，设X (2)是PAX=P β的任一解，即有PAX (2)=P β成立，两边左乘矩阵P -1，得P -1 (PAX (2))= P -1 (P β)，根据结合律得(P -1 P)AX (2)=(P -1 P)β，从而有AX (2)=β，这说明X (2)也是AX=β的解．综合以上可知，线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．3.设P 是n ×n 可逆矩阵，C 是n ×m 矩阵．证明：矩阵方程PX=C 有唯一解．证令X *=P -1C ，代入PX=C 中验证知X *是矩阵方程的一个解．反之，设X (1)是矩阵方程PX=C的任一解，即有PX (1)=C 成立，两边左乘P -1得，X (1)=P -1C=X *，所以矩阵方程PX=C 有唯一解．4. 设A 是n ×n 可逆矩阵，且存在一个整数m 使得A m=0．证明：(E-A)是可逆的，并且(E-A)-1=E+A+…+A m-1．证由于(E-A)(E+A+…+A m-1)=E+A+…+A m-1-A-A 2-…-A m =E-A m=E-0=E显然交换(E-A)和(E+A+…+A m-1)的次序后相乘结果仍成立，根据逆阵的定义知(E-A)-1=E+A+…+A m-1．5.设P ，A 都是n ×n 矩阵，其中P 是可逆的，m 是正整数．证明：(P -1AP)m =P -1A mP ．证 (P -1AP)m =(P -1AP)(P -1AP)(P -1AP)…(P -1AP)=P -1A(PP -1)A(PP -1)…AP=P -1AEAE …AP=P -1A m P6. 设A ，B 都是n ×n 可逆矩阵，(A+B)一定是可逆的吗?如果(A+B)是可逆的，是否有(A+B)-1=A -1+B -1？若不是，试举出反例．解如果A ，B 都是n ×n 可逆矩阵，(A+B)不一定是可逆的．例如A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1001都是可逆的，但A+B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000是不可逆的．如果(A+B)是可逆的，也不能说(A+B)-1=A -1+B -1．例如A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001，则A ，B 可逆，A+B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2002可逆，且(A+B)-1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2/1002/1，但A -1+B -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2002．显然(A+B)-1≠A -1+B -1．7*.设A ，B 都是n ×n 矩阵，满足ABA=A ，β是n ×1矩阵．证明：当且仅当AB β=β时，线性方程组AX=β有解．证当AB β=β时，记X *=B β，即X *是AX=β的一个解．反之，若线性方程组AX=β有解，设X (1)是它的一个解，即有AX (1)=β，两边左乘(AB)得(ABA)X (1)=AB β用已知条件ABA=A 代到上式左边得AX (1)=AB β 由于X (1)是AX=β的一个解，即AX (1)=β，所以AB β=β．习题2.31.用行和列的初等变换将矩阵A 化成⎪⎪⎭⎫⎝⎛000E 的形式： A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10030140300400001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---04000100301403001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000040001403001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000040000003000001→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000010000010000012.用初等变换判定下列矩阵是否可逆，如可逆，求出它们的逆矩阵：①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----134112112 ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----153132543 解 ①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----100134010112001112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---102110011200001112→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011200102110001112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--02/12/110012/12/301002/12/1012→ →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/110012/12/3010112002→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/110012/12/30102/12/11001 所给矩阵可逆，其逆阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/112/12/32/12/11②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----100153010132001543→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------101610013/23/73/10001543→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---131100032710001543→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------13110071850105154043 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1311007185010338724003→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----131100718501011298001 所给矩阵可逆，其逆阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1317185112982.解下列矩阵方程：①⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111152X ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101111201021121101X ③⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X解 ①⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11111152→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11521111→⎪⎪⎭⎫⎝⎛---33701111 →⎪⎪⎭⎫⎝⎛--7/37/3107/47/401 由此得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=7/37/37/47/4X ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101021111121201101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---302120112220201101 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----414300112220201101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3/43/13/41006/56/13/10103/23/13/1001 由此得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3/43/13/46/56/13/13/23/13/1X ③对等式两端分别转置得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--233141*********T X 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---231013111141122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---231014112231111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---520102330031111 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---233005201031111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3/21100520103/70011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3/21100520103/82001 所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=3/21523/82TX⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3/253/8122X4.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011110001A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110020102B ，又X 是可逆矩阵，并且满足矩阵方程AX 2B=XB ，求矩阵X ．解 (B,E)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100110010020001102→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10011002/10010001102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12/1010002/10010001102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12/1010002/1001012/11002 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12/1010002/100102/14/12/1001 从以上看出B 可逆，对AX 2B=XB 两边右乘B -1得AX 2=X ．已知X 可逆，对AX 2=X 两边右乘B -1得AX=E ．又(A,E)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100011010110001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010010110001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101010111100001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111100101010001001 所以 X=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111010015.①证明：B 与A 行等价⇔存在可逆矩阵P ，使B=PA ．②证明：B 与A 等价⇔存在可逆矩阵P 与Q ，使B=PAQ ．证若B 与A 行等价，即A 可经有限次初等行变换得到B ，而对矩阵A 每做一次初等行变换，相当于对它左乘一个初等方阵，假设对A 依次左乘初等方阵P 1，P 2，…，P K ，使P k …P 2P 1A=B令P=P k …P 2P 1，则P 是可逆矩阵，且B=PA ．反之，若存在可逆矩阵P ，使B=PA ，因为可逆矩阵P 可以写成一系列初等方阵P 1,P 2, …,P k的乘积，即P=P 1P 2…P k ，从而有B=P 1P 2…P k A ，说明A 可经有限次初等行变换得到B ，即B 与A 行等价．② 若B 与A 等价，即对A 经过有限次初等变换得到B ．而对矩阵A 每做一次初等行变换，相当于对它左乘一个初等方阵；对矩阵A 每做一次初等列变换，相当于对它右乘一个初等方阵．假设对A 左乘的初等方阵依次为P 1，P 2，…，P s ，对A 右乘的初等方阵依次为Q 1，Q 2，…，Q t ，使P s …P 2P 1AQ 1Q 2…Q t =B令P=P s …P 2P 1，Q=Q 1Q 2…Q t ，则P ，Q 都是可逆矩阵，且B=PAQ ．反之，若存在可逆矩阵P 和Q ，使B=PAQ ，因为可逆矩阵P 和Q 均可以写成一系列初等方阵的乘积，设P=P 1P 2 …P s ，Q=Q 1Q 2…Q t ，这里P i ,Q i 都是初等方阵，从而有B=P 1P 2…P k A Q 1Q 2…Q t ，说明A 可经有限次初等行变换和初等列变换得到B ，即B 与A 等价． 6*.设A 是s ×n 矩阵，B 是s ×m 矩阵，B 的第i 列构成的s ×1矩阵是βj （j=1,2,…,m ）．证明：矩阵方程AX=B 有解的充分必要条件是：AX=βj （j=1,2,…,m ）都有解．证先证必要性．如果矩阵方程AX=B 有解，设X *是它的解，则X *是n ×m 矩阵，记X *的第j 列为X *j ，根据矩阵先相乘的规则知，A 与X *j 相乘的结果是βj ，即X *j 是AX=βj 的解（j=1,2,…,m ）．再证充分性．若AX=βj （j=1,2,…,m ）都有解，设X *j 是AX=βj 的解，这里X *j 是n ×1矩阵，令X *=(X *1, X *2,…,X *m )，则X *是n ×m 矩阵，且X *是矩阵方程AX=B 的解． 7*.设A=(a ij )是n ×n 矩阵．①证明：如果P n (h(2))A=AP n (h(2)),则a hj =0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ；并且a ih =0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ．②设B=diag(b 1, b 2,…, b n )是一个对角矩阵，设l ≠k ．证明：如果P n (l,k)B=BP n (l,k)，b l =b k ．③证明：如果矩阵A 与所有的n ×n 矩阵都可交换，则A 是一个数量矩阵．证 ①如果P n (h(2))A=AP n (h(2)),则A 是n ×n 矩阵，等式左边的P n (h(2))A 表示将矩阵A 的第h 行每个元素乘以2得到的矩阵；等式右端的AP n (h(2))表示将A 的第h 列每个元素乘以2得到的矩阵．从等式可知2a hj = a hj （j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ），a ih =2a ih （i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ），从而得a hj =0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ；并且a ih =0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ．②如果P n (l,k)B=BP n (l,k),则B 是n ×n 矩阵，等式左边的P n (l,k)B 表示将矩阵B 的第l 行和第k 行交换位置；等式右端的BP n (l,k) 表示将矩阵B 的第l 列和第k 列交换位置．由于B=diag(b 1, b 2,…, b n )是一个对角矩阵，且l ≠k ，不妨设l<k ，则有P n (l,k)B=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n l k b b b b 001=BP n (l,k)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n k lb b b b001比较对应元素，可知b l =b k ．③如果矩阵A 与所有的n ×n 矩阵都可交换，在①中分别令h=1,2,…,n ，可知A 除对角线上元素以外其它元素都是零，即A 可写成diag(b 1, b 2,…, b n )；在②可令l=1，分别令k=2,…,n ，可知A 的对角线上元素都相等．习题2.41.设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ，其中A 1是s ×s 矩阵，A 2是s ×t 矩阵，A 4是t ×t 矩阵．求A 3．解 A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4210A A A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+244221210A A A A A A A 3=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4210A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+244221210A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++34242421221310A A A A A A A A A2.①设G=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rE 是m ×n 矩阵，证明：存在矩阵B ，使得GBG=G ． ②设A 是m ×n 矩阵，证明：存在矩阵B ，使得ABA=A ．证 ①构造n ×m 矩阵B 为B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n rr n r m r rE ，则GBG=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n r r n r m r rE ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE =G②设矩阵A 的秩为r ，则可经过有限次初等变换使A 变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE 的形式，即存在可逆的n ×n 矩阵P 和可逆的m ×m 矩阵Q 使PAQ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m r r m r n r r E =D ，即A=P -1DQ -1．定义n ×m 矩阵B 如下：B=QCP ，其中C=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n rr n r m r rE ．则有ABA=(P -1DQ -1)(QCP)(P -1DQ -1)= P -1DCDQ -1=P -1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m r r m r n r r E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n r r n r m r rE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE Q -1= P -1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE Q -1=A3*.设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛4210A A A ，其中A 1是s ×s 矩阵，A 2是s ×t 矩阵，A 4是t ×t 矩阵．证明：如果A 1，A 4都是可逆的，则A 也是可逆的，进一步，求A 的逆矩阵．证如果A 1，A 4都是可逆的，令B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142110A B A ，其中A 1-1，A 4-1分别是A 1，A 4的逆阵，B 2是s ×t 矩阵．令AB=E ，即有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142110A B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t s E A A B A E 014221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛t s E E 00，从而 A 1B 2+ A 2A 4-1=0，由此得B 2=-A 1-1A 2A 4-1．说明A 也是可逆的，且A -1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1414211110A A A A A。

高等代数作业第二章行列式答案

高等代数第四次作业第二章行列式 §1—§4一、填空题1.填上适当的数字,使72__43__1为奇排列、 6,52.四阶行列式44⨯=ija D 中,含24a 且带负号的项为_____、 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a3.设.212222111211d a a a a a a a a a nnn n n n =ΛΛΛΛΛΛΛ则._____122122211121=n n nnn na a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ(1)2(1)n n d -- 4.行列式11111111---x 的展开式中, x 的系数就是_____、 2 二、判断题1、若行列式中有两行对应元素互为相反数,则行列式的值为0 ( )√2、设d =nnn n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211则121112222121n n n nn n a a a a a a a a a L L L L L L L =d ( )×3、设d =nnn n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211则d a a a a a a a a a nnn n n n-=112112122221ΛΛΛΛΛΛΛΛ( )×4、 abcd zz z dy y c x b a =000000( ) √ 5、abcd dcx b y x a z y x-=000000 ( )× 6、0000000=yxh gf e d c b a ( )√7、如果行列式D 的元素都就是整数,则D 的值也就是整数。

( )√ 8、如果行列D 的元素都就是自然数,则D 的值也就是自然数。

( )×9、n na a a a a a ΛN 2121= ( )×10、 01000200010ΛΛΛΛΛΛΛΛΛnn -=n ！ ( )× 三、选择题1.行列式01110212=-k k 的充分必要条件就是 ( ) D(A)2=k (B)2-=k (C)3=k (D)2-=k 或 3 2.方程093142112=x x 根的个数就是( )C (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 3.下列构成六阶行列式展开式的各项中,取“+”的有 ( )A(A)665144322315a a a a a a (B)655344322611a a a a a a (C)346542165321a a a a a a (D)513312446526a a a a a a4、 n 阶行列式的展开式中,取“–”号的项有( )项 A(A)2!n (B)22n (C)2n (D)2)1(-n n5.若(145)11243455(1)k l k l a a a a a τ-就是五阶行列式的一项,则l k ,的值及该项的符号为( )B (A)3,2==l k ,符号为正; (B)3,2==l k ,符号为负; (C)3,1k l ==,符号为正; (D)1,3k l ==,符号为负6.如果0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ,则3332312322211312111222222222a a a a a a a a a D = = ( )C(A)2 M (B)－2 M (C)8 M (D)－8 M 7.如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ,3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ,则=1D ( )C(A)8 (B)12- (C)24- (D)24 四、计算题 1. 计算3214214314324321解:3214214314324321321421431432111110=123012101210111110------=440004001210111110---=400004001210111110---==1602、计算3111131111311113、解:3111131111311113=31111311113111116•=20000200002011116•=.48263=⨯高等代数第五次作业第二章行列式 §5—§7一、填空题1、设ij ij A M ,分别就是行列式D 中元素ij a 的余子式,代数余子式,则._____1,1,=+++i i i i A M 02、 122305403-- 中元素3的代数余子式就是、6-3、设行列式4321630211118751=D ,设j j A M 44,分布就是元素j a 4的余子式与代数余子式,则44434241A A A A +++ = ,44434241M M M M +++= 、0,66- 4、若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解,则k 、 2≠5、含有n 个变量,n 个方程的齐次线性方程组,当系数行列式D 时仅有零解、 0≠ 二、判断题1、若n 级行列试D 中等于零的元素的个数大于2n n -,则D=0 ( )√2、222)(00000000a b b a a b b a ab -= ( )√ 3、222)(00000000b a a b b a a b b a -= ( )√4、0=d b a c d b c a b d c a b d a c ( )√ 5、483111131111311113= ( )√ 6、)(000000hx gy a yh fdx g e c b a -= ( )× 7、0107310111187654321=--- ( )√三、选择题1、行列式102211321的代数余子式13A 的值就是( )D(A)3 (B)1- (C)1 (D)2-2.下列n (n >2)阶行列式的值必为零的就是 ( )D(A)行列式主对角线上的元素全为零 (B)行列式主对角线上有一个元素为零 (C)行列式零元素的个数多于n 个 (D)行列式非零元素的个数小于n 个3.若111111111111101)(-------=x x f ,则)(x f 中x 的一次项系数就是( )D(A)1 (B)1- (C)4 (D)4-4.4阶行列式4433221100000000a b a b b a b a 的值等于( )D(A)43214321b b b b a a a a - (B)))((43432121b b a a b b a a -- (C)43214321b b b b a a a a + (D)))((41413232b b a a b b a a -- 5.如果122211211=a a a a ,则方程组 ⎩⎨⎧=+-=+-022221211212111b x a x a b x a x a 的解就是( )B(A)2221211a b a b x =,2211112b a b a x = (B)2221211a b a b x -=,2211112b a b a x = (C)2221211a b a b x ----=,2211112b a b a x ----=(D)2221211a b a b x ----=,2211112b a b a x -----=6、三阶行列式第3行的元素为4,3,2对应的余子式分别为2,3,4,那么该行列式的值等于( )B(A)3 (B)7 (C)–3 (D)-77.如果方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-+050403z y kx z y z ky x 有非零解,则 k =( )C(A)0 (B)1 (C)－1 (D)3 四、计算题1、计算D=100110011001aa aa---解:方法1:100110011001aa a a ---21r r ↔=aa a a 100110001011---21r ar +=aaa a a 101100100112--+-32r r ↔=aa a a a 100101100112-+--232(1)r a r ++=aa a a a a 100120011001123-++--=aa a a 11223-++=.13)1()2(2423++=+++a a a a a a方法2:将行列式按第一行展开,有:1001101101a aa a---=1011011010101a a a aa a-----=1]01111[2++---•a aaa a a=1])1([22++++a a a a a .1324++=a a2、计算12125431432321-=n n n D n ΛM M M M ΛΛΛ解:12125431432321-n n n ΛM M M M ΛΛΛ121)1(254)1(143)1(32)1(21212121-++++=n n n n n n n n n n ΛM M M M ΛΛΛ121125411431321)1(21-+=n n n n ΛM MM M ΛΛΛ11101111110321)1(21ΛMMM M ΛΛΛn nnn n --+=111111111)1(21ΛM M MΛΛn n n n n ---+=)1()1(0000111)1(121212)1(+-=---+=--n n n n n n n n n ΛM M MΛΛ3、计算6427811694143211111解:6427811694143211111)34)(24)(23)(14)(13)(12(------=12=4、计算=n D 12111111111na a a +++L L M M M L 解:=n D 12111111111na a a +++LL M M M Lna a a ΛM M M ΛΛ1101101121++=12111111+111a a ++LLM M ML1211--+=n n n a a a D a Λ).11(121∑=+=ni in a a a a Λ 5、解方程:22x 9132513232x 213211--=0、解:22x 9132513232x 213211--=223310131000103211x x -----=223310131000103211)1(x x ----•-=223300130000103211)1(x x ----•-=224000130000103211)1(x x ---•-=223(1)(4)x x ---.2,1±±=∴x五、证明题1.证明:0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a 证明:()()()()()()()()()()()()43433232212222222222222222222222221232123252122123212325212221232521221232123252122123c c c c c c c c c c a a a a a a a a a a bb b b b b b b b bc c c c c c c c c cd d d d d d d d d d -----++++++++++++++++++++++++++++ 40推论2.设111,12,11,111211ΛΛM M M Λn n n n n a a a a a a D ---=,求证:n D D D D +++=Λ21,其中k D ()1,2,,k n =L 为将D 中第k 列元素换成121,,,,1n x x x -L 后所得的新行列式。

高等代数2

和
a11 a12 La1n
a21 a22 La2n LLLLL an1 an2 Lann
= ∑ (−1) a a La τ (i1i2Lin )+τ ( j1 j2L jn )
i1 j1 i2 j2
in jn
i1j1i2jL2 Lin jn
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高等代数第二章行列式
§2.4 行列式的性质与计算
一般用 i ↔ j 写在等号上面表示交换第 i 行与第 j 行; 写在等号下面表示交换第 i 列与第 j 列。
方法提示：计算行列式的基本方法——化行列式为三角形行列式。
0 1 1 −1 例 1 计算四阶行列式 1 0 2 1 。
−1 1 2 0 −2 0 1 1
（答案：1）
例 2 计算 n 阶行列式
高等代数第二章行列式
第二章行列式
§2.1 引言
高等代数的另一个重要概念是行列式。它是一个形式化运算或表示数字运算结果的符号形式。下面我们从简单的解方程组问题引进二阶和三阶行列式概念，再通过其定义中所涉
及的排列性质，找出规律，用来定义一般的 n 阶行列式。
设有一个二元线性方程组
⎧⎨⎩ aa1211xx11
（答案： a1a2a3 Lan−1an ⎜⎜⎝⎛1 +
1 a1
+
1 a2
+
1 a3
+L+
1 an−1
+
1 an
⎟⎟⎠⎞ ）
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高等代数第二章行列式
二、行列式按某行（列）展开
一般来说，低阶行列式的计算较高阶行列式要简单。因此，我们自然要考虑能否用较低阶行列式来表示高阶行列式的问题。为了研究这个问题，先引进行列式元素的余子式和代数余子式的概念。

高等代数课后答案高等教育出版社

另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。

由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。

从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。

高等代数第二章课后习题

第二章行列式
第二章行列式
第二章行列式
第二章行列式
第二章行列式
x1-m
x2
…
xn
x1
x2-m … xn
3）
.
.
.
.
. .
.
.
.
x1
x2
…
xn-m
第二章行列式
第章行列式
2
1
第二章行列式
5x1+6x2=1 x1+5x2+6x3=0 4） x2+5x3+6x4=0 x3+5x4+6x5=0
x4+5x5=1
2
第章行列式 3
ห้องสมุดไป่ตู้
a a ...a 2
n-1
n-1
n-1 n-1
其中 a1，a2，...，an-1 是互不相同的数. 1) 由行列式定义说明，p(x)是一个 n-1 次多项式;
2)由行列式性质,求 p(x)的根 .
4
1.计算下面的行列式:
第二章行列式
246 427 327
1)
1014 543 443 ;
-342 721 621
1
第章行列式 2
第二章行列式
6.由行列式定义计算
2x x 1 2
f（x）= 1 3
x 1 -1 2x 1
1 11 x
中 x4 与 x3 的系数，并说明理由.
3
第二章行列式
证明奇偶排列各半.
8.设
1
P(x)=
1 .
.
.
1
x
x2...xn-1
a1 a12 ...a1n-1 . .. . .. . ..

高等代数作业第二章行列式答案

高等代数作业第二章行列式答案第二章行列式§1—§4一、填空题1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 6，52．四阶行列式44?=ija D 中,含24a 且带负号的项为_____. 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a3．设.212222111211d a a a a a a a a a nnn n n n =ΛΛΛΛΛΛΛ则._____122122211121=n n nnn na a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ(1)2(1)n n d -- 4．行列式11111111---x 的展开式中, x 的系数是_____. 2 二、判断题1. 若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （）√2. 设d =nnn n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211则121112222121n n n nn n a a a a a a a a a L L L L L L L =d （）×3. 设d =nnn n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211则d a a a a a a a a a nnn n n n-=112112122221ΛΛΛΛΛΛΛΛ（）×4.abcd zzz dy y c x b a =000000 ( ) √ 5.abcd dcx b y x a z y x-=000000 （）× 6.0000000=yxh gf e d c b a （）√7. 如果行列式D 的元素都是整数，则D 的值也是整数。

（）√ 8. 如果行列D 的元素都是自然数，则D 的值也是自然数。

（）×9.n na a a a a a ΛN 2121= （）× 10. 0100002000010ΛΛΛΛΛΛΛΛΛnn -=n ！（）× 三、选择题1．行列式01110212=-k k 的充分必要条件是 ( ) D（A ）2=k （B ）2-=k （C ）3=k （D ）2-=k 或 32．方程093142112=x x 根的个数是( )C （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 ( )A（A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a aa （C ）346542165321a a a a a a （D ）513312446526a a a a a a4. n 阶行列式的展开式中，取“–”号的项有（）项 A（A ）2!n （B ）22n （C ）2n （D ）2)1(-n n5．若(145)11243455(1)k l k l a a a a a τ-是五阶行列式的一项，则l k ,的值及该项的符号为( )B （A ）3,2==l k ，符号为正；（B ）3,2==l k ，符号为负；（C ）3,1k l ==，符号为正；（D ）1,3k l ==，符号为负6．如果0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ，则3332312322211312111222222222a a a a a a a a a D = = ( )C（A ）2 M （B ）－2 M （C ）8 M （D ）－8 M 7．如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ，则=1D ( )C（A ）8 （B ）12- （C ）24- （D ）24四、计算题1．计算3214214314324321解：3 2142143143243213 21421431432111110 =123012101 210111110------=4 40004001 210111110---=400004001 210111110---==1602. 计算311113111131 1113. 解：3111131111311113=3111 1311113111116?=2 000020000201 1116?=.48263=?高等代数第五次作业第二章行列式§5—§7一、填空题1. 设ij ij A M ,分别是行列式D 中元素ij a 的余子式,代数余子式,则._____1,1,=+++i i i i A M 02. 122305403-- 中元素3的代数余子式是 .6-3. 设行列式4321630211118751=D ，设j j A M 44,分布是元素j a 4的余子式和代数余子式，则44434241A A A A +++ = ，44434241M M M M +++= .0,66- 4. 若方程组??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解，则k . 2≠5. 含有n 个变量，n 个方程的齐次线性方程组，当系数行列式D 时仅有零解. 0≠ 二、判断题1. 若n 级行列试D 中等于零的元素的个数大于2n n -，则D=0 （）√2.222)(00000000a b b a a b b a ab -= （）√ 3.222)(00000000b a a b b a a b b a -= （）√4.0=d b a c d b c a b d c a b d a c （）√ 5.483111131111311113= （）√ 6.)(000000hx gy a yh fdx g e c b a -= （）× 7.0107310111187654321=--- （）√三、选择题1. 行列式102211321的代数余子式13A 的值是( )D（A ）3 （B ）1- （C ）1 （D ）2- 2．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 ( )D（A ）行列式主对角线上的元素全为零（B ）行列式主对角线上有一个元素为零（C ）行列式零元素的个数多于n 个（D ）行列式非零元素的个数小于n 个3．若111111111111101)(-------=x x f ，则)(x f 中x 的一次项系数是( )D（A ）1 （B ）1- （C ）4 （D ）4-4．4阶行列式4433221100000000a b a b b a b a 的值等于( )D（A ）43214321b b b b a a a a - （B ）))((43432121b b a a bb a a -- （C ）43214321b b b b a a a a + （D ）))((41413232b b a a b b a a -- 5．如果122211211=a a a a ，则方程组 ??=+-=+-0022221211212111b x a x a b x a x a 的解是( )B （A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x =（B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x = （C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x ----=（D ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x -----=6. 三阶行列式第3行的元素为4，3，2对应的余子式分别为2，3，4，那么该行列式的值等于( )B（A ）3 （B ）7 （C ）–3 （D ）-77．如果方程组 ??=--=+=-+050403z y kx z y z ky x 有非零解，则 k =( )C （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）3 四、计算题1. 计算D=10011001101aa aa ---解：方法1：100110011001aa a a ---21r r ?=a aa a 100110001011---21r ar +=aaa a a 1001100100112--+-32r r ?=aaa a a10101100112-+--232(1)r a r ++=aa a a a a 100120011001123-++--=aa a a 11223-++=.13)1()2(2423++=+++a a a a a a 方法2：将行列式按第一行展开，有：1001101101a aa a---=1011011010101a a a aa a-----=1]01111[2++---?a aaa a a=1])1([22++++a a a a a .1324++=a a 2. 计算12125431432321-=n n n D n ΛM M M M ΛΛΛ解：12125431432321-n n n ΛM M M M ΛΛΛ121)1(254)1(143)1(32)1(21212121-++++=n n n n n n n n n n ΛM M M M ΛΛΛ1 21125411431321)1(21-+=n n n n ΛM MM M ΛΛΛ11101111110321)1(21ΛMMM M ΛΛΛn nnn n --+=111111111)1(21ΛM M MΛΛn n n n n ---+=)1()1(0000111)1(121212)1(+-=---+=--n n n n n n n n n ΛM M MΛΛ3. 计算6427811694143211111解：6427811694143211111)34)(24)(23)(14)(13)(12(------=12= 4. 计算=n D 12111111111n a a a +++L L M M M L解：=n D 12111111111na a a +++LL M M MLna a a ΛM M M ΛΛ1101101121++=12111111+111a a ++LLM M ML1211--+=n n n a a a D a Λ).11(1 21∑=+=ni in a a a a Λ 5. 解方程：22x 9132513232x 213211--=0. 解：22x9132513232x 213211--=223310131000103211x x -----=2 23310131000103211)1(x x ----?-=223300130000103211)1(x x ----?-=22400130000103211)1(x x ---?-=223(1)(4)x x ---.2,1±±=∴x五、证明题1．证明:0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a 证明：2．设111,12,11,111211ΛΛM M M Λn n n n n a a a a a a D ---=，求证：n D D D D +++=Λ21，其中k D ()1,2,,k n =L 为将D 中第k 列元素换成121,,,,1n x x x -L 后所得的新行列式。

《高等代数与解析几何》第二章行列式专题练习

第二章行列式专题练习一、选择题1、行列式102211321的代数余子式13A 的值是( )（A ）3 （B ）1- （C ）1 （D ）2- 2．行列式01110212=-k k的充分必要条件是 ( ) （A ）2=k （B ）2-=k （C ）3=k （D ）2-=k or 33．方程093142112=x x根的个数是( ) （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 ( )（A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5. n 阶行列式的展开式中，取“–”号的项有（）项（A ）2!n （B ）22n （C ）2n （D ）2)1(-n n6．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式的一项，则l k ,的值及该项的符号为( )（A ）3,2==l k ，符号为正；（B ）3,2==l k ，符号为负；（C ）2,3==l k ，符号为正；（D ）2,3==l k ，符号为负7．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 ( )A 行列式主对角线上的元素全为零B 三角形行列式主对角线上有一个元素为零C 行列式零的元素的个数多于n 个D 行列式非零元素的个数小于n 个8．如果0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ，则3332312322211312111222222222a a a a a a a a a D = = ( ) （A ）2 M （B ）－2 M （C ）8 M （D ）－8 M9．如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ，则=1D ( ) （A ）8 （B ）12- （C ）24- （D ）2410．若111111111111101)(-------=x x f ，则)(x f 中x 的一次项系数是( )（A ）1 （B ）1- （C ）4 （D ）4-11．4阶行列式443322110000000a b a b b a b a 的值等于( ) （A ）43214321b b b b a a a a - （B ）))((43432121b b a a b b a a -- （C ）43214321b b b b a a a a + （D ）))((41413232b b a a b b a a -- 12．如果122211211=a a a a ，则方程组 ⎩⎨⎧=+-=+-022221211212111b x a x a b x a x a 的解是( )（A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x =（B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x =（C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x ----=（D ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x -----=13、设A 为 n 阶可逆阵，且A = 2，则1-A = （）（A ）2 （B ）0.5 （C ）2 4 （D ）2 314、三阶行列式第3行的元素为4，3，2对应的余子式分别为2，3，4，那么该行列式的值等于( B )（A ）3 （B ）7 （C ）–3 （D ）-715．如果方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-+050403z y kx z y z ky x 有非零解，则 k =( ) （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）3二、填空题 1、1211=--kk ，则k= ； 2．排列36715284的逆序数是；3．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为；4．若54435231a a a a a j i 为五阶行列式带正号的一项，则 i = ， j = ；5. 行列式=111110110110111 ； 6．若方程225143214343314321x x --= 0 ，则x= ；7．行列式=2112100121012 ； 8. 122305403-- 中元素3的代数余子式是；9. 设行列式4321630211118751=D ，设j j A M 44,分布是元素j a 4的余子式和代数余子式，则44434241A A A A +++ = ，44434241M M M M +++= ；10. 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解，则k ；11. 含有n 个变量，n 个方程的齐次线性方程组，当系数行列式D 时仅有零解12. 设A 为五阶矩阵，2=A ，*A 为伴随矩阵，则=*A ；13. 设A 为三阶矩阵，3=A ，则=-A 2 .三、计算题1．598413111 2．132213321３．yxyx x y x y y x y x+++ ４．001100000100100５．000100002000010n n - ６．11,22111,111n n n n a a a a a a --7．2605232112131412- 8．32142143143243219.计算3111131111311113. 10.计算D=a101a1001a 1001a ---11.计算D=44332211a 0b 0a b 00b a 0b 00a12. 12125431432321-=n n nD n13.642781169414321111114、2001520104211111=A 15、3321322132113211111b a a a a b a a a a b a a a a +++16．xa aax a aa x17. =n D 12111111111n a a a +++18、解方程0132132213211321=-+-+-+-xb b b b b b x b b b b b b x b b b b b b b n n n n n19.解方程：22x 9132513232x 213211--=0.20.已知齐次线性方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++0x x px 0x x 2x 0x x x 321321321 ,当p 为何值时，方程组仅有零解？又在何时有非零解？21.用克莱姆规则解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++137x 4x 5x 1066x 2x 2x 528x x x 2321321321四、证明题已知：向量组，321,,ααα线性无关，证明：321211,,αααααα+++线性无关。

行列式课后练习及答案

0

0 0 0 0 0 0

0 解：Dn (1)
n ( n 1) 2

0 0 0
0 0

0 0
...............................

0

(1)
n ( n 1) 2

[ n ( 1) n 1 n ]
[ n 1 (1) n 1 n 1 ] (1)
2.若
(5 ) x1 2 x2 2 x3 0, 2 x1 (6 ) x2 0, 有非零解, 则 = 2或5或8 . 2 x1 (4 ) x3 0
5
x1 x2 x3 x4 5, x 2 x2 x3 4 x4 2, 3. 1 2 x 3x x3 5 x4 2, 的解是否唯一? 3x1 x 2 1 2 2 x3 11x4 0
答案：1.行列式概念的引进课后作业
a11
1. a21
a12 a22 a32 4 3 6 1 0 0 3 5
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a33
a31 1 3 1 3
2. 5 2 1 80
(1 a) x1 x2 xn 0, 2 x (2 a)x 2x 0, 2 n 4.设齐次线性方程组为 1 (n 2) , 若其有非零解, nx1 nx2 (n a)xn 0.
则 a=
n(n 1) 或a 0 2
x1 2 x2 x3 1, 5.用克莱姆法则求解 2 x1 3x2 x3 0, 4 x 7 x 2 x 2. 2 3 1

高等代数作业 第二章行列式答案

高等代数教程上王萼芳著课后习题部份解答2012

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高等代数2.1-引言

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高代(北大版) 第二章 行列式

高等数学 线性代数 习题答案第二章

高等代数《行列式》部分习题及解答

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高等代数2

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