复数的几种表示形式的转换及计算

负数几种形式的转换
例1：将 F1 9.573 化为直角坐标形式。
解： F1 9.5cos73 j9.5sin73 2.78 j9.08
例2：将 F2 20 j40 化为极坐标形式。
解： | F2 | （ 20）2 （ 40）2 44.7
F2在第三象限，
2．角频率ω ：
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹）
ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T
ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
T
单位：rad/s（弧度/秒）
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。
⑤|12|=π
－－u1和i2反相。
§8-3 相量法的基础
一、相量法的引入
正弦稳态电路频率特点： 在线性电路中，如果电路的激励都是同一频率
的正弦量，则电路全部的稳态响应都将是同频率的 正弦量。
由于正弦稳态电路频率的特点，将同频率的正 弦量的三要素之一()省去，其余两要素用复数形 式来表示正弦量的方法称为相量法。
2
F1
O
1
+1
复数的乘法
3．除法运算：
①代数形式：
F1 F2

a1 a2

jb1 jb2
（（aa21

jb1）（a2 jb2）（a2
jb2） jb2）
（aa12）a22
b1b2 （b2）2

j（aa22）b21
a1b2 （b2）2
②指数形式：
④图解法：
F1 F2
e j 1
F2
－－旋转因子 jF1
F1 -jF2
j
e2

j
，e
-
j

2
j
，e j
-1
O
+1
旋转因子示意
乘以j，即把复数逆时针旋转π/2； 乘以-j（除以j），即把复数顺时针旋转π/2。
§8-2 正弦量
一、正弦电压和电流
1．定义：
随时间按正弦规律变换的电压和电流。
2．数学表达式：

| |
F1 F2
| |
e e
j 1 j 2
| F1 | e j（1 2） | F2 |
+j
F1
③极坐标形式：
F1 F2

| F1 | F2
| 1 | 2

| F1 | F2
| |

1
2
模相除，辐角相减。
F1/F2
1 1 - 2
F2
O
2
+1
复数的乘法
4．旋转因子： +j
1 T
T 0
Im2cos（2 t

i）dt
－－均方根值
I Im / 2 0.707Im
工程中使用的交流电气设备铭牌上标注的额定电压、
电流的数值，以及交流电压表、电流表表面上标注的数字 都是有效值。
三、几个概念
2．相位差：
同频率正弦量的相位之差，为一常数，与时间无关。
u1
2Ucos（t
u（t）
U
m
cos（t


）
u
i（t）
I m cos（t


）
i
－－本书采用cosine函数。
二、正弦量的三要素
1．幅值Um/Im：
Um、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ω t+)=1时，imax=Im；当cos(ω t+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
二、正弦量的相量
u（t） Umcos（t ）
由欧拉公式：
e j（t） cos（t ） jsin（t ）
则Ume j（t） Um cos（t ） j Um sin（t ）
arctan（ 40） 180 63.4 180 243.4
20
F2 44.7243.4
二、复数的四则运算
பைடு நூலகம்1．加、减法运算：
①代数法：
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j( b1 b2 )
值arctan（b）〔

，
〕，
若
O
实部为负
数
，
a
22
则arctan（b） 才是正确的辐角。
a
F
a
+1
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
3．三角形式： F F（cos jsin）
4．指数形式：
由欧拉公式： e j cos jsin
F F e j
5．极坐标形式： F F
实部与实部相加减， 虚部与虚部相加减。
②图解法：
++jj F2
F2
O
O
F1 F1+F2
++j j F2
+1F2
O
F1-F2
F1 -F2
复数减法的平行四+1边形法和三O角形法
复数加法的平行四边形法和三角形法
F1-F2 F1 F1+F2 F2 +1
F1
+1
2．乘法运算：
①代数形式：
F1F2 ( a1 jb1 )( a2 jb2 ) ( a1a2 b1b2 ) j( a2b1 a1b2 )
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
1．代数形式： F a jb
Re[F] a --复数F的实部
Im[F] b --复数F的虚部
2．向量形式：
a F cos
b F sin
+j
F a2 b2 --复数F的模(值)
b |F|
argF --复数F的辐角

由
于
主


）
u1
i2
2
Icos（t


）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π /2
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交；
主值12 〔 ，〕， 若12 〔 ，〕，则用 12 2 来规范它。
（ω t+）|t=0 =
单位：弧度
通常，||≤180°－－主值范围。
三、几个概念
1．有效值：
工程中常将周期电流或电压在一个周期内产生的平均效 应换算为在效应上与之相等的直流量，以衡量和比较周期电 流或电压的效应，这一直流量就称为周期量的有效值。用相 应的大写字母表示。
I def
1 T i 2dt T0
②指数形式：
F1F2 | F1 | e j1 | F2 | e j2 | F1 || F2 | e j（1 2）
③极坐标形式：
F1F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | 1 2
模相乘，辐角相加。
④图解法：
+j
F1F2
F2
1 + 2