复数的几种表示形式的转换及计算
高中数学中的复数运算公式总结
高中数学中的复数运算公式总结在高中数学中，复数是一个重要的概念，而掌握复数的运算公式对于解决相关问题至关重要。
复数的运算包括加、减、乘、除等，下面我们就来详细总结一下这些运算公式。
一、复数的定义形如\（a ＋ bi\）（其中\（a\）、＼（b\）均为实数，＼（i\）为虚数单位，且\（i^2 ＝－1\））的数称为复数。
其中，＼（a\）被称为实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）被称为虚部，记作\（Im(z)＼）。
二、复数的四则运算1、加法运算两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的和为：＼z_1 ＋ z_2 ＝（a_1 ＋ a_2) ＋（b_1 ＋ b_2)i＼例如，＼（z_1 ＝ 2 ＋ 3i\），＼（z_2 ＝ 1 2i\），则\（z_1 ＋ z_2＝（2 ＋ 1) ＋（3 2)i ＝ 3 ＋ i\）2、减法运算两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的差为：＼z_1 z_2 ＝（a_1 a_2) ＋（b_1 b_2)i＼例如，＼（z_1 ＝ 5 ＋ 4i\），＼（z_2 ＝ 3 ＋ 2i\），则\（z_1 z_2＝（5 3) ＋（4 2)i ＝ 2 ＋ 2i\）3、乘法运算两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的积为：＼＼begin{align}z_1 ＼cdot z_2&＝（a_1 ＋ b_1i)（a_2 ＋ b_2i)＼＼＆＝a_1a_2 ＋ a_1b_2i ＋ a_2b_1i ＋ b_1b_2i^2\＼＆＝（a_1a_2 b_1b_2) ＋（a_1b_2 ＋ a_2b_1)i＼end{align}＼例如，＼（z_1 ＝ 2 ＋ 3i\），＼（z_2 ＝ 1 ＋ 2i\），则：＼＼begin{align}z_1 ＼cdot z_2&＝（2 ＋ 3i)（1 ＋ 2i)＼＼＆＝2 ＋ 4i ＋ 3i ＋ 6i^2\＼＆＝2 ＋ 7i 6\＼＆＝－4 ＋ 7i＼end{align}＼4、除法运算将复数\（＼frac{z_1}｛z_2}＼）（＼（z_2 ＼neq 0\））的运算转化为乘法运算，即分子分母同时乘以\（z_2\）的共轭复数\（＼overline{z_2} ＝ a_2 b_2i\），得到：＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{z_1 ＼cdot ＼overline{z_2}｝｛z_2 ＼cdot ＼overline{z_2}｝＼＼＆＝＼frac{（a_1 ＋ b_1i)（a_2 b_2i)｝｛（a_2 ＋ b_2i)（a_2 b_2i)｝＼＼＆＝＼frac{（a_1a_2 ＋ b_1b_2) ＋（b_1a_2 a_1b_2)i}｛a_2^2 ＋b_2^2}＼end{align}＼例如，＼（z_1 ＝ 4 ＋ 3i\），＼（z_2 ＝ 1 ＋ 2i\），则：＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{（4 ＋ 3i)（1 2i)｝｛（1 ＋ 2i)（1 2i)｝＼＼＆＝＼frac{4 8i ＋ 3i 6i^2}｛1 4i^2}＼＼＆＝＼frac{4 5i ＋ 6}｛1 ＋ 4}＼＼＆＝＼frac{10 5i}｛5}＼＼＆＝2 i＼end{align}＼三、复数的乘方运算1、＼（i\）的幂次规律＼（i^1 ＝ i\），＼（i^2 ＝－1\），＼（i^3 ＝ i\），＼（i^4 ＝1\）。
经典的复数知识
各种表示形式之间的相互转换
一、复数的形式
1、代数形式
A = a + jb
j
1
为虚单位 Re[A ] = a
b
+j A
复数A 的实部
复数A 的虚部 Im[A ] = b
O 复数 A = a + jb 在复平面上可以用一条 从原点O 指向A 对应坐标点的有向线段 一一对应[点A(a,b)]。
虚轴等于把实轴+1乘以j而得到的。
例：设A1=3-j4，A2=10 /135°
求 : A1+ A2 和 A1/ A2 。
解：求复数的代数和用代数形式：
A2 = 10 /135°
=10（cos135°+jsin135°)
= -7.07 + j7.07
A1 + A2 = ( 3 - j 4 ) + ( -7.07 + j 7.07 )
几何意义 +j
A1 A2
A1
A2
O
+1
2、减法 用代数形式进行， 设 A1 a1
jb1 A2 a2 jb2
A1 A2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j (b1 b2 )
几何意义
+j
A1 A2
A1
A1 A2
e
j
1/
是一个模等于1，辐角为θ的复数。
任意复数A乘以e jθ
等于把复数A逆时针旋转一个角度θ， 而A的模值不变。
e
j
2
j
e
j
2
-j
eБайду номын сангаас
复数的基本运算及其几何解释
复数的基本运算及其几何解释复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位。
本文将介绍复数的基本运算，包括加法、减法、乘法和除法，并给出其几何解释。
一、复数的加法和减法复数的加法和减法与实数的加法和减法类似。
假设有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，它们的和z3 = z1 + z2可通过将实部相加、虚部相加得到：z3 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i。
同样，它们的差z4 = z1 - z2可通过将实部相减、虚部相减得到：z4 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i。
复数的加法和减法也可以通过几何图形解释。
在复平面上，可以将复数看作是平面上的向量。
实部相当于向量在x轴上的投影，虚部相当于向量在y轴上的投影。
因此，复数z1和z2的和z3就是相应向量的和，差z4就是相应向量的差。
二、复数的乘法复数的乘法可以通过分配律进行计算。
假设有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，它们的乘积z5 = z1 * z2可表示为：z5 = (a1a2 -b1b2) + (a1b2 + a2b1)i。
复数的乘法也可以通过几何图形解释。
在复平面上，两个复数相乘相当于它们对应的向量的模长相乘，且角度相加。
具体来说，复数z1 = |z1| * e^(iθ1)和z2 = |z2| * e^(iθ2)的乘积z5 = |z1| * |z2| * e^(i(θ1+θ2))。
三、复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭数的倒数来实现。
假设有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，它们的商z6 = z1 / z2可表示为：z6 = (a1a2 + b1b2) / (a2^2 + b2^2) + ((a2b1 - a1b2) / (a2^2 + b2^2)) * i。
复数的除法也可以通过几何图形解释。
复数的运算和表示方法
复数的运算和表示方法复数是由实部和虚部组成的数，可以用来表示在数轴上的点。
本文将介绍复数的运算规则以及常见的复数表示方法。
一、复数的基本概念复数可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 表示实部，b 表示虚部，i 表示虚数单位。
实部和虚部都是实数。
例如，3 + 2i 就是一个复数，其中实部为 3，虚部为 2。
二、复数的加法和减法复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）。
例如，(3 + 2i) + (2 + 4i) = 5 + 6i，(3 + 2i) - (2 + 4i)= 1 - 2i。
三、复数的乘法复数的乘法遵循分配律和虚数单位平方为 -1 的规则。
具体操作如下：(3 + 2i) × (2 + 4i) = 6 + 12i + 4i + 8i² = 6 + 16i - 8 = -2 + 16i四、复数的除法复数的除法可以通过乘以倒数的方式进行。
具体操作如下：(6 + 2i) ÷ (3 + 1i) = (6 + 2i) × (3 - 1i) ÷ ((3 + 1i) × (3 - 1i)) = (18 - 6i +6i - 2i²) ÷ (9 + 3i - 3i - i²)= (18 - 2) ÷ (9 + 1) = 16 ÷ 10 = 1.6五、复数的共轭复数的共轭是将复数的虚部取负数得到的新复数。
例如，对于复数3 + 2i，它的共轭为 3 - 2i。
六、复数的绝对值复数的绝对值表示复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
对于复数 a + bi，它的绝对值为√(a² + b²)。
七、复数的表示方法常见的复数表示方法有三种：代数形式、三角形式和指数形式。
1. 代数形式：a + bi，将实部和虚部直接表示出来。
如 3 + 2i。
2. 三角形式：r(cosθ + isinθ)，使用极坐标表示，其中 r 表示模长，θ 表示辐角。
复数的五种表示形式
复数的五种表示形式复数的概念常常被用于数学、物理和电学中，它是由实数和虚数合并而成的一个数。
无论我们是从哪个角度来看待复数这个概念，都需要了解它的五个主要表示形式，其中包括：代数式、拆分式、指数式、极坐标式和三角式。
在本文中，我们将逐一介绍它们的定义、应用和实际用途。
一、代数式代数式指的是将复数按照实部和虚部的形式进行书写，即：z = a + bi。
其中，a是复数的实部，它表示复数在实轴上的位置；b是复数的虚部，它表示复数在虚轴上的位置。
举个例子，假设我们需要表示复数3 + 2i，那么它的实部为3，虚部为2，最终的代数式就是：z = 3 + 2i代数式在数学中的应用非常广泛，它可以用于解决方程、计算复数之间的运算和推导出一些重要的公式。
同时，在工程和物理学中，代数式也可用于描述电流、电压和磁场等物理量。
二、拆分式拆分式指的是将复数按照极坐标系表示为一个模长和一个辐角的形式，即：z = r(cosθ + isinθ)。
其中，r代表复数到原点的距离，它也被称为复数的模长；θ是复数与实轴之间的夹角，它也被称为复数的辐角。
与代数式不同的是，拆分式更强调复数的几何意义，它能够帮助我们更好地理解复数在平面直角坐标系中的位置。
举个例子，如果我们需要将复数2 + 3i写成拆分式的形式，我们可以先求出其模长和辐角，然后代入公式得出结果：r = √(2² + 3²) ≈ 3.6056θ = arctan(3/2) ≈1.2490因此，该复数的拆分式是：z = 3.6056(cos1.2490 + isin1.2490)拆分式在数学、物理和电学中都有着广泛的应用，它可以被用于计算向量、求解复数之间的乘除运算以及推导出一些重要的公式，例如欧拉公式e^(ix) = cosx + isinx。
三、指数式指数式是指将复数按照自然对数的形式进行表示，即：z = re^(iθ)。
其中，r和θ的定义和拆分式中相同，它们分别代表复数的模长和辐角；e代表自然对数的底数，它的值约为2.718。
数学中的复数计算方法
数学中的复数计算方法复数，指具有实部和虚部的数字，常见于数学、物理和工程领域。
在计算机科学的各个分支中，复数也被广泛应用，比如在信号处理、图像处理等方面都有着广泛的应用。
因此，对于复数的计算方法是非常重要的。
本文将会介绍复数的计算方法，并提供各个方法的实例来说明其用途。
一、复数的表示方法复数通常表示为a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
例如，3+2i就是一个复数，其中a=3，b=2。
另一种表示方法是极坐标形式，即r(cosθ+isinθ)，其中r是复数的模，θ是其幅角。
通常情况下，r和θ可以通过实部和虚部来计算，如下所示：r=sqrt(a²+b²)，θ=tan⁻¹(b/a)例如，对于复数3+2i，其模为r=sqrt(3²+2²)=sqrt(13)，而幅角为θ=tan⁻¹(2/3)。
二、复数的加法和减法对于2个复数a+bi和c+di，它们的加法和减法分别如下：加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i减法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i例如，对于复数3+2i和2+5i，它们的加法和减法分别如下：加法：(3+2i)+(2+5i)=(3+2)+(2+5)i=5+7i减法：(3+2i)-(2+5i)=(3-2)+(2-5)i=1-3i三、复数的乘法和除法对于2个复数a+bi和c+di，它们的乘法和除法分别如下：乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i除法：(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)/(c²+d²))+((bc-ad)/(c²+d²))i例如，对于复数3+2i和2+5i，它们的乘法和除法分别如下：乘法：(3+2i)(2+5i)=(3×2-2×5)+(3×5+2×2)i=-8+19i除法：(3+2i)/(2+5i)=((3×2+2×5)/(2²+5²))+((-2×2+3×5)/(2²+5²))i=(16/29)-(4/29)i四、共轭复数对于一个复数a+bi，它的共轭复数表示为a-bi。
高中数学复数的运算
高中数学复数的运算复数是数学中一个重要的概念，它由实部和虚部构成，可以用来描述平面上的向量、电路中的电压和电流等等。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法等，下面将详细讨论这些运算的规则。
一、复数的表示形式复数可以用代数形式和三角形式表示。
代数形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i表示虚数单位。
三角形式为r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
二、复数的加法两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
例如：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
三、复数的减法两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
例如：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
四、复数的乘法两个复数相乘，按照分配律，实部和虚部相互乘。
例如：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
五、复数的除法两个复数相除，可以通过乘以共轭复数来进行。
即，对于复数a+bi 来说，它的共轭复数为a-bi。
将两个复数相乘再除以共轭复数的模的平方。
例如：(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[c^2+d^2]=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i。
六、复数的运算性质复数的运算满足交换律、结合律和分配律。
七、复数的乘方和开方运算复数的乘方运算可以通过将其转化为三角形式来进行。
例如：(a+bi)^n=r^n(cos(nθ)+isin(nθ))，其中r为模长，θ为辐角。
复数的开方运算可以通过将其转化为代数形式，并利用公式进行计算。
综上所述，高中数学中涉及到复数的运算，包括加法、减法、乘法和除法等。
我们可以使用代数形式或者三角形式来表示复数，并利用相应的运算规则进行计算。
熟练掌握复数的运算规则，将有助于解决实际问题和应用到其他数学领域中。
电工技术：复数的表示形式及复数的四则运算
一、复数的四种表示形式
虚数单位 j =
1.代数形式： 在复平面上表示 •
1
j2 = -1
A a jb
+j b
复数的模 复数的辐角
A r
a r cos ψ
b r sin ψ
r a2 b2 b ψ arctan a
O
a +1
2. 三角函数形式
A r cos ψ jr sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
A 32 42 5
求它们的和、差、积、商。
B 82 62 10
4 A arctan 53o 3
6 B arctan 37 o 8B 10370A Nhomakorabea 5530
A B 51053 37 5090
A 5 53 37 0.516 B 10
A1 A1 1
A2 A2 2
A1 A1 1 2 A2 A2
二、复数的四则运算
例题：已知两个复数
解：
A B 3 8 j 4 6 11 j10
A 3 j4
B 8 j6
A B 3 8 j 4 6 5 j 2
二、复数的四则运算
2.复数的乘法运算 • 都转换为极坐标表达式或指数式，两复数的模相乘作为积的模，幅角相加作为积的模角。
A1 A1 1
A2 A2 2
3.复数的除法运算
A1 A2 A1 A2 1 2
• 都转换成极坐标式或指数式，将两复数的模相除作为商的模，幅角相减作为商的模角。
这两种表示形式适用于复数的加减运算。 简化画法
复数知识点总结公式大全
复数知识点总结公式大全复数是数学中一个重要的概念，其包括实数和虚数。
在实际应用中，复数广泛被用于电路分析、信号处理、控制系统、波动方程求解等领域。
因此，理解复数的性质和运算规律对于掌握这些领域的知识具有重要意义。
以下是复数知识点的总结和相关公式的大全：1. 复数的定义：复数可以表示为a+bi的形式，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位，满足i^2=-1。
2. 复数的运算：（1）加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i（2）减法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i（3）乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i（4）除法：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)i/(c^2+d^2)3. 共轭复数：设z=a+bi，其共轭复数为z*=a-bi。
显然，复数与共轭复数的乘积是实数，即zz*=|z|^2，其中|z|表示复数z的模。
4. 欧拉公式：e^(iθ)=cosθ+isinθ5. 复指数函数：e^(z)=e^a(cosb+isinb)，其中z=a+bi6. 幅角和辐角：复数z=a+bi的幅角θ满足tanθ=b/a，辐角则为θ+2kπ(k∈Z)。
7. 极坐标形式：复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ为z的辐角。
8. 三角形式：复数z=r(cosθ+isinθ)可以表示为z=r∠θ9. 复数的乘除法：（1）乘法：z1=r1∠θ1，z2=r2∠θ2，则z1z2=r1r2∠(θ1+θ2)（2）除法：z1=r1∠θ1，z2=r2∠θ2，则z1/z2=r1/r2∠(θ1-θ2)10. 复数的幂：z^n=r^n∠(nθ)11. 根式：复数z=r∠θ的n次根是n个复数，其模为∛r，辐角依次加2kπ/n(k=0,1,...,n-1)。
12. 解析函数与共轭函数：设u(x,y)和v(x,y)是复变函数f(x+iy)的实部和虚部，则f(z)=u(x,y)+iv(x,y)。
复数的几种表示形式
复数的几种表示形式 Prepared on 22 November 2020复数主要有三种表示形式：坐标式，三角式，指数式。
坐标形式：z=a+bi。
这个就非常简单了，它是复数的定义。
自从i这个数产生以后，我们就规定了a+bi是复数，并且b=0时就是我们以前的实数。
（a,b）对应复数在复平面上的坐标。
三角形式：z=r(cosθ+isinθ)这个结合几何意义容易看出来：记复数z的模为r，幅角为θ，显然有a=rcosθ,b=rsinθ代入坐标形式里即有：Z1z2=r1r2(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2+i(sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2)))）=r1r2（cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2通过三角形式我们不难发现，两个复数积的模等于两个复数的模的积，而且一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数，在旋转一个角度（这个角是另一个复数的幅角），特别地，如果乘以的复数的模为1，则该复数只起到旋转的效果，例如：在旋转的几何背景下，我们还容易发现：Z n=r n(cos(nθ)+isin(nθ))特别地，令r=1，可以得到着名的王陆杰公式：（cosθ+isinθ）n=cos(nθ)+isin(nθ)这个公式很有用，我们下一次再谈。
指数形式：z=re iθ因此有e iθ=cosθ+isinθ从而有z=r(cosθ+isinθ)=re iθ借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质，以及刚才的王陆杰公式e i(nθ)=cosnθ+isinnθ=(e iθ)n=(cosθ+isinθ)n这里面还藏着一个号称数学最美的式子：特别地，令θ=π，则e iπ=-1。
我们不得不惊叹复数的形式看似简朴，但真正是藏龙卧虎，以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了，关于复数这些形式的进一步研究，我们以后再说。
复数的各类表达形式
复数的各类表达形式一、代数形式表示形式：表示一个复数复数有多种表示形式，常用形式z=a+bi 叫做代数形式。
二、几何形式点的表示形式：表示复平满的一个点在直角坐标系中，以x为实轴，y为虚轴，O为原点形成的坐标系叫做复平面，这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定。
复数z=a+bi 用复平面上的点z(a，b )表示。
这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。
也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。
三、三角形式表示形式复数z＝a+bi化为三角形式，z＝r(cosθ+sinθi)。
式中r=∣z∣=√(a^2+b^2)，是复数的模(即绝对值)；θ是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，记作argz，即argz=θ=arctan(b/a)。
这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。
四、指数形式表示形式将复数的三角形式z＝r( cosθ+isinθ)中的cosθ+isinθ换为exp(iθ)，复数就表为指数形式z＝rexp (iθ)。
向量在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量），在数学中与之相对的是数量，在物理中与之相对的是标量。
向量的运算法则1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
OB+OA=OC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。
3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ>0时，λa与a同方向当λ<0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
复数的变换规则
复数的变换规则一、复数的基本形式复数一般表示为z = a+bi，其中a为实部（a∈ R），b为虚部（b∈ R），i为虚数单位，且i^2=- 1。
二、复数的四则运算规则1. 加法- 规则：设z_{1}=a + bi，z_{2}=c+di，则z_{1}+z_{2}=(a + c)+(b + d)i。
- 例如：若z_{1}=2 + 3i，z_{2}=1+2i，则z_{1}+z_{2}=(2 + 1)+(3+2)i=3 + 5i。
2. 减法- 规则：设z_{1}=a + bi，z_{2}=c+di，则z_{1}-z_{2}=(a - c)+(b - d)i。
- 例如：若z_{1}=2+3i，z_{2}=1 + 2i，则z_{1}-z_{2}=(2-1)+(3 - 2)i=1+i。
3. 乘法- 规则：设z_{1}=a + bi，z_{2}=c+di，则z_{1}· z_{2}=(ac - bd)+(ad+bc)i。
- 推导：(a + bi)(c+di)=ac+adi + bci+bdi^2=ac - bd+(ad + bc)i（因为i^2=-1）- 例如：若z_{1}=2+3i，z_{2}=1+2i，则z_{1}· z_{2}=(2×1-3×2)+(2×2 + 3×1)i=(2 - 6)+(4 + 3)i=-4+7i。
4. 除法- 规则：设z_{1}=a + bi，z_{2}=c+di（c + di≠0），则frac{z_{1}}{z_{2}}=(a + bi)/(c+di)=((a + bi)(c - di))/((c + di)(c - di))=(ac+bd)/(c^2)+d^{2}+(bc - ad)/(c^2)+d^{2}i。
- 推导：为了将分母化为实数，我们给分子分母同时乘以z_{2}的共轭复数c - di。
- 例如：若z_{1}=2+3i，z_{2}=1+2i，则frac{z_{1}}{z_{2}}=((2 + 3i)(1-2i))/((1+2i)(1 - 2i))=frac{2-4i+3i - 6i^2}{1-(2i)^2}=(2 - i+6)/(1 + 4)=(8 -i)/(5)=(8)/(5)-(1)/(5)i。
复数知识点公式总结
复数知识点公式总结复数是数学中的一个重要概念，它可以用于表示实数和虚数的和，通常以a+bi的形式表示，其中a是实部，bi是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
复数在数学中有着广泛的应用，尤其在物理和工程领域中经常会遇到，因此对于复数的基本知识点和公式的掌握是很重要的。
一、复数的基本概念在介绍复数的公式之前，首先需要了解一些基本概念。
1. 复数的表示形式复数可以用代数式表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。
2. 复数的加法两个复数相加的规则是将实部相加，虚部相加，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
3. 复数的减法两个复数相减的规则是将实部相减，虚部相减，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
4. 复数的乘法两个复数相乘的规则是将实部之间相乘减虚部之间相乘，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
5. 复数的除法两个复数相除的规则是先以分母的共轭复数作为分母，并将分子与分母同时乘以分母的共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=((a+bi)(c-di))/((c+di)(c-di))=(ac+bd)/(c²+d²)+(bc-ad)i/(c²+d²)。
6. 复数的模复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。
7. 复数的共轭复数z=a+bi的共轭定义为z的虚部取相反数，即z的共轭为a-bi。
二、复数的指数形式复数可以用指数形式表示，即z=r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的辐角，可以表示成z=re^(iθ)。
1. 复数的模和辐角复数z=a+bi的模r和辐角θ可以通过以下公式计算得到：r=|z|=√(a²+b²)，θ=arctan(b/a)，其中a和b为复数z的实部和虚部。
2. 欧拉公式欧拉公式是指e^(iθ)=cosθ+isinθ，其中e是自然对数的底，i是虚数单位，θ是实数。
复数的三角形式和指数转换公式
复数的三角形式和指数转换公式
复数的三角形式和指数转换公式
复数是在实数范围之外的数，可以写成 a+bi（其中a和b是实数，i
是虚数单位）。
复数有常见的三种表达方式：代数形式、三角形式和
指数形式，其中三角形式和指数形式适用于分析和计算复数的幅值和
相位角。
三角形式是把复数表示为一个大小为r的向量，它与实轴的夹角为θ（0 ≤ θ ＜2π），表示为r (cos θ + i sin θ)。
其中，r 是复数的模（或幅值），即复数到原点的距离，θ 是向量与正半轴的夹角。
因此，对于任意复数，都有一个唯一的三角形式。
指数形式表示为r e^(iθ)，其中 r 和θ 同上，e 是自然对数的底数。
指数形式可以转换为三角形式，使用欧拉公式e^(iθ) = cosθ + i sinθ，然后乘上r。
同样，从三角形式到指数形式，可以使用欧拉公式和三角函数的关系，即cosθ = (e^(iθ) + e^(-iθ))/2，sinθ = (e^(iθ) - e^(-iθ))/2i。
将这
些代入三角形式得到指数形式。
指数形式应用广泛，因为它简洁且易于计算。
复杂的运算可以转换为
求指数函数。
例如，假设要计算z^4，其中z=3(cosπ/4 + i sinπ/4)。
使用指数形式，先将 z 转换为指数形式，得到3e^(iπ/4)，然后计算
3^4，再乘以e^(4iπ/4)。
结果为 -27-27i。
此外，在电路分析、信号处理和量子力学等领域中，指数形式也经常用于描述和计算复数。
复数的几种表示形式
复数主要有三种表示形式：坐标式，三角式，指数式。
坐标形式：z=a+bi。
这个就非常简单了，它是复数的定义。
自从i这个数产生以后，我们就规定了a+bi是复数，并且b=0时就是我们以前的实数。
（a,b）对应复数在复平面上的坐标。
三角形式：z=r(cosθ+isinθ)这个结合几何意义容易看出来：记复数z的模为r，幅角为θ，显然有a=rcosθ,b=rsinθ代入坐标形式里即有：Z1z2=r1r2(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2+i(sinθ1 cosθ2+ cosθ1 sinθ2)) = r1r2（cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)）通过三角形式我们不难发现，两个复数积的模等于两个复数的模的积，而且一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数，在旋转一个角度（这个角是另一个复数的幅角），特别地，如果乘以的复数的模为1，则该复数只起到旋转的效果，例如：在旋转的几何背景下，我们还容易发现：Z n=r n(cos(nθ)+isin(nθ))特别地，令r=1，可以得到著名的王陆杰公式：（cosθ+isinθ）n=cos(nθ)+isin(nθ)这个公式很有用，我们下一次再谈。
指数形式：z=re iθ因此有e iθ= cosθ+isinθ从而有z=r(cosθ+isinθ)=re iθ借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质，以及刚才的王陆杰公式e i(nθ)= cosnθ+isinnθ= (e iθ)n=( cosθ+isinθ)n这里面还藏着一个号称数学最美的式子：特别地，令θ=π，则e iπ=-1。
我们不得不惊叹复数的形式看似简朴，但真正是藏龙卧虎，以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了，关于复数这些形式的进一步研究，我们以后再说。
根据高中数学复数定理总结：复数的运算与表示方式
根据高中数学复数定理总结：复数的运算与表示方式1. 复数的定义与表示方式复数是由实部和虚部组成的数。
通常情况下，可以用 a+bi 的形式来表示一个复数，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
例如，复数 z 可以表示为 z = a + bi。
2. 复数的运算规则2.1 复数的加法与减法复数的加法和减法可以分别通过实部和虚部的运算来进行。
具体规则如下：- 加法：将实部和虚部分别相加。
- 减法：将实部和虚部分别相减。
例如，给定两个复数 z1 = a + bi 和 z2 = c + di，它们的和为 z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i，差为 z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i。
2.2 复数的乘法与除法复数的乘法和除法可以通过展开公式来进行。
具体规则如下：- 乘法：实部相乘减去虚部相乘，并将实部与虚部相乘后再相加。
- 除法：将被除数与除数的共轭复数相乘，再除以除数的模的平方。
例如，给定两个复数 z1 = a + bi 和 z2 = c + di，它们的乘积为z1 \* z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i，商为 z1 / z2 = [(ac + bd) / (c^2 + d^2)] + [(bc - ad) / (c^2 + d^2)]i。
3. 复数的共轭与模3.1 复数的共轭一个复数的共轭是指保持实部不变，虚部取相反数的复数。
共轭复数可以通过改变虚部的符号来得到。
例如，给定一个复数 z = a + bi，则它的共轭为 z* = a - bi。
3.2 复数的模一个复数的模是指将实部和虚部的平方和的平方根。
模可以表示复数到原点的距离。
例如，给定一个复数 z = a + bi，则它的模为|z| = √(a^2 + b^2)。
总结复数的运算与表示方式包括复数的加法、减法、乘法和除法。
复数的加法和减法可以通过实部和虚部运算得到，乘法和除法可以通过展开公式或共轭复数得到。
复数的几种表示形式
复数主要有三种表示形式：坐标式，三角式，指数式。
坐标形式： z=a+bi 。
这个就非常简单了，它是复数的定义。
自从 i 这个数产生以后，我们就规定了 a+bi 是复数，并且 b=0 时就是我们以前的实数。
（a,b ）对应复数在复平面上的坐标。
三角形式： z=r(cos θ+isin θ)这个结合几何意义容易看出来：记复数 z 的模为 r，幅角为θ，显然有 a=rcos θ ,b=rsin θ代入坐标形式里即有：Z1z2 =r1r2(cos θ1cos θ2-sin θ1sin θ2+i(sinθ1cos θ2 + cos θ1sin θ2)) = r1r2（cos( θ1 +θ2)+isin( θ1 +θ2) ）通过三角形式我们不难发现，两个复数积的模等于两个复数的模的积，一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数，一个角度（这个角是另一个复数的幅角），特别地，如果乘以的复数的模为则该复数只起到旋转的效果，例如：而且在旋转1，在旋转的几何背景下，我们还容易发现：Z n=r n(cos(n θ )+isin(nθ))特别地，令 r=1 ，可以得到著名的王陆杰公式：n这个公式很有用，我们下一次再谈。
i θ因此有 e iθ= cos θ+isin θ从而有 z=r(cos θ+isin θ)=re iθ借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质，以及刚才的王陆杰公式e i(nθ) = cosn θ+isinn θ= (e iθ ) n=( cos θ+isin θ) n这里面还藏着一个号称数学最美的式子：i π特别地，令θ=π，则 e=-1 。
我们不得不惊叹复数的形式看似简朴，但真正是藏龙卧虎，以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了，关于复数这些形式的进一步研究，我们以后再说。
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u（t）
U
m
cos（t
）
u
i（t）
I m cos（t
）
i
－－本书采用cosine函数。
二、正弦量的三要素
1．幅值Um/Im：
Um、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ω t+)=1时，imax=Im；当cos(ω t+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
2．角频率ω ：
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹）
ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T
ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
T
单位：rad/s（弧度/秒）
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。
⑤|12|=π
－－u1和i2反相。
§8-3 相量法的基础
一、相量法的引入
正弦稳态电路频率特点： 在线性电路中，如果电路的激励都是同一频率
的正弦量，则电路全部的稳态响应都将是同频率的 正弦量。
由于正弦稳态电路频率的特点，将同频率的正 弦量的三要素之一()省去，其余两要素用复数形 式来表示正弦量的方法称为相量法。
）
u1
i2
2
Icos（t
）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π /2
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交；
主值12 〔 ，〕， 若12 〔 ，〕，则用 12 2 来规范它。
负数几种形式的转换
例1：将 F1 9.573 化为直角坐标形式。
解： F1 9.5cos73 j9.5sin73 2.78 j9.08
例2：将 F2 20 j40 化为极坐标形式。
解： | F2 | （ 20）2 （ 40）2 44.7
F2在第三象限，
arctan（ 40） 180 63.4 180 243.4
20
F2 44.7243.4
二、复数的四则运算
1．加、减法运算：
①代数法：
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j( b1 b2 )
实部与实部相加减， 虚部与虚部相加减。
②图解法：
++jj F2
F2
O
O
F1 F1+F2
++j j F2
+1F2
O
F1-F2
F1 -F2
复数减法的平行四+1边形法和三O角形法
复数加法的平行四边形法和三角形法
F1-F2 F1 F1+F2 F2 +1
F1
+1
2．乘法运算：
①代数形式：
F1F2 ( a1 jb1 )( a2 jb2 ) ( a1a2 b1b2 ) j( a2b1 a1b2 )
e j 1
F2
－－旋转因子 jF1
F1 -jF2
j
e2
j
，e
-
j
2
j
，e j
-1
O
+1
旋转因子示意
乘以j，即把复数逆时针旋转π/2； 乘以-j（除以j），即把复数顺时针旋转π/2。
§8-2 正弦量
一、正弦电压和电流
1．定义：
随时间按正弦规律变换的电压和电流。
2．数学表达式：
（ω t+）|t=0 =
单位：弧度
通常，||≤180°－－主值范围。
三、几个概念
1．有效值：
工程中常将周期电流或电压在一个周期内产生的平均效 应换算为在效应上与之相等的直流量，以衡量和比较周期电 流或电压的效应，这一直流量就称为周期量的有效值。用相 应的大写字母表示。
I def
1 T i 2dt T0
2
F1
O
1
+1
复数的乘法
3．除法运算：
①代数形式：
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
（（aa21
jb1）（a2 jb2）（a2
jb2） jb2）
（aa12）a22
ห้องสมุดไป่ตู้
b1b2 （b2）2
j（aa22）b21
a1b2 （b2）2
②指数形式：
④图解法：
F1 F2
②指数形式：
F1F2 | F1 | e j1 | F2 | e j2 | F1 || F2 | e j（1 2）
③极坐标形式：
F1F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | 1 2
模相乘，辐角相加。
④图解法：
+j
F1F2
F2
1 + 2
| |
F1 F2
| |
e e
j 1 j 2
| F1 | e j（1 2） | F2 |
+j
F1
③极坐标形式：
F1 F2
| F1 | F2
| 1 | 2
| F1 | F2
| |
1
2
模相除，辐角相减。
F1/F2
1 1 - 2
F2
O
2
+1
复数的乘法
4．旋转因子： +j
二、正弦量的相量
u（t） Umcos（t ）
由欧拉公式：
e j（t） cos（t ） jsin（t ）
则Ume j（t） Um cos（t ） j Um sin（t ）
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
1．代数形式： F a jb
Re[F] a --复数F的实部
Im[F] b --复数F的虚部
2．向量形式：
a F cos
b F sin
+j
F a2 b2 --复数F的模(值)
b |F|
argF --复数F的辐角
由
于
主
1 T
T 0
Im2cos（2 t
i）dt
－－均方根值
I Im / 2 0.707Im
工程中使用的交流电气设备铭牌上标注的额定电压、
电流的数值，以及交流电压表、电流表表面上标注的数字 都是有效值。
三、几个概念
2．相位差：
同频率正弦量的相位之差，为一常数，与时间无关。
u1
2Ucos（t
值arctan（b）〔
，
〕，
若
O
实部为负
数
，
a
22
则arctan（b） 才是正确的辐角。
a
F
a
+1
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
3．三角形式： F F（cos jsin）
4．指数形式：
由欧拉公式： e j cos jsin
F F e j
5．极坐标形式： F F