函数的表示法知识点总结

值.
注意:所求出的自变量的值应在相应的各段函数定义域内,不在的应舍去.
例 2.
已知函数
f
(
x)

x x
2(x 2 (1 x
1) 2)
,若
f (x) 3 ,则 x _________.
解:当 x 1时, x 2 3 ,解之得: x 1,不符合题意,舍去;
函数的表示法知识点总结 第 1 页
（3）分段函数包括几段,它的图象就有几条曲线组成.采用“分段作图”法画分段 函数的图象:在同一平面直角坐标系中,依次画出各段函数的图象,这些函数的图 象组合在一起就是分段函数的图象; （4）分段函数是一个函数,而不是几个函数; （5）分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式,并在各 段解析式的后面标明相应的自变量的取值范围; （6）处理分段函数问题时,首先要确定自变量的取值在哪一段函数的区间内,再 选取相应的对应关系.
函数的表示法知识点总结
本节知识点 （1）函数的表示法. （2）分段函数. （3）函数的图象变换. 说明:新课标对映射不作要求. 知识点一 函数的表示法 函数的表示法有三种,分别是解析法、图象法和列表法. 解析法
用数学表达式来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法,记作 y f (x) . 这个数学表达式叫做函数解析式、函数表达式或函数关系式. 解析法是不是函数的一种重要方法,这种表示方法从“数”的方面简明、全面地
例 1.
已知函数
f
(
x)

x

1 , x 2,
x2
,则
f ( f (1)) 的值为【
】
x 2 2, x 2,
（A） 1
2
（B）2
（C）4
解:∵1 2 ,∴ f 1 12 2 3 ,∴ f ( f (1)) f 3
（D）11
∵ 3 2 ,∴ f 3 3 1 4 ,∴ f ( f (1)) 4 .【 C 】.
数的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.
例 3.
已知函数
f
(
x)

3x 2 2x 2
2x(x 1) 3(x 1)
,求使
f (x) 2 成立的 x 的取值范围.
解:由题意可得:
x 1
x 1
3x 2

2x

或 2

2x2
几种常见的分段函数
1.取整函数 y x（ x表示不大于 x 的最大整数）.
其图象如图（1）所示.
y
3 2 1
–3 –2 –1 O –1
1 2 3x
–2
–3
值 值 1值 值 值 值 值 值 值 值
y
fx = x + 2
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1 O –1
12x
值 值 2值 值 值 值 值 值 值 值 值
当 0≤ x 1时,函数 y 5x 2 的值域为 3, 2 ;
函数的表示法知识点总结 第 6 页
当 x 0 时,函数 y x 2 的值域为 , 2 . ∴函数 y 2 x 1 3 x 的值域为 , 3 3, 2 , 2 , 2.
x 2(x 0)
–3 –4 值 值 5值
其图象如图（5）所示,由图象可知其值域为 , 2.
另解:由上面可知: x 2(x 1)
y 5x 2(0 x 1) x 2(x 0)
当 x ≥1 时,函数 y x 2 的值域为 , 3;
f (1) 的解集是_______.
xx 2 习题 6. 函数 f (x) x 1 2 x 4 ,若 f (a) 3 ,则实数 a 的取值范围是_____.
3xx 4
例 4.
已知 a0,函数
f
(x)

2x ax x 2ax
2x 1(x 2)
解:由各段函数的定义域可知该分段函数的定义域为 0,1 1,2 2, 0, .
5.求分段函数的值域
分段函数的值域是各段函数值域的并集.
对于某些简单的分段函数,可画出其图象,由图象的最高点和最低点求值y域（图象法）.
2
例 6. 设 x R,求函数 y 2 x 1 3 x 的值域.
2.绝对值函数
含有绝对值符号的函数.如函数
y

x

2

x x
2x 2x
2 2 ,其图
象如图（2）所示,为一条折线.
解决绝对值函数的问题时,先把绝对值函数化为对应的分段函数,然后分段
解决.
3.自定义函数
x 1x 1
如函数
f
(x)


x
2

x
概括了两个变量之间的数量关系.
图象法 在平面直角坐标系中,用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.
图象法能形象、直观地反映因变量随自变量的变化趋势,从“形”的方面刻画了 两个变量之间的数量关系.
函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.
列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.
函数 f (x) 的值域为 2,1 ,1 ,1
值 值 6值
∴函数 f (x) 在其值域内的最大值为 1.
函数 f (x) 的图象如图（6）所示.
2(0 x 10) 习题 10. 若函数 f (x) 4(10 x 15) ,则函数 f (x) 的值域是【 】

3

2
解不等式组
x
3
x
2
1
2
x

2
得:1≤
x

1
3
7
;
解不等式在
x
1 2x2

3

2
得:
x


2或 2
2 x 1 2
函数的表示法知识点总结 第 4 页
∴使 f (x) 2 成立的 x 的取值范围为 xx

2或 2
2 2
x1 3
当 1 x 2 时, x 2 3 ,解之得: x 3 ,其中 x 3 1 ,舍去,∴ x 3
综上, x 3 .
习题 2.
已知函数
f
(
x)

x 2 1(x 0) 2x(x 0)
,若
f (x) 5 ,则 x 的值是【
】
（A） 2 （C）2 或 2
3
2
解不等式 2 x 2 x 得: x 1或 x 2
1
∴当 x 1或 x 2 时, f (x) 2 x 2 ,其值域为 ,1
–3 –2 –1 O 1 –1
2
3
x
综上所述,
f
(x)

x(2 x 2 x 2 (x
1) 1或x

2)
–2 –3 –4
5(15 x 20)
（A） 2,4,5
（B） 2,5
（C） 2,4
（D） 4,5
2x 2 (0 x 1) 习题 11. 函数 f (x) 2(1 x 2) 的值域是【 】

2 1
x

2 为自定义的分段函数,其图象如图（3）所
x 2x 2
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示. 4.符号函数 y sgn x
1x 0 符号函数 f (x) sgn x 0x 0 ,其图象如图（4）所示.
1x 0
符号函数的性质: x x sgn x .
32
习题 1.
已知函数
f
(
x)

x 3
2 4x 3, x, x 0,
x

0,
,则
f ( f (5)) 【
】
函数的表示法知识点总结 第 3 页
（A）0
（B） 2
（C） 1
2.已知分段函数的函数值,求自变量的值.
（D）1
方法是:先假设函数值在分段函数的各段上取得,解关于自变量的方程,求出各段上自变量的
1 1
,
若
f 1 a f 1 a , 则 a 的 值 为
_________. 解:当1 a 1,即 a 0 时,1 a 1
∴ f 1 a 21 a a 2 a , f 1 a 1 a 2a 1 3a
例 7. 若 x R,函数 f (x) 是 y 2 x 2 , y x 这两个函数值中的较小者,则函数 f (x)
的最大值为【 】
（A）2
（B）1
（C） 1
（D）无最大值
解:解不等式 2 x2 ≥ x 得: 2 ≤ x ≤1
y
∴当 2 ≤ x ≤1 时, f (x) x ,其值域为 2,1 ;
y
3 2 1
–3 –2 –1 O
1 23
x
–1
–2
–3 值 值 3值
y
2 1
–3 –2 –1 O
–1
–2
123 x
值 值 4值 值 值 值 值 值 值 值
说明:函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线或离散的点. 分段函数的常见题型 1.求分段函数的函数值.
求分段函数的函数值的方法是:先确定自变量的值属于哪一个区间段,然后代 入该段的解析式求值.当出现 f ( f (a)) 的形式时,应从内到外依次求值.
∵ f 1 a f 1 a
∴ 1 a 2 3a ,解之得: a 3 ,符合题意. 4
综上, a 的值为 3 . 4
习题 7.
设
f
(
x)

x(0
2x
x 1)
1(x 1)
,若
f (a)
f (a 1) ,则
f 1 _________. a
习题 8.
设
f
(
x)

x 2 (x 0) x(x 0)
,

(
x)

x(x 2) x 2 (x
2)
,则当
x

0
时,
f ((x)) 【
】
（A） x
（B） x 2
（C） x
（D） x2
函数的表示法知识点总结 第 5 页
习题 9.
设函数
f
(
x)


1 2 1 x
x 1(x (x 0)

0)
,若
f (a) a ,则实数 a 的值为【
】
（A） 1 （C） 2 或 1
（B） 1 （D） 1 或 2
4.求分段函数的定义域
分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.
2x(0 x 1) 例 5. 函数 f (x) x 1(1 x 2) 的定义域是_________.
7

.

习题 4.
已知
f
(
x)

1x 0 0x 0
,则不等式
xf
(x)

xwenku.baidu.com
≤2
的解集为【
】
（A） 0,1
（B）0, 2
（C） ,1
（D） , 2
习题 5.
设函数
f
(
x)


x x
2 4x
6x
6 0
x

0
,则不等式
f (x)
∵ f 1 a f 1 a
∴ 2 a 1 3a ,解之得: a 3 0 ,不符合题意,舍去; 2
当1 a 1,即 a 0 时,1 a 1
f 1 a 1 a 2a 1 a , f 1 a 21 a a 2 3a
1
解:当 x ≥1 时, y 2x 1 3x x 2 ; 当 0≤ x 1时, y 21 x 3x 5x 2 ;
–3 –2 –1 O –1
–2
1 23x
当 x 0 时, y 21 x 3x x 2 .
x 2(x 1) 综上所述, y 5x 2(0 x 1)
列表法的优点是不用通过计算,就可以得出与自变量对应的函数值.
知识点二 分段函数 分段函数的定义 有些函数在其定义域内,对于自变量 x 的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数称 为分段函数. 关于分段函数:
（1）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.注意各段函数定义域的交集 为空集; （2）分段函数的值域是各段函数值域的并集;
（B）2 或 5 2
（D）2 或 2 或 5 2
习题 3.
已知
f
(
x)

2x(x x 1(x
0) 0)
,若
f (a)
f (1) 0 ,则实数 a 的值等于________.
3.求分段函数自变量的取值范围
在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法是:先假设自变量的值在分段函