初三数学几何综合题及答案

1.在厶ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ ABC 的外侧作等腰直角三角形， M 是BC 边中点中点，连接 MD 和ME (1)如图1所示，若AB=AC ，贝U MD 和ME 的数量 关系是 _______________ (2)如图2所示，若AB 工AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的 数量和位置关系？请给出证明过程；

(3)在任意△ ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ ABC 的内侧作等腰直角三角形，

(1) MD=ME .

解：•••△ ADB 和厶AEC 是等腰直角三角形，

•••/ ABD= / DAB= / ACE= / EAC=45，/ ADB= / AEC=90 在厶ADB 和厶AEC 中，

f ZADB=ZAEC

* ZABD=ZACE , ADB AEC (AAS ),• BD=CE , AD=AE , i AB 二 AC

•/ M 是 BC 的中点，• BM=CM .J AB=AC ，•/ ABC= / ACB ,

•••/ ABC+ / ABD= / ACB+ / ACE ，即/ DBM= / ECM .

r BD=CE

在厶 DBM 和厶 ECM 中，“ NDBM 二ZECM

DBM ECM ( SAS ),• MD=ME

別二CM

(2) 如图，作 DF 丄AB , EG 丄AC ，垂足分别为 F 、G . 因为DF 、EG 分别是等腰直角三角形 ABD 和等腰直角三角形 ACE 斜边上的高，所以 F 、G 分别是AB 、AC 的中点. 又••• M 是BC 的中点，所以 MF 、MG 是厶ABC 的中位线. •

, t. ',

—

-., MF II AC , MG II AB .

M 是BC 的中点，连接

MD 和ME ，请在图3中补全图形,

并直接判断△ MED 的形状

.

图2 图3

图1 E

3

C

•••/ BFM= / BAC，/ MGC= / BAC . A/ BFM= / MGC .所以/ DFM= / MGE .

•/ DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，

•m=，MF=EG，DF=MG .

在厶DFM与厶MGE中，

SF二EG

” ZDFM=Z !&£，•△ DFM MGE ( SAS ).••• DM=ME . / FMD= / GEM

DF=IG

L

•/ DME= / FMD+ / FMG+ / GME= / GEM+ / MGC+ / GME

•/ EG 丄AC EGC=90 V/ GEM+ / MGC+ / GME+ / EGC=180 DME=90

•DM 丄EM .

(3)如图所示：

△ MDE是等腰直角三角形.

2 .如图1, 在△ ABC中, NACB=90° BC =2，/ A=30°点E，F分别是线段BC，

AF

AC的中点, 连结EF. (1)线段BE与AF的位置关系是BE

如图2，当△CEF绕点C顺时针旋转〉时(0—： : <180')，连结AF，BE, (1 )中的结论是否仍然成立•如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.

(3)如图3，当△田3绕点C顺时针旋转:-时(0、：：： : <18°

延长FC交AB于点D

，

(1) 如图1,线段BE 与AF 的位置关系是互相垂直；•••/ ACB=90 , BC=2，/ A=30° , ••• AC=2二，T 点E , F 分别是线段BC , AC 的中点， BE

故答案为：互相垂直；

二；

(2)

( 1)中结论仍然成立•证明：如图 2 ,•••点E , F 分别是线段

BC , AC 的中点，

1 1

Ff FC 1

• EC=_BC , FC=-i AC ,.・. = =_，•/ BCE= / ACF a , •△ BEC AFC ,

2

2 BC AC 2

•••— --------- :——=、•••/ 仁/ 2,延长BE 交AC 于点0,交AF 于点M

BE BC tanSO

• / BOC= / AOM ，/ 1 = / 2 •••/ BCO= / AM0=9°

• BE 丄 AF ;

(3) 如图 3, ACB=90 , BC=2 , / A=30° • AB=4 , / B=60° 过点 D 作 DH 丄 BC 于 H • DB=4 —( 6 - 2#.;) =2

2 , • BH=

— 1, DH=3 — '；,

又• CH=2 -(眉-1) =3 -锁,• CH=DH ，•/ HCD=45，•/ DCA=45 , • a =180° 45°=135° .

3. (1)如图 1,在四边形 ABCD 中，/ B=Z C=90° , E 为 BC 上一点，且 CE=AB , BE=CD,连 结

AE 、DE 、AD ,则厶ADE 的形状是 ________________________________ .(2)如图 2,在 ABC 中，• A =90 , D 、E 分别为AB 、AC 上的点，连结BE 、CD,两线交于点

P.①

CE=AD 时，在图中补全图形，猜想 .BPD 的度数并给予证明.

证明：过 B 点作FB I AB,且FB=AD

•

FBD =/A =90 ,

•/ BD=AC ,

• △ FBM A DAC.

•••/ FDB=Z DCA, ED=DC

• / DCA+Z CDA=90 , FDB +/ CDA=90 •••/ CDF=90 , FCD=Z CFD =45 .

当 BD=AC,

BD CE AC AD

=■ 3时，.BPD 的度数

(1)

(2)

45 ° 分 分